Los cuadros de fermat

LOS CUADRADOS DE FERMAT
Generalidades.−Propiedades de los cuadrados.−Condición suficiente para que un número par sea suma
de
Cuadrados.−Demostración.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
El presente trabajo tiene como objeto principal , conocer la relación entre los deno− minados cuadrados de
Fermat , y otro cuadrado conocido [ (N+1)/1] ² .
( x + y ) ² (x − y ) ²
−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−
2²2²
en el que, N = x . y
Pierre de Fermat fundamentó su estudio de factorización en los cuadrados arriba
citados . Sea N , el número a factorizar , se trata de encontrar un cuadrado al que restado N ,esta diferen−
cia sea otro cuadrado. Después ,los factores vendrían determinados por ,
a+b=xa−b=y
El resumen de nuestro estudio se encuentra contenido en las siguientes :
Propiedades de los cuadrados de Fermat
1ª.− Dado un número N, entero , positivo , impar ,no múltiplo de 3 ni de 5 ,ya que esta condición se apre−
cia a simple vista , cuyos factores son x e y , la diferencia entre la mitad de ese número más
uno, elevado al cuadrado , y el primer cuadrado de Fermat , es congruente cero , módulo 144.
(N+1)²(x+y)²
−−−−−−−−−−−−−− " −−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 144 )
2²2²
2ª.−Relativo a dicho mismo número , la diferencia entre la mitad de ese número menos uno , elevado al
cuadrado , y el segundo cuadrado de Fermat , es congruente cero , módulo 144.
( N " 1) ² ( x " 1 ) ²
1
−−−−−−−−−−−−−− " −−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 144 )
2²2²
3ª.−La condición suficiente para que un número N , par , positivo, sea suma de dos cuadrados , es que el
producto de las bases de dichos cuadrados , elevadas al cuadrado , más la unidad , sea congruente en
dicho valor de N , módulo 192.
En nuestra demostración partimos de N, como hemos dicho, entero, positivo, com−
puesto , no múltiplo de 3 ni de 5, impar :
N=x.y
( N + 1) ² ( x + y ) ²
−−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−− , y después del correspondiente desarrollo , llegamos a ,
44
( N + 1 ) ² ( x + y ) ² (x + 1) ( x− 1 ) ( y + 1 ) ( y − 1 )
−−−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
444
En un principio hemos de precisar que N puede estar encuadrado en uno de estos tres Grupos :
Grupo nº 1 :
N ð + ó − 3 ( módulo 8 )
Grupo nº 2 :
N ð + ó − 1 ( módulo 8 ) x ð + ó − 1 ( mod.8 ) y ð + ó − 1 ( mod.8 )
Grupo nº 3 :
N ð + ó − 1 ( módulo 8 ) x ð + ó − 3 ( mod. 8 ) y ð + ó − 3 ( mod.8 )
Habíamos dejado nuestro estudio en :
(y + 1) ( y − 1) ( x + 1 ) ( x−1) ( N + 1 ) ² ( x + y ) ²
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−−−
444
Si N pertenece al 3º Grupo :
2
Si (x+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (x−1) , o viceversa .
Si (y+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (y−1) , o viceversa .
(y + 1)( y − 1) ( x +1 ) ( x− 1 ) 4c .4 d . 2 e . 2 f
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 16 )
44
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Si N pertenece al 1º Grupo :
Si ( x + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( x − 1 ), o viceversa.
Si ( y + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( y − 1 ), o viceversa.
(y − 1) ( y + 1) ( x − 1) ( x + 1 ) 8c. 2 d . 4 e . e f
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 32 )
44
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Si N pertenece al 2º Grupo :
( y + 1 ) (y − 1) ( x + 1) ( x − 1 ) 8 c . 2 d .8 e . 2 f
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 64 )
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Por otra parte como ni x ni y son múltiplos de tres :
Si (x+1) " 0 ( módulo 3 ), implica que (x−1) sea incongruente cero ( módulo 3 )
Si (y+1) " 0 ( módulo 3 ), implica que (y−1) sea incongruente cero ( módulo 3 )
o viceversa en ambas.
Conclusión :
(x + 1) ( x − 1) ( y + 1) ( y − 1)
a).− Si N , es del Grupo 3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 144 )
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(x +1 ) ( x −1 ) ( y + 1 ) ( y − 1 )
3
b).− Si N , es del Grupo 1..−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 288 )
4
(x + 1 ) (x − 1 ) (y + 1 ) ( y − 1)
c).− Si N , es del Grupo 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− " 0 ( módulo 576 )
4
con esto queda demostrado el primer Teorema.
Siguiendo el mismo procedimiento podemos demostrar la segunda pro−
piedad , relativa a ( x " y ) ² / 4 .
En cuanto a la demostración del tercera propiedad , es una consecuencia
del anterior .
( y + 1) ( y − 1) ( x + 1 ( x − 1) ( N + 1) ² ( x + y ) ²
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−− " −−−−−−−−−−−−− = 144 a
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( N + 1 ) ² − ( x + y ) ² = 576 a ; ( x . y ) ² − 576 a + 1 = x ² + y ²
Esto sería válido para todo N´ , par positivo, compuesto, en el que ninguno de
sus factores sea múltiplo de 3.
Al objeto de generalizarlo para todo valor de N , par , quedaría :
( x . y ) ² − 192 a + 1 = x ² + y ² = N ´
( x . y ) ² + 1 " ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )
BIBLIOGRAFIA
Ivars Peterson.− El Turista matemático .−Alianza Editorial .− (pag.29 )
Blas Torrecillas Jover.− Fermat,el mago de los números.− Editorial Nivola ( pag. 33 )
D.E.Knuth.−The Art of Computer Programming,Vol,2. (Addison−Wesley,1981 )
N.Koblitz.−A course in Number Theory and Cryptography (Springer,1987)
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