UNIVERSIDAD DE LA SERENA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
LA SERENA-CHILE
EJERCICIOS ANALISIS NUMERICO PARA INGENIERIA
Héctor Andrés Torres Apablaza
2014
ii
Contents
1 DERIVACION NUMERICA
1.0.1
3
Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 RESOLUCION NUMERICA EDO
2.0.2
3
7
Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7
2
Chapter 1
DERIVACION NUMERICA
1.0.1
Ejercicios Propuestos
1.- Considerando la fórmula de aproximación de derivadas (de orden m) de la forma
P
f m (α) ≈ ni=0 Ai f (xi ). Calcular la aproximación de la segunda derivada en α = 4 usando
xi
1 2 3
los siguientes datos en la tabla
esta dada por
f (xi ) 0 1 4
2.- Determinar la aproximación de la segunda derivada de f (x) usando series de Taylor y los puntos x + 2h y x − 2h.
3.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de
la primera derivada:
4.- Usando las aproximaciones anteriores de ejercicio 3, la de orden O(h) y la primera
de orden O(h4 ), aproximar la primera derivada de cotg(x) en el punto x = 2, usando
3
4
h = 0.1,
h = 0.05,
h = 0.01,
h = 0.005. Comparar los resultados.
5.- Usando las aproximaciones anteriores de ejercicio 3, la de orden O(h) y la primera
de orden O(h4 ), aproximar la primera derivada de ex en el punto x = 1, usando h =
0.1,
h = 0.01,
h = 0.01,
h = 0.001,
h = 0.0001,
h = 0.00001. Comparar los
resultados.
6.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de la
segunda derivada:
donde fk = f (xk ), además xk = x0 + kh y k ∈ Z.
7.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de las
terceras y cuartas derivadas:
donde fk = f (xk ), además xk = x0 + kh y k ∈ Z.
8.- Deducir una fórmula de cinco puntos que utilice los valores de la función en los puntos
x, x + h, x + 2h, x + 3h y x − h para calcular f 0 (x).
5
9.- Usando desarrollo de Taylor, determinar la aproximación de la primera derivada de
una función f (x) en el punto x0 , utilizando diferencias centradas con los puntos x0 − h/2
y x0 + h/2. Determinar además el orden de aproximación.
10.- Aproximar la segunda derivada de f (x),
a.- Usando los puntos x +
b.- Usando los puntos x −
h
2
h
2
y x + h. Obtener el orden de aproximación.
y x + h2 . Obtener el orden de aproximación.
c.- Usar a) y b) para aproximar el valor de f 00 (1) con f (x) = ex y h = 0.1. Que se concluye
de las aproximaciones con respecto al valor exacto.
11.- Aproximar la tercera derivada de f (x) usando los puntos x − 2h, x − h, x + h y
x + 2h. Obtener el orden de aproximación. Usar este resultado para aproximar el valor de
f 00 (2) con f (x) =
1
x
y h = 0.1. Calcular error cometido.
12.- Hacer tareas de la teoria.
6
Chapter 2
RESOLUCION NUMERICA EDO
2.0.2
Ejercicios Propuestos
1.- Dado el problema de valores iniciales
u0 (t) = 1 + (u − t)2
u(0) = 0.5
b≤t≤a
Usar el método de Euler Progresivo para calcular valores aproximados u1 , u2 , ..., uN de la
solución u(t) en los puntos t1 , t2 , ..., tN , Considerando N = 10(h = 0.1), a = 0, b = 1.
(Solución: La fórmula de Euler esta dada por
uk+1 = uk + h[1 + (uk − tk )2 ]
La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales
7
8
ti
ui
0
0.5
0.1 0.625
0.2 0.753
0.3 0.883
0.4 1.017
0.5 1.155
0.6 1.298
0.7 1.447
0.8 1.603
0.9 1.767
1
1.942
)
2.- Usando el método de Euler Progresivo con h = 0.1 determinar la solución en t = 1,
para cada uno de los siguientes problemas:
a.- u0 = 1 + t − u, u(0) = 0 (solución u10 = 1)
b.- u0 = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (solución u10 = 1)
c.- u0 = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (solución u10 = 1.805)
3.- Considerar el mismo problema del ejercicio 1 usando el método de Heun (R-K-2).
(Solución La fórmula esta dada por
p1 = f (uk , tk ) = 1 + (uk − tk )2
p2 = f (uk + hp1 , tk+1 )
uk+1 = uk +
h
p 1 + p2
2
La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales
9
ti
ui
0
0.5
0.1 0.626
0.2 0.755
0.3 0.888
0.4 1.025
0.5 1.166
0.6 1.313
0.7 1.469
0.8 1.632
0.9 1.808
1
1.998
)
4.- Usando el método de Heun (R-K-2) con h = 0.1 determinar la solución en t = 1,
para cada uno de los siguientes problemas:
a.- u0 = 1 + t − u, u(0) = 0 (solución u10 = 1)
b.- u0 = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (solución u10 = 1)
c.- u0 = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (solución u10 = 1.983)
5.- Considerar el mismo problema del ejercicio 1 usando el método de Runge-KuttaClásico. (Solución La fórmula esta dada por
p1 = f (uk , tk ) = 1 + (uk − tk )2
h
h
h
h
p2 = f (uk + p1 , tk + ) = 1 + (uk + p1 − tk − )2
2
2
2
2
h
h
h
h
p3 = f (uk + p2 , tk + ) = 1 + (uk + p2 − tk − )2
2
2
2
2
2
p4 = f (uk + hp3 , tk+1 ) = 1 + (uk + hp3 − tk+1 )
uk+1 = uk +
h
p1 + 2p2 + 2p3 + p4
6
10
La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales
ti
ui
0
0.5
0.1 0.626
0.2 0.756
0.3 0.888
0.4 1.025
0.5 1.167
0.6 1.314
0.7 1.469
0.8 1.633
0.9 1.809
1
1.999
)
6.- Usando el método de R-K-C con h = 0.1 determinar la solución en t = 1, para
cada uno de los siguientes problemas:
a.- u0 = 1 + t − u, u(0) = 0 (solución u10 = 1)
b.- u0 = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (solución u10 = 1)
c.- u0 = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (solución u10 = 1.999)
7.- Determinar el siguiente problema de valor inicial
u0 = −u + t + 1,
0≤t≤1
u(0) = 1
Determinar la solución exacta del problema. Despues, determinar la solución aproximada
considerando h = 0.1 y los siguientes métodos:
a.- Método de Euler Progresivo.
b.- Método de Heun (R-K-2).
c.- Método de R-K-C.
11
Considerar para cada método el error dado por Error = |uj − u(tj )| en cada paso tj y
medir este error en cada paso. 7.- (20 pts) Considerar el siguiente problema de de valores
iniciales,
u0 (t) = 4 − 3u(t),
t > 0,
con la condición inicial u(0) = 1.
La solución analı́tica esta dada por
u(t) = −
e−3t 4
+ .
3
3
Determinar h para que el método de Euler progresivo sea estable.
(
Ayuda:
- Por si lo necesitan
Pk−1
i=0 (r)
i
=
1−rk
1−r
)
8.- Considerar el siguiente problema de de valores iniciales,
1 + e−3t u0 = 0,
t > 0,
con la condición inicial u(0) = 1.
La solución analı́tica esta dada por
u(t) = −
e3t 4
+ .
3
3
a.- Utilizar el método de Euler progresivo para obtener solución aproximada en t = 0.3,
con h = 0.1.
b.- Utilizar el método de Heun explı́cito (R-K-2) para obtener solución aproximada en
t = 0.3, con h = 0.1.
c.- Cual de los dos métodos entrega mejor solución ?.
0
