Conjuntos numéricos
Mapa conceptual
Potencias de base racional y exponente entero
Sitios sugeridos
Regularidades numéricas
Razones y proporciones
Porcentaje
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Empezaremos este curso de preparación a P.L.G.ESO revisando los diferentes conjuntos
numéricos con los que has trabajado.
Números naturales: son aquellos que utilizaste desde pequeño(a) para contar:
Números enteros: este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que
no es positivo ni negativo:
1
Números racionales: son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números
enteros:
Ejemplos de racionales, son:
Los números naturales:
Los números enteros:
Los números decimales finitos:
Los números decimales infinitos periódicos:
Los números decimales infinitos semiperiódicos:
Números irracionales: son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos
números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto
se designa con la letra
.
2
Números reales: es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este
conjunto se designa con la letra
.
Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:
A continuación puedes ver un mapa conceptual relativo a los conjuntos numéricos:
Números reales (ppt)
OPERATORIA EN
a) Adición y sustracción de fracciones:
3
b) Multiplicación de fracciones:
c) División de fracciones:
d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna, alineando la
coma decimal.
0,23 + 1,4 =
e)
2. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO
Por definición, se tienen las siguientes igualdades:
4
Ejemplo:
Por lo tanto:
4. RAZONES Y PROPORCIONES
Una razón entre dos cantidades es una comparación por cuociente.
Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus
edades es:
. Si simplificamos por tres obtenemos:
.
La igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdad entre las
razones anteriores:
es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos
cruzados son iguales:
12 . 5 = 4 . 15
La propiedad:
, se denomina propiedad fundamental de las proporciones.
5. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante:
5
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que
están sobre una recta que pasa por el origen.
Ejemplo:
Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina
consumirá en un viaje de 192 km?
Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina:
Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:
6. PROPORCIONALIDAD INVERSA
6
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que
están sobre una hipérbola.
Ejemplo:
Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables:
número de obreros – tiempo, es constante:
7. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
En la proporcionalidad compuesta hay variables que se relacionan mediante proporcionalidad
directa y otras a través de proporcionalidad inversa.
7
Para resolver los ejercicios de este tema, en primer lugar se debe dilucidar qué tipo de
proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la
constante de proporcionalidad.
Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros se
necesitan para pavimentar 5 km en 10 días?
En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables:
Obreros (O) – longitud del camino (L): están en proporcionalidad directa (entre más obreros,
más km de camino se pavimentarán), por lo tanto:
= constante.
Por otra parte, las variables: Obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa (entre
más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino), por lo tanto: O . T =
constante.
De lo anterior se deduce que:
= constante.
Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos:
Multiplicando cruzado en esta última proporción y despejando x obtenemos:
8
x = 25 obreros.
8. PORCENTAJE
El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un 100%. Por
ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que ha subido 5 partes
de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el
concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es:
El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa:
Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con
ganancia y pérdida.
Ejemplo:
El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de
descuento se le aplicó?
En este caso, se considera el precio antiguo ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó:
$15.000 - $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo
tanto:
9
Veamos ahora otro ejemplo:
¿Qué % es 0,2 de 4?
En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción:
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