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MATEMÁTICAS I (UCLM)
EJERCICIOS DE MATEMATICAS I
, INOCENTE
13-14
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I
HOJA 4
Ejercicio 1. Se consideran los vectores
u1 = (1, −1, 0, 1), u2 = (0, 2, 1, 0), u3 = (−1, 1, 1, 1), u4 = (2, 2, 1, 0)
de R4 . Expresa, si es posible, los vectores u = (1, 1, −1, −3) y v = (1, 2, 0, 0) como
combinación lineal de los ui . A la vista de los resultados que has obtenido, ¿son los
ui sistema generador de R4 ? ¿Son linealmente independientes?
Ejercicio 2. Se consideran los vectores
u1 = (2, 0, 1, 1), u2 = (0, −1, 2, 1), u3 = (1, 1, 0, 2)
4
de R . ¿Pueden formar sistema generador de R4 ? Encuentra, si es posible, un valor
de α para que el vector u = (3, 0, 0, α) sea combinación lineal de los ui . Encuentra,
si es posible, un valor de β para que el vector v = (0, −β, β, 2) sea combinación
lineal de los ui .
Ejercicio 3. Dados los vectores
u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, 0, 2), u3 = (0, 2, 1),
estudiar si son linealmente independientes. Si añadimos un vector más a la colección
anterior, ¿seguirán siendo linealmente independientes? ¿Y si quitamos un vector en
lugar de añadirlo?
Ejercicio 4. Determinar para qué valor de α son linealmente dependientes los
siguientes vectores:
u1 = (0, 1, α, 0), u2 = (−1, 0, 1, α), u3 = (1, 0, α, 1), u4 = (−1, 1, 0, 1).
¿Para qué valores de α forman base de R4 los vectores ui ?
Ejercicio 5. Para cada una de los siguiente subespacios determina una base, su
dimensión, y unas ecuaciones implícitas:
1) H1 := L((2, 1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1)),
2) H2 := L((0, 1, −2, 1), (−1, 2, 1, 0), (−1, 4, −3, 2)),
3) H3 := L((2, 1, 0), (−1, 2, 1)).
Responde además las siguientes cuestiones.
i ) ¿Pertenece el vector u = (1, −1, −3, 1) a H1 o a H2 ?
ii ) ¿Y el vector v = (0, 1, 2) a H3 ?
iii ) Calcula, si es posible, para qué valores de α pertence w = (α, 1, 1) a H3 .
iv ) Pon ejemplos de vectores que no pertenezcan a H1 , H2 y H3 .
v ) Pon ejemplos de vectores que sí pertenezcan a H1 , H2 y H3 .
Ejercicio 6. Encuentra bases y ecuaciones implícitas de los siguientes subespacios.
1) H1 = L((1, 2, 1)),
2) H2 = L((−1, 0, 2, 2), (1, 1, 0, 1), (−1, 2, 6, 8)),
3) H3 = L((1, 0), (0, 1)),
4) H4 = L((2, −1, 2, 1), (−1, 0, 2, 1), (3, −2, 6, 3)).
Ejercicio 7. Dados unos vectores u1 , u2 , . . . , um de Rn , demuestra que puede escribirse el vector 0 como combinación lineal suya. Teniendo esto en cuenta, responde
a la siguiente pregunta: dada una colección de vectores de Rn entre los cuales está
el vector 0, ¿pueden ser linealmente independientes?
1
2
Ejercicio 8. Dados los vectores
u1 = (1, 2, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1, 0), u3 = (0, 2, 1, 1),
comprueba que son linealmente independientes. Responde además las siguientes
cuestiones.
i ) ¿Puedes añadir un vector a los ui de modo que sigan siendo linealmente
independientes?
ii ) ¿Puedes añadir uno (o más) vectores a los ui de modo que sean base de R4 ?
iii ) ¿Puedes encontrar un vector que dependa linealmente de los ui ?
iv ) ¿Puedes añadir dos vectores a los ui de modo que sigan siendo linealmente
independientes?
Ejercicio 9. La refinería HappyOil produce gasolina mezclando tres tipos de
petróleo procedentes de Libia, Venezuela y Brasil. La vende en dos tipos de barriles,
ambos de 50 litros, pero con distinta proporción de cada tipo de petróleo:
Libia Venezuela Brasil
Tipo I
20
10
20
Tipo II
15
15
20
Una gasolinera en España quiere fabricar una mezcla que contenga un 34 % de
petróleo procedente de Libia, un 26 % de Venezuela y un 40 % de Brasil. ¿Pueden
fabricar esta gasolina a partir de los barriles que produce HappyOil? ¿Y si quieren
fabricar una mezcla que contenga un 20 % de petróleo libio, un 20 % venezolano y
un 60 % brasileño?
Ejercicio 10. Inventa un problema similar al anterior y resuélvelo.