Fórmulas adicionales e importantes

Bioestadı́stica: Fórmulas adicionales e importantes
• Aproximación de una Binomial por una Normal. Para n grande (n ≥ 30) y, por ejemplo,
00 1 < p < 00 9:
q
B(n, p) ≈ N (µ = np, σ = np(1 − p))
• Distribución de la media muestral de una mustra aleatoria de una v.a. Normal.
√ Si X ∼
N (µ, σ) y (X1 , X2 , . . . , Xn ) es una m.a. de tamaño n, entonces X ∼ N (µ, σ/ n)
Contrastes χ2
• Contraste de la bondad del ajuste (primer caso).
H0 : La población X sigue el modelo P indicado
k clases de los posibles valores de X: A1 , A2 ,. . . , Ak .
Oi = frecuencia observada en la clase Ai .
ei = nP (Ai ) = frecuencia esperada en la clase Ai , suponiendo que H0 es cierta.
Estadı́stico de contraste:
Pk
i=1
(Oi −ei )2
ei
Pk
Oi2
i=1 ei
=
k
X
Oi2
R={
ei
i=1
− n.
− n > χ2k−1; α }
• Contraste de la bondad del ajuste (segundo caso).
H0 : La población X sigue algún modelo Pθ de una cierta familia de distribuciones
r = número de los parámetros desconocidos: θ = (θ1 , θ2 , . . . , θr ).
k clases de los posibles valores de X: A1 , A2 ,. . . , Ak .
Oi = frecuencia observada en la clase Ai .
ei = nPθ̂ (Ai ) = frecuencia esperada en la clase Ai , suponiendo que H0 es cierta (y usando
el estimador de máxima verosimilitud θ̂ del parámetro θ).
k
X
Oi2
R={
i=1
ei
− n > χ2k−1−r; α }
• Contrastes de homogeneidad y de independencia.
H0 : Las p poblaciones X1 , X2 , . . . , Xp son homogéneas
H0 : Las caracterı́sticas X e Y de la población son independientes
En ambos casos, k clases Ai , como antes. (Contraste de independencia: p clases para la
segunda caracterı́stica, Y : B1 , B2 , . . . Bp .)
Frecuencias observadas: Oij .
P
Frecuencias esperadas: eij = nj P̂ (Ai ) =
Estadı́stico de contraste:
Pk
i=1
Pp
j=1
(
columna
(Oij −eij )2
eij
p
k X
2
X
Oij
R={
i=1 j=1
eij
=
P
i−ésima )·(
n
2
Pk Pp Oij
i=1
j=1 eij
− n > χ2(k−1)(p−1); α }
fila
− n.
j−ésima )