Factorización en función de los restos cuadráticos

FACTURACION EN FUNCION DE LOS RESTOS
CUADRATICOS , MODULO 144 n
2
ºFACTORIZACION EN FUNCION DE LOS RESTOS CUADRATICOS ,MODULO 144 n
====================================================================
Como sabemos, la factorización consiste en llegar a conocer los divisores de un número
dado.
La identificación de los números y de los factores primos de un número compuesto , juega un papel crucial de gran parte de los esquemas de la criptografía , sistemas creados para guardar en
secreto los secretos. (1)
En el siglo III antes de Cristo , Eratóstenes de Cirene descubrió la criba que se le conoce
con ese mismo nombre .
Hace dos o tres décadas, demostrar interés por la factorización, era síntoma de excentricidad; únicamente un puñado de teóricos de los números se preocupaban de luchar con kilométricas series de dígitos.
Hoy día resulta de mucho más interés, debido a que la seguridad de varios sistemas importantes de criptografía, depende de la dificultad de factorizar números de 100 ó más dígitos. (2)
En 1971 , John Brillhart y Mike Harrison , demostraron dando un rodeo ,en lugar de ,
con ataque directo, la factorización de un número “duro “. La idea está basada en hallar dos números
2
2
“x” e “y” que satisfazgan la ecuación x - y = N . En otras palabras , el matemático que trate
de descomponer un compuesto “duro” , habrá de encontrar 2 cuadrados, cuya diferencia sea el número a
factorizar. (3)
Este método se encuentra recogido , en carta sin fecha , aproximadamente año 1643 y
dirigida por Fermat al fraile Marin Mersenne , teólogo y filósofo ,amigo de Descartes, y que escribió
algunos trabajos de matemáticas. (4) .
En “Introducción a la Teoria de los números primos” (5) ,de Fernández-Asenjo y Tena
Ayuso, éste último cita algunas variantes al método de Fermat , como , “Factorización con cribas” (6) ,
“Algoritmo de Bases de Factores” (7).
El presente método de factorización , es una variante del “método de Fermat” , que
simplifica éste, en función de los restos cuadráticos módulo 144 n. Ello es que procede ,antes de nada,
exponer lo relacionado con dichos restos.
2
3
Restos cuadráticos de los factores de un número , módulo 144 n .
Dado un número impar , “N” , no múltiplo de 3 ni de 5 , y cuyos divisores son “x “ e
“ y “ , podemos conocer “a priori” el resto cuadrático , módulo 144 n ,de :
2
(x+y)
--------------  R ( módulo 144 n )
4
Nuestro punto de partida será :
2
2
( N + 1)
(x+y)
------------ - -----------4
4
, y después del correspondiente desarrollo , llegamos a ,
2
2
(N+1)
(x+y )
(x + 1) ( x- 1 ) ( y + 1 ) ( y – 1 )
----------- - ----------- = ---------------------------------------4
4
4
=
DIFERENCIA
En un principio hemos de precisar que “N” puede estar encuadrado en uno de estos
tres Grupos :
Grupo nº 1 :
N
 +ó- 3
( módulo 8 )
N
 +ó- 1
( módulo 8 )
x  + ó – 1 ( mod.8 )
y+ó–1
N
 +ó- 1
( módulo 8 )
x  + ó – 3 ( mod. 8 )
y  + ó - 3 ( mod.8 )
Grupo nº 2 :
( mod.8 )
Grupo nº 3 :
--------------------------------------------------------------Si “N” pertenece al 3º Grupo :
Si (x+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (x-1) , o viceversa .
Si (y+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (y-1) , o viceversa .
 0
( módulo 16 )
DIFERENCIA
 0
( módulo 32 )
DIFERENCIA
 0
( módulo 64 )
DIFERENCIA
Si “ N ” pertenece al 1º Grupo :
Si ( x + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( x – 1 ), o viceversa.
Si ( y + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( y – 1 ), o viceversa.
Si “ N ” pertenece al 2º Grupo :
3
4
Por otra parte , como ni “ x ” ni “ y ” son múltiplos de “ 3 ” :
Si ( x + 1 )
Si ( y + 1 )
 0 ( mod. 3 ), implica que ( x – 1 ) no  0 ( mod.3 )
 0 ( mod. 3 ), implica que (y -1 ) no  0 ( mod. 3 )
o viceversa en ambas.
Conclusión :
Si “ N “ es del Grupo 3º .-
DIFERENCIA
 0 ( módulo 144 )
Si “ N “ es del Grupo 1º .-
DIFERENCIA

0 ( módulo 288 )
Si “ N “ es del Grupo 2º.-
DIFERENCIA

0
( módulo 576 )
Con esto sabemos que ,
2
2
( N+1)
( x+y )
------------- - --------------4
4
 0 ( módulos 144 ó 288 ó 576 )
( En la práctica no podemos emplear el módulo 576 ,puesto que en un principio ,no sabemos diferenciar , si un número pertenece al Grupo 3 ó 2 )
Creemos haber justificado el siguiente :
TEOREMA
--------------“ Dado un número N , impar , no múltiplo de 3 , ni de 5 , congruente  1 , módulo 8 ,
cuyos factores “x” e “y” son congruentes  3 , módulo 8 , la congruencia de la semisuma de sus
factores , elevada al cuadrado , módulo 144 , es la misma que [ ( N+1) / 2 ] ,igualmente elevado al
cuadrado, y mismo módulo. “
“ Si el número N , impar , no múltiplo de 3 , ni de 5 , también congruente  1 , módulo 8
y sus factores “x “ e “y” son congruentes  1 , módulo 8 , la congruencia de la semisuma de sus
factores , elevada al cuadrado , módulo 576 , es la misma que [ ( N+1) / 2 ] igualmente elevado al
cuadrado,y mismo módulo”.
“ Por último , cuando N , impar , no múltiplo de 3 , ni de 5 , es congruente  3 , módulo
8 , la congruencia de la semisuma de sus factores , elevada al cuadrado , módulo 288 , es la misma
que la de [ ( N + 1 ) / 2 ] elevado al cuadrado , y mismo módulo”.
4
5
METODO DE FACTORIZACION
---------------------------------------------Tiene su fundamento en el citado “teorema” . Se trata de un número “ N “ , impar , no
múltiplo de 3 , ni de 5 , y cuyos factores son
“x“ e “y“.
2
(x+y )
------------4

R
2
(N+1)
( módulo 144 n ) ; ------------4
 R ( mód. 144 n )
Como quiera que conocemos el valor de “ N “ ,calculamos el de “R”.- Se trata
de hallar los “cuadrados de Fermat” ,en función de :
a).- El valor de “R.
b).-De los cuadrados que lo puedan generar.
c).-De la congruencia de “N” ,módulo 100.
-------------------------------
CUADRO “A “
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Restos
Módulo 144 :
cuadráticos
Cuadrados
0 ........
12-24-36-48-60-72-84-96-108-120-132-144
1 .........
1-17-55-71-73-89-127-143
4 .........
2-34-38-70-74-106-110-142
9 .........
3-21-27-45-51-69-75-93-99-117-123-141
16 .........
4-32-40-68-76-104-112-140
25..........
5-13-59-67-77-85-131-139
36 ..........
6-18-30-42-54-66-78-90-102-114-126-138
49...........
7-25-47-65-79-97-119-137
52...........
14-22-50-58-86-94-122-130
64...........
8-28-44-64-80-100-116-136
73...........
19-35-37-53-91-107-109-125
81............
9-15-33-39-57-63-81-87-105-111-129-135
97...........
23-31-41-49-95-103-113-121
100 ..........
10-26-46-62-82-98-118-134
112 ..........
16-20-52-56-88-92-124-128
121...........
11-29-43-61-83-101-115-133
5
6
CUADRO “B”
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Restos cuadráticos y cuadrados ,
módulo 288 :
0
.......... 24-48-72-96-120-144-168-192-216-240-264
1
.......... 1-17-127-143-145-161-271-287
4
.......... 2-34-38-70-74-106-110-142-146-178-182-214-218-250-254-286
9
.......... 3-45-51-93-99-141-147-189-195-237-243-285
16
.......... 4-68-76-140-148-212-220-284
25
.......... 5-59-85-139-149-203-229-283
36
........... 6-18-30-42-54-66-78-90-102-114-126-138-150-162-174-186-198-210-222-234-246-258
-270-282
49 ........... 7-25-119-137-151-169-263-281
64 ............ 8-64-80-136-152-208-224-280
73 ............ 19-35-109-125-163-179-253-269
81 ............... 9-39-57-87-105-135-153-183-201-231-249-279
97 .............. 31-49-95-113-175-193-239-257
100 .............. 10-26-46-62-82-98-118-134-154-170-190-206-226-242-262-278
112 .............. 20-52-92-124-164-196-236-268
121............... 11-43-101-133-155-187-245-277
144 .............. 12-36-60-84-108-132-156-180-204-228-252-276
145............... 55-71-73-89-199-215-217-233
153................ 21-27-69-75-117123-165-171-213-219-261-267
160 .............. 32-40-104-112-176-184-248-256
169 .............. 13-67-77-131-157-211-221-275
193 ............... 47-65-79-97-191-209-223-241
196 ............... 14-22-50-58-86-94-122-130-158-166-194-202-230-238-266-274
208 ............... 28-44-100-116-172-188-244-260
217 .............. 37-53-91-107-181-197-235-251
225 .............. 15-33-63-81-111-129-159-177-207-225-255-273
241 .............. 23-41-103-121-167-185-247-265
256 ............... 16-56-88-128-160-200-232-272
265 ............... 29-61-83-115-173-205-227-259
6
7
CUADRO “C”
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------N 
Ultima cifra de Dos últimas cifras
N  Ultima cifra de Dos últimas cifras
mód.100
base cuadrado
base cuadrado
mód.100 base cuadrado
base cuadrado
----------- -------------------- -------------------------------- ------------------ ----------------------01
5
01-49-51-99
51
0
24-26-74-76
03
2ú8
---------------
53
3ó7
---------------
---------------
55
2ó4ó6ú8
---------------
05
1ó3ó7ó9
07
4ó6
---------------
57
1ó9
---------------
09
5
03-47-53-97
59
0
22-28-72-78
11
0
06-44-56-94
61
5
19-31-69-81
13
3ó7
---------------
63
2ú8
---------------
---------------
65
1ó3ó7ó9
---------------
15
2ó4ó6ú8
17
1ó9
---------------
67
4ó6
---------------
19
0
12-38-62-88
69
5
13-37-63-87
21
5
11-39-61-89
71
0
14-36-64-86
23
2ú8
---------------
73
3ó7
--------------
----------------
75
0ó2ó4ó6ú8
---------------
25
1ó3ó5ó7ó9
27
4ó6
----------------
77
1ó9
---------------
29
5
23-27-73-77
79
0
02-48-52-98
31
0
16-34-64-84
81
5
09-41-59-91
33
3ó7
---------------
83
2ú8
---------------
----------------
85
1ó3ó7ó9
---------------
35
2ó4ó6ú8
37
1ó9
----------------
87
4ó6
---------------
39
0
08-42-58-92
89
5
17-33-67-83
41
5
21-29-71-79
91
0
04-46-54-96
43
2ú8
---------------
93
3ó7
--------------
45
1ó3ó7ó9
---------------
95
2ó4ó6ú8
---------------
47
4ó6
---------------
97
1ó9
---------------
49
5
07-43-57-93
99
0
18-32-68-82
7
8
EMPLEO DE MULTIPLICADORES
----------------------------------------------Cuando la diferencia de los diversos factores es elevada ,al objeto de simplificar el proceso , se pueden emplear multiplicadores , y hallar la factorización , en un principio , sobre
“ N “ , y más tarde sobre “7 N “ , “ 11 N “ ó “17 N” etc..
___________________________________________
EJEMPLO DE FACTORIZACION:
Factorizar el número
2
(N+1)
----------4
3.972.361
 121 ( módulo 144 )
.-Los cuadrados congruentes + 121 ,módulo 144 son :
11 – 29 – 43 – 61 – 83 – 101 – 115 – 133 . (Cuadro A )
Cuando “N” termina en 61 ,las unidades del cuadrado incognita han de terminar en “5” , o las decenas en 19 – 31 – 69 – 81.- ( Cuadro C ) . El punto de partida , será por aproximación la raíz cuadrada
de “ N “ .
2
2
( 13 x 144 ) + 133 = 2.005
2005 - N
no  0
( módulo b
)
2
( 14 x 144 )
+ 29 = 2.045
2
2045 - N
no
 0
( módulo
b
)
seguiríamos probando con las bases,
( 14 x 144 ) + 115 = 2.131
( 15 x 144 ) + 115 = 2.275
( 16 x 144) +
11 = 2.325
( 16 x 144 ) +
61 = 2.365
( 16 x 144 ) + 101 = 2.405
( 16 x 144 ) + 115 = 2.419
2
( 17 x 144 ) +
83 = 2.531
2.531
2.531 
N = 3.972.361 = 4091 x
2
- N
1.560
=
 0
( módulo 1560
4.091
y
)
971
971
8
9
BIBLIOGRAFIA
(1) Ivars Peterson.- El Turista matemático .-Alianza Editorial .- (pag.29 )
(2) Ivars Peterson.- El Turista matemático.- Alianza Editorial.- ( pag. 53 )
(3) Ivars Peterson.-El Turista matemático .- Alianza Editorial.- ( pag.55 )
(4) Blas Torrecillas Jover.- Fermat,el mago de los números.- Editorial Nivola ( pag. 33 )
(5) Félix López Fernández-Asenjo y Juan Tena Ayuso.- Introducción a la Teoría de los números
primos.
(6) D.E.Knuth.-The Art of Computer Programming,Vol,2. (Addison-Wesley,1981 )
(7) N.Koblitz.-A course in Number Theory and Cryptography (Springer,1987)
9