UNIDAD II Fundamentos de la teoría de probabilidad Parte 2 Profesor: Abraham Gómez Avalos 1 Principios de conteo Principio de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existirán m x n formas de hacer ambas. Ejemplo El Sr. Antonio Caso tiene 20 camisas y 12 corbatas. ¿Cuántos juegos de camisa y corbata puede tener? (20)(12) = 240 Si ahora también le interesa incluir 8 pantalones que tiene, ¿Cuántos juegos de tres piezas (camisa, corbata y pantalón) puede formar? (20)(12) (8)= 1920 47 Principios de conteo Permutación: Es un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. El orden del arreglo es importante en las permutaciones. n! n P r ( n r )! Ejemplo Hay 12 jugadores en el equipo de básquetbol de la ESIME- Z. El director técnico Tomás Pérez debe escoger 5 jugadores de los 12 del equipo para formar su línea de inicio. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? Considerando que no puede colocar a cualquier jugador en cualquier posición. 12 P5 12! 95040 (12 5)! 48 Principios de conteo Combinación: Es un arreglo o disposición de r objetos elegidos de un grupo de n objetos sin importar el orden: n! nCr r! (n r )! Ejemplo Hay 12 jugadores en el equipo de básquetbol de la ESIME- Z. El director técnico Tomás Pérez debe escoger 5 jugadores de los 12 del equipo para formar su línea de inicio. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerlo? Si no interesa como se coloquen en la cancha. 12! 12C 5 792 5! (12 5)! 4 Principios de conteo Diagrama de árbol El diagrama de árbol es una representación gráfica útil para determinar el número de elementos del espacio muestral a partir de que se tiene un cierto número de grupos que serán considerados para ir eligiendo uno elemento de cada uno de ellos . También sirve para cálculo de probabilidades. Ejemplo En una bolsa que contiene 7 chips rojos y 5 chips azules, seleccionemos dos chips uno después del otro sin reemplazarlo. Elabore un diagrama de árbol mostrando esta información. 5 Principios de conteo Azul 1 (Rojo 1, Azul 1) Azul 2 (Rojo 1, Azul 2) Azul 3 (Rojo 1, Azul 3) Azul 4 (Rojo 1, Azul 4) Azul 5 (Rojo 1, Azul 5) Azul 1 Rojo 5 Azul 5 . . . Azul 1 . . . . . . . . . (Rojo 7, Azul 1) Rojo 6 Azul 2 (Rojo 7, Azul 2) Azul 3 (Rojo 7, Azul 3) Azul 4 (Rojo 7, Azul 4) Azul 5 (Rojo 7, Azul 5) Ejemplo (Continuación) Rojo 1 Rojo 2 Azul 2 Rojo 3 Azul 3 Azul 4 Rojo 4 Rojo 7 51 Principios de conteo 1. Ejercicios Para instalar un café Internet se requiere de comprar las computadoras, las sillas y los escritorios, si en la tienda Office Point se disponen de cinco marcas diferentes de computadoras, 8 tipos diferentes de sillas y dos modelos de escritorios. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir una marca de computadora, un tipo de silla y un modelo de escritorio? R=80 2. Un sistema de cómputo tiene una contraseña que consiste de cinco letras, no repetidas ¿Cuántas contraseñas son posibles? Si ahora las letras van seguidas de dos dígitos. ¿Cuántas contraseñas son posibles? (El abecedario español contiene 27 letras) R= a) 9,687,600. b) 871,884,000 3. ¿Cuántas placas de automóvil de uso particular en la Ciudad de México se pueden formar si cada placa consta de una letra seguida de dos dígitos y finalmente seguido de tres letras? (Considerar 26 letras, se elimina la ñ) R= 36,504,000 52 Principios de conteo Ejercicios (Continuación) 4. Para viajar de la Ciudad de México a Veracruz existen 3 caminos y de Veracruz a Tabasco hay 4 caminos, Determine el número de formas en que puede viajar una persona de México a Tabasco, si tiene que pasar primero por Veracruz. Utilice un diagrama árbol. R4=12 5. Se pide tomar seis números a la vez de un total de 44, Calcular cuantas combinaciones son posibles hacer si el orden no es importante. R5=7,059,052 6. Se desea formar un comité de cinco personas de un grupo de 20. a) ¿Cuántos comités se pueden formar? b) Si en el grupo hay tres hermanos, ¿de cuántas maneras se puede formar el comité, si deben estar dos de los hermanos? R6= a) 15,504. b) 2,040 53 Principios de conteo Ejercicios (Continuación) 7. En una fundidora se identifica un lote de 20 bloques de motor, de los cuales cinco contienen defectos internos. El comprador selecciona una muestra de tres bloques al azar para revisarlos. a) ¿Cuántas muestras se pueden obtener? Independientemente de si hay o no defectuosos. b) ¿Cuántas muestras con un bloque defectuoso se pueden obtener? R7= a) 1,140. b) 525 8. Si se tienen 5 líneas de transmisión identificadas como A, B, C, D y E, ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar en serie? R8= 120 9. Un examen de probabilidad y estadística está formado por tres temas, el tema A contiene seis preguntas, el tema B cuatro y el tema C ocho preguntas, y se tiene que contestar tres preguntas de cada tema, calcular de cuántas maneras diferentes se puede presentar el examen para un estudiante. R9= 4,480 9 PROBABILIDAD CONDICIONAL Definición: Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio muestral S, tales que P(B)≠0, la probabilidad condicional del evento A dado que ya ocurrió el evento B esta dada por: P( A B) P ( A B) P( B) Observación: La probabilidad P(A|B) es una actualización de P(A) basado en el conocimiento de que ya ocurrió el evento B. Bajo esta condición en un espacio muestral discreto S, cuando se da la probabilidad condicional se observa que el espacio muestral se “reduce” a sólo los resultados de B con los de A. 10 PROBABILIDAD CONDICIONAL Ejemplo: La probabilidad de que un automóvil pase la verificación es de 0.87, la probabilidad de que un automóvil esté en buenas condiciones mecánicas es de 0.7 y la probabilidad de que un automóvil pase la verificación estando en buenas condiciones mecánicas es de 0.63 ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil: a) pase la verificación, dado que está en buenas condiciones mecánicas? P(V|B) =0.63/0.7=0.9 b) no pase la verificación, dado que está en buenas P(V |B) =0.07/0.7=0.1 condiciones mecánicas? c) no pase la verificación, sabiendo que no está en buenas condiciones mecánicas? P(V |B ) =0.06/0.3=0.2 C C C 11 Ejercicio de Probabilidad Condicional Una cuarta parte de los residentes del fraccionamiento Los Laureles Verdes dejan abiertas las puertas de su cochera cuando salen de su casa. El jefe de policía local calcula que en 5% de las cocheras cuyas puertas se dejan abiertas se roban algún objeto, pero solamente en 1% de las cocheras cuyas puertas se quedan cerradas se han robado algo. a) Si los delincuentes roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado P(CA|R) =0.625 abiertas? b) Si los delincuentes no roban una cochera, ¿cuál es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado cerradas? P(CC|R )=0.7577 c 12 Regla de Multiplicación Teorema: Si A y B son dos eventos en un espacio muestral S, entonces P ( A B ) P ( A) P ( B A) si P ( A) 0 P ( B ) P ( A B ) si P ( B ) 0 Ejemplo: En una caja se tienen diez rollos de película fotográfica, tres de los cuales están defectuosos. Se seleccionan dos rollos, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo con defecto seguido de otro también defectuoso? Sea A: el evento de elegir el primer rollo defectuoso; P(A)=3/10 Sea B: el evento de elegir el segundo rollo defectuoso; P(B|A) =2/9 P(A∩B) = 3/10*2/9=0.07 13 Ejercicio de la Regla de Multiplicación En la Aerolínea United se sabe que la probabilidad de que un vuelo programado, normalmente salga a tiempo es de 0.93; la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.90 y la probabilidad de que haya salido a tiempo dado que llegó a tiempo es de 0.944. Encuentre la probabilidad de que un vuelo de esa compañía: a) Salga a tiempo y llegue a tiempo, b) No salga a tiempo y no llegue a tiempo, Respuestas a) P(ST ∩ LT)= 0.8496 b) P(STc ∩ LTc)= 0.0196 14 Eventos Independientes Definición: Dos eventos independientes si y sólo si A y B son eventos P( A B) P( A) P( B A) P( B) Teorema: A y B son eventos independientes si y sólo si P(A∩B) = P(A)·P(B) Ejemplo: Durante un lanzamiento espacial, el sistema de cómputo primario está respaldado por un sistema secundario. Estos sistemas funcionan uno con independencia del otro y cada uno tiene una confiabilidad del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sistemas sean funcionales en el momento del lanzamiento? Respuesta: P(Sp∩Ss) =0.81 15 Ejercicio de eventos independientes En un proceso de fabricación de plasmas, se presenta un defecto de tipo D1 con una probabilidad de 0.03 y un defecto de tipo D2 con probabilidad de 0.02. Si existe independencia entre los dos tipos de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Un artículo sea defectuoso? b) Un artículo no tenga ambas clases de defectos? c) Tenga el defecto D1 y no el defecto D2? Respuestas: a) P(D1υD2) =0.0494, b) P[(D1∩D2)c] =0.9994, c) P(D1∩D2c) =0.0294 16 Particiones de eventos Dado A un evento de un espacio muestral S y A1, A2,…, An sub eventos de A, los cuales forman una familia A ={ A1, A2,…, An } de eventos, se dice que A forma una partición de eventos de A, si los sub eventos dados cumplen con: 1) Para todo k є In se cumple que Ak ≠ Ø, donde In ={1, 2, …,n} 𝑛 2) 𝑨= 𝐴𝑖 𝑖=1 3) Para cualesquiera eventos Ai y Aj con i, j єIn, se cumple que Ai = Aj o Ai ∩ Aj = Ø 17 Ejemplo de particiones de eventos Dado el experimento de lanzar tres monedas al aire, al mismo tiempo y observar la cara que cae hacia arriba. Determine el espacio muestral, construya una partición para el espacio muestral. Ejercicio de particiones de eventos Sea el experimento de elegir al azar dos resistencias de un grupo de tres y un capacitor de un grupo de cuatro. Determine el espacio muestral, construya una partición para el espacio muestral. 18 Ley de Probabilidad Total Dado un conjunto de eventos A1, A2, , … ,An una partición del evento A, con A S, la probabilidad del evento A se expresa como: 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑨𝟏 ∙ 𝑷 𝑨 𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 ∙ 𝑷 𝑨 𝑨𝟐 + ⋯ + 𝑷 𝑨𝒏 ∙ 𝑷 𝑨 𝑨𝒏 usando la regla de la multiplicación 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑨𝟏 𝑨 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑨 + ⋯ + 𝑷 𝑨𝒏 𝑨 Ejemplo: En cierta planta de ensamble, tres máquinas M1, M2 y M3 montan el 33%, 46% y 21% de los productos, respectivamente. Por la experiencia pasada, se sabe que el 2%, 3% y 4% de los productos ensamblados por cada máquina respectivamente tienen defectos. Supongamos que en forma aleatoria se elige un producto terminado, ¿Cuál es la probabilidad de que éste sea defectuoso? 19 Ley de Probabilidad Total Definamos los eventos: D: Producto defectuoso, Mi: Producto ensamblado por la máquina i. Datos: P(M1)=0.33, P(M2)=0.46, P(M3)=0.21, P(D|M1)=0.02, P(D|M2)=0.03 y P(D|M3)=0.04 Se requiere P(D), donde: P(D)= P(M1)P(D|M1)+ P(M2)P(D|M2) + P(M3)P(D|M3) = =0.33 0.02+0.46 0.03+0.21 0.04 P(D)= 0.0288 20 Teorema de Bayes Si B1, B2, , … ,Bk son k eventos de un espacio muestral S tal que es una partición de S, entonces para cualquier evento A de S, con P(A)≠0 se cumple: P( Br A) P( Br ) P( A Br ) k P( B ) P( A B ) i 1 i i A partir de una probabilidad previa P(Br) del evento Br que es incondicional; la probabilidad posterior P(Br|A) es condicional, dado el resultado empírico del evento A. Considerando la Regla de Multiplicación 𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴 𝑃 𝐵𝑟 𝐴 = 𝑘 𝑖=1𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴 21 Teorema de Bayes Para dos eventos A y B, el teorema de Bayes es: P( A B) P( B) P( B A) P( A B) P( B) P( A B C ) P( B C ) Considerando la Regla de Multiplicación 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴 𝑃 𝐵𝐴 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴 + 𝑃(𝐵𝐶 ∩ 𝐴 22 Teorema de Bayes Ejemplo: El departamento de producción de Sony Inc. informó que de sus 250 empleados, 130 fuman, 150 son hombres y de ellos 85 son fumadores. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sí se elige un empleado y es fumador, este sea hombre? 85 250 𝑃(𝐻 ∩ 𝐹 85 𝑃 𝐻𝐹 = = = = 0.6538 85 45 𝑃(𝐻 ∩ 𝐹 + 𝑃𝑃(𝑀 ∩ 𝐹 130 + 250 250 b) Elaborar la tabla de contingencia para calcular la probabilidad de que sí seleccionamos un empleado al azar este sea mujer. F NF Total H 85 65 150 M 45 55 100 Total 130 120 250 P(M) = 100/250 = 0.4 23 Teorema de Bayes Ejemplo: (continuación) c) ¿Cuál es la probabilidad de que sí seleccionamos un empleado al azar, éste sea mujer dado que no es fumador? P(M|NF) = 55/120 = 0.4583 d) ¿Cuál es la probabilidad de que sí seleccionamos un empleado al azar, éste sea fumador dado que es mujer? P(F|M) = 45/100 = 0.45 24 Ejercicio de Teorema de Bayes En la empresa Euzkadi se trabajan tres turnos: el diurno, el mixto y el nocturno. El turno diurno produce 40% de la producción total de la empresa, en tanto que el mixto produce el 35% y el nocturno el 25%. Históricamente los porcentajes de rechazo que producen estos turnos son de 5%, 10% y 20% respectivamente. Si se producen 10,000 llantas por día, determine lo siguiente: a) ¿Qué probabilidad hay de que al elegir una llanta en un día determinado, ésta se encuentre defectuosa? b) ¿Qué probabilidad hay de encontrar una llanta no defectuosa? c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una llanta defectuosa, si se sabe que es del turno nocturno? d) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una llanta del turno mixto, dado que es defectuosa? 25 Ejercicio de Teorema de Bayes Tabla de contingencia Di M N Total D 200 350 500 1050 ND 3800 3150 2000 8950 Total 4000 3500 2500 10000 Respuestas a) P(D)= 0.105 b) P(ND)= 0.895 c) P(D|N)= 0.2 d) P(M|D)= 0.333 26 Ejercicio de Teorema de Bayes En una bodega se encuentra un contenedor con pantallas LCD de tres marcas Panasonic, Sony y LG en dos tamaños 32” y 40”. El contenedor tiene 65 pantallas Panasonic, de las que el 60% son de 32”, 40 pantallas Sony de las que el 45% son de 32” y 25 pantallas LG de las que el 80% son de 40”. Con base en la información anterior, determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sí tomamos una pantalla al azar ésta sea de 32”? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sí tomamos al azar una pantalla de 40” ésta sea de la marca Sony? c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una pantalla de la marca Panasonic o LG, dado que es de 32”? Respuestas a) P(32)=0.4769, b) P(S|40)=0.3235, c) P(PALG|32)=0.7097 27 Ejercicio de Teorema de Bayes Suponga que el total de los artículos producidos en una fábrica se elaboran en cuatro máquinas A1, A2, A3 y A4. La máquina A1 produce el 30% del total de los artículos, la máquina A2 produce el 20%, la máquina A3 el 35% y la máquina A4 el 15%. Además, se sabe que el 2%, 1%, 4% y 2% de los artículos producidos por las máquinas A1, A2, A3 y A4 respectivamente son defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo seleccionado al azar de la producción total sea defectuoso? b) Si un artículo seleccionado es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya producido la máquina A2? c) Si un artículo es de la máquina A1, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? Respuestas a) P(D) =0.025, b) P(A2|D)=0.08, c) P(DC|A1)=0.98 28 Confiabilidad de sistemas La tarea de diseñar y supervisar la manufactura de un producto, así como la prestación de un servicio se pueden considerar como sistemas complejos; integrados por subsistemas que pueden estar en paralelo, en serie o mixtos. La confiabilidad de un sistema es la probabilidad de que funcione dentro de los límites dados, al menos durante un periodo determinado, en condiciones ambientales específicas. C4 C2 C1 C5 C7 C8 C3 C6 29 Confiabilidad de sistemas Un sistema en serie esta caracterizado por el hecho de que todos sus componentes están relacionados de tal manera que el sistema completo deja de funcionar si alguno de sus componentes falla; un sistema en paralelo sólo deja de funcionar si todos sus componentes fallan. Para el caso de un sistema de “n” componentes independientes conectados en serie. C1 C2 C3 C4 ... Cn Definimos como Ri: la confiabilidad del i-ésimo componente Ci. y Rs: la confiabilidad del sistema en serie. Entonces Rs = P( funcione C1 y funcione C2 y … y funcione Cn ) = P( funcione C1) P( funcione C2) … P( funcione Cn) = Rs = ( R1 ) (R2 ) … (Rn ) 30 Confiabilidad de sistemas Producto de confiabilidades Teorema. La confiabilidad Rs de un sistema en serie con “n” componentes independientes, cado uno con confiabilidad Ri está dado por n Rs Ri i 1 Ejemplo: Consideremos un sistema en serie que consta de 4 componentes independientes, cada uno de los cuales tiene una confiabilidad de 0.97 ¿Cuál es la confiabilidad del sistema? Rs= (0.97)4= 0.8853 Se puede observar que la confiabilidad del sistema en serie disminuye a 0.8853, no obstante que la confiabilidad de cada componente es de 0.97, por lo que si el número de componentes en el sistema aumenta la confiabilidad disminuye. 31 Confiabilidad de sistemas Una forma de incrementar la confiabilidad de un sistema consiste en reemplazar ciertos componentes por otros conectados en paralelo. Definimos Rp: confiabilidad del sistema en paralelo, 1- Rp la probabilidad de que el sistema en paralelo falle, 1- Ri la probabilidad de que el componente Ci falle, así que: 1- Rp = P( no funcione C1 y no funcione C2 y … y no funcione Cn ) = = P( no funcione C1 ) P( no funcione C2 ) … P( no funcione Cn) = 1- Rp = (1 - R1 ) (1 - R2 ) … (1 - Rn). Producto de inestabilidades Teorema. La confiabilidad Rp de un sistema en paralelo con “n” componentes independientes, cada uno con confiabilidad Ri, está dada por: n R p 1 (1 R i ) i 1 32 Ejemplo Confiabilidad de sistemas Ejemplo: Un fabricante de ipod’s compra los componentes electrónicos principales como módulos (A, B y C). Las confiabilidades de los módulos son 0.98, 0.90 y 0.99 respectivamente, la configuración de éstos está representada en el siguiente diagrama. B A C ¿Cuál es la confiabilidad del sistema? Respuesta: RT=0.97902 33 Ejercicio Confiabilidad de sistemas El siguiente diagrama representa un sistema digital de video con ocho componentes e indicando su confiabilidad . Encuentre la confiabilidad del sistema. 0.70 0.75 0.95 0.99 0.70 0.90 0.75 0.70 Respuesta: RT=0.7721 34