Cálculo Diferencial e Integral IV
Tarea 4.
1. Calcule una parametrización para cada una de las siguientes superficies:
(a) el elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
(b) el hiperboloide parabólico
x2
a2
−
y2
b2
=
z
c
2. Encuentre una parametrización del toro generado por una circunferencia de radio a con centro en
el punto (0, b, 0) cuando éste se gira alrededor del eje Z, en donde 0 < a < b. Calcule el área de
dicho toro.
R
3. Calcule Γ F · dγ, donde:
(a) F (x, y, z) = (−y + cos((x + 1)2 + 1) − z, x + sen((y − 1)2 − 1) + z, y − log(1/(z 2 + 1)) − x) y Γ
es la circunferencia, contenida en el plano XY , x2 + y 2 = 1, recorrida en el sentido negativo
cuando se le ve desde el punto (0, 0, −1).
(b) F (x, y, z) = (−y/(x2 + y 2 ), x/(x2 + y 2 ), z) y Γ es cualquier curva cerrada contenida en la esfera
de radio r con centro en el origen, que rodea al eje z, y recorrida en sentido negativo cuando
se le observa desde el puto (0, 0, 2r).
4. Muestre que el campo
F (x, y, z) =
x
y
z
, 2
, 2
3/2
3/2
2
2
2
2
2
2
(x + y + z )
(x + y + z )
(x + y + z 2 )3/2
es solenoide en la región U = R3 \{(0, 0, z) ∈ R3 |0 ≤ z}. Calcule explı́citamente el campo G tal que
RotG(x̂) = F (x̂) para toda x̂ ∈ U . Compruebe su respuesta.
5. Sea S ⊂ R3 la esfera de radio r con centro en el Rorigen y x0 ∈ R3 tal que x̂0 ∈
/ S. Si definimos
3
f : S ⊂ R → R como f (x̂) = 1/||x̂ − x̂0 ||, calcule S f ||dσ||.
6. Calcule el área de la superficie S, donde S es la superficie de la parte del cono x2 + y 2 = z 2 que
está arriba del plano XY (es decir z = 0) y debajo del plano 2z = y + 1
7. Sea v : R3 \{0̂} → R definida como v(x̂) = 1/||x̂||. Sea u : R3 → R armónica tal que ∇u(x̂)·∇v(x̂) =
0 para toda x̂ ∈ R3 \{0̂}. Sea S = ∂Ω una superficie suave por pedazos (con Ω ⊂ R3 una región)
tal que 0̂ ∈ int(Ω).
(a) Pruebe que existe r > 0 tal que
Z
Z
(v∇u) · dσ =
S
(v∇u) · dσ
Er
donde Er es la esfera de radio r con centro en el origen y contenida en el interior de Ω, y en
donde cada integal de superficie se calcula considerando el vector normal exterior a cada una
de dicha superficies.
R
(b) Pruebe que (v∇u) · dσ = 0
S
1
