Universidad Central Marta Abreu de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Evaluación de Circuitos Eléctricos III Título: Diseño y análisis de Filtros Activos Autor: Rolando Fleites Gutiérrez #18 Ingeniería Automática Tercer Año Santa Clara 2014-2015 El presente trabajo pretende diseñar un filtro activo pasobanda utilizando el método de aproximación de Butterworth. Los datos utilizados para la realización del filtro son: Donde f1, f4 son las frecuencias esquina de la banda de rechazo y f2, f3 las frecuencias esquina de la banda de paso, Pdb es el error máximo que puede aparecer en la banda de paso (en dB) y Rdb es la atenuación mínima que puede haber en la banda de rechazo (en dB). Para la realización del filtro anterior primero se procedió a calcular el orden y obtener el diagrama de polos y ceros y la función de red empleando la herramienta computacional Matlab. Matlab es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio. Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. Una vez introducidos los datos en Matlab (Ver anexo 1) para el diseño se obtuvieron los resultados siguientes: Orden: N_butt = 4 Como es paso banda al desnormalizar se obtendrá una función transferencial de orden 8 (2*N) . Función transferencial 2.166e013 s^4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 5637 s^7 + 2.537e007 s^6 + 6.63e010 s^5 + 1.306e014 s^4 + 1.57e017 s^3 + 1.423e020 s^2 + 7.492e022 s + 3.148e025 Polos, ceros y ganancia z= 0 0 0 0 p= 1.0e+003 * -0.6412 + 2.7976i -0.6412 - 2.7976i -1.3170 + 1.6968i -1.3170 - 1.6968i -0.6762 + 0.8712i -0.6762 - 0.8712i -0.1844 + 0.8044i -0.1844 - 0.8044i k = 2.1662e+013 Diagrama de polos y ceros: Como se puede observar en el diagrama de polos y ceros todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo lo que implica estabilidad del circuito. Existen cuatro pares de polos complejos conjugados que forman circunferencias desplazadas del origen producto de que el paso banda es el resultado de la combinación de un filtro paso bajo en serie con uno paso alto. Presenta cuatro ceros (0) y ceros en el infinito. Para realizar el diseño del filtro y obtener la simulación y análisis del mismo fue utilizado el software Filter Wiz Lite. Este programa ayuda al usuario diseñando filtros activos (analógicos) entre el orden 1 y 10 mediante el cálculo de funciones de aproximación de Butterworth, Chebyshev (I y II), elíptica y Bessel, siendo una de las herramientas de software libre para el diseño y simulación de filtros activos más completa. La figura anterior muestra los resultados calculados por el software una vez introducidos los valores del filtro que se quiere diseñar (se encuentran resaltadas en recuadro azul los valores de la tarea asignada que se introdujeron y en rojo los valores obtenidos para el filtro mediante la aproximación de Butterworth pedida). Dada la aproximación de Butterworth obtenemos que: el circuito es de orden 8 (se confirma el orden obtenido en Matlab), posee 4 etapas, tiene 4 pares de polos, no tiene polos simples, no tiene pares de ceros, tiene cuatro ceros simples, el factor de calidad del polo máximo es de 2.5. Las gráficas obtenidas con el software (una vez pulsada la opción siguiente) se muestran a continuación: Respuesta de magnitud contra frecuencia: Como se observa en la figura la respuesta de magnitud es monótona en todas las bandas, con mínimo error en la de paso, característico de la aproximación de Butterworth. La amplitud del error en la banda de paso es inferior al valor de PdB indicado como parámetro de diseño. En la banda de rechazo tampoco se supera a RdB, cumpliendo con los requisitos de diseño. En el botón de Configuración se obtuvo la imagen anterior como se muestra a continuación: Respuesta de fase contra frecuencia: Se analizará la gráfica de demora de grupo ya que brinda más información que esta. Demora de grupo contra frecuencia: Como se puede observar en la figura al inicio para frecuencias menores que 200 Hz las frecuencias viajan a diferentes velocidades existiendo dispersión al igual que a frecuencias mayores de 350 Hz. El rango en el que tienden a ser más estables se encuentra de 200 a 350 Hz. Podemos concluir que el circuito es dispersivo. Respuesta al Impulso: Como se puede observar la respuesta transitoria al impulso tiende a cero con el transcurso del tiempo, lo que implica que el circuito sea estable, respuesta esperada ya que anteriormente se analizó en el diagrama de polos y ceros que todos los polos estaban en el semiplano izquierdo. Diseño final del circuito Para pasar al diseño final del circuito se tomó en cuenta el factor de calidad de cada etapa, ubicándolas en orden ascendente en dependencia del mismo. A la hora de escoger un circuito específico para cada etapa se consideró la estrategia brindada por el propio software. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Finalmente, Filter Wiz Lite simula el circuito y muestra las respuestas que ofrece. Como se puede apreciar las respuestas de magnitud, fase y demora de grupo contra frecuencias del circuito se acerca notablemente de la que tiene la función de red calculada mediante aproximación. Esto es, en gran medida, debido al uso de valores comerciales de resistores y capacitores (escala E96) que a pesar de no ser exactos ofrecen mejores resultados que las anteriores (Ej E24). Conclusiones Con el presente trabajo se diseñó un filtro activo pasobanda utilizando el método de aproximación de Butterworth, cumpliendo con los requisitos de diseño planteados. Filter Wiz Lite y Matlab se emplearon como herramientas computacionales para el cumplimiento del objetivo. Estas herramientas a pesar de trabajar con elementos activos ideales son muy útiles en la práctica. Cabe destacar que a pesar de tener estas herramientas para el diseño es importante tener dominio de los conceptos teóricos para la realización del mismo. Bibliografía: - Alba “Fundamentos de la Teoría de Circuitos III”. - Ayuda de Filter Wiz Lite. - Ayuda de Matlab. - Conferencias del profesor (en \\10.12.1.66\docs\FIE\Asignaturas\AsigBas\Circuitos - Electricos\CE III Autom). - Wikipedia 2013. Anexos %% Declaración de variables y datos. clear all clc PdB = 1.20; RdB = 45; wp1 = 2*pi*150; wp2 = 2*pi*400; wr1 = 2*pi*40; wr2 = 2*pi*1300; wp=[wp1 wp2]; wr=[wr1 wr2]; [N_butt, wp_butt] = buttord(wp, wr, PdB, RdB, 's') %orden [b_butt, a_butt] = butter(N_butt, wp_butt, 's') G=tf(b_butt,a_butt) % Función transferencial [z,p,k]=tf2zp(b_butt,a_butt) %Polos y ceros
