Formulario Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden M. Variables Separables M. Reducción a Variables Separables Forma Forma dy = f(Ax + By + C) dx M x, y dx + N x, y dy = 0 Se despeja mediante factorizaciones y se integra con sus respectivos diferenciales: න g x dx = න h y dy Sustitución dy 1 du = −A dx B dx Resolver por variables separables u = Ax + By + C, → M. Ecuaciones que pueden ser exactas M. Exactas Forma M x, y dx + N x, y dy = 0 Forma Comprobación 𝜕M 𝜕N = 𝜕y 𝜕x Comprobación Resolver dφ = M x, y dx dφ = N x, y dy La solución es la función φ x, y = 0 𝜕M 𝜕N = 𝜕x 𝜕y Comprobación f tx, ty = t n f(x, y) ← Si no cumple. Sustitución Usar factor integrador My −Nx dx N μ x = e Nx −My dy M ó μ y = e Ecuación exacta μ ∙ M x, y dx + μ ∙ N x, y dy = 0 Resolver por EDO’s exactas M. Solución General M. Bernoulli Forma Forma Estándar dy + P x y = f x ∙ yn dx y ′ x + P x y = f(x) Solución General y x = e− P x dx Sustitución න e P x dx ∙ f x dx Forma M x, y dx + N x, y dy = 0 M x, y dx + N x, y dy = 0 ← Si cumple la igualdad, es exacta. M. Homogéneas 1 dy y n du = ∙ dx 1 − n dx 2 u = y1−n Resolver por solución general x = uy, dx = udy + ydu y = vx, dy = vdx + xdv Solución variables separables Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden (Aplicación) Circuito en serie LR Crecimiento Poblacional Forma Forma dP = kP(t) dt Solución P t = P0 ekt Población inicial Solución P 0 = P0 q t = Decaimiento Radiactivo Forma L t m = Vida Media E(t) = Fem Degradación de compuestos Tm = Temperatura Ambiente T0 = Temperatura Inicial Solución Forma dC = kC(t) dt Solución T t = T0 − Tm ekt C t = C0 e−kt + Tm Caída libre con resistencia del aire Forma dv = mg − kv dt 𝑣0 = Velocidad inicial 𝑦0 = Posición Inicial Solución mg mg − k t + v0 − e m k k y t = y0 + a t = R = Resistencia R 1 R i t = e−L t න eLt E t dt L Forma v t = L = Inductancia di + Ri = E t dt Ley de Enfriamiento de Newton dT = k T t − Tm dt 1 1 −1t e RC න eRCtE t dt R Solución 1 A t m = A0 2 A t = A0 ekt E(t) = Fem Forma A 0 = A0 Solución R = Resistencia Circuito en serie LR Población inicial dA = kA(x) dt m C = Capacitancia dq 1 R + q=E t dt C mg m mg t+ v − k k 0 k m2 g mv0 − k t − e m k2 k k 1 − e−mt Concentración inicial C 0 = C0 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden Homogéneas con Coeficientes Constantes Ecuación de Cauchy-Euler (Homogénea) d2 y dy + bx + cy = 0 2 dx dx Ecuación de auxiliar am2 + b − a m + c = 0 Forma Estándar ax 2 ay ′′ x + by ′ x + cy x = 0 Ecuación Auxiliar am2 + bm + c = 0 Caso 1: Raíces reales y distintas Caso 1: Raíces reales y distintas yc = c1 x m1 + c2 x m2 y x = c1 em1x + c2 em2x Caso 2: Raíces reales y repetidas yc = c1 x m + c2 x m Ln(x) Caso 2: Raíces reales y repetidas y x = c1 emx + c2 xemx Caso 3: Raíces complejas Caso 3: Raíces complejas y x = eαx yc = x α c1 Cos βLn x c1 Cos(βx + c2 Sen(βx)) Superposición Variación de parámetros Se obtiene la solución complementaria yc yc = c1 y1 x + c2 y2 x W= u1 = − න + c2 Sen βLn x y1 x y1′ x y2 x f x W(x) y2 x y2′ x u2 = න y1 x f x W(x) yp = u1 x y1 x + u2 x y2 x 𝐠(𝐱) Forma de 𝐲𝐩 1 5x + 7 3x 2 − 2 x3 − x + 1 Sen 4x Cos 4x e5x 9x − 2 e5x x 2 e5x e3x Sen 4x 5x 2 Sen 4x xe3x Cos 4x A Ax + B Ax 2 + Bx + C Ax 3 + Bx 2 + Cx + E ACos 4x + BSen 4x ACos 4x + BSen 4x Ae5x Ax + B e5x Ax 2 + Bx + C e5x Ae3x Cos 4x + Be3x Sen 4x Ax 2 + Bx + C Cos 4x + Ex 2 + Fx + G Sen 4x Ax + B e3x Cos 4x + Cx + D e3x Sen 4x Coeficientes Indeterminados: Método Anulador Segunda Solución Operador → f(x) y2 x = y1 (x) න Dn → 1, x 2 , … , x n−1 D−α n → eαx , xeαx , x 2 eαx , … , x n−1 eαx D2 − 2αD + α2 + β2 n → eαx Cos βx , xeαx Cos βx , x 2 eαx Cos βx , … , x n−1 eαx Cos βx D2 − 2αD + α2 + β2 n → eαx Sen βx , xeαx Sen βx , x 2 eαx Sen βx , … , x n−1 eαx Sen βx Despejar D, mediante la ecuación auxiliar y obtener las constantes de yp por sustitución. e− P x y12 x dx dx
