Resumen Fuidos I
March 22, 2019
Constantes Importes
0.1
Agua:
– ρ=1000[kg/m3 ]
– µ=10−3 [N·s/m2 ]
0.2
Aire:
– ρ=1.2[kg/m3 ]
– µ=1.8−5 [N·s/m2 ]
1
Números Adimensionales
Teorema de Vaschy-Buckingham:
Si se tienen n variables dimensionales independientes y k número de unidades básicas,
entonces se necesitan n-k números adimensionales para describir el sistema.
1.1
Euler:
P local
∆P
=
(1)
1 2
P dinamica
ρ~v
2
Controla los efectos de la presión local sobre la presión dinámica, para flujos confinados
a alta presión se tiene un número de Eu elevado. Es importante para determinar la
cavitación en tuberı́as.
Eu =
1.2
Reynolds:
Re =
ρ~v D
Inercia
=
µ
V iscosidad
(2)
Predice el carácter turbulento o laminar de un fluido, si la inercia la gana a la viscosidad.
1
1.3
Strouhal:
L0
τ adveccion
=
(3)
t0 v0
τ inestabilidad
Es un tiempo caracterı́stico del fenómeno ondulatorio asociado al desprendimiento de
vórtices.
St =
1.4
Froude:
F r2 =
v0 2
Inercia
=
g0 L0
Gravedad
(4)
Aglunos casos importantes:
– Flujo estacionario:
τ inestabilidad→ ∞ y St→ 0
– Flujo con predominancia de la inercia sobre g:
v02 >> g0 L0 y Fr→ ∞
– Flujo con predominancia de la inercia sobre µ:
τ advección<< τ viscosidad y Re→ ∞
– Flujo con predominancia de la viscosidad sobra la inercia:
τ advección>> τ viscosidad y Re<<1
2
Teorema de Transporte de Reynolds
DK(t)
=
Dt
˚
V
∂~k(~x, t)
dV +
∂t
¨
~ (~x, t) · n̂ dS
k(~x, t)U
(5)
S
DK(t)
= Variación volumétrica + Flujos que atraviesan la superficie
Dt
3
3.1
3.2
Ecuaciones de Conservación
Masa:
∂ρ
+ ∇(ρ~v ) = 0
∂t
(6)
∂~v
ρ + ρ~v · ∇~v = ρ~g − ∇P + µ∆~v
|{z}
∂t | {z }
|{z}
2
3
(7)
Momemtum:
1
1: Aceleración local.
2: Aceleración convectiva.
3: Resultante de las fuerzas viscosas.
2
3.3
Energı́a Cinética:
1 dv 2
¯
ρ
∇~v} − τ̄|¯ {z
= ρ~v · f~ + ∇ · (τ · ~v − P~v ) + P
: D̄
| {z
}
{z
}
|
{z
}
|
2
dt
| {z }
1
2
3
4
1: Tasa de variación de K por unidad de volumen y tiempo.
2: Potencia de las fuerzas de volúmen.
3: Potencia de las fuerzas de superficie (presión y viscosidad).
4: Energı́a asociada a la compresión o expansión.
5: Discipación viscosa.
2
¯ : Tensiones viscosas.
τ̄¯ = − µdiv(~v )¯1̄ + 2µD̄
3
¯ = 1 (∇~v + ∇~v t ) : Tensor tasa de deformación.
D̄
2
4
4.1
Ecuaciones varias
Tensor de Cauchy:
¯ = −P · ¯1̄ − τ̄¯ : mide los esfuerzos internos.
σ̄
4.1.1
Lı́neas de Corriente:
dx
u
dy ∧ v = 0
dz
w
Diferentes partı́culas al mismo tiempo.
4.1.2
Lı́neas de Trayectoria:
dx
u
dy ∧ v = dt
dz
w
Misma partı́cula en tiempos distintos.
3
5
(8)
