ECUACIONES BÁSICAS

E C UA C I O N E S B Á S I C A S
El estudio de las ondas que se propagan en un medio elastico general requiere encontrar
soluciones de la ecuación de movimiento o de ondas:
u   ij, j  f i (1)
donde es densidad,

u  (u1, u2 , u3 ) es el vector de desplazamiento,
 ij   ji es el tensor de tensiones, y

f  ( f1, f2 , f3 ) son 'fuerzas de cuerpo' (body forces) con unidades
de fuerza por unidad de volumen.
A diferencia del tensor de tensiones que da cuenta de las fuerzas de contacto entre partículas

adyacentes del medio elástico, f representa en general fuerzas generadas por procesos externos al
medio elástico mismo, como podría por ejemplo ser una fuente sismica impulsiva aplicada en un

determinado punto del medio. Para estudios de propagación, f será en general nula salvo en la
regi"on ocupada por la fuente. Todos los términos en (1) dependen en general de la posición

x  ( x1, x2 , x3 ) y del tiempo t .
En (1) se hace uso de la convención Einstein, es decir 'indices repetidos can sumados de 1 a 3.
Los índices después de la coma denotan derivada parcial con respecto a la correswpondiente
coordenada y el punto sobre una variable, su derivada temporal. Así por ejemplo:
 ij, j 
 i1  i 2  i 3
(2)


x1 x2
x3
A las tensiones  j aplicadas a un medio elástico, responde deformándose. Este estado de
deformación se describe por medio del tensor de deformaciones
eij 
1
(ui , j  u j ,i )
2
de donde inmediatamente resulta que eij  e ji . Entonces tanto el tensor de tensiones como el de
deformaciones son simétricos. La relación entre los tensores de tensión y deformción se debe en
principio encontrar experimentalmente. De manera análoga a lo que sucede con un resorte sometido
a esfuerzo, para un cuerpo elastico se encuentra que la tensión es proporcional a la deformación y
viceversa. Para uncueerpo elástico la forma más general de esta relación es de que cada coponente
del tensor de tensiones se puede expresar como una combinación lineal de todas la componentes del
tensor de deformaciones
 ij  cijpqepq (4)
donde cijpq es un tensor de cuarto orden con un total de 34=81 'constantes elásticas'. Las cijpq tienen
dimensiones de fueerza por unidad de área y son independientes de eij . De allí que se las llame
'constantes elásticas' a pesar de que en general dependen de la posición.
La relación expresada en (4) es válida para medios anisótropos inhomogéneos y su uso en estas
condiciones implica el conocimiento de 81 constantes elásticas. Las simetrías de  ij y eij , sin
embargo, permiten concluir fácilemente que c jipq  cijpq y que cijqp  cijpq .

F  (F1, F2 , F3 )
Fi   ij n j dA
donde
 ijn j es fuerza por unidad de área.

F es la fuerza sobre el volumen V ejercida por el resto del medio a través
de dA.
En un fluido por ejemplo:
 ij  P ij , P presión.

Fi   ij n j dA  P ij n j dA  Pni dA o sea, F   PnˆdA.
Si no hay gradiente de presión no hay fuerza neta entre elementos. En general si no hay
gradiente de  ij en una dirección no hay **
Respectivamente. Este hecho inmediatamente reduce el número de constantes elásticas
independientes de 81 a 36. Argumentos termodinámicos permiten por otro lado demostrar que
c pqij  cijpq lo que finalemente lleva a concluir de que incluso en el caso anisótropo más general hay
sólo 21 constantes independientes. Las rocas que componen las deiversas estructuras geológicas son,
sin emargo, fundamentalmente isótropas, resultando que para la mayorIía de los problemas de
interés, isotropía es una suposición adecuada. Isotropía reduce el número de constantes elásticas
independientes a sólo 2. Para un medio isótropo entonces se tiene
cijpq   ij pq   ( ip jq   iq jp ) (5)
donde  y  son las constantes elásticas de Lamé.  y  se pueden expresar en término de otros
parámetros elásticos como son por ejemplo el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson 



E
E
  

(1   )(1  2 )
2(1   )

A su vez  y  pueden combinarse para expresar otros parámetros elásticos. Para la
incompresibilidad K por ejemplo, que da la razón entre un cambio de presión y el correspondiente
cambio relativo de volumen, se tiene
K  V
P
2
E
  
V
3
3(1  2 )
(7)
El uso de (5) en (4), da la relación general entre tensiones y deformaciones en un medio
isótropo
 ij   ijekk  2eij
(8a)
o en termino de los desplazamientos
 ij   ijuk , k  (ui, j  u j ,i )
(8b)
La ecuación de ondas para los desplazamientos en un medio isótropo general, se obtiene
reemplazando (8b) en (1). Luego de simple álgebra resulta
ui  (  )u j ,ij  ui, jj  ,iu j , j  , j (uij  u j ,i )  fi (9)
Una expresión alternativa se obtiene sumando (9) en forma vectorial de I = 1 a 3







u  (  )(  u )  2u    u      u  2(  )u  f (10)
 ij  cijpqepq para un medio isótropo
 ij   ij pq  ( ip jq   iq jp epq
  ij pqepq   ip jqepq   iq jpepq
  ijekk  eij  e ji , eij  e ji
  ijekk  2eij
Como eij 
1
ui, j  u j ,i  y ekk  uk ,k    u se puede también escribir
2

 ui
 ij   ij  u   
 x j

u j 

xi 
  ijuk , k   (ui , j  u j ,i )

Cabe destacar que   u 
V
, ( donde  V es el cambio relativo de volumen)
V
Reemplazando en la ecuación dinámica se tiene

ui   ij, j  fi


  ijuk , k   (ui, j  u j ,i ) , j  fi
 (uk , k ),i  ( (ui, j  u j ,i )), j   (ui, jj  u j ,ij )  fi
 (   )u j ,ij  ui , jj  ,iu j , j  , j (ui , j  u j ,i )  fi
I
Si sumamos vectorialmente obtenemos
II
III
IV





 
 2u
 2  (   )(  u )   2u    u    (  u )  2(  )u  f
t
I
II
III
IV