Física 2BA. Unitat 2. Els planetes i els satellits

2 | Els planetes i els satèl·lits
Des de l’antiguitat més llunyana, l’ésser humà s’ha esforçat per conèixer i comprendre l’univers, però ha hagut
de passar la major part de la història de la humanitat
perquè hagi arribat a copsar de la magnitud descomunal que té.
Ara sabem que el Sol és un dels estels d’una galàxia, la Via
Làctia, que conté uns dos-cents mil milions d’estels. Les
dimensions de la nostra galàxia són tan grans que el diàmetre que té és, aproximadament, una longitud igual a la
distància que la llum recorre en mil segles! En els viatges
espacials realitzats per astronautes en la segona meitat
del segle xx, la distància màxima a la qual una persona
s’ha allunyat de la Terra correspon a la que recorre la llum
en menys de dos segons. Comparant aquestes dades
queda palès que la Via Làctia té una extensió extremadament desproporcionada per a nosaltres.
Tot i això, a escala còsmica, una galàxia és insignificant, ja
que a l’univers n’hi ha centenars de milers de milions.
D’altra banda, ens hem de preguntar per què es formen
les galàxies i tots els astres que les contenen, com s’explica el moviment que presenten, si és possible viatjar
des de la Terra a uns altres astres de la nostra galàxia,
quina seria la manera més efectiva de fer-ho...
En el fons de les respostes a aquestes preguntes i a d’altres de similars es troba sempre la força que governa la
formació i el moviment dels astres i les galàxies: la força
de la gravetat. Conèixer-la és, doncs, essencial per comprendre i explorar l’univers.
En aquesta unitat abordarem l’estudi teòric de la força
de la gravetat a partir de la mecànica clàssica i aplicarem
els coneixements obtinguts després als planetes i satèl·
lits del sistema solar i a la navegació espacial.
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 1
7/4/09 11:42:42
2 | Els planetes i els satèl·lits
C O N E I X E M E N T S P R E V I S D E M AT E M À T I Q U E S
Cercles màxims d’una esfera
La intersecció d’una esfera amb un pla que la talla és sempre un cercle.
Si el pla passa pel centre de l’esfera, el radi del cercle és el més gran possible,
i per això s’anomena cercle màxim.
El radi d’un cercle màxim és igual al radi de l’esfera.
L’el·lipse. Focus d’una el·lipse
L’el·lipse és la línia formada pels punts la suma de distàncies dels
quals a dos punts fixos, anomenats focus, és constant.
B
P
b
Els segments PF i PF’ que uneixen un punt de l’el·lipse amb els
focus s’anomenen radis vectors.
L’el·lipse té dos eixos de simetria perpendiculars entre ells, AA’
(eix major) i BB’ (eix menor), i un centre de simetria, O, en el punt
en què es tallen.
A’
F’
O
B
F’
ε=0:c=0
F’
F
ε = 0,6
A’
F’
A’
F’
F’
c
O
F
A
B’
F
ε = 0,8
P
a
b
B’
En la figura següent es veu que el valor de l’excentricitat
afecta la
forma d’una el·lipse.
F
A
B’
Les longituds de OA (semieix major), OB (semieix menor) i OF
(semieix focal) es designen respectivament amb a, b i c.
B
P
Aquestes tres longituds compleixen: a2 = b2 + c2.
La suma dels dos radis vectors de qualsevol punt de l’el·lipse és:
PF + PF’ = 2a.
A’ F’
F A
cO
L’excentricitat d’una el·lipse és el quocient ε = .
a
El seu valor pot variar entre 0 i 1: 0 ≤ ε ≤ 1.
F
F’
F
ε=1:c=a
Quan l’excentricitat és nul·la es compleix que c = 0; per tant, els dos focus es confonen en un sol punt: el
centre. L’el·lipse és, en aquest cas, una circumferència de radi a.
Quan l’excentricitat és 1 es compleix que c = a; per tant, els focus coincideixen amb els extrems de l’eix
major. L’el·lipse es transforma en aquest cas en el segment AA’.
2
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 2
7/4/09 11:42:57
Els planetes i els satèl·lits | 2
1 | L’esfera celeste
Quan mirem el cel, el veiem com una cúpula immensa que ens envolta.
Durant el dia apareix d’un color blau lluminós i hi podem veure el Sol i, en
molts moments, la Lluna. A la nit, aquesta cúpula és gairebé negra, és
plena de punts brillants que anomenem estels i també s’hi sol veure la
Lluna. Tots aquests cossos que podem contemplar al firmament reben el
nom genèric d’astres.
Per representar les direccions en què es veuen els diversos astres del firmament, independentment de la distància a què es troben de nosaltres, en
astronomia es defineix l’esfera celeste. És una esfera imaginària tan gran
que, comparada amb ella, la Terra es pot considerar un punt. Precisament en
aquest punt imaginem situat el centre O de l’esfera celeste (Fig. 1). Nosaltres,
com que som a la Terra, observem el firmament des del punt O i veiem els
astres com si estiguessin situats en la superfície de l’esfera celeste.
Per exemple, si mirem des de O els astres a i b, la llum que prové d’aquests
astres ens arriba en les direccions dels segments Oa i Ob, anomenats
visuals de a i de b.
a
b
A
B
O
1.Si la Terra es redueix al punt O, per a un
observador que hi està situat a sobre, les
posicions aparents dels astres a i b són
els punts A i B en la superfície de l’esfera
celeste.
L’angle central AOB corresponent a l’arc
de cercle màxim AB expressa la distància
angular entre els dos astres.
Veiem els astres a i b que apareixen representats en la figura 1 com si
ocupessin les posicions A i B de l’esfera celeste (interseccions de la superfície de l’esfera amb les visuals Oa i Ob).
Els punts A i B s’anomenen posicions aparents dels astres a i b. L’angle central
AOB, que és el valor angular de l’arc de cercle màxim AB, s’anomena distància
angular entre els astres a i b. Per mitjà d’aquestes distàncies angulars determinem les posicions aparents relatives d’uns astres respecte d’uns altres.
Quan obser vem el firmament des d’un terreny per fectament pla, lògicament només podem veure la meitat de l’esfera celeste.
Z
La circumferència NESW de la figura 2, anomenada horitzó astronòmic, és
la intersecció de l’esfera celeste amb el pla horitzontal del lloc des del qual
obser vem el cel. Els seus punts N, S, E i W, són els anomenats punts car·
dinals: nord, sud, est i oest.
La meitat de l’esfera celeste situada per damunt del horitzó astronòmic és
la que podem veure en la totalitat si no ens ho priven obstacles com ara
cases, muntanyes, etc. La semiesfera situada per sota de l’horitzó astronòmic és la zona no visible.
El punt de l’esfera celeste més alt per a nosaltres és el que es troba en la
ver tical sobre el nostre cap. Correspon al punt Z de la figura i s’anomena
zenit. El punt Z’, oposat al zenit en l’esfera celeste, es troba en la zona no
visible i és el nadir.
La circumferència EQWQ’, intersecció de l’esfera celeste amb el pla de
l’equador de la Terra, rep el nom d’equador celeste. Talla l’horitzó astronòmic en els punts est i oest.
El segment PP’, perpendicular al pla de l’equador, és l’eix de rotació de la
Terra i s’anomena eix del món. Les seves interseccions amb l’esfera celeste són els punts P, pol nord celeste, i P’, pol sud celeste.
La majoria dels estels són tan lluny de nosaltres que el moviment relatiu
dels uns respecte dels altres resulta imperceptible. Diem que són estels
fixos.
Q
P
E
N
S
W
P’
Q’
Z’
Figura 2.
PP’: eix del món
P: pol nord celeste
P’: pol sud celeste
ZZ’: vertical del lloc d’observació
Z: zenit
Z’: nadir
Circumferència NESW: horitzó astronòmic
N: punt nord
S: punt sud
E: punt est
W: punt oest
Circumferència EQWQ’: equador celeste
3
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 3
7/4/09 11:43:01
2 | Els planetes i els satèl·lits
Per facilitar-ne la identificació unim amb segments rectilinis els estels més
destacats per formar diverses figures imaginàries. Aquestes agrupacions
d’estels són les constel·lacions. Algunes de les constel·lacions més fàcils
de reconèixer son: l’Óssa Major, Cassiopea, Orió, el Cigne, la Lira,
Andromeda i Pegàs.
Si dirigim un telescopi cap a un estel i el mantenim fix, obser varem que al
cap de poca estona l’astre desapareix del camp visual. La fotografia de la
figura 3 ens mostra el que passa: tots els estels descriuen un moviment
circular.
Podem imaginar que els estels estan fixos sobre la super fície de l’esfera
celeste i que és l’esfera qui fa el moviment de rotació.
3. Aquesta fotografia del cel nocturn,
realitzada amb llarga exposició, mostra
clarament el moviment circular dels estels.
El centre de totes les circumferències que
descriuen és el pol nord celeste.
Aquest moviment és circular uniforme. Es produeix de manera que l’esfera
celeste fa una volta completa cada 24 hores al voltant de l’eix del món i
s’anomena moviment diürn.
Per a una persona situada a l’hemisferi nord , el sentit de rotació de l’esfera celeste és el mateix en què giren les agulles d’un rellotge: l’anomenat
sentit retrògrad.
En la figura 4 es pot veure el moviment diürn de tres astres sobre l’esfera
celeste. Un està situat a l’hemisferi nord celeste, un altre a l’equador celeste i el tercer a l’hemisferi sud celeste.
Els astres són visibles quan es troben en la zona situada sobre l’horitzó
astronòmic. Hem assenyalat aquesta par t de les seves òrbites emplenantla de groc.
Z
P
S1
N
S2 S3
P1
P2
S
P3
P’
Z’
4. Moviment diürn de tres astres.
La rotació de l’esfera celeste, en sentit
retrògrad, com indica la fletxa, fa que els
astres descriguin les circumferències en
vermell, en plans paral·lels entre si i
perpendiculars a l’eix del món PP’.
El primer, a l’hemisferi nord celeste, surt a
S1 i es pon a P1; la major part del temps
està en zona visible, sobre l’horitzó
astronòmic.
El segon, a l’equador celeste, surt a S2 i
es pon a P2 ; està 12 hores en zona visible
i 12 hores en zona no visible.
El tercer, a l’hemisferi sud celeste, surt a
S3 i es pon a P3; la major part del temps
està en zona no visible, sota l’horitzó
astronòmic.
5. Trajectòria del sol a prop del pol nord a l’estiu. Aquest sol que no arriba a pondre’s es
coneix com a sol de mitjanit.
4
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 4
7/4/09 11:43:05
Els planetes i els satèl·lits | 2
2 | El sistema solar des de la Terra
Acabem de veure que els estels fixos, com que estan immòbils amb referència a l’esfera celeste, tenen el mateix moviment que l’esfera (moviment
diürn).
Z
P
Això és el que passa amb els astres del sistema solar, entre els quals els
més fàcilment observables a ull nu són el Sol, la Lluna i els planetes Venus,
Mar t, Júpiter i Saturn. Cap d’ells no és un astre fix, ja que cada un té mo­­­
viment propi en relació a l’esfera celeste. Vegem com són aquests
moviments.
El Sol, en el seu moviment propi, recorre cada any la circumferència corresponent a un cercle màxim de l’esfera celeste. Aquesta trajectòria s’anomena eclíptica i el Sol la descriu en sentit directe (contrari al de les agulles del
rellotge, tal com indica la fletxa de la figura 6). El pla de l’eclíptica forma un
angle de 23º 27’ amb el pla de l’equador.
Q
S
Però hi ha uns astres més propers que no mantenen una posició fixa de
l’esfera celeste, sinó que s’hi desplacen (moviment propi).
El moviment que resulta d’aquests astres és, per tant, la superposició de
dos moviments simultanis: el diürn (de l’esfera celeste) i el propi (de l’astre
respecte de l’esfera celeste).
σ
γ’
N
S
γ
P’
Q’
σ’
Z’
6. Al llarg d’un any el Sol (S) recorre en
sentit directe un cercle màxim de l’esfera
celeste: l’eclíptica.
Les interseccions de l’eclíptica amb
l’equador celeste són el punt Àries o
equinocci de primavera (g) i el punt
Balança o equinocci de tardor (g’).
Cal distingir clarament el moviment propi del Sol del seu moviment diürn.
Pel moviment diürn, el Sol sur t cada matí, es desplaça pel cel fins que
assoleix l’altura màxima sobre l’horitzó i es pon al capvespre. Podem imaginar que aquest moviment és el de l’esfera celeste, que arrossega el Sol
amb ella.
Pel seu moviment propi, el Sol no està fix sobre l’esfera celeste, sinó que s’hi
desplaça recorrent l’eclíptica. Aquest moviment és moltíssim més lent que
el diürn, ja que triga un any a completar una volta. Però, en períodes de diversos dies o setmanes, té uns efectes clarament perceptibles, ja que altera la
posició de la sortida i de la posta del Sol, i també la durada del dia.
El moviment diürn del Sol té sentit retrògrad i dóna lloc a les diverses parts
del dia, com són el matí, la tarda i la nit.
El moviment propi té sentit directe i dóna lloc a les quatre estacions de
l’any.
7. La sortida del Sol sobre el mar mostra
la intersecció del moviment propi de
l’astre amb l’horitzó astronòmic.
Obser va en la figura 6 els punts g, g’, σ i σ’ de l’eclíptica.
El punt g conegut com el punt Àries, es troba en la intersecció de l’eclíptica
amb l’equador celeste i és un punt de referència impor tant en astronomia.
Els punts g, g’, σ i σ’ divideixen l’eclíptica en quatre arcs iguals de 90º. El
pas del Sol per aquests punts determina l’inici de les quatre estacions de
l’any, per la qual cosa reben les denominacions següents :
Punt Àries g: equinocci de primavera.
σ: solstici d’estiu.
g’: equinocci de tardor.
σ’: solstici d’hivern.
La Lluna, com tots els astres, es desplaça amb l’esfera celeste en el seu
moviment diürn descrivint cada dia una circumferència al voltant de l’eix del
5
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 5
7/4/09 11:43:08
2 | Els planetes i els satèl·lits
món. Però té, a més, un moviment propi pel qual recorre en 27,32 dies, en
sentit directe, la circumferència corresponent a un cercle màxim de l’esfera
celeste. La trajectòria de la Lluna no es troba en el mateix pla que l’eclíptica, sinó que hi forma un petit angle de 5º, aproximadament.
Una conseqüència dels moviments propis del Sol i de la Lluna és que cada
29,53 dies hi ha pleniluni o lluna plena, és a dir, podem veure totalment
il·luminada la cara visible del nostre satèl·lit.
8. Projector d’un planetari.
Sobre la cúpula semiesfèrica, que
representa la zona visible de l’esfera
celeste, es projecten les imatges dels
astres tal com es veurien en qualsevol
hora, data i lloc de la superfície terrestre.
Se’n reprodueix també el moviment,
accelerant-lo convenientment per tal de
poder-lo observar en un període de temps
curt.
El planetes del sistema solar tenen un moviment propi amb unes trajectò­
ries que, obser vades des de la Terra, són complicades. En la figura 8 es
poden veure, projectades en un planetari, les imatges de la trajectòria descrita per Mar t al llarg de diversos anys.
3 | Sistema de referència heliocèntric
En lloc de considerar els moviments dels planetes vistos des de la Terra, és
molt convenient referir-los al Sol. Per això s’utilitza un sistema de referèn·
cia heliocèntric, és a dir, amb l’origen de coordenades al centre del Sol;
d’aquesta manera, el moviment dels planetes se simplifica enormement.
Johannes Kepler (1571-1630) va determinar que tots els planetes des­
criuen el·lipses amb el Sol en un dels seus focus.
Les òrbites de la majoria dels planetes del sistema solar tenen una excentricitat petita; són gairebé circumferències. Però les òrbites de Mercuri i del
planeta nan Plutó tenen més excentricitat (0,206 i 0,249). Tot i això, si
dibuixéssim l’òrbita de Plutó amb el seu eix major de més de 10 cm, l’eix
menor mesuraria 9,7 cm; tan sols 3 mm menys. A primera vista aquesta
òrbita també ens semblaria una circumferència.
9. Trajectòria d’un planeta del sistema
solar en l’esfera celeste, projectades en
un planetari sobre un fons d’estels fixos.
23º 27’
La Terra descriu al voltant del Sol una el·lipse d’excentricitat molt petita
(0,017). En la figura 10 no ho sembla, perquè se suposa que es veu en
perspectiva. Però hi ha un detall que ho indica: el Sol, en un dels focus de
l’el­lipse, apareix pràcticament al centre.
La Terra té, a més, un moviment de rotació al voltant de la recta que passa
pels pols (eix del món). En aquest moviment tots els punts del nostre planeta descriuen circumferències paral·leles a l’equador. És per això que
diem que el pla de rotació de la Terra és el pla de l’equador.
D’altra banda, el moviment de translació de la Terra al voltant del Sol, vist
des del nostre planeta, es conver teix en el moviment propi del Sol sobre
l’eclíptica. No es tracta de dos moviments diferents, sinó d’un de sol, però
descrit des de dos sistemes de referència diferents. Així doncs, l’òrbita de
la Terra al voltant del Sol és en el pla de l’eclíptica.
10. L’eix de rotació de la Terra no és
perpendicular a la seva òrbita al voltant del
Sol. Forma un angle de 23º 27’ amb la
perpendicular.
Els plans dels dos moviments de la Terra no coincideixen, sinó que formen
un angle de 23º 27’, tal com s’ha assenyalat en explicar els elements de
l’esfera celeste. Com que l’angle de dos plans és el que formen les perpendiculars a tots dos, en la figura 10, l’angle de l’equador i l’eclíptica apareix
com el que forma l’eix del món (perpendicular a l’equador) amb la perpendicular al pla de la òrbita terrestre (pla de l’eclíptica).
6
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 6
7/4/09 11:43:11
Els planetes i els satèl·lits | 2
Els planetes no giren al voltant del Sol en el mateix pla que la Terra. Les
seves òrbites tenen certa inclinació respecte de l’òrbita terrestre (Fig. 11).
Aquesta inclinació és petita, llevat del cas de Mercuri, en què és de 7º, i en
el de Plutó, en què supera els 17º.
La forma estranya de les òrbites planetàries vistes des de la Terra (Fig. 9)
es comprèn si es té en compte que es tracta d’un cos que descriu una el·
lipse, vist des d’un altre cos (la Terra) que està recorrent una el·lipse diferent, en un altre pla i amb velocitat diferent.
La Lluna descriu, també, una trajectòria el·líptica de petita excentricitat
(0,055) al voltant del nostre planeta.
L’òrbita de la Lluna respecte de la Terra no es troba en el mateix pla que la de
la Terra respecte del Sol, ja que forma amb ella un angle d’uns 5º (Fig. 12).
Malgrat la diversitat que presenten, les òrbites dels planetes i dels seus
satèl·lits tenen alguna cosa en comú: totes són el·lipses. Això s’explica per
la força que governa el moviment dels astres: la força de la gravetat.
L’estudi de les òrbites va por tar Newton al coneixement de les propietats
d’aquesta força, la naturalesa de la qual continua sent objecte d’investigació en els nostres dies.
11. Tots els planetes descriuen el·lipses al
voltant del Sol. Es tracta d’òrbites de
diferent longitud i excentricitat, estan en
plans diferents i no són recorregudes amb
la mateixa velocitat.
Lluna
Sol
So
ol
5º
5º
Terra
12. L’òrbita de la Lluna al voltant de la Terra està una mica inclinada respecte del pla de
l’eclíptica.
4 | Llei de la gravitació universal
Al segle xvii, Isaac Newton, par tint del seus coneixements sobre el moviment dels cossos —expressats en les tres lleis de la Dinàmica—, va trobar
la manera de calcular la força d’atracció gravitatòria entre la Terra i la Lluna.
I, a més, va tenir l’encert de generalitzar-la a tots els cossos en l’anomenada llei de Newton de la gravitació universal.
Segons aquesta llei, la intensitat de la força d’atracció entre dues par tícules de masses m i m’ separades per una distància r és:
F =G
m m'
r2
G és una constant anomenada constant de gravitació universal.
7
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 7
7/4/09 11:43:20
2 | Els planetes i els satèl·lits
La llei de Newton permet calcular la força d’atracció entre par tícules, és a
dir, entre cossos de mida negligible enfront de la distància que els separa.
Però també es pot aplicar a cossos de forma esfèrica i densitat uniforme
(de densitat igual en tots els punts), considerant r la distància entre els
seus centres.
Newton no va arribar a determinar la constant de gravitació universal, tot i
que tenia una idea aproximada del seu valor. Va ser el físic i químic anglès
Henry Cavendish qui ho va fer l’any 1798. Amb aquesta finalitat va haver de
detectar i mesurar la petitíssima força amb la qual dues boles de plom
pesants atreien dues boles més petites col·locades en els extrems d’una
vareta horitzontal penjada d’un fil. El valor de G obtingut per Cavendish
diferia en menys d’un 1% del que actualment s’accepta, que és:
G = 6,67  10–11 N m2 kg–2
(Les unitats de G es dedueixen fàcilment de l’equació que expressa la llei
de la gravitació universal.)
13. Lord Cavendish va determinar la
constant de gravitació universal a finals
del segle XVIII.
El valor numèric de la constant de gravitació universal és extremadament
petit. Això explica que la força d’atracció entre dos cossos només sigui
apreciable quan almenys un dels cossos té una massa enormement gran.
Així notem per fectament el pes d’una cadira, per que és la força amb la
qual és atreta per la Terra; però la força d’atracció entre dues cadires, tot i
que existeix, esdevé totalment indetectable.
EXEMPLE
1.
Coneixent el radi de la Terra (6 380 km), calcula’n la massa per mitjà de la llei de la gravitació
universal.
Sabem que, en la super fície de la Terra, el pes d’un cos de massa m = 1 kg és P = 1 kp = 9,8 N. D’altra
banda, la distància que el separa del centre de la Terra és el radi de la Terra RT = 6 380 km =
= 6,38  106 m.
M m
La força amb què la Terra atrau aquest cos és el seu pes: P = G T 2 .
RT
Si aïllem la massa de la Terra resulta:
MT =
P · R T2
9,8 N  (6,38  106 m)2
=
= 5,98  1024 kg
G· m
6,67  10 –11 N m2 kg –2  1kg
5 | Satèl·lits
Tots sabem que si deixem anar un cos des d’alguna altura sense comunicar-li una velocitat inicial cau ver ticalment fins que xoca amb el terra. Però
si el llancem en direcció horitzontal amb una cer ta velocitat inicial, cau
descrivint un arc de paràbola.
Imaginem ara que a la Terra no hi ha atmosfera, de forma que el fregament
amb l’aire no frenarà el moviment dels cossos, i que llancem horitzontalment un projectil a gran velocitat des d’un punt P (figura 14) a una cer ta
altura sobre la super fície terrestre. L’atracció gravitatòria del planeta farà
que descrigui una corba PA fins que xoqui amb el terra en un punt A. En un
moviment tan ampli, la gravetat no és constant en tot el recorregut, per la
8
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 8
7/4/09 11:43:23
Els planetes i els satèl·lits | 2
qual cosa la trajectòria PA no és un arc de paràbola sinó d’el·lipse com
s’indica en la figura. Si s’augmenta la velocitat inicial del projectil, l’arc
d’el·lipse que descriurà serà més gran com els arcs PB i PC de la figura.
P
A
Podríem augmentar la velocitat inicial del llançament fins que l’el·lipse
descrita pel projectil fos tan gran que no tallés en cap punt la super fície
terrestre. El planeta sencer quedaria aleshores a l’interior de la trajectòria,
que es tancaria sobre si mateixa (línia morada de la figura 14). El projectil
restaria així descrivint indefinidament la mateixa el·lipse. S’hauria satel·
litzat, és a dir, hauria esdevingut un satèl·lit de la Terra.
Un cos satel·litzat segueix una trajectòria cur vilínia a causa de l’atracció
gravitatòria de la Terra. Si aquesta atracció no existís, cap força no actuaria
sobre el cos i la seva trajectòria seria recta. Per tant, es pot afirmar que
està caient, com els projectils que acaben xocant amb el terra. La diferència és que la trajectòria del satèl·lit, a causa de la forma i la mida que té,
no talla la super fície de la Terra i arriba a tancar-se sobre si mateixa.
Si la velocitat del satèl·lit és l’adequada la seva trajectòria pot ser una circumferència (el·lipse d’excentricitat nul·la) i, en aquest cas, el seu moviment és circular uniforme.
Amb els coneixements adquirits sobre la dinàmica i la gravitació es pot
calcular fàcilment la velocitat d’un satèl·lit quan la seva òrbita és circular.
B
C
14. Trajectòries el·líptiques d’un projectil
llançat horitzontalment des d’un punt
elevat P. Els punts A, B i C d’impacte amb
la Terra corresponen a velocitats inicials
de llançament cada vegada més grans. Si
aquesta velocitat és suficientment gran la
trajectòria no talla la superfície terrestre i
el projectil queda satel·litzat (òrbita
morada).
Efectivament, en el moviment circular uniforme, la resultant de les forces
sobre el mòbil és la força centrípeta:
Fc = –
m v2
r
Però, d’altra banda, l’única força que actua sobre el satèl·lit és el seu pes,
P, a causa de l’atracció del planeta (figura 15). Si la massa del planeta és
M, el pes del satèl·lit, segons la llei de la gravitació universal, serà:
P =–
GM m
r2
v
Fc
En aquest cas, l’única força que actua és el pes, per tant la força centrípeta
és P:
–
r
GM m
m v2
=–
r
r2
Si aïllem v obtenim:
→
v =
GM
r
15. La força centrípeta Fc , que actua sobre
el satèl·lit en→òrbita circular, és l’atracció
gravitatòria P que exerceix el planeta sobre
el satèl·lit.
Així doncs, la velocitat d’un satèl·lit en òrbita circular al voltant d’un planeta
determinat depèn exclusivament del radi, r, de la seva òrbita. Com més
gran és el radi, menor és la velocitat orbital del satèl·lit.
Tot el que s’ha explicat aquí es pot aplicar també a tot cos que giri en òrbita
circular al voltant d’un altre cos que l’atrau. Aquest podria ser el cas d’un
planeta doble, una estel doble o un planeta que gira al voltant d’un estel.
9
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 9
7/4/09 11:43:55
2 | Els planetes i els satèl·lits
EXEMPLEs
2.
a) Quina velocitat ha de posseir un satèl·lit artificial de la Terra per tal que descrigui una òrbita circular
a h = 500 km d’altura?
b) Quin serà el període orbital (temps que necessita per fer una volta completa a la Terra)?
Dades. Massa de la Terra: M = 5,98  1024 kg. Radi de la Terra: RT = 6,38  106 m.
a) La distància del satèl·lit en òrbita al centre de la Terra és el radi de l’òrbita:
R = RT + h = 6,36  106 m + 0,5  106 m = 6,86  106 m.
GM m
El pes del satèl·lit en la seva òrbita és: P = –
. I la força centrípeta del moviment circular del satèl-­
r2
m v2
lit: Fc = –
. Com hem vist la velocitat del satèl·lit és:
r
v =
GM
=
r
6,67  10 –11 N m2 kg –2  5,98  1024 kg
= 7,63  103 m/s
6
6,86  10 m
Aquesta velocitat equival a 27 500 km/h.
b) La longitud de l’arc recorregut és la longitud de l’òrbita completa: ∆s = 2π r.
Si aïllem ∆t de l’equació v = ∆s/∆t obtenim:
∆t =
3.
∆s
2π r
2π  6,86  106 m
=
=
= 5 649 s
v
v
7,63  103 m/s
El satèl·lit tarda a fer una volta a la Terra 5 649 s, que són 1 hora i 34 minuts.
abem que la Terra es troba a 1,5  108 km del Sol i tarda 1 any a fer una volta al seu voltant seguint
S
una òrbita aproximadament circular. Calcula amb aquestes dades un valor aproximat de la massa
del Sol.
La velocitat amb què la Terra recorre la seva òrbita és:
v =
2π r
2π  6,86  106 m
∆s
=
=
= 29 900 m/s
365  24  60 6
∆t
∆t
60 s
Igualant la força d’atracció del Sol a la força centrípeta del moviment circular de la Terra, com en l’exemGM m
m v2
ple anterior, arribem a la mateixa igualtat: –
=–
, on M és la massa del Sol, m la de la
r
r2
Terra i r la distància entre tots dos.
Si aïllem M resulta:
M =
v2 r
2π r
(29 900 m/s)2  1,5  1011 m
=
=
= 2,0  1030 Kg
G
∆t
6,67  10 –11 N m2 Kg 2
6 | Camp gravitatori
En la figura 16 s’han representat algunes de les forces d’atracció gravitatòria que un cos de massa M, en una posició fixa, exerceix sobre una par tícula de massa m situada en diferents punts.
En cada posició actua una força sobre la par tícula. Diem que la massa M
ha creat al seu voltant un camp de forces gravitatòries.
10
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 10
7/4/09 11:43:59
Els planetes i els satèl·lits | 2
Anomenarem camp gravitatori un camp vectorial en el qual a cada punt de
l’espai li correspon un vector anomenat intensitat de camp gravitatori.
S’anomena intensitat del camp gravitatori en un punt la força gravitatòria que actua sobre la unitat de massa situada en aquest punt.
→
M
Si, en un punt, actua una força F sobre una par tícula de massa m, la intensitat del camp gravitatori en aquest punt és:
ur
ur
F
g =
m
→
Atès que la massa m sempre és positiva, la intensitat de camp g és un
→
vector de la mateixa direcció i sentit que la força F .
En el SI, el mòdul del vector intensitat d’un camp gravitatori s’expressa en
newtons per kilogram (N/kg).
La intensitat d’un camp gravitatori en un punt és de 1 N/kg quan hi actua
una força d’1 N sobre una massa d’1 kg situada en aquest punt.
16. Força d’atracció gravitatòria que
exerceix la massa M sobre una massa
puntual en diferents posicions. El conjunt
de totes aquestes forces constitueix un
camp de forces gravitatòries.
7 | Camp gravitatori creat per una massa
puntual
A partir de la llei de Newton es pot deduir fàcilment el mòdul de la intensitat
del camp gravitatori creat per una massa puntual.
Efectivament, la força d’atracció gravitatòria que una partícula de massa m
exerciria sobre una altra partícula de massa m’ situada a una distància r de
la primera és:
F =
G m m'
r2
El mòdul de la intensitat del camp gravitatori creat per m en el punt en què
es troba m’ serà doncs:
ur
F
g =
=
m'
G m m'
m
r2
=G 2
m'
r
O
Per expressar vectorialment aquesta intensitat de camp establirem uns
convenis previs:
• En cada semirecta amb origen al punt O, on es troba la par tícula de
massa m, adoptarem com a sentit positiu el que se segueix en allunyarse de O (figura 17).
Figura 17.
P
→
• Anomenarem r el vector posició del punt P, on es troba la par tícula de
massa m’ (figura 18).
r
• Simbolitzarem amb r la distància del punt O al P, que sempre és positiva,
→
per la qual cosa coincideix amb el mòdul del vector r .
→
r
→
• Representarem amb ur el vector unitari en la direcció i sentit del vector r :
r
ur
u
r
ur =
r
ur
O
Figura 18.
11
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 11
7/4/09 11:44:06
2 | Els planetes i els satèl·lits
g
P
ur
r
O
La intensitat del camp gravitatori creat en un punt qualsevol P per una
par tícula de massa m, situada en un punt O, es pot expressar vectorialment com a:
ur
u
M ur
g = – G 2 ur
r
→
19. El vector g representa la intensitat, en
el punt P, del camp gravitatori creat per
una massa puntual situada a O.
→
El signe negatiu és degut al fet que el sentit del vector g es contrari al del
→
vector unitari ur , perquè la força que actua sobre tota par tícula situada en
el punt P sempre té sentit cap a O (figura 19).
→
Com que les línies de camp han de tenir la direcció i el sentit del vector g ,
són un conjunt de semirectes concurrents en el punt O amb sentit cap a
aquest punt (Figura 20).
L’expressió de la intensitat del camp creat per una massa puntual es vàlida
també per al camp gravitatori en l’espai que envolta a una massa esfèrica
homogènia.
ur
ur
→
F
Hem vist que la intensitat d’un camp gravitatori és g = , on F és la força
m
que exerceix el camp sobre un cos de massa m.
ur
F
Però, segons el principi fonamental de la dinàmica, el quocient és igual
→
m
a l’acceleració que la força F comunica al cos.
20. Línies de camp corresponents al camp
gravitatori creat per una massa puntual.
Així doncs, la intensitat d’un camp gravitatori equival a una acceleració i el
seu valor es pot expressar tant en N/kg com en m/s2.
EXEMPLE
4.
n el punt O, les coordenades del qual es donen en Mm, situat a (3, 1) hi ha una partícula de massa
E
m = 9  1023 kg. Expressar vectorialment la intensitat del camp gravitatori que crea en el punt
P (11, 7).
El vector posició del punt P és:
ur
r ur ur
ur
+
6
j (Mm)
r
=
r
–
r
=
(11,
7)
–
(3,
1)
=
8
i
P
O
P
7
g
La distància de O a P és:
r
r = r = 82 + 62 = 10 (Mm)
rp
r
El mòdul de la intensitat del camp gravitatori a P serà:
r
9  1023 kg
= 0,60 N/kg
g = 6,67  10 –11 N m2 Kg –2 
(10  106 m)2
→
→
1
ro
O
m
3
11
El vector unitari ur en la direcció i sentit de r és:
r
r
ur
ur
u
r
ur
8i + 6 j
r
= 0,8i + 0,6 j
ur = =
10
r
→
→
Com que la intensitat de camp g té sentit de P cap a O (contrari al del vector unitari ur) serà:
ur
ur ur
u
r
ur
r
ur
g = – g ur = –0,60 (0,8i + 0,6 j ) = 0,48i – 0,36 j (N/kg )
12
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 12
7/4/09 11:44:13
Els planetes i els satèl·lits | 2
Per calcular la intensitat del camp gravitatori a la super fície de la Terra, la
considerarem un cos per fectament esfèric i homogeni. El camp és aleshores equivalent al creat per una par tícula de la mateixa massa que la Terra,
situada al seu centre.
g
g
M
R
→
21. La intensitat g del camp gravitatori de la Terra en la seva superfície és la mateixa que
la del camp d’una massa puntual igual a la de la Terra col·locada al seu centre.
Si la massa de la Terra és M = 5,98  1024 kg i el radi, R = 6,38  106 m,
el mòdul de la intensitat del camp gravitatori a la seva super fície serà:
ur
5,98  1024 kg
g = 6,67  10 –11 N m2 Kg –2 
= 9,8 N/kg
(6,38  106 m)2
Això equival a dir que l’acceleració de la gravetat a la super fície de la
Terra és de 9,8 m/s2.
Com que la Terra no és un cos per fectament esfèric i homogeni, la intensitat del camp gravitatori no és exactament igual en tots els punts de la seva
super fície. S’ha acordat acceptar com a valor normal de la gravetat
9,80665 m/s2, que correspon a un indret de latitud de 45º al nivell del mar.
En la taula adjunta es pot veure com varia el valor de l’acceleració de la
gravetat (o intensitat del camp gravitatori) amb la latitud geogràfica, des de
l’equador fins al pol.
De la mateixa manera es pot calcular la intensitat del camp gravitatori a la
super fície de qualsevol planeta o dels seus satèl·lits, sempre que puguem
suposar-los homogenis i esfèrics.
Acceleració de la gravetat
al nivell del mar
Latitud
Gravetat
0º (equador)
9,780 ms–2
10º
9,782 ms–2
20º
9,786 ms–2
30º
9,793 ms–2
40º
9,802 ms–2
50º
9,811 ms–2
60º
9,819 ms–2
70º
9,826 ms–2
80º
9,831 ms–2
90º (pol)
9,832 ms–2
EXEMPLEs
5.
l radi del planeta Mart és R = 3 400 km i la seva massa M = 6,42  1023 kg. Suposant que aquest
E
planeta és homogeni i perfectament esfèric, calcula el valor de l’acceleració de la gravetat a la seva
superfície.
La intensitat del camp gravitatori a la super fície de Mar t és:
ur
6,42  1023 kg
M
g = G  2 = 6,67  10 –11 N m2 Kg –2 
= 3,7 N/kg
R
(3,4  106 m)2
Com que N/kg equival a m/s2, podem considerar que l’acceleració de la gravetat en la superfície de Mart
és 3,7 m/s2.
13
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 13
7/4/09 11:44:24
2 | Els planetes i els satèl·lits
6.
n cos que cau sense velocitat inicial des d’una altura de 10 m sobre la superfície de la Lluna tarda
U
3,46 s a arribar al terra. Quin és el valor de la intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar?
Quants kp pesaria a la Lluna una persona de massa 60 kg?
Com que la Lluna no té atmosfera no hi ha fregament durant la caiguda del cos, per la qual cosa el seu
moviment serà uniformement accelerat d’equació: ∆s = v0 ∆t + ½ a (∆t)2.
1
a (∆t)2.
Com que v0 = 0, l’equació anterior es redueix a: ∆s =
2
Si aïllem l’acceleració a, obtenim: a = 2 ∆s / (∆t)2 = 2  10 m / (3,46 s)2 = 1,67 m/s2.
Com que l’acceleració de la gravetat en m/s2 és igual a la intensitat del camp gravitatori en N/kg, podem
afirmar que és de 1,67 N/kg.
El resultat anterior expressa que una massa de 1 kg pesa 1,67 N a la super fície de la Lluna, per consegüent una persona de 60 kg pesaria:
60 kg 
7.
1,67 N
1 Kp
= 100 N, que en Kp és 100 N 
= 10,2 Kp
1 Kg
9,8 N
En la superfície d’un planeta l’acceleració de la gravetat és g1 = 12 m/s2.
Determina quin en seria el valor en la superfície d’un altre planeta de triple massa i:
a) doble radi que el primer,
b) igual densitat que el primer.
a) Si anomenem M1 la massa del primer planeta i R1 el seu radi sabem que: g 1 = G
Per al segon planeta també es complirà que: g 2 = G
Dividim les dues igualtats i tenim:
M1
R12
M2
R22
g1
M  R22
= 1
g2
M2  R12
Aïllem g2 i resulta:
g2 = g1
M2  R12
3M1  R12
3M1  R12
3
=
g
=
g
g
=
1
1
2
2
2
4 1
M 1  R2
M1  (2R1 )
4M1  R1
Substituïm g1 pel seu valor i obtenim: g 2 = 12 m/s2 
3
= 9 m / s2
4


4
b) El volum d’una esfera V =
= π R 3  és proporcional al cub del seu radi.
3


Per tant, si el segon planeta té doble radi que el primer, el seu volum és 23 = 8 vegades més gran. I, com
que tots dos planetes tenen la mateixa densitat, la massa del segon serà també 8 vegades més
gran que la del primer: M2 = 8 M1.
g2 = g1
M2  R12
8M1  R12
8M1  R12
=
g
=
2
g
= 2  12 m/s2 = 24 m / s 2
1
1
M1  R22
M1  (2R1 )2
4M1  R12
14
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 14
7/4/09 11:44:28
Els planetes i els satèl·lits | 2
8 | Energia potencial gravitatòria
Tot cos atret gravitatòriament per un altre posseeix una energia que depèn
de la seva posició, és a dir, una energia potencial.
A partir de la llei de gravitació universal es demostra que l’energia potencial
d’un cos de massa m’, situat a una distància r d’un altre cos de massa m
que l’atrau gravitatòriament, és:
Ep = – G
m m'
r
L’expressió anterior, com la llei de Newton, es pot aplicar no tan sols a
masses puntuals sinó també a cossos de forma esfèrica. En aquest cas cal
interpretar r com la distància entre els centres.
Com que m, m’ i r són quantitats positives, l’energia potencial gravitatòria,
segons l’expressió anterior, és negativa. Però si la distància r és infinitament gran, és nul·la. Això no significa que el cos a l’infinit no posseeixi
energia potencial gravitatòria. De fet, a l’energia potencial en una posició
qualsevol li podem assignar el valor que vulguem i, en fer-ho, quedarà determinat el valor que té en cada un dels restants punts de l’espai. Aquesta
arbitrarietat no suposa cap inconvenient ja que el valor de l’energia potencial en una posició és irrellevant; només compten les diferències d’energia
entre les diferents posicions, les quals no depenen del valor arbitrari que
hàgim assignat a una posició determinada.
m
m’
Ep
r
L’energia potencial a l’infinit, malgrat que li assignem el valor 0, és màxima
ja que en els altres punts de l’espai és negativa.
En la figura 22 es pot veure com varia l’energia potencial amb la distància
entre els cossos que s’atrauen mútuament.
En el curs anterior es calculava l’energia potencial gravitatòria d’un cos
situat a una altura h com a: EP = m g h. Però aquesta expressió només és
aplicable si el cos es manté en una zona de l’espai tan petita que la intensitat del camp gravitatori (g) pot ser considerada constant.
22. Variació de l’energia potencial
gravitatòria amb la distància.
EXEMPLE
8.
uposant nul·la la resistència de l’aire, calcular la velocitat amb què arribaria al terra un cos de massa
S
m que es deixés caure sense velocitat inicial des d’una altura de: a) h = 160 m, b) h = 1 600 km.
Dades. Massa de la Terra: M = 6  1024 kg. Radi de la Terra: R = 6 400 km.
Constant de gravitació universal: G = 6,67  10–11 N m2 kg–2.
Com que l’única força que actua sobre el cos és el seu pes, se’n conser varà l’energia mecànica:
Ek1 + EP1 = Ek2 + EP2.
a) En el primer cas és:
Ek1 = 0, EP1 = m g h, E k2 =
1
m v 2 i EP2 = 0.
2
Per tant podem escriure:
mgh=
1
m v2 .
2
15
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 15
7/4/09 11:44:31
2 | Els planetes i els satèl·lits
Si aïllem v obtenim:
v = 2 g h = 2 × 9,8 m/s2 × 160 m = 56 m/s.
b) En una caiguda de 1 600 km no es pot considerar constant el pes del cos, per la qual cosa no és correcte calcular-ne l’energia potencial com a m g h.
En aquest cas seria:
–G
1
Mm
Mm
=
m v2 – G
2
R+h
R
Si aïllem v, obtenim:
Mm
1
Mm
, E k2 =
m v 2 i E P2 = – G
.
R+h
2
R
Així doncs, la conser vació de l’energia mecànica s’ha d’expressar ara de la manera següent:
Ek1 = 0, E P1 = – G
v = 2GM
h
= 5 000 m/s.
R (R + h )
En caure des de 1 600 km d’altura, el cos arribaria al terra amb una velocitat de 5 000 m/s.
9 | Deducció del valor de l’energia potencial
gravitatòria
El conjunt de totes les forces d’atracció gravitatòria que exerceix una
massa puntual m sobre una altra massa puntual m’ en situar-la en posicions diferents constitueix un camp central de forces. L’expressió de la força
que actua sobre m’ en funció de la distància a què es troba de m (centre del
camp) ve donada per la llei de Newton:
F (r ) = – G
m m'
r2
Per determinar l’energia potencial en un punt d’aquest camp conser vatiu
triarem l’infinit com a posició d’energia potencial nul·la. En aquest cas
l’energia potencial de la massa m’ en un punt qualsevol P serà, per definició, el treball canviat de signe de la força del camp des de l’infinit fins al
punt P. Si el punt P està situat a una distància r del centre del camp serà:
Ep = – W = –
∫
r
∞
F (r ) dr = ∫ – G
 –1 
= G m m'  
 r 
r
∞
r
∞
m m'
dr = G m m'
r2
∫
r
∞
r –2 dr =
 1

m m'
= G m m' – – 0  = – G
r
r


Així doncs, l’energia potencial d’un cos de massa m’, situat a una distància
r d’un altre cos de massa m que l’atrau gravitatòriament, és:
Ep = – G
m m'
r
16
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 16
7/4/09 11:44:36
Els planetes i els satèl·lits | 2
10 | Energia mecànica orbital
Hem vist que la velocitat d’un satèl·lit en òrbita circular és:
v =
GM
r
per la qual cosa la seva energia cinètica és:
Ek =
1
1
M
1
Mm
m v2 =
mG
=
G
2
2
r
2
r
També en coneixem el valor de l’energia potencial: E p = – G
Mm
r
Per tant, l’energia mecànica total del satèl·lit en òrbita és:
EM = Ek + Ep =
1
Mm
Mm
1
Mm
G
–G
=– G
2
r
r
2
r
Aquest resultat mostra que l’energia mecànica d’un satèl·lit en òrbita és
sempre negativa.
Obser va que, a causa del signe negatiu, l’energia mecànica del satèl·lit és
més gran com més gran és el radi de l’òrbita. I passa el mateix amb l’energia potencial gravitatòria.
Al contrari, l’energia cinètica, que és positiva, és menor com més gran és
el radi de l’òrbita.
Per tal que un cos sobre el qual únicament actua l’atracció gravitatòria d’un
planeta es mogui seguint una corba tancada (circumferència o el·lipse)
l’única condició és que tingui energia mecànica negativa (EM < 0). Si aquesta trajectòria talla la super fície del planeta, s’hi estavellarà; però en cas
contrari, restarà indefinidament en la seva òrbita com a satèl·lit.
En aquestes condicions podem dir que el cos està capturat pel camp gravitatori del planeta, ja que no pot separar-se’n i allunyar-se’n indefinidament.
Per tal que un cos pugui escapar pel seu propi impuls del camp gravitatori
d’un planeta cal que posseeixi l’energia mecànica suficient per separarse’n fins a una distància infinita. Per això ha de posseir com a mínim l’energia potencial que tindria a l’infinit. Aquesta energia és, com sabem, 0. Per
tant, la condició perquè un cos es pugui allunyar indefinidament d’un planeta és que tingui una energia mecànica nul·la o positiva (EM ≥ 0).
Si EM > 0, la trajectòria és una branca d’hipèrbola amb el focus al centre del
planeta. En aquest cas, el cos s’allunya indefinidament, si no és que la
seva trajectòria talla en un punt la super fície del planeta i s’hi estavella.
En el cas que l’energia mecànica del cos fos nul·la (EM = 0) el cos tindria
l’energia mínima necessària per escapar del camp gravitatori del planeta
que l’atrau i la seva trajectòria seria una paràbola amb el focus al centre del
planeta. Però aquest és un cas tan sols teòric, impossible a la pràctica, ja
que requeriria que l’energia mecànica fos exactament zero i sabem que no
hi ha mesures exactes sinó que totes tenen un marge d’incer tesa.
Tot el que s’ha explicat per als satèl·lits d’un planeta és també aplicable als
planetes que es mouen al voltant d’un estela sota l’acció del seu camp
gravitatori.
17
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 17
7/4/09 11:44:38
2 | Els planetes i els satèl·lits
EXEMPLEs
9.
Un objecte es mou amb una velocitat de 3 km/s quan es troba a 100 000 km de la superfície de la
Terra, però no hi xoca, és un satèl·lit del nostre planeta?
Massa de la Terra: M = 5,98  1024 kg. Radi de la Terra: R = 6 400 km.
La distància de l’objecte al centre de la Terra és R + h = 108 m + 6,4  106 m = 1,064  108 m.
L’energia mecànica de l’objecte es calcula com a:
EM =
1
Mm
m v2 – G
2
R+r
El seu valor és:
EM =
1
5,98  1024 kg  m
m (3 000 m/s)2 – 6,67  10 –11 N m2 Kg –2 
2
1,064  108
Efectuant les operacions indicades obtenim l’energia mecànica en funció de la massa m de l’objecte (no
coneguda) : EM = 7,51 m (J).
Com que la seva energia mecànica és positiva l’objecte no està satel·litzat al voltant de la Terra i se
n’allunyarà indefinidament seguint una trajectòria que és una branca d’hipèrbola.
10. U
na nau espacial de massa m = 5 000 kg es mou en una òrbita circular a h = 500 km d’altura sobre
la superfície terrestre. Determina l’energia que cal comunicar-li per tal que abandoni la seva òrbita
i s’allunyi indefinidament de la Terra.
Massa de la Terra: M = 5,98  1024 kg. Radi de la Terra: R = 6 400 km.
El radi de l’òrbita és:
r = R + h = 6 400 km + 500 km = 6 900 km = 6,9  106 m.
La nau en la seva òrbita té una energia mecànica de:
EM = –
1
Mm
1
5,98  1024 kg  5  103 kg
G
= –  6,67  10 –11 N m2 Kg –2 
= – 1,45  1011 J
r
2
2
6,9  108 m
A una distància infinita el valor mínim de l’energia mecànica és 0. Per tant cal subministrar a la nau com
a mínim 1,45  1011 J = 145 GJ.
11 | Velocitat d’escapament
V2
V1
V0
23. Velocitat d’un cos que s’està allunyant
de la Terra. En vermell, la força amb la qual
és atret per la Terra.
Si llancem un cos ver ticalment cap amunt, puja fins que la seva velocitat
s’anul·la i després cau. Com més gran és la velocitat inicial que se li comunica, més gran serà l’altura que assolirà abans de caure. Podem proposar
aleshores una pregunta sorprenent: és possible llançar un cos amb una
velocitat inicial de manera que no caigui mai, és a dir, que s’allunyi indefinidament de la super fície de la Terra?
La resposta és afirmativa. Efectivament, si no hi ha fregament, l’única força
que actua a par tir del moment en què el cos sur t llançat amb una velocitat
inicial v0, és el seu pes, és a dir, l’atracció de la Terra. Aquesta força frenarà
el moviment (Figura 23). Però, com que es tracta d’una força conser vativa,
l’energia mecànica del mòbil no variarà en tot el recorregut. Així doncs,
l’energia mecànica inicial del mòbil serà igual a la que posseiria a l’infinit
(ja que suposem que s’allunya indefinidament de la Terra).
18
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 18
7/4/09 11:44:50
Els planetes i els satèl·lits | 2
Si M és la massa de la Terra, R el seu radi i m, la massa del mòbil, la seva
energia mecànica en l’instant inicial del llançament serà:
EM = Ek + Ep =
0
0
0
1
Mm
m v 02 – G
2
R
Hem vist que, a una distància infinita del centre de la Terra, l’energia potencial gravitatòria del mòbil és nul·la. Però, com que el mòbil, al llarg del seu
recorregut, va perdent velocitat, si s’ha llançat amb la mínima energia per
tal que s’allunyi indefinidament, la seva velocitat a l’infinit serà zero.
Conseqüentment la seva energia mecànica final (a l’infinit) seria:
24. Llançament de l’Apolo XI cap a la
Lluna.
EM = EK + EP = 0 + 0 = 0
Com que l’energia mecànica es conser va, podem igualar-ne els valors
inicial i final:
Mm
1
m v 02 – G
=0
R
2
Si aïllem v0 obtenim:
v0 =
2GM
R
La velocitat inicial mínima per tal que un cos llançat des de la super fície
d’un planeta se n’allunyi indefinidament s’anomena velocitat d’escapa·
ment o segona velocitat còsmica.
De la seva expressió matemàtica es dedueix que aquesta velocitat és independent de la massa del mòbil. Només depèn de la massa i del radi del
planeta. Així doncs, la velocitat d’escapament és una característica pròpia
de cada planeta.
Tenint en compte que la massa de la Terra és de 5,98  1024 kg i el seu
radi, de 6,38  106 m, la velocitat d’escapament del nostre planeta
resulta:
vo = 11 200 m/s ≈ 40 000 km/h
Si un projectil és llançat des de la super fície de la Terra cap a l’espai, en
direcció no perpendicular al terra amb una velocitat superior a la d’escapament, la seva trajectòria és una hipèrbola i el cos no se satel·litza sinó que
s’allunya indefinidament.
DOCUMENT
Possibilitat d’atmosfera en els planetes
Com ja saps, les molècules dels gasos es troben en
moviment constant i desordenat. La seva velocitat
mitjana és tant més gran com més elevada és la temperatura i com més petit és el seu pes molecular.
Les molècules dels gasos que podrien formar l’atmosfera d’alguns planetes, a la temperatura que
s’assoleix en la seva superfície, tenen una velocitat
que arriba a superar la velocitat d’escapament. Els
gasos es difonen aleshores en l’espai sense poder
ser retinguts per l’atracció gravitatòria del planeta.
Els planetes només poden tenir atmosfera quan la
velocitat de les molècules gaseoses a la seva
super fície és inferior a la velocitat d´escapament.
Per això cal que la massa del planeta sigui sufi­
cientment gran. La Lluna i els asteroides, per exem­
ple, no tenen atmosfera perquè la seva massa és
excessivament petita.
Perquè en un planeta es desenvolupi la vida cal
que hi hagi algun tipus d’atmosfera. Per això es
pot dir que un dels factors que determinen la possibilitat que hi hagi vida en un planeta és la seva
velocitat d’escapament.
19
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 19
7/4/09 11:44:53
2 | Els planetes i els satèl·lits
12 | Òrbites el·líptiques
L’astrònom alemany Johannes Kepler, al segle xvii, va aconseguir descriure
correctament el moviment dels planetes. El resultat del seu treball va quedar enunciat en les tres lleis següents:
Primera llei de Kepler
Les òrbites dels planetes són el·lipses amb un dels focus situat en el
centre del Sol.
Segona llei de Kepler
El segment que té com a extrems els centres del Sol i d’un planeta
escombra àrees iguals en temps iguals.
Quan un planeta es desplaça al voltant del Sol, el segment rectilini que
n’uneix els centres canvia de direcció i de longitud. Tots els punts pels
quals passa aquest segment al llarg d’un inter val de temps constitueixen
la super fície que anomenem “àrea escombrada” (Figura 26).
25. Johannes Kepler.
P5
P4
Si corresponen a inter vals de temps iguals, les àrees escombrades representades en la figura han de ser iguals. Per tal que sigui així, a les zones en
què el planeta està més allunyat del Sol, l’arc de trajectòria que recorre ha
de ser més cur t, és a dir, la seva velocitat serà menor.
P3
P6
Tercera llei de Kepler
P2
P1
Figura 26.
El quadrat del temps que tarda un planeta a descriure la seva òrbita és
directament proporcional al cub del semieix major de la seva òrbita.
El temps que tarda un planeta a completar una òrbita al voltant del Sol
s’anomena període i es designa amb T.
Així doncs, la tercera llei de Kepler es pot expressar matemàticament de la
forma següent:
T2
= C (constant)
a3
La tercera llei de Kepler es pot demostrar molt fàcilment per a una òrbita
circular.
Efectivament, la velocitat d’un satèl·lit en òrbita circular és igual al quocient
entre la longitud de l’òrbita (2 π r) i el temps emprat per recórrer-la, és a dir
el, període (T):
v =
2πr
T
Substituïm v per aquest quocient en l’expressió de la velocitat del satèl·lit:
v0 =
GM
r
i l’elevem al quadrat:
(2 π r )2
GM
=
r
T2
Fem les operacions i obtenim:
GM
r3
=
T2
4 π2
20
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 20
7/4/09 11:44:59
Els planetes i els satèl·lits | 2
El segon membre d’aquesta igualtat és constant per la qual cosa queda
comprovat que T2 és directament proporcional a r3, tal com afirma la tercera
llei de Kepler.
Les lleis de Kepler no només són vàlides per als planetes del sistema solar
sinó també per a uns altres cossos que es mouen en òrbita al voltant d’un
astre que els atrau gravitatòriament, com els cometes al voltant del Sol i
els satèl·lits naturals o ar tificials al voltant dels planetes.
EXEMPLE
11. E
l radi mitjà de l’òrbita que descriu al voltant del Sol l’asteroide
Gaspra és de 2,21 UA. Calcula el període de revolució de
Gaspra.
UA significa unitat astronòmica, que és una longitud molt aproximadament igual a la distància mitjana de la Terra al Sol:
1 UA = 1,496  1011 m.
Simbolitzarem amb RG i RT els radis mitjans de les òrbites de Gaspra
i la Terra i, per TG i TT els seus pe­ríodes de revolució respectius al
voltant del Sol.
Per la tercera llei de Kepler es complirà que:
RG3
RT3
=
TG2
TT2
Gaspra és una roca d’uns 20 km de
longitud que forma part del cinturó
d’asteroides que giren en òrbita al
voltant del Sol. La sonda Galileu s’hi
va acostar el mes d’octubre de 1991 i
va enviar aquesta fotografia.
Com que aquesta fórmula és homogènia, podem expressar els valors
de les magnituds que inter venen en qualsevol unitat (naturalment la mateixa en els dos membres de
la igualtat).
Expressarem els radis de les òrbites en UA, de manera que serà RT = 1 UA (per definició).
I, si expressem en anys els períodes de revolució, és TT = 1 any.
Substituïm valors en la igualtat anterior tindrem:
(2,21 UA)3
(1 UA)3
=
2
(1 any)2
TG
Si aïllem TG obtenim:
TG = 2,213 = 3,29 anys.
21
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 21
7/4/09 11:45:01
2 | Els planetes i els satèl·lits
vmax
c
A’
vmin
F’
F
a
A
L’energia mecànica d’un satèl·lit de massa m que es mou al voltant d’un
planeta de massa M en una òrbita el·líptica es calcula de la mateixa forma
que en una òrbita circular però substituïm el radi del cercle pel semieix
major de l’el·lipse:
EM = –
a
1
Mm
G
2
a
La longitud a s’anomena també radi mitjà de l’òrbita.
27. Un satèl·lit en òrbita el·líptica al
voltant de la Terra, situada en el focus F
de l’el·lipse.
En un dels extrems de l’eix més gran de les òrbites el·líptiques la distància
entre el satèl·lit i el planeta, situat en un dels focus de l’el·lipse, és mínima
(punt A de la figura 27) i igual a la diferència a – c entre el semieix major i el
semieix focal.
Si el planeta és la Terra aquest punt s’anomena perigeu. En aquest punt
l’energia potencial és mínima i l’energia cinètica, màxima.
En l’altre extrem de l’eix major de l’òrbita la distància entre el satèl·lit i el
planeta és màxima (punt A’ de la figura 27) i igual a la suma a + c del semieix major i el semieix focal.
Per als satèl·lits de la Terra aquest punt s’anomena apogeu. En aquest
punt l’energia potencial és màxima i la cinètica mínima.
En el punt A ( perigeu ) la distància a la Terra (a – c) és la mínima i la velocitat màxima.
En el punt A’ (apogeu) la distància a la Terra (a + c) és màxima i la velocitat
mínima.
Si coneixem les distàncies màxima, rmàx, i mínima, rmín, entre un planeta i el
seu satèl·lit es poden determinar fàcilment els valors dels semieixos major,
menor i focal de l’òrbita i la seva excentricitat. Per això només cal tenir en
compte que:
rmàx = a + c 

rmín = a – c 
D’on es dedueix:
a=
rmàx + rmín
r – rmín
i c = màx
2
2
A partir dels valors de a i c podem calcular la longitud del semieix menor de
l’òrbita (b) i la seva excentricitat (ε):
b = a2 – c2 i ε =
c
a
Tot el que hem dit es pot aplicar a qualsevol astre que giri en òrbita al voltant d’un altre. En el cas dels planetes, els asteroides i els cometes del
sistema solar, la posició de màxima distància al Sol s’anomena afeli i la de
mínima distància periheli (totes dues paraules provenen del vocable grec
helios, que significa Sol).
22
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 22
7/4/09 11:45:04
Els planetes i els satèl·lits | 2
EXEMPLE
12. L ’any 2005 es va descobrir un nou planeta del sistema solar al qual van donar el nom d’Eris. El seu
afeli és a 97,5 UA del Sol i el seu periheli a 37,8 UA.
Determina’n:
a) El radi mitjà en m i l’excentricitat de la seva òrbita.
b) El valor de l’energia orbital en funció de la seva massa m.
c) La velocitat orbital màxima en km/s.
1 UA = 1,496  1011 m, massa del Sol: M = 1,99  1030 kg.
a) Anomenarem a el semieix més gran i c el semieix focal de l’òrbita.
La distància d’Eris al Sol a l’afeli és a + c = 97,5 UA i, al periheli, a – c = 37,8 UA
De les anteriors igualtats deduïm:
a=
(97,5 + 37,8) UA
(97,5
5 – 37,8) UA
= 67,65 UA i c =
= 29,85 UA
2
2
(97,5 + 37,8) UA
(97,5
5 – 37,8) UA
= 67,65 UA i c =
= 29,85 UA
2
2
El radi mitjà de l’òrbita és: a = 67,65 UA 
L’excentricitat de l’òrbita d’Eris és: ε =
1,496  1011 m
= 1,01  1013 m
1 UA
c
29,85 UA
=
= 0,441
a
67,65 UA
b) L’energia mecànica orbital en funció de la massa m d’Eris és:
EM = –
1
Mm
1
1,99  1030 kg  m
G
= –  6,67  10 –11 N m2 Kg –2 
= (6,57  106 J/Kg) m
r
2
2
1, 01  1013 m
c) El planeta ateny la velocitat màxima v en el periheli, on la seva distància al Sol és la mínima:
r = a – c = 37,8 UA = 37,8  1,496  1011 m/UA = 5,655  1012 m.
Al llarg de l’òrbita l’energia mecànica del planeta es manté constant EM = Ek + Ep.
Per calcular-ne la velocitat aïllarem l’energia cinètica EM = Ek – Ep, és a dir:
Aplicant els valors que coneixem a les magnituds d’aquesta expressió tenim:

M m
1
m v 2 = EM –  – G

r 
2

1
1,99  1030 m
m v 2 = 6,57  106 m + 6,67  10 –11
2
5,655  1012
Multiplicant per 2 i dividint per m l’equació anterior resulta:
v 2 = 2 × 6,57  106 + 2  6,67  10 –11
1,99  1030
= 1,314  107 + 4,694  107 = 6,008  107
5,655  1012
D’on es dedueix: v = 7,75  103 m/s = 7,75 km/s.
23
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 23
7/4/09 11:45:08
2 | Els planetes i els satèl·lits
13 | Astronàutica
El mes d’octubre de l’any 1957 es va produir un esdeveniment que va fer
sensació arreu del món i que va marcar la que s’ha anomenat “era de la
navegació espacial”: el llançament del primer satèl·lit ar tificial de la Terra,
anomenat Sputnik I. Era una esfera de 83 kg que els tècnics i els científics
de la Unió Soviètica van posar en òrbita i que es va mantenir orbitant al
voltant del nostre planeta durant 57 dies.
Poc temps després, el mes de gener de 1958, als Estats Units també es va
aconseguir posar en òrbita un satèl·lit ar tificial, l’Explorer, un cilindre de
14 kg i uns 2 m de longitud.
Des d’aleshores fins avui s’han col·locat a l’espai un gran nombre de ginys
espacials:
• Satèl·lits ar tificials amb o sense tripulació.
28. L’estació espacial internacional, un
projecte ambiciós la infraestructura del
qual es va projectar que quedaria completa
l’any 2010.
• Estacions espacials en òrbita com les Salyut, l’Skylab, la MIR i l’Estació
Espacial Internacional, IIS.
• Sondes no tripulades que s’han acostat a diversos planetes, satèl·lits,
asteroides i a un cometa del sistema solar i fins i tot han baixat a la
super fície d’alguns d’ells.
• Naus espacials tripulades com l’Apol·lo XI que va dur per primera vegada
l’home fins a la super fície de la Lluna el 20 de juliol de l’any 1969.
• El telescopi Hubble en òrbita al voltant de la Terra que ha proporcionat
una informació molt valuosa sobre l’univers.
Les aplicacions de tots aquests ginys espacials han estat innumerables per
a la investigació científica, per al desenvolupament tecnològic, per a les
comunicacions, per a l’obser vació i obtenció de dades sobre el nostre planeta i sobre l’univers, etc.
29. El telescopi Hubble ha estat una de les
eines fonamentals per al coneixement de
l’univers els últims anys.
Podràs trobar informació interessant i àmplia sobre aquests temes a través
d’Internet.
RECURSOS INFORMÀTICS
Per a l’obser vació dels astres, la seva posició i moviment aparent sobre l’esfera celeste es poden trobar
recursos introduint en el buscador d’Internet termes com els següents: planisferi celeste, astronomia,
planetari vir tual, constel·lacions, univers.
Per trobar programes de simulació que et permetin experimentar sobre el moviment de satèl·lits i, en general, de cossos sotmesos a forces mútues d’interacció gravitatòria, introdueix en el cercador el terme “simulador d’òrbites”.
Per trobar informació sobre ginys espacials i la història de la navegació espacial introdueix en el cercador
alguns dels termes següents: astronàutica, astronau, sonda espacial, estació espacial, satèl·lit ar tificial o
el nom concret del giny sobre el qual vols obtenir informació.
24
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 24
7/4/09 11:45:10
Els planetes i els satèl·lits | 2
RESUM
L’esfera celeste és una esfera imaginària concèntrica amb la Terra i de radi molt més gran que ella,
sobre super fície de la qual projectem tots els
astres del firmament.
La visual d’un astre és la recta que uneix la Terra
(on es troba l’observador) amb l’astre, considerantlos tots dos com a masses puntuals.
La posició aparent d’un astre és el punt d’intersecció de la visual de l’astre amb la super fície de l’esfera celeste.
La distància angular entre dos astres de posicions
aparents A i B és el valor angular de l’arc de cercle
màxim de l’esfera celeste comprès entre A i B.
El pol nord i el pol sud celestes són els punts d’intersecció de l’eix del món amb la super fície de
l’esfera celeste.
Moviment diürn és el moviment de rotació de l’esfera
celeste al voltant de l’eix del món fent una volta cada
24 hores en sentit retrògrad (el de les agulles del
rellotge) per a un observador de l’hemisferi nord.
Moviment propi és el moviment d’alguns astres respecte dels astres que ocupen una posició fixa sobre
l’esfera celeste. El moviment propi dels planetes del
sistema solar segueix trajectòries complicades.
L’eclíptica és la trajectòria del moviment propi del
Sol sobre l’esfera celeste (un cercle màxim recorregut en sentit directe pel Sol en un any).
El sistema de referència heliocèntric és el que
situa el seu origen de coordenades en el centre del
Sol; hi queden molt simplificats els moviments dels
planetes.
Un satèl·lit és un cos que gira en òrbita circular o
el·líptica al voltant d’un planeta que l’atrau gravitatòriament. Si un satèl·lit descriu una òrbita circular de radi r al voltant d’un planeta de massa M, el
seu moviment és circular uniforme i la seva força
centrípeta és la força d’atracció gravitatòria del
planeta. La velocitat del satèl·lit és:
v =
GM
r
Segons la llei de Newton de la gravitació universal
dues masses puntuals qualssevol, m i m’, separades
per una distància r s’atrauen mútuament amb una
G m m'
força d’intensitat F =
, on G (constant de
r2
gravitació universal) és 6,67  10–11 N m2 kg–2.
Intensitat del camp gravitatori en un punt és la
força gravitatòria que actua sobre la unitat de
massa situada en aquest punt. El seu valor és igual
al de l’acceleració de la gravetat en aquest punt.
S’expressa en N/kg que equivalen a m/s2.
El mòdul de la intensitat del camp gravitatori creat
per una massa m (puntual o esfèrica homogènia) en
un punt situat a una distància r del seu centre és:
ur
m
g =G 2
r
L’energia potencial gravitatòria d’un cos de massa
m’ en el camp creat per un altre cos de massa m si
els seus centres es troben a una distància r és:
m m'
Ep = – G
(si els cossos són puntuals o esfèr
rics homogenis).
L’energia mecànica orbital d’un cos de massa m
que descriu una òrbita circular de radi r al voltant
d’un altre de massa M és la suma de les seves
energies cinètica i potencial gravitatòria. El seu
1
Mm
valor és: E M = –
G
.
2
r
Velocitat d’escapament o segona velocitat còsmi·
ca és la velocitat inicial mínima per tal que un cos
llançat des de la super fície d’un planeta se n’allunyi indefinidament. El seu valor és:
v =
Lleis de Kepler: 1. Les òrbites dels planetes són
el·lipses amb un focus situat en el centre del Sol.
2. El segment que uneix els centres del Sol i d’un
planeta escombra àrees iguals en temps iguals.
3. El quadrat del període un planeta és directa·
ment proporcional al cub del semieix major de la
seva òrbita.
En òrbites el·líptiques la posició de màxima distància d’un satèl·lit a la Terra s’anomena apogeu i la
de mínima distància, perigeu. En les òrbites al voltant del Sol aquestes posicions s’anomenen afeli i
periheli. Si a és el semieix major de l’òrbita el·
líptica i c el semieix focal, aquesta distància màxima és a + c i la mínima, a – c.
L’energia mecànica orbital en una òrbita el·líptica
1
Mm
és E M = –
G
, on a és el semieix major de
2
a
l’el·lipse o radi mitjà de l’òrbita.
Contingut bàsic de la unitat en format hipermèdia, en el CD.
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 25
2GM
R
25
7/4/09 11:45:14
2 | Els planetes i els satèl·lits
A C T I V I TAT S
Llei de la gravitació universal
1
Determina la intensitat de la força d’atracció
gravitatòria entre dues boles de plom, de massa
m = 200 kg cada una, els centres de les quals
estan separats per una distància d = 50 cm.
2
Calcula la força amb què el Sol atrau el planeta Mercuri. Raona si Mercuri atrau el Sol
amb la mateixa força.
9
Calcula la pèrdua de pes que experimenta un
home de 70 kg en pujar a la torre Eiffel (altura:
300 m). Se suposa que puja amb ascensor, ja
que si ho fes per les escales perdria molt més
pes, tot i que per un motiu diferent.
Massa de la Terra = 6  1024 kg;
Radi de la Terra = 6 400 km
Massa de Mercuri: MM = 3,30  1023 kg
Massa del Sol: MS = 1,99  1030 kg
Distància entre Mercuri i el Sol:
d = 5,97  107 km
Velocitat en òrbita circular
10
Un satèl·lit ar tificial de la Terra descriu una
òrbita circular a una altura de 1 600 km.
Calcula’n el període.
3
Calcula i compara les forces d’atracció que
exerceixen la Terra i el Sol sobre la Lluna a
par tir de les dades següents:
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: 6 400 km.
Massa del Sol: 1,99  1030 kg; massa de la
Terra: 5,98  1024 kg; massa de la Lluna:
7,35  1022 kg; distància Terra-Lluna:
3,8  108 m; distància Sol-Lluna: 1,50  1011 m.
11
Des d’un lloc de la Terra s’observa el pas d’un
satèl·lit artificial cada 100 minuts. Suposant
que segueix una òrbita circular calcula:
a) El radi de la seva òrbita.
b) L’altura sobre la superfície terrestre en km.
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: 6,38  106 m.
12
Un planeta té un satèl·lit que descriu una òrbita
de radi 200 000 km en 250 hores. Quin seria el
període d’un satèl·lit d’aquest planeta si descrivís una òrbita de 500 000 km de radi?
13
Si la Terra es contragués fins que el seu radi fos
de només 20 km, quant pesaria en la superfície
terrestre una poma de massa 200 g?
S’anomena primera velocitat còsmica d’un
planeta la velocitat que teòricament hauria
de posseir un satèl·lit per mantenir-se en
òrbita circular al nivell de la super fície del
planeta. Cal suposar que el planeta no té
atmosfera, que frenaria el moviment del
satèl·lit, ni presenta obstacles amb els quals
podria xocar. Calcula la primera velocitat
còsmica de la Terra.
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: 6 400 km.
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
14
El planeta Júpiter, perfectament visible a primera vista, té quatre grans satèl·lits: Ió,
Europa, Ganimedes i Cal·listo, visibles amb
prismàtics. S’ha observat que Ió completa una
volta a l’entorn del planeta en 42,5 hores. El
radi de l’òrbita d’Ió s’estima en 422 000 km.
Suposant circular aquesta òrbita calcula la
massa de Júpiter.
G = 6,67  10–11 N m2 kg–2.
4
5
6
7
8
Calcula amb quina força atrau el Sol una
persona de 60 kg que és a la Terra.
Massa del Sol: 2  1030 kg.
Distància Terra-Sol: 1,5  108 km
Quant pesarà a la superfície de la Lluna una
persona de massa m = 60 kg? Compara el seu
pes en la Lluna amb el seu pes en la Terra.
Massa de la Lluna: ML = 7,35  1022 kg.
Radi de la Lluna: RL = 1 600 km
Amb quina força atrau el planeta Júpiter un
camió de 10 TM situat a la super fície de la
Terra quan tots dos planetes s’aproximen a
600 milions de km?
Massa de Júpiter: 1,9  1027 kg.
Una nau espacial viatja de la Terra a la Lluna.
Suposant que estigui alineada amb els centres dels dos astres, en quin punt seran
iguals les forces d’atracció de la Terra i de la
Lluna sobre la nau?
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg;
massa de la Lluna: 7,35  1022 kg
Distància Terra-Lluna: 3,8  108 m
26
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 26
7/4/09 11:45:16
Els planetes i els satèl·lits | 2
dificultat:
15
SENZILLA
MITJANA
ALTA
SENSE CLASSIFICAR
Calcula a quina distància de la super fície
terrestre cal situar un satèl·lit en òrbita circular per tal que sigui geostacionari, és a dir,
que es mantingui constantment sobre el
mateix punt de l’equador. Per això ha de fer
una volta a la Terra en 24 hores. Aquest és
el cas dels satèl·lits de televisió.
Massa de la Terra: MT = 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: RT = 6,38  106 m.
22
Un planeta té una massa de M = 3  1025 kg
i el seu radi és R = 107 m.
Des d’una altura de h = 5  106 m sobre la
super fície del planeta es deixa caure un cos
sense velocitat inicial. Calcula la velocitat
que assolirà quan arribi al terra del planeta.
23
Una nau espacial, quan es troba a 100 000
del centre de la Terra, se n’allunya amb una
velocitat de 6 km/s. Si es mou per inèrcia,
sense que se li apor ti energia, quina velocitat tindrà quan sigui a una distància de
200 000 km?
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Intensitat de camp gravitatori
16
Calcula la intensitat del camp gravitatori en la
superfície de Mart sabent que té una massa
de 6,4  1023 kg i un diàmetre de 6 790 km.
17
Quina seria l’acceleració de la gravetat en la
super fície d’un planeta de la mateixa densitat que la Terra però de doble radi?
18
El camp gravitatori en la super fície d’un planeta té una intensitat de 7 N/kg. Calcula la
massa d’un cos que pesa 350 N en la superfície d’aquest planeta.
19
Quant pesaria el mateix cos en la superfície d’un
altre planeta amb un camp gravitatori d’intensitat 20 N/kg?
L’acceleració de la gravetat en la super fície
del planeta Mercuri és de 2,35 m/s2. Amb
quina força atraurà un cos de massa 800 kg
que es troba a una distància de 4 960 km de
la seva super fície?
24
Un meteorit es mou cap a la Terra amb una
velocitat de 5 km/s quan és a 23 600 km de
la super fície terrestre. Amb quina velocitat
arribaria al terra si l’atmosfera no el frenés?
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: 6,38  106 m.
25
Una nau espacial de 2 000 kg de massa es
troba a 23 000 km de la super fície de la
Terra i se n’allunya a 18 000 km/h. Calcula’n
l’energia mecànica.
Aquesta energia és suficient per tal que escapi
de l’atracció gravitatòria del nostre planeta?
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg
Radi de la Terra: 6,38  106 m
26
L’any 1910 el cometa Halley es movia amb
una velocitat de 55 km/s quan era a
8,8  107 km del centre del Sol. La seva velocitat era de 42 km/s quan era a la mateixa
dis-tància del Sol que la Terra: 1,5  108 km.
Aplicant la conservació de l’energia mecànica, calcula la massa del Sol.
Radi de Mercuri: 2 480 km.
Energia potencial gravitatòria
20
Calcula l’energia potencial de la Lluna en el
camp gravitatori de la Terra.
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Massa de la Lluna: 7,35  1022 kg
21
Calcula l’energia potencial gravitatòria d’un
cos de 20 kg de massa en la super fície de la
Lluna i a una altura de 400 km sobre el sòl
lunar.
Amb quina velocitat inicial caldria llançar verticalment aquest cos des de la super fície de
la Lluna per tal que arribés a l’esmentada
altura de 400 km?
Massa de la Lluna: ML = 7,35  1022 kg.
Radi de la Lluna: RL = 1 600 km
Energia orbital
27
Calcula l’energia mecànica orbital d’un satèl·
lit artificial de massa m = 250 kg que recorre
una òrbita circular a h = 800 km d’altura
sobre la super fície de la Terra.
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: 6,38  106 m.
28
Un satèl·lit ar tificial en òrbita circular té una
energia cinètica de 2,4  1011 J. Determina
sense més dades els valors de la seva energia potencial gravitatòria i de la seva energia
mecànica.
27
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 27
7/4/09 11:45:18
2 | Els planetes i els satèl·lits
A C T I V I TAT S
29
30
Quina energia cal comunicar a un cos de
500 kg, que es troba en repòs a la superfície
de la Terra, sobre l’equador, per situar-lo en
una òrbita circular a 4 000 km d’altura?
Massa de la Terra = 6  1024 kg;
Radi de la Terra = 6 400 km.
Determina l’energia que cal comunicar a un
satèl·lit ar tificial de la Terra situat en una
òrbita de radi r1 = 7 000 km per transferir-lo
a una segona òrbita circular en la qual la
seva velocitat sigui la meitat que en la primera. Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Velocitat d’escapament
31 Calcula el valor de la velocitat d’escapament
de la Lluna.
Massa de la Lluna: 7,35  1022 kg
Radi de la Lluna: 1,74  106 m
32 La massa de Mar t és de 6,4  1023 kg i el
seu diàmetre de 6 790 km.
Una nau de 20 000 kg de massa es troba en
repòs sobre la super fície de Mar t, quina és
la mínima energia necessària per fer que
s’allunyi indefinidament del planeta?
33 Sabent que la massa de la Terra és 81,4
vegades la de la Lluna i el radi de la Terra
3,67 vegades el de la Lluna, compara l’energia necessària per tal que un cos escapi de
l’atracció gravitatòria de l’una i de l’altra,
suposant que es troba inicialment en repòs
sobre la seva super fície.
Tercera llei de Kepler
34 A par tir de la taula següent de dades reals
sobre els planetes del sistema solar comprova la tercera llei de Kepler.
Planeta
Període (s)
Distància mit·
jana al Sol (m)
Venus
1,94  107
1,08  1011
La Terra
3,16  107
1,50  1011
Mar t
5,94  10
2,28  10
Júpiter
3,74  108
7,78  1011
Saturn
9,30  108
1,43  1012
Urà
2,65  109
2,87  1012
Neptú
5,20  109
4,50  1012
7
35
El període del planeta Plutó és de 247,7
anys. Calcula’n la distància mitjana al Sol.
Distància mitjana de la Terra al Sol:
1,5  1011 km.
36
Calcula el període de l’asteroide Ceres
sabent que el radi de la seva òrbita al voltant
del Sol és 2,77 vegades més gran que el de
l’òrbita terrestre.
Òrbites el·líptiques
37
Un planeta té un satèl·lit que recorre la seva
òrbita en 5 h. La seva distància màxima al
centre del planeta és de 20 000 km i la mínima, de 12 000 km.
a) Determina l’excentricitat de la seva òrbita.
b) A quina distància del centre del planeta caldria situar un altre satèl·lit en òrbita circular
per tal que recorri la seva òrbita en el mateix
temps?
38
L’asteroide Ícar té una forma quasi esfèrica
de 1,4 km de diàmetre. Recorre una el·lipse
de molta excentricitat que el fa passar prop
de l’òrbita terrestre. Sabent que el seu afeli
és d’1,9692 UA i el periheli de 0,1866 UA,
determina’n el període orbital.
39
Un satèl·lit artificial de la Terra té una massa
de m = 400 kg. La seva distància màxima a
la super fície de la Terra és de 1 250 km i la
mínima, de 370 km
Calcula’n l’excentricitat de l’òrbita i l’energia
mecànica orbital.
Massa de la Terra: 5,98  1024 kg.
Radi de la Terra: 6,38  106 m.
40
Raona en quina de les dues òrbites, les
característiques de les quals es donen a
continuació, tindria un energia mecànica
més alta un satèl·lit.
Òrbita 1. Distància màxima al centre del planeta:
10 000 km. Excentricitat: 0,6.
Òrbita 2. Distància màxima al centre del planeta:
8 000 km. Excentricitat: 0,2.
11
28
001-028_U2.FIS.2BTX.CAT.indd 28
7/4/09 11:45:19