Estudio de una función

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
Consideremos una función
. Vamos a ver los pasos necesarios para representarla. Aunque alguno de los pasos parezca que no es
necesario, es conveniente no saltarse ninguno, pues así confirmamos que no hemos cometido ningún fallo.
Cada uno de los pasos que vamos a dar nos va a ir dando una idea más clara de cómo es nuestra función, hasta
que al terminar los 9 pasos sabremos perfectamente cómo es nuestra función.
• Dominio:
Son los valores de x que dan un valor real para y. Veamos distintos casos que se nos pueden presentar:
siendo
un polinomio
siendo
un polinomio
siendo
y
polinomios
siendo
un polinomio
• Paridad o Simetrias:
• Decimos que una función es par cuando es simétrica respecto al eje vertical, es decir, cuando
.
• Decimos que una función es impar cuando es simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir,
cuando
.
Las funciones que no son pares ni impares no tienen simetrías con respecto a los ejes
• Asíntotas:
Son las rectas tangentes a la gráfica en el infinito. Pueden ser de tres tipos:
• Asíntotas Verticales
1
Son paralelas al eje OY. Es decir se trata de ver para que valor finito de la variable x la y se va al infinito. Las
que nosotros conocemos son de dos tipos:
siendo
y
polinomios
siendo
un polinomio
Si
se anula en
son las asíntotas verticales
Las
que anulan al polinomio
hacen que y se valla a
, luego son asíntotas verticales.
En las fracciones es necesario además distinguir entre el comportamiento por la derecha y por la izquierda de
la asíntota. Para ello calculamos
• Asíntotas horizontales
Son paralelas al eje OX. Se trata de ver si la Y se queda fija para un valor de x. Para buscarlas se calcula:
;
Si estos límites son números reales (llamémoslo l), entonces y=l sería la asíntota horizontal.
• Asíntotas Oblicuas
Son de la forma
donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen, por lo que para calcularlas haremos lo siguiente:
donde tanto m como n han de ser números reales y además m no nula, ya que si fuera nula la recta sería
horizontal, por lo que las habríamos estudiado en el apartado anterior.
• Puntos de corte con los ejes:
Son los puntos en los que la gráfica de la función corta al eje OX o al eje OY.
OY cuando x=0
corta al eje
2
OX cuando y=0
• Signo de la función:
Se trata de encontrar las zonas en las que la función tiene signo positivo o negativo. Para determinar estas
zonas o intervalos debemos de tener en cuenta, dentro del dominio de la función, los puntos en que la curva
atraviesa al eje OX y las asíntotas verticales, pues solamente en uno de estos lugares la función puede cambiar
de signo.
Para ver el signo en cada uno de estos intervalos basta con sustituir en la función el valor de x por el de algún
punto del intervalo a estudiar.
• Máximos y Mínimos relativos de la función:
Los máximos son los puntos en que la función pasa de crecer a decrecer.
Los mínimos son los puntos en que la función pasa de decrecer a crecer.
Mirando a la gráfica observamos que en ambos casos hay una cosa común: la pendiente de la recta tangente es
0.
Por esto, para calcular los máximos y mínimos de una función derivamos la función e igualamos la función
derivada a cero. Para concretar si es máximo o mínimo derivamos otra vez y sustituimos en los puntos
obtenidos antes. Si el valor es positivo es mínimo; si es negativo es máximo.
Resolvemos
y obtenemos varios puntos
. Estos son los posibles máximos o mínimos.
Derivamos otra vez y sustituimos:
si
es mínimo
si
es máximo
En el caso de que
puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión. Para ver qué es seguimos derivando hasta que encontremos
una derivada (n−ésima) en la que
.
• Si n es par, entonces:
si
es mínimo
3
si
es máximo
• Si n es impar, entonces es punto de inflexión.
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Los puntos en los que una función puede pasar de crecer a decrecer o viceversa son los máximos, mínimos y
las asíntotas verticales.
Por esto, para estudiar el crecimiento consideramos el dominio dividido en intervalos por estos puntos. Ahora
solo nos falta ver que hace en un punto de cada uno de estos intervalos, pues lo que haga en un punto lo hará
en todo ese intervalo.
Como sabemos que la derivada de una función en un punto lo que nos da es la pendiente de la recta tangente a
nuestra curva en ese punto, tenemos que:
si
la función es creciente en dicho punto
si
la función es decreciente en dicho punto
• Puntos de inflexión:
Son puntos en los que la función pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa.
Una condición necesaria para que un punto sea punto de inflexión es que la segunda derivada se anule en él.
Por este motivo, para encontrarlos lo que haremos será calcular la segunda derivada de la función e igualarla a
cero. Si las soluciones de la ecuación
están en el dominio de nuestra función, dicha solución es punto de inflexión. Es decir, si n
es el punto de inflexión.
• Intervalos de concavidad y convexidad:
Decimos que una función es convexa si la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva está por encima
de la curva.
Decimos que una función es cóncava si la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva está por debajo de
la curva.
Dentro de una función puede haber intervalos cóncavos y convexos.
Una curva puede cambiar la concavidad dentro de su dominio siempre que halla un punto de inflexión o una
asíntota vertical, por lo que para determinar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función
consideramos su dominio dividido en intervalos por los puntos anteriores y estudiamos su comportamientos
en un punto de cada uno de estos intervalos, pues lo que haga en este punto lo hará en todo el intervalo.
Para estudiar la concavidad o convexidad en un punto calculamos la segunda derivada:
4
si
la función es cóncava en ese punto
si
la función es convexa en es punto.
5