04-Analisis Vectorial

SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM
T E OR IA Y P RO BLEMAS
DE
ANALISIS
VECTORIAL
y una htroducción ¡l
ANALI$S TENSORIAL
MURRAY R. SPIEGEL,Ph. D.
Prcfessor of Maúernatict
ReñstelaerPolYkclnic Institu¡e
Ltns GürÉrPiz Dftz
I¡sdierc
d¿ AMto
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Idgdi¿ro .t AMto
L¡.@¡a¿o d CiMiü
Dlplo"ado I lñtú¡¿rid
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xÉxcq.-BocorÁ
NUEVAyoRK .
. t-tsBoa . MAoRtD
o guEttlos¡tngs . GUATEMALA
PANAMA . saN JUAN . saNTtAGo . sÁo paulo
A U C KL AN D ' HA MB URGO! JOHA NNE S B URG O 'L O NDRE S ' MO NT RE A L
NUEVADELHI . PARÍS . SAN¡FRANcISco. SINGAPUR
ST, LOUIS . SIDNEY. TOKIO . IORONTO
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A¡IALISISVECÍOFIAL
Prohlbidala reproduccióntotat o parcialde 66la obra,
oor cualoulerm€dlo.sin autor¡zaciónescrltadel editor
DERECHOS
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i 1970,respectoa lá /iméra edlc¡ónen españorpor
LIBROSIVCGRAW.HILL
DE MÉxrCO,S. A. d€ C. V
atlaoo¡fulco499.501,Fracc,lndustrialsan, Andrésatoto
53500NaucalDandé Juárez.Edo.de Méx¡co
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fladucido de la prlmsraedlción€n lnglésde
VECÍOB ANAIYSIS
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Estaobrase termlnóds
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Oélegaclón|napalapa
09310Méxlco,D. F.
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Se t¡¡aron8 200ejsmpláres
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Pr o lo g o
El análisisvector;al,que se inició a mediadosdel siglo pasado,constituyehoy día una parteesencial
las matenrátjcasnccesariapara matemáticos,fhicos, ingeniefosy demáscientíficosy lécnicos.Esta
tidad no es casuali el análisisv€ctorialno solo constituyeuna notaciónconcisay clam par¿presentar
,cuacionesdel modelomatcrnáiicod€ lassituaciones
físicasy problemasgeométricos,
sinoque,además,
rcioná una ayuda inefimable en la formaciónde las imágcnesmen¡alesdc los conceptosfisicos
ométricos-En resrmcn,el análisisveclorialpücdeconsiderarse,
sin Iugara düdas,como cl más rico
uaje y forma d€l pe¡samientod€ las cicnciasflsicas.
Po¡ la foma y mancrade cxposición,estelibro se pücdertilizar como tcxto en un cursodc ¿nálisis
riai o €omo un m¡gnifico libro complcmentáriode cualquierotro texto. Asirdsmo, puedeser dc
valor para todos los alumnosde las asignaturasde fisica, mecánica,electromagnetjsmo,
aerodi,a e inEnidadde otras correspondientes
a los distintoscamposde la cienciay de la tóc¡ica cn qüe
nplean los métodosvecroriales.
Cada capitulo comienzacxponicndoclaramentclas dcfiniciones,principiosy tcor€másp€riinent€s,
ejcmplosilxstrativosy descriplivos.A cont;nuació¡¡sc presentarna colecció¡de problemastotaltc resucltosy otros suplcmentarioscon r€spucstapero sin resolver,todos ellos de progresiv¿difi. Los problemasrcsueltosaclarany amplianla teoria.evidencianlos puntosesencialcs
sin los que€l
diantesc sentiria conti¡uamentepoco scguro y proporciona¡ la repcticiónde los principios fun.
tales tan nccesariosrara conoce¡ la materia a fondo. Asimismo.en los Droblemasresucltosse
uycn nunerosasdcnrostraciones
de fómrulas.Los ¡r¡merososprob)emas
de teo¡crnasy dedücciones
lnentariossiñ,en dc conpleto rcpasodcl tema de cada capitulo.
Los temastfatados son, a grandcsrasgos,el álgebray el cálculodifcrencialc integúl de vectores,
d€ la divcrgencia,del rotacionaly de¡nis t€oremasintegrales.hacicndomuch¡simas
aplicacrones
¡ruy divcrsos.Atención especialmereceDlos oapítulosrclativosa las coorden¿das
curvilínéas
I análisistensorial,que tan cvidenlesventajasp.oporcionanen cl estudiodc ingcnie¡ía,fisicay mateEl libro conticnemucho nás m¿terial de lo usualen ¡a mayo.ia dc los primcroscürsosde cimci3
genieri¡. Con ello la obra se ba hechomás completa,constituyendoun libro de consultamuy útil
la vez. catalizadordel interésrcr tc¡nasmá! elevados.
El autor agradeccla colaboracióndcl seño. H€nry Haydcn en la preparacióntipográficay dibujo
ligüras. El realisn¡ode las figurasrealzacl valor de la obra en la quc la crposiciónvis'ral.jueBa
papcl tan
R, SPTEGEL
Indicede moterios
TTTORf,S Y ESCALARES.
¡
I
k6r.
Esc¡lar. Al8ebra tccao.ial- ¡¡Fs del Algebr¡ vectorial. V€ctor uoiiario. yecroEs
lira¡ios trirrecl¿ngulares. Vccto¡es compon€ntc!, C¡mpo €scala¡, Ca¡nDo lectorial.
I.
TTODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAI.
r6
hod¡¡clo cacal¿Lro intono. Producto y€ctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas &
A
dFTRENCIACION
WCIORIAL
35
Düivad¿ do ú v.ctor. Curvas €n el ospacio. Conlinuidad y dc¡ivabiliüd. Fórmulas de dcri?!ión. D€rivadas p¡rciales de ull v.ctor. DifeÉncial de un voctor, c€onetría dif€r€ncia¡.
OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y ROTACIONAL..
51
Operado¡ difer€ncial vecto¡i¿l nabla. CEdie¡te, Diverg€ncia, Rotacional.Fórmulas on la!
q¡¡. inlcnie¡c cl opc¡ador ¡¿bla. Invariaúa.
L\TIECRACION VECTORIAI.
lnlegr8l de un i€ctor. Inüe8¡al cuwillnea. Integral de sup€¡fici€. Inlogr¿l d6 volumen.
TNTEGRALES:TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA
¡,JoPERAcIoT\Ts
!
\r'
INTf,GRALr,S.......
DEL ROTACIONAIY OTROSTEOREMAS
l0ó V
-....,,.....
Teorcmadc !a divcrspnciade Gáuss.Teoromádcl rot¿cion¿lde Stokés.Teoremade Gr€en
ar el pl¿no. Ot¡os teorcrnasint glal$. Fofma irtcgr¿l del op€r¿dornabl¡.
f " c o o R D E N ¡ D AC
SttR V rr,rN E.A. ..S... .
.................
135
Ttusfo¡trl¡ción dq coor&nad¡s. Coo¡dcnadas cuNilfrc¿s ofogon¿!€s. VectorÉ! unit¿rios
en sistcdra d€ coord€¡ad¿r curvilín€¿s. El.ñentos de llnea y de volurnen. G¡adi.nte. d¡vergcncio y ¡otacio¡al. Caso3pa¡ticular€s de sistemasde coord€n.dÁs ortoAonales. Coordc¡adas
cilíad¡jcas. Cm¡dcnadar €sfáica!. CoordoDad^ cilíndricas pa¡abólicas. Coord€nad¿s p¡r¿bolo¡d¿l€s. coord.nad¡s cillndrica¡ cliptic¡s. coorden¿das .lferoidales alargada!. coordenada3 csfe¡oidale acll¿tada. Coord.íadás cliGoidal€s. c,oo¡denadas biDolar6,
r
t6ó
ANAIISIS TENSOnIAL
fr)€s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnació¡ d€ coordenadas. Convenio de
sunaalótr dc los ¡ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contrava¡iant s y coyar¡aotes. Tensorcs contr¿va¡iartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsor€gde orden supc¡ior, Escalarcso
invarlsntes. C¿mpos te¡Boriales. T€nsores simét¡icos y hcmisi¡nétricos. Op€racior6 fu¡daÍF¡úrles con iensor€s. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor ñétrico.
T€nso¡ r€clproco. Te¡sor€s asociados. Módulo de un vector. Angulo entre dos v€ctor€s.
Co6Don6Ls ftuic¡s dc un v€.tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Iry€s dc imnsfomació¡ dc 106
sÍlrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodésic¿s,D€rivada covariante do un t.nsor. Simbolos y
t nsons altor¡antca. Fo¡ma t€nsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplaciana.
Dedvad¿ ab3olut{ o intrlns€ca. Tensorls rclativo y ¿b6oluto.
itDIcE. . . . .. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2lE
-'Vectoresy escolores
\ICTOR.
Es üna magnitudcüya determinaciónexigeel conocimientod€ un módulo, una direc:i¡r r :n sentido.Ejemplosde magnitud€svectorial(sson cl desplazam¡enro,
la velocidad,la aceleración,
l¡! 'rÉ.;3. el imoetu. ercC.áñcameñte,ün vector se representapor un segmentoorien¡¡I,: OP (Fig. i); la longitud del segmentoes el módulo del vector,la
úr.J:.on de seCmento
esla correspondiente
del vectory Ia flechaindica
a ;e.¡rdo del vecior. El puílo O s€ llama oigen o punto de aplica::tt -: P el extrcno del vector. La r€ctaen que s€ apoyael segmento
E :¿.ma dirc¿rriz del vecror.
lnaliticam€nte, un vector se representapor una lelra con una
'.sj-r encima.por ejemploÁ en la l-ig. I. el módülo*".,.'¡¡. Á
r :¡en A. Otros autores pre6erer emplear una letra negrilla, por
:€:rpio A, con 10que lA o A indica su nódulo. En eslelibro emplea''=ri esta última notación.El vector OP también se pu€de esc¡ibir
j¡. o bien, oP; en estecasosu nódulo es -oP,
1óF¡,o ti"n, or.
ESCALAR. Es una magnitud cuya determinaciónsolo requiere.elconocimientade u¡r número
r. .antidad respectode ci€rta unidad de medida de su rnisma especie.!-emplos tipicos de escalares
:i¡c la longitud,la masa,el tiempo, Ia temperatura,€l tfabajo, la energia,etc., y cualquiernúmeroreal.
is escalar€sse indican po! una letra de tipo ordinario. Las op€raciones
con €scalaresobedecena las
nl.úas reglas del álgebrí elemental.
ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operacionesde adición o suma,difercnciao resta,multiplicación
x l.rodu€todel álCebra€lsmentalentre números¡ealeso escalar€s,
se puedengeneralizar,introduciendo
.ié¡rrminadasdefiniciones,al álg€braentre vectorcs.Veamoslas defnicionesfundamentales.
./. Dos vectoresA y B.son equipolentessi tienenel mismo módulo, la mismadireccióne idéntico
sentido.Si ademástienenel mismo origen o punto de aplicación,son ¡gral¿r.Tanto la equipolenci¡ como la jgualdadentrelos vectoresdadosla representaremos
por A : B (Fig. 2). Ceofnótricamentese reconoceque dos vectoresson equipolentessi el polígonoque resultaal unir sus
orígenespor una parte, y sus €xtremospor otra es un paralelogramo:
2. Dado un vector A, el vector opuesto,-A, es €l que tiene €l mismo módulo y direc¿iónp€ro
senridocon(rario(Fig. lr.
VECTORESY ESCALARES
Su a o rcsultant¿de dos veotores y B cs otro
vector C obtenido trashdando el orig€n
d. B al
^
cxtrcmo de A y ünicndo cl odgan de A con cl cxtr.
mo B (Fig. 4). Anallticam€ntes€expresaA+B : C,
Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs a
ün origencomún, el veclor sümaco¡¡€spotd€a la
diagonal dcl p¡relelogramo con €l orig€n en cl
o¡igcn co¡nún- Por ello s€ dic¿ quc la suÍra de vcctores obedecca lz ley del paralelogrumo(eéasc
c=¡i!
Prob. 3).
La generalizació¡ a la suña de varios vectores
Fl a.{
es inmediatosin riás que iI sumandode dos €n
dos succaivamenta(ve¡sa Prob. 4).
4. La dtferenciade los tectores A y B, que se reprcs€ntaan¿lÍlicamcntepor A -8, es otro vector C,
t¿l que sumado a B produc€ el vector A. Dicho de otra Íranera, para rast¿r dos vectorasse sunra
al vcctor minuendo el opuesto sl \'ector sustraendo,es dccir, C : A - B : A + (-B). Ls dio simplememte0.
5, El produ.to de un esc¡rlartn por un vector Á es otro veotor, h1A, de la misma direc¿ión q
pcro con un módulo l,rl vecesel de A y un senlido igual u opu€stoal de A scgúnque el
lar ñ sea posiLivoo negátivo.Si ,n : 0. |'¡A es el vector nulo.
LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. SeanA, E y C lras vectoresy ñ y ¿ dos escalares
estascondiciones
s€verifica:
,. A +B :B +A
2. A +(B +C ):(A +B )+ C
1. n(nL\: (nn)A
t, (m + n'r[: nA + nA
\
ó. n(A + B): nA +,ñB
Propicdadconmutativ¿dc la slma
Propiedad asociativa de la swÍa
Propiedadconmutstivadel productopor un cscalar
Propiedad asociativ¿del producto por un €s.alar
Propiedad dislributiva del producto por un escal¿r
peoto de la sur¡a de escalar€s
Propicdad dbtribotiva dcl producto por un csc¿l¡r
pccto de la sume de vcctores
Obs€rvcs€quc no ¡parecÉn más las propiedades dcl producto de un escalar por ün v€ctor.
€lcap. 2 d€finiremoslos prodüctosentr€ v€ctores.
Étss lcyes p€rmiten considetar y lratar las ecr¡acior¡cavectoriales da la misma for¡na que si fucr¡l
C, transponiendotérminos,A: C-B
escalares(ciuacionesalgcbraicas).Por ejgmplo,si A *B:
VEC¡OR UNITARIO. Es todo vector de módulo
unid¿d.Si Acs un v€ctorde módulo distinto de cero,/ + 0,
cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn¿ dirección y
sentidoque
por el productodc
A se pu€d€repr€s€nt¿r
Todo vcctor
^.
y
que aquel mul_
vector
ünit¿rio
dc
ls
dirección
s€ntido
un
¡
tiplicadopo¡ sl módulo de A, que es ün escalar.Analític¿m€nt€,Pues,seesc¡ibe,A : ,l¡.
VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULARE¡I
l, j, t. Un sisten¡ tllúy importanE de vecto¡es unitarios
a los
son los que tienenPor dircccioncslascorresPondientes
cartesi¡¡as.n €1csp¿cio,
ejesda un sistemade coordenadas
¡, y, z, con scntidos los positivos de €stosejesy qüe sc llarran
veclorcsunitariost, ¡, k (Fig. 5).
Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que cl
sisteña dc coordcü¿das trir¡ecBngularcs es 4alextrorsun>
VECTORESY ESCALARES
, r bcchos. Ests dcnominación deriva d€l h€cho que un
E:illo con ros.a a der€ch¿sgi.ando 90' d€sde O¡ a Ol,
rnfz
ctr cl scntido poshivo de Oz. como sc mues¡¡aen
r F!- 5.
^{
fc,
di'
r 0,
fA
iEn
En gencral,trcs vcctoresA, B y C oon el mismo origcn
t fr coplanatios, fofÍnan tn sisteÍ\ <dexlrofiuh, o a derc,.iñ si un tornillo dc roscaa derechasgirandode A a B po¡
i Éor
ángulo avanz¿eD Ia di¡eccién y sentido dc C,
Es
s. reprcscnb cn l¡ Fig. ó.
vECTOnES COMPONENTf,S. Todo v€ctor A en
i :spacio (3 d¡mcnsioncs) s€ püede repres€ntar con sü
,r!-::cn en el conespondiente O de un sistema dc coorde¡d15 trirrcctangul¡rcs (Fig. 4- Sean(,{r, ,1,, ,lJ las coordeEdrs cartesiaDa3dcl punto extrEmodel veclor cuyo ori^ vectorct
!!3 es O. Los vectores lri, A;, y 4k se llLma
fi*pwnles rcatangulareso simplemenfeveclorcs.onponente[
ü -.{ s€gúnl¿s direcciones x, y y z, resp€ctivam¿nte,Los
,{¡, Ar y At 6c ll^r al coñponenlet rcclanguldr$ o
companerit€s
delvectorA segúnlas dircocioncs
-l¡rB
¡,t y z respaolvamanE,
-d.nent€
La sumao resultantide los tresvector€s,4¡i,,1J, y ,4sk
¿r cl vectorA. ¿stoas.
tt:AiiAziiA.}
E módulo de A es
Ftr. ?
a :l ^l :a/A i +A .,+A i
E^ p¿trlic¡tlar,el y.ctor de posicíón o rudio recto¡ r cuyo origcn es el punto O y cuyo ertremo es cl ponlo
'r- /, z), sa cscribc cr Ia forma
f : n +r + zk
¡
lcran
FB.
I
I
I
{É tienede ñódulo t:
rj:
I x'¿+ f + z'.
CAMPO ESCALAR. Si en cada punto (x, y, z) de una reSiónR d€l espaciose le pu€deadociar
rn escalarÉ(r,,,, z), hemosdefinidoün cdrnpoescalar$ cn R. L¿ funció¡ d dep€nde,pu¿s,d€l punto
y, por ello, 6e llama /¡rción es&lat de posición, o bi¿r, luicün de punto escalat.
Eje|nDt6. (r)
I¡s tcmperatnrasen cada punio int€rior o sobr€ l¡ superficiede la aierra,€o un cierto
¡nst¿nte,d€fircn un campo cscolar.
(2't ó (t, t, z\ : *
zr defne u¡ campo cscala..
Si un oampo cscafar cs independiente del ti€mpo, se llama pcnnaneñteo estacíoñatio,
CAMPO VECTORIAL. Si e\ cadapunto (¡, /, z) de üna regiónR del espaciose l€ puedeasociar
|d vectorV(x, /, z), hemosd€finidoun .anpo wctotial V e^ R. I-a firnciónV depende,pucs,del punto
y, por ello, se llama fuacün vectorial de posictón, o bi.n fuhción de pmto vectoial.
Ejenplo¡. (J) Las velocidadesen cada pünto (¡,),2) cn €1interior de un flüido en movimiento,
en un ci€rto instante,definenun campo vectorial.
(2) V(x,y,z):
xt'í-2yz't
+ xtzL dcfincun campovectorial
del tiempo se llama perñdnenteo ettacionatio.
Si un o¡mpo vcctodal es iDdependiente
VECTORESY ESCALARES
Problemas resueltos
l, Dé las nugnitudcs dadas a cont¡nuac¡ón irdic¿r las de caiáctefresl¿i
€
Sot. (¿) veclorial
f¿l ¡-.áa¿
,r,
y tas de e¡ácter €torial.
(l) potÉncia-
"o,u^"n (j) intensidaddel campo ñasnético
(,/, distanci¿
Ut eneryíA
-1f..
€s@le
tu') eslár
U) esc¿la¡ (r¡) es.ala¡ 0) yeclor¡al
t
gráficamentc:(¿) una füer!& de l0 n€wtonseÍ la dir€cció¡ Ét€ 30'Norte,
2. Represent¿r
' (ó) u¡a fucrza dc l5 ¡cwtons m la dirección Norle 30" Este.
Frs.{ú)
Con la un¡dad d€ ñódulos indicada, los vector€spedidosaparecenrcpresentadd en las 6gura¡.
3. Un aulomóvil recorre 3 kilóñ€tros hacia el Norte y lü€go 5 kilómelros hac¡ael Nord6tc. R€ptwnta rcstos
ddplazamicnto y h¿llar cl desplazmiento Gultanter (¿) gráficamente (á) analiticameoto.
El vector OP o A reprcsenta€l dcspiazamiento
dc I km
haciael Nort€.
El v€ctor PQ o B reprcs¿nla €l desplazamiento do 5 kñ
El r€ctor OQ o C rcpreent¿ el d€splazamien@resultaDte o sum¿ de los vcctoresA y B,.s decir,C : A + B.
Pu€de observar8ela /e/ d¿l r/¡¿¿r'!1o dc Ia süma dc vcctors.
El vector r€sultantc OQ t¿mbiér s. puede obtcn¿r ttaz¡ndo l¿ di¡gonal del par¡lelosramo OPOR construido co¡
los véctores OP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esra es
b le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es d€cir, de
(a) Deteminoción etdlca d¿ l¿ ¡¿r¿r¿¿r¿.Semid€ Ia lonsitud
dc la diagon l cod la mi!¡na unid¿d de long¡tud dÉ I k¡n adoP
t¿d¡ par¿ los olros vectons. Así sEdeduceel valor dc ?,4 km
sproxitradam.nle. M€dianlc un trasport¿dor o schicircülo
8r¡duado s€ mide €f ángrJloEOQ - 61,5'. Por lo tanto, el
vcctor OQ ti€no de rródulo 7,4 *m, y di.ección y s€¡tido
E3tc61,5" Nortc.
(b, D¿t.,ninaci¡jn anolítica de la rctultant.. En el triánsulo
OPO,llamadoA, B, Ca los ¡bódulosdo los v€ctore3A, B, c,
rdpectivam€nüe, el teorc¡n¿ del coseno D€ín¡t€ €scribir:
C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2<3N5)co6135. 34+ r5/td. dondeC = 7,4J(aprorim¿damenlcj,
55,2r
VECTORESY ESCALARES
y
-{9liándo ahora €l teo.ema de los s¿noss€ deduce l¿ dirección el s€ntido:
AC
ser L OQP
*n
oQP
A*n
a
oPO
-
I (0,70?)
:.
7.41
sen L OPQ
0.285s,
LoQP : \6'35'
E¡ v€cior OQ, en consecuencia,
ti€ne de módulo 7,43 km y una d¡re.ción qúe forma un ángulo con la
¡irrEión Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljón y senridoquedandefin¡dospor Este 61"35,
.{ 5¿¡á¡ la suma o resullante.delos siguient€sdsplazamidtosi
r-lo trtros hacia el Noroestej B, 20 metros,Este 30' No¡te; C, 35 meüos hacia el Sur. (F¡g. a.)
E¡ €l €xtremo de A s€ sitú¿ el oriepn de B.
E¡ el extremode B se sitúa el origen de C.
l¿ resultant€D seobtieneunierdoelorig€n O del v€cto¡A con el extrernode C, esd€cjr,D : A + B + C.
Sigüiendoel método e¡áfico se dedu@que el vecto¡ D tiene de módulo 4,1 unidades:20,5 m y und
rtF€rión y s¿nüdodefrnidopor Este60 Sur
¡fs.(d)
F¡s,(¿)
S" Draost¡ar qu€ l¿ sumade vectoressoza de ¡a propiedadconmutativa!A + B:
B + A (Fis, (r)).
OP+PQ:oQ,
o bie¡, A+B:C,
OR +RQ: OQ, o bien, B+A:C.
Fo r lo le! o,
A-B
B
A.
¡5 Dcñostrar qu€ la suftra de v€.tores goza de Ia p¡opiedad aso€iativa: A + (B + C) : (A + B) + C.
.{
OP+PQ:OQ:(A+B),
PQ+QR:PR:(B+C).
Y
O¡ + PR : OR : D, e,sd€cir,A +(B + C) : D.
oQ + QR : oR : D, esd.¡ir, (a +B) +C : D.
f¡to¡ces, A +(B + C) : (A +B) + C
G€neraliza¡dolos resuli¡dos de los probleñas 5
queen la sum¿de cualquier lme¡o
t ó s€al€muestra
é \€ctoresla resultantccs indepcndient€del ordenen
qE s. tofmn,
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6
V E C TOR E SY FS C A LA R FS
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8. Dadoslos vector€sA, B y c (Fi8. 1a),consrruirtos vectores(a) A _
B + 2C, (b\ 3c _,1.e^
_ B)
(bt
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VECTORES Y ESCALARES
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-üdd.d h v!¡ocida4 dirtccitu y sc¡iido d.l i,ccto¡ ycloÉt l o¡¡c ll.i?rla cl avión si no hubicac vi.nto.
-*--
-t
/
s.á¡ w : vetocid¿dd€l vicnro
a' il
v. : volocid¿ddel ¿vióncon üento -¡r
V! : vclocidadd.l ¡vtón rin üGDto
l'I
F¡ 6t&! co¡dbidcs,
¡. : v. + w, dodon¡lo
v, - v. -w : v. + (-lV).Midiondo I¿ ¡oogitud dol \¡ccto! Vó se obfen 6,5 unidadesquc equivalcn¿
É.llo vicncndadospor Oest! 33' Nortl.
I.
I¡do6 doo vatorEs ¡ y I dc dilint¡
F
di¡Ección, h¡llar la crptlsión dc o¡¡lquic¡ véctor r dd pla¡o &tc¡minado
¿qucllo3.
Los vrctoÉs d¡dos no ticÍcn l¿ rnis¡¡á dircctriz. Por lo
rúto, &tarmiÍa! un pla¡o. S6ar cu¡lquicr vector do d¡cho
quct.ng¿n
los\€ctorc! r, b y r dc
ll¡o y r¡8sladomos
d ori¡pn com¡lnO. por el €xt¡oño X do r 'naoe¡¿
ú¡cemospartlole¡
¡ bs diraccloüa!dc ¡ y b, Elpccti$rnrnt , forná¡do €l para., r
))''t,
Llograoo ODRC. D€ l¿ 68uñ 16doduc¿
, \ . r.
oD
| _'L"
-¡(oa):.n,
4., ,,. OC : r()B) : )ó,
ondordcxcrso¡.¡cal¡tB
Ahora bion, rógúnl¿ lóy do compo¡icióndel paralclognmo,
OR:OD +Oc,
\{ 1tr r
¡ /-
o bi.¡L r:¡¡+,t
:)
.
á/
,
1
u
q¡¡. ca l¡ o¡pnsión Fdid¡" l,oe v*lorEs .¡¡ c ,b son 16 @nqotu tcs t ctüld.t, o v.clo.!s coopo¡rcrit .,
do r s.dn l¡! dincciord &. y b rcsFclív¡rFntc' lr3cac.ldlsr€/p¡¡.dcn
s.r poaitivG o D.s¡tivo3,
rgúr 106ati!6
dé lo3 icclo.la. Dc l¿ const¡r¡cción gcométrica s d.spr€ndc q*.t c / son únicos pore
., b y ¡ (hdos. los vcctorEs a y h *¡ lo. ve.toret ¿n la á¿tt d€l tístema dc coord$adrs dcñnido por ¡ut
dircccioDc on ol plano quc délrfiin¡n.
¡L Dddo! trqt t€torai
no copla¡¡rio! ni paralclos ¡, b y c, h¡llr¡ l¡ expresión dc cuslquie¡ v€ctor r é¡r cl 6pacio
t¡idimc¡¡don4
s.e ¡ rl vdor cu¿lsui!¡¡ d.l.spacio de origi¡ o d qoc
tr¿slad.Eoslor trc6Elorrs d¡do¡ .' Dy c. Por cl .xtrlso i
dc r t ¡..mo6 pl¡ir6 par¿Lto3,rca!.c¿ivamt , ¿ lo3 qu.
rtct!¡min¡n . y b, b y c, y. y., forñó¡dos! cl paratclcplpodo
¡Ox,Y¡Utl. Dc h fieu¡a sc doduco,
ov = ¡(oA):r¡ )
OP : ÍOB)
on - loc):
: ),b ) on dond! ¡, /, .¿son e!.¿¡¡rcs
.
.u
I
zc)
Alor¡bi.|| OR :Ov +vQ +QR -oV+OP
o bicn, r -.ü +}n+ ,c-
+ OT,
Llc Ie con trucción g.or¡¿!¡icá $ d.6pr.ndequo¡ /, y t ron único6pam r, b, c, y r d,¡dos.
.-''---.-'
VECTORESY ESCAIA¡ES
Los !€ctorcs ¡.,lb y zc sollas compon útet v¿ctoiales, o v€clorts coftponcntct, de r.según I¡s dirlcciones de ¡, b y c, repecrivam€nte. Los vscto¡cs .' b y c son los w.to'* ¿n la bas¿ d.l sisttroa d. coor'
denadasd€nnidopor susdirec.io.ca cn el €spacio.
Coño casopadicular, si aj b y c aón los vector6suritárioi i;l y k, respectlvañcntb,rirtrtu¡lncnte p€r_
p€ndicuiares,
cu¿lquierveclor. se pücdcexpresar!d€ fo¡m¡ única.cn fünción d€ li)s vcctor€sünit¡rios según
losejespo.. -. ¡i + / + zL.
Asimismo,si c - 0, el e¿tor r peno¡€.eráal plano fo¡mado por ¡ y b, obtcni¿nd@ €l
problema 10.
12. Demostrarqne si los vectorcs, y b no tienenlamisr a di¡€cción,la igualdadv€ctoriai¡a +/b = 0 implica
q u e ¡:/:o .
E-slo
Supongamos que ¡ I O. Ertoncls, de ¡. + /b : O s€ d€ducc ¡¡ :
/b, €s dcci. ¡: --(//¡)b.
quiere d€cir que a y b ricner la misma di@ión, lo cu¿l es cont.a.io a la hipót€sis. Por consiguienle,
¡
0, v de vb 0 se desprendeque y O.
r3. Demostrar que si ¡ y b son dos veclorescuyas dir€ccionesse cortan, la igu¡ldad v@torial ¡,a "l- ),¡b :
rú + /¡b i mp l i c ¡ q u €¡¡
¡, e r' : ,r.
¡,¡+/,0:¡!¡+/:b
¡,r + /,b
(¡,¡+v¡b):0,
o bidt, (¡¡-xJ¡
+Cv'-./¡)b=0,
Po¡lo ranro,sesún
elproblema
12.
.t, - ¡' : 0' ,' - t: : 0. o bien, ¡, -,,'Y':!,.
14. Demorrar que si ¡, b y c no son coplanariosni paralelos,la iSualdadvecto¡i¿lx¡ +/b +zc - 0 implicá
o u e .i :y :z :0 '
sc deduce ¡¡ = -)'6 + -:c, es decir
Supongamosque ¡ + 0. Enlonces, de ¡s +zb + zc:o
(z/x)c. Aho.¡ bien, -Olx)b - (?/¡)c es un veclor del plano qüe forma b v c (ptoblema | 0),
¡ : -<-yl¡)b
e s to c s ,¡p e rl e o e € a l p l a n o debyc,l ocual escontr¿ri oal ahi pótesi sdeqi ¡€¡,bycnosorcoplana. ios,
Po rl o ta n ¡o ,¡:0 -R a z o n a n dodcanál os¿manera,süponi endo/* oyl uegoz+ o,sel l e8¡ ascndascon'
kadicciones,cor lo que quedaderhoslradolo pcdido
1 5 . Denosrra.que si¡, b y c son tresvectoresno coplan¿rjos¡iparalelos,la igFldad i€ctoliai tia.+ Iib + z,c =
¡ ¡ . - hb
r . c im plic a que \ ,
:Í
/,
,., z' : zt.
La ccuació¡ dada * puedeescr¡bi¡en l¡ fo¡¡na (¡r - ¡rh + O, - y)b + (2, -2). : o.
segúnef probfemaf 4, ¡, - at : 0, lt - y' : O,y zt -:r - o, o bien,¡, : ¡¡, /\ : t^ 2| : z.
socortancn su puntomedio
f-ió\Derilorrar quelasdiagon:lisde un paralelogramo
/
pamlelosramo
s€
el
cuyas
diasonales
;EC,
dado
S¡,a
\
/
\--l cort¿ncn el punto P.
ComoBD :r : b,BD - b-e. EntoncesBP : ¡(D ¡),
b, AP : .y(¡ + bi.
Como AC : a
AP I PB = AP - BP, con lo que,
Aho.a bien, AB
a) : (¡ + /)¡ r L! - r)b.
¡
/á +.b) - ¡(b
Como las direccionesde ¿ y b se corla¡. segúnel pro_
¡ :0, es dei r, ¡:¡-' ,/"
b l c ma 1 3 ,¡+ /' l € ,
Por lo tanto, ¡ cs ol punto medio dc las dos diagonales.
delos ladosdc un cuadrilátero
ecunpara
t7 . Demorrarqueel pollgonoquercsultaal unir lospuntosmcdios
rerogr¿mo.
Sea,rBCD€l cuad.¡látero
dadoy P, O, rRy S los puntosmediosdé suslados(Fig. ¿).
c), Rs:'r(c
En¡onces,
PQ: '/,(¡ + b), QR =='/lb
Ahorabi.n,s + b+c.l d : 0. Porlo tanto,
PQ
-'
:(a - b)
-"/c
+ d)
SR
y
+ d), sP:
rL(d+ ¡).
QR : '/'(b + c) : -'/,(d,+ ¡) - PS
Como los lados opúesrosdel f'olieo¡o formado son igualesy pa.¿lelos,dicho poligono ee
logr¡mo.
VECTORESY ESCALARES
II
3"";
g*,:'i;ii*ll1llli';:,:::
r,..,.susrcsprcrivos
v 11'
vectores
deposic,ón.
D€mos':f"i'-o: "l-"'9* : oo'.;'ürd;;;';.;i::;i;ü;HT'.:?ü[[?:Ti;
li TlTfi'T"'.::::::
^ ^: ",.:
¡=q1 O' si, y sotosi, se verifici ¿, + ,, + ., 10.
vvervecrordeposicióndco'r6s.
rJ);'iF1::1".'"'Ti:':-oj,:::':lóle-f,r:f',{{rrespecbdeo
o. ve¿nos
enquéco¡diion€s
* *,¡i"."rá.i,iiíJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,."í.#;:
=de
la. F is . ( ó )
d e d u c eq u 9 .,:i
¡tr_ D . ¿,r! + ¿rr¡ : -s
e transfo¡md en
0 se
-
rl€l
+ r,r, ¡¡:y
+ l !,
¡.:y
+ r,!,
con l o quc l a ccuac¡ón
a¡\ + a{, + a,r1: a(v + ri) + ¿lr + ri, *
*.,,
"*' a,¡,, :
_ (a, + a, + a,:)r+ a¡,, + oii
+
O
La condición n€.esaria y süficienre pa.a que ¿,! i ¿,r.,
¡
+ ¿r.i : 0 es
(a,+a,+a¡
-0. esdc.ir, a,+ar+a,:o.
Esteresultado
puedegeneralizane
sin dificutrad.
o).
ü
que pasapor dospuntos7 y a cuyosvectoresde posición
¡65p€ctocrcror¡scn o
{:.
:l :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra
y D,respecnvamente.
S.a r el vector de posiciónde un punto
ge¡éricoP de la
¡
Dc Ia ñgur¡ adjunrase deduce,
D\-AP.-
OP,o bien,s + Ap : r, dedonde
Ap : r _ ¡
01 - AB : OB, o bien,a + AB : b, de do¡deAB : b_s
Ahora bicn como AP y AB son colinealcs,Ap : rAB,
(b
¡). po¡ lo ranr¡, ta euación ped¡da cs
r:
¡ + ( b-a ),
o b i c ¡, r:(t
_ r)¡
+ rb
S.6 '¿ ec uac ' ón
s c e$ ri b e e nta fo fma (¡
4 a , /b _ r.
0,
i -r t ud€s us c o€ñ.i rn L e s d e a .b y r6 | _ | ¡r_
I =O
-:
-.: ionstSutente.segúnet p¡oblena 18.el punro ppertcncce
¿ : re.ta qu€ une y A, jndep€ndientem€nte de ta clección
"4
o
,J¡o néla¿o, Corno Ap y pB soa colin€al€s, siendo h1y ,,
:!r escalaras
sc verifica:
nap
! oonoe se deducer
np['. o bjen, n(r-¡.)
n^
nn
que se ttamafarha rinérica.
rr ¡ , ,
=
VECAORESY ESCAI,ARES
20. (^44 y r, derospuDto!
Ylllr !:.vc¡r9y d€pos¡ción
r\..1,rt
I urt. -r.1, cf' un s6tom¡dc coor&n¡d¡3
trirrecr¿nguhr .n fudctón de tos rlctorcs unit¡rid l,
l, L. (ó) D.t rminar gráñc¿y am tic¿tncnt le .6¡
o rE6ülr.¡rc dc dirrc3 r€c-roÉ
(¿) ¡r =OP : oc + cB +Bp 2l + 4t + 3¡
r¡ - o Q:o D +D E + EQ- t_51 + 2r
-
(bl
Q{r,-t,2)
ctófcank,t.,la
rcsulratrrc d. r, y .r !. oor¡!.E
4t .!¡ ot¡soml OR dcl paralclosramo oPiO.
Anan cañ¿nt¿ vtcn d^d^ ñr
¡, + r' = (¡ + aJ+ 3r)+(l-5, + 2¡):3t-l
+ Jr
quc cl r¡ódulo ,,1dd vocaorA vi€de d¡do por
A i +A J + A ¡c ca: llJ 4 ¡ 1 .
Por cl t orcna dc pitágo¡as,
(oP)': (oor'+@b"
er do¡deO-P€set módulod€lvecrorOp, erc.
Análosü'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'.
Po¡Io !¿nro.(-p)' . ro,nl. + riOy - tO¿). o
A, - Al + AZ I ,ri. cadeci',,r : ,/ /? + 4=/l
¿. Dadd lo3 v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r,
(¿) r,, (á)r¡ + r' + r.. (.) 2r¡- 3q - 5r,.
t.t lr"l ,r-¡r4+zrl
= v ljt 1
-
tzf +6
r,:-r+2r+2t,
b¡ll¡r lo. ñódulo3
= c.
(ó )q +.2 i .. = (3 r-2 ,+r ) + ( a- { t- 3t) + ( - t+ 2t+zr ) at- { J+ ot = 4t-i ,
Portot¡nto,l!+r,+."l = ll¡-+l+orl . /(8;7:&, to] = ,6 = *6=s,ec
(¿) al - 3.2-&3 = 2(3t- 4 +t) 3(21-r,
-!¡t) - i(-t + zJ+ z¡)
= 0l-4t +21-6t +tA +9¡ +í -roJ
-tor = 5¡ -2, +¡.
P o rl or¡n to l.2 r1 -3 r ,- s,"1. ¡ r - zt*¡ l - /( R;( 8;
Dado. loj v.ctoE! f, : 21-l + t , h : ¡ + l¡ -2r,
va6¡os oc ¡os c€.3lar€s¿. ó y . d0 múéra quc ¡.
(#
r, : -2t +l -3r,
¿rr r áf¡ r d..
= ,6=s.qz
t ¡¡ : 3r * 2i * 5r, h¡[¡¡
3r+2¡+5r = ¿(21-l+r) +r0+3t-2¡) +c(-2r+r_a¡)
= (2.+b-2c)t + ({ +3ó+c).,+ (¿-2ó
-3.)r.
Ahoú bi.n, los yétores i, L k no son ni coplanariosni par¿telos,sc$l.nel probldra 15,
2t + b-2c:3,
<+3b+c:2,
o,7.b-3.:5.
R e s o l v i c n d o c s tc s i s i . f¡¡de.cu¡ci o¡.s,s:--2,b:t,c:-1cútl oquor.:-24+ r¡-
j
Ir
El ve.\or r. d¿pcndclínealrurr¿ dG los vccrorts rL r, y r.; cn otru pal¡bras, ¡,, r,, rr y ¡., forn¡n
sist€r¡a dc vcctorcs l¡r¿¿,r¿nte ¿lepeüleúe. Sin .mba¡go, tres (o renoo d. cao3cuatro v€cror€¡ son
ñ.nte in¿.p.a¿ientes.
ED Acncral, los v<.rorcs A, B, C, . . . sod lincaLEnto defEndbntes si .risten u cohjulto dé
a 4 .,...,n o to d o s ¡¡u l o s ,d e b a¡cr¿que¿A + óB + .C + ...:0,c¡tcásocoD tr¿;osonl i
VECTORESY ESCALARES
L
II
ü¡ !.rcto¡ udtario con la dircc.iór y sentido do la rGulranL dc los \€ctores r, : 2l + 4¡-5L,
úÉ
*:i;2i+3 I.
¡rs¡lt¿¡tc R : !+ 12 = {21+4J-5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[.
For lo tanto, un vectorunitario .on Ia dire.ció¡ y sentidodé R es!
6,
Comprob¡ción: r3.
lir + tr q
+
ln l = l ¡r-o¡-z r,- /o7- tat' - , . - = t .
r.
¡ 31+ 6i - 2L
= !, *
l'l = <lf.rlf -r-lf - t.
7
6.
1
2_
7
Ealla¡ un vetor d. orisenP(t,, r\, ,) y .xl¡emo QG,, y,, d,
ü€¡mi¡udo
lucao su módulo.
El vector dc posición de 6 1El r€ctor de posición de "P es r2 =
P Q = 12- L = l ' 2 í+ y 2 l + z 2 } )- Q 1 i + r]+2,r,)
= l'2'
+ l ra - r!)i + (2 2 -,,)h.
' 1 \t
Obervesequccat€módulono caotra cosaquela distan.
cia e¡tr€ los puntosP y O.
¡.
Sobreu sólido actúa¡ trÉsfu€rzasA, B y C que,e¡ fu¡ciód dc suscomponcntes,
vieneÍ dadaspor las€cuacio¡€svectorialcaA : ,1ri + AJ + A¡, B:¿,i + 4¡ + A,r, C: C,i * CJ * C"x. Hallar el módulo de
b tue.z¿resült¡n¡c.
B = a+B+c:
Fuer¿a
¡c3u¡t¿nlr
(/4r+41+c1)t+(42+82+c')t+ (/3+8.+ca)k.
Módufodc la rcsulrante= ffi
Este r€sül¡adose puedegÉncraliz¿rfácilment€al c¿so de varias fue¡z¿s.
tl. Detcmi¡a¡ 1o3áogulor.! P y / quc cl v.ctor r : xi+r4 +rt
y
_ lorma cotr los scntidospositivosdc 1o3cjc,sdecoo¡denaal¡s,
co8!a+cos"É+cos¡?=1.
El triángülo O?lPde la figura ca¡.ctánguloer ,r; por lo
r-t"
*"
"
d. 106tri¡ir$los ñcrán{.t ft Análogrm.nte,
-
, : I
v c,o s/ =
,,,
"o,
1..
--.
rcspetúvaÍren&, Asimisrño, r, - r : \/t't
yt
r or lo ur nt o ,c o 3d
/.c o 3 p :
.,c o s y= -i ,
alcdóDde se deduc.n loc valor€s dc los ¿n8ülos o, f y / pcdidos. D€ estls c¡prEiones se obti€¡¿
¡ulG OdP y OCP s! deduc¡¡.
{osia +cocr+cos'/ _xt+r'+2'
:1.
¡63 ¡¡¡¡¡6¡6¡ ¡6s z, cos f, cog ? !€ llaman los .or¿roJ dtr¿.tores del rf;¡tot OP,
t,
DctcrmirA¡ rm con uúto dc €c1¡acion.sdc la rccla quc p¡sa por 106punaosP(¡¡, ¡, z) t Q(4 !6 d.
VECTORES Y FSCALARES
sL¡rqyr.106v.ctort
dc Do3iclóndc Py O, tspetiv¡ment , y r .l concpondic¡rt ¡ un punto EÉnéricoX d. l¿
rectaPO.
rr o bisr¡,PR = t -rr
rt +PR
rt+PQ
o bi.tt, PQ : rr - ¡r
-r}
Ahor¡ bicn, PR : ¿PO,lkndo r un c6calar.Ibr lo tento,
r-¡r : (!' - rJ qlrc es l¿ óc1¡!cióúyrctorial d. h r!c-ta"
En coordonadasIectangularcr,co¡no r-: ¡l + , + .t,
.
. rrl + t r¡, ' t llr2 t . r2 t . . 2 ¡) - (¡rl . t 1 t ' ¿ r¡)l
kl'lr-¡¡)-{¡rl
= t lt ' 2 + 9 a -t )t + k 2 - z r' t rl
(¡-¡r)t+(r-t)l+(' -, r)¡
';,t
Cúro l, L t Do ror coplan¡rioc¡i pardcloc(¡on lineal¡Eerti¡drp.ndi.ntes),s.gún.t
t-r
- t(yr-r),
,-4
- 4\-z'\
de l¡ rcct¡, si6do , el psráúfro. Elii
r !6 obtidi.,
f-tt
fc- \
,.
D¿dod cúipo g€calardefinidopo¡ {(¡, /, z) - 3¡': - .ry' + 5, haÍ¡r .l vdor d. { €o lós punüor(¿)(0,
(b,(t, -4,2r, (c)(-t, -4, -3t.
=
(¿) C(o,0,0) 3(o)2 (o
- (o x o f + 5 . 0 -0 + 5
6l Q6,-2,21 = 3{rffl}- (1)(-2f + 5 - 6 + 8+ 5 = 19
= 3(-1f(-s) - (-¡)(-2f + 5 = --e - 8+ 5 = -12'
(c) ó(-r,-z.-i)
\
\
$, R€Fascnt¡r ¡¡áÍ!¡rste
lo! si5¡i.[ta3 c¡spo¡ vlctof¡sbai
(¿)v(¡,r)-.d+/r, (ó)v(ar: -¡t-r,|,
(¿)v(.r,/,r)-.l+ ,i+*,
(¿) En cad¡ F¡nto (r,r), cr(6pto d .l pun¡o (0, O dcl pl.no r/ ..tÁ dd¡ilo lm r¡dor ún¡co ¡I +
nódub y'FT¡',
cuya rtiÉcción Dasapor .l ori¡ar y *r.ido ¡!.j¡¡dos dc é1.P¡.d .iopli6
rnétodos3¡áfico!. obs¿rv.ñro! qua lodos lo¡ v.ctor6! ¡sociadoi o lo¡ ltuntos do l¡! c r.un¡
tt + lt
a',
a > 0, ti6n n d. Dodulo ¿. En ls Fig. (¿) 8p¡¡oéDrÉprclontadocl c.¡npo
-a uD¡.o¡
c1¡asüótr
drtcroí¡¡d¡ clcal¡.
,
VECTORESY ESCALARES
l3
t¡4 F, cste caso. c¿da v€ctor cs i$ial y opr¡csro ¿l co¡rqlpordiente de (4). En la Fig. (ó) se ¡epr$€nta .l c€mpo
rEtorial en cuestión.
En l¡ Fig. (¿) cl cafipo ticrF cl asp.cto d€ un flüido qüc cmerg. do üna fuénre puntu¿l ¿n O, siguiendo
hs dire.c¡ones y se.¡tidd qu€ apa.€cen. Por 6sta ¡arón el @mpo sa lla¡n¡ dc tipo ¡uehte puntual.
En l¡ Fig. (á) cl c¡mpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntil¿¡o Dunlua,.
En el espacio de t es d¡mc¡sioncs la interpfctación co(€sponale a un ffuido que eúor8e (o d$¡gua)
Edialmente de ü¡1afu€nte fo sumid.ro) line¿1.
El campo vecto¡ial s¿ ll¿Íu bidirEnional porque cs indcp6ndiente d€ ,.
It4 Corlro et módufo dc c^da e.ctor.s \/i¡lir,
todos lo5 puntos de l¿ sup.rficie esféric6:1.+ /, + z'
: ¿:, con a > O, tiend el mismo vcctor d. posición €uyo módulo es, pr€cisamente,¿. Por co¡sigüiente,
.l campo vectorial prqs€nta el aspccto de un fuido qu€ en€r8e de üna fülnte puntuat cn O segt¡n¡od¡s l¿s
dircacioncs. Es u¡ ca¡npo d! t¡po /¿¿Ír, puntual cn tr€. dincN¡oncs.
Problemas propueEtoe
JK
E¡dc lar ÍraAnitud6 que secitan dccir cüálcsso¡ csc¿lar.sy cuálesvectoriales.(¿) Enc¡glacinéticá,(¿) intenirád d€l campocléd'ico, (c) entropfa,(d) trabqio,(¿) fucrzaccntrírus¿,(t tcmpc.atur¡,(a) por.nc¡alsravilaerio, (r) carga€lódnca,(l) esf¡¡€rzocorrante,U) frecuencia.
(/) cscalar,(s) cs{:¿lar,(}) .sc¿lar,(, \€ctorial,
sot (a)esc¿l¿r,(ó) vectorial,(c) esc¿lar,(d) .sc¿lar,(¿)vccto.i¿1,
U) es.alar.
i
r
L_nav¡ónrccon€ 2m km haci¡ €l O.st€ y luelo lJo km Oestcó0' No.tc. Ha
lr) erÁf¡.¡¡n n&, (¿) anali¡icam.rte.
iof. Módülo 304,r knr, dirccciónr sentidoOesre25'17' Nortc.
lazamien¡or€sulCmt€
Hallar€l dcsplazañ¡c¡to
rcsultant€de los sigui€Dtcs:
A, 20 km Estc30" Sur; B, 50 krn háciael O.6to;C,
{ tm h¿ciael Noresk:D. l0 km Cresl.60' Sul
lr¿ Módulom,9 km, dir..rión y sentidoOest¿2l'39' Sur.
Dcmost¡a.sáñcrt[Ént¿ q¡¡e-{A - B) : -A
+ B.
Sob.€tln sól¡dopr¡nt¡al en P actúanlas tres fuer¿s coplanaria!qr¡€mü€$trala Fig. (¿). Hall¿. la fuerz¡ qu.
.s ne.csarioaplic¡r cn P para mantcDcr€n ¡cposoal sólido dado,
So¿ 323lV di&crarnrntc opuost¿a la de i 50 ¡ú.
D¡do3 1o3Écton3 A, B, C y D Épr.sertadoó dr le Fig. (ó), construir ol vcctor (?) 3A - 28 - (C - D)
¡r; c + ; ( a - B + 2 D ).
t
I
I
k
I
l4
VECTORESY ESCALARES
31. Sea ABCDEF los v¿rlic€s de un s(ágono regular, halla. Ia result¿nte de las fu€rz¡s reprEs@Éq¿s por
vecto.€sAB, AC, AD, AE y AF.
S¿/. 3 AD.
38, siendoA y B dosv€ctores
dcmostrar
lasd.siguald¿des(¿)
lA + B I= la l+ lB ¡,(ó)l
-B
l¿ tA l-
39. Demostr¿rl¿ dcsigualdadI A + B + C I S I A | + | B | + | C l.
/¡0. Dos cindades.! y A e$án siruadas üna frente a la olra en las dos o¡illas de una ria de 8 km dc archo. si€nd
velocidaddel aguade 4 krn/h- Un hoñbre cn ,.{ qui€reir a Ia ciudad C que seencuenhaa 6 kn aSuas
de, y en su misña ribe¡a. Si la €mb¿rc¡ció¡ qu€ utilüa tiene u¡a velocidad ¡¡áxiÍrz d€ l0 km/h y d.3.. I
a Cen €l menor tiémpo posibl€,¿quédir€ccjóndebetorEr y cuántotiempo emplea.¡ conseSuirs-
s¿/. Deb€seguirun¿¡rayectoria
rectilln€aformaddoun ánsulode 34'28'conl¿ di.€eión dc l¿ corri
I h 25 min.
41. U¡ hombreque s€ dirige haciacl Sur ¿ 15 km/h observaqüe el vierto sopladel Oesto.Aum.nt¡ su
a 25 krí/h y le pareceque cl vicnto sopla del Suroeste.Det€minar la v€locidaddet vi€nto asi como su d
s¿/. El vionto vien€en la di.€cciónOeste56'18'None a 18 krn/h.
42. U¡ sólidode 10ONdepesopendedclcentrode unacu€rda
como se obsera en la figura. Halla¡ la tensión 7 en ;a
,sol. 100N.
,t3. Simplifica. la expresión2A + B + 3C {A - 28
(24 lB C)1.
So/.5A-38+C.
2
y A : (¡ +4/)a
44. S€ana y bdosveclo.es
dedistintadhección
+ (2x+ / + l)by B : (y-,
+ 2)a+ l2x-3r- l)b.
Hallar los valorcsd. : y d€.y d€ maneraquc 3A : 28.
So l . r:2 -r:-t.
l mN
¡¡5. EntE lc vatores d€ las bas¿sde dos sistetl6 de coordemdaE s,, ¡, rr y b,, b,. b, €xist n las rcl¡cionca
¡,:2h
+ lb'-b¡,
E¡p.esar €l v@tor F : 3b, -br
¡':b'-2h+2b',
&:
+ 2b, cn fu¡ción de r,, s", s".
2ü!+|''-2b,
Sot. 2¡' + 5.' + 3¡¡.
no co!,lanarios
ni paralelos,
det€mi¡arsi losv€ctores
¡¡ : 2r - 3b + c, r¡ = 3¡
4ó. Seá¡¡, b, c iresvectores
+ 2c,y 13: 4a - 5b + c sonlin.almente
independi€nles.
S¿/. Comoseve.iñcaIá r€laciónr. : 5r, - 2¡,,solrli¡e¡lmeÍteindep€ndientes.
47. Consruir el paralelográñodadossusvcctor€sdiagonalesA y B.
48. Demostrarque la rect¿que une los puntos mediosde dos lados de un triángulo es paralelaal t.rcar
igual a su rnitad (paralelamedia).
49. (¿) DemostrarIa ¡gualdadvectorialO^ + OB + OC : OP + OQ + OR, siendoO un punto
interio¡al 1riá¡sulo,4rC y P, 0, I los puntosmediosd€ los ladd ,rr, ¿C, C,{, resp€ctivsment€
(ó) ¿Esci€rta la igualdadsi O es Lrnpunto exterior¿l triáneuio d¿dd?Demostrarlo.
So¿ SI.
50. En Ia figura adju.to, ,44C, es un'paralelog¡amoy ? y O
los puntos m€diosde los ladosrCy CD, respeclivame¡te.
Demostrarque ,{P y,{O dividcn a la di¿sonalt en tres
partes iguales m€diante los puntos ¡ y ñ
51. Demostra¡qu.l¡s ñedianas de un triánsulo s. cort¿¡ en
ür punto. que e llamá baricentro, a l/l del lado y 2/3 del
vértice opuBto s8ún cu&lqu¡era de cllas.
f¿. Defilostrd qü€ las bis¿c¡.iccadc 1o3áncrtlos dc u¡ triiá¡gulo s co¡td en un puDto, quc 3allá¡¡ra ilrccDtro y @ffesponde al c€¡t¡o de la circunfcrcnci¡ ioscri¡a al a¡á¡gulo.
l*
53. Dado un lriángulo cu¿lquicra,d.morrar quc exist€otro
triángulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! ñe
dianasd€ aquel.
VECTORESY ESCALARES
S.ú t y q los y€ctores de posición, ¡especto ale u¡ orig€n O, de los punros P y 0, respecrivamenre.por otra
trE, 3.a R un punto que dividc al segr¡rentoPO on la rcl¿ción a : r. Demoslra¡ que e¡ v€€lor de posición
rD -f ¡¡q '
t viÍc dado por r in&p€ñdicnbenentc del oflsen elesido.
; ;:
:I- t o r¡, !., ...,I, los vectorcsalc posición!respeciode un oigen O, de las rnasaspu.tuate52,,, ah, .,., n,,
.E5Í.íivamcnte. Deñostrar qu€ .l vector de posición del contro de nasas vi€ne d¿do Do¡
:l
|liat
Ls.a
ñ7r| + ñ2r2 + ,.. + nn n
rod.p.odiontemcntldel
origon elcgido.
Í.
E¡ Losvérticrs d€ un cuadril¿tcro,A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se colocan.nasa3
é l,2,3 y 4 unidades,respectivamcntc.
Hallar las coordcnadasdel cenl¡o de masasde dicho sisterna.
5! ¿ _ ( 2, 0, 2) .
!f-
D.f,osuar qu€ la €cuación do un plano que pas¿ por lres punlos dados ,-1,r; C, no alineados, d€ veclofes dc
¡oslión rcsp€ctivos r, b, c resfrecto de uD oricpn o, viene dada por
¡
p.+,b+pc
rl. l l i .
l. _ L . l* , ] * l^ -l
) \
L i\ + :
¡¡¡do ,1, tr,p esqlarescualesquicra.Comprobarquedicha€.uaciónesindependi.nlcd€l o¡ican-elegido. /
,
'
i¡'Lo.v€ctorcsal€posicióndelospuntosPyOso¡,r.spcctivameóle,r,r-2i
]j3l+k,y¡,:4'i:lj+2k.
so/. 2l-ól +¡k,7.'
Derermina¡
€l v€ctorPQ en funcióndei, j, k y hallarsu módulo.
h"i"*'
f
B = -2t + 4j 3k, C: i + 2J-k, hall¡r
Seo¿o¡.::¡-l-4k,
{') 2A - E + 3c, (ó) | A + B + C l, (c) I 3A - 28 + 4c l, (d) un vecto¡unilarioconla
e.u (.)/lss = 19,9t ,^la
d€f3A-28+4c.
Sor. (¿)lti-sL
lbt \./ü
28+4C
t9.95
F,:2i + 3j-5k' F
1sobrc un sólidopuntualen P actúanlasfuerz¿s
-5i + J + lk, F,: i -2j + 4k,
r. : 4t - 3i - 2k, riedidasen n *tons (N). Hallar (¿) la fuerza¡esultante,(¿)el ¡nódulode dicharesultante.
sol (a) 2t- L Q\2,uN.
si losvector€s
dadossono no lin€almente
¡ndependiontes
determinar
¡- En cadaunode losdoscasossigui€ntos,
:
:
:
=
k'C - 3i + 2i-k.
i-4I'C
4i + 3j k'(ó) A t-3i + 2I'B 2l-4j
1d)A : 2l +l-3lqB
Sor. (¿) line¡hut dcpendientls,(ú) li¡€alEnre indep€nd¡entes.
C- Demost.ar qu€ cada cuatro vectorescn ües dim€nsionesd€b€nser linealmentcd€p€ddi€nl€s.
g- Dernosirarquela condicrón¡ec$aria y suficientepara¡¡uclo3v€ctoresA : ,41i+ /¡l _l_
,'1.k,B : 4i + ¿,i + ,¡k,
lt
si.
li, !",1"\
esquecl dererm
inanr€
independieñres
c:c¡l+CJ+csk, sea¡li¡ealmentc
lál i, i" | '*al't.t"cccero.
que106iEctoresA :3i +t-2k,
B: -l + 3¡ + 4¡, C:4¡ - 2i- 6¡ puedens$loslados
ar (¿) Democt¡ar
dedichotriángulo
sol.2.45;5't4t6.12.
de un triárliulo,(á) HaUa.las longiaudddelas&€dianas
G, Dado el cámpoescalar4Q,t, 4 - 4rz' + 1ry2-z'
s¿r. (¿)36,(ó) ll.
f-
+ 2, hallar(a) d(1,-1,-2),(á) /(0, -3, l).
Repre¡cntargráñcanentelos cañpos vectorialesdefinidospo.
=/l -rj , ( . ) v ( r . t , , ).
(¿)v(!.r );r¡ -'J . (ó)v (t.r)
##3
Capítulo
Productosescqlqry vectoriol
PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vec¡oresA y B, sr¡ p.oducto
o int€rno, A' B, s€ definecomo el productode süsmódulos por el cosenodel ángulo 6 que
Por lo lanto.
L,B - AB cÁrs9, OS0="
Obsérvcscque A B es un escalar,un número,y no ün v€clor.
Las propiedadesdel produclo escalarson:
¡. A.B = B.A
2, A.(B+C) - A.B + A.C
3. a{A B) - (nA) B - A (ng).
Propiedadconmutativa
P¡opiedáddislribü1ivadel productocscal¿r
¡espcctode la suma.
sie¡Jo ,, un cscalar
(A'B)'
4. t.l = j.j =L.t - 1, 1., = J,¡ = l.i =0
y B = 8ri + AJ + 8.t,
S.DadosA = 4t+lei+4t
AA
= Ag, + A,B2+ 483
A'A
=a 2 =a 2 +Á '+a 2
B 'B
= a ' - n i+ a i+ a i
sev€rifica,
ó. Si A'B : 0 y ninguno de los vectoreses nulo, ambosson perpendicula¡es.
PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados los vectoresA y B, su producto
e,(tcrnoes otro vector C: A x B. El rnódulo de A X B es el produclo de módulos por el seno
ánguloI que forman. La direccióDdc C - A ),8 es la p€rpendicularal plano que fo¡man A y B, y
sentidoes tal que A, B! y C fornun un triedro a derechas.Por tanto,
'o
A xB -,.{3sen09,
0303n
siendou un vector unitario que indica la direc.ión y sentidodel prodüclo A x B. Si A:
si A ti€nela mismadirecciónqr.¡eB, sen0 0, co¡ lo que A x B 0.
-
B, o
Las propi€dadesdel producto vectorialson:
.1.axa - -BxÁ
2. Ax (B +c) - AxB + Axc
3. n(AxB) = ('A)xB
4, i x l = j x j
= k rk
(No goza de l¿ pfopiedad oonmutatila.)
P ropi edaddi stri bul i va del product o vcct or ial
respectode l ¿ suma
= Ar (DB) = (A x B )n , si endo,) uD cscal ar.
.0,
5. D a d o s A = l 1 i + Á; + ,\k
l xj = k,
r
j xk-i ,
k:i = j
B - B i i 1B ,i + 4k,
l6
s¿ \,cfi ri c¡.
PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAI
itk
a1 A2 A 3
=
A tB
L7
B1 82 B.
']_
El roódülode A x B repr€senta
el ár€adel páralelogramode lado A y B.
Í A x B - 0, y nirguno de los vecloreses nulo. ambostjenenia misma di¡ección.
IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalaresy vectorialesde tres vcctores,
L 3 c. s€ püedenformar p¡oductosde la forma (A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific¡¡
|¡qicdades siguientes:
: '{r. B) c + A( 8 . C)
de un paraleleplpedo
: -r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumen
dearistas
A, By C
.Dn signopositivoo negativosegúnquc A,By C formen un triedro á dereohaso ¿ izquierdas.
s A :,11¡+,r'i +,{g|(,B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c¡'
A1 A 2 A 3
A .(B xc)
=
81
82
B.
c! c, c.
(El producto vcctorial no goza dc la propieded asoc¡lriva.)
:- ,^x (Bxc) I (Ax B) xc
! -4' (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c
'i-{xB)xC = (A.c)B - (B.c)A
q producto A . (B x C) se l1¿Í]á tt¡ple ptoducto escalar y se rep¡csenta por [AnCl: El producto
,l x C) recibeel nombre de liple prcrlLtto vectoríal.
¡¡ el producto A .(B x c) se püeden omiti¡ los paréDtesisy esc.ibi¡ A 'B x c (Problema 4l).
ábargo, €stono se puedehacaren el producto A x (B X C) (véanselos Problcmas29 y 47).
S¡STEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemasde vectores¡,b,c
¡' ¡'
C .¡
-
a ' .c
l
b'b'=
c ' c' =
= b ' . a = b ' .c = c' . a = c' .b
y ¡',b',c'
= 0
l¿ condición¡eccssriay suficie¡tepara que los sisteúasde vecloresa,b,c y ¡',b',c',
,
a bvc
t 0.
b /c
i. bx.
c va
(problernas 53 y 54)
r,": -
;
f
.
i, l
¡
sc
i" 1 -=
-J
seanrecl.
':-=-
IE
?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL
Problema¡ resueltoe
PRODUCTO ESCA¡JAR
l. Deftostr¿rqueA.B : B. A.
A.B:/Acos0:A/co€0:B'A
Por consiguiente,et productoos.al¡r gozade Ia propiédadconmut¡tiva.
2, Dcmosúarqw A.b cs igual ¡ l¡ proyección
dc A sobrBB,
siendob el véctorur¡¡taiocn Ia di¡Ección
de B.
v senr¡do
Co¡üo indic¿ la fisur¿, los plaros pcrpe¡diq¡lares ¿ B
trazado3por €l origa y cl ¿lt¡€mo de A corr¿n a aquA Gnbs
puntosG y ¡I, ¡.sp€ctivañ€nt€,po¡ lo tanto,
PfoyeccióndcAsobroB:Cn:EF-Ac¡60:A.b
quoA.(B + C):A'B
3. DemostrAr
+A.C,
-i
i
|
'r---.-á
54¿ ¡ el v.4tor ünirario en la dir€c¡ión y s.ntido de A,
Proye4ciónde (B + C) sobreA : proy€cciónd€ B sobr€A
+ proy€.ciónde C aobreA
(B +C ).r :B r + C.¡
Multiplicado por ,,1,
(B + c) ,!¡ : B ' ,,{¡+ c . ,{s
(E +C ).A:B,A + C,A
Teniendo m cü.nl¡
!¡ propiedaal conrhubriva dcl prodr¡cto
A .(B + C) : A , B + A . C
luego .l produclo esc¿lar goza dc la propicdad disiributiv8
f€sp€cto de la suma.
qw (A + B),(C + D) A.C + A.D + B-C + B.D.
4. I}mostr¿r
= A . C+ A . D + B C + B '
Dolproblena
3,(A + B ). (c + D) : A . (c + D)+ 8 . (c + D)
Luogoel productoe!.ala¡ sozad€ la propiedadosdel ágebm ordin.ria.
€s.alarcs
5. Halla¡los prodr¡ctos
siguié¡rbs:
r'l r.r = l rl l rl
(ó ) l .I
j
ll
L
o ' = ( l) { r ) ( 1-) 1
-.
c o s 90- - (l )(r)(0) . 0
r.l r.l . l.l lll
. )o
m' = (r)(r)(o
= -3
(d) l.{2i-3J+I) =- "2j l-3J.J +l.lt = 0-3+0
(¿) (2t-l).{3i+I) = 2l . (3r+ r.)- ,. (31+ r) = €l . t + 2t. | - 3l ' I - ,' t = 6 +0-0-0
l
l,
,6.)i
\-,/
q\.
B = 8,t + 4i + 4k, deinostra.
^.R
+,t.[).(ali +a2j+83¡)
A,B = (¡11+,42j
A = A,r+ A,t + A¡
y
= 6
= A$r+ A2B2+Az
+ 8J +a3[) + 4J.(¡1r+8+4r¡) +,a!t.(8rr+¡,,+S3k)
,,{1t.(alt
Arqrt + 1B'.r +,\%r.r + a,BJ-t + a2B2r,,+ 4831.¡ + A.B!r't + 4B2r'.t + ajB.r'
PRODUCTOSESCALARY VECTORIAL
l9
= A&r+ /t282+ a.B.
sonnulos,
r F i. i = I' j : k. k - I y todoslosdcñft produclotcsc¡lar€s
: \/-A'J,+,+,1'.
+,{t, + .r'r, ricooctr¿rq¡¡,r : y'T.r
A ' A (,1)(,1, co3a' = A'. l"tryD, A - yti A.
Ta.nbién,
A.A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )tl + I,tt
oA:,lri
!-
'
ri-''>
-,
¡
: (A)(a') + (A')(A'\+ (A)(A,) Ai + ,ti + s"
-
!
It
Foblefna 6, ton¡ndo B - A.
lo-¡ano, ; : VT .r
- \/4:+
/
elrtódulo d6 A. AlsünasvÉcesA.A 36 rcp$s€nt¿por A..
4+4es
¿ -
¿'6
a : !i l2r-L
E rhr et ánsutofoÍn¡do po¡ losv€ctorcs
y a-6i
A" - ü
'1
-tt-?'
AR.60, ,t - \/6 +@¡ eÚ : t, B - ^//(6r'+ (-3r' + (21:1
^.8: : (2)(O+ e)(-3)
+ (-r)(2) : 12- 6 - 2 = 4
^.8
Porror¿nto,
co!,- +P : óOr: f
= o,uos.
* a.
t s¡ A . B : 0 y ,1 y ¡ so¡ dbtintos dc cÉro,demolr¿¡ qu. A cap€rlendiculara B.
Si A.B :,{acor t
-
sir
0, mtonccscos0 - 0, osóa,0:9O'. Reclprocament€,
-
90', A B:0.
a-Ha.ll¡r.lv¡lord.¿dcform¡q'¡cA:2i+d+ry8-41-2¡-2¡s€¡np.rpcrdicul¡¡t6.
l'
Del probleñ¡ 9, A y B ton F¡p€o.liorlat6 s¡ A 'B = 0.
(2)(4) + (d) (-2) + (I)(-2)
8Por lo t¡Dto, A'B
-
t
l*
quc 106itaiolü A:3i-2r+k'
tt. DÉúostra¡
2o-2
B:l-3r+5k'
- o,.lG do'tdÉ,¿ - t.
C:2i+¡-41
tonn¿nün triángr¡lo
Dcmoatremo.,on prioar lüg¡r, quo los v.clor$ for¡Bn triángülo.
¿
B'D
(ó)
(¿)
ls
i4Fur'¡
De las ngr¡ras66déduc¿queello ocü.re si
\ i\
i. ;1
t.- ¿ L
(¿) uro.te los r€ctorcs, por cjdnplo (3), €s la ¡¿sultá¡t dc los otros dos (1) y (2).
(ó) I¡ Esult¡rl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) ér cl vector nulo. Co¡no i¡di@ lás figurás, pued. ocuri¡
quc doc v€ctorB tcnlM cl €sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos co¡ricid¿n' Er ¡u€st.o
ca¡o 6 t¡ivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfná¡ triá¡8¡tlo.
.J,
]
I
coño A . B = (3)(l) + (-2) (-3) + (r) (s) : 14, A . C : (3)(2)+ (-2) (l) + (r) (--4) : 0, y
B'c:(l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoÍperPendicular$vqueelkiánsulo.
es r€cEnsuro.
--'-'-'-PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAL
quc forma el vecrorA : 3i - ó¡ + 2k con los ejascoo¡denados,
_rá1, Hallar los ánsulos
Soano, É, / los ángülosquefo¡rñ¿nA con los somicj€spositivos¡, /, r€sp€crivañenrc.
",
A t: (A)(t) cosa = ",/ a¡ 11-e¡ 1 1z¡ cosa : 7 coso
A.¡ :(3¡_6i +?k).i : 3i.l_ój.l * 2k.t : 3
Porlo t¿nlo,cosd : 3/7 : 0,4286,
d. dond€a : 64,ó.raproxim¿damente,
Análoraft€nt€,
cosÉ = -617, P : I49",de donde.cosy : 217,r = 73,4o.
Los cos.nosd. d, B,y ,,3¿ llatuar,.osenosdircctotetde A (problerna27, CapíauloI).
J 13. Halfarla f'rorcccióndelilctorA:
t-2i
deB:41-4i
+ k sesúnla di¡ección
Elv€ctor
udr¡'ioenradif.cción
dcBe b:
r sertido
f
:
+ jk,
f, r- f, ; + !*.
iaffi-
proyección
dca sobnelvécror
B : A. b : (t- A + D. (+t - +t + +k)
- or(f)+t-a(-*) nor(l) :'r1 :''"
,,/4. o"¡n**,
.l t€or€rhaitel cosenoile un t¡iánsulo €uarqu¡e¡.
En la Fis. (¿) inferior, B+C-/{,
Lu.go
c. c:
o bi€n, C : A-8,
(A-B).(A-B):
A.A + B B-2A.B
cr:
Ar + B. _L1Bcos0.
AU
Ftg.(d)
.)rs-Dedlostrar
Fl¿.
que las diiasonalas do un rombo son perpendicula¡G.
oQ...OP+PQ-A+B
oR+RP -OP, obie¡, B+RP:A,
Luoso oQ-RP:
(Fis. (¿).)
dedonde, RP:A-B
(A + B) (A-B):,{:-a!:o.
yaqueA:B.
Po¡ consieuie¡t!, Oq ¡s pcrpendicula¡a Rp.
-/ 16. Hall¡r el vector u¡ritario perp€ndicular at plano formado por A : 2i - 6j - 3k y B : _4i + 3j - k.
Se¡ C = .rl + c't J- cak un vector pe.pendicula.&l pl¡no form¡do por A y B. El vec(or C €s p€rpend i c u l a ra A y a B .
L u .e o ,
I
¡
tf
l'
r
¡41
ü.&.
C'A
2c,-6c, e .B:4.¡+ 3.r-
3.¡ : 0, o s€a, (1) 2¿,- 6., : 3.,
c,:0,
o sca, (?) 4c, + 3c¿:
cj
PRODUCTOSESCALARY VECTORIAL
ffi¡do.l
ú4r
.r ¿, = _ !"
; ,
d i.ctor un¡lario en la di¡ec.ión y s€ntidodc C es
sircma romado por (.¿)y (2): q =
c
c
. =
""rlr - |; - rr.
¿3(;r-á,+¡)
."'trlf.r-{r+rrf)
&.t
l¡abaiorBlir¿do po.la fuer¿aF:2i
(Fis.(¿),)
f: r:?i-5r.
1 (; ¡ -; l
+ ; r).
I
. ¡ ¿J
,f.
un sólidopuntuala lo larsodelvcctor
-l - k al desplazar
Tabajo Ealizado = (nódülo de la fuez¡ en la dirección y sentido dol movimiento) (d.splazami&to)
:(rc o s ,)(/)= F
¡
: (2i- j-k). (3 r + 2 j_ 5 r)
- 6 '2 + 5 : 9.
't,')
E lbr la ocu¡cióndelpla¡o p¿rpendícülar
al r€ctorA : 2l + 3j + 6k y qucpssapo¡ el extntfio det v€ctor
f: i + 5¡+ lk, (Fig,(r),)
Sear el vector d€ posición del punto P, y O cl ertrerho de Bp€rDondicula¡.
ComoPQ: B-..s
A,(B-r).A
0, o s.¿,r.A - B.A cs ta ecuación
vectorial
¡H plano buscado.En coord€¡adas
rc.tangula.es,
(ri+/,+zk) (2¡+3j+6k) : (i + 5 J+ 3 k )-(2 i+ 3 j + 6 k )
2x +3r +62: O)(2)+(5)(3)+ (3)(6): 35
En cl probleña 18, hall¿r la distancia del o.iepn ¿l plano.
La dista¡cja del oris€n al pla¡o os isual a la proyecaión de B sobre A.
El v€ctor unit¡rio er Ia dir€ccióny senridoarcAes¡
=
A
= 2i ' 3i | 6k : 2 + ^
)= Jo¡, *.ir,
|-i 1:ia;-t.
'rd"
proyección
Lueso,
dcBsobreA- B .¡ : (i+5j +3 tt\'(2111*3171+617
l - t(2/7)+ 5i3/?)+3(ófD:5.
SicndoA un vcctor cualqui€m,demostrarque A : (A Di + (A j)l + (A . k)(.
Como A:,4¡i *,4,i * A,k, A i= A;.1+ Ai.í+ A,y.i:
y A.¡:r!
A¡áloga¡rert€,A l:,r¡
Lueso, A .= lJ + ,lJ + ,,{,1: (A , i)t l- (A 'u + (A 'k)k.
Al
...--\
\
22
PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL
PRODUCTO YECIORIAL
21, f,)cñostra¡qüe A x B:
-B
x A,
Flc.(ó)
E l mó d u l o d e Ax B:C e s ,4A sen,ysudi recci ónysenri dosonrai esqueA ,B yC fo¡manu nr ied¡
a derechas(Fig. (a)).
Elmódulo deB x A:
a izquierdas(Fie. (,t)).
Dest4
sendy su di¡€ccióny sentidoson talesque B, A y D forman un triedn
Por lo tanto D tiene el mismo modulo y dirección que C p€¡o 6 de scotido contrario, es d€ci¡, C
- -f)
o s e a ,A x B :-Bx A.
El produclo vectorialno goza de la propiedadconmutativa.
,/r2. Sicndo A x B - 0 y A y B no rulos, d€mostrarque A es paral€loa B.
S i A x B :á 8 s e o 0 u :0 ,
sc ti erc, sn 0 :0 y 0:0'
ó 180' .
. r 23 . D e mo s traqr u e
lA xB
1+
AxBl+
A' B::
A .B i ¡:l A '
B ¡.
,4, s€nÚu ' + I ,44cosÚ
: ,a' t' :
l A :" i B r¡
/l¡1. Hallar los produclosvectorialessiguientesl
',.
= *.
(ó ) j x r, = ¡
(f) j xj
,l c ) ¡x j
(.) rtt = J
(d ) k x j = -j x l
re .¡!j -0
= -l
0
(s) rx¡' r= -rxi
- -j
: 6l
(¡) (2j )x(3h) 6j xl
= 6J
(i ) (3i )x(-21) = -6l xk
I
2l l i -31{,
,-/2s.Demorrar que A r (B+c) : A x B +A x c en
aBy támbiéncuando
r \-- ..lcasoeóqueAesperpe¡dicülar
lo seaa C.
Como A es perpendicularaB, A x B es un vector
perlendicular al plano fo.mado por A y B y cuyo
módulo es,jA sen 90' : -lr, o s€a,el mód¡lo de ,{8.
Estoequilale e mulriplic¿rel lsror B po¡ I y girar el
vcclór resulranteu¡1¡¡8ulo de 90' hasta la posicióÍ
que se indic¡ en l¿ ñgura.
Análos¡menle,A t C es el vector que se obtiene
mL¡lliplicandoC pof A y gi.ar el vcctor rcsult¿¡te un
ángulo d€ 90' has¡r l¿ polición indrcadaen la figura.
-2t-3[
--5r
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL
2t
úisa forma, A x (B + C) esel vccto¡ qr¡. s¿ oblicne al ñutr¡plicar B+CporAygir¿rcl
Éhante un ángulodc 90ohast¿la posiciónind¡mdaen ta figu.a.
CE
A x (B + C) es la diagon¡l del p¡¡alelosrsmo cuyos la¡os sonA ^B yA
C . se deducó,
¡.C:O:AxB+AxC,
M
ú
qw A x (B+c) :A x B +A x c enel
brɡr
h
-
c¡ qüe A, B y C no !€an coplaDários ni para-
!ú¡l
D6.omporiendo B en sw compon€ntes,perpendicuhaA, Br, y paralclo¿ A, B , seticns,A: Br * 4,,
| ¡-ñ-rdo, alángulofofli¿doporA y B,rl
s€nr.
k lo tanto, el módl¡lo de A x Br €s ,,{, sen¿,-a
es decir,
a¡r q!¿ cl de A x B. lá dircc.ió. y scntidodc A x B,
E Eñbién la mbm¡s qu6 l¿s de A . B, Por consiti¡ic,AxBr:AxB.
A¡á:logar¡rente, 3i se descompo¡é C e¡ los v€ctorcs
lc y Cr paral:lo y F¡pendicul¿r, r€sp€c{iv¡ñcn@, a A,
robt iene, A
C r:A
C,
(B r+ c!) + (B r,+ cr,) sededK €,
T anbien, c omo E + c = B¡+ B l + c ,+ c Í
(8
1
+
ax
c t) = A x(R + C )'
A¡or¿ bi¿n Br y Cr son vecior€s perp€ndiculares á A y, scaún el problema 25,
Á x (B r + Cr) = A xB r +
^xC 1
= A xB + A xc
^ x (B + C )
$É cxprcs¡ qr¡€ d p¡odüc[o r€lorial goz¡ do la pmpidad disr¡ibutiva .6Fcro dc l¡ surha. Muhipt¡cando
p or - l, y & niendo e n c u e n l a c l p ro b l c ma 2 l ,(B+ C )xA :B xA + C rA .Obsé.ve3€queenel
prodl¡cto ve€torial h¿y quc te¡€r on cuent¿ €l ord.n d€ loq facto¡€s. Las propi€dad€susu¿lesdel átgebras€pueden
¿plicar ú¡icar¡dnie 3i s€ toman los vectores e¡ el orde¡ élablecido.
I
v- Si.ndo A =^1i +A2i+hk
AxB
:
-
I
queAx B =
9 = Bl + B.l I R¡, d€mostrar
( r 1 i + /2 1 + ,4 t) x (Arl + A rJ + B 3 t)
l1tx(A1t+A2l+r3t)
AlB¡xl + qB.lxl
+ ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la¡ x (Arl + B2j + 8oh)
+ Al¿€Lxr+ A2Bút1+ A28dxi + A28.txÍ + &B\kxt + qB'ttx! + A!¡€txt
tj ¡
= (4,4 - A.B,)t + (h4-
Ai.)t
+ UrB, - A2R!)k8t
't.
B = r + 4J- 4, hallar(d) A x B, (¿)BxA, (c)(A+B) x (A-B).
a.
ll
r
l
|
/t.
)
l'
(21-31:*t (r+4j-2t) = l2 -3 -l
^
|
4-2
Dsdosa-2t-3J-l
(o\ a/8.
A2 B.
y
=
. Ii -:l =,oi
+sr+11r
,li
:il
-ll
'l-i
-
'if: ,
(2¡- 3t - r) x (l + aJ- 2¡) = 2rx 0 + 4j - 3¡) - 3Jx (t + 4j - 2r) - ¡ x (t + {., 2¡)
= 2¡xl + Etxt - 4ix¡ 3Jxt - r2j xf + 6jxI - ¡xr - 4tx j + ztx r
= 0 + 8¡ + 4' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l
A
PRODUCTOS ESCATáR Y VECTOR'^¿
., ¡ I
4
=
(¿)BxA= (r+{¡-2Dx,rr-rr-r,
ll
-21
-,ll :?l' '
- ,l-1-11
j.-ll . -ror-o-rr:.
Conpa¡¿n.tooon (¿), A x !
-B x A. ()¡6¿rr€r. qu. ato rquiy¡¡! ¿l @Éd¡ jsuirnt t Si
d&EiDantc
sc Ffmot¡¡.¡ür
d -doc Í!.¡r (fiIaso coluDD.t), .l dltct!¡üim!! canbi¡ d.-tf¡no.
(.) A+r : (21-3t:t) + (l+4J-2t) : 3t +J-31
A-l
= (21-3t-t)-(t+{l-2¡)
= I -lj +¡
h¡c8o (A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r)
. -l
-'l-z
I
-31
-lS
rl-¡lr
tl
¡t
.
r A xA -
rl* r l3
It
A :l [-r+2 t,
(.)
=l'. j,
^'"
B -2 ! + ¡-t ,
y
It
I
(a).
aplicendo
h ¡I ¡r (a ) (A x B )x C, (¿ ) a x ( B x
C= i-X + rt ,
t
2
= -l+ ? r+ 5 ¡.
,¡
I
t¡!¡o (Axa)xc
= -201 6, - 24.
-
. a-A rE -rtxl !-0
A xE + B x^-A rl
= -2(r0t+¡r+rlD = -20r-8r-2r¡,
t¡i
I
-!l
: a x (a -B )+ B x (a -a )
(A+a) x (Á-l)
Jp.
-3
(-t+tl+!t) x0-2t+2r) :
-
r
(ó) E xC
- l2 r -1
' \t -2 2
- 0l-ü
-5h
= 2+r +1t- r l.
I
= -5r-5¡.
l,
IrE¡o AXOxc) = (U-l+t)x(-5r-5D
= l8
r
-¡
zl=
l5l+tiJ-l!ü.
0-5-5
Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral¡
!.rf clib¡ .mbigi¡od¡d...
¡ar¡¡ir¡d d. t¡dülrr loraor..L c¡ A x¡
/ 30. Dqr¡o.t¡¡¡ qu. cl áf!¡ dr un pñ¡lolotrá¡ro
dc tadosA
y¡..
lA x¡1.
¡l¡a r¡¡ p.nlclolr.Do
- !E*L-
-: t A ls ,
iB ¡
s,$¡
lA )''E-| '
i!
qpc d ¡ñ d.l trl¡ryüb qr
Obúrti h¡lorAy t..ilml ¡,/. I A x I l.
h.A-+'¡
tinc po.
¡t¡¡l¡r .l ¡n &¡ triÁ¡&doq¡ro. v¿rtic.!lon 106Fudor 4t, f, 4, 4¡¿ -t¡¡,
4f, ¿ f¡:,
rQ -(2- r)r + (-t - 3),+ (r:-2)L- r -41- L
Ia' (-¡ - l)¡ + (2- 3)l'+ (3¡:2)I - l¡-l
+r
-
PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL
E
bA
For*Eá 3,O,
ui¡¡$¡lo = ¡lPe i PRI
jl(i-ar-r)'
ij
-
!l
l-4-r
-2
briÉ.
-t
l
25
{,,}
(-2 r-j + k )l
| " : l - 5 r *r - e kt = r .,G# ;1 ¡ F<; - sP- ¿ lw.
el veclo¡ unilario porp€ndicularal plano fo¡mado por A : 2i -
6j * 3k y B
-
4l +3J -t.
-l ! B cs un vector perpc¡dicular al plano formado por A y B,
, k
li _6
,axB =
-g
l2
14 3 -l
= 15i - 10j + 301¡
,{Fe
El vccior ünitario en la dircccióny sentidodc A x B s
I rnulur.rss.fr
"^
-¿
y/{15r+(-10r+(30)_
Fl *ctor üni.ario de la mismad¡É.c¡6n y sentidocont¡ario e$(- 3l + 2i - 6t)/7
Cc'oDarar con cl ¡€óultrdo dcl problcrna 16.
Eir
el teorerla de los s.nos en trián!¡¡lo plano.
S.a¡ ¡, b y c los lados del t¡i¡h8ülo ,8c que 6e rlen ¡a ñgurai cn ést¿scondiciones ¡ + b + c : 0.
Éla
por ¡ x, b I, y c x, sucesivam€nt, s.
Hiplic¿rdo
¡ x b: b x c :c x ¡
abeiC: b c s fn A
sé¡ C
!¡ib,
C,Gidcrando un tctrecdro d. carasF,, F,, F,F., y sean
r: Vb V& V. 106wcto.e6 cuyoañódulos soll, rEspccüv.Et¿, l¡3 áre¡s ds F¡, ¿, F¡, F¡, cüyasdircccion€sson
Fp.{dicul¿rcs a dich¿scarasy de séntidohaci¿el .xt€'
i. del tel¡aedro-Domootrarqu¿ Vr+Vr+V¡+V. = 0.
seSrtn.l proble¡úa 30, cl á¡!¡ dG u¡ triá¡8ulo do
rdosRyS$'/'lRxS
Lo3 vectorosa¡ociadoscon cadaun¿ d€ lasc¿rasd.l
v' ' j e'r'
L uep
v 1+ V 2+ V r+ V4
-
y¡..r¡,c,
y " = lc x e ,
}
,a stst¡oTrcA
'1,
+:+ $=1,?'.?'
la(Bt
D€
v 4 = á (c -a )x (! -A )
* [¡'r + ¡'c + c,¡ + tc-^)¡(B-^)]
i [.r'r + r"c + c,aa* c'¡ - c'¡ - a'¡ + ¡,.¡]
= ¡.
Estor€lult&do !e puedr gÉncralizars Dn poliedro c€r¡adoy, cn €l casolfifito, a un¡ suporfciocer¡ada
Atgün¿ev!co6,cono h.mcr visto c¡ cs& c¿!o, r.sulta conwnicnto asigna¡dtu€ccióny sentidoa un ár€¿,
condicionc.d.l Ect¿t
€s dccir, consid6rarcor caráctcrvectoria¡a un¿ supcrftie. Se pü€nehablar, en ¿3aas
&.a o v.cto¡ superfrcí.,
I{aih. cl n¡omcototlc üna fr¡cr¿aF Espectodc ün punto ¡.
EI rnaub ilel mo¡nentoM d¿ una fi¡cr¿aF resp€ctodc un punro P 6s igual ¿l módülo de la fuerzaF,
-,É-++'
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL
26
multiplicando po¡ la disiancia dcl pünto P r l¿ di¡Ect¡iz de F.
Por Io tanto, Iláma¡üo r al v€ctor quo une P con cl origpd 0 de
F. result¡,
M : ¡(r sen0) : /Fsen € :
lr x Í |
El sentido de r x F correspo¡d€ al avan@ de un dacacorchos cn ¡ con el s€ntido alc ¡ot¡ción tal quc llcvc ¿ coincidircl
prirncr vector con el sogundo por el ñenor de los ángulos que
forn¿n (r€gla d.l triedro a dercchas que heños visto ¿nterio¡fncnte), El momento de un veclof se rcpr€santa, €ntorces, por
M :rx F .
9\
'\
F,
L--
\---"
at)
6d. Uo sóli.to rlgido gir¡ alredédor de un €je que pasa por O con
- u¡¿ volocidld [email protected]€mostr¿rqüe la v.locidad lineal y de
utr pr¡oto P del sólido cuyo vcctor d€ posición €s r vi€¡e daila por
v : {, x r, siendo @ un vector de módulo o y orya direcció¡
y s€ntido son ¡as &l ¡yanoc de !n sacacorchos que gira en el
sentidodel movimienro.
Como €l punto P dcscribe urla circunfe¡encia do radio .
s€n ,, el ñódulo de la velocidadl¡leal v es @(¡s¡ ,) : lo x.l.
Pñ¡ co6igüie¡tc, v es pe.pcndicul¿r ¡ o y e r dc foúa quc r,
o y r fo¡men uri tri€dro a d€r€ch¿s.
Lu€go v tienc €l misrno módulo, dirección y rcrtido que
o x r, es clcci¡, i : o x r. El v€ctor o se ll¡ma rd¿.¡Z¿¡d¿¡f!-
PRODUCTO,STRTPLFS.
../¡1. Oemostr¿rque cl valor absolutoile A .(B x C) 6s
igual al volu¡ber de u! pe¡alebptpcdodc ¿rÉtas
A,B y C.
Scan cl vector unitario pcrpcndicüla.al pa¡a.
lclosramo I con la misma dire¡ción y sentidoq e
B x C, y á la dislarci¡ del cxlrlmo de A al pa¡a-
I
I
Voluñ€n del par¿lelspípodo: (alrura ,) (ftla del par¿lclosr¿mo¡)
: (A.n)( lB x C L)
: A'{ BxCl'¡}A (BxO
SiA,By cr|ofonna¡ün tncal¡o
a dclr.lE, A.¡ < 0 yelvolurrloD:lA'(B x C) I.
'/ts. s¡ ¡-A,t*Aoln/ok,
B -Blt+Bri+8.k,
A. (Bxc)
qu€
c =crt+caj +cak de¡nostrar
=
AL A, 4l
81 8' 831
c, c. c.l
I
¡l
L
' " arl
A
c\ c2 cal
= (a¡ + A2!+ /{,r\. k¿'c"-¡"c")r + (&c'-¡1c.), + (81c'-&c)ll
. 4lB2C.- ¡€C2t + A.@sCt- B/C.\ + ,tei¿$r-
82C!) =
,t¡ le A¿l
L 82 B.l
PRODUCTOSESCATÁR Y VECTOR¡AL
( 2 -3 j ) . [(i + j -k )x (3 i -k )]
D.l Drobl€ma 18. s obliene
.
2 -3 0 l
r I -ll = 4 .
¡ o -rl
27
t,'.'
[-,I
. i, rd{
' ,( '
7ü ' lq
Olro nétodo- Haciendo oDereionos,
( 21- 3 J ). [i x (3 1 -t) + tx (3 i -t) - ]x(3r-r)l
:
(2r-3t. [¡ixr - ix[ + 3jxt - jx¡ - 3¡xt + Ixrl
= (2 1 -3 J ).(0 + j - 3 ¡(- ¡ - 3j + 0)
t
o,
= (21-3t.(-t-2J-3r) = (2)(-1)+ (-3)(-2)+ (0)(-3) = 4.
--t-.
l}
D. f , os t r arqueA (B x c )
Del problefn¿38,
= C .(A xB ).
= B.(c x A )
a'(BxC)
=
4 a rhl
t-1='A
t'('r
f\.
¡r82¿¡l
c1 c' cal
Teni€ndo cn cuentaque €n un det€rminante si se p.ínut4n €ntn sl dos.llne¿! (filas o colun¡ad
A1 A, 4l
LB"B"l=-
",
I
B.
t, t i
B"l
q
c2 ctl
o, a" a.l =
83
c1 c2 ca
-
B\ B,
B'
cr c. ^.
cal1
t" c"l
B1 82
@
L
su valor
ct
c2 c.
B\ 82 8.
Dcm6rrarqüeA. (B x C) = (AxB) C.
7
Del problcma zl0,
A-(tx C )
= c.(A xD ).
(A xB ).C
En €l prodüctoA (B x C) s pu€ne$¡primir el paiént.sisy oscribirA .B x C, ya que.tr estocasono
€xisa€ambisii€dad; e¡ ef€cto,l.s úni@s int ¡prclacionespoliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.ro
estaúlr¡nr¿carec€de 3crtido ya quc no €stád€ñnidoel pfoducto vcctoí5l de u¡ es.al¿rpor u vcctor.
diciendoquolos productos
La igu¿ldadA (B x C):A xB C sep¡.¡.de
exprcsar
es.al¡ry voctoris¡,
en estascondiciones,
son p€rmutables,
a.
Dcmstra. que A.(A x C) = oDel probleña41. A (A x C) = (A x A) 'C : 0.
.6. Deñctmr qu€ la @ndición ¡ec€sáriay suficbnte par¿ qr¡c los rctorEs A, B y C se3ocoplan¡riose3 quc
A B C=0.
Obs:¡ves€que A B x C no puede8ilnifi*r otÉ cosaqr¡e A (B x C).
Si A, B y C aod coplan¡rioa, cl volüñen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ¿ ccro. Lucge,
s egúnel pr obl e ma3 7 , A B x C = 0 .
R€cípro@ftente, si A'B x C : 0, el volum€|l del p¿ral€leplpcdo fodnado po¡ lo3 vccaolEsA, B y C
es ccro, y, por Io lanto, Ios v6cior$ son coplandios.
{"1.S ean r ' : ¡ ' i+ ¡ j + ¿ ,k ,
r¡:¡J + /¡l
+4k
y r.:¡J+ rJ+ :,k
Ios w ctorosd€ posi ci ónd€ l os
PRODUCTOSESCAT.ARY VECIORTAL
2E
luntos Pl¡t, /¡, z,), Pd¡!, ¡, zJ, y Plx,. .,¡. :,). Hal'ar lá
ecuacióndcl pla¡o qüe pasapor A, & y &.
SuporSamosque P,, ¿ y ¡! Do esún ¡lineados,es
dccir, que de¡ermi¡ra¡un plano.
Sca r : ¡i +, + zt el veclo. do posición de un
pünto senérico del plano- Considerddo los v€ctoro3
y P ,P : r-r,,queson
PrP , : ¡:-r,, PrP j : rj -.r
Dcl problem¡ 43. P,P PrP' x PlP¡ '= O
(.-¡J
ó
G,-r,) x (r¡-rr) -- o
En coordenádas rcctangulares,
l('-.\)t + g-y1Jl + k-,i)rl
.[(¡,-"1)l
+ (73-rl), + ('s-'r)¡]
Ll r [G3-'1)t
=0
o bien,seeúnel problema 18.
/V/r'rs,r
Iraüd la €cuadóndolplanofonnadopo¡ lospunrospl2,-1, t), ¿:(3,2.-t)
rr : ll + 2i- k, .¡: -i
r,=zt-j+¡,
I-osv¡itores ¡pt= r-rr.
F2pr= r?-ri,
+ li-f 2k y.:-ri-l-.}i
pal'r = rs-t
y pl-1,3,2).
+2k.
éstánsiruados
enol planopedido,luego
(r-tt). (r2-rr)x(rs-.1)
= 0
[(,-2)r+(t, + 1 )r+ (z -r)¡] - [ i + 3 r-2 r] x [ -3 i+ a r+ k ] = o
[('-2)l+(/+ 1 )j+ (¿ -1 )r] . [ ¡u + 5 ¡+ 1 3 ¡] = o
= 30.
u(¡-2)11(7 + t )+ 1 3 (, -1 ) = o o b ie n ,U¡+ t + 1 3 '
i
!
I
I
.,/4ó.Seana,lyctosvectoresdeposicióndctospü¡ros¿Oyrtnoaline¿dos.D€mosrrarque¡xb,fb
esun voctorperp.trdiculs¡al pl¿nofo.rnadopor ¿ O y
-R.
r-
LlamernosI al voctor d! posiciónde un pünro 8enéricodet pleo form¿do por P, O y R. lrs vcctores
¡, b-¡ y c - ¡ soncoplan¡riosy, segúnel problema43.
(r-¡)
,
(b-¡)x(c-r)
= 0 obien. (r-.).(¡xh+txc+cx¡).0.
Luego.xD+Dxc+cx¡ espe¡pe¡dicular
¿ r-r
i.
47. Demosrra.
que: (a) Ax(BxC)
(¿)Se¿n a
-¡1t
y tañbiénalp'anoformado
por¿ O yR-
= B(a.c)-c(A.B),
(¿) (AxB)xc
=B{A.c)-A(B.c),
+,.{,t+,t.¡, E=Alt+B2r+&¡. c=Crl+C,¡+car.
S c ti c n € Ax (Bx c )
. (A tl + A 2t+ út)
-
r i
x
rl
Br B, 4l
(A!t+A2t+&r,xt[B2ca-&c2]t + l4c1-Brc.lt
+ lBlc2-82cLlt)
PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL
29
rr*l
L A" A" l
4r"-r"r, ,"",- u,r"
",""- ",",1
(A2B'C2-AzB2C\-/9¡,3C\
+'l3Alca)l I (4B2Ca-&&Cr- laBrc.+ AL82C!)t
+ (A$.Cr - A,B{a- A2a2ca
+ A2B.C2>\
T¡Dbién, B(A. c) - c{Á. B)
(alr + 8r, + 8s¡)(,.{icr+ l,c, +
- (CL\+ Cá + cartúlal+ A2B2+&h)
^!C.,
(A2BLCe+!l3B$o-,14C$2&C$) | + (B2trCr+B214Cs-C2trB\-AhBslt
+ t4Agr+ hA2C,- CaAl8r-CaA2B,)h
= - c x (^ x B ) = - { A(c , E) - B(c. A )} = B (^.c)-A (a.c)
:r tax B ) x c
s C de (¿) por C, A y B r€spectivarE¡f€.
habi endosuti rui doA ,B
Obsérves€qu6 A x € x C) r¿(A x B) x C, es d.cir, cl producto rcctorial no go2a d. la propiedad
3--ciativ¿ psra todos los v€ctor$, A, B, C'
= (A'c)(B D) - (a'D)(B c).
D}-:r-..r¡arqu. (AtB)'(cxD)
S€a X = AxB¡ luego
D = {a( ,c)-a(B.c)}'t)
{(AxB)xc}.
u€l probleña
41, X.(CxD): (xxc).D.
( ^ x B ).(c x D )
(A.c) (8. D) - (^. D)(B.C). s€gún
ol p¡obtema
47á).
¡l
lloostrar que: Ax(BxC)
+ Bx(CxA)
+ cx (AxB)
= 0.
Ax(Dxc) = B(^.c)-c(A.B)
Bx(cxA) : e(a,A) - A(B.c)
Cx(axB) - A(C.B)- B(C.A)
soa¡do mi€mbroa ¡r¡iérnbmseobtilnc el tesutiadoD.¡ido
Delp¡oblern¿
47(¿),
que: (AxB) x(cxD)
Desostra(
= B(A.cxD)
- A(B.cxD)
= C(A.BxD) - D(A.Bxc).
Dcl pmbL¡n¡41¿), Xx(CxD) : C(¡.r¡) - D(X.c). S.¡ X=AXB; entonoos,
(axB)x(cxD)
= c (a )(B. D)- D(Ax B. c)
c(a. B xn) - D(4.a xc)
Dcl problems
47(¿),(AxB) xY = A(4.!)-A(B.y). S€¿ Y=cxDi
'
(Ax!) x ¿Cxrr) = B(A.CXD)-A(B.Cxn)
*roo"*,/.
. 3€aPC¡ ün triáItsub aeféficoo¡yoa haLos?, {, . sor .rco6 ab clrculo má¡i¡no. Dcdodt¡ar q¡¡o
senP
seno - s.n¡R
se¡ I
saú¡t
quc la clfor¿ €s d. r¡dio unid¡d, y scaí A, B y C los vccloEs unit¿¡ios traz¡do! d€sdcol
SupoDg¿mos
c.Dtro O de l¿ $f6ra a lo¡ pu¡tos P, 0 y -R,Blpactivam€nte.Del problem¡ 50,
Q)
(A x B) x (A x c) - (4.! x C)A
30
PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL
Elvóctor ünitario p€rpendiculara A x ByA
por lo quc de (-l) seobliene
(2t
(3)
x CesA,
s¿o. s€¡q s€nPA (A.B x C)A
senI sen4ser'P= A.B x c
Por pcrmutáción
clcticadep. q, 4 P, Q, R y A,B, C se
(4)
(J)
scnpson¡scno: B CxA
sebqscnpsan¡ : C'A x B
Coño sesundosmiemb¡osde (3), (4) y (J) son isualcs
(problema4O),
se¡¡r sEngs¿oP:san, scnr senO:sen4 s¿np scn.¡R
seno
lonP
senA
Eat, s. el teor.na d. lot s.¿or de l¡ trigonomctria6férica.
quc: (AxB).(BrC)x(CxA)
.:'52.Dcfnoslra¡
-
(A BxCf.
Delprobl€na
4?(¿), Xr(cxA)
= c(X.A) - A(x.c). Sc¿¡ X=Bxc; entonces,
= c(B ic. A) - A(BxC.C)
(Exc)x(cxA)
= c(A-axc) - a(D.cxc) = c(^.Bxc)
(AxB).(RxC) x (CxA) = (AXB).C(A.BxC)
= (A: B. c)(A.B x c) = (e.sxC)2
rosv€{lores
-/s3. Dados
"'
ifi.
u'-
Y
c'=
, dof¡ostfa¡ quc si a' bx c I 0 ,I
(a ¡ a ' .a = b ' .b
c ' .c = l ,
= l .c
(ú ) e rb = a ' .c = 0 , d .¡
o, c' .a =
= ¿ G n to n c e sCdx
(c ) s i ¿ .b x c
. c' = 1/I/,
(d) a', b', y c' no son coplana¡iossi !, b, y c no lo son.
:1
. . lr r .
(0 ) ¡.D
= o .r
bxc
¿.bxc
b.brc
b,b.c
Los otros $lllados
se dcducen de forma análoga. También s€ pueden hallar obs¿rvando,
ejemplo, que ¡' tienc la misma dir@ción y sentido que b x c y qu€, por lo tanto, debe ser pcrpendic'¡
a b y a c , c o n l o c u a l ,r' . ü : 0 y ¡" c : o.
De (¿) y (á) se innere qu€ los sistems de-v€ctores¡' b, c y ¡', b', c' son r€cíprocos.(Proble
propuestos104 y 106.)
PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIA!
v
v
(a x !). (bx c)x(c x ¡)
--7i-
rtr.go J. ú' c'
=
(a.bxc),
v2
=
v"
= 7
I
v.
seeúnel problcrna52.
rdr Del probi€ma43, si a, b y c no son coDt
c on ioc u a r ¡' , b ' y c ' n o * "
" o o t-i ;:1 ' .' "
tr
3t
"
' o x c Éo
Lucsodc(' )$deduccque¡" b' xc' + 0
l>moslrar quc todo vector r se pucdeexprcsa.en función de los vectofes¡€ciprocos
d€t p¡oblemaj3 en Io
=
r
Delp¡obterna
5
(r.d)¡+
B(a.cxD)_a(B.cxD)
coronce\.
D =
Sea A=¡, D=b, c=c
y
!18-{g'
4.BrC
(r.b,)b + c.C)c.
= C(r.Bx¡r)_D(a.sxc)
-
B(^ c\ D
. crA B, D
{.8.C
A.B^c
Enes|¿s
condiciones,
D=r.
r ' b, c
i.¡rlt
¡.b¡._
..¡¡c
\
:
-
..,",.r."'",
-
(r.d)¿
rx b
¡.(a.;.crb_
.r.ú,b + a.d'c
r.,".¡;,.
i
. '7 -
' s ,'
\ " )-.4
¡!.\j
:\:/
Problemas propue;tog
'/
(it
'
l . falla r i r ) ¡ .{t+ j).,(h1¡ -2k).{¡ rlL). (. , (2 t _ ¡r r(, . (3 t + 2 i
," :;:','? _ - ,:;::4¡_4_4k ,h¿'hf:
(
(at 8. \b A. B, \dt ,o - ," .- ,1,,r^ . r"r.
sot.^
t0 )bl -t.t
_
",.,n
t4
t9r'!
tn
krt
\/
\/
k,
A
9a
t'l';l';'g*'yo'-'o"BiJl1l;;¡'
- "^
/' " ' _. / , ,
k )-\
U !
r^,)
:
" ,
b
,
r-u* v B:4r ri+k,tbrc''4i-2i+4k
v D=3/:6t 2t^.
',
\
... " - r .
,Y LP a] ac s év alo re s d .¿ s o n A,d t-2 j l k y B = .2 d i
+ ¿j -ai
pc.rr€n.l i cura.es? S o!.a
59, H¿lla.rlos ánsu¡os.agL¡dosforrudos por ta @ta que uñe los pu¡rc { t. - 3, 2) y (l,
s ¿ /. a rcc 6 2 l :t. a rcc o s2 /1 . a .ccos U l ó 4a t2, 4A t2 .70 J¿
j,l)con
2,_l
tos ejescooF
6{). Halla.loscosnos directoresde la recraquc pasapor tospunros(1, 2,-4)
2, ,--4) ' J (\,
Sol. 217,317.
-617 ó -zfi,-317,6t7
ó 1 . Dos l¿ dosde ü n r.i d n s u l os o n to s v e c to re A
s
l i + 61--2k,
triá¡au¡o.
So/. arc c'x 7tl-3, ü. cos \/
ir/15,90.,
y B .4t_j i 3k.
H al tar l os ángutosdct
o bi€n, 36.4,, 51.56,, m,
62. Las diasonalesdc un paratelosramoson A:l¡
o¡-¡,,
U:t,
t- lj -ót. Demosrr¿rque drcho paraI€log.año es u¡ rornbo y h¿ilar süs ánsulo. y Ia toñgrrudd( \u\ trdos:
3ol, 5{ i12, a rc c o s2 l l 7 5 , 1 8 0 .-a rc c o s 2 3 /75. o bi en,4,33,72.8,. 107' j 2,
----1-
12
PRODUCÍOSESCALARY VECTORIAL
' ,(;..
*dg Hallar Ia p¡oyeccióndcl v.¿tor 2i - 3j + 6I sobr€el v€ctor i + 2i +-,2k.
Sot.8l3
f4.¡ Hall¿r la proy€ccióndal v€ctor4i - 3J+ k sobr€l. rc¡ia que p¿sapo. los puntos(2, 3, -1) y (-2, -4, 3,.
I S¿¿. t
rF:.,siA:4i-J+3kyB:-21+l-2k,hallarclv€ctorunilariop€rpendicular¡AyB.
.\ f¿/. +(i
2j*2ky3
óó. Hallarel ánsuloasudoformadopor dosdiagonalca
dc un cubo.
Sol. arccosl/3, o bi€n,?o'32'
ó7. Hallarel ve.lorunita.ioparaloloal plsno¡/ y porpcndicula.
al vector4i
óE. Demost.arqu€ A : (2i - 2l + Xy3, B : (t .f 2J+ 2h)/3y C : (2i t- j
mutuamente
!€.pendiculares.
s¿/. + (3i + 4j)/5
3¡ + k.
2k)/3 son vectoresunilarios
paradespl¿zer
ó9. Halla.el rabajo realizado
un cuorpoa lo larsode la ¡€ctaquepasapor(3, 2, -1) y (2,- I , 4)
en el campode fuerzasdadopor F : 4l - 3l + 2k.
S¿/. 15
70. S€aF un canpo de fuen¡s conslanie.Demost¡arquc .l trabajo realiradoparadesplazarun cuerpoa lo l¿rgo
de un poligoñocerado en .stc campocs c¿ro.
71. Demoska.queu¡ ánguloinscrilo€n una scmicúcunfcroncia
cs recto.
72. s€a,racD un paralelosrarno.
Dcmorrrarquc 71, + a7,
co,
DA,
AC" , BD'.
quo
y ¡ y O los punlosnediosde susdiagonales,
demostrar
73, Siendo,arCDun cuadri¡átero
cu¿lquiera
I aD' - 4Pe,
m'-BV-éD'+Di,-Ac
Esto es una gprEmlizacióndcl problem¿anterior.
7a. (a) Halla. l. €c¡nción ve.torial del plano pcrpcñdiculara un velor dadoA y quedistap unidadesdel o.igen.
(r) Epresar la ecuaciónd€ (¿) cn coordcnad¡sr€clangula6.
sol. (¿) r'¡ -p. si€ndon = A/,,1I \bl Aé + 4, I Ar
Ap
?5. Scanrr y r' v€ctoresünnariosdcl plano ¡/ qüc forman los ángxlloso y t con €l sdn¡ej€¡ p6itivo-'
(¿) Der¡roslrar
que.¡:cosol+sln¿1,
rt =co6ri +scn/j.
(ó) A pani¡ d€ .1 . rr, r€ducn hs fórmulas trigononélicas
cos(q-l)
: cosocos, + s.n 4 sénp,
cG(q + t) : cosd cost
wn d senÉ
?ó. Simdor el vecto.dc pos'.ióndc un puntod¿do(¡,,r,, r,), y r €l vectorde posicióndé un pbto cualqüiera
(¡,r,r), hallarellusarsoornétrico
(ó)G-a).a:0.
(c)c-a)
r:0.
d. ¡ si (a) 1r-¡1-3,
so¿ (a) Esfera,centro€n (¡,, t¡, r,) y radio 3.
(b) Planoperpendicular
a e quc pasapor su lxtremo.
(c) Esfera de ceÍt.o cn (rtl2, r'12,,'12) y .adio '¿t/V +-yi i )i, o s€a, L¡na€srerade diámet.o (¿).
7. Si o ¡d oA:3 i
I i + 2 I y B : i -2j -4t
l os v€ctor€s
de posi ci ónde l os puntos?y O resp€ct ¡ vam ent
(a) HaUa¡ l¿ ecuacióndcl plano que rrasapo¡ O y €s porpendicular l^ re.ta PQ.
^
(ó) ¿Cuálas la disranciadel punto (-1, l, l) al plano?
(b)
s o /. (¿ ) (r
B ) (A -B):0 ,
5
o bi en, 2t + 3t + 6,:
-JE t
78. Efegtuarlos productosindicados:
.k,(c)(2t-4k).(+2t,(d){4t+l-2k)\(3i+k),(¿)(2i+j-r)x{li
pl zi Bi +xt,tb.(i+2,r
(¿) 8i ót.
(D 2t-1,
(c)8t-41 4k. (l)i-10j-3k,
(er2i - lll -7k
So1.(¿)
so1.
6k, (]¡t
2l-1. (c)8t-4j+4k,
t¿' ¡ . loi -ll. (e)2i-111-7k
-
2j+4r)
79.SiA:3i-j-2kyB:21+31+k,ha¡lal
(o)lAxBl, (¿)(A+28)x(2A-B), (.) l(A+B):(A
B).
s¿/. r¿r y'1e5. ró) -2Jl -351-55k, (.)2v195
E0.SiA-i-2j-lk,
B:21 +l-k
y C-i+3j-2k,
hallar:
(¿)L(AxB)xC,
(.) A.(B x C),
(.)(A xB) x(BxC)
(¿) lA : (B x C) ,
(d) (a x B).C,
(/) (A x B)(B.c)
sor. (a) 5 \/ 26, (ó) 3 1/ lO, (c) -m, Q, -20, (¿) -40i - 20j + 2Ot, (/) 35i- 35i + 35k
Sl.Demosk¡rque!isev.¡iñcánsimuháncamcntclascondicion.s:(¿)A.B:A.Cy(ó)AxB-AxC,
.r-. siendoAt 0, se 1icn.qu. B = C, pcroquc si solos cumpl€una de eltas,e¡.o¡cs B + C nec€sariamenc
'!| -El Hallarel ár€adelparal.losramo
cuyas
diasonales
sonA:3i
+J-2k
y B: i-3j
+ 4k.
Sol.5\,/3
PRODUCTOS ESCA¡.AR Y VECTORTAL
ffir.l
¡¡ta ó.f ¡riángulocuyosvérricca
sonlospunros(3,
-1,2),(1, *1, _3) y (4,_3,.D.
Sot.U2,J¡6s
t:l-¡-3kyB:i-2j+k,halla¡u¡v€ctordcmóduto5p€rpendicular¿losvecroresAyB.
rd
fei*lo
= = fi
+i + k¡
en cuenta cl problema 75, d.dlcn Ia fómülas
scn{d - }3): send cos, - coso s€nr, scn(a + r) : s€nd cosp + cosd s€np
L ¡dD la fuerz¿F : 3t + 2i -4k 6n el punro(1,-t, 2), Hatlarel mom€nrode F respecto
d.t punro
)r¡l.J).
Sot.2i-7i-2k
l¡-Ehcidad anrular de un sólido rls¡do qu€ giB-'¿-lrcddor d€ un e.¡€fii, ü€ne dada po¡ o : 4i
+ , _ 2k.
Édla velocid.d llne¡l de un pünto p dcl sót¡do cuyo \4.tor dé poi¡cion nspccro ¿e un punro'dc¡
cF
* r_3i _r .
s ¿ ¿5 i B t _ t 4 r .
x(C+A ).
).
h ¡¡i6
i 6 ca
c a¡¡((A.l.B)
A. r . B.(B
).(B
+c)
+c)x(c+A
h G ua r q u c( ^.8¡c)r¡.b\c) .
t -:
tq
so¿¿ 2A
so
2 A Bx.l
Bxc | ''-
i, r
' i,' l Ir
la.¡ A.b a. ol 1i
lB .¡
B .b u . c l
lc.. c.r c.ol
Éi¡.¡_ef volume¡dcr paBlefepipedo
cuyasaristassonA = zt-\
t¡¿ 7
ií
l,
l,
a
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Ii
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,J¿ .l
,
, - i: ) > *
- ,
I
-
I
í _j I
+&,cj.+
f,i,
c:
¡i-l
r:r,
bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanariosnosicndocolin€alesdosdocllos,
¡.úrdosdelosvcctoresA,ByCsoncoli¡eales,o(.)lo3!rcsv.croresA,ByCaoncolineales.
&ta¡ la cor3t8nt€
¿ de formagueloswcro.es
2¡
5.¿ ¿ --4
i*k,i
*2i-jly
3l+aj +5k s€¿ncopEnanos.
f.¡ lrciorcsdcposiciór,con¡especto
¡l orisen,d6tospunt6¿ O y,Rsonr, : 3t -21_k,.,
! .' : 2¡ + J- 2k, resp€ctivam€nt!.
Ha¡l¡¡ la distancia
deP sl pla¡o OOa.
So¡. 3
t¡Irar la distancia
desde
el ponto(6,--4,4)¿ la re.taquepas&por(2,I,2)y (3,-1.4),
lLd6 fos pünlos.(2, ¡,3), OU,2,t), R(-1. -\
,!y ¡S.
Sol, \/2
: i + 3!+4r
Sot 3
-2) y S(t, ---4,0),balta¡ la nfnim¡ dista¡ciaent¡! ta! r.ctas
Ihlostfa¡ que las alturasde un l¡iángüio sr coTraneDün p\ñto (ortoc.ntrc).
D.dost¡ar quo le3medialricesde ün triÁngulosecorta¡ cn un punto (clf./r¡c¿rrf¿).
rñostrar que(A x B).(c x D) +(B x c).(A x D) + (C x A).(B x D) = 0.
b POn u¡ ar¡Ángulo€sféíco cuyos,ados¿ 4 . sona.cosdc circuto máxi¡Ío. Dcducir€l te¡)En¡ dcl coscoo
é 106iriársulos €sféricos,
cosp= cos4cos.- sen4 sanr cosP
,
&r Frñrut¿ciónclclicad€ laslelras.sod€ducen
lórnulassnáloga\params 4 y cosr.
(A x B) .(A x c) : (B .at(A.A) -(A . c)(B ,A).1
[¡'d: ln¡erprcter¡osdosmiepbrosde Ia idcDtidad
PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA!
t4
102.Hallarün sislcfnade rlctoresr€ciprocos¿l foÍnado por 2t+3J-t, l-l-2ü,
s ¿ ¿í r ' i r . - i t ' r - ir ,
tor.si ¡'=
r-.::ro*
".0,".!!1,
'
-t+4+21,
- :r + r - á r
J=;l*,
,
= b xc
que
dcnrosúa¡
c'.f
o = ¡o 1 d '
" ' . r' * "
"
-
C' ;
"'.b!"'
104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tal€s $to
¡' .¡
= r' .c
a' .¡= b1b= c" c= l
= D ' .¡.
b1c = c1¡
= c1b = 0
demosÍa¡ quc s€ t€riñ@:
¡, - b x c
¡. brc
r, =
. l! ,
a.Dxc
",=
"Io
105. Demostra¡quc el único s¡stemad. vectoresque cs Éiproco de sl mismo €s cl fo.mado por loc
unitar¡osi,i, k,
106. DeEGtrar quosolo¿xisteun sist€r¡adc !€ctoresrcclprccodc uno dadode!€ctoÑs¡o coplanariosni
ü
r
Capírulo3
Diferencioción
vectoriol
¡DA DE UN VECTOR. SeaRlr) un
de la v ar ia b l ee ,c á l a r u : e ¡ e s L a sc o !-
l Ei 6
aR = n(¿+ ^¿)-n(r)
jx
_ R(&+A¿)- R(¿)
Ae
li ^r
es el i¡cr€mentode la variableü, como
.D la fisur¿adjunta.
&F.¿ca del veotorR(¡r)respectodel escalarr se definepor
R (! + A ¿) dü
R (¿)
A¿
a r-o a ¿
d limit€.
¡tR
dependftanbiénde z, se puedehalla¡de formaanáloga,su derivadarcspecto
de ,r
;
." ,.nr"r"nr" W.
ffi.
enálogam€nte
sepue¿len
definirlasderiva¿las
d€ ordensr¡perior.
gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de posición (r) qüe une el odgsr
i5¡.ma de coorde¡adasco¡ un pu¡to (jr, L z), cualquiera,
r(¿) =,(¿)i
+ ylu)i + z<Ljt^
{c) establecela relación ft¡ncional de n, .},y z respectode r.
@odo valores a tl. se obtiene distintos valor€s
Lj .l lugar geométrjcode su €xlr€mo es una
d €rpdc¡ocuyas ecuacionesparamétricasson
' =r ( ú ) ,
y=y(uJ, .=z(t)
¿¡
conorrones
7;
r(u i ¿u\ - ¡(u\
É la mismadheccióny sentidoque /r, como
enla figllraadjunta.Si€-lr"
"r ;1
r ¿) i:i
f
*"
la dir€cción de la tangente
un u."to,
f,",
"n
,:eaa en el punto (.!, ), z) y viene dado por
du
du'
d\
tl¿
du"
¡tú-
'c .aso de que la variable¿ seael trempor, -4
Ia wlocidadinslanfánea
\ con la que el ext¡emode r describ€la curva en cuestión.Análo,*
:
#
* * **acün
insta tátaa L to taryo de di€ha curv¡.
3ó
DIFERENCiACIONVECTORIAL
CONTINUIDAD yDERTVABILTDAD.
Una funciónescalard(r) escr,¡¡?,raen
¿ sj tim ó(u
: é(r), o bien, si para todo
númeropositivo< existeotro ó de torma que
.
ló(u+¿u)-ó
(,)l<€
paratodo
<ó.
l/r
Una función\e.roriatRll,r . R,tuti .
R¿tu.t¡
| Rswtkc\,anrind en,
(scaj¡¡es/(r{,). Rf,) y ,c.rrl,
o ¡¡en,ij lin xtu + ¿ut:R(u) Dicho ge ¡i to son tas rre\ I
otra manera,R(r)
.,-o
,;ñr,.é- ,..: -_,
,
.
para.lodo
n¡imeroporirj,o, erisreolro ¿ de formaque
I R(r + /r) - R('])i < .
paratodo 1lu <o.
:ffinltüifi
if"r,"j,*r*É,l'.mff
:,"r,:fi
í**"?rk::llkitlLlxj
TORMULASDE DIRJVACIO\,
SeanA'
,
a- B vv.c n,ñ.
,
.. (
fün\i^--.
iones.^^.^_]-,
\ecroriales
*"'ulütcs oenvabl€s
derivables
de un esca
.) @u¿ ru¡crone\cardr
deri\abte
de u
ÉD estascondicion€s,
l
t. f,or", = df
2. l(^
dB
-
*r - o.f
'#."
,.9 ro,", = n,^ 8 .f" "
+ l ¡or'¡=
¿ d-4
-*n,
s .f- r e .u ' "=r o . u, #. o. #""
-f
. r""
o t{n "1 r""¡¡ = e' 1n, f r * a"¡ j} , c ¡ *
#, r u". r
Con respecloal ordende los t¡ctores,hayque reneren
cuentaqueel producrovectorialno esconm
DERIVAXIAS PARCIALIS Df
I]N V¡
'l::: í"'":i; 'Tl:,.i::¿::i:'J:',1ffi1i..;
lli,lffi;
*t.:,li:l,jl
';ü;;',;::
¿A
1q!'5¡¡i1¿'
o';1,
siexistc este ljmite . Anátogarne¡te,
AA = Um
A (r, T + Ly, zl * A (.,y,2)
Aa
A l ¡,i ,
a).
é;
¡
a!'o
=
lim
z + A ¡) -
A (¡.y.¡)
so' las derivadasparciares
de A rcspeclodc , y de :, respectivanenr€,
siempreque los ¡imiresexhtan_
DIFERENCIACIONYECTORTAL
d€ continuidedy dcrivabilidadde funcionesde una varieblese pued€ngeneralü¡r
ó. dos o másvariables.Por cjcmplo,una d(¡, /) as conlinuaen un punto(.x,/) !i
.ú¡-_r- -l,v) : C(¡, J,), o bicn, si par¡ todo núrie¡o positivo . existcotfo ó dc forma
t\!
- ¿t\-ó(x,r\l
deñniciones
s€
< r pararodo llx | <6 y l/¡ l< ó. Análogas
Gncl caso dc funciones vectorial€s.
el t¿rminoderiv¿ól¿
indicrqu. ls funciónticneprimems
&fu¡oones dedoso másvarieblcs
de ordensup.rior 6edc6¡lcndc la mismeform¡ quc cn cl cÁlculodifercncialordin¡.io.
a 'A
a.aA .
a'?A
a . a a-
oz '
ot
o f'
of
a'A
ot o,
ot
¿. a a ot
a'A
of
a za
a .¿ a .
oy
a .a ^.
ot ot
a"^ _ a.!1t-,
ot o2'
parcisl€scontinussde s€gundoordensevcriñca
¡;"
cs ¡ndifcrcntc.
ot
=
o2'
4-
d-*
csdcc¡r,el ordcn
d. la derivaciónparo¡alde vectorcssonanálogasa lasdcl élculo diferenci¡lordineriopqr¡
llcalar€s.Por lo üán(o.
dc x. /, :. selienc
6¡A y B soÍ funcioncs
-rr=,r.F* S . ¡
. " r = ^ ' $ - $ '"
i,
{r|.B)
a ,- aB
- 3 { 3 t,r.¡r}
_^. 9.
AA
aB
ztl:
¿'t '\)'
$ .¡l
?a aa
.
-s + .s .
DE UN VECTOR. Las fórmulasdc difcrcnciac¡óndc un vcclor 3onaráloras a la3
difcrcncbl ordinario.Por ejemplo,
^ = A J+ Azl
+ 4 1 , enlonces
dA = dA ¡+¿A ;l + d ' l. l
¿¡-B).A.dA+dA.B
Ja¡B)-AxdB+¿AxB
r A= A(¡,y,,),scricDc
dA - *¿'
- #¿
,
!a,,
,i t,i:
"t".
Constituyeel cstudio de l¡s cuías y supcrfici4 cn el cap¿cio.
curvacn el espacio
visro.
dcñnidapor la función(t¡)¡ seerlnhenros
es un veclorm l¡ di.
$
& la tang€ntea c. Considerando
¡l escalsr¿ como l¡ longilüd dc arcor medidaa partir da un
DI¡ERENChI.
deC dela curva$ esunvecto¡tanglntea cy quallamarlmos
T coño scobs.ftaa¡ la ñgur¡,
¿lu
:+'
3E
DTFSRENCIACION VECTORIAL
La v¿riacióD d. T respecto de r es una medida da la
,f¡
cürv¡tu¡a de C y vGne dsd¿ por +.
de
.=
k
direcriórt
en un pruntocu¡iquicra de C ec l¿ correspon-
dienta a la trofmal ¿ la cuwa en dicho punto (Probleme 9). Et vcctor ünitario N er la dirección dc la
nonnal se llama ¡o¡mal princípal ta c\rt.la. Asl p\cs,
^
,(\. siendor la .r¡r¿rr¿rdde C enel punb dado.
;
El ¡rclproco de ls olrlvaturo, e : llr sellÁúta.rudío de
EI vccto¡ unitario B definidopor cl productovccto¡ialB : T x N, perpendiculsral
por f y N s€ llam¡ óü¿D¡a, a la cuna. Los vectoresT, N; B to¡maD ur riedro triñectángulo
en cu¡lqui€r punto de C. Este sistemÁdc coordenad¿srecibe el nomb¡e de triedrc itlttlnseco en
Como a medid¿ que varla r el sist€mas€ desplaza,s€ le co oce oon la denoÍun ci6n de ttiedro r
L6s fó¡mulat de heñetseftet
güre¡@l:
¿T
¿"
qüe rclacionan los vecto¡ÉsT, N y B con sus dcrivadas,
dN
= rB - }(T,
dB =
-7N
;;
eDdo¡de €l esc¡la¡ r se ll,amato¡r¡idr. El r€cíproc¡ dc l¡ tonión o : l/r es el rudia d. torsibr.
Bl plarc osculadotE lunagurva en un punto ¡ $ el que contien€ a la tangente y ¡ I¿
en P. El plano ñotmal es el que pasa po¡ P y es perpendicular sl plaro tsngente. El p/dro
que pasApor P y €s Derp€trdicula¡a Ia rormsl principal.
MECAMCA. El estudiodel movimientode uDapa.tlcula a lo l¿rgode una cürvoesun¿
mecárica que sc denomi¡s chertuúticay e c¡ryo cstudio se ¡plican ¿lgonos conccptos de
fereüc¡I.
l.¿, dinóñica c6la. Darle de la mecánica oue estudia las fuerzas aolic¿das¿ los ¡ólid<¡s
en dovimi€nto. L¿ ley fu¡daür€ntal da la !trecáúic¡ es debids a Newton y exprcsa que la
actúa sobrc üD sólido de m¿s¿r¡, desplszándolo s u¡r¿ velocid¿d v¿¡i¡b¡c v, üene dad¿ por
r =fro"t
ricndo ,,f el lmpctu o cantidad de movimie o del solido. Si m cs constant , l¡ fórmul¿
a E m
bt , siendor Ia ac¡leració¡del sólido.
;; -
t
DIFERENCTACION VECIORTAL
Problemae resueltos
-<¡)l+r,(")j+r(z)ky¡,,,yzfüncionesd€.iv¿bl€sdeun.scal¿r¡rdemostrarqu€
I
f&'
¡
E - &"
-
) 'z '
d
'
l;' . 7;^'
"A
L
¡{' +A{ - R(!)
¡
+4")t *+r('¡
[.fu +A"lr
[.(¿
r(u+4")t +,G +Aü)r]- [,(ult +rt,ll + ¿tull]
h
- É:*
&
-Ét
t
t i rrll \ ( 'N '
P f ¡¡ l A !l l! ti
)'
h
-
r ( u.A¡ .)-¡(¡)t+ r(¡+41)- /(¿){. . t ¡+ A , t - ¡t ¡1 ,
-----^ ¡A.
A"
"
'-
.lz
+ ¿a
t;t + 7;r
s . n ¿ l+ c o sr¡ + rf ,rra krl o ¡f ,
rdB l
ot n & a
, t1 ff| .o t
. jt*'4,- ,ar"*or* ,3r,rr= r "*,
=
J
=
:
f , t f f t jt - o , - * i t . o , ) I * r 1 t t t . - .o n|. - co sr ,
= /G;'Í
tL\" = '5
r-¿*"')\
= /é,-'rT-i*,j.
=l
s.a., +k
it-u
t
[.i,'Q""
se mücw a to largo de rDa cuna cuys3 ccuacionca pamméFic¡s son x : e-t, j = 2 cos 3t,
!:fi¡¡l¿
Lr 3r. siendo t cl ti€mDo.
h¡
su velocidad y sr ac.le.ación cn fuició¡ dcl ticmpo (lcy.ic ¡,€locidad€sy ¡ccL.¿cion s).
trü¡ cl ¡nódülo de la velocid¿d y de ¡s ac€leración cn el ifftenio r : 0.
g iclor
d€ posició¡ r de l. partlcula .3 r : ¡l + rl + rx
.il
¿r
= + { -ó l e n 3 /l
L ! v €loc idad
c sr
+ 6 cos3tt
7i
+ 2cos 3r¡ + 2 !6n 3rt,
! h a .¿ lenc ión. = d ¿ i = r-,i -1 8 c o s 3 r¡-1 8 s c ¡l rl ¡
¿.
h c l i r sr a¡ te¡ :0. i
,tt¿
--l
| 6Y yfr
¡-18j. P o rI ora n ro ,
Írffufo do fa r€focidadcn t = O,1/ (-rr, + @, : \/t
en ¡ : 0, Viit +Fl8t:
d€ la ac€le¡ación
V-32r
'nódulo
¡ panicüfase m¡¡.rc ¿ lo I¿rgodé la curv¿ x:2r', r: t -U, z:3, - 5, tundo r el tidrpo. HalI¡¡
¡úponcriLs d€ la rblocidady dc la acclcració¡en cl instúte t I y €n la dir€cciónl-=ji#*ii.:.
-
VECTORIAL
DIFERENCIACION
40
Velocidad = L
d¿
=
= ! ¡2r,1+ (2-4t\!
r 1rr-5)rJ
d¿
= 4l -2J
4 ¡l +(2r-4)J+ 3t
El t¡cctor unitario €n la dir€cción t - 3J + 2t
"s
+ 3¡.
atr= 1.
t -3 r+ 2 1 .
=
:J..::]]].&
y'qt¡2+q-t¡2+12¡2
/n
,zl-uego la componentc d€ Ia velocidad on la dirección dada es
(4)(1)+ (-2)(-3) + (3)(2)
(4t-a +3¡)'(i- 3J+2t)
= -------_-=-_y'14
r'A
=
Aceteración
-
)'-
¿
d.z
¿r
¿.
= *Lr¿l+(2t-{)J+3ll
d,
= at?l
d.'dt
18
{1 4
1
= 4l+2t + 0 t .
en la dirccción d¿da cs
./La componcnte de Ia acel€ración
(4)(l) + (2)(-3) + (0)(2)
({t + 2l + ot).o - 3J + 2t)
-i /14
/-tt
fn
alÁ
vt4
Las ecuacionespara¡tétricas de una curva C son ¡ : ¡(¡), y : Ásr, z: z(s), siendo t la longitud
de C medida d€sdeun punto 6jo de €lla, Llamando r al vector d€ posición de un punto gpnérico d€ C,
trar quc at/d.r es un vcctor unitario tangpnte a C,
¿¿¿ú< dv dz
El v e c to r
f
z :4r).
:;(ti
+ .yi + zk):;l
+ + t+
kes tangente
a l a curva¡ : d¡ ) , y: y( ¡ ) ,
[
Para d€mosharqu€ su módulo es la unidad, tencmos
=,
et = re|,#f r(:.f= M,d,f
45
V
dS
dt
tts
v
(¿s J.
ya que (dr)r = (dt)' + (dy), i (dz)¡ según se estudia en cálculo.
Hallsr el ve€tortangcnteunitario en un punto cualquierade lacurya x :
,¡.r16)(.r
rr + I,y : 4t '.:,-:'(á) Hallar. cl v€ctor tangpnte unítario en el punto co[espondiente al instante, : 2,
(q) El vector tangente a la curva cn uno de sus puntos es
4;, =
i[(¿2+t)t
+ (r¡-s), +
0r2-6r)t]
Luegool voctortanganie
unitariopcdidocs T =
s
t¿.t
.
ds
i ,
Ir
ffi
r = 1 '4S/,7
t = *.att
lCa
(á) En , : ¿ Gl v6tor t¿¡rgpntc unitario cs T _
i
2tt + 4! + ({r-6)t
=
dclvcctor
* l:ll
El módulo
quo,como I
Obséncse
il
=
{t+{¡+21
/G). ,G;
Qf
= 2¡*?¡*!¡.
3
3
3
y'1. SicndoA y B funcionesderivablcsdc un cscal¡r u, demostrar:
(o t
á t¡'s)
= A. P . 14. s . (t) t(axB) =
¿m
tt¡t
^t*
dtt
*
*"
1!
4v
3,2 :
DIFERENCIACIONVECTORIAL
4l
(4
1.r - ¡t = rn
'44):iEl4!)-:-4:-P
Au
Al¡-O
-
o4E-i#@
¿g
=
o+."
a.^i
^rim aü - Au
a¿-{
du
\!_7
túo métorlo,Sean A = A].l+ A2l +
{t,
ol =
! i,r.
!,@t,
* 44.¡
¡.dB
"
-
-éi)=
n = Brl + Bzt + Bsl.
{t, r ' n r =Um
A¿-0
=
lim
A¿-o
=
Entonces
* A2B2
+ AsBsJ
= a,!#, o,'*, afft , ,#r,,
-
du
(¡+M)x(g+Ag)
Aü
rfat = n''i
ff+ ,
"*'"
Jr+,
I
rt.
- lxn
axAg+AAx¡+AAxAg
A¡
¿ :loo" * . f' "
= ¡"8 *!!,s
-@
Ot¡o mélodo.
l Jk
a l a2
81 82
9 <,r's)= +
4u
ítt
A3
Bs
Tcniendoen cuentael teoremado ta de¡ivaciónde determinantes.
Aa
A2
lL
¿-P2 d-23
du
du
A3
du
dA
du
d.42
dt
¿rl3
du
BL
82
Bg
*.fi * ¿f,t
A = 5 1 2+1r j - ¿ 3 ky B =se n ¡i - co srJ,ha[ar ( a) r r , ( ólr 1<exs) ,G¡
*r O.
tA,U.
=
f ro."¡
^.* , #."
.
( 5t 21 + rJ -
=
lÍeoEt
Orro métofu,
¿
¿(A'8,
,e t).(c o s rl
+ s e nrj )
+ ,senr + lors€nr -
A. B = 5r2s€n, - r coa, .
"o",
+
(10!t + J -
3r2t).(senrl _ coE ¿r)
= f1sr.- rl cosl1-ii-sen
r¡
por lo tantol
d,-6
- ;it(D r-s e n t - r c o s r) = 5 r' C o8r + 10rs€nf + rS €nt - C ou,
(5¡2- t) cos , + tl, sent
,,¿{a*t)= *d} * ff"n, .
I
5t2
cosr
J
r
sent
rl
-Fl +
0 |
I
10,
scn,
,
t
-coa,
rl
-grrl
0 |
42
DTFERENCIACION
VECTORIAL
: [f¡s€nrl-f¡cos/l + (5rts€nr - r cos,)k]
+ [-3r'costi-3rrsenr¡ + (-lO, cosr-s€nr)k]
: (t¡ scnt - 3rrcosr)i - (rt cosf + 3r' senr), + (5r¡scn, - s€nt - I l, cosr)k
Otrc m¿todo.
I
J
5t2
t
s€n¡ -cos,
=
Ax B
rl
-1,3l = -r3qosri - r3s€n/J+ (-srzcosr- rsen/)k
0 |
x B) : (r' s€nr - 3r'cosr)i - (r. cosr + 3/rs€nr)j + (5rrsen,- I Ir cosf -
Ueeo,S6
@ *e.^) = n.'* * *La.t= ze.df
=
2 (s . 21+ rJ - ¿3t).(1011+ J - 3r2k) =
Otro útétodo.
Luego,
t . s, = Ftzf
fipilf
+f+r!
+ 1tf + q-t3¡2 =
10019+2 t +1 t B
2slr. + c 2 +t a
= 1s¡¿o + 2t + 6t6.
,/ 9. Siendo A de módulo constante, demostrar que A y dA/d, son perpendicula¡es,siempre que d\ldt
I
| + O.
Como A €s de módulo constante,A. A : constante.
be so
,
${A..A.
: * #. o: ^' #
".t +
: o.
Asfnues,.l ..$ : o y A esF,rp€ndtcutar
a
$
40. D emosque
trar
* ro."
x c): A.B,f
que
siempre
l#l
+n.fr
.t
x c + f i' n
x c , s ie n d o A,B,c
rivablcs de un escalar u.
D€losproblemas
?(a)y7(b), 4e.fn,,c)
= e.Íufs,c¡ *
f
.n,.c
= n.tn'jf, * jf 'cl * jf .n'c
df. n , , c
= e. r ' f * e' f
"c *
/rl. H"ll"t
i,"'#'#,.
probf€ma
Der
ro,f,tv ,fi',
fr
= -,t'¿r'¿v
d"y
-. dv
d"v
dt
dt"
dté
¿"v d'v
-.
Y '--;
x -:-;-
dt ¿v
+ _i -.'-x
4t
dt
u +u =Y . - : _ x .-.
.:_
dv fv
da-
dt-
cll
d'v
-:' ;aIta
.la¿
12. U¡a partfcula s€ mucvo de forma que su vector de posición viene dado por r : cos rr,ti + sena,t j,
una const¿nto. Demost¡ar que (a) la velocidad v de la panlcula €s perpendicular a r, (ó) la
' DIFERENCIACION VECTORIAL
41
hacia €l origen y su módulo es p¡oporcional a su distanci¿ al mismo, (c) r x v : vector constant€.
-ilila
1 .1 r :
df
7 - - @s € n @ ri + @ c o s o rtj
S€tiener.v:
lcos@ti + s€nr4rr], [-ro senroli -f úrcos.orl]
: (sos @r)(-{, senqrt) + (s€n @r)(¿,cos úrr) : 0
luego, r y Y son pcrpendiculares,
d\
dt
: -Al : -t" co" tt i - @rs€na" j
77
: -@¡ lcos úr, i + sen úr, I I : ---<,,t
'lll
or)
La acele¡ación tiene, pues, la misma dirección que r p€ro sentido contrario, es decir, está dirigida
hacia el origen. Su módulo es p¡oporcional a I r l, que es la distancia al origen.
L)
¡ x v:
lcosúrrl + s€n@r¡] x [-@sen@tl +@cos@rll
cos @t
-ú,
s€n (l)/
s€n @,
0
@ cos @,
0
:
@(cos¡@/+ s€nrar/)k : @L,vcctof constantc,
Flsicamente, se trata del ñovimi€nto de una partlcula alrededor de una ci¡cunferencia con una vclocidad angufar constante @.L¿ aceleración,dirigida hacia el centro de la circunfe¡encid, I ll"Ía-centrípera.
0 3," = 4 ro'P-4'ur.
^"+
d,t-
d I'
dt
dt
dt
1¡o"#- #'r, = ft<r"fi- XSxst
= n , 4 , d 4 , * - t 4"# * 4, . s l
d¡'
da
.ta
tlt
da
tlt'
que
Dcmostrar
= ooi -
= A !l + A 2 t+ As l .
S ea ¡
0"1=
^.#
- { 4 ,8
^ ,¿cla':+ ¿l¿'
L \e Eo A
=/E;tr;Á
r u"o3
+ u"*
- (l¿
- .l a
:rn?tn1,,f"r'/"ee,.*
¿4"
¿A^
hd; +A2 i + As i
dA^
ei¡a/z
6l+,e1,+
Otro método.
co m oA.A = f, ft6,'l .t = ftU 't
n*.¡,= zr'# v
fto.rt = ^.# fiu"t = ud/
l""e go zr,.ff=u#
" n.# = n#.
que si A esun v@torconstann,
Obsérvcse
= 0, comoen el problema9.
^'#
--------DIFERENCIACION VECTORIAL
15,Si A = 12r2y
- ra¡t+ @x!-, sen¡)j+ (r2cosy)k,hallar,
+,
+,
+,
ot
oy
dr'
Er
o,
&,uo, -
+
^,
+,
dy.
=?4,
dx dy
- y*n x¡¡ + S 1,2cosT)r
!é!
(4ry - 4é)l + (y&! - y cosr)J + 2, coay g,
aa
¿/
+ aran-rsenx)¡+
&ru"r-^,
$l,2cos7)r
2,t2| + eerY - sür x) j - :2 seny) k
^2
ÓA
:--:
* j< t * v - r c o s , ) r +
]w r-* 1 t
$,o"*r,,
(4y - L2.'11 + g2ex! +y sen
-x)¡ + 2 cosy I
.
frrr*rt f,an -*, a ¡ - f,a,xny¡x
^O2 A
O + r2&y I ^2
dA
3'4
=
.,4,#,
=
r.2cosl | = z?"x! ! -
*,",,1_l *rrerr-senx)J- $r"2senrrr
= 4 z l + (xy{ ! + { 1
-cosr)j
^ó2A
ta,
=
,",b
=
&,*r-{,s)r
= 4x | + (zyex!¡ ¿xl
12
z2 cosl L
-
+
+
}<r;;;l-rcosr)J $(2rcosy)r
-
"*rl!
2rsenyk
zxseny I
\2
= <9* ,
Obsérvesequ"
decir, qu€ el ord€n de la dedvac¡ón no altera el resultado.
**
'
d t dz
dzü",
cierto, en general, sieñpre que A 'tenga derivadas parciales, de primero y segundo orden, continuas.
si SQ,y,zl = rl2z
y
a = rzi-
Q¡, = 1zy2z\(*z| - xy21+yz2L¡
iOzd
(+ A)
2'
$
;$
i
Ir
J
.
z2y2z2| - r2!1" ! ! zt3 z3lt
= d 1 x2y2zz1-a2,1azt+ tfszeu
= zt2l 2z 1-
r" f
, + 3xl sz 2|
tOol = j<z"rt", t - x2ya
! + 3ry.z2ky = 4xy2z | - lat' I + lysz2 |
,t^,
Pa ra r= 2 , y = -t,z = 1
i
zy2! + yz2tr,,trattar
fóel cnelpunto (2,-L,L).
¡f
ox oz
= j<ur""
| - 2'!4 ! + 3!. 22h) = 4t2¿ | - 2y1I
s€obti ene t(-r)2(f)t - 2(_t)41 = 4t _ 2!.
17. Dado el vecto¡ F función de las variablesescalares¡,/,.z,,
y x,r,y
z,asu vez, funcionesde /,
?r
Dp dy
dF = ?E
'1'y l. á ; ¿ ,
,tt
7 t ' ¿ ; ¿ -¿
suponicndoque las derivacionesseanDosibles.
'óF
dz
DIFERENCIACION VECTORIAL
s-Tngamos que F = Fl(r,/,¿,¡)t + FlPr,r',z,c)l
+ 4(',y,z,r)k.
45
Enronces
dD = dF r i + d ,F 2 l + d \k
a¡,
= ,?4
[--: dr + +dr
ot
ot
a¿
+ a=d/
of
t $a, * ! n" , { ' ,
+
¿r. t *
* *r,r,
P¡
Ot.
Ot
(-¡j
o,
oa
dF
hp,
d.
,lay
, pa,l1
,l n " tr
pJ + 3&¡,r"
' r*r Ot
ót
dt
* P¡
* $.u,r,
* 19-&,
* }&r Fr,r"
r$r
o,
oy
ór
dz
oz
dz
+
= !E r,
* $a"lr , t*0, ,!t,
* $a" * $a, * $a.
ou
ol
oz
?r . ?rd.z.7¡¿l
= ---i- .
Ol
Ot
--
dt
Oa .t,
r .}s¿z
<- -:-
--+
Oz da
DIFERENCIAL
IEoostrar las fórmutasde Frenct-s€net@r+
: rN, (á)
{d ComoT . T : l, dcl problema9 sededuceque T .
$
+
:,p1N,
: .tB - rT.
G) #
: O,esaecir,
$
es perpendiculara T,
SoaN GIvectorunitario en la di¡eccióny sentidode
$;
"o,on**, $
rcrmal pfincipal, K csla cwvaturay Q: l lK.asel radio de curvatura.
e) s€ a B.:rx N,entonc
#:,es , * #-t.#
I-ueso,
r.$:
T.T x
$:0,
x N: r x $
: rN. El vcctor N es la
*"* t n:,,
$.
esdecir,T esoeruendicular
a
$.
DeB.B:lscdeducequeB.$(oroblemag),esAecir,$esneroendicularaByestÁsituado
en ol plano fornado por I y N,
p€rtcnc¡eal planodeTyNyes perpendicular
aT, esparaleloa N; luego
#
S
Fl vectorB esla órhormal,t esla torsió\y o : llt cs al radio dc torsión.
**
: -r0,.
(c) ComoT, N y B forman un triedro a dere€ha,tambiénlo fomnn N, B y T, esdecir,N : B x T,
ru"go,$:B. # +ff,rlpX
r¡-'N x r:-,
.2V '1í1 , ./¡\)/
Representar
J3.*r,, y -.3se¡,i,
lacurv¿.¡
(a)et
!':4r y haltar
¡,
.l-. , . , , . - 1 .
,.., 'lll¡
-' '.i-.t2
:riT,ffi,}f,5'f
¿'Í?Jn:ffiifff:ffi1ux,1",":T1'o?i:
E-D
1.
torsióno.
Estacurvae, llaña h¿ltcecirculary se r9prcf¡ta en ta figura.
I
/lr// U
+,B:,B-.r(T.
, Í l* ,
¡ tit
,t
Ifl|
tj
tsR
0
..1
f,l''
"T|
;*H:*#Í#r#.::ifiÍ:;:,?T?"/xi,s::1,1h::""i":
w___1u n
h cie tater a ld elcilind;;;,.+ii.:9.,*...,,', ' lE ¡! ! r¡g g ¡9 rrq U4 s u [ , c r. rf f ia , L
(a) El v€cto¡de posición
dela cunaos
dc un puntogenédco
,, ,, ,i. ,
o \
D¡FERENCIACIONVECTORIAL
Ssosrl + 3 s€nrj + {rt
¡
¿r
-3s€ntl+ScoBrJ+4¡
ds
Itil = EE"
i;
Asl puco, T
='#
*
= ,Gtscn,)t+(3.*,)t;?
=.5
= - $ se n r r + $ co sr r + fr .
$r# = $r-$* "rr + | c o a r t * f r l = - $ c o e ir - f s c n r t
tf
= tf# = -fr"o",rds
*¿senrl
jf = rn , lr Sl = l' ll¡ r l = x c on
co mo
x lo.
Lucgo, x
= l#l = GE.*IT[E;"
Do#
= r
, soobtim€ II =:#
=* y p=*=+
= -cosrl -sotrrr.
rrr
=
= TxN
(c ) B
l- i* , ' , t "o", ál = f s enr r * * "o"r
1 t* $r
- cct
- s€n,
da=
dt
"o"r t * f . * r t ,
- 7N
-T(-costl
0
L.o.rr+fsenrt
=t#=
f
4
- s€nrJ) = ñcoscl
+
4
.--
4
i;s¿trrJ,obie['7=tE
t
y o=+
quoel radio de curvaturade la ca¡rvacrr¡ras
20. Dernostr¿r
paramétrlassor r =r(sl, y = y(s
ecrraciones
=z(¡)vicncdadopo,
p = k*f
, 1{4¡'
* (*ff'h
'
' ds2'
' ds2' ¡l s2'
El vcctor de posición do un punto genéricode la curv& es ¡ = r(s)t + y(¡)J + z(s)¡.
Ln go r=* =Xt* ?"t * t * t
*.
f
= ,<N,conroqucK = I
quo *,*,
21.Demosúar
r\
dE
da-
,
#= #r * 8¿t * #r .
# l= /rF:
,#:
-
yaquo
,#quodandodcno'trado
,&" = p+.
d,a-
( t= i ,*= ,T - "**.=
,\
"Í : * #-''
n- ((18_-xT)* #n
g.,+'ii=;.;',,.;;,.;
í. * *,
= T.((2 7 N¡B -x s t x l' * * f f n rU
-
KTB - ,ef
= T . 1 r2 rT + rs D¡ =é¡=1
+
oi.,.i, ,.
DIFERENCIACION VECTORIAL
küldo
.,d*'\'
xyz
T = [(r'f
'
- \ A\ iX, \
en cuentael problrma 20, el rcsultado,sepuedeescribir€n la forma
+ (y')2 + qz"¡21-1 t t z
A''cit
rt
las primas representanLasderivadas res¡rectode r
dc
-
E
h cr¡rvax=c, !=t',
,hallar(a) la curvaturax, (ó) l¿ tonión 7.
"=]f
d E rrctordeposición
es r = tl + t2'1+!t"t.''
Por Io ianto, 'i = , * v1 + 2r'k
-, ,_ \t
At ^
'
+ = l' dt+. ' I = yE
Q t ' +( n f.@ T
' dtÁ o
¿t
dt =
= r r *o
' ' n - ' t'
¡
T =ri e " =t# =t+-u l !u zt'Í,
y
ü
?t
q
dt
+tt't - (\Izrl+u2u$t)
- 0+z t2)(ü+
=
-
olEV-
Dc (o). N=14!
-l
.2 ¿ l + (l
(l-zt')i
-z t2 ri
- -2¿l
K¿s
1+
+
(l;-tT--
1t
Eotonces 4I - ¿T/¿' - -: fJ:A--ú!:-A
-71+-lz9ds
ds/d¡
tt
-q¡i+ Q- 4t2)!+ 4tl
'r
'
r!
\
\,
--F-trrl
dt
(l + 2t'\'
También,
-7N = -r[-2tt
\ir-.
l
po¡rotanto,
B.=rxN = lrt,o, 3-o" #"1
+ (+t2- 2\!-- Ety
De aqufouc ds _ +tt
\
{rv
r '\
.,
,\' -,
\
\--'
(\'
. l,,\ I ^t'
2t 2
-2
1+2É
\f,
=
HF
1- 2c2- 2c
t + 2tz
l + 2t' -
1
-"
+ (!=4;lt + 2tr
4tl + (4t2- 2)i = --1r;Ef-
= 0."14-t
ctslcat
.ts
l.crn,o
fi
= - TN , sc obticn€ T =
4r¡
'
,-U,_ *f
0bsérvcsc que r = ?- en este caso.
E[a¡ las €cuacion$, \¡ectorial y cartisiana, de la (a) ta¡¡g€¡ttc,(ó) norm¿l principal y (c) binormal a la cuwa
ü problema 22 en €l punto corr€spondicnte a f : l.
SeanTe, Ne, y Bo los yectores tgngent€, normal principal y binormal en el punto dado. Del problcm¿ 22,
To
o
2 !+ * .
r¡b _
= r+-----¡-
'
., = -2
t-Jl 2k
-----Ño
,
o = ?¡=
oo
-3 ¿j I -
\' /
{
DIFERENCIACIONVECTORIAL
48
los vectoresde posición del origen y de un
Si A es un voctor dado y ro y r son, rsspectivamente,
g€néricode A,el ve€torr-¡o cs paraleloa A y la ecuaciónde A es(r-ro) x A :0.
Por lo tanto:
La ecuaciónde la tangent€es
La ecuaciónde la normal principal es
La ecuaciónde la normal es
En coordenadas¡ectangulargs,para ¡ : xi * ¡j + ?k, ¡o :i
tivamente,
1
y-1
2
z-2/3
2t
x-l
-2
r-1
z -2/3
2'
(r - ro) xTo:0
(r - ro) X :N d: O
(r - ro) t úo",¡ o
f
x-t
¡,*
2
n, estasecuaciones
son,
,
"t-7
z-2/3
(problema28, Capítulo 1).
que también se pueden escribir on forma paramétricá.
24. Hallar las ecuaciones,vectorial y cartisiana,del plano (a) osculador,(á) normal y(c) rectificantede la curva
los problemas22 y 23 en el punto correspondientea / : l.
(a) El plano osculadores el que contienea la tangentey a la normal principal. Si r es el voctor d€
de un punto genéricodel plano y rq el vector de posición del punto correspondientea / : I,
r * ro es perpendiculara la binormal Bq en dicho punto, es decir, (r - ro) 'Bo : 0.
(ó) El plano normal es perpendicularal vector tangente.erlel punto dado. Luego la ecuación pedida
(r-ro )' T o :0 .
(c) El pla¡a rectificanteos perpendiculara la normal en el
punto dado. La ecuaciónpedida es (r - re) 'No : 0..
Las ecuacionesde (a), (b) y (c) en coordenadasrectangularesson, respectivamente,
2 (x -l \-2 (y -1)+
1(z-2/3)
= 0,
= O,
1 (¡-l ) + 2 (y-1) + 2(z-2/3)
+ 2(2-2/s) = o.
-2 l r-r)-r(Y -1 \
En la 6guraestánrepresentados
losplanososculador,
normal y rectifrcantea la curva C en el punto P.
2s. (a) Demost¡ar que la ecuación¡ : r(2, v) es la correspondientea una superficie.
A ta r
(ó) _
Demostrarque
¡epresenraun vector normal a la superficie.
' o u --óv' X
(c,
-: no¡mal a la siguienta
Hallar un yector unita¡io
superficie,siendoa > 0,
r : a c o s l l s e ny i + as€n| ]s€nyi + acos vk
\o) Si consideramosque a toma un valor fijo 29,
entonces r : r(ro, r) representa una curva
que la ¡opresentamos
por |l : ¡lo. Análogamente,4 : at defineotra curva r : r(zr, v).
.d.lvariar r, r : r(¿¡,y) representauna curva
que sa mueveen el espaciogenerandouna
sup€rñcic^5..Así pues,r : r(¡¡,v)representa
una superficiecomo se indica en la ñgura.
I-a s c u fv a s u :u o,u:¡-,r,...,p€rtenecenaestasuperfi ci easícomol asr:vo,v - vb, , .
A cadavalor de ay v le corresponde
un puntode la superficie.
Asl pues,lascurvasz : uoy v:
por ej6mplo,se cortan en el punto (¡.o, vo) dc la superficie.El par de números(¡.r,v) se llaman
DIFERENCIACION VECTORIAL
¿úca¡
ú rr
ECrx
49
sobrela superficie.Si las familias de curvasa : constantey v : constanteson perp€ndiculares
sus puntos de intersección,el sistemacoordenadocuryilíDeose llama ortogonql,En el Capítulo 7
un estudiomás detalladode las coordenadascuryillneas.
t--idcremos un punto P de la superficie s cuqó @¡denadas son(riq, rq), como seindic¿en
I t¡¡ra. El reclor Arl Auen el punto P se obderivando r respecto de ¿ manteniendo
roi este vector ar/ ¿¿ en 9l
-¡ :@nstante:
Ero P, es tangentea la curva y : yo en dicho
r@¡o- Análogamente,¿r/ Ayen P es un vector
¡4Erite a la curva ? : constante: ¡o. Como
rüos vectores, A¡lAu y arlav, son tangentes
,ú .¡ punto P a dos curvas de la superñcie,se
úduc€ que también son tangentesa la supe¡Ar
Ar
t¡ en dicho Dunto.
Lueso---: r es un
'
ou
7t
€or normal a S en P.
i
-
: -as€n r]seny i + acos ¡¡s€nyi
i
-= : a cos¡.lcos!' I + 4sen ll cosr,j -c
senvk
k
ij
Entonces,
¿r
Ar
- ¿s enas bnv
4 COS¡l COSv
:
0
aco s 4 s e n t
4 Sen.¡¡ COSv
-4
Sen v
I
-a! cos ¡/ sen¡y i - a2sen¡¡ s€n' v ¡ - a, sen y cos u k
r(presentaun vector norrqal a la superficieen un punto cualquiera(¡l, v).
EI vectornormalunitarioseobtiene
x$
divi<liendo
f
oorsumód"lo,l#
.
v 4 ' s e n ' v (s e n 'v + cos' v) :
* f
I, o"aooo.
( a,sen y si senv > 0
I
1 -a' sen y si senr < 0
Luego son los vectoresnormalesunitarios dados por
+ (cos¿ senv I + s€na senv j + cosv k) : * n
La superficieen cuestiónestádefinidapor las ecuaciones¡ : ¿cos r s€nvel : a sentsen y, z : ccos r,
de las cualesse obtienex' + y" + z' : ¿'que es la ecuaciónde úna esferade radio a. Como r : an, s€
deduceque
n :c o s ¿ s e n v i
+ s enrsenv j + cosrk
f
t o ' \-,4
i' J ,!
cs el vector unilario nonnal exterior N la esf€ra en el punto (a, ,).
I
No , t z , _ t , 2 ' I l
plano tangentea la superficiez:x2+y.enelpunto(1,-1,2),
Eallar Ia €cuacióndellPro¡ru6rl¡5!rl.v.l4Jql'l¡Erv¿_¡rJ'wrrvlrJgulv\r'_r'!/'ñ.1.,.1,1
-l*
' r ' 2' i) l
r"'s*¿'--+L
, tn' t-t' )Seanx:¡.t, y:v,z:
a¡ + y¡ las ecuaciones
de la superficie.El vector dq posiciód\ú ' I
fraramétric¿s
\.
-ú punto cualquiera de ella es
|
y'
)k
r:
¡¡i * ¡,j * (u " *
tI
l
I
,/ ,.
.,
DIFERENCIACION VECTORIAL
50
Entonces
af
+ov:i + 2¡tk:i -2k
Ar
:i + 2 u k :i + 2k.
Au
en el punto (1,-1, 2) ,
siendo
Del problema 25, la normal n a la superficie on este punto es
Ar
Ar
2 k )x (i-2 k ):
" 6u:6+
":á
El vector do posición dcl punto (1, -1,2)
R o : i -i
-2 i+ 2 i+ k
es
* 2k
El v€ctor de posición de un punto genérico del plaoo es
R :¡i * ri * zk
es perpendicular a |r,
Como indica la figura, R-Re
luego la ecuación del plano pedido es (R - Ro) ' n : O,
o bien, [Gi+r+zk) - (i - j +2k)l .t-2i+2i+k] : 0
es decir, -2(x - l) + 2(t + l) * (z*2) : 0, o sea,
2 x -2 y -z :2 .
MECANICA
27. Demostrar que la aceleración a de una partlcula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio-con
velocidad v vieoe dada por
,= *r *4
x
dtp
siendo T el v€ctor tangente unitario
Velocidad v :
o bien,
a la curva, N la normal principal
y p el radio dc curvatura.
módulo de v multiplicado por el vector unitario tang€nteT
v : YT
dt=
dt
D€dvando,
DGI prob¡emal8(¿),
dT
dt
dl
ds
*cla
9 a r ¡ = *raa*,4
aI
=
" n *cll,
d/ r * ,1$¡
Pof lo tanto,
d¿
xuN = 4
=T
+: =N
Esto indica que la compon€nte de la acaleración en ta dirección d€ la tangente a la curva es dvldt, y la
ponentesegltnla normál principal es y!/e. Esta última recibe el nombré de aceleracióncentrípe¿a.En €
blema 12 v€rcmos un caso particular de este que nos ocupa.
2E, Sear el vecto¡ de posiciónrespectode un punto O, de una partfculade masarr y F la fuerzaext€lio¡ que
sobre la misma; el mom€nto de F resp€ctodo O vien€ dado por M:r
x F. Demostrar que M:r
siendo H : t x nñ y a la velocidad dc la partfcula.
M
))
Pero aú
;(rx¿v)
=
,l
TXF
= ¡xf ¡rnv)
dt
r x fi{nt)
segúnla ley de Newron.
4,^,
¿
¿r¡v ) +
= rx t (,
vxmv = r x;(nv)
¡
I
.
es decir,
It
+ 0
u = 4¿
i r r "r "l = *att
l¡
Obsérvesoque la fórmula s€ puedc aplicar tanto cuando nt s€a const¿nte como cuaJrdono lo sca, El
I
-l
,l
DIFERENCIACION VECTORIAL
-rlui[Ed
cin¿tic¿ y es el montcnto dcl fmpctu. La relación expresa que cl momento aplicado es igual
del momento cinético f,or unidad de tiempo.
-rro
sesogareral de un sistemade, partfculasde masasnr,mr,...,
d sist€mado fuerzasexterioresR, F¡,,..,
-
r dt aDt e es M :
mny vwtores de posiciónrr, rr,. . ., rn
F,, el momento cinéticoresultantees H:
b
¡ :t
o
Z a k X F ry s e \ ,on¡.^. ^,'- " ' - - 4!
^"
dt'
& -l
^rr*x
v,
un vector A : A,i + A,l * ,4¡k referido ¿
de coordenadas ¡/z de origen O. Su derivada
--
rnd.r
a
tiempoff t + # t * #k.calcular
""
de A en un sistemade coordenadasXfZ de oriO- ¡abiendo que el p¡imer sistemagira con respe{to
que se mant¡enefijo en cl espacio.
in -rdo,
deA ¡especto
de
# l, t | # l- *" lasderivadas
"
b
fijo y móvil, res¡rcctiva .1ente,demostrar que
-
ür v€ctor (o tal oue
-!mas
dA t
dAt
¿ ; 1 .=
7 ;l
tT
ll
+a ,xA
I
l4tesentando por D, y D,' los operado¡es deriv¿da sn los sisüemasfijo y móvil, respectivament€,dlmosr¡¡ la equivalencia
=
D¡
-
+ otx
D,
Ea la rotación del primer sisteria respccto del segundo, los vcctores I, j, k varfan con el tiempo. Por lo
mto, la derivada de A es
( r)
* ='#, - * r
, *r
+ A, # + e, ¿j+ 4f f
es d€cir,
'ilr= # [ * ',# * n ,f,. n " #
{2)
Como i es un vector unitario, di/d, €s perpendicul¿r a i (problerná 9) y, en consecuencia,está situado
rD el plano formado por j y k. Luego,
(3)
Análogamente,
(4)
(t
dl
dl
dt
dt
dk
dt
aJ + c'k
a¡k + dri
c"i *
a¡j
.i : o. nero
Derivando
i .i : 0, seobtienet.
i.fi:
$ + ff
luego o. :
a¡ de(l), t
#.t
:
c, de (i);
-6t.
Análosamonte
dei .k : o, i. dtÜ+ fi.u:
Porlo tanto,
ol+"*,
a4:
*:o"t-oJ,
o, v d ¡: - a ¡ i d ei,k :0 , t.ff + a j.* : o
S:-..i-".t
DIFERENCIACION VECTORIAL
¡4t !+ td J * 0 4 != t_ A .-3¿,
2d¡
dt
d2A s' )l + (d,!A r- dsl s)J + (d2A 1+ ds42|k
l \42-
'
qr,e se puedeponer en la forma
Haciendo d," =(D!, -ú2=o)2,
%
-da
dr
Ar
A"
A3
ú7=o4
el determinantese reduce a
rjI
(D1
(D2
Cü3
A!
A2
As
Siendoar = @11+ (D2! + ¿c'1'{
, La magnitud¿, esel vecto¡velocidadangulardel sistemamóvil
pecto del fijo.
(ó) Po¡ definición, DIA = # I
Dra =
De (a).
dA l
;' l"
= ¿"r¡nu¿uen cl sisterna
ñjo
= <lett"uou
en el s¡stemamóv¡l
D.A
= D^A + ¿rxA
de donde se deduce la equivalencia
=
(Dñ +orx)A
D f = D n+ rnx.
30. En el problema 29, hallar: (¿) la velocidady (ó) la aceleraciónrespe.ctode dos sistemasde refer€ncia.
(a) Seael vector A del problema29 el vector de posiciónr de la pa¡tlcula. Aplicando la notación
del problema 29 (¿) se obtiene,
Drr : (Dn +Grx)r : ,¿r +.o x r
(1)
Pero Dt¡ :
yDÍ :
velocidadde la partícula r€spectodel sistemafijo,
D^r :
tÚn :
yelocidad de la partícula respecto del sist€ma móvil,
o.¡x r : v¿r :
velocidaddel sistemamóvil resp€ctodel fijo.
Entonc€s(/) se puedeponer en la forma
(2)
fttl :,trl ñ+@X f
o bien,
(J)
\tÍ:
\D ñ + 1ñf
. . Obsérveseque los papelesde los sistomasmóvil y fijo son intercambiables.En efecto, s€ puede
sid€rarque el sistemamóvil p€rmanecefijo y que el fijo se mueverespectode aquel. En esteúltimo
no hay más que cambiar el subíndicenr pot f y a por -@, ya que el s€ntido de rotación relativa
vierte. Haciendo esto en (2) se deduc€
Ytñ:
\oÍ-tt
que coincide con el ¡esultado anterio¡.
'r¡-i\
Xrr
o bien, Yrrl:
v r l a +o
Xr
DIFERENCIACION VECTORIAL
¡¡
b
53
& la partícularespectod€l sistemañjo es Dfu : Dr(D¡r). Aplicando D/ a los dos miem{L r¡, !'¡.¡¡ndo en cuentala equivalencia
demostrada
en el problema29(ó) rejulta
-Tfñ
DADtr): Dr(Dñr+.,t x.)
: (D,+ox)(D,¡+o
xr)
:
D^(Daf +ox¡)
(D,r + o x.)
+oX
: Dz^rI D,,(o x r) +o x DDr+o x(o x ¡)
Dlr : D2^r+ 2@x Dñ¡ +(D-or) x r +o x ((,, x r)
rb-
Dlr :
S.z¡
aPl^
E¡oces.
"^
I res-
Dlr
:
aceleración de la partícula r€sp€cto del sistcma ñjo,
:
aceleraciónde la partícula respectodel sistemamóvil.
2@ x Dtur+ (Dno) x ¡-l-o
t
:
x(o
x r)
acele¡acióndel sistemamóvil respectodel fijo
an lo que
attt :
tdñ + añl| .
En ñuchos de los casosque se presentanen la práctic¿,o es un vector constante,es decir, se trata
& un movimiento de rotación uniforme de velocidadaogularconstante,En estascondiciones,Daq, : 0 y
t.t
:
2<o x D¿lr + o X (r, X r) :
2.,t x vñ + o X (G, x ¡)
l,¿ magnitud 20, x tn s€ llama acelercción de Coiolis y o x (.u x r) es la aceleración centrlpeta,
Las leyesds Ncwton solo son válidasen el casode s¡srer¿¿s
üercrales,esdeciq aquellosque o son fijos,
. e¡ movimiento, respectode ot¡o fijo, es r€ctillneo y uniforme. La Tierra no constit¡lyeun sistemaiÁcrclal. por lo cual, es necesariotener en cuenta las fuerzasa que ello da lugar (corioli!, etc.) al efectuar
átulos muy precisos.si la masa M de uns partícula €s constante,la segundaley de Newion adquierc
b forma familiar
.4
MD2úr :
F -2M(t"
x Dnl) -
Mla x(o
x ¡)l
ca dónde D' repres€nt" dldl e u\ sistemá ligado a la Tiorra y F es la resultante dei sistoma de fuer¿as
^ la particula desdeel exterior. Los dos últimos términos del scgundomiembro
Galment€aplicada sobre
& (4) son despreciables
y en la mayoría de los casosno habrá necesidadde tenerlosen cuánta.
La leoría de la relatividad de Ei¡stein ha modiñcado ¡adicalmente los conceptos de movimiento absoluto y, como consecuenciade ella, las leyes de Newton están hoy en día en estado de revisión, perfeccio¡amiento o adaptación.
Problemas propuestos
l En do R:
Sot
e- t i + t ¡(t'
(a) - i - k,
+ l )i -ta g ,k ,
(á) i + 21, (d \/1,
..
dR
h a l l a r \a)
I,
@) 1/ s
,,. drR
ro) ZF ' \c)
",l#l
para¡:0.
llallar la le-yde velocidadesy d€ aceleracionesde una partícula que se mueve a lo largo de la curva x : 2 sen 3r,
=
: 8r. Idem, de los módulos do Ia velo€idad y acelcración.
-¡ 2cos 31, z
5 o /. v : 6 c os3¡ i - 6 s € n3 t j * 8 k ,
¡:-l 8 s € n 3 f
i - 18cos3ti , Ivl :t0,
tl sl :18
Hallar ef vector unitario tangenteen un punto de la curva x : ct cos@t,y : 4 sen@r,z : b, síeadoa, b, e,
-q n * n r/.rti + a @ c o s ú rrt+ók
constantes.
.Sol,
SiendoA : ,¡ i - rj + (27+ 1)k y B:(2f -3)i*f
-rk,
hallar
o I o' n¡,b { <t " R).G,* tA+ Br,(d)* (^ +lpara, : r.
"
sot (a)-6, (ó)?j + 3k,
(c ) l, (d )i+ 6 r+ 2 k
-r'F---- ¿'
-
)¡
D¡FE¡RENCIACION VECTORIAL
d
35. SiendoA:sen ¡¡l + coszi + ¡k, B:cos ¿i- senrd- 3k,y C:2i+3j - k, hatlar
(Bx C))
¿(Ax
Sol. 7l * 6j - 6k,
36. Hallar
*".*
siendoAyB funciones
de¡ivables
de¡.
-#.B)
.io/.
L'
^ #-#.
37. siendoA(r):3¡¡i-(r+a)t+(¡i*2tkyB(t:son,i*3e-'i-3cosrk,frattar${,1
x n)en
:
Sor. -30i + l4j + 20k
: 6, i - 24t,i+ 4 sent k, hallarA sabiendoqueA : 2i + ty
3S, Siendo
$
+
:
So/. A (r! -, + 2)i + (l - 2r.I + (f - 4 sent)k
: -i - 3k en, : O,
39, Demostrar que r : ¿-t(Cr cos 2t + q s€n 2r), siendo Cr y C' vectoresconstantes,esuna solución de la
,ítr
d i fe re n c i a l
*
)¡
+ 5r:0.
-r;
40, Demostrar que la solución generalde la ecuacióndiferencial
fr
tes. es
+ alh :0,
+2"ff
siendo @y ú,
(a) r: ed(C, ¿ { "'-,' l Crs-y'-"'-or r) si or - a.¡!> 0
(á) r: ed(Cr *n 1/ a,-a,
t * C.cos y'7Z7
t) si o¡-úrr < O.
(c) r : e{¡(C1 + C¡r) si a'- ú¡r : 0. '
siendo Cr y C! vectores arbitrarios constantes.
d2¡
(a )r
4 1 .R e so l ve
# -O
So/. (a)r:
42. Resolver
S
i¡
¡tz¡
¡tr
d,r
*- - 5r :0,( ó) iV + z *- *r :0,( c) fi
Cr¿ú* C,B-t,(b)t:e-'(q+
:*,#
: -t.
+t :0.
Crr),(c)r : Cr cos2f +C'sen2t
Sol. X:
C,cost + Cr senr,Y:
Crsenr-C¡cost
43.Siendo
A : cos
h^tt^,-T, +, +,
¡/ i * (3xy
- zx')i
- (3x* 2y)k,
a^
S"l. ;:
-J, senxyi+ (3,-4x)¡- 3k,
atl
: -y'
ax,
'./.
#, #,
;+
AA
t
fi:-xsanxti+3xi-2k,
ae{
ay,:-r'cosxli,
..
cosxy i - aL
i
a,A
¿'A
-Ax ay : -$il
: -1xt cosxy +'e¡¡
A'
¡14.SiendoA : xryzi-2x2. ! +xztkyB:2zllyi-x*.¡ltallar
-5fo; (A x B) en el punto(lp,
Sor. -4i - 8¡
,15.SiendoC' y C' vcctor€sconstantesy I un escalarconstantc,demostrarquc H : ¿-¡¡(Cr sen ll * C¡
parciarc"
esla sofuciónde la ccuacióndiferencial
en derivadas
ff
4ó. Demostrar que A:
^^.t@ <t'r l c ,
'"'
satisfacc
a la ecu¿ció
"$
;
* #
'/
:o.
, siendo poun vector constante,ar y c escalaresconstantese r=
*++:
+ +
en
Estaccuación
seuülizamucho
GEOMETRIA DIFEREI\¡CIAL
47. Hallar (a) el vector unit¿rio tangonte T, (ó) la curvatura 4 (c) la normal principal N' (d) la binomal
torsión z de la cu¡vz x : t - t 13,l : t,, z : | + f.13.
(ü)
¡(:a+}
rr)B :
('I-l)¡-?j+(rr+l)k
+ t')
^/-2(r
DIFERENCIACION VECTORIAL
ü
c$¡cio visne dada, en función de la longitud de arco s, por las ecuacionesparamétrigas
x:
ú,1 r = -'zr¡
a rc ta g s ,y : l l 2 \/z l n (¡' *
G, f =
-(r-;:_,J'v¿sr
¡1 ¡ = f-!-:-..:á"JJ t
rt
l ), z:
r-arc
tagr
, ¡r,
d\¡
@ o="É
;+
u¡ p= "';,i,
¡ cn la cúbica alabeada¡ : I, y : t,, z : t'
*=@r -iP*t-,
(9s1+ 4¿2+ l\3t2 '
3
9 r4 + 9 r2 + 1
que la torsión €n el caso de una curva plana gs z : 0.
que el radio de curvatura d€ una curva plaDa dc eeuacionesy : f(x), z : 0, es deci¡, rfla curva
,,,|lÚco et planor/ vienodadopor o = l\'g'fl"t'
r ¡ : ac os r ¡ l+ ós€ n rl e l v e c to rd e p o s i c i ó n d e l o spr{l tosdeunacurvay4yóconstantosposi ti vas,
l¡ curvatura y el radio dc curvatura de [a misma. Interprüar el caso en que a : á.
qbl
si ¿ : á, la curva dada, que es una elipse, s€ transforma en una
- -:;
- - (a'scn'r + b'cos' u)'t' -e
ci¡punfe¡encia de radio a y radio de curyatura p : ¿.
--
oue la curvatuf¿ do ta curva r
ü
vicnedadopor i< =
- d0
&rivadas con rcsp€ctoa ,.
Demostrarque
7 = !:!r!
-
lix Í |"
I
: o
quelasfórmulasdc Fr?net-serrcts€pu€d€ncscribirenla forma
f;
x B y hallar o.
,9o1,r,¡ : ,T +,(B
on lacurvar:
'
i:T;t ,
xr,$:.o
-c"
x N.4
'd s
ta que tos punrosindi-
lrl
r(r).
+.*,*
si et parámeto , esla longitud de arco r, d€mostrarwe r = 4!-f,!!-jl
(d- ¡/ d; \-
que <=
x r, demostrar
ÉadoQ:r
Q.¡
en la curva.r-- 0 -*n0, y: I -cos 0, z :4w¡¡(012).
(3 *+cos0)cos0/2
(3
0 seneP
cosd) cos0/2 +Zsenssen6Jz
+ 2
-------------o-¿cosot ^ r:
9 1 . x:T t1/ ,-:-:------ 'É,r\
12ms0-4
Edlar ry
"
t
,,- LI
y :
z : t * ? Razonar la respuesta.
EAllar la to$ión do la curva ¡ : #,
1=T'
sor. r : 0. La curva cstá situada en el plano x - 3y + 32 : 5.
Demostra¡ que las ecuacion€sdc Ia tangente normal ptincipal y binormal de la curva r:r(f)
ron, rcspoctivamcnt€, r : ro + tTs, t : re * tN¿, r : re + rBo, siÉndo t un parámctro.
( . el punto t:ro
Hallarlas€cuacionesdela(a)tanepnle,(ó)normalprincipaly(c)bi¡ormalalacurva¡:3cosr,/:3sonr,
z : 4t en el punto corr€spondiente z t : tr,
DIFERENCIACION VECTORIAL
.sot.(¿)rangen t e : r: -3 i* 4 " k + t (-|i
(á) Normal:¡: -3 i+ 4 r¡+ t i
(c) B inorm a r: r: -3 iia z i+ r{ * t -* -)
* )" 0 " " ' x : -3 ' v -- ] '
',"-u+
' I
ó x : -3 + , , v : 4 " , z : o '
6 x : -3 , v
:+' +
!t,'
!t'
:}t'
:3t - !" y
ó 1 . Hallar las etuacioncsde los planos(a) osculador,(á) normal, (c) rectificante,a la curva x
(a)v-z
z7: o'( c\
l
:0'
(ó)y
+
S
ol
.
+
l
.
a r:
p u ntocorréspondi énte
,:i r+ r' e n e l
: r(a' v) vicnc dada por
62, (a) Demostrarque la dif€rencialde la longitud dc arco en la superficier
ds2 = E du2 + 2Fdu¿v + c¿t)2
siendo
tr =*.*
=,*r,
"
=*.*,'
=$.$ =,$r.
(ó) Demostrarque la condición necesariay suñcientepara que el sistemade coordenadascurvilfneas
ortogonal es que F = 0.
63. Halla¡ la ecuacióndel plano tangentea la sup€rficiez : x/ €n el punto (2,3,6)'
Sol. 3x + 2y
64. Halla¡ las ecuacionesdel plano tangentey de la normal a la superfrcie4z : x1 - y' en el punto (3',1
So l . 3 x -y
-2 2 : 4t x : 3t' l 3, y : 1 - t' z : Z-2t
},8
65. Demostrarqueel vectorunitarionormala la superfrcier: ¡(¿,v) cs n = t fi{', _
{EC
F'
siendoE,
deñnidosen el problema 62.
MECAMCA
+.G' + 40i + (8r - 3¡¡)k' siendo, :
66, Una particulas€muevea lo largode lacurvar:(t'-4f)i
sn el instantet : 2'
y
su
aceleración
de
normal
tangencial
los módulosde las componentei
So/. Tangencial,i6; normal, l?,1.
¡, el radio de
67. Demostrarque si una particu¡areco[e una curya con ufia velocidadv y una aceleración
.!
de la trayectoriaes Q : -r,^.1
6E. Un sólido os atraido hacia un punto fijo O con una fuerzaF : f(r)¡,llamada fuerza ce rul, sierl'do
de posición del sólido respectode O. Demostrarque r x v : h' siendoh un vector constanle'
el mom€nto cinético es constante.
69. Demo3trar que el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo larSo de una curva en €l
situado siempreen el plano osculador'
plano
70, (a) Hallar la aceleraciónen coordenadaspolares(p,{) de una particula que se tfuev€ en el
q?
iól ¿Cuálesson las componentesde la acéleraciónparalelay perpendiculara
so l .ta )i = l <i - pó' ¡ "o"ó - @ó * zpó1..nÓlr
, [<i- pó' ' ¡*n{ * 1pP*zbólco.Ó) t
';
$\ - Pó2, Pd" zbó
l:
[. J
\^
t.
Capítulo4
1
5"
Operocionesdiferencioles
Grsdiente, divergencio y rolocionol
DIFERENCIAL YECTORIAL NABLA. Se representapor V y se define por
-EIADOR
r = rP * l + - 1 3
*p
* 3¡
v = 3t
ot
ot
oz
o,
ot o2
vectorial goz¿de propiedadesanálogasa las de los vectoresordinarios y es de gran utilidad
¡lkación de tres [ragnitudes muy importantes en la práctica denominadasgradlente, divergencia
El operador V se le conoce más comrlnmentecon el nombre de operadot nabla,
GfADIENTE. Sea la función 4{x, y, z\ definida y deñable en cada uno de los puntos (x, y, z) de
cirta región del espacio ({ deñne un campo escalar derivable). El gradiente de {, representado
o grad {, viele dado por
*3
*F
v o = <ou3¡*3¡
* ro = Pi
¡ *?
ór
oz
or
oy
oy
óz
que V{ define un campo vectorial,
l: componentede V{ en la direcciónde un vectorunitario a esigual a V{ , ry sellamr derbadade Q
dirección de a, o bien, derivadade ó segúns.
DMRGENCIA. SeaV(.r, y, z) : Ytl * Vrl + ytk una función definida y derivable en cada uno
puntos(.x,y, z) de una cierta regióndel espacio(V deñneun campovectorialderivable).
por V'V o div V, vienedad¿por
La divergenciade V, representada
V .v = ta¿t*f,i,*v\.ru,t,u.t
9!,
?¡
t 4rt
I ¿v2 + dv3
7z
7y
lr rnaloglaconcl p¡oductoescalarA'B : APL + AzB.* 1"8r. AsimismoV'V + V'V.
Obsérvcsc
ROTACIONAL. Si Y(.r,¡, z) es un c¡mpo vectorial derivable,el rotacionalde V, representado
V x V o rot V, vienedado por
vxv
=,*,.*,
lt
+ 3 r)x (lz . t
o2
J
a
- 1. tu
la' l,
lv'
I
o
6;
Y.
+ V -t + Y . \ \
> *----'-'
GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL
a
a
d
7z
ú
3r
i-
a
-t
dl
o ' lj
-l
v, v "l
v
7r
v1
*
' ¿v"
'oy
al
oY
ll^
V2lI
.¿ v. %tu
oy
- *' ".,*- *,t
a
Obsérveseque en el desarrollodel determinante,los oPeradores
$
oy
Zndebenp receder a \, V",
FORMULAS EN LAS QUE INTERYIENE EL OPERADOR V. Sean A y B dos funciones
riales derivablesy { y r¿ funcionesescalaresderivablesen todos los puntos (r, /, z) de una regi
espacio,en estascondiciones,
srad(é+ry') = cradÓ + sradú
n 2. V.(n+S) = V.t +V.B , o bien, div(A+B) = divA + divB
= VxA + VxB , o bien, rot(A+B) = t'ot A + rot B
t 3. Vx(l+¡)
!o
I. V@tr/,) = V{ +V{,obien,
V .<d a l=( Vó) .a+d( V.a)
i
5. V x(óA ) = (V ó )x A + @1 V x A 7
V .(axB ) = B . (V x a ) - a . (V x B )
7. V x (ax B ) = (B . V )A - B (V . A ) - (a ' V )B + a (V ' B )
V (a.s) = ( B ' V )a + (A . V )B + B x (V x a ) + a x (V x B )
- 69.
= ^t4- {4 . {4
v.1v4¡= v"6
'
722
7x2 - dy'
-2?2¡'¡.2
siendoV'f7
't"n .
+
.
#
;?
el operalorde Laplace.
V x (Vó) = 0 . El rotacionatdcl gradientede / escero.
/ \\ ú11. V. (V x A) = O. La divergencia
del rotacionalde A escero.
/,t" tz.
Vx(Vx¡)
= VfV.al - V'e
parciales
continuas'
derivadas
En las fórmula9-12,sesuponeque { y A tiene4segundas
de referenciar¡z y
INYARIANZA. Conside¡emosdos sistenasde coordenadasrectangular€s
al
otro'
girado
uno
resp€cto
(figura adjunta) con el mismo origen O pero
con
Las coordenadasde un mismo punto P del espacio son (x, y, z) y (x' y' z') respectode cada uno
de los sist€mas.La,secuacionesde transformaciónde
unascoordenadas
en otrasson
l ¡x
(.¡)
+ l py
(', t , , )
+ l oz
l 2 1 x+ Ioy+ l r" z
\1 x + \ry+ 1" " ¿
los cosqnos
errdondeI*, j, k : l, 2, 3 representan
de .n,¡l y z
directoresde los ejesx'. y! y z' respecto
i
*,t \
t''
G..\
¡iL
.l\
t
I
CRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
5i los origenesde ambos sistemasde coordenadasno coinciden,las ecuaciones
de trans_
rul, u2
x'=
Itx
+ l pY
T'=
zt =
lnr
+ I22y + l,a z
1- lef + l¡¡z
lstr
+ l sz
* ai
,oL
+4
las coordenadasdel o¡igen O del sistemaxyz r.sqcto delx,y,z,.
nes de
.transformación(,1)definen.unarotaciónpura y las ecuaciones(2) una rotación
generalde un sólidortgido es una tiastaciOnieluiaa Oeuna rotación.
t¿s
3l):li-i"*.
mación
(1) se denomina
rambién trunErormaciónortogonal. una transfórrnaciónltñ;iü
* tadsformación afín.
ioi)
I'n es
t
1ñ
l/
:l^11y::9i "::it1
de,punro,o campoescalar4G,y,"), particularizada
en un punto
a¡r¡nlqo.Así.po;;je;p6.i;;;;;;;;;
A,i:1?^1191":l:-d",1":.g3lg.',"di'
z)o,(x',
di fo;,"
t,'..z')delmismo,
ffi;;
dy",i?i;,;;t;ñ;;;ffi;;
1.j":-"::lttotfrr,
d" coordenad¿s
(x;
y, lz) y.g,(x^,,
a remperatura
temperaru-ia
\:.f¡¿
det lnlrnó punto
! 9 \x ,y , y,,
z z,)r lla
:-",:
!T,f
.t . :
mi smo iúnto de
".
á" coordenal respecto de otro sistema de referencia, ó(x, y, z\ -_ ,f,(r' . l', * z') nécesariamenle. Si ie
''
retacionaáal'i,
ú(t,.y,)-: g'(x',y',2'\estando
í,i'y r'';:
ffit.iltTiltt:;::
(l)^oo (2),
tación (1)
(2.),la.función
y, z)
la función glx,
z't es
es tn invarianti
invarianti resf*io
óLx,y,
resrr.r:í.,d;
¿^"dicñtt;ansformación.
¡¡nr,o r¡qncfnm¡¡ix- por
D^.
!_+,rl,f
+ z't,
- lt
z2esinvarianrerespecto
de la transformación
dá rotación(1), ya q;; ;;+ t;+
""
Sogamente, una función vectorial de punto, o campo vectorial A(x, y, z) es vrL inva ante
A'(x' , y' , z'). Paraello es necesanoque
h¡- ;)
+ A2@,y,2)i + AsQ,y,z')tr, = A:e',,t',i)í + Alrfr',y',lli'+ l',1x,,¡,t¡tt'
A\(x,,y,z)i
cepltulos 7 y 8 veremos transformacionesmás generalesy ampliaremos los conccptos¿nteriores.
r puede.demoslrar
(problema4l) que et gradientede un campoescalarinvariante.. un *^odil inva¡ianterespectode las transformacione
s (./) o (2). Análopmente, la ¿iuergen"iav et r;añí"|
-rrmpo vcctorial invarianteson invariantesrespectode dicbal transformacionÁ.
.a
Proble¡nas resueltos
yx'
bdo
d(x,r,z) : 3xzy- y'2,, hatlar V ó (o glad d) en el punto (1, -2, -l).
vO = t3-i r5a j + !k\G,ry-7",,¡
o,
oy
oz
= t* o"'y -y ",'') + i ftol r- 1 3 , " ) + r , $ o , ' r - t " , r l
=
6'r i
+ (s'2 - 3f z2\i -
2y3zl
6(1)(-2)i + {¡(t)"-s(-z)'(-l)'h
- 12i- 9j- l6k
-
2(-2)3(-l)r
60
CRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL
2. D€mostr¿rque(o) v(F + d) : VF + Vc, (ó) V(FC) : .FVG + G VFsiendo.¡cyC funcionesescalares
vablesdex,¡yz.
(o )V (r+G)= rP ¡ r P¡ *3¡ lr ¡ r cl
o,
o.t
oz
;)
l;;(r+c)
+ Jú(F+G) + I
(F+C)
?:
¡$Ot *¡$**S*rF
oz
Aj
* rS.
rS
O,
Ot
rP
* ¡ $rOyuF
ox
(l+
Oz
)¡
+ i-
oz
ot
+k+)F
+l+
Oy
+
Oz
+ i-
).
ay
oz
).
+ k-
oz
rr3*¡P*¡3lc
oz
Oz
Oy
= v¡ + V c
= rP r *- d ¡ . pr ,lr ncl
(¿ )V (F G)
ot
oy
az
= P ," " t,
ox
+ Sr Fcl¡ + plr c¡ h
oy
oz
. r¡1G-cPr¡ * r ¡ S * c Pr ¡
Oy
oz
oz
Oy
= (F++ c g ) r
Qt
Ot
= ¡rS i - F ¡ - F r r ¡
o,
oy
+ c1$¡+$¡
ot
ol
oz
*$rr = rVc+
)
(ó)é=l
3, HallarVg siendo(¿) ó = fn I r l,
(a) t=rl+yt + zk.Entonces
lrl= y' * + y2+ " 2
y
cVF
ó= Ln lrl = irn(r'ry'*"'\.
!
= li tnp2 +y2+,2¡
ig
= á{rfr r^(x2
+r2+ 22,* l}n{,'.ty'rr") + t& n@'+y'+""\}
=
2'
!J,
z \r;;+ -./ 4..2
r¿l Ve = Vtlt
'
2y
l r\7+ 2,
,
2z
x rrrr-rtr" I t
=
xi,Jl:4
Zry4/,
¡
= Vt
= P {1,2+rt " ¿¡-tht,
r/_
V x _ +y - +z ,¡
1/2
= t&e. *yrr"")- t/z * 1fi¡"2+"t¡ r")-,/' , x!@z+rz+"2\= | I+ yz+ ," )' " h aj
l ¡" 2
_
-
-z l -y J -¿k
G2 +,/2 + 22\312
r jem os t r at que Yr
fr
tt
'i
_r
_
-
+ 1\-!62+ y2+ zr)-" /" zyj
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----
r-
-;
n
V G2 +y2 + z\n/2
*
v
.1 ,
-(t!
-
+ x{-}1,2+ y2+"r l- "/ '2"}
i]
{p " *y , *" r ¡ " / t
}
*
u! {a',r' ' "'r"/'¡
GRADIENTE,
DIVERGENCIA
Y ROTACIONAL
a:.+?-12+z\r/2-1uj
.;-,2.2 2\'t / 2' !
+ t!
kr
=
t :,'9-7 ,
+ ! llez +rz, *.,n¡z-, 4j
nr n- ' ,
+ ¡{\¡f
+y"r"")n/r-,2,}
+ zk)
4
qc si r : rr& sicndo r! un vecto¡ unitario en la dirección de r, entonces Vr¡ : ,r' -t ¡r.
lb
qE V { es un vector perpendiculara la superficiol(xy,z) : c, siendoc una consnnrc,
¡:
*,
b ic
Á * yi + zk el vcctor de posición de un punto genérico P(¡,Jr,z) de la superñcie. Entonc€s dr
- dzl ..At^ situado en el plano tangsnte a la superficie en P.
=
**
Ja. ch :0
-#*
=o
* # 0 " = o , o u ie n tSr *$ u r .r r ,t + d y!+ ¿ zk)
- ffr
de forma que V ó es perpendiculara dr y, por lo tanto, a la superficie.
: 4 en el punto (2, -2,3).
Ector unitario norm¿l a Ia superficiex'y l2xz
3t
:- 2xz) : (Zxy J 2z)l f ¡'J * 2¡k : -1i + 4i * 4k en el punto (2, -2,3).
lrÉorunitarionormalalasuperñcie = -{l!$.
r'e2f *G'f -Gf
u¡itario normal el*t-
= -1, *
*'r.
3
3
3
"
f. a" fo misma di¡eccióny de sentido contrario que el
?.| - I
h ecuación dol plano tangenle a la superficie2xz. -3xy
i (2xz' - 3xy -
4x\ : (/z' -
- 4x : 7 en el punto (1, -1, 2).
3v - 4) i -
3x I I 4xz k
a la superñciee¡rel punto (l, -1, 2) es 7i - ¡j + Af.
I¡ ccuaciónde un plano que pasapor un punto cuyo vector de posiciónes ro y es pefpendicular al a
I N es (¡ - ro) . N : 0. (C¿p. 2, Prob. 18.) Luego la ecuaciónpedida es
(xl + rl + zk)-(t-j
+ 2k)l'(7i- 3j * 8k) :6
7(x- r')-3r¿ + 1) + 8(z-2) :0.
a(x, y, z, y í(x * /x,y*Ay,z!/z)
las temperaturasen dos puntos muy próximos P(x,y,z) y
Ax, y{ Ay, z* Azl de una cierta región del espacio.
Lbrpretar flsicamente
la magnitud:y
c¡ ent¡elos puntosP y C.
Ealfar lim 4:!!
¿r_,¡ as
dó
-u e m os üarquc - ¿ :
ats
-
é(x+ ¿x' y+ Áv'Z! lzJ - óG'v'z)
siendo/sla distan-
e interDretarlo
fisicamente.
.. d r
ae'A
,
Como / ó esla variaciónde tomp€raturaentrelos puntosP y B, y /s esla distanciaentredichospuntos,
¿ó
por unidadde distanciaen la di¡eccióny sentidode P a 0.
repres€nta
la variaciónde temperatura
;:
GRADIENTE, DTVERGENCIA Y ROTACIONAL
(ó) S€g¡tn sc $tudis en dlculo diferencial,
Aó' O r=úr '+Ar
Oa
+ ir Ay + +A¿
+ infinitésimos
dcordonsuporiora &,$
y A"
aó&
?ó4,
.. Aó = .. aó4,
'iiE
'á;&
AToG A%tE
Por lo tanto,
dó
o bien,
ds
aé;dx+
<E
d3
aó dy
qf
d"
t
@dz
E;i]
¿ó
¡cpros€nt¡la v¡riación ds tmpcra¡¡ra con rcspcctoa [¡ dicb¡cb rl punto ¡ co
d,
sentfulohaci¿ O, S6 dmomin¿ taú¡bldfl dertvafu erccciotul dc í
aó
d,
,-, ¿ó _ aód, . dó¿f *. Éd4.¿z
4
dt
(")d"
d , = 6.aó.
6;d" * q i
; t + 6 t + t ' r ) ' ( ir + - t t + ' E r )
dz
v o¿a.+.
dt
dt
Como
osutr voctor u¡itario, VC'
A
¿
unit¿rio
es la compoocntsdo Vl oú¡l¿ dircetón dc
9. Demostrarquc la máxi¡u va¡i¡ción do L dBd€cir,l¡ derivad¿dfu¡ccion¡lnáxin¡, c i¡rnl al
y ti@o lugar co la dfurcciül do Gstowtor.
¿t*
Sogim
el problcma
8(c),#
: rl'fr
csh proi,eeióndÉVro L
+ . Bcts
máximacua¡do V I v
tcneafe nisoe dtuccción.Luegocl mÁrimo vslot *
f;
*
y
ción do Vl
su móduloos I Vl l.
10, Hallar la derivad¿ diroccional da ó
xlz
2l-t-2k.
j ó :
:
* 4xz' qt el punto (1, -2, -l)
* prodlp m
t
y €ú la dlrcoción y.¡,
9(x'yz * 4xz) : (Zryz + 4z)l + x'zi * (¡? | 8¡:)t
8l - t - 10Lon ol punto O, -2, -l).
El vector u¡itcrio Gola dircccióndc 2l - t - t es
=fr - á1tr - 5 r
l=
La derimda podfulacc
v{.r = ( s r - J - r ol) . ér - } r - r=z €
rl
Como c6tevalor €s positivo, C aumcolsen dicha dirección.
-+-+ - +
ll. (a) Halla¡ la di¡ecciónsog¡nla cua¡os máximala deriv¿dade la funclón C - rr y u¡ en ol punto
(á) ¿Cu¿tes el módulo do ostevalor máximo?
vl
: v(¡!z)
: --4i -,{
Segúacl problcma9,
Lryz'l I x'z'| * SxUz'L
+ l2l Gnol punto (2, l,-f).
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
L
-rirda
flo
cs máxima cn la direcciónvC : -4t-4t
dc €stc má¡ir¡o as lY-6¡ :1@lp¡llj2¡
d {ogu.loquefornanlassuperñcies
x'*r'*
E irüo
l¡ uoal
* l2k,
:lne
: n,zt.
y z: x' +),r_3
z.:9
en ot punto(2,_1,2).
que forman las superñcicsGnel punto escl quc formanlas normalesa las
superficiesen dicho
¿ x' + y, + z. : 9 cn ol punto (¿ -1, 2) c.3
V{r:
V(¡'ly't
z') : 2x i + 2y| + 22k : 4l - 2J+4t
l¡ oorm¿la z: x. I yr-3, o bien,.x' I y.-z
VC¡ : V(xr+ y,-z)
(Y¿r) .(V CJ
llV
:
2xl *2yl-L
:3
cn€l puntoe,_1,2\ es
: 4¡-2r-k
ó, I lV dr ! co¡i, siendod cl ángulo¡redido.Luego
({r- 2r+ 4L). (4i- 21-Lr : l4¡_2j + 4LI l4t_2!_L tcos0
16+4_4 : /1a¡rT@irT1a¡ lr(4¡r-@rT¡]I
-:
t
Llo
lñ
"
cos¿
t6 : s\/A :
--630,5E19;cl ánguloagudoos 0 : a¡scos0,5819: 54o35,.
p(¡, /, z). Demostrar
l-h disranciadesdcun nqqto
$o- l(a,: á_,c) a otro cualquie¡a
euc vf, ¿5r¡¡ryccle¡
E cfl la du€ccióhy scntÍdodc
AP R.
lEt¿y
ffirT":
rp son los v€ctorcsdc posicióa a|]- b!I
t-.,
ct y ¡llfi
+zkde
A y p respectivamente
: (x-a)l +Cy-ó)j * (z-c) L,dsformaquex
: y'[-l;J$=
v¡r : v(y'G-¿FTT=D;+(¿=¡1:
(¡-a)l
f (y-á)l
* (z-c)k
(x--q>'+bt-b). + (z- cf
6¡.1-[:J¡,
R
i
r Ector uritario en l¿ diroccióny sentidode R,
t u¡ punto genérico dc una clipsc cuyos focos son lo3 puntos A y B, coÍp so ropr€scnta cn la ñcuraBl¡ar que las r€ctas ,lP y '8P forman ángulos igualcs con la t¿ngentea la otips€cn ci punto p.
ScanRr : AIt y & : BP los vcctoresqueuncn,rcsp€cmtg los focosI y .Bcon cl punto P de la olipsoy T ol
tang8nte unitario a la olipsc on dicho punto.
Como la clipso es cl lugar g3ométdco dc los puntos p
suma dc distancias a los dos focos fijos zf y I es cons,, l¡ ocuación dc dicha curva ca Rr + & : r.
Scaúnol problema5, V(& + ¡J cs normsl a la clipso,
r [V(Xr+ n )1.T : 0, catocs,(V&). T : -(VXJ .T.
Como VrRry V& son vectorosunit¿rios en las direc-
(problem¿ l3), ol cosono
dc Rr y Rh respectivamentc,
ü ánguloformadopor V& y T osigual al cosenodel ángulo
hsdo por VXr y -T y, po¡ lo tanto,dichosángulosson
-lcs.
quc so trat¡ dc rayos luminosos
_ El probl€ña admitc una intcrpretación fftica, Podemos ir¡¡gin¡¡q3
. & ondas sonor¿s quc pafcn dc I, por cjr:mplo, y quo al llcgar a la elipse se reflcjan pasan-dopor B.
--GRADIENTE. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
DIVERGENCIA
15. Siendo A = r2z l -
v.e = r$r
+ ry2zl,
4t"'!
*
- $r
(div. A) en cl punto (l, -1, l).
hallarV.A
zysz2
! + xy2zr¡
$.1. lx2zr-
= ?a+¡ * P<-u"*>, ?eyo,\
ot
O,
Of
6y222+ *.y2 =
= ztz -
= -3
2q¡'¡11¡
- 6(-1)2(1)2+ (t)<-rf
en(1.-1,1),
t6. sieridoó = L""y'"o, (c) H¿lhrV'Vd (diverld C).^,
.\2
12
el operadorLaplaciano
siendo V' =
(ó) Demostrar
que V.9ó=9'ó,
# - # - #
(¿) Vó = | ? efy2"a\ + t ? eéfAt
+ | !@sf
dz ü- d z
=
+
&212¿ol
4rty"t I
g"3y2"31
+
= (;zZr * 3¡,
ot
Lu€go v'v9
4',
(uny'"ot + 4xsrza
! ! gxs!2z'tt)
?t).
oz
= ! 6"\",.1 + J 1l/7.n¡ * 9re/1,"1
7z'
a"'- '
4'
=
)
L?,2r2¿1 +
)
)
qr3z4
A.A
(ó) V.Vé = 1l I + -Y¡ + irl.
o,
oy
oz
+
24rs12"2
¡.^
+ i!¡
1{Ll
oz
oy
a.A
+ {f.r¡
o2
a aó
¿ aó
a ¿ó
a"ó
¿"ó
¿'ó
?¡' E¡ '
7y'7y '
2z'72 '
7r2
7y"
722
= 13* !=,!=,,ó = V"O
ü
dt'
dz'
= o.
1?. Demostrarque Vtf
ll
=
v"111
,' - \,4-4*É-,,
---1
¿x2
dz,'\/F+r2+
U2
1
.3-,
¿;/,\\?'
d,
,, =
I
¿'2'!Q;/l/'
'
=
{Í-,
=
Análoganente,
!F'+f
2'
+?)'t/" = -'(,2 +r2+
'2)-sh
1"2+ y' +
"t¡-shf
3st1f +,f +*f6/2
-
1tz+rz 1"27-s/2
2.t-!' ' f
(r2+ 12+ 22\6/2
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
?" ,
l
., =
q'y'r2+f2+22'
?' ,
I
, d22'y'r2+12+22'
4 ' -rt-i
.,
'
@2+,2 +22)6y'2
12
65
222-¡2-12
@2+!2 +.\*
12
^2
*
r j-tJ{ * ¿*
t r y'r2
I = o.
--9-q'
óz' -==-!+t2 +¿2
lhndo,
I¡ cq¡ación
Y'ó
= O eellañr, ecuación de Laptace.*
dr9d¡uequo C :
l/r cs un¿ solución dc cst¿
)(
: (d) V.(A+B) = V.A + V.B
Y (ó) v. (óA) = (vél.e + é(V.a).
¡rA
= ,{1t + A2t + asl,
B = 811 + 82t + 83t.
V.(¡+¡l = t$i *
E¡ronces
$t
*
$rl
. [r4*4¡r + (4+B)t + 1,r"+8")rJ
=
+-zU(4+B)*
5;(4+81)
É14*41
¿a, aA" aa" aB. ¿8"
= - = - *r - < .r - ¡ - f= - :f- - - r
O,
= tf t +
Ot
üJ
Oz
+
Ox
3&
?:
Oy
+r2l +4r)
;;r).(,{1r
* <$t *
$r
*
+B2t+4"r)
$tl.<r,t
= V.e + V.¡
I-{o^) = V.(eAl + óAd + ó/ry3r¡)
=
^/
* fr<ót"t/
*,*n¡ + &@A"\
aó
*Ar
* a. ¿A^ aó
¿ ; 'T A r'
. dA^ aó
/s
QÉ *
,¿A-
+ 9-<r
-:
p n , *p- ^. *pr " * or **
ox,
oy
,P
t. P
,
ot
oy
?,t, * ?,{".,
oz
ot
2z'
4
))
*p*¡.1r,+
, a 2 t + ,.,r
+ \{ 1 it + i¡
o2
or
o1
+
air¡.1t¡
1V¿;.e + @1V.e1
Sean@= r-o
A : r €n ol rssult¿dodel probl€ria 18(á).
"
EatoncesV.(¡-3r) = (Vr-").r + 1r-3¡V.r
= - 3¡-6¡) i- + 3¡-3 = 0 ,
Gncu€nt! cl probleo¿ ,t,
ta.¡úendo
+ e! + Asli)
t-- --66
GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTACIONAL
2 0 . D e mo s tra q
r u e Y -Q Y V
-V V U \
Del problemal8(ó),siendoó:
= U fV
U y ¡:
-
V V'U.
Yv,
g.tu Y v l = lV y ¡. 1 V r¡ + u (Y . Y v ¡ = 1 Y u ¡. q Y v+¡ u g 2v
IJ porV seobtieneV.ltzVul = tVyl.fVUi + Vi't).
Cambiando
Restando,
Y.gugv¡ - V.trVul = V.eVv -vVU\
= (V u l. rV rl * UY 2 V = uV"v - v Y'u
lq Y v ¡ ' 1 Y u+¡v 9 2 u l
2t. Soay(¡, /, z) la velocidadde un punto cualquierade un ñuido. Demostrar quo el volumen de fluido
por unidad de volumen y d6 tiempo a través de las superñcies de un paralelepípedo slement¿l dc
en el punto P(¡, /, z) y aristas paralelas a los ejes coordenados, de dimensiones /x, Ay, /2, víene dado,
ximadamentg por div v : V.v.
R€firiéndonos a la figu¡a, se tiene,
componente x de la velocidad y en P
I
II
componcnte ¡ de y cn el centro de ¡¿ cara AFED :
componente¡ doy en el cenhode la car¿C.ilfCB :
v, -
u, +
! *
zo'
1
i
2v-
fi
Z-,
^oro*.
Ax a?tox.
Por lo tanto, (1) votumende fluido que atravi€sa,4FEDpor unidadde tiemp : <",| !
"
(2) volumendc fluido queatnviesa G¡ICB por unidadde tiemp" : (r,+
+ fi
Ul
or¡ O,
IncrerDsntode volumenpor unidadde tiompo en la dirección¡ : (2) -(1) :
#
Análogamente,incremcntode volumenpor unidad de tiempo on la direcrióny :
incremento
de volumenpor unidadde tiempoen la dírección
":
ff
ff
lx ly lz
U zy z,
z, zt 2".
El ioc¡ernto total d€ volumen por unidad de volumen y de tiempo es
:diYv: V. v
O,
GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL
6?
Eftado
€s exacto únicamentg en el límite, es decir, cuando el paralelepípedo s€ considora cada vez
.ñoo tend¡endohacia ol punto ¿ o lo que es igual, cuando A¡, ly y Áz tienden a cero. Si no hay
t
de fluido en punto alguno se verinca que V .v - 0. Esta €cuaciónrecibeel nombre de ecuación
de un fluido incompresible.Como no se origina ni desaparece
fluido en ningún punto, dircmos
aa¡t€n fu€ntes ni sumid€ros. Un vector v o un campo vectorial de divergencia nula * llaf a solerroidql-
la constantea de forma que el vector v : (¡ * 3y) i + (t-Zzli
"u)
+ (¡ + ¿z) k seasol€noidal.
A
--.-{*^"-J-(
Un ve4tor V es sol€noidalsi su divergenciaes cero (problema 2l).
I
\.
A
--)
\r\',
t'dado,
-l
= ¡zs i -
rot A ) en el punto (1, .1, l ).
fu " y " ! + z y z a h ,, b a l l a rVxA (o
V' e = t$ i
x(xzsr- 24r zl+ 2yz4r \
- f,r'S *t
j
t
¿
a
dr
ly
a
&
l
3
-2"'y
zyr"
"
,*,-*r"r-
- +t2r"\lr
l+@"1 - !<-23y"¡lt + li1rz3¡
oz
oz
Oy
(2za + ?j2!)i
ffudo A:
x2y| -
r ot r o tA :
+ 3,22 ! -
=
4tyzk
$t'*rlt
st ( 1i-1, 1) .
3t + 4¡
2xzl + 2yzk, hzllat rotrotA.
V x q Vx e ¡
IJ I
Áx\ Ay
av,
=:' Ax
'
'i ' Ó
V"V "
lido quc
rtal dc
ax)
\
= Vx
¿a¿
?¡
*y
¿y
7z
- 2.xz
2!,
= Y x l gvt+ 22y1- (t2+ 2zl t)
I
AyZz
*,,,oa'"ra,r",Qll Vx(A+B) = VxA +VxB
+ é(VxA).
Vx(óA) = (Ve)
"A
'3t¡r
J
T
a
a
a
E¡
7y
é"
0
-u" - 2"
= (zr +2)t
GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL
(a ) S € a nA = A1I+ A 2t r l 3k, B = B J+ 82! + B sk,
vx (A+B) = r$r *
f,i - a3nl
E trtonces:
x [(,{r+81)r
+ (A2+B)t+ (,{s+as)k]
¡
j
k
a
a,
a
4
¿
¿,
A r+Bt
Az+8,
As+Bo
ti(i{"+8") - : (A"+B"\JI
ot
óz ' '
* [J1,r,na,¡
- - Ptr"*at]¡
"
oz or + L":,<,tr+sS-
= f4! - dA'1,
'
oy
Az
194:dz
f E & _ a t rl,
'ar - ¿,'''
*
*t,.
or
*
ü
(,41+Bl)l
r
r*-l!t*
ó,
óy
a 8 3 r,
tra
a ,8 l _
a,t''
?8r].
,Ld¡ B
; -"- a - J k
= V*¡ + Vxn
1a¡Vx1óe¡ = Y x qgArt + óA2, + ó4k)
l
J}
aa
a/
¿
a"
óA,
¿"
óa,
óA.
tfi<o+t
-$,oAt, + t]@e,t-Sró+r]i. tlo+, -
tó +.!n " - o Y of
ó,
az
dz
óz
dt
* 134^
o tr*oy - *r,
óz
d¿'
* [rP¿"
*
- Pr"r,
oy
oz
tJ
= SlV x e ¡ +
aé
aó
Ez
¿y
¿"
Ar
A2
= ó(Vx A) + (V é l
\L.-
l
¿ó
' e.
$<
GRADIENTE, D¡VERGENCIA Y ROTACIONAL
69
V.lAx r¡ sabiendoque Vx A = 0.
. l = lit
h
+ A 2 t + As l , | = tl
+ y t + zL.
tJt
Ar
baxr=
A2
As
x lz
=
V . 1l r r ¡ =
(zA2- !Ae\l
- rAs\ +
fi(zAz
Ot
¿a"
o!
f,ot"-"^,t
¿A"
¿A"
+ r -{/-Ot
et
¿A"
z --,(-
(xAs- zATll + (fAt - ¡.A'.\l
+
¿A.
- = -)
oz
¿A,
+ t(:{i
oz
!|t,-'t,t
¿A, + a,{.
t -<- oz
r.(V x A) = r. rot A.
da"
¿A"
+
<=)
ot
z ( =i
ot
Si VxA=¡
"¡
v x(+t+=,
O,
¡¡ V ' 1V6¡
)
Oy
-
¡=oz
a,t.
---:)
o!
-
¿As. .
?¡,
,¿A2
+ {=-=
- =o,
óx
ot
--:)J
)rl
r€sult¿do€s cero.
v .Q\
f
\-)
(ó) V .(V xA )
(rotera;\\=0),
=0
(di vrotA zó).
,,,
\
* p .l
¿A-
.=o1
¿A2. ,
.dh
+ (=i
- =-)l
02
oa
r , ¿h
t(-ot
[rl + ¡J + rI]'
-
+
I
l,
d
7r
¿,
¿"
aó
aó
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ir
¿r
?¿
a r Á a A.ñ .
ó) J,
, + .e
= .La+ (a- ó) .- +a( +¿)ól r' . + .a
Loz+ (a
+ó) - +ota (a=
[:(
+ ) - :(
=ót) l r
(,
o! oz
oz o!
ot
oz
ó, óy
12,
= (:g - j4rt
Oy Oz
Oz Oy
Toni€ndo
^2,
n2,
\2,
^2
=o
* 1=!f-- 39r¡ * 1.j€
- 39r¡
Oz Oa,
Ox Oz
dx (,
Ol dt
- 2,
que C tiene segundasdo¡ivadas parciales continuas, con lo cual-cl ord€n de la derivación cs indifc-
-r|G,
¡
el V'(Vxrl = V .
aa
a
7r
at
7z
AL
A2
as
AA,
v.tr*Of - *rr
Oa
=
¿a.
¿ a/.
------= ----a \
-a
?r'E 7
-
?¡ '
oz
+
a . at1
qdz
¿a"
-É)¡
?,iu.
-E'
+(
}tn _ é,t,
a,
d1
d ,¿a2
oz
-r=-
oz
-
)rl
7t,
4,
/---
70
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
12_
oA a
-2.
ó4"
-2
dA ,
^2
óA -
^2
dA -
\2,
o A.
¿r ar,
?¡ ?z
¿y¿,
}1 ?r
?z ?r
?"8
suponiendoque A tiene scgundasderivadasparcialescontinuas.
Obsérvese la semejanza entre el rosultado anterior y cl de (C x Cr) : (C X C) m : 0, siendo
e s c a l a ryC ' (C ¡ A ) :(C x C )' A :0.
28. Hallar rot (r/(¡)) siendo/(r) derivable.
rot (; /(¡)) = V x (¡ /(¡))
V x (x/(r)f + t IO)l + z l (t)l \
tJr
aaa
? ¡4 7 2
rl(t)
z f(,',
t lO\
¡f
= (z l-l+
)l ^Í
oy
oz
>f
>t
oz
o7.
* (' + -¿ + )J
={}c.a;p,
e,,o
fl =,9.¡,$r
f 'v
= !¡
= Vt
f 'z
a
¿a
7z
7y
7"
A2
Ag
+ ("+f 'z -
| ,¿A s
ol
- Tóz' ) r * *02- 1! ,ot, .
I
j
I 'x
"+\t
I
a
a
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dA,
¿"
¿z
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7A"
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a . a,{1
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ot
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Zx"'
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Ot
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. r3, * - ! 4-",
- 3, * - *, 1.
r
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l ',
l ''
+ (f t---:'+)l
r *ot- 1lrotr r l
?¡
7A,
;'
oy
jL
I
Vx 1Vx¡¡
ot
- v'n + v(v' A ) .
=
29. Demostrarque V x 1V x ¡¡
>r
I-:.4n6¡o*n"n"X=+
=
tX.
+,4,",,,=
Porfotanto,l resultado
es,=(,+-tllt
*
)f
+ (/ : : -' : 1 )L
Oz
O,
Oj
Ol
dz
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
. ",*-fuu,
,-"+
-"#,,
-*,.
"*
.
t
,{*,fu"^r, ,!,.#r,, - ,34.,.,
'*"r,
,-#-*-#,,.,-'S
* $,,,,$-*-".4,,
.,*.*,*,, .,$.*-*,,,,*',*,*,,
a2
-2
- r*.
12
+
*+, #\(A;t
+ A2!+ Asr)
,'*,#.*.*, - ,E3.*
-"#,*,.**,*,"#."#,
-v"e * v1$
ox
*,
ol
oz
-.*.
= -V'e + V(V.r)
t¡
quiero simplificar la escritura, se puede operar solaÍronte con la componente i y d€ducir luego las otras
smcmalt.
El resultado también se exp¡Esacono c¡r el problom¿ 47 (a) del Cap. 2, de la forma siguienG:
= B(A ' c) -
a x (Bx c )
r¡l
y
A = 3= !
L i :l do
(A ' B )c
¿ = ¡,
Vx ¡px¡¡ = VrV.rl - 1V.V¡r = VlV'r¡ - fr
que la fórmula (1) so tiene que escribir de forma que los op€radoresA y B p¡ecedan al op€rando C
tEveso
¡odo
v =arx¡,
r ot r
d€mosüar qu6 ¿¡ = | rotv siendo(,, un vcctor constante.
= V x v \=
"'li');)'
V x (¿ rx r)
-- i t f1<,t2"-@sy\i
+ (oú -@2'\lf
+ (.¿st -@tzr!
r¡t
@22
?
d
ó
?¡
dy
-
QAI
Q) gt
-
( D!z
-:-
éz
O) Lf
-
a¿ 2t
-
2(<D1l + (¿2t + .¿slf,'t =
20, .
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
72
Po r l o ta n to , o :
¡V x Y :
l rotv.
como vercnos
de un campo vectorial confierc ¿ éste propiedades dc una rotación'
El ¡otacional
'ii
porci€nplo,un¿ru(
erl
movimicnto,
nuido
un
d€
aJ
,.to"idados
üiüñno.
cup.?.
"i del mismó' tiende a girar en las reSioncsen las qu€ rot F .* 0' m¡
se sirúe en ¿iwrsos puntás
Dalerasque"iáñpá-r
'". ri tiii':'o
¿.n orruú lrrotscional' Un campo no imotacional¡6
no hay rotación v ii"".pJFé
rotacional o de tóúices.
=
Vx (Vxn) = o.',*,
Aniilosam€nte,
$<vxo
=
*.*'
" -#
4
* y Ñ1 a t = - f n .
pe¡eV x1V x ü ). - f n
L u c g o f n= S .
',
I¡s €cuacioncsdadas son las ¿caqclotw de Mqxwell & Ie t@rlt elecúonsgnética. la
^2
-2
9r
se lama ecuaclónd¿ ondas.
?c2
^2
^2
9r+9!+9!=
122
¿t2 V
PROBLEMAS DIVERSOS.
4' ó' ¿ de
32. (¿) Un vector V s€llama irrotacionalsi rot V : 0 (probloma3O)' Hallar las constantes
v : (x + 2y+ az,| + (bx- 3y- z)| 4 (4x+ cv+ 2z)lr.L-0 t t Oi u Ol
sea irrotacional.
(¿) Demostr¿r qus v se puede expresar cotno el gndicntc de una función esc¿lar'
(a) rot V
= VxV
I
,
¡
dx,
q
oz
a.
!
,+ 2! + az
4E + cY + 22
tz-v1]
El rotacional6s ccro para ¿.4, ü = 2, c = -1, de donde
A 2 @ + 2t + 42\l + (A -3f -.tt
(ó)supongamos
v = V@.
Entonccs,
(r) :{=
ót
= (c + l )t + 1a- 4) J
Cv \ á -
^ t.
^
ü :'¿
4',
b-"
+ (* t-l
'¡ s'l
+ 22)l
$t - $r -$.
'+zf
+az, (21
da
¿t-
.
r , - 3 f 'd z- 2 ,
(3) =
= 4 t- f
Integrando(,t) parcialmcnterespeatode ¡, pcrmaneciendo/ y z comtantos,
(4),
=
ó = + + b! + 4rz+ l(y,z)
e <4 y Q)'
sicndo/(/, z) una fu¡¡ción arbitraria d€ y y z. Análog;amente,
a.
+2 2 .
(ü:
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
ceDarando
r = o, - 4
-
ó = 4 z z -y z
+ 22 + h (r,t).
fz
+ t@i)
(l), (J) y (ó) se deduce que hay un valor
común de C si s€.to¡nan
¡ 1y,"¡= -{,
= ( +¿2,
s1z,z¡
"',
t t n , rl = $ -{
,t'=n-Frf*Lxr+4zz
-rz
' x 2w2: ,
I
que
Et¡ese
tamb¡én se puede sumar a d una consla¡te. En general,si V x :0,
v
antoncess€ puodc
ts c de forma que v : vd. un campo vectoriat v que aerlva áe oiio
escatar d, tal que y : vó. sc
ca,rpo
a
vectori.tl co,sertqdor, si€ndo d el potencial escalar, Recfprocamenó,
ii ; :;;,
. r:0
( pr oblema2 7 4 ).
"*Jil:
trar que si ,, (x, y, z) es una solución de la ecuaciónde Laplace, V
C define un campo vectorial sole_
e irrotacional.
¡or hipótesis, d satisfacsa la ecuación de L¿place V,d :0,
rs rclenoidal(problemas2l y 23).
Del problema 27a, V x (i ó):
es dcc¡r, v,.(vC) : O y, por lo tanto,
0, con lo que V d es irrotacional.
V,l,
una gosible detinición de grad B.
SuponiendoB:^Bri+&i+13k,
o
la expresiónde grad B vi€nedad¿por
v" = ,*r *
$r
*
+
$.r rr,, B?,+ Ber)
= *t, * P,,
o,
or
* Pot ¡ , oP,,
* P¿t r.
0!
* $ . , *$ . r *$ . .
I-as.expresiones
i i, i i, etc., se llaman diadas zzrlarr?rs.(Obsérvesequ€ ¡ i, por ej€mplo, no es Io mismo
ji). Una expresión
de la forma
orJÍl + ar2lt + d$l¡
*#y"
+ a21tl + aelt
+ az'll + odll
siendosus componentes
los co€ficientes
o¡, on¡...
+ ¿salJ + o$l¡
Disponiendolas nuevecomponentes
(;z;)
&rma una matriz cúadrada de tercer orden, 3 x.3. Er conceptode diada
es una generalizacióndel conD de vector. Una
posterior nos lleva a las t)¡odo, qu"
-generalización
;;¡*it*:LhjJ.;,if*."{;i$h[;rnm#.*nlis#}:-3*:'#:
y ROTACIONAL
GRADIENTE, DMRCENCIA
i
35. Sea A un vector deñnido por A :,4, i + A"j + A.k y O una diada dada por
o :
¿ rri i + a - i j + at3i k * ¿¡¡i i * aoj j + d-i k
+ a3,k¡ + a3!k¡ + ¿,skk
Obtener una posible definición d€ A.o.
Suponiendoque sa cumpl€ la propiedad distributiva,
A ' o : (, { , i + , 4 , i + A "k ) . o : , 4 , i. o + A , i. q + l3 k .o
consideremos,por ejempro,el producto i 'o. se forma efectuandolos productosescalaresde i
uno de los términos de ,iD,surnandoluego los resultadosparcialesobtenidoi. Algunos de estostérn
i .a ,i i ,
i ,a ," i i , i .ani t, i ' a* kj ,
ei c. Teni endoen i uenta oue
l .o11l l
= al l (¡.i )t
= o11t
yaque l .l
= I
I ,oetJ
= a12C .tri
= arpl
ya que l . |
l .c21j l
= aa(t.r)i
yaque t.J
t.q2l J
= csr(t.k)j
= 0
= 0
= i
=0
yaque t.I
= 0
y damos una inúerpretaciónanáloga a los términos de
J.rD y
A.O
I..D,se obtiene
= ?41(a11t
+ ¿12J + a13k) + A i @ 2:i + a,zt+
k) + ,4s(as1
t+ as2 J+063k)
= (A1a!r+ A2d2r+Asoar]t
+
(A1ab+
|
A2dz + Ards2)t + (Aaqr+ A2a2.+Aa
que €s un vector.
36. (a) Interprctar et sírnboloA 'V. (ó) f)ar
.v) B. (c)
¿Sepuedeescribir la
_ur posiblesignificadode (A
sión antc¡ior de la forma A.V B sin ambigiiedad
algiina?
(a) s€a a = A1l + A2i + l¡1.
Tend¡emos,formalmente.
A,9 = e1t + A2!+ Asll' t.tr 3i
¡
-dx
+
A-:
+
oy
$r .$r r
A^ -:oz
que 9s un operador. Por ejemplo,
aó
a + a
t¡'V l ó = ¿¡
@
'"' .3*
a, '" t
's;,)
+ Az
¿ó
aó
¿r
Obsérveseque €sto es lo mismo que A ,Vó.
(á) Sustituyendo
en (a) / por B = Br | + B2J+ Bsk,
= tt¡a * erJ * ¡"P)s = ,r1E ., lr$ * ,1"$
(A.V)B
oy
oz
o,
oy
= (,{,
''o'*'
oz
¿8.
aB"
¿B^ 78,. .
arg
.. aas
. A"yL
' d y * ,r" a . lt ' (A ' ¿ : + 4 2¿ ; * 4 " É )t * t A ' 5 i * A 2 i " + A 3
(c) Tenie¡do,en cue¡ra la interpretacióndo V B dada en el problema
34 y, de acuerdo con el
estabtecldoen el problema 35,
l.
A-Va
=
( A1l + A 2 ! 1 1 3 ¡ ) . V B
=
ALt.VB + lal .Vs
,,,p , rP, . P*, * n,,!,*f;, .
ot
o,
d,
+ .{st.Vs
fu, * ¡"r*r- *, - *
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
que el. mismo resultado que el del ¿partado (ó). se deduceque (A .v) B : A .v B
sin lugar a ambi_es_
güedad siempre qu€ el concepto de diadica se considerecon las propiedadesindicadas. -
!tuido A = 2.yzi - Éyi
.) (A ' V ) ó,
B = x2i + yzj -
+ r*k,
( ó) A .Vé ,
(c ) (B.V )a ,
y
xyk
(d ) (AxV )O,
>
a
_,,--l
,"2?, er)r.)
dz
zy,{(z,ty'.)
/ Yz ( 4( ) ¿'
u *v
u"{<N'y,"¡ - *'y}e"2y""¡ t','jtaT""\
(2yzl(4tyz3\
23\
¡x2y¡12t2
-
+
hallar
@ ) A xV é,.
r¡ 1n.V¡@= lqzyz
| - t2y! + ..z2r¡.rPr * 3¡ * SrtlO
ot
of
oz
= ( 2r " ;-* t;.
ó = 2-"y"",
(x.z2116¡fz2\
B"y""t - 2aoy "s + 5"t y "o
n . 9 E = ¡ z yzI
- x.y!+,,'r.l. rP r . p ¡ * $*,
ó,
óy
dz
=
\(2rz t -
=
ú!2za
x2y¡ + zz2\).(4"231
-
+
2"ayz3
+ 2r2r31+ gr2yz2h¡
6x3y"4
Comparaodo con (a) se d€duce que
. ) G. V) A = l 1 ' 2r + yz! -,rkr.t3 r
Ox
=
(.rc- <7- + fz \ a -rl ^ )^a .ot
oy
oz
=
, 2( - L .y i + z 2¡¡
=
(2122- 2ry'\l
* P ¡ * lr lln
Oy
Oz
,?¡
= ¡-ox
+ y z (z z l - x 2t \
-
= A.Vó.
(A.V)d
(2.rsy+ íy{!
+ t¿-aA ol
-
E¡
ty_
oz
,l (zy i + 2j rk)
+ 1}22 - zz2yz¡l
Para la comprobacióncon B'VA, ver€l problema36(c).
er ¡¡xV¡@= l¡zyzr
- *yt , "",r¡,qlL * $i * SrrlO
k
4z
-;r
aa
a
¿r
¿"
a1
_11
Li(-*y+
- """+)
oz
oy
- aó
¡1",2i - zyzil
Or
Oz
2.r.
1x z 2{
oz
^aó
+ x.¿'--)l
- (x'y i'
oz
oy
- ( &tay2r2 + 2¡3zE)l
+
( 4x2yz5 -
).A
z y z {¡ ¡
oz
t2t2y2zs ¡ 1
r(2 y z + + f y * lQ
oy
Ot
aó ^aó
(2yz-+ fy =¡'¡k
o1
oz
f t'rrt +
$r
GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL
)
(€)A x v O - el z i- x 2 r t + , 2 2 h ) " r f f r
-$t -S*l
I
J
l
2
4z
2
-r t
aó
¿O
?4
éy
(-,,
=
aó
oz
-
dz
^aó
('"'# - zy"!n * tzy"4",
* *y4"tt
- ¡z''-.- ) I
o,
- (6zaf z2 + zt3z6)t
Comparando
+
( 4z2yz6 -
con (y') rasult¡ quc
l2?y223¡¡
+
( 4x2yza + 423/2zl\h
(AxV)ó = AxVé.
ITWARIANZA
38. Deducir las ecuacionesde transformaciónde las coo¡denadasde un punto cuando los ejes;r, y, z, del
r€ctangularal que está referido giran, respectodel origen, hasta li posición x,,y',2,.
Seanr y,r' los vectoresde posiciónde un punto cualquierap en ambos sistemas(6gura de la página
^
Como
r : r',
(i )
t' t'
z' ht = tt
+ y' 1' +
+ yl + zy
Para todo vector A s€ verifrca (problema 20, Cap. 2),
a = (A .t' )t'
Hac¡endoA : i. i, k, succsivamente
= tt.llt'
= rt.t'ti
= (¡.1)f
( |
t
{
( r
(2\
+ (A ,j ' )i '
+ (A .k,) k,
+ (t.J')J' + (l.k')h' = t11i, + t21i' +
h! k'
* rJ.¡'lJ' + (j.L')k' = ter' + ¡n 1' + ts2k'
* (k.J')j' + (¡.I,)k, = hsi, + taf, + qBk'
Sustituyendolas €cuaciones(2) en (,t) e igualandolos coeficientesde i,, j,, k, se obtiene
(3 )
x'=
l ::x t' l p!
t l tsz,
f' =
l zú + l zy + LB z,
2t = l .1x + tg¿y + Lesz
que son las ccuacionesde transformaciónp€d¡das,
3!). flemostrar que
i' = lrr i + lpi
J'=
+ 4gk
l 2\l + 122i + hsk
k ' = J sri + l s2i + h3k
Pararodo vectorA s€verifica A:
(A,i)t + (A.J)J + (A.t)k.
Hacie¡do A : i', i', L, sucesiva¡Dente
I'
{
I'
= (l ' . i ) l
= (i'. i) t
= (i ' . i ) i
= lúl + lr-! + ¿sh
= h\t + b2i + t'€,
+ (k'¡.l)I = ¡slt + ¿s2J+ bol
+ (1.J) j
-t
+ (i', i) i
+ (I1j ) j
+ (j"r)r
(r1¡)t
GRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
*
b
t tr,,,hr:
lsim:z,y0si¿r
tomaruno cualquiora
dc los valo* n,endon&my npueden
c¡¡¡acionos (2) del proble¡n¿ 3E,
=
t.t
r
= l tl l t' + ¿ r.¡' +
2 ,' !r'a22 L lL Al,2
= 0
f.,
!st' ).
= (¿sl'+ ¡rn¡'+.tutr'¡ . (tpl' + trr.!' + ls2l')
= hrl,e + lá12
l.l
(& 1t¡ + ¿21r'+ ¿s1l ' )
,2
+ hTla
= 0 = (Lll'+ 4oJ'+ hr'). {rtgf + toJ'+ 6er')
= !1Is + lalzs + lsLls
y k'k seobtiono
la demos-
&rostrado6n cl casodc rn: l. Considcrandot'l,l'l'l'k'k'l'k'¡
É$
m:2
Eirndo
ó-
Y m :3 .
( l ¡i ¡r:tt ''
--cl tlcultado sc pu€dc Gccribir t
|
t-l
I O s i m* ¡
:
lñIto:A'.'
E slmbolo ó,o¡ sc donomina deltq d2 Krcneck.r.
l(¡, & z) u¡ csc¿la¡invari¿ntcrcspcctoile una ror¡ción do e!:q demotrar quc Srsd C os u[ vcctor
rtc Ést Ér-todGcata transforünción.
Por hipótcsis,6@,y,2'):
4'@',v', z)' Ten€tnosquc dcmostrarquc
= Sr'P,l
. Sr'
* P.
P,Pr
or
oz
oz
ot
ot
oy
do transfoÚación (3) del problcma 38, !c obtis¡e
Dcdvando y t nimdo on c-r¡entslos ccr¡acio¡res
aó
?,
'
aó'&'
Eó',a,',
+
=-;
Ót
dz
--
<Oy' Ót
-'t
ú' d'
@ = aó' ar'
Ar
* ¿t'8t.
aé
aó'ar' aó'ay'
E¡ -
é"t 1,
?t' E¡
+
?ó'?.'
.-liOz Oa
=
¿d'.
<-¿f
ot
+
aó'.
iJ,21
oY
+
ad.
i r-hl
oz
ad.
?ó' ?r' = ad . t aó'.
a " ' 4 ' ? 4 ' * ' ; jt u
¿/6
?ó'?.' = aó'. + ú'.lze + aó'.
¿sg
?"' ?,
i- he
ot
i
or
02
--
por t, L L Fapcctiv¿mte, sumsndoy tenicndoo crmta sl pfoblcm¡ 39, so
Xu¡t¡plic0ndo€sta! ccuacionca
ótiono ol rcaultsdo pcdido.
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
78
Problemae propuestos
42. Siendoó : 2xz.- x,y,hallarVCy lV{ lenelpunto(2,-2, -l).
So/. lOi- 4J- l6k, 21l 93
43. SiendoA : 2x, i - 3yzi + xz, k y 6:22-x.y,
hallarA.V ó y A x VC en ol punto(1,
.5o1 5,7i-i-tlk
,14.SiendoF: x,z I
y G :22,y - xy', hallar: (a) V(F + c) y (ó) v(¡C) en cl punto (1,
,9¿l (a) --4¡ + 9i "ttx
+ k, (ó) -8j
_
45. H¿llarV lr I¡.
Sol. 3rr
f'ír\r
46. Demostrarque Vf(r) : Li-.
47.Harrar
v p,"-tl,
,..
48. Siendo gU :2r'r,
+
Sol. (6 - 2t - 't' - 2r'-tt') r
fi\.
hallar U.
49. Hallar C(/)deformaeue Vd :
Sol. ¡./s + constante
:
,.j v d(l) O.
Sol. ó(r)- + (t - +)
50. Hallar V,p siendo9 : @, * t, ¡ 2t¡¿-l7i7l7
,
Sol, (2 - r) e-, r
q\e {(1,--2,2):4.
51. SiendoV C : 2xyz,i * x,z,l + 3¡tz'k, hallarC(¡, /,.r) sabiendo
52. SiendoV\':(y2-2xyz')l+(3
+2xy-x,z')l + (62'-3x.yz')k, hallarr¿.
Sol. 9: aya- *,y2. +3y +(3/2)2. + const¿nto
i ,l
Sol.$:
53, Siendo U una función derivable de x, y, z, demostrar que V U ' d¡ : dU.
54. Siendo Funa
función derivable de x,y,z,,
y x,/,2,
funciones deri'.,ablesde r, dcmostr¿r quc
+ : + +a F ' #
i
:
t
,
|l
queV(r'A) : A.
55. SiendoA un vecto¡constanto,
demostr¿r
que dA : (V4.'dr)i +(VA,'dr)t + (1A"'
56. SiendoA(x,y, z\ : A\i + A,i +,{, k, domostrar
s7. I)emostrarque o (€) :
ooo;""o
siendoc + o.
58. Hallar un vector unit¿rio p€rp€ndicular a la superficie del paraboloide de revolución z : ¡r t
tt-r4j _k
punto(1,2,5).
Sol. #
'
I
+ \/,
(x - l)t +y'+(z
59, Hallarel ve{torunitarionormalá la superñcie
Sot. (2i I i -zk)13
+ 2)r : 9 on el punto(3, l, -4).
a la superfici€xz" * x'y : z60. Hallarla eruacióndel planotangente
:
I en el punto(1,-3,2).
S o l - 2 x -y -3 z l l :O
61. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la normal a la superñcie z : x2 t yr cn el punto
sot. 4x-2y-z:
t, ";'
:'+:
"=t
o x:4t
i- 2 ,y : -z t -r,
z:-t
i- 5.
62. Hallar la derivadade 6 : 4¡2t - 3tzr'z en el punto (Z' -1,2) en la dirección¡ - 3i + 6k.
:53.7
Sol. 31617
". Xl:t"'jflP
frl.:
*--*
^
(-3' 5'O'
hacia
elpunto
elpunto
(1,l, -l) endir€cción
GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL
h di¡ección según la cual la derivada de la función ó = 2xz - y" en el punto (1, 3, 2) es máxima.
=el rÁ",iiulode estevalor máximo?
So/. En la direccióndelvector4i -6j +zki2\/A:'1.4g.
r los valores de las constantesa, b, c de forma que la derivada de la función 4 : axyt + byz ! cz,xl
F nt o( l' 2' - l )te n g a u n m á x i m o d e m ó d u l o 64enl adi recci ónparal el aal oj ez.
t : 6, b: 24, c :_ 8 .
el ángulo agudo formado por las sup€rfcies xyzz : 3x + z, y 3x1- y, + 22 : I €n €l punto(1,-2,1).
3
.Ic cos
liln:2::
arc cos
\/Á :
79"55'
H
I ¡ ¡ f as c ons t a n te s a y ó d e fo rfIl a q u e l a s u p erfi ci eaxr-gyz:(a!2)xse¿o¡togonal zl a4xry* 23:4
d punt o ( 1, . ._ 1 ,2 ).
S o /. a :5 1 2 , b : I
feodo ri y y funcionesderivablesde x, y y z, demostrarque la condición necesariay suficientepara que
r y v esténrelacionadaspor una ecuaciónde la forma F(a, y) : 0 es que Va x Vy : 0.
Dererminarsi u :
arc tagx + vrctzg y y v
ffi
(á) Si (v : tag ¿).
"r,an
relacionadasfuncionalmer¡le.
Demostra¡que la condición necesariay suficientepa¡a que ¡as funciones u(x, y, z), v(t, y, z) y w(x,y, z)
6tén relacionadaspor una ecuaciónde la forma F(u, v, w) : ¡ es que V¡l x Vv x V', : 0.
Frpresar Va. Vy x Vw en for¡na de determinaote.Este deterhinant€ se llama Jacobianode ¡]. r. re rcs. por A@ ,v ,w ) ..
./a,v,w \
pecto de x, /. z y se representa
o b¡en../
.
¿G,yÁ,
\; l, z ,
D€termina¡si u: x 1y + z,v: xs +y" + t, y r.)- xy + yz + zx estáÍ rclacio¡adas
funcionalmente.
t¿ (b)
?¿
?¿
E¿
7z
éy
lz
a?
?u
?u
Ox
Oy
Oz
-
--
v-
2tr, :0)
-
!4, a,
¿"
(c) Si (z!-
?p
¿y
?"
doA:3xyz'i+zxy'!-x,yzkyó:3x'z-yz,hallar:(a)V.A,(ó)A.vé,(c)v.(éA),(d)v.(vd),
q el punto(1,-1, l).
sol. (a) 4, (ó) -15, (c) l, (d) 6
Erllar div (2x'zi - xrzzt + 3yz'k).
Sol. 4xz- zxyz + 6yz
dr>L.
k r do
d : 3x " 2- y ,z ' +
Ballar Vr (ln ¡).
4 x ,y + 2 x -3 y -5 ,
hal l a¡ V rC .
Sol. 6z I 24xy - 2z' - 6y'z
Sol. llr'z
I>mostrar que V2'' : n(n + l)rn-" siendor u¡a constant€.
S¡€ndoF:(3¡rSo¡. -ó¡ + 24j -
y|) i -2rrz'!k,
z)i+(xz'+
32k
hallar V(V 'F) en el punto (2,-1,0).
Siendoo un vector constantey v : (' x f, demostrarque div v : 0.
Demostrarque i'(íV)
:
ÓA"V+ 2A ó'VV + 1t'1"í'
SiendoU : 3*y, V : xz' - 2y hallar grad (grad U)' (grad I/)1.
Hallar V '(r" r).
l2x) i I 6xz, | * l2xyz k
So/. 6¡r
Hallar V'[rV(l/¡')].
So¡.
Hallar V'[v'(d¡')].
Sol. 2r '
Siendo A : r/r, hallar grad div A.
Sol- -2r -' r
!*L. Ol Hallarf(r)de formaquev f(r)
-o.
arbit¡a¡ias.
A + Blr siendo,4y.8 constantes
quea\a:#
(d) Demostrar
Sol. f(r):
Sol. (6yz' -
+|
s
GRADIENTE. DIVERCENCIA Y ROTACIONAL
84, Demostrar que el v€ctor A : 3y.2. i * 4xrz, i - 3x,y2k es solenoidal.
85. Dcmostrarque A : (2¡r + 8xy'z) t + (3x'y cs solenoidal.
3xy) j - (4y"2, * 2¡!z) k no es solenoidaly que B :
E6. Hallar la función derivablemás gpneral/(¡) do forma que /(/) r s€asolenoidal.
Sol. f(r) = C/¡3 s¡cndo C una constantearbitraria.
E7. Domosttar qu€ el campo v€ctorial V :
pretarlo flsicamenta,
os un <c¿unpode tipo sumidero>.Dibujarlo e
i-'j
{xr* v2
--t
Et. Siendo U y / camposesc¿laresderivables,demostrarqu€ VU x V Z es solenoidal.
yz i I 3xz. k y ó: x,yz, hallar:
89. SiendoA :2xz'i(a ) v x A , (ó ) ro t(C A ), (c)v x (vxA )' (d) vl A ' rotA ],
(c) 5i + 3k, (d)-2i *i
Sol. (a) i +i, (ó) 5t-3¡-4k,
(e) rot grad(óA ) en el punt o( 1, l, l) .
* 8k, (¿) 0
(ó) V .(VF)X(VC)I,
90. SiendoF: x'yz, G : xy-32\ hallar: (a) V(vF).(vc)l,
Sol. (a) (2y'z Í 3x2z- l2xyz) | 1(Axyz -6xtz) j 1(2xy'*
x" - 6x) k
(á) 0
(c) (x|z - 24xyz) | - (12x, z | 2xyz) j * (2xy" * l2y z, + x') k
91. Ha¡lar v x (r/¡3).
(c) V x [(VF) x
s¿/. 0
92. ¿Paraqué valor de l¿ const¿nt€a el rotacional del vector tr : (a¡y Sol. a :4.
es idénticamentenulo?
zs)i + (a - 2) xzi +(l-a)
93. D€mostrar que rot (d grad C) : 0,
94. Representarlos camposv€ctorialesA:¡i
Hallar la divergenciay el
+/j y B:t,i-¡i.
de cada uno d€ ellos y explicar ol significadofisico dc los resultadosobtenidos.
9 5 , S i e n d oA : x ' z i I yz' | -3xyk, R : y' i -yzi
* 2xk y ó:2r, * yz, hal l at
(¿) A ' (v C), (ó) (A 'v) d, (c) (A 'v) B, (d) B (A 'v), (¿) (v ' A) B.
Sol. (a) 4x.2 + yz. - 3xy2, (b) 4x'z + yz, - 3xy, (igual que (a)),
(c) ZY'z'i + (3xY'- Yz')l +2x'zk'
(d) el operador(.r? 2zi-
j + 2x,zU)
x2yz"
*
* (-3¡y'i
(e) (2xy'zz¡ ytz')i-(2xyz,
! (y'zsí - y,z. i +Zxyz"k){
! 3xt'zi-6x'yk)
* yz,)i I Ax,z l2xz')k
-
9 ó . S i e n d o¡: y 2 ' i -3 x z' l I2xyzk,
y 4: xyz, hal l ar
B :3¡i
+ 4zi -xyk
(4 ) A x (Vd ), (á ) (A xv) d, (c)(V xA )xB ,
(d)B .vx
A.
Sol. (a\ -5x.yz2 1 + xy,zt j + 4xyz. k
(b) -Sx,yz, i + xy,z, i + 4¡l?3 k (igual que (a))
(c) 162'í + (8xzyz- IUz')l + 32xz! k
(dr 24x,z + 4xyz'
9 T .H a l l a rAx (Vx B)y (AxV )xB enel .pu¡to(1,-1,2),si endoA :xz¿i !2yi -3xzkyR :3xzil2yziSo ,l . A x (V x B ) = l 8i -l 2j
+ l 6k, (A xV ) x B :4j
+ 76k
,-v
9 E. D e m o s t¡a q
r u e (y ' V)y : J'
9 9 . D € m o s tra q
r u e \¡.1 . 1 x R t
x (V x v).
x A )-A .(V
- B .(V
l 0 O . D e m o s traqr u e V x ( A x B ):
l 0 !. D o m o s traqr u e v (A.B ):(B .v)A
x B ).
(B ' V )A -B (V .A )-(A .V )B
+ (A .v)B
102. DemostrarqueA: (ó.y/+¿3)i I(3x,-z)i
S o l . 6 :3 x 2 y i x zr-yz + consranre
+ A (V .B ).
+ B x (v x A ) + A
x(v
x B ).
* (3¡z' - y) k esi¡rotacional.Hallar CdeformaqueA =
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
t'
que E : rt! es irrotacional. Hallar, d de forma que E:
o : ln (alr)
-VC
8l
y q\e ó(a):0
siendos > 0.
A y B irrotacionales,demostrarquo A x B es solenoidal,
/(r) derivable,demostrarque/(¡) r es irrotacional.
alguna función derivableV de forma que: (a) rotv:r,
(ó) ¡otv:2i+
j+3k?
En caso
hallar V.
--.rivo,
.f.
la) No, (ó) V:3¡t
x\k *Vd, siendo / una función arbitrariad€¡ivabledos ve¡€s.
*(2y-h
hqrt-¿r
que las solucio¡resde las ecuacionesde Maxwell
o '" .=* * l
o," =-+* .
v.x=.0. v.E = 4rp
o una función de .r, y, z y c la velocidadde la luz, supuestaconstante,vi€nendadaspor
-r
v , n= | * .
r hde
A y {, sellaman vectoria!poterciqly escalarrcspeati\¿amente,
y satisfac€nlas ecuaciones
a
':2¿
'
' )2'
1r¡v.n+1P=0.
e\Va--#=-n"0,
c dt
I
v.n = 0 , y.a = m p
o,"=-+*,
a tlt= \ffi
Dada. la diadá- o :i i + j i * k k ,
h a l l a ¡ r-(o .r) y (r.o).r., (ó) ¿E xi stcal gunaambi güedad
al
<cribir r . O . r? (c) ¿Quérepresentageométiicamente'r. ó .,
É ií
(a) r ' (o ' r) : (r ' o) , r : x, t y, + 2,, (b) No, (c) Esfera de radio
unidad con centro en el origen
frlt"lri,, jí,t;
v"i t vz'k v R:2zzi-xvi
*v!k, darun posibte
signiñcado
a (A *v)B en
úi ¿Sepuede escribir el resultado en Ia forma A x (VB) aplic¿ndo el concepto de di¿da
?
f¿
( ¿)- - - 4 ii- i¡ + 3 ik-lr-4it
+ 3kk
(á) Si, p¡eparandoad€cuadamcnte
las oporaciones,
&lrostrar
que ó(x, y, z) : x" + y, + z! es un escalar invariante resp€cto de una rotación
de ejes,
fudo A(x,y., z) un campo vectorial de¡ivable invarianG r€specto de una.¡otación
de ejes, demostrar que
o div A y (á) rot A son respectivamente,
campos escalaresy vectorialeslnyanantes respectode la transfuuación.
&sfrjar x, y, z en las ecuaciones(3) del problema 3g en función de x', y' z,.
,
tcl- x : l¡x' * l,,y' * l",z', | : l* x' * lzs
y' I L, z', z: l,"x':- hEt. * Iuz,
lfudo A y B invariantesresp€ctode una rotación, demostrar que A.B y A
hostrar
^
B son invariantes.
que en una rotación
v = r P *¡ l- *r P = , ' 3 * ¡,3 * r,3 = v ,
ot
Iblostrar
oy
a2
ó,
dt.
dz
que el operador Laplacianaes invariante rgspectode una rotación.
tr-
--
Ca ítulo
Integrociónvectoriql
INTEGRAL DE UN \aECTOR. Sea R(z) : R(a) i + Rda) j { Xr(r.r)k un vector función de
sola variableescalaru, en donde R,(a), R(a), R.(a) se suponencontinuaj én un intervalo dado. En
condiciones,,
!* * ,0 ,
= i f n ,o ¡d ui f, a ,o t¿ ,,u*f" *ro,
sellama integralindefnidade R(u). Si existeun vectorS(z) de forma que Er¡:
f
tS{u)),"
f n o t ¿ u = f $o1us' t , r ) d u = S ( ¡ )+ c
J
J
en donde c es un v¿cro¡ constantearbitrqrio independiente de u. La integral defnida entre los límites ¿
y a :ó e s
loo*,','"
=
.^
= s( ¿)+ cl- = s( ó)- s ( " )
["0 *' ""o"
a
Est¿integral tambiénsepuededefinir como el límite de una suma,de forma análoqaa como se
el conceptoen el cálculo integral ordinario.
INTEGRAL CURVILIÑ-EA. Sea r(u) : x(u) i * y(u) ! * z(u) k el vector de posición de (¿
de los puntos de una curva C que pasapor Pry P, corrcspondientes
a u: Uty z:-a¿, respectivam
Supongamosque C secomponede un númerofinito de arcosen los que r(a) tienederivad¿con
Sea_A(x,
y, z) : Ari + A2i + Ark una función vectorialde posicióndefiniday continuaa lo largo
La integral de la componentetangencialde A segúnC desdep¡ hastapr,
aP^¡,
ln . d , = .,c
l, t , d r + A z d y + A . d "
l' * a ,
es un ejemplode integral cuivilíneao d,elínea.Si A representala fuerzaF aplicadaa una partlcula
se desplazaa lo largo de C, dicha integral correspondeal trabajo realizadopor Ia fuerza. Si C es
curva ce¡radasimple,es decir, una curva tal que una recta cualquierala corta a lo sumo en dos
la integral a lo largo de C se representapor
ff
t
e.at =
I
Ar d"+ Azdy+Asdz
En mecánicade fluidos,electricidad,etc, estaintegralrecibeel nombrede circulaciónde A a.lo lttgo
en dondeA es la velocidaddel fluido, la intensidadde campomagnético,etc.
I,
I
En general,toda integrala lo largo de una línea sellama integralcurvilínea.Estasintegfales
se definencomo el límite de una suma,de forma análogaa como se haceen el cálculointegralo
En los problemasresueltosveremosalgunosmétodosde resoluciónde estasintegrales.
Yeamosahora un teoremamuy importan{e.
82
INTECRACION VECTORIAL
lo
I¡OlEMA. Si A :.vd_ en.todoslos puntosde una regiónR del espaciodefinidapor ar= x S az,
É á¡ cr 5 z 5! cr, siendo {(x, ¡, z) uniforme y con derivadacontinua en R.
f-
fP,
A . /r esindependiente
de la trayectoriaC en R que'rneP1y P2.
t
21
Z. $
Jc
A.dr:0
a lo largode cualquier
curvacerradaCen R.
condicionesel campodefinidopor A sellama campovectorialconservador
y essupotencialescalar
deriva.
función de
r dado. En
I¿;ondición necesa¡iay suficientepara que un campo vectorial A sea conservadores que V X A
f r':Én, que A : vd. En estecaso, A. dr : tdx * Ardy * A"dx : dg es una difcrencialexada
l0-14).
RAL DE SUPERFICIE. SeaS una de las dos caras de una superficiecono la representada
y consideremosa una dc ellas arbitrariamentepositiva1:i S es una superficiccerra¿ase toma
Un vector unitario rt normal en un punto cualquierade la cara posltiva de S se llama vector
rj,orma.lexterior.
)) se
Dslímites¡¡
hiemos a la diferencialde superficied,5un
JS de módulo d,9y cuya direccióny sentido
de n. Entonces,dS : n dS. La integral
II** =[^,0,
I
I
ho se
i
¡emplo de integral de superficieque sellama
A a travésde S. Otras integralesde super-
I
I
I
I
rl
,l
fto
lin de (x,
ff
ds, ff ónas.
o
f53
JJ
[!n,0"
ivada
r lo largo
y' una función escalar.Todas estasintegrales
como límite de una surna,de igual forma
delcálculointegralordinario(problemal7).
p*
L. integrala lo largode una superficie
cerradaS, serepresenta
¡ partícula
I Si Ces
!n 4pt
#..
o Ui.n. po,
/
hra calcularuna integral de superficieconvieneexpresarlacomo integraldoble extendidaa la prode S sobre uno de los planos coordenados.Ello es posible si toda perpendicularal plano coofdeclegido corta a la superñcie en un solo punto. Si no fuera asi, tampoco representaríademasiado
ya que se podrá,en lo general,subdividirS en supcrñcies
que cumplanla condiciónanterio¡.
rlo largo
NTEGRAL DE VOLUMEN. Consideremosurrasuperficiecerradaque encierreun volumen Z del
Las integrales
pales
Fal
III^,,, [[r,,
vv
de integralesde volumen.El cálcllo de estas inlegrales lo ve¡enos en los P¡oblemas resueltos.
INTEGRACTON VECTORIAL
84
Problemas resueltos
f
etl¿u
,, f ^,,0,=f tr-*,,.,,
'"J fr
= rfo-,\au*
tJz;a"
= r<$-$ * ",1¡,
=tf-frr*i
ft
23
*,T
R(¿) d¿ '
y
3l , hal l arl al I R r' utdu
t. Si e n d o R (¿ ) = 1 ¿ -u 2¡i + zusi -
+taJ- sdu
tet * c2) + k(-3u + ca)
+ c1I + c2J + car
,"*
-
* IiJ - t , u *
"
'"rt
= t! - f r t
*
en dondec es el vector const¿nte
"r1
*
".x.
( á )D e ( ¿ ) ,I r ' * r ,r o u= < { - { l
- it
.3
o4
= -,3
t( t- ? ) t + tt
= - |r * f r -
3¿k +
-
"1,
-a2,314
- 3(2)k + cl
t (; -
it )l
+
tJ - 3(l)L
3k
Otro método.
li*r,0" = ' fi a-,'tr"*
1 !' 2 ," a " ,
" !' - r r u
r r fr l] + h ( - r ¿ ) l;= - *t * ft
=,(+-*)l',
-
- rr,
del tieEpo f = 0 viene dada por
?. I-a aceleración de una pa lcula €o función
"
:
#
: 12cos2ri - 8 s€n2ri +t6'k
:0,
sabiendo que la volocidadf y el dssplazamientor con nulos en f
(l,ey dc velocidadcsY do €spacios.,
hallar Y y r en función d€l
t k I l& d t
lntesrando,
v : i ! n c o s z rd t + i I _ 8 y ' jÍ 2 t d +
:
6sen2ri 14sqs2fi
+ 8t' k + c,
j
c' : --4 i'
Haciendo v : 0 para I : 0, se obtiene 0 : 0 i + 4 + 0 k + cr, de donde
Po r l o ta n to , r ).
:
con loque
fi
6scn2ti + (4cos2/-4)j
Ot"n 2t i r- (4 cosZt - 4)¡ -r 8r'k'
'
r osen
'
uú
In te g ra n d o ,¡ = 'rJ
:
+ 8t¿k
-3cos2ri
H a c i e n d o r:0 p a ra r:0,
v -J
i l @ cos2t-4)dt
+ (2sen2' -4r)¡
0 : -3i
+ | r" l
r}-l S :l
r
+
dr
"'
+ O¡ + 0k + c,, ds dondec' :3i '
INTEGRACION VECTORIAL
t r nt o, I = (3 -3 c o s 2 r)t
f
J
+ (2 s € n 2 r-4 ¿)'
85
+ $r"r.
,2 -
| ¡ rd.4¿r.
d¿-
',
1.n"qA
dt.
= Ax"7F+ dA
i'
4,
¿,
I ^"#"=I 1 < t , ¿ 4 t¿=, ^ r 4
dt
=
dA
^r#
r 'c .
da
dcl movimiento d€ una partfcula P de masa rn viene dada por
n ¿T
"¡ri; = [(r) tt
b r el v€ctor de posición de P medido desde un origen O, rr cl vector unitario en la dirección y scnüdo
f f(rl \Jna.función de la distanciadB P a O.
- d.
que , ,
frmostrAr
; 3 ( l)¡
¿;
: C SlenúoC un Vectorconstante.
hterpretar flsicament€ los casosen que f(r) < 0 y f(r) > O,
loterpretar, g€ométricamente, el resultado de (a).
Relacionarlos resultadosobtenidoscon el movimientode los planetasen nuesro slst€masolar.
Multiplicandofosdosmiembros
d.
^
dft :
flr)r, por r x, setiene
^
x
d'r
=,r(r)r x ¡r : o
dl
ya quer y 11son colinealesy por l9 tanto, r x rt : 0. Por consigui€nte,
,,ffi:o,*F"#l:,
.d t
fntcgrando, I x
Tr
: c, siendo c un vector constante. (Comparar con el probloma 3).
¿+
Si/(¡) < 0, la aceleración]| es de s€ntido contrario a r,; la fuerza está dírigida hacia O y la partfcula
está,siqr\pre qtruídq haaia O.
Si /(r) > 0, la fuerza está dirigida desde O a la partfcula y ésta se €ncuentra sometida a una fuerza
de repulsión.
Una fuerza que pasa siempre po¡ un punto ñjo O y cuyo módulo de¡rendeúnicamente de la dist¿ncia r al punto O se llama luerza cenlral.
En el tiempo elemental /, la partfcula se desplaza
de M a N, como se ve en Ia figura adjunta. El área
barrida por el vector de posición en ese tiempo e3,
aproximadamento, la mitad del área del paralelograÍno de lados r y /r, o sea, I r x /r, Por consiguiente,el área que ba¡reel radio vectoren la unidad
de t¡empo cs ¡ r x
Ar
7i,
tantán€a de barrido es
con lo 9ue la vclocidad ins-
= ¿ ¡x v
= * rx lim j rx f,
.tt
Al
A t -o '
siendoy la velocidadinstantáneade la pártfcula.La
8ó
INTEGRACION VECTORIAL
magnitudH : t,
arcolar.De (a), se deduceque
¿r x v se llamvyelocídad
" #:
V el oci dad
areol ar = n
=
:
zl r'
dt {
consBnte
Como I' H : O, el movimiento es plano; en el caso de la ñgura el plano en cuestión€s el plano xy,
(1) Un planeta(por ejemplo la Tierra) es atraido hacia el Sol de acue¡docon la ley de la gravitación
de Newton qu€ estableceque dos cuerposde masasm y M sg atraen entre si con una fuerza de
GMn
F:
" , siendo ¡ la distanciaentre dichos cuerposy G la constant€universalde l¿ gravitación.
m y M las masasdel planeta y del Sol, resp€{tivamente,y tomemosun sistemade ejescoordenados
origen seael Sol, La ecuacióndel movimiento del planetaes, en estascondicioner,
/
d2¡
CUn
d2t
,.
at'
CM
d¿ '
despreciandola influencia de los otros planetas.
De acuerdo con el apartado (c), un planeta se mueve alrededor del Sol de forma que su
posición barre áreas igualesen ti€mpos iguales.Esta propiedad y la que se consideraen el
son dos de las trgs famosasleyesde Kepler deducidasempi¡icament€a partir de las
por el astrónomo Tycho Brahe. Estas leyesfueron la basgen la quo se apoyó Newton para
ley de la gravitación universal. La te¡ceraley de Kepler la ve¡emosa propósito del problema 36.
5. Demost¡ar qug la trayectoriade un planetaalrededordel Sol es una elipse,uno de cuyos focoses dicho
De los problemas4(c'l y 4(d),
dr
( 1)
=
(2t
txv
como ¡ =,q.
(3 )
)
=,-oi'
h
o e Ol,
f
-
ir,
=
xh = - 4r ".¡
2H
rl
h
-
con¡ocual.
= t\x
rxv
CM
----
-
dtr - '
-
= ,2\* 4!L
(rd:t,frr" l
= - GM 4x qr r ' ff1
= - 6,Ml1rr.df¡ r, - ( h . r 1 ) + l = cM +
dt
dl
= o (problema9, Cap. 3).
aplicandola ecuación(J) y teniendoen cuentaque
".#
Como h es un vector constante
*tll ^ ¡ = 4
rv ' n r
dl
= 6l l :+
l tv' hl
vth
Integrando,
de donde
r.(vxh)
v
= C M\+
=
G M t . 1 1 + ¡ 'P
=
GMr + rr1.p
=
pt
CMr
+ rpcosA
siendo p un vector constantearbitmrio de módulo p, y á el ángulo formado por p y r,.
lr
"l
!+-,
C o mo r.¡v x h ) = (¡xv).h = h.h = 12, se obti eneñ2 = GMt + rp cos á,dedo nde
,2
C M + p cosA
"-
h2/cM _
1 + (p/CM) cos e
INTEGRACION VECTORIAL
87
lrometria analítica puede verse que la e¡uación
de una seccióncónica con un foco en el orieen
qcentricidad. esr :
T¡fcos
0,
siendoc una
ComDarandoestaecuacióncon la obtenida
se deduceque la órbita es una sección
de exc€ntricidad( : plGM. La órbita descrita
planetaesunaelipse,parábolao hipérbolasegún
. seamenor, igual o mayor, respectivamente,
que
Como las órbitas de los Dlanetasson cerraforzosam€ntese trata de eliDses.
CURVILINEAS
l4yzi + 2bxzsk,trattarf A.ar desde(0,0,0) a (1,l, l) a lo largode las
J¿
do A:(3¡¿ *6y)iintes trayectorias
C:
,:l,y:I¿,2:t!,
L¿s rectasque unen el punto (0,'0, 0) con (t, O;O), y el (1,'1;O), con el (1, í, l).
I¿ rectaque une los puntos(0,0,0) y (1, I, l).
n'0, =
f
=
,
\
,¡ \
t+\( !,\+ tl ,lr
2/
I
.@rr+ e! + dzk) Yt
f [rr""*rr, - rqzr +2o,z2tf
4
+ ,,
* ,,
dz
f Wn rr¡ - r4r¿í! + 20,22
si¡:r,-/:r!,2:r!,losfruntos(q0,0)y(r,l ,r)correspondenar:0y/:r,¡espectivamente.Eotonc€s
fr'
Jn
-
*ar
=
) l l rr+ a r¡d t
¡:^
-
l {(¿?)(¿3)t(¡2)+ 20(r)(rs)2
d(¡s)
.
=
| gf ú - 2gto ¿t + 6oced,
ú=0
fr1
=
| 1s/ -z1t6*6ote¡dt = 3¿3- 4¿"+6¿D|
Jo
,,\
, { i j ) r , l a)
=
s y . * d x - l^
'\= o 1,4.-"
'4', c ,1" c
b¡ go de C, A = g t2I - 1 4 t6
t
! + 2 Ot7
y
.= r l + fl + z,.= tl + .2t
+ ¡sI,dedonde ¿.-(l + Zt!+ g.21)¿r.
ut',
df
Ií-. 1 \\
ul
o
, o
--
,Xl 4
1' {
(0:
:
g,
(r,
:
o)
con
o,
o)
es[O
d,
dy
o,
y!1
dz:
t. *
o!""
o""o'"
F
11"]lp:-d."_fl
lle,ln:
"]nn
scgun esta parte
de trayébtona es
-regral f 1
l^
¡r
(o) =
| (s"*e<ol)a,- r{ (0)(0ii0)+ 2o¡(o)2
l-*, d, = ,sl
, r.l
x J - - o/ r t J = o o
A lo largo de la rectaque une (1,0, 0) con (1, l, 0) €s ¡ : l, z : O, dx :0,
0 ¿ l. La integral segúnesta parte de trayectoria
.
"t
f7
J
| {r<r¡"+ey)o
- r4te)'dy + z0(r)(0f0 = o
r.-r.
'=o
..
L
t
,l
¡iv"'tYlJn
; ,'¡ l Jv +l-ov
/
r)
¿" .f 1
dz= = ocyvaríade
r - r J u /l )
o
\r.!
INTECRACIONVECTORIAL
A l o l a rg o de l a ¡€ctaque une (1, 1,0) con (1, l , l ) es x:
de 0 a l. t¿ integral s€gúnesta pa¡te de trayectoria cs
f1
(3 (rf16(1))0 |
JJ
z=o
l 4(1)z(o) - zo(r)z'^rrdz =
I, y:
| zor' d"
z=o
I, d x: O ,
dy: O
=U !1'=z o
3 'o 3
Sumando,
(c) La re.ctaque une los puntos (0,0,0)y (l,l,t) viene dada en forma pa¡amétricapor x : ,, :
./
?-¡
eor lo tanto'f-n.ar
dt + 29 1¡¡
-- l- ,tr"*u,rr, - t4(r)(¿)
¿,
1¿¡2
J
¿(1
=
dt =
or"*er-rtt2+20t3¡
to'
.f
=
f
[ot <u-rrrrrror3lar
H¿llar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas
8 : 3xy i - 5z i + l0¡ k a lo largo de la curva ¡ : t' + l, y : 2t', z : t5 desde/ : I A , : 2.
Traba¡ototaf = f ..r,
Jc' -
-=
f
Jr^tut'-
=
=
Jr"rrdx
f'
J'\
t=,
=
Jr'
5zJ+ 1¡'¡''t"t
+dvt+dzl\
- Szdy I llt dz
l¡,"t¡12,") ¿(t2+1) -
5(ts\¿(2t2) + tolr'+t¡d1r3¡
or* + lota+ r2ts+ 3o¿2)d, = 303
8. Siendor : 3xr i - r" i, t utlarjrt'dr
a lo largode la curvac del plano¡y de ecuación
r:
el punto(0,0) hastael punto(1,2).
Como la int€gración es en el plano xy (z : O\, hemos de considerar r : ¡ i + ), i. En estas
l
J¿
r. o, - Jc| ,u, , - ,' ,r.,n,,r o,,',
=
I*tdx- y2dy
Primer m¿todo. Haciendo ¡ : t e¡ ! : 2¡', las ecuacionesparamétricas de C son ¡ : I, y : 2l'.
tos (0, 0) y (1, 2) corr€spondena / : 0 y, : l, resp€ctivamente;por ló t¡nto,
frtfr
l-".a, =
'
ot = -t
f dqzt2
¡ = f ter"-ror6)
f' "u\<r,'\o, - 1zt2
Éo
tlo
Segundométodo. Sustituyendo directamente / : 2¡! y haciendo variar x desde0 hasta I resulta
J^r.a,
,
=
)
r=o
vo,'ta'
¿, = -1
- e'¿\2¿(b2\ = J (6'3-16'6)
x=o
Obsérveseque si la curva se rrcorriera en s€ntido contrario, es decir, desdeel punto (1, 2) hasta et
el valor de la integral obtetrida seria Z6 en lugar de *?6.
{\L!\q\-::3
y
INTEGRACION VECTORIAL
r: o v z
r d trab¿jo realizado para dar una vuelta a una partfcula alredcdor de una circunfercncia del plano xy,
aEtro es el origcn, sabiendo quo el campo de fucrzas corrcspondient€ os
F
20
3
=
(2 .r -y
+ z )i
+
+
(t + y-" 2)i
y
z = 0 , F = (b .-y )l + (x .+ r)t+ ( 3' .-zyr} '
(3r-2y
+ 42)k
¿r--dxl + d!!,con l o cualel trabaj oreal i -
* (' + 7), + (3r-?t)k]
[r.'* = f, t,u-r','
= f , *- r r n*"(t +t) ¿f
. [¿" t + ¿rJ]
.tC
C-onsiderando como ccuaciones paramétric$ de la circunferoncia
I cos t, y : 3 sen t en las que t varía dc 0 a zfl, como se v€ en la fic integrando,
[2(3cosr) - 3senr] [-¡s e n ¡]¿ ¿ + [3cos¿ + 3s€nr] [3co6r]dr
bcrzas dado
\ r : 2.
2n
(9 - gssri,cos¿)d,
= n,-Z**,l'" = ,6n
tomado como s€ntido de r€corrido de la partfcula a lo largo de C
al de las agujas del reloj, que es cl que cstabl€ceremoscome
Si C se hubiera r€corrido en s€ntido contrario (nogativo) el valor
s€rla-lE ¡.
t =t l +! t
=3 c o a ¿ i +3 8 e n ! ,
fado F : V C y d uniforme con derivadas parciales contiDuas, d€mostrar que el trabajo ¡ealizado para
Gplazar una partlcula desde un punto Pr = (xr, y,, z) del campo a otro ¿ = (r., ¡, z.) es independientc
b trayectoria soguida.
kip¡ocam€nte,
t¡lor
si la integral curvilínea ft f. a,
independiented€ la trayectoria C que une dos
",
JC
cualesquiera,demostrar que €xiste una función C de forma que F : VC.
=
rcarizado=
I::r.-
=
=
l¡
* {"
ü # - '{n '
l-¿O
= ó(p) - óet)
= óFz,yz,z) - +k1,r1,21\
Por lo tanto, Ia integral dependc rlnicamonte de los puntos inicial ¡r y final Pr, y no de la trayectoria
los une. Evidentemente, esto solo es ciefo si d(¡, /, z) es uniforme en todos los puntos Pr y ¿.
Por nipotesis,
de ta tr¿yoctoriac que une dos
' J^ f F.dr es independiente
F:F,itF,t+F¡k.
lrtos
cual$quiera (xu yu zt) ! (x¡,l¡
Q@ , y , "|
ol puúto
. ff* , . (d ' +
t ¿ rt+ ¿ z r)
t , #, r $,
rP,
=
I'orr.*
=
f (r,t,z)
|
¿(ztyt,zt)
indepcndiente de la trayectoria
z¡). Por lo tanto,
F. d¡
=
f (t,f ,z'l
F l d r +F 2 d y +F s d z
|
J(tt,yL, z1)
que une (i,, y,, z,\ y (x, y, z).
For consiguiente,
90
INTEGRACION VECTORIAL
_ r Q+ ^ ' ' /' z'F'l dr _ fr',!,2)
r(t\,t7,2L,
r(t\ yL, z
S 1 x + L t, y , z ) - ó@ 1,2)
F.dr
r)
, I!',i,:]"'
- Lo"'.''"'
F. dr
F 'd r
=l,l,'),'''"'
F.dr
-
(' + ! , 2 \
^x,
f
r(x,y,z\
F l d z+F"d y+Fsd z
Como fa {¡ftima integral debe ser indep€ndientedel camino seguidopara ír de (x, y, z) a,(x }
podemos€lagir como trayectoria la re{ta que une dichos dos püntos, con lo que dy y dz son nulos,
condiciones,
= * f,lo.o,'''"'
""
=
cuandoA¡
ó(x+ 4" , y, z) -
óe,y,",
Tomandolímitescn losdosmiembros
Análogañcnle,
sepuede
demostrar
O*
- o,seobriene,
#
= n, V
{
#
porforanto. F = Fli+ F2!+ Fst=#;-#r,
Fl .
= n.
= Or.
#*
l' 2
n.dr es independientede la trayectoria C que une P, los puntos P¡ y ¿ el campo
Jrllama campo conservador. Si se verifica que F : V C, F es conservador, y reclprocament€.
Si
Deñostración vectorial. Si la integral curvilíneaes independi€ntede la tray€ctoria,
e4,y,z\ = l(''t''\ ,.0, = l"','"
J1x7,11,t1\
J 1 x 1 , y 1 ,z ¡
Derivando.
dg
= o.d,
ds
ds
, ero
dó
a
¿|
= v @ 'd : : 'c o n l o c u a l '
á
Como esto s€ debe ve¡iñcar con independencia del valor de
ff,
".*d s
( v @ - F ) '; ;
n"
t¡
resulta F :
= 0'
V C.
ll. (a) SiendoF un carnpoconservador,demost¡arque rot F : V x F : 0 (esdecir, F esun campo
(ó) Recíprocamente,si V x F:0(es decir, si Fes un campo irrotacional), demostrarque Fes
(a) Si F es un campo conservador,segúnel problema 10, verifica que F :
-.r
Por lo tanto, rot F '= V x VC:0 (problema27 (a), Cap.4).
t
(ó) Si Vx F = 0 , se tieneque
k
¿
¿"
a
¿
ér
dy
F1
F2
ol s
;; f
J
7P"
= 0
D¡,
v{.
y por lo tanto
?f,
'
9& - ¿f'
Zx-
7y
T€nemosque demosÍa¡ que F : V d se deducecomo consecu€nciade esto.
El trabajo rcalizado para mover una partícula desde(x,, ¡, zr) a (x, y, z'¡en el campo de
INTEGRACIoN vEcToRIAL
91
f
J^
rí@,y,2)d'
+ F2@,y,2\dy +
FoG,y,z\¿.
(.r.,,y.r,zr) con (x, /, z): Tor.nandocomo tray€ctor¡a ta qucbrada
qu€ pasa por
9., "13
l:n1rra¡3.
(x, y"
z),
z), (x, :."a
y, z,) y (x, y, z), y lamando d(¡, y, z) at trauijliáiir"ao'a
to targo ¿e'e¡ra,.--
ó(z,r,zl
=
aqui se d€duc€,
*
o2
a(¡ +
=
aó
nulos.
Fo( ¡ . v . z l
Fz",,r."i+
of
F2a,!,21)t
olz
T
f",
f""r*
(x.r ,z\ d¿
oo,", n"
F2¡z,y'z)+ F2ú.t,z')1"",
= r"g,y,"t¡ + F2u,,r,.)
- Fie,y,"tl = F2e,r,z)
aó
=
F1.1'r,fú zi
+
F\(z,r!,zL)
+
' L,*o,,,rn"
Il ,&o','"u',
*
[] fi o,r'"'ro,
f"",!or,"'ta"
F¡(x,y1,z)
+ \(',r,.)\f,, t
Fa@,!',z') + Fr@,y,zi -
lo t a n to , F
=
F rt + F 2 t+
F sk
rr<,na1"",
F(x,yL,zL) + F1@,y,zl-
=
l,{
i rt
ót
lügo
campo
+
F(t,!,zi
=
F1Q,y,z)
#,'#* =v é.
la condición necesariay suncientepara que un campo F seaconservador esque
rot F : v x F:0.
r que F_: (2xy *.2¡) | * ¡¡ i + 3¡zr.k €s. un campo de fucrzas cd¡scrvador. (ó)
Hall¿r el
cscalar del que deriva. (c) Hallar el trabajo realizado p"r" a"rpi.á. un cuerpo
en estc ci¡mpo
( t ,-2 ,l )
a (3 , 1 ,4 ).
ún el problema ll, a ra condición nec€.aria y suficiente para que una fuerza
sea conservadoraes que
F:V
x F :0 1
Ahora bien, Vx p =
ooó
= 0.
a ,6t
! *
"t
z2
3xz2
Por lo tanto, F es un campo de fuerzas conservador
r
--92
INTECRACIONVECTQRIAL
(ó)
Delproblema
lo, F=Vd
),^
o
= vy + 23
1t1 i::
o,
*Pt
F,
o,
o,
),A
(2)
= qyc.¡
+23¡r+ z21+ 3xz2¡.po,1o
oz
-P*
)-A
- ,'
-:r
óy
(3i Y
- 3,t'
ó¿
lntegrando(.¿),(2) y (J) se obtienen,respectivamente,
Q
=
ó
=
" '/
+
+ l1y,z\
xz3
,'y
+
8$,2)
xzs +
h(z,y\
Esto se ve¡i6ca si tomamosf(y, z) : O, g(x, z) : ¡tt, h(x, y) : ¡tr, con lo cual f : x"y t
una constante.
xz'
Segundo método.
Como F es conservador, I R, ar es independientede la trayecto¡ia C que une (¡r, ¡,, zr) y (¡,
¿c
Aplicando el método del problerna I l(ó),
ft
=
a e ,r,z )
f.t
|
Jr,
t
¡
Qxyl - z3'dx
=
'"!r
=
t2y
""?,
+ ,,t
-
Tercermétodo.
F.h =-Vq>.d,=
Q
=
dQ
= t"y
+ ¡:3
1¡¡ Trabajorealizado=
ur" a"
|
JzI
",
qr2
yr+,""r)lir, *, l!r, ,
""" li,
=
Entonces,
l'
ut,
fz
*
,' ay
F. d¡
=
r'ry, "'rf,
$*
tr"t,
-
^ r2y
=
"r"l
(bty + z3) dx
+
= oO
+
x2 d!
3zz2 dz
+ constante.
rP2 F.dl
.t P-
-
.
-
l^"
,u, t z3) etxt J dy , t,,2 ,t"
fP , d(x'j
. "
|
+x¿-\
"
= r'y
-
+ xz"" ,|h
Pr
.
= x -r
'
1t\3'7'4)
+ xz- L
(
Otto ¡tl¿lodo,
l)cl apartado (ó), QG,t,z' ) = ,' y
lr
Trabajo realizado = c(3,1,4) -
r r" " + constante
Q(r,-z,t)
+ xz'
-
xzl
x2y + xz3 + constanúe
- ffL,
- {0,
r'rr
-
= zoz.
1,- 2,1)
INTEGRACION VECTOR¡AL
Cue si
F. dr
I
PÁP,B\
cs indopendicnlo d€ Ia trayectoria que une dos puntos cualesqu¡erap¡ y p. cn
f
F'd¡ = O pars todas las curvas cerradas en dicha ¡cgión, y rccfpre¿mcntc.
I
J
la curva cerrada que s€ repres€nta en la ñgura adjunta. Entonces,
dada, se verifica
b
I ,.*=
\AP28P1
t f ¡.
=
It
tf
) r ,ar
PatP2
_
[r .*.I
l1AP2
F. dr
P2BP1
JF.dr.=o
Pr8P2
!E la integral desde P, a N a lo largo de la rama ,l ec igual, por
que a lo largo de la rama ,8.
G¡,
Lcíprocamente,
,i f r.a,
0, entonces
-
[ ,.n,="rrfu,
I ".*, p2lpa
f ".n,
:.-tírap,
n*'r,{r,''* =
fr.n,-
eriP,
f..r.:
rrfu,
o
r,fr,''*'
que la condición necesaria y suñcient€ parr quc ¡idr
hostrar
.Era €s que V x F - 0 s i e n d oF :F ,i
+ 4 1 + F , t.
I F¡ dy I f, y'2 sea una difc¡enci¿l
que (yt z¡ cos ¡ - 4x' z) dx + 2zty ff,in-i'dy + (3.v!zrs€n¡
ho6trar
- r.) d¿ es una difcr€ncial exacta
ü tma función C y hallar 6.
a
Ó
a6
-aó
"
l g o ngam os qr e F t d x + n d y + F .'
-Ñ dx +
dv * -* dz; sca una diferenci¿l exacta'
7v
c@
x, vv z son variabres ,ra"J'a;:,:
n :# ' r,:{' r ,- ff
crocuarF : F,t+ F,J+ F,k:
# i + ff t + $x : v t.
LuegoVxF:VxVl:0.
, Reclprocahente,si V x F: O s€gúnel problsma 11, F: VC conlo que F.dr:1ó.th:cll,
¡¡ &cn, Fr d¡ t F¡ dy * Frdz : dC, es una difcrc¡rcial exacta.
f : (y:z¡ cos.¡ - 4¡.z)| *2z.y*nx|
rFrtado (4),
+(3/rz.sen¡-r.)k
y V x F debo s€r cero, y, scgri,n
cl
(!,2. cosx - 4x.z) dx + 2zty en r dy + (3y,2' sr,rrx _ xrl ¿z : d6
tdi<¡odo uno de los métodosdel probleña,12seobticne / : .¡rrz¡sen¡ _ ¡.2
+ constanie.
f u campode fuerzascons€Ívadorde forma que F : -v
c. supongamosque una partfcuradc masa
m se muévl. en este campo. Si I y I son dos puntos cualesqui€r¿ d¿l espacio, demostrar que
ó<A)*trnlt:
¡(p¡- ¡nt,."
v/ y y¡ los módulos de las velocid¿des de la partlcula en A y B ¡esp€ctivaÍrente.
- -94
INTEGRACION VECTORIAL
d2¡
=
,.i
Lueeo
f/.
^ i. ¡ F
=;
d ,dt,
i, G
= E*fn = i^,', - i^q
Integrando.
.f,t ..0,
(u ..r" = - fu vo.n = - ft ¿e = ,p(A\- e@\.
si F- -v@,
' J1
JA
J1
Por lo tanto, ó(A\
-
=
ó@J
-
¿^ú
[^$
como queriamos demostrar.
El valor d(.{) es lz energíapotencial ei A y lmvt^ la energía cin¿f¡ca en dicho punto. EI
blecequo la energíatotal en I es igual a la energíatotal en I (conservaciónde la energfa).
ha puesto un signo menosen F : -V é.
f!'l Siendoó : 2xyz", F .' xy i - z i + x! k y C la curva .t : t', v "- 2t, z:
las integrat€s
curvilineas
I e dr, (b) | f x dr.
J¿
Jc
tol
'.
(a) Alofa¡gode C,
= Zxyz2 = 2 (t2) (2t, (t3)2 = 4te,
= t2 l + 2t!+ tsk,
= ri + f!+ zk
Ó
r
r3, desder -.0 a t:
y
dr = (2ti + ü + 3t2k\ d¿. Po¡ Io tanto'
¡
a
t^
| *o ' =
./c
J
f!
i |
Jo
nf trtt + 2l + 3t' k)dt
rr
8rrcdr + ¡ |
Ja
erear *
I
11
r2t1' dt = ff i
I
Jo
r ii'
tr
l
.!,
(ó ) A l o l á rg od e C , F= zyl - z!+ z2 l = 2toi - r3¡ + rak.
Luego F x d r
=
(2t3i -
l"¡
I
r
2t3 -tt
2t
r
d€ dondc
2
fo'
+ l o h ) x ( 2 t l + 2 ! + g t 'k t ¿ t
kl
* (4t"* 2ro\l
t" I a, = l<-ef -ao\i * 12ru-Gr"¡¡
3r"l
etr" - zrota, * r Io
¡-4t6¡dt + r, fo' $r"rzro) a,
-f ii-3, . t *
INTEGRALES DE SUPERFICIE
fr
17, Det'rnir | |
JJ
J
n.n dS extendidaa una superñcieS como límite de una suma.
/S' corrp :1,2,3,. .., M, y tomemos
Subdividamos
el área s en M elementosde
ye, z)- SeanA(xo,yr, zr) : A, y n' €l Yector
cualquieraPr, del elemento/S¡ de coordenadas(xe,
^rea
no¡mal exterior a ¿SD cn P y formemos la suma
.--.
\
a
INTEGRAC¡ON
VECTORIAL
'':
i
t
^ h .r9A s t
l=t
Ar. n, la ,cothponente normal
a Pc,
El línite de esta suma cuando
dc forma quc le m¿yor difiren- ¿ cada uno dc los elcmcntos /S,
a c€ro, si cxiste, se llam¿ inte& superñcie dc la componentc
dc A oxteodida a S y se rcpre-
[
^." n t
Bndoquc .R ca Ia proyccción de la supcrñciq S sobrc el plano xy, como so obs€rva en la figura dcl pro-
1 7 'd e m os tr¿rque
f f n.rrt
JJ
=
,t'P
f ( n.n¿-!&.
In'kl
JJ
Sogúnel problefrE 17,la integralde superñciccs el lfmito dc la suma
J
-
A^. ¡^ A5^
I¡ proyecciónde y'.t, sobreel plano ry cs l(nor'Sr) . k I o | ¡¡ 'k I ./S, quo es igual t Axrtyt
orc 4s;.##
&
. Luegola suma(1)scroducoa
r^
tr
i. ^,'n^P+
P P 1 ¡n ' \ l
;,
Scgrli cl .lcoroma fundafncntal del cálculo intpgral, cl llmite dc 6ta sum¿ cuando M -+ oo de forma quc
,rayor de Axo y lyo tienda a c€ro es
íl *"trfi
sc qucrla dcrnosÚa¡.
pcro so pucdo dcmostr¿rqqc anbos diform €Nr
" ffi,
dc ordcn supcriora ¿xD A.yr,@n lo s,rd bs Umttet&, (I\ y (A no varlan.
En r€alidad,/S, no €3axactamÉrir,3
isilA
$
-
"dS
, siendoA : lEzi - t2J+ 3yk y ,t la región<tetpranozx +
it
d prirnpr octantc.
En la figu¡s sdjunta se¡€pr€sentatrla superficicS y ru proyccciónsobreel plano ry.
+ 6zf= 12situsda
.
==n
INTEGRACION VECTORIAL
96
ll *",*#'
P
i(U
Para obtoner n obsérveseque un vector p€rpendicular a la superñcie 2x | 3y * 6z: 12 viene
+ 3y t 6z) :21+ 3, + ók (problema 5 del Cap. 4). Luego un vector noÍnal en un
GSura) es
"=#+=f
y '2 '+3 '+6 'i-f lr-f -r
P o rco n si guiente,
n.h = ( + r - fl .$u.r
= f
t
También,A.n = (18¿¡- t2J+3yk\.(+t*fiirfu
teniendoen cuentaque z = !3=Z:y,
' #r = la,ay .
-
362-3-6+18/
de la ecuación
des. Luego
f[,t ^'"o' = l í * "# # , = f f r f f f t ""
R R 'R
= ['u-" " 'o'
Para hallar esta integral doble extendida a ¡, mantenemos ñjo .x e integ[¿mos con resp€cto a
y:0(Pen
la 6gura) ay :
1'' _)
'"7u
(Q en la figura); a continuación,integramoscon respectoa
x : 0 z x : 6. De esta fofma so recorr€ .R por completo. Haciendo operaciones,
"
fu (Gz-2"/' $-Lr)tt.dx
lo yr=o
=
lo ,rr-12,.\2¡a'
/=o
=
24
-)
Si hubié¡amos tomado como s€ntido positivo del voctor unitario normal |l Gl opuosto al de la figura,
tado obtcnido s€,rl¿.-U.
aa
z). Haffar
ff
JJ
a.n aS, siendoa = zl+zi-3y2zk
y.i la superficie
delcilindro
¡'
J
ló situadaen sl primer octanteontre z : O y z :5.
l'
Proyectemoss sobre el plano xz, y sea .R esta proyección como indica la ñ8ur¿. Obsérveseque
caso no se puede hacer uso de la proyección d€ ,Ssobre el plano ¡/.
INTEGRACION VECTORIAL
97
f|?
=
JI^'"0'
II ¡.n l 'o.',
JJ
ln. J I
5
P
¡¡ mrrnal a ¡, a /r : 16es V(¡' * yr) : 2¡i *
el vector unitario normal a S indicado en la
.- 1
= -ZJ:ZL- ri+yj
4
/ ¡u¡' t 1zy¡'
^
¡: -r )r'z:
+.
16 en S.
x i + ,tl
(-..-+ ) =
= (zi +x l- } y 2z lr \ ,
xy\
i?z+
* t = it : r t . t 4 + .
I ' t¡lral de superñcieef
dz =
¡l
|
G" ra\¿,
= 90
i
I Ir"
dS siendo ó =1"y"
y.SIa superficiedel proUtcníi ZO.
J
)) o.o'= JJr"frfi
ff
hdremos,
r?
3 ,?
ltfiiendoquen= "t!n,t ,n.t=\
como en el problema 20, esta última integral es
15
JI1"o""'
a ,a z - ! I
óJJ
?*
I
6",1*,"/ñly¡ d,d"
z =O x =0
R
f,
- -1 I
8 J
= yi +( x- 2rz)i-xyk,
hallar
f I z' : a' por cnaimadelpl*o
JJ
t
"y.
r ik
9xp =
oo o
= ,l + y l -2 2 k
t ¿a"
|
, -ztz
-x!
I¡¡ormal a x2 +y2 +22 = a2 gg
9p2+ y 2+ 2 2 ¡ = ' u l
I
, z .y ! * z " t
= l00t + 100t
tQ!"t + 9!zt\dz
3
3 -',
(VxF). n d,S siendoS ta superñcicde l¿ esfcra
INTEGRACION VECTORIAL
El vector unita¡io n de la figura viene dado po¡
¡
= 4j t:-U i -1]4
y'4r' + 4f2+ 4t2
-
' l + tJ+ zk
ya quc .x' * y, * zz : a2.
La proyección^deS sobreel plano xy es la región R limitada por
la circunferenciax, I y" _ a",
--,
como
se ve en la figura. Entonces,
ff
?r
=
JJ tV' r r .na s JJ r v,r l." 3 ld '
JP
=
fr
I yi- 2zk\.( ' !u:4\
JJ "t
R
= f'
,t-"
f*
* - 4)
'o"!+4,,0.
v a'- x'-1'
,=_",u,,
¿l?i::'":UTY:::"",:/:-#l;,llJi"lál?ilT""T"J,iilt:T:
:1.*
oooo.
.f* f" !P2!
v a'- 9'
¿"=o
f-
olo
^!o
f" 'f4:!)-!,opoE
a2- o2
!=o
fl n2
|
,J
D=0
|
J
p=O
'./
t-3,t, a2- p2 , -!=L=t
,/-2
¿, ¿a
^2
a2r
Si F -- 4r¿i - y2i + yz.",, halar
I
J
la ' -7 t " "
a2,
I
J-
to"-o3l ¿ó
Il..r,lt
siendo.s la superñcie
del cubolimitadopor x I o,
r-1, y=0, y=1, z=0, z=1.
por lo tanto, '/
CoraDEFG: n : i, ¡ : l.
aa
rJ//
DEFG
r."as = I I
J^ J.,
f
=
¡
E
\¡¡\,-
|
Gzi-12 i,vzk). idydz
/r1
ll
Jo Jn
42dydz = 2
- ".,Tp, t
=
n
l"
l¿a
' p = o 1 -Y
INTEGRACION .VECTORIAL
99
r : -¡, ¡ - 0. Por lo tanto,
r-rrs
=
L
f-¡JS
=
Po,to tzrto, /
a'a"=
!' l' ,*,r-¡+zl).j
I'f'-a,a"
r:-i,y:0.
.¡ ds =
t+yzrt.(-i)rk rt z = o
["['nf
Por lo tanto, O
lr l fr
| |
vo lo
r : k, z : l.
(4tz lJ. (-t) dz dz
=
0
Por lo tanto,
. t ¡ - - k ,z :0 .
Por lo tanto,
=
F.",ts
I'l'
Fv"ll.i-n¿"¿v
= o
ff '.''n'=
2 + o + (-1) + o + á + o = !2'
J
de integral€s de superficie hcmos consid€rado cl caso de superfici€s de dos caras. Ponor un ejomplo
r[porficie de una sola cara.
una tir¿ de papcl, corno .IBCD e b frg1'J,fn,,
y doblamos do forrna que los puntos
c¡igan sobre D y C, rsspactivamsnte, como se ve
f3ura inferior, Si n €s el vector unitario noÍnal
cn un punto P d€ la suporficie, al desplazarse
erpl¡ficie invierte su sentido original cuando llsga
ro a-P. Si inúentáscmoscolor€ar solamenteuna
rs darlanos cuenta d€ que sg h¿brl¿ pintado toda
Esta sup€rficie, llafiwda bqnda de Moebiüs, es \Í
de una superficiede una sola cara. Este tipo dc
tsmbiár se conoce con el nombre de superficie
, micntras quc las dc dos caras se llaman
ifi
DE VOLUMEN
l:15+'y,y
Y larcgióndcl cspaciolfunitadapor los planos4x +2y + z:8,
un**fifoor-.límito de una suma.'. (ó) Hallü
la integr¿l d€ (a).
¡:Q,
y:Q,2:Q'
INTECRAC¡ON VECTORIAL
100
(a) Subdividamos la región Z en M elementos de
volumen cúbicos, ÁVp : A¡rlyo¿¿u
"on
k : 1,2, .. . , M, como se indicaen la 6gura
adjunta, y sea (¡¡,, /r, z¡) un punto interior a
estecubo. Defrnamosó(xk,yt¡, zk) - {t y consideremosla suma
S^ ¡ ¡
r¿ )
extendidaa todos los cubos posiblesde la región. El limite de estasumacuando ñ1 óo de
- ,l r/¡
forma que la mayor de las dime¡siones
ti e n d aa c e ro , s i exi ste,es
rrf
| | | o,l l .
s"
.]JJ
7,
puede demostrar que este limite es independient€
d€l método de subdivisión siempre que sea continua en ¡/.
Convieneprocedercon orden al extende¡la suma(,/) a todos los cubos de la región. Una
a elementosde volumen
es su¡n¿r,en primer lugar, todos los términosde (1) correspondientes
en una cofunua, como la representadaPQ en la frgura.Ello equivalea mantenerfijos rr. e /| y
A continuación,se puedemanlener6jo xk y variat yk. Ello equivale a suma¡ todas las columnasPQ
tgnidason la rebanadaR.5y, por ¡o tanto, a suma¡ todos los cubos contenidosen la misma.
se varía ¡¡ y se habrá extendidola suma a todas las rebanadasposiblesRS.
En el procesoanterio¡, se ha efectuadola sutna variando primero z¡(, después/* y, po¡
Sin embargo,esta suma se puede efgctuaren un ordeq cualquisra.
(á) Todo lo dicho en (d) se aplica en €l cálcu¡o del valor de Ia integral, Ma¡tcliendo ¡ e ),
integra desdez : 0 (basede la columna PO) h¿staz :8 -4x *2y (altura de la columna PO). A
tinuación, se mantieneconstante¡ y se integ¡a respectode /, con lo cual, ie habrán sumadolas
cuy¿ bas€estáen el plano xy(z : O) desd€rR(en donde y : ¡¡ hastaS (en donde 4¡ + 2y :8, o
y :4-2x);
l¿ integración,pues, se hace desdey : 0 hasta .¡r- 4 - 2¡. Finalmente,se suman
las rebanadasparalelasal plano /.z, ofectuandola integ¡aciónentre x ==0 y x .= 2. Por Io tanto,
rnos escribir
¡2
J
^Íl
45,2y dzdydx
.
45
^2
|
/.q-2r
|
, 2 y 6 - a t - 2 y\d 1 d .x
x =0 y =o
-
45 I
ló
}*'G-ut'd.r
= r2B
Nota: El r€sultado s€ puede interpretar fisicamenteconsiderándolocomo la masa de la
en la cual la donsidadd va¡ía con a¡reglo a la ley E :45rzr.
2 ó . Se aF :U z i -x i +
y' k.
u^n",
!!!v r
dl
en donde I/ es la región limitada por las
x : o , y : o , y : 6 ,, : x2,z : 4.
l,a región ,/ se recorre(a) manteniendo¡ e y fijos e integ¡andodssd€z: x'hasta z :4(base y ¿
respcctivamente,
de la columnaPO), (á) manteniendofijo ¡ e integrandodesdey:0 hasta),:6(de
e n l a fra n j a )y ,fi ¡a l mente,(c)i ntegrandodesde¡:0hastax:2(endondez:rrco¡ta¿z: 4) . Así
la integral es
i
ArI
l0l
INTECRACION VECTORIAL
t
:'l:
r_ 1::
1,:
I
l
t
+
I
t
t
a
t
:
I
I
f'
,u" , - ", + y2k) dzdydx
¡
*
, r f"l'r:
dzdldx
2'';2
'f l,:Í,',
'Í,'1,'l:
1 28 i
+
24j
-
I
y2 dz dy d,
384k
volumende la región limitada por la intersecciónde los cilindros x' + y' :41 y x2 + z2 : a'.
I
I
7
7,
8 vecesel volumen indicado en la figura.
Volumei pedido
=
nliiz
nTo2-,2
B Ittt
|
|
,=0
y.0
ll'-o,
8
|
z=o
n /o 2 - t2
¿
a,ava,'
r o 2 - x' dydx
=81
1o"- rt¡ at = $
r= a t= o
I
:,i-_l
102
INTEGRACION VECTORIAL
Problemas propuestos
R(r): (3r!- ,) i +(2_ 6t)i_'4tk,haltar(a¡ l'R(r)dr y (ó) fn*() rr.
28.siendo
Sol. (ot Q'- t"l2)i + (2t -3t.\ l-2r'k
m . Y^tt^,
u i + 2 cosu i\ du
tl
fo"/2 "en
.
J
J2
+ c (ó) 50i-32i-24k
So/. 3i + 2J
f2
f0.
DadosA(f) : f i-r'j
+ 0-
l)k y Blt\:2,,i*
6rk, hallar(a) l-
JO
sot.(att2 (á)-24r-Tt + Tk
t¡1 o*osA : ri - 3i+2rk, B : i - 2t+2k,c : ::+4 - k, tratta.{o{
t7
á.¿
so t.(o )0 (ó )-ti -;i +;k
@)Ío A X B d'.
^.Rdt,
2a
. l x C ttt,6¡f
2
¡ xlsv
r{
La ace¡€ración
de una partlculaen funcióndel tiempo, = 0vienedadapors :e-ti*6{t
+ l)l + 3
Sa b i e n d o q u e l a v e l o c i dadyyel despl azami entorsonnul osenel i nstantei ni ci al t:O, hallar vyr sn
del tiempo (lcy de velocidadesy de espacioso ley del movimiento).
,9o/. v: (l -e-t)t-(3t'+6t)
i + (3- 3 cos¡) k,,r : (f - ¡1s-,¡ i-(r¡*3rt) j + (3r- 3 s€nr) k
33. La aceleracióna de un objeto en función del tiempo ¡ viene dada por ¡ : -j'j,
sicndo g una
Sabiendoque en el instanteinicial ,:0, la velocidadesv : ro cos 0o i + yo sendo j y que el des!
esr:0, hallarvy¡en funcióndel tiempo, > 0, Estccasocorresponde
almovimi€ntodeun proy€ctil
por una piezade artillería con uD ángulo de elevación0o y una velocidadinicial de módulo vo.
,So /. v : rre c o s 0 q i+ (vosen0o-at)i , r:(rocos0o)ri
+ [(ro s€n8o)t-]gt' ],
/4ta
. l H a tta r l ' n .!a ,
,J
s i A(2):2i -j
+ 2k y A (3):4i -2¡
+ 3k.
S o¡. l o
35. Hallar la velocidadar€olarde una partlculaque s€muevea lo largo de la trayectoriar : acos úrti + ó s€tr
siendo a, ó, ú.¡constant€s y t el tiempo.
Sol. labot k
36. Dcmost¡arque los cuad¡adosde los periodosde los plan€tase¡ su movimiento alrededordet Sol son
cionales a los cubos de los semiejesmayo¡es d€ sus Íaye¡torias eliptic¿s (terc€r¿ ley de Kepler).
37. sie¡do A : (2y 'f 3) | * xz ! -l (yz - x)k, halh
.
I A dr a lo largo dc las siguientos t¡ayoctorias
t'
(a ) x :2 t' ,y :t,z :tt
desde,:O n r:t,
(ó) La quebradaque une los puntos (0,0,0), (0,0, l), (0, l, l) y (2, I, l),
(c) La rccta que une los püntos (0,0,0) y (2, l, l).
.so/. (a) 288/35 (ó) l0 (c) 8
/t
l. - - - ¿
r
1..
',
3,6. SiendoF:(5¡l-
6x,)l|(2y-4x)!,
taftar I F,d¡ a lo largode la curvaC del glao xy, y
rC
desde€l pu¡to (1, l) al (2,S).
Sol. 35
.39r Siendo F = (2¡ + f) i * (3y - ¡) J, hallar I
f . dr a Io largo de la quebrada C del plano ¡/ qr¡c
Jf
lospuntos(0,0),(2,0) y (3,2).
I ---
'
So/. 1l
¿fO,Haflar el trabajo roalizadoal desplazaruna particula en el campo de fuerz¿sF : 3x'i + (2xz - y)t
a lo largo de,
(é la roctaque une los puntos(0,0,0) y (2, l, 3).
(ó) la curva x : 2t2, y : t, z : 4t, - t desde r : 0 hasta ¡ : l.
(c) la curva definidapor x, :4y, 3x.: 8z dosdex :0 a x =,2.
,!oL (a) 16 (b) 14,2 (c) 16
INTEGRACION VPCTONTET
¡.n¡r
.t
F.dr sicndoE:e-3/)¡
I
JA
y C la curva cc¡radadel plano ¡/,¡:2cosf,
+('-2¡)l
Sot. 6n, si C se recor¡ecn el sentidopositivo (contrario al d€
dcsdc ,: O hasta ,:2r.
¡:3se¡i¡
b egujas del reloj).
lhodo T un v€ctor tangcot€ unitado a la curva C de ecuación r : r(¿), demostrar que cl trabajo rcalizado
t¡
J Gplazar una partfculacn un catnpode fuorzasF a lo largode C vienedado por
I F.Tds siendos
'
Jc
b longitud de arco.
bdo
-o
+(3/-4x)J, -. halhr f^ F'dr a lo largo dcl triánguloCde Ia Fig. l, (a) en cl
JC
(b) l4!3
Sol. (aJ -laf
i¡dicado, (ó) cn scntido contrario al anterior.
F:(2¡
+/')l
l¿
-l-
-ro
l-,,'.
lt"
9t.
,
213
quetr:(¡-¡)l
A . dr a lo largo de la curva cerr¿da C detla FiE. 2, sabiondo
+(¡ +.r)t.
fudo A:(y-2x)t
+ (3.r + 2/) j, hallar ta circulaciónde A al¡ededorde la circunfercnciaCdel plano.ry
So/. E¡
o oentro en el origsn y radio 2, sahiendo quc C s€ recorre en s€ntido positivo.
f
|nd"p"nOiente ac Ia trayectoria C
d e nostrarque I A .' ar
JC
",
lE pasa por dos puntos rtados. (ó) DcmosÍar que existeuna función derivable C de forn,r que A : V{
sol. (b) ó ¿ 2"zy - xt z2 + constante
i t¿itar sú expresión.
{ d S i A : ( 4¡ r - 3x ' z ' )i + 2 x ' t-z x tz k ,
un campo 'l€. fuer¿ascon*2)kes
f.) DemostrarqueF:(/tcost*zr)lt(2lsen¡-4)t+(3x2r
serva¡rvo.
e) Hallar cl poencial esc¿lardc F.
lc) Hallar €l.lrabajo r€alizadoat desplaza¡un cuerpo en €ste cempo desdc(0, l, -l) hast¿ (z/2, -1,2).
+ 2? + constant€ (c) 15 +4fl
f,,l- (b) ó:r,¡s€n¡ +xzt-4y
./
DlDostrar qu€ F : /tr es conservativoy hallar €l potencialescalar.
I)cdcrminarsi el campo de fuerzasF:2xzl
I +(22-x¡)k
*(x'-ñ
sot. 4: f, +
"onu*ru
es conseryativ(.
So/. No
Ittmostrar quc el trab4jo realizadosobreuna particulapara desplazarladesde,,{hasta-Besigual a la variaciólt
la enerbfacinética€n dichos puntos, lanto si el campo de fuerzases conservativocor,o s, no lo es.
E ¡ Ur
i¡ do
I
, l . d ¡ a l o l a rg o d e l a c u rv a x ' * y ' :1,
A:(./z
* 2 x )l
€) Dado E:rr,
f
* x z i * Qy
!2 2 )k ,
z:
I,en el senti doposi ti vo,d€sde(C ,l ' l ) a (1,0, 1)
S o/. I
¿existouna función d deformaqueE:
-VC?
En casoafirmativohallar dicha función
O) Cslcular Q E'dr siendo C una curva simple cerrada cualquiera.
"C a
(q) ó : - -¡- + constante (ó) 0
U.
TNTEGRACIONVECTORIAT
104
I
yldy + x*nydz
es una diferencialexac
53, Demostrarque (2xcos/ l zseny\dx +(xzcosr-x'sen
:
'
resolverla ecuación(2¡cos/ + z*I.y)dx +(xzcos/-¡ts€tr
!\ dy I x*¡y,'t
Como consccuencia,
:
¡z
sen
constante
,to/. ¡' cos / +
/
l.
/
/?
Resolver(a') (e-v -l 3x'y') dx + (zt'y - xe-t) dy : O,
(b \ (z -e -' * n y )dx
+ (l + ¿-' cos/)d/ I(x-B z)dz:0(a) xe-v ! xry': constante (b) xz + e-'str,ny + y-42':
Sol.
.?
SJ. si O : 2.ty'z + x'y, halhr
I
sonstante
d </r siendo C :
(¿) Laiurva¡ : t, y : l', z : r! desdo, : 0 hasta, : l.
(ó) La quebradaque une los puntos(0,0,0), (1,0,0), (1, 1,0), y(1, l, l).
tq
tl
75
I
sot. (a) asi+ 15¡+7 ; k (ó ) ; i
¡k, hal l a¡ f
5 6 . S i e ¡rd oB :2 y i -z i *
t : nl 2.
d e s d er:o h a s ta
i 2k
,,
Ora l o l a¡go de l a curva ¡:cost'
v:sar r t ,
z: 2
S ot. (2-;)i + (z-l )i
f
(A x B) x dr alrededorde la
57. SiendoA : (3x + /) i - t , + (-/- 2) k y B : 2i - 3j + k, hallar I
Jc
Sol. 4tr(7i+
del plano¡/, dec€ntroel o¡igeny radio2, recorridaen el sentidopositivo.
cunferencia
fr lr
Hallar I I
58.
/
.,rJ
'J'l
t/
I 'n ¿S
"n
cada uno de los casossiguientee.
(a) A: yi * 2xizky S la superficiedel plano 2¡ * I : 6 situadaen el primer octante y limitadl
e l p l a n o z :4 .
(ó) A :(¡ + y")l-2rcj +2yzk y S la sup€rficic
del plano 2x * y + 2r:6 situadacn el prime¡
(¿)
(ó)
8l
.to¡.
108
59, SiendoF :2y i-
zi + ¡tk y Sla superñci€/':8¡
situadaen el primer oct¿ntey limiiadapor los
ff
y : 4 y z -- 6, hallar f l
F'tr ds.
sol. 132
JJ
?¡
II
6(). Hallar JJ
,f :0 ,
z :0
S del volumenlimitadopor el cilindrox' I z" :9, x
A'ndS extendidaa la superfrcie
e y:
g , s i endoA :
rr
61. Hallar JJ
6zi t(2x
+ .y) j -¡k.
,5o/. l 8z
exiendídaa: (a) la superficieS del cubo unidad limitado por los planos (
t'¡dS
J
ylosplanosx:
t, y:
l, z:1;
(ó) la superñcic
de una esferade radio 4 con c€ntroen (0, 0,0)'
sot. (o) 3 (D 4't'
62. Hallar
ff
tl
J J
lt' n aS oxtendida a la superñcie del voluñeo situado por encinra del plano .ry y
s
p o r € l c o n o z ' :x 2
Iy '
y el pl a¡o z :4,
si endoA :4xzi * xyzri * 32k.
Sol. 32O a
63. (a) Sea n la proyección de una supcrñcie S sob¡e el plano ¡/. Demostrar que cl área de la supcrficie S
'!
INTECRACIONVECTORI,-¡-
F(x,/, z) : 0?
:-.L esel áreade la sup€rficic
S dgecuación
105
t,
fr
Á__
/ óF .2
voxóyóz
JJ
1 2 l i m i ta d op o r: (a) x :0,.y : O,r:
.dF.2
drdy
la F l
R
. ar eadc l plano¡ + 2 y + 2 2 :
' - :.' : t6. Sol. (a\ 312 (b) 6n
-<-_-.óF.2
l ,.y' = l ; (ó) ¡:0,r:0,
: á¡ea de la superficielimitada por la hters€cción de los cilindros x" * t' : a. y xz + 22 : a2.
y(á)
, . ff rv,.>.nds
Ií,
"*
s i e n d oF:(¡
+ ' 2y\i -3zi
l ,¡k,
I
d - 4x ]-31,-22,
.tJ
-i ':;perficie de 2¡ + y + 22 :6limjtada
: i ( b) 2i *i *2 k
Po r ¡:0,
y:2.
x:1,Y :0o
: :: el pr oblem aan te ri o r,s i e n d oS l a s u p e rñ c i2ex + y + 2z:6l i mi tada
por ¡:0,
)' :o,
y z:0.
: 92 (b)'12i136i+72k
ll
-l JJ
,',2+tz d.xdy extondída
ala región.R
delplanoxy limitadapo¡¡' * y' : 36.
,urrror,
:2yz:0.
:
siendoI/el volumen
limitadopor el cilindroz:4-x'
Sol. l44n
y los planos.r:0,
So/. 30/3
iim it adopor los p l a n o s¡ : 0 , t:O ,
.]J J
v
z :O
fi
y \ b \ lf f V , rd y . s ie n d o v e l
!x:- 3 2 ) i- 2 xyi-4xk,nuttar <Of f Ii.F d v
JJJ
v
y 2x+ 2y* z:4-
S-,..8..8
oL (a) i
(¿);0-k)
2
'
r)l'
-l
1.- --
Ca ítulo
Operociones¡ntegroles
Teoremode lq divergenciq,leoremo del rolqcionol
y olros leoremosinlegroles
TEOREMA DE LA DMRGENCIA
wERGENCIA DE GAUSS.
GAUSS. Sean,
Sean,Z el volumen lirnitado por una
cerrada3 y A una función vectorialde posicióncon derivadascontinuas;entonces
t t t
JJJv.^dv
r, s J
=
= ff
JJ^.r,ds $)e.as
t t
siendon la normal exteriora S (positiva).
TEOREMA DEL ROTACIONAL DE STOKES. SeanS una superficieabierta de dos caras
curva cerradasi:nplesituadasobrela superficieanteriory A una funciónvectorialcon derivadas
f o'o'
-c
ffo,n,.,rs - ffrv"n,.a"
en donde C serecorreen el sentidoDositivo.El sentidode circulaciónde C es ¿osirivocuando
vador que recorra la periferiade S en dicho sentidoy con su cabezaapuntandohacia la normal
a S, deja la superficieen cuestióna su izquierda.
TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO. Sea.Runa regióncerradadel plano x), limitada
cuwa simpley cerradaC, y M y N dosfuncionescontinuasde x e y con derivadascontinuasen -R;
' cf
r o, t r n,
fl,* - *,*,
cuando C se recorreen el sentidopositivo (contrario al de las agujasdel reloj). Mi€ntras no se
lo contrario, supondremosque yl' significaque la integral se efectúaen una trayectoria
recorreen sentidooositivo.
t' f
El teo¡emade Green en el olano es un caso Darticulardel teoremadel rotacional de
blerna4). Tambiénesinteresanteobservarque el teoremade la divergenciade Gaussesuna
del teoremade Green en el plano, sustituyendola región pla¡a R y la curva cerradaC que la lir
la región tz del espacioy la superficiecerradaque la limita Sirespectivarnente..
Por estarazón,el
de la divergencia de Gauss seconoce también con el nombre de teorema de Greenen el espacio
El teore¡nade Greenen el plano sewiifica asimismo,en el casode regioneslirnitadaspor
ñnito de curvassimplescerradasque no secortan (problemasl0 y I l).
106
TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL
107
INTEGRALES.
té.f, * (vó\.Nq,\)dv
=
ff ,rrrr.o"
Ert
J
es ef tcorcma o pr¡mer.i ident¡lfqd de Greer.
@V',!-,t,V'6dI'
=
at
I lttVp
- ú,Vo).ds
5
cs cl teolcnu
s¡núlrico
o saguulu idutt idul lc, G rt'rn (probleura 2l ).
ixrdv = ffo*otas = lfo"-o
3S
Obeérveseque cl producto cscalar dcl teorc¡na de la divergencia dé Gauss se ha sustituido
r| productovectolial(problcnra
23).
rLI
=
rf
| llnxY E ¡dS
JJ
=
rf
lldsxYa
JJ
por el símboloo un producto escalar,un
g una función vectorialo escalary representando
vectorialo un oroducto ordinario. se verifica:
III,"r,, =il""r" =ll,"",t
v
{*.
"c
* = ff ,,,v," +os= ff ,0",r',
"q
ma de la divergenéiade Gauss,el teoremadel rotacionalde Stokesy los números3 y 4 anson c¿sosparticularesde esteúltimo (problemas22,23 y 34).
tlA INTEGRAL DEL OPERADOR'V, De acuerdocon la terrninologlaempleadaen el Procs interesanterepresentaral operador V en la forma
vo
ribolo
t\ ,h # n '
AJ
o rep¡esenta un producto escalar, un producto vectoríal o un producto ordinario
I-a utilidad de esta forma de proceder la vcremos muy claramenteal generalizarlos conrats, divergenciay rotacionala otros sistemasde coordenadas(problemas19,24 y Ca.-
TEOREMA DE LA DTVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL
Problemae reeueltoe
TEONEMA DE GNEEN EN EL PI./WO
l. Itcnogtr¡r cl tcor€Nns
dc G¡con€n ol plano, ¡icodo C um
cr¡rva cc¡rad¡ quo tieno la propicded dc que toda r€ct¡
p€¡¡bla a uno dc loc eis coordaoadosla corta a lo ¡u¡¡o
m doEptmtor,
Scan,y y'1¡¡ 3 : rl¡) l¡s cr¡acioncsdo las cr¡r- rcrfr¡c'üva,mento,
quoapa¡cconen la figura
vasAEB y AFB,
"
adjunt¡. Si ¡ c. l¡ t!8ión limitada por C,
ffav . . =
JJ t"',"v
= l"'roat;wl,',
* =['"'o"'*"],'
.[.'1,={^:'
-l'ro.ru* - foro,r,rr'= -frr*
(r)frrr". -$Vr,r,
For lo taúto,
Análogat .nto, tú x : X{ll
y x : X.(1t) son las cq¡acionc¡ do l¡s c1¡rvasE¿F y EAF,
n*,,
I!*,.,,=J:1,"{:
*'1"'- ['P,,'',=
Porrot¡nto,
/.\
, nu.,na,= frnr,
n<*''rto,
!r"
fl
(2,
r*"i-
f!*r';,
.
- {ta'+.
I
sr¡n¡¡do(¡)y(2),
{ro,no,
C@probas cl borm! dr Grür cn cl pl¡no
f.
een ta intant f l{ry +y2l !* + 12 dy úñ
? \_.
C la curva ccrradaquo¡iüit¡ l¡ rtgióü dcGnld¡
POrt:¡et:t'.
ií ñilf*Iffi"'T
o"""?,tilTü;ri
sonridopoeitivo cn qr¡c ao ¡scon¡ l¡ úca C.
$:*
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
*
n' ¡ g?: a lo lar g o -d ey :
¡, e s ,tr¡,.fr { C ,r i .. { r.r-l
a t.? l
.l
¿o
Gla\ + za)dx + (x2\(2')d,
=
J¿o
o'" * ó a" .=
f;
* c:cr--al a lo largo de .r : x desde(1, l) a (0, 0) os
lo
| (f"lr'l
I P) dx
Jl
-
= -*
p€didavale =
curvilinaa
.,JrrE¿ integral
i3-t
rr
f f .¿ ¡t ¿M..
=
JJ,;;: - fitaxar
RR
=
ft
| I o-ztt¿,¿,
=
-
'{+
i,/
f'
?'
|
| e-zttdvdz
J
J
t= O f=t2
P
=
['tf'(,-2
vrd r)d ,
Jr2
uO
=
'
-1
^
JJ rf;e't -fit,v'v'¡)a,av
JJ
=
fo
3x2¿1. =
|
.tl
=
+ 12dx
[' pv- vo¡ l't' ^*
uo
-ñ
@ 4 - x3 \¿ x
¿
tJÉ cl tcorema s€ cumDle.
: la demostración del t€or€ma de Green en el
¿:¿ en el probleria l, a las curvas C quc sean corlc aás de dos puntos por re,ctasparalelas ¿ los ejes
-"n.de¡emos una curva cerrada C como la inücada
T::-a y que puede ser cortada €n más de dos puntos
ras paralelas a los ejes. T¡azando la recta 57, la
leda dividida en dos, Rr y ¡Rr, que son del tipo
en el problema I y a las cuales se puede aplicar
de Green, es decir,
t¡
t¡ t¡
^
I tr a t+ Nay= J,r(+-!)¿'¿y
J'¿x
J
¿"
sfu
P1
f ,,, *r, = II ,* -{ta,ar
Jrft
R2
SEando los primeros miembros de (J) y (2), sin escribir el it¡t€grando M dx ! N dy, se obtione,
T- T = T -T -T,T=
T-f = T
ff¿J
,'?
JM,'
TIJS
SVT
fJ
TIIS
SVT
TOSVT
encuentaquc I.
f
,tf
fs
iünando los segundos mi€mbros de (l) y (2), omiti€ndo asimismo el integrando,
109
TEoiEMA
ll0
DE LA DIVERGENCIA. TEoREMA DEL RoTAcIoNAL
II
il- [ I
RTRZR
Siendo R la ¡eunión de las regionesXr y R¡,
l'
Porlo tanto, I Mdt+N¿y =
J
IUSV!
¡. n
llt!
JJ
R
^-.
d¡
- lya,ay
óv'
, comosequeriademostrar.
Una región R, como la consideradaen el problema l, en la cual toda curva cerrada cualquiera
cn ella se puede reducir continuamente de dimensiones alrededor de un punto sin dejar de
so llamz simplemenle corexa. Una región que no es simplemgnto conexa es múltiplemente conex¿aplicado el Teorema de Green en el plano a regiones simplemente conexas limitadas por curvas plan
problema l0 se gpneraliz¡ el teorema a regiones múltiplemente conexas.
En el c¿so de regiones simplemente conexas más complicadas, puede ser nec€sario tr¡r¿¿r
como la Sl, paxa aplicar el teorema.
4. Expresar el teor€¡na de Gr€en en fonta v€ctorial.
S e t¡e n e , ¡t¿ r+,rydt, = (Mi+ N j ). (dxl + dyl \ = A .dr,
cual lr = dxl+dyt.
si endo A = Mt+ dJy
r =r l+yt
También, si A = Mt +NJ resulta
rjk
Vx A
dedonde,
1V*e¡.r ;
$
9¡ . ,P-*, *
aaa
7z ¿y
MNO
_1.
Zz
Az
Ot
Oy
¿M
oy
El tsorema de Gr€€n en el plano se puede escribh en la forma
I
e A.dr =
uc
n"
| | 1 V xe l. h a , i
si¿nd6 d¡R= dz dy .
La generalización do este resultado a superficics S del espacio limitadas por una curva C
teorenu dcl rotqcional de Stoker que s€ demuestra on el problema 31.
Otrc m¿todo.
Comoante,Md¡+ N dy : ¡ ' ¿, : e,' fi * : l'ras
. dt
: T : r¡ector utritario tangentea C (ñ8ura adsiendo
fi
junta). Si n esel vectorunitario normal exteriora C, entoncrs
T:kxn,y
M dx * N dy : A.T dr : A'(t x¡) dr :fAxk).n
dr
comoA : Mt+Nl ,B: Axk: (Mt+tvj)xk: Nt-Ml,
AN AM
resula -- ---:
v.B. E¡ tcor"made Greoncn ol
ox
ot
plano sr expresapor
f
{n.na.
J.
'¿
slndo dR : dr dy.
=
f f llV.BdR
JJ
TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL
zación de este c¿so, sustituyendo el elemento de lín€a, o diferencial do Ia longitud de arco
cerrada-C por la difc¡enciál de área dS de una superñciecerrada S y la región plána R corr€spofC por el volumen Z encerrado por S conduce al teorema'dc Ia -üverienc¡a de Griin
L G¡een en el esoacio.
-rada
v",,
[[f
v
6¡r¿¡üquien
pcn€Dar
ú4ex4
ls DlaDt
firi;amente el primer resultadodel pro6lema4.
r campóde fuerz¿sen el quo seencuentrauna partfcula;entonces,f n . ar eset trabajo real!
JN
d¡splazar dicha partícula a lo largo de una trayectoria cerrada C y su valor €s V x A. De aqui sc
¡¡i V x A:0,
ó bien, si A: Vd, la integral a lo largo de una trayectoriacerradaes cero..E¡to
que el trabajo realizado para desplazar una partfcula desde un punto a otro es indcpcndiente de
l plana que se siga para ir del uno al otro, o bien, que el campo de fuerzas es conservativo.
E demoskado ya en el caso de campos d9 fucrzas y curvas alabeadasen €l espacio(Capltulo 5).
Ernente, si la integral anterior os ind€pendionte de la trayectoria qu€ une dos puntos de una
ücü, si la int€gral ¿ lo largo do una línea cer¡ada es cero, rsulta V x I : ó. En el plano. la
tF x A : 0equival"t
:$,
#
siendo
e : Mi + Ni.
i2,r)
(lox' - 2tyt) dx - lx'yt dy a lo largo de la curva¡r - 6xlr : 4Jli.
c¡q¡lo directo de la integral es diffcil. Sin emba¡go, teniendo en cuenta que M:
,
#
::r,
:
y,ox
#,
l0xt -2xy.,
* de.duceque la int€gJql es independicntede.la Lra¡4:!!gria.En
podemoselegir una línea cualquieracomo, por ejemplo,la quebradaque une los puntos
0) y (2, l), en este orden.
queunelospuntos
(0,o) v Q,o),y : n
b larsodersosmento
tl,":*l
-*
, o. , :""
t- t il'i
= 6{ .
t
( ' á)
;
,J" ro radr
:2,
:
que
puntos
(2,
y
(2,1\,
y
fargo del segnento
un€ los
0)
x
dx - O la integral vale
pc dida: 6 4 -4
AM
A"
(
:
AN
E,
(Ox.
(10la -?tcys) ¿, -
¡^I
12r'¿!= -a.
J -
:6 0 .
-
y=0
2xy.) dx -
3xj2 dy
=
3x'y, dy 6 una diferencial
['"'"
"(0,0)
dQts -*t\
exacta (de 2x6 -
ri¡),
,t2.n
= 2tó - x2y3'(o,ol = OO
que el área limit¿da por una cuwa simple ccrrada C viene dada por $ i| r dy - y dx .
JC
€n €l teorema dc Green, M : -y,
f,
xdy - y dx
N : .r, s€ tiene
il,$<o - f,<t>)a"a, = z[[P
f
I el área pedida. Por lo tanto. ,{e = i f , a r -r a ,.
o'a,
=
2A
podremos
7+
f
,t"
.y'/
./
r-TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL
II2
t. Hallar el ár€a de la elips€ ¡ : o cos 0, y : ó s€n 0.
= +$zd y -y d x = , I ' "
**
rc o s a \ f t ' c o s l)d 0- g *
= ¿f'" ou1.o',0 + xnz\¡a0 = t
9. Hallar
r
Q
rc
O )e a * \0 ) d e
* d0 = nob
f'"
0 - *n x) dx + cos x d/, siendo C el trián-
gulo de la ñgura:
(a) Dir€ctan¡€nte.
(ó) Aplicando el te,oremade Green €n el plano.
(a) A lo largo de OA' y : O, dy : O' y la int€gral val€
r"h
rh
(0-s€n')dr + (cos¡)(o)=
J"
J
I
-s€nrd¡
= cosr 'tt/2
lo
A lo largo de AB, x :
*
i,
¡L
J"
A lo largodc8o, y :|,
f
'r!-*ou*
$ "'
= cos',
_l
: O, y la integral vale
(Y -t )o * o d Y = 6
o, : I a*,v t^integralvalc
,2"o',d, = (+ *.o",,?nn'¡ll*
La intelal a lo largode C = -r
(b) M = r -*i,,,v
:
$
= -r.n,,
+ o + 1 #
2
T -
7r
4Tr
TT
' 4 'r l
T2
2.
= , tO" OonO"
* r, = II ,* -{to"o, =
- '\dvdr
[['n*"'
R
=rulr
x =o
(-s€n¡
=,
- 1)
I
Ly= o
= .[" " n + n n ,- ]> a "
=
2,
-ñ\-
¡ ¡/z
Px/"
(-y s€nr - 7) lo
,co s¡ + se -n*l,)!
= -+
que coincidecon el rosultadode (a).
que aunqueexista una rgcta paralelaa un eje coordenado (el propio eje r €n este
Observese
corte a C en un núme¡o infinito de puntos, se siguoveri6candoel teorsmade Greenen el plano. En
teorena es válido aún en el caso de que C ostéconstituida por un número finito de,/segmentos
10, Demostra¡quo el teoremade G¡een en el plano tambiéo se verifica en el caso de una región R
conexa,como la representadaen la figura.
t
l,a región sombreadaR de la figura es múltiplementeconexa)ya que no se cumple que toda
so pueds ir roduciendo hasta un punto sin dejar de
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
¡. ¡ como se pueds observa¡considerando
ri
:...ada cualquie¡a que rodee a, DEFGD.
d€ R, que exteriorme¡te 6 AHJKLA e
DEFC, se rocorre en s€ntido positivo,
G :orma que un obscrvadotque se desplacc
'ñ'ips de la región en dicho sentido deja a esta
¡ = üquierda.
!b
lÉdrostrar el tgo¡oma, tracomos la reata AD,
rr'aro. oue una los contomos exterior e intelaain limitada por I DEFGDALKIHA es sim=cra y, en ella, se puedeaplicar el teorgna
E¡ cstascondicion€s,
I
=
Md,+Ndy
II ,*_{,,"0,
f
ADEÍCDALIJIIA
ü
R
= T-I
DE1CD
f
AL.IJfll
¡¡
^
!, u o,,u ay = II ,* - !o-' t o, o,-'- ') \
'
i i,
; l. ¡1 )#
c1
que el teoromade Creen en el plano se verifica en la región,R de la ñgura, Iimitada por las cuwas
:trradas C' (ABDEFGA'),C, (HKLPH), Ca (QSTUQ) y C, (vtrXYV).
i
l:¡.'emos las barrcras lF1, LQ y 'l:V. La región limitada por AHKLQSTVWXYVTUQLPHABDEFGA
conexay en ella sepuedeaplicar el teoremade Gre.en.t¿ integrala lo largo de estecontomo es
l*
ti
f*
nt{L
J-
LQ
iffff
f 'l r
JJJJJ
QSr
Iy
I
r l-
VyXyV vr
,
r1Q
[, T-T- T
A
LP]I
IIA
ABDXNCA
fas integrafesa lo largo de AH y HA, LO v QL, Ty y VT 9e anulan, resulta
I
i, .l
;
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL
I l4
I - T- T " T I
11KL
=
ÍlQ
VvXfV
83r
.
({,'
i)
(¡,.
,{,)
= I.
ítrLPIl
LPE
IAQ'
+
[
8STA8
I
T-T
ABDEFGA
+
YYXYY
IBDSÍGA
ABDENGA
IIIXYT
ff
fff
= f + l+ l
* l= l tl
v1
v3
siendo c el llnite formado por C', c", C' y C.. Por lo tánto,
t
ua,,nay =
$
Jc
'¡
'!t¿'¿t
ll, + dr - ! !Ót
trt
como se quería demostta¡.
r
Demostrargue $ u dx + N dy :0 a Io largode una curvacerradaC en una regiónsimplemente
Jr
.A M
si, y solo si,
u,
AN
en todos los puntos de la región.
¿x
Supongamosque M y N son continuasy con derivadasparcialesasimismocontinuasen todos lc:
de la región lR limitada por C, de forma que se pueda aplicar el teoremade Green. En estas
f
si = =*
ay
u o ,,,o ,= II,* -{ ta ,a ,
* . R,e n t o n c e s , o ' * Nd y = ¡.
f
aN
aM
)l --Reciprocamente,supongamosque Q M dx -t N dy : ¡ puru toda curva C. ^.
^
Jc
AM
AN
punto P. de la continuidadde las derivadassededucela desigualdad
> 0 en alguna
aV
a
que rodea a P. Si f es el contomo de ..1,s9 tiene
$ uo,. , a,
Jr
f f , d'' . 1- ! , , 0, 0,' o
to"
que secontradic€con la hipótesisde que la integralcurvilíneaescero a lo la¡go de toda curva cerrac.
gamente,
enel casode
-#
tu"zoff-< 0 sellegatambiéna unacontradicción.
cn todos ios puntos. "*#
¿V
oM
eouivalea v ' A :0, siendoA ' Mi 'r Ni
Obséne.eQuela condición
,y ll, Cap. 5). En el probl€ma 3l"* veremosuna generalizacióna curvas en el espacio.
TEOREMA DE LA DÍVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL
:
-
'
'J,
_r
(ó.J
) H al l ar
(a ) C a l c u l a r Vx F .
II'
Q r' dr a Io l argode una curvacerrada
:: -!:-_ :: aesultados.
,71
f.ir
=
J
k
¿
dy
?"
;¡-7
f -t d t + x dt
9-.
,J
a
= 0
€n toda región,excluyendoel punto (0,0).
0
pseny' , si endo
pcosÉ y:
Hasamos€l cambio de va¡iabl€s x:
,- + f'
: -35 coordenadaspola¡es. Entonces
pser,l. dó + d p c o s q ,
dy =
p cos ó dÉ + dp s.rre
::-_ ..r que
:--. :ra curva cerradaABCDA, Fig. (a), que rode€ al origen,ó:Oan
::
Ay?4 - 2z despuésde
O, = ,,.
:.:1¡leta y llegarde nuevoa ,4. Eo estecaso,la integralcurvilineavalL' I
.ó
Fic. (ó)
Ft s . ( a)
?¿ra una curva cernda PQRSP,Fig. (ó), que no iode€ al origen, ó :
óo en P y d :
,: --: ;ompleta y volver de nuevo a P. En cstg caso, la integral curvilíneavale
C o moF :
M i+
N i ,l a c o n d i c i ó nV " F :$ e q u i v a l e
" U {:
I
do despuésde una
¿@ = o.
ryr; y pa¡ececomo si exi sti erauna
-:::dicciónen lo dichoen el problema12.Sin embargo,no €s asi pucstoque 11 :
Yt :
;, i¡
-{.;
:renederivadascontinuasen una regiónque rodee al punto (0.0), que es Ia hipótcsisdel problema12.
.\IA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.
en cootdenadasrecEnunciar el tooremade la divergenciade C;aus!y (r) expresarlomatemátic¿tnente
üngula¡es.
La integral de superliciede la componentenorm¿l de un vecto¡ A a t¡avés de una superficiecerradaes
igual a la integral de la divergenciarle A en todo el volumen €nccr¡¿dopor dicha superficie.
IIó
TEOREMADE LA DIVERGENCIA,
TEOREMADEL ROTACIONAL
¿A"
(ó) sea A = Ati+Az!+,431.LuesodivA = V.A = +
{f'
o, - +o1
El vccto¡ unitario normal exterior a S es n : ¿, i + ¿r i + ¡r, k. Por lo tanto, ,r : r . i : cos
n : n ' ¡ : cos É y rrr : n ' k : cos /, siendor'¡,¡'ly T los ángulosque forma la normal n con los
positivos .r, /, z, o lo qu€ es igual, con los vectores¡, i, k. Las magnitudescos a, cos f y cos ? son
cosenos directores de la normal n. En estas condiciones,
A. n
=
( A l - i + A 2 ! +. {s k ) . ( c o s f l i +c o s É j +c o s 7 k )
=
lr cos d + Az cos !-1 + .43cosy
con lo cual, el teorema de la divergencia se pusde expresa¡ en la forma
JJ ér"oto
+ Azcosg+ ,{"cos7)ds
J
15. Demostrar, físicamente,el teorema de la divergenciade Gauss.
SeaA : velocidadv en un punto cualquierade un fluido en movimiento. De la figura (a) se deduce:
Volumen de fluido quc atraviesa¿/Sen Jf segundos
: volumen contenidoen un cilindro de basedS y altura v/¡
:1 vl rl ' ndS :t' ¡dS ¿t
Entonces,volumende fluido por segundoque atraviesa¿1,S--v . n dS
Fis. (o)
Ft3. (ó)
De la Fig. (ó) se deduce:
Volumen total de fluido po¡ segundo que emerge de la superñcie carrada S
II "'"0'
t
j . r.lV es el volumen de fluido por segundoque emergede un elemento
. Del problema 21, Cap, 4,
volumeny'/. Luego
Volumen total de fluido que cmergepor segundode todos los elomontosde volumen de S
=III , ",,
v
Por lo tanto,
II "',0'= Iil
Sy
Y.v dV
ti
TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
:host.ar
1t7
el teo¡emade la dive¡genciade Gauss.
{
SeaS una superficiecer¡adaen la que toda recta paralelaa los ejescoordenadosla co¡ta a lo sumo en dos
¡,Étos. Suponiendoque las ecuacionesde las supgrficieslímites inferior ü y suDerior,S"son ? : ,l(-r. y) v
:: f"(x, z), respectivamentc,
y llam¿ndo n a la proy€cciónde la superficiesoQri el plano *¡, se iiené" -
= ill{o"o,o.= uru
o,a.
lfiY;,,
ill
.f'""'+
oz a,f
'"
v
v
l,=í,u,,
J
-
ff
.f-
rr
=
_ A"{x.r.f,\)
dydx
JJ e4,.",,t1'l_,,ara, JJ to.o.r,,,\
¡
PP
I
il
En la cara superior Sr, dy dx : cos y, dS2: k . n¡ d,Sr,ya que la normal nr a S¿forma un ángulo agudo
-¡ con k.
En la cara inferior S,, dy d.x - ¡btuso /1 con k.
Porloranto.
cos yr dS\:
- k . nr /^Sr, ya que Ia normal n. a .!r forma un ángulo
e"p,1,¡,¡aya,
.P
o'o' i f o"<''''t't
R
1
rf
rf
.t"t,,1,rr1
aya, -.
e"r<.o,
as"
JJ
JJ
pS2
ff
ll
JJ
-
I
¡
rr
ll.{st.n1ds1
'
JJ
s.
[[
,?
o"o'''¡'to'o'
[[
o " u . n " o r" *
,t2
ff e.x.n,as,
31
ff,' o"*.,0,
[[ o.*.. o,
s
Análogamente,proyectandoS sobre los otros planoscoordenados,
I
l-116
TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
(á)sea
^
= A ti+Ac j+ . 4 3 kL. u e s o d iv A= v . A- d r ¿ )P¿ z+ -+ -+ .
-
El v e c to . u n i tari onormal exte¡i ora.t es n: n,i + n" i + ¡,k.
P or l o tant o, ¿r : : t . i:
¡¡¡ -= n ' j : cos/r y /¡r : n k : cos y, siendoc, l/y), los ángulosque forma la normalnconlos
positivos¡, /, z, o lo que es igual,con los vectoÍesi, j, k. Las magnitudescosa, cos i9 y cos ),
cosenos
d¡rectores
dc l¿rnormaln. En estascondic¡ones,
A.n
=
(A \i + ,42! + ,43k)' (cosat i + cosÉ j + cos7 k)
=
.4r C oS ' Y+ /z C os.i | 4" C OS
)
con lo cual, el teoremade la divergenciase puedeexpresaren la forma
ttl
ttt
" í"
¿4,
dA " ¿A
(= - * - o: *
o,
d7
d¿
-b¡a.a7a,
f f r¡r" o.n,
urt
-
ttrcosfS - { 3co s}) ds
15. Demostrar, físicamente,el teorema de Ia divergenciade Gauss.
SeaA : velocidadv en un punto cualquie¡ade un ffuido en movimiento. De la figura (a) se
Volumen de fluido que atraviesar/S en .11segundos
: volumencontenidoen un cilindro de basedS y altu¡a v,rf
: (r¿r) . .t dS : t .n dS lt
Entonc€s,volumon de fluido por segundoque atraviesar/S : v .n dS
Fis. (o)
Fl 3. (ó)
lre la Fig. (ó) se deduce:
Volumen total de fluido por segundoque emergede la superñciecerrada S
= II "'"0'
.s
Del problema21, Cap. 4, j .r.lV cs el volumende fluido por segundoque emergede un
volumeny'/. Lueeo
Volumen total de fluido que emergepor segundode todos los elomentosde volumen de S
=III , ,,,
v
Por lo tanto,
TT"."O'=
TTT
s¡ ¿
Y .u dV
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL
d teorema de la divergpncia de Gauss.
superñciecerrada en la que toda recta paralela a los ejes coordenados la,corta a lo sumo gn dos
L,suna
E $poniendo que las ecuaciones de las superficies llmitcs inferior S. y supcrior S¡ son z : r(r, /) y
z), resp€ctivamente,y llamando X a la proyección de la superficie sob¡G cl plano .xy, sc ücnc
III**
ú
= III.4'n"n,o"
= ul
ill
v
oza")a,a,
¡r'attae
L"=|,o,,
J
= JI n",,,,,u1!=,.+r,
=
dy¡',
u"a,,,r;- a.e.y.rLtf
[!
P -R
h
la cara superior &, dy dx : cos y,dS,:
t.
k . q d$, ya quc la normal nt a Sr forÍra utr ángulo sgudo
ya que la normal nra,S, forma rm ángulo
E la c¿rainferiorS,, dydx:-c$yLdg:-k.n¡d5,,
rorfotanto,
[f
fJz
=
^o,r.ornro,
f f n"r.,,or,
f/.
flxJr n""'''"'0"
ff n"r'"'n"
e"a,y,¡;aya"
- JJ he,t.tL\drdx=
JJ
ff
f
f
RP
=
f f f
, ff 4t.o,as,
jf n"*.,,ts,
| | ¡"tr'n ¿s
3
ta l
= ¿7* = JJ t"voas
(¡) JJJ
:\t
f f
rJ
proyectando
Análogamente,
S sobrelos otrosplanoscoord€nados,
TEoREMA oE r-e ow¡RcÉNcIA, TEoREMA DEL RoTAcIoNAL
= JJff 0.,.,0,
e\ JJJ
fff4*¿x
v3
( 3)
f f f ¿a-
f f
=
tll+2dv
AY
.t t A,i' t' ds
JJJ
JJ
YJ
Sumando(1), (2) y (3),
=
fff , +ó,, ¿ p ,óy
( ¡ o n óz
JJJ
rJ
f f , o u + A 2 i+ A B k ) .¡ d s
JJ
IIIr'^',= [[ n'""
o bien,
I¡
.'
El teorema se puede generalizara superficiesque ssan cortadas por rectas paralelasa los ejes coor
nadosen más de dos puntos; pa¡a 9llo, sesubdividela región encerradapor S en subregionescuyas
línrites satisiaganla condición anterio¡. El procedimientoes análogo al utilizado para el teorema de C
en el plano
!
rf
1 7 . H a tl a ¡ | | f.n a S, si endoF - 4xzi JJ
3
y :o , y :1 ,2 :o ,
z: l .
y' i + /?k
y.S Ia superfi ci del
e cubo l i mit adopor x:
O,¡
Segúnel teoremade la divergencia,Ia integ¡al pedida vale
frf_
=
JJJ v.Fdv
vv
=
¡
I
+f)it - f ) - &t
r "t lav
J J J lüt * , '
rrrf
¿
rff
JJJGz- y\d v
=
Y
ft
=
rt
J
Y =o
fl
J,n " - ,,0 ,0 ,0,
z=o
I
ft
|
|
JJJJ
lt
J
t=o
222-yz
=
,_^d1 dx
ft
fl
|
|
tz-ytdy ¿,
=
*
La integral de superficiese puede hallar también di¡ectamentecomo en,el problema 23, Capitulo i
18. Comproba¡el teoremade la divergencia
de Gausspara¡:4xi-2yzi
p o rx ' * t' :4 ,2 :Oy z :3 .
+ z'kextendida a la región
rrr'-;
f'r
=
Inregrardev o =
rumen
J J J lf , t t , t
JJJo.^av
*P
q ., - r " , , * P,"l
oz l J ¿ z
VV
=
t f f
J J J G - 4 y - 2 2 ) d v't
f2
J
ftE=?
J
t=-z y=-,fi-P
fa
J
G - av- 2 2 \d ¿ d yd ,
¿=s
La supe¡ficie.9 del cilindro está formada por unas bases^5'(z : 0) y & (z : 3), y la porción
S. (¡' t /' : 4). Por lo taoto,
TEOREMA-$E-LA
DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACTONAL
hregrardesriperñcie=
II^ñt
=
-,,, =-.--t-
fi^.,nr,t
ü
,-
IIn."or,*
¿
nnor"
&
n -o,r:r).fiJ:,r:0, derorma
que
fi
^.,rr,=0.
+ 9k y A 'n lC, a" formaque
A:4xi-2y,!
||.
JJ
ff
lI9
t.n as" = s
3z
JJ
as, = 362,p¡65
6¡¿r"ades": 4n
sz
La perpendicularxs + /¡ : 4 tienc ladir€ccióny sentidodel vector v(¡' * /? :
2ri +
.¡
O
MI
dV = dr dy dz
l
Do la figurásededuce,¡ :2cos 0, y:2sen0,
dS.:2ñdz,cenlocual,
ff
f 2Í
¡ 3.
- "1Zsen0'¡?I 2 ¿t ¿6
f f n . n as" = ¡ | [zq zco e0¡
's"/=ó
"!o
= .!"" o,
e 48*ff q.de =
n, cos2
0 da = 4Bn
¡
"o"" I'"
'
e=o
er=o
¡
La integral de superficievalc 0 * 362 * 48¡t : E4n, que 6s igual a la integral de volumen, quedando
¿l teórema de la divergencia.
Obsérveseque la integral de sup€rficie sobre S" se podrla haber calculado proyectando ,5" sobre.losplanos
xz o yz,
div A es la diverg€ncia d€ un campo v€ctorial A en un punto ¿ d€mostrar qu€
div A
=
,r," {of ^'
ar-o LV
donde / f€s el volumeo limit¿do por la suporficie /S y el límite se obtiene cu¿ndo / t/ se reduce de dinpnhasta el ¡.
'- -= ; > ' - -
TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
I2O
=
dtv A dv
Segúnef leoremade la divergcncia,
JJJ
AI
[[
AJ
^'"
n'
Segúnal teor€na del valo¡ mcdio de las integrales,el primer miembro es
= ¿r'¡ ¡r'
¿r"r lll¿r
t&u
siendo div A un valor compründido cotrr cl máximo y el mfnimo d€ div A cn ¿f. Por lo l^rtlo,
ff
=
dtv A
| | A .n ds
r=¿-
Lv
Hstlando cl llñitc cuando ¿y + O da forma que P sca sicmpre interiot a /l/,
punto .P; h¡cgo
dl vA
=
Il m
Af-o
![
S ^'"rs
A ti€nd€ a div A
-iv
Lv
Estc rpsultado se pucde tomar como definición de divergcncia de A y, de é1,dcducir todas las
incluso la demostración del leorcma de la divergcncia. En el Cap. 7 utilizaremos esta deñnición para
duci¡ €l concepto de divergencia de un vector en otros sistcmas de coordonad¿s, Ffsicarn€núc,
Jl *"as
Lv
rcpEsGnta el flujo del vator A a través de Ia superfrcie /S por unidad de volumen. Si div A es positiva en
proxim¡dades dc un punto P signifrca que el flujo que sale de P €s positivo y dicho punto se llama
Análog¿Írente, si div A es negativa en las proximidades de P, el ñujo que sale dc P cs negativo (€ntra
y €l punto * llarm sumidero, Si una región carcce de fuent€s y de sumideros, div A : 0 y, en eslas cor
ncs, A Gsun car¡rpo veto¡ial solenoidol,
m. Hallar
ccÍsda.
tt, si€ndo
S unasup€rficie
ilr."
t
Por cl t€orcm¿d€ la diYerg€ncia,
= ![[ v',',
[[,'"n'
JT
=III,&',
- III,*I *, *, ' , = ' [ f i ,,=',
$l ' $tr ,@t+tt+zr t¿v
siendb t/ cl volumen lim¡tado por S.
2r.Dcmostrar
lllrrnr
r3
Sca A :
=
,/vó).ds.
- ,pe'ótav
ff tov* -
óV,y' en cl teorema de la divergencia de Gauss.
TEOREMA
DE LA
DIVERGENCIA.
TEOREMA
tzl
DEL ROTACIONAL
fff
ff
rt
=
=
v.rov*rn,
<ov,tt."as
JJJ
JJ
JJ @v,!t.as
rJ,t
V.tóVll'> = @1V.Vry'¡
+ rVdl,tVry'l -
óf,l'+ 1V@¡.1V,y'¡
flf
fff
=
v'tov*tr,
av
JJJ
JJJ tov* + 1jg¡'qee¡l
we* + pg,¡.1it4]av
- [! ov*t.as
(r) ![!
rt
lo NinEra ident¡M & G¡ccn. Cztnuzttdo / por 9 cn (I),
(2t
U'r"o + qeg¡.1ee¡]av
- ![
rs
[![
oWor.t"
(2) dc (r), sc obticnc
(3) [![ ov"*- 9V6¡av=
fi,0r9 - ,y'vó).ds
'J
d tcorcms 3ímétrico o teganda idcntifud dc Grecn. F¡ la d€tnGtnción lrcmos supt¡csto ouc d y v son
B ccala¡ls dr posición con dcrivada¡ continu¡s hssl¡ las de scgundo o¡dcn poi lo nrcnos. ' - '
III"r,, =ffo"".
rt
En cl tcor€ma dc la divcrgencia,
h¿gsmos A :C
C, sÉndo C un voctor con$tanb.
fff
fr
v.toctdv- JJ oc."ts
JJJ
ft
Cono V.@c¡ - 1V{¡.c ' c.Vó
.
"
y óc.n = c.(ói),
[[[ ".va,, = [!..<0,t,,
f3
.tJJ
SacandoC fuers dc las integralcs,
fff
Ít
c.JJJv+av= c.J)ó,as
rt
tcorno C esun rrcctorconstsntearbitrario,
'
ff
=
J7JJ J v o a v JJo"'s
fff
o*fffr'"av =ff,,sas.
TJ
Entonccs
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEORBMA DEI. I,OT.ACIONAL
En €l tcoftma da la dincrgencia, hagaaros A : E x C, sicndo C un vlctor enstant!.
f ?1.
lf
.
J ) J v . p* oav J J r n' o. r as
rt
C o m o V.6xC ¡
y
= C .(V X B )
(B tC ).n = B ' (cxn)
ffr
= (C xn). B = c. ( nxB) ,
ff
| | | c . t V x s l¿ Y =
.t ., .,
| | c . (ix B )d s
., .,
f
Sacando C fucra dc las integmles,
f?-
s. | | | V,a;¡ ,
.,JJ
c . | | rx ¡¿ s
t
y como C es un r¡cctorcomtanlcarbitrrr¡o,
ff
JJJv]¡B¿v
ll ¡ x r d s
s
a
ta. Dcmosl¡arqu€€n un punto cu¿lquier¿P,
(c) vó =
JIo""
¡lT,
!t
Ar
ff",ta
A-^"-
(á) vxa =
y
^tl,$
túm,doA y d votumcnlirnitado por l¿ suporñcbr'S' hallandocl llmitc cusndo r' I¿sc ttdt¡cc dc
alrcdedordel punto P.
(¿)
Dcrprouú'22,
n, . !! o"rt.r",*' fi[vo,tt, . [[ 0,.,
IIIrr
A.C
AT
AS
AT
Aplicandocl mismoprincipio qr¡oc¡r cl probhnra 19,sc obtkirr
fÍó".t¿s
JJ
AS
VÓ.I
sicndo vC . I un valor co¡nprcndidoenü! ol n¿xinl y cl ml¡imd do v{ , I at AY.
cuando r' / * 0 dc forma quc P seasicmprcinf,riot z AY,.jl .l ticn& h¡ci¿ el v¡lor
(l )
a
f f ó¡.r¿s
JJ
9ó.t
á
lln
Ah
t
---
Lu
Análogamentc so obüoncn,
(2)
(3)
vó ,t '
Vó .r .
JJ o¡'tas
llm
AF.o
Lv
| | ór'l ds
8:.
Af.o
Lv.
)
..,.:,t2
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL
r2t
(1), (2), (3) por i, ¡, k, res¡rctivamente,sumando,y tcniendoen cuentaque,
9ó = <9ó.t¡t + (Vd.j)j + (Vó.t)¡,
n:
(n.i)l+(n.J)J+(n.k)k
lroblema 20, Capltulo 2) se obtieneel resultadopedido.
probfema
23,sustiruy€ndo
B porA,
V,
! [ !
AV
^
= [f ,,^ o'.
r,
AJ
Como en (a), s€ pu€dedemostrarque
sustituyendo ¡ por J y k. Multiplicando por i, jil
y sumando, resutta la demostración p€did¿.
Los rcsultados ¿nteriores se pueden tomar como deñnicio¡res de gradiente y rotacional, Ilaremos uso
las al introducir estos conceptos en okos sistemas de coo¡denadi.
la equivalencia d€l opcrador
v' = it3'##'"'
¿s
donde el sfmbolo o ¡cpres€nta un producto escalar, un producto vectorial o un p¡oducto o¡dinario,
Pa¡a €stablecer la equivalencia, el resultado de la operación sobre un campo escalar o vectorial d€b,escr
istente con los resultados ya cooocidos.
Si o indic¿ un producto escalar, par¿ un vector A,
V .¡
=
dfv A
=
ff
t im : L f f ¿ s . r
aH
LV .t.t
^lig- fi*".^
. f$ ¡t fi^.""
A,'
A,
en el probloma 19.
si o indica un uoducto \rcctorial,
rotA = v,<¡ =
^yg
.
6nido
¡u t[n"'^
A,9
r n J ffn - r ¿ s
av
k!
^t4
cn el problér¡ 24 (b).
Si o indica un p¡oducto ordinario, para un cccalar /,
v . é. = u n + l l t " o @ e b icn , @
Ay-o AI/
A,
&6nido cn el problcma 24(¿).
=#5 ¡r [lr'"
AJ
t
r
124
. , ¡.-
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
26, Siendo S una superficiecerrada y r el vsctor de posición de un punto cualquiera(¡, /, z) medido
origen, demostra¡que
li
'.'-. I
lf T:,'
es igual a:(n) cero si O es exterior a S, (ó) 4r si O es interior a S, Estaes ¡a expresiónmatemáticadel
de Gaxss.
(a) Por el teoremade la divcrgencia
III, +*
il;
v
J
Perov'4:0
(Problema19,Capitulo4) en todo punto intcrior a Z siempreque / + "
lj
d e c i rs i e m p reque O seaexteri o¡aV y,por l otantoa.t. f" .e"
aS = 9.
[[
r
(á) Si O es interior a,S, consideremosuna pequeñaesferas alrededorde O, de rcdio a.
la región limitada por S y r, segúnel teorema de la divergencia,se verifica
ff
= Jf f J 5 ' a s . Jf f J t+ !a s= Jf ?J v -fra v= o
J
J
F
,
'
S+s
.t
s
ya que ¡ * 0 en ¡.
Por lo tanto,
I I r ^ =- l lv *
Js
Ahorabien,ens,,-", ¡= -I
ff
¡. ¡.
dedonde!*
= - ll¡ - + ¿ s
tJJ
ll!*¿
s
r-
.tJ
= e4-a\'' =-!;t=
-5=-,t,
i l*^
s
""0
= + lld s
s
27. Interpretar geométricamenteel teorema de Gauss (problema 26).
SeadJ un elementode superficiey unamos todos
los puntos del conto¡no de ds con O con lo que resulta
el cono que muestrala ñgura adjunta. Tracemosuna
esferade radio ¡ con centro en O y seadS el área de la
porción de esferainterceptadapor el cono; el ángulo
sólído con que se ve dS dosde O es, por deñnición
do
du
, - y es igual al árca de la porción de esferade
radio unidad intercopiadapor el cono. Sean,n el veator unitario normal gxtsrior a y'r y 0 el ángulo formado
nr
por n y ¡; entonces,cos0Por otra parte,
- -.
dO:
du¡
+ ¿5g.. r:
*
T
./.9, d. dond" ,"rrltu
D' ¡
i ;¡- dS, considerandoel signo + o el - según que el ángulo 0 formado por n y ¡ sea agudo u
obluso.
S€aS una superñcie,como la representada
en la Fig. (a), de forma que una re{ta cualquierano
en más de dos puntos. Si el punto O es exterior a S, en una posición tal como I,
+;
dS :
d@i en
TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
#
,
r25
: --Júr. La integral extendida a estas-dos regiones es igual a cero, ya que las contribucioncs
solido s6 anulan. La intcgr¿l sobreS es ü+
^
= o ya que a toda contribución positiva le
'
una neSa¡rv¿.
bd
aS:
casoen que O seainterior a S, en una posición tal como 3, T
o" :
da, y en la posición 4,
d@con lo que las contribucioness€ suman en lugar de anularse.El ángulo sólido total, cn este
cr igual al área de la esferaunidad que vale 4z; por Io tanto, J [ +
ot = n.
Fts. (ó)
Ft¡,(o)
Para superñciess que son cortadas por una fecta en más de dos puntos, s€ mantienen l¿s ñism¿s conclu!s (Fig. aó)). Si O ea exterior a S, por ejemplo, un cono de vértice O corta a .t €n un número par de veces
co,ot.iU..,ciOtta la integral de superficiccs nula, ya que los ángulos solidos subtendidos desde O se an lan
pres. Sin embargo, si O es inGrio¡ a S, un cono de vértice O-corta- a S eo un ní¡mero impar de vec€s
lo la anulación ó produce solamento para un número É¿r de ellas, siempre hay una contribución de 4rr
c la suoerñcicS,
tr¡ido dc densidad p(x, y, z, t\ se mueve con una velocidad {x, y, z, t). Demostrar que si no hay ni fuenri sumideros
V'l
¡
+ S
ot
= o'
siendoJ = Pv
Consideremos una superñcic arbitraria que limitc un volumsn Z de fluido, La m¡sa de fluido cn fz cs'
instante dado,
t4 =
fff
lll
o¿v
"1 "
El incrsmento de esta masa cn la unidad de tiempo es
*, =*,lll,* ilt*,,
r
I
yon la unidad de ti€mpo es
La rnasa de ñuido que sale de
á^"
| Pv 'n ds
J|J
J
quc
masa
en la unidad d€ li€Nnpocs' asimismo'
dc
cl
incr€r¡ento
lo
15) con
""
\
a{ orelrotrca
t,
Z rnr'n
snuss.f,
ir '
/-=-_'-
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
126
-
I I P v.n dS
t
-
JJ
lll
JJJ
Y.tptt¿v
v
segúnel teoremade la divergencia.Po¡ lo tanto,
I r f ^^
lll
Y ¿v
JJJ
¿I
v
- [[[,.,0",,
v
o bien,
[[[,v .,,,.!,0 ,
v
Como y es arbitrario, el integrandosupuestocontinuo, debgser idénticamentgnulo,
forma a con.ir se hizo en el problema 12. Por lo tanto,
V .J
+ v
?t
= o.
si cndoJ= .ov
Esta es la ecuac¡ónde con¡inuidad.Si p es constante,el fluido es incompresibley V . v : 0, es decir,
de velocidad€s o el vector velocidad- v es solenoidal.
J :
La ccuación de continuidad se aplica también en electromagnetismo,siendo Q la densidad
Ovfa densidadde co iente.
29. Sea U(x, y, z, t) la temperatura,en el instante /, en un punto cualquiera(x, y, z) de un sólido y
que
k, q y c la conductividadtérmica,la densidady el calo¡ específicodel sólido, respectivamente,
que
Demostrar
constantes.
!¿/
=
.
stenÓok= K /pc
kV-2..
Lt ,
Sea l,'un volumencualquierainterior al sólido y S su superñcielimite. El flujq total de calor que
o energiacaloríficaque salea travésde.t en la unidad de tiempo,es
ll r-< V u l. n ¿ s
:"
La energiacalorifica que entra €n S en la unidad de tiempo es.
rf
as =
f f 1< Vu¡ .n
JJ
sv
(t)
f ff
f lf 9.u9u\ ¿v
JJJ
segúnel tcoreña dd la divergencia.El calor contenidoen un volumen l/ vienedado po¡
I
I
, ,,
III
"O
v
El incremgntode calo¡ en la unidad de tiempo es
*ill"0,*=Ifi",**
(2 )
Igualando,los dos miembros de (1) y (2),
'
ffl
lllf " p' '9 ! -7t
JJJ
9.6yu¡)av = o
f
y como fes arbitra¡io; el integra¡do, supuestocontinuo, deb€ ser idénticamentenulo, con lo cual
TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
"e *
t27
= V' 1¡1
VY¡
r, c, p son constantes,
P=+v.vu
=*fu
cP
D¡
:o, o lo que es igual,
(esde.ir,
k s€d€nomina
dfraiyidad.En régimenpermanente
ff
del tiempo) la ecuaciónanterior se reducaa la ecuaciónde l-aplaceV'U : 0.
DEL ROTACTONAL DE STOKES
en coordenadasrecel t€oremad€l rotacional de Stokcsy (D) expresailomatemáticamente
¡al curvillneade la componentetangencialde un vQctotA a lo largo de una curva simplec€rradaC
a la int€gral d€ superficiede la componenteno¡mal del rotacionalde A extendidaa una superncie
que tengapor contorno la curva C.
tCmo en el Droblemal4(r),
A = A íl + A 2 ! +
hooces,
I
r
gla,
n = c o Bdt + cosB J + cosTk
kl
(+
-1ox4 " ,,. t4
4 ,-1
4 ' ,.
+
+ + 1.= r q94"dz- 1&. rr
or
oY
oa. oY ozl
oz
Vx e
A1 A2 Ael
= , H: - p, " *o
- ( *- p t" o " F ' (* = fr" o " z
(VxA).n
A,dr
=
(ALl + A2t + /'€k]'.(¿' I + 4 ! + ¿z lr)
=
Atdx + A2dl +'Asdz
y b cxprcsióndcl t€oremado Stokescs
= n,r"*n,rr,n"n"
coE
[ [ r,9^!n- E9&r"o"c
"' """ -'? . (14- g,
¿ " ) B - ,* -#rcosTlds f
-
J J L ' Ai
€l teorema del rot¿cional de Stokes.
I
,
Sca S una superficie cuyas proyecciones sobre los
6 xy, yz y xz ion regioneslimitadaspor.curvassim-
iomo se ináica en Ia figura adjunta.sr¡po-
I
I
por r¿s
"¿nibis,
ecuaciones
las Eeu¿lrvrrvJ
puedercprgsonlar
que JS se
qu€
¡epr€sentarpur
se puege
úlo
: ,{¡, z), siendo
/(x, i), o bien,'¡ : gU, 2), o bien, v
l funcionesuniformes.continuasy de¡ivables,hemos
que
(v xA ) . n d s=
'
I
I
+/'l ] /3 t)l 'nds
JJ [V 'r,l 'i
,s
= $^ '0 ,
C el contó¡no o límite de s.
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.TEOREMA DEL ROTACIONAL
i
II
tl
consideremos.
en primerrrg"t, JJ
I
[V x 1"{rl¡l 'n ds'
i
tJk
Como Vx (l1i)
¿a¿
=
Oz.
Of
=
oz
¿A,
¿A,
=--r i
oz
-
;i k,
oy
A a00
[ V x 1 , { . r¡] . nd s = r} " . r
(r)
-
rt
}n.*,
S i z :/(x ,),)es l a ecuaci ón
de S , cl vectordeposi ci óndcu¡puntocual quior adeSesr : ¡ i*yi
á¡
az
Af
d¡
x i + y i +f @,y) k deformaoue
¡i
: i+
6
k: t+
k. Pero
É
fr
es un vectortangente
blema 25, Cap. 3) y por lo tanto perpendiculará n, con lo cual
".$
=
".r*$'.r
=o
o
r.i
).
= -ün.k
Sustituyendo €n (1) se obtiene
94-1
,u- ?oj' n.u,r,
r 4Oz n ,¡- ol n .r )d s = ( - +oz -o!? n
"
o bien,
.n] ds
[Vx( .1r i)
(2 \
- ( +ót * $]¡
".u
óz d!
rt
= Al',y,1(',y\)
= F(r,/):lu€go r+X
SobreS,
11(2,1,2¡
+
[ V x1 , 1 , 1 ¡d] .sn = -
$ ".u
,,
= -{
= $,
o!
con lo que
rcducea
**
Por consiguicnte,
lf
ff
>F
fv"(,{rt)l.nds
-fr*t'
JJ
JJ
s.{
la proyección de .t sob¡e el plano xy. Scgún el teorema de Gre¿n en el plano, la {¡ltima
siendo .¿R
igual a {
Fd¡, sicndo f el contorno que limita a ,R. Como en cada punto (¡, /) de r el valor
mismoque el de ,{, en cada punto (¡, /, z) de C, y puesto que ¿r es igual para las dos curvas, se
o bien,
tt
as =
[V' r e1r lJ.n
ll
JJ
$ 4at
Análogamente, proyectando sobre los otros planos coordenados,
ff
ff [V' ( ,{ 2J).n] ds = .t^
ó
Az d!
3o
f
t
f
J as = t
f f [V'r ,r " u.n
ju
A3 dz
I
TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
t29
ordenadamente,
ff
| | rV ' n¡'n as =
JJ
f
|
e.ar
:. ¡eoromaes también válido en el caso de que la superficieS no satisfagalas restriccionesimpuestas
-!¡.mente. Para ello, supongamosque S se subdivide en regionesS,, S,, . . . S¡ de contornos limites
l. . ., C¡ que cumplan las condicionesdadas. Para c¿da una de estassuperficies,pu€s se verifica el
:¡a del rotacional de Stokos,Sumando las integralesde superficiese obtiene la integral de superficie
curvilíneas
co¡respo¡dientes,
a lo largo de C,, G,..., C¡, resultaia integral
!-sumandolas integrales
a lo largo de C.
tIt
,bar el teoremadel rotacionalde StokessiendoA:(2x-y)i-yz"j-y'zk,
superior de la esfera¡, + y, + z" : I y C su contorno límite.
S la superficie
de la
,l
El contorno límits C de S es la circunfe¡enciadel plano x¡ de radio unidad y centro cn el origen. Sean
=:es / , . y : s enl, z :0 ,0 = ,<
paramétri c¿s
2 rr, l a s e c u a c i o nes
de C . E n estascondi ci ones,
$ n.o, "c
- y * d ¡ - y 2 zd z
{ ,u-rro,
'c
? 21r
=
|
(2 cosr - senr) (- senr)dr
=
'tt
ijk
aaa
Vx A
¿"c 1- 72
2r -y
-yz2
-y2z
=
=
**
[[*."r'
[[
,ffrv'
^r'
n
as
J ,' R
¡ue n'k
ü
dS : dx dy y JRes la proyección de S sobre el plano x/. Esta última iritegral es
r|
n/t-rz
I
I
JJJ^J^¿
d 1d x -
4l
¡r
¡ / ur r 2' -
l
aya, = 4l
? |
/ilc
¿, = 7r
/-----;
Y=-vt-t'
!-omp¡uebael teorema del rotacional de Stokes.
Snficiente.
Supongamos
que
V
x A :0.
f
Por
el teorema
del rotacional
de Stokes
ff
=
.f n.a,
J J rv' n l.na s o
.\,lecesaria.
Supongamosque { n,dr:O
Jr
'
¡lgún punto P.
a lo largo de toda curva cerradaC, y que V x A +0
Suponiendoque V x A e s c o n ti n u a ,h a b ¡á u n a regi ónenl aqueV xA + 0enal gúnpuntoP desu
. SeaS una superficiecontenidaen esta región cuya normal n en cada punto tengala misma dirgcción
;l
t'
.)
t
¡
I3O
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
y sentido que V x A, es decir, Vx A: on, siendo a una constantepositiva. Si Cesel conto¡no limite
por cl teorema del rotacional de Stokes,
f
fr
=
$ t.ar
J^
fr
f f lV x n ¡' n a s = , t lttt
JsJ
n.nds ) o
que se contradicecon la hipótcsisde qu"
f, n. O, = O y, por lo tanto, Vx¡ = ¿.
J.
Se deducequc V x A : 0 tambiénes la condición necesariay suficientepara que una integral curvi
fPc
A . dr seaindependienrede la trayectoriaque une los puntos y ¿ (problemasl0 y I l, Cap. 5).
-P;
I
3 4 . D o m o s t r ar q*,u
ue
f
=
ffo ,vt,l- a s.
Haciendo A : B x c en el t€orema d€l rotacional d€ stokes,
siendo c un yector constante, resulta
f "'t"'"' =
f l [ V x ln x c ¡] . n a s
J
= ll
f ".,r.,,",
...5[
,.' = JJ
"
irc . V lB - c (V . a )l . o d s
JJ
J
fP
t,..v¡Bl. n ds - JJ tcrv.nrJ."
as
ff
. l I c ' [ V r ¡ . n r ]¿ s -
f f c . [ n ¡ V . n ¡a]s
ts
rr
c . J J t v @ . n ) - n ( V . B/)sl = , . J Jf r ¡ nxV¡ x¡ ¿ 5
r5
Ahorabien,comoc esunvcctor
constante
arbitrario,{ar, ¡
"
=
l'f ,nrVr, u ,,
trt
35. Sean,/S una superficielimitada por una curva simple cerrada C, p un punto cualquierade .r'S qu€
tene.c€a C, y n el vector unitario normal exterio¡ a /.9 on p. Derqostrai que eo, diiho punto,
I
( ¡ot A). n
?
J^ ^. dr
=
lim
A,t-o
hallandosl límitede formaque /S tiendaa confundirse
con p.
Porel teorema
detrotacional
de srokes.
ff
"^í
f.o, nr." ,,
AS
-
$ n.or.
"c
Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral, como se hizo en los problemas t9 y
puedo escribir,
f
(-{
A )*
I ^.d¡
AS
d€ dondc resulta la demostraciónp€dida hallando el límite cuando .r'S
-
0.
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL
ROTACIONAL
l
Estaconcrusiónsepuedcutirizarcomo pu¡to,de partida para inrroducrr
el conc€prode ¡ot A (p¡obrema36)
gran utiridad en el cálcuroder rot A en otro iistema de
coo.a"naoasqu" no seaet rcctangurar.comJ
'6 &
j
-t'dr es ra circulaciónde A a ro rargode c, la componentede rotacionalsogúnla normal puede
se
interF¡¡,
fisicamente,como el límite de la circulaciónpor unidad de área.
E¡¡odo en cuenrara definiciónde ¡ot A dadaen el problcma35, halrar
la componentede rot A s€gúner eje z,
s
Ar
;' ' zl
, resula
y" rectánguloparalelo al_plano,/ cuyo punto medio es p(r, y, z), como se obse¡vaen la
tur¿ adJunta,y A, y A" las componentesde A en p s€gúnlas direccionesp"iii*ár'á" iá,
--¡11,1-lfct
;;r;;";;:
¡tamente.
"¡o
LlamemosC al contorno del rectángulo;enlonc€s,
I
$^' ' ,
"c
Ahora bien,
I
A. dt
A. dr
EÍ
=
-T
! dAt
EF
^r)
"Zt
A . ¿r +
ef
fG
( At -
r
A . dr +
FG
ü
?.r,
_!
- (At + 2¿y
A r)&
0fl
I
I n . a r = Gz+ *$ a " rn ,
v.o t
IIE
I
L,
| ¡. ¿,
! 7A" &lar
2¿,
dl
A . d¡
EE
t¡lvo inñnitésimosde orden superiora /r /¡.
Sumando,se obtieneaproximadamente
¿A"
'4"
f e. ar
uc
n, ar.
*!r
oy
Luego, como lS : lx /y,
componentcz de rot A
:
(rot A) . k
=
f o'o'
liln
AJ-0
AS
19v
,é¿,
=
lim
A¡-0
¿y-o
¿,
'- az
dtr.
-
-i -)¿_i 1^
ol
----&ry-
a7
^
_ ?A,
\
I
.,,_J
t32
TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA,TEOREMA DEL ROTACIONAL
Problemas propuestos
37. Comp¡obar el teoremade creen en el plano para
1t' \l*" - W,l at * @y - 6xy) dy, siendo C el
d e l a re g i ó nd e fi ni dapor: (a\ y:t/i ,
y: x,; (b) x:O,
So/. (a) valor común :312 (b) valor común : 5/3
38. Hallar $ 12, + q¡ a, + Q: -
-c
y - 0, ¡ * r:
L
3y)dy, siendo C un¿ circunferenciade radio dos con cGntroen €l
del plano ry y que s€ recorre en s€ntidopositivo.
Sol. - 8n
39. Resolve¡el problema anbrior para la integral $ 1x, + fl ax + 3xy, dy.
-¡
Sot. tzn
(x" - 2xt\ dx + (x'y + 3)dy a lo largo d€l contorno de la región definida por/':8¡
!
(¿) directamente,(ó) aplicando el teorema de Green.
Sol. 12815
40. Hallar
("'.')
41. Haftar .f
\e,l - t,¡ *
" (o ,o )
S o l ,6 tr2 -4 i .
42. Hallar
!
5o/. -6
y ¡
I (3x, - 2xy) dy a lo largo de la cicloide¡ : 0 - sen0, .y : I - cos 0.
(3x' + 2y) dx - (¡ * 3 cosy) dy a lo largo del paratologamode vé¡tices(0, O),(2, O),(3, l) y
43, Hallar el área limihda por un arco de la cicloide ¡
: a(l -cos 0), a > O, y e¡ eje
- ¿(0- s€n0), y
S o l .3 n a z
44, Halla¡ ol á¡ea limitada por la hipocicloidex,t, + yzt' : a'1.,a > 0.
Ind.: Las ecuacionesparamétricasson x : acos| e, : a sen"0,
-y
Sol. 3r.arlg
,t5, Demost¡ar la igualdad x dy - y dt :
I'dó, siendo(Q, {) las coordenadaspolares. Interpretar la
I I x d y -y d x .
6 . Hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas p : 3 s6¡ 2¿.
47, Halfar el área de los dos lazosde la lemniscata Q, : a" cos2ó.
,|8. Hallar el área del lazo del folio de Desca¡tes
x' * y' : 3axy, a > 0 (figura adjunta).
Ind.: Hacer/
t¡ y obtenerlas ecuaciones
paramétricasde la curva. A continuación.tener
en cuentaoue
S ol .9nl 8
Sol. a2
q o 'á a )
erea= j$ , a y -y a "
t f sa(t
Lf *a'
Sol. 3a'12
I
49. Comprobar el teoremade Greenen el plano para
$ {2, - y"¡ a, - ,ydl, siendoC el contomo de Ia
limitada por üs circunferencias¡! + ),¡ : t , ,it¡
," : e.
so/. valor común : 60zl
TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL
f ( - , , o1 -í¿
, + ,¿ "
--P;7J(t,o)
a lo largo dc los c¿minossiguient€s:
Quebradaque une los puntos (1,0), (1, l), (-l'
l) y (-1, 0).
queunelos puntos(1,0),(1,-¡), (-1, -l) y (-1, 0),
ll Quebrada
: 3I, ¡¿integralc uwillrrx- depende
do la trayectoriaque unelol
hostrar que, uunqut!!
ox
óy
t(-1,0).
Sol, (a) n (bl -n
Razonar la respuesta.
el cambio de las Variables (¡, /) por (|¡, v) scgún las ccuacioncs d€ tramfonnación x : x(u, v\,
t : ¡(tr, y), demostrar que el área ,{ de una región X limitada por una cuna ccrrada simplc C viene dada por
=
^ II
R
?r&
?¿
lt< ffitla"a,,sicndo I lffil = ?¡,
7r f u
?,
?o
d Jacobiano de ¡ e / raspecto de a y v. ¿Qué rostriccionos dobon hacsrso? llustrar el rcgultado para el
GüO en que ¡¡ y v s¡eanl¿s coordenadas polafee.
dx; transformarla cxprosióna coordonadasü, vy teneren cuontaol toorcnxa
hd.: Aplicar,{ - | | xdy-y
Gre€n.
-
F.n/S, siendoF:2xyl
+/rrl +xzk y S:
(.) la superficiedel paraleleplpcdo
limit¡do po¡ ¡ :0, .v :0,
(¡) la superñciede la r€giónlithitadapor x : 0, .v : 0, y:3,
(a\ JU
5trlz
út.
s¿.1.lal
3O {b\
tD' 35U2
Gmptot . el t€or€ma de la divergsncia para A: ZxtylSor. 180
atante limitada pot y' + z' : 9 y x :2.
z:O,
z:0
y:
x:2,
x'l2z:6.
f
I y z:3,
\r'-'
y'| + 4¡z¡ t cxtcndida a la rcgión del
dr primer
osfcra do ¡adio 2 con contro on (0, q 0), (ó) la supcrfici. dcl cubo linitadro
por r : - 1,
z : 4 -(x.
y ::L z :-1 ,¡:
+ /") y el plano xy.
l ,y :l ,z :
Sol. (a) l2tt
l ' (c) l a supcrfci c l i mi tada por cl perabol oi do
(b) 24 (c\ ?At¿
SiendoS unasuperñciecerradaquc encierraun volunpn Vy L : ox | * ál I * czk' do¡¡ostrarque
dS:(a*b*c')V.
tf
rot A, demostrarque JJ H 'n dS:0
SiendoH:
'
rrr
Ís
¡1
= ff+^
..
t
tr af
D em o strqu
are JJ '5nds = JJJst't¿v.
J
Demostrarque
aa
aS = 0 para tods supcrficiccerrsü S.
JJ n
3
Demostrarqu€l¿ sogunal¡identid¿dde G¡€€nsc puodccxptcs¿len la fomra
-,t{ó¡¿v= I I,ot#- {'f¡as
[ !¡J! ov',t'
D€mostrar que
II rxds
^' n
para toda supcrficicccrradaS'
siendon €l v€ctorunitario normalextcriora unasupcrfrcicccrr¿dadcárc¿S,demo.t
Demostrarque
Íff+
JJ
= o paratodasupc¡ñcic
ocrr¿drS.
",
quo JJJ oi" o ar : s'
f
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL
t l4
Comprobarel teoremadel rotacionalde Stokespara A:(y-z
*2)i-l(yz
*4)i-¡zk,
superficiedel cubo x : 0, -y .: 0, z : O,x : 2, f : 2, z : 2 por encimadel plano ry.
So1. valor común : --4
siendoS
g xly k, siendoS la superficiede Ia
Coñprobar el teo¡amadel ¡otacional dc StokcsporF : xzi-yi
l i m i ta d a p o r x :O, y:0,
z:0,2x
.9ol . val or común:32/3.
* y l 2z:8.
65. Hallar JJ (i ^A).ndS, siendoA:(x,
+ y-4)i
+3xyi + (2xz+z')k y S la superficie
de (a)
s
semiosf€ra
r' + y'+z':
16 por encimadel planox¡, (á) el paraboloidez:4-(x,
plano xy.
Sol. (a) -16n, (b) -4n
6 6 . S i e n d oA :2 y z i -(x t3 y _
2)!-l (x, I
se¿ciónde los cilindros x' + y, :
.n ds oxtendi d4a la super f icie
de
z' )k,f," 1f" ,//(vxl l
o', x2 + z2: a, situada €n el primer octante.
67. Siendo B un vecior noÍnal a una superficiecerradaS, demostrarq
¡ggión que encierra ,f.
6E. Siendo{ e .a. = -lP
c
J^
I
¿t
ff".ru
JJ
+/r) por encima
Sot.-{Qn
J J J rotBdV :0,
r
+
en dondc /c¡
ySuna superñcie
cualquieratimit¿dapor la curuaC, demostrar
tll
V ^ E :---::1
co,
.
f
que f,ó
69. Demostrar
.F
ar = JJ ds x V0.
70. Aplicar la cquivalenciadel problema r€suelto25 para obtener: (a'¡ v ó, (b) V .A, (c) V xA en
re{tangularcs.
7 r . D € m o s t rIaI Irvo
qu.^
e a v = IJo t.n a s - [[[o v' r a v.
rJ f
72. Sea r el veato¡ de posición de un punto cualquiera r€specto d€ un origen O, y supongaños que la I
tiene derivadascontinuas d€ segundoorden, por lo menos. Repres€nt?ndoel valor do C en O por é o !
mando S a la superñcie cerrada que encierra el volum€n ,/, demostra¡ que
= [[!viÓ¿n' o
llt+v*-ovrlrl'as
.ty
en donde o : 0, o bien, 4rÓo s€gún que O s€aexterior o interior a S, respectivamentc.
73. El potencial C{P) en un punto P(x, y, z) debido a un sistema de cargas €léctricas 4, q¡, . , . , 4, cuyos
de posición son r¡, ¡!, . . . , r¡ respe€tode P vienc dado por
.A
-
r,
9*
Demostrar el teorema de Gquss
= 4,Q
[[" .r"
3
siendoE:-vdlaintensidaddelcampoeléctrico,SunasuperficiequeencierreatodaslascargasyQ=
la carga total interior a S.
L{
74. El potencial d(P) en un punto P vienedado por ó=
I I I
siendo ¡/ una región,limitada por una
ficie S, en la quo la ca¡gaeléctricaestádist¡ibuida de fárma co¡tinua con una densidadp. Deducir,
las hipótesisnecesarias,las fó¡mulas siguientes:
?f
(') JJ E 'ds = 4" JJ J p ¿ v , s ie n dEo: -v c .
JI
(D A'é : -4:¡ g (ecuaciónde Poisson)en todos los puntos P en los que hay cargas,y VrC : 0
de Laplace) donde no las hay.
-,.,,,,/.
-]
I
tla
de (¿)
I
muna
Coordenodoscurvilíneqs
¿ de
(32 +
úe I/ es
r
TRANSFORMACION DE COORDENADAS. Consideremoslas coordenadasrectansulares
lrir -y,z) de un punto expresadasen función de las variables(ur, u", u") en la forma
j,
¡ : x(ur, u", u"\,
y : y(ur, ur,u"),
z :
z(ub u2, q)
r bien, despejando(\, th, u),
--)
ur:
ur(x,y, z),
u2: u2(x,y, z),
u" : u"(x,y, z)
[.rs funcionesque aparecenen (1) y (2) se suponenuniformesy con derivadascontinuasde maneraque
¡ correspondencia
entrelas ternas (x, y, z) y (ur, ur, u") es biunivoca.En la prácüca,puedeocurrü que
E¿ hipótesisno se curnpla en algunospuntos determinados,en cuyo caso deberánhacerselas consi¡raciones pertinentes,
(x, y, z) se le puedeasociar,según(2), un conjunto
Dado un punto P de coordenadasrectangulares
iúo de números (u* th, ut) que llamarernos coordenadascurvilíneqsde P. Los sistemasde ecuaciones
rff ó (2) definen las fórmulas de translormaciónde coordenadas.
ñ¡nció¡
I loy
COORDENADAS CTJRYILINEAS ORTOGONALES
Las superfrciesut: cb t4: cz, us: cr, siendo
c!, cr, cs constantes,se llaman superfcies coordenadas;
L intersecciónde cadapar de estassuperficiesdefinen
fu líneascoordenadas
(Fig. l). Si las
correspondientes
¡p€rficies coordenadasse cortan en ángulo recto, el
slema curvillneoesortogonal.Las lfneascoordenadas
\, 14y us de un sistemacurvilíneoson análogasa los
ics coordenadosx, y y z de un sistemarectangular.
Fl8, I
x
YECTORES UNITARIOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS. Sea
t * xi * i + zk el vector de posición de un punto P, Segrln(1), podrernosexpresarloen la forma
r : | (u\, u2,ur),El vectortangent€en P a la línean, (parala cual r,lry ¡rB,sonconstantes).,
Entona"r,
fr,.-fir:
y s€ntido
d yectorunitariotangente
enla dirección
delanterior
es
":
#,llrf, l,
A"0""a"
n'
'. il
"r,
indo/rr:l;
l.Análogamente,sie¡ye"sonlosvecto¡esunitariostangentesenPalaslíneasr4yn,
| 0üa1
t2¡ |
A¡
At
..
lArl
: hre,V
lEp€ctivamente,
seüene
á"e", siendoOr:lU*F r":Jr-]
Las maenitudes,¡,,¿,/r'
Aur:
fr
llg(ma;n
factores de escala.El sentido de los vectoresunitarios er, er, e, es el de crecimiento de uL,u4,ut,
rspcctivamcnte.
I
Como v4, ¿5un vector normal en P a la superficie¿rr: cr, cl vector unitario en esta dirección y sen-
\\
r
rr:
I
ti, .l
I
COORDENADAS CURVILINEAS
ll6
losvectores
unitariosE, : i ulrli urly E" : Í u"l r
tido vienedadopor E, : Var/jvl,l. Análogamente,
en P a lassuperficies
uz- c2yu3: f¡¡ f€Sson normales
pecnvamente.
Por Io tanto, en cada punto P de un sistemade coordede vectores
nadascurvilíneasse püedendefinir dos sisternas
unitarios e¡, ep,es.tangentesa las lineascoordenadas,y Er,
E2, E3 normales a las superficiescoordenadascorrespondientcs(Fig. 2). Ambas ternassolo coincidiránen el casode
que el sistema de coordenadascurvilineas sea ortogonal
(problema I9) y juegan cl mismo papel que los vectores
unitarios i, j, k del sistemade coordenadasrectangulares,
con la única diferenciade que aquellospuedencambiar de
direccióny de sentidode un punto a otro. Sedemuestra(pro¿r ¿r- ¿r
y vu,. fa" , va.
b l e ma f5 ) q u e l o s c o n i u n tos
.
,
¿ut du2 fus son dos sistemasde vectoresrecíDrocos.
Un vecto¡ A se puede cxpresaren función de los vectoresunitarios en la base er, er, e", o bien,
Er, Er, en la forma
:.,, ! .
= A re, + A re2 + A se3 = ¿1E . + orE p + o" E i
¡
{
siendo ,41,A", A" y or, n.. a, las respectivascomponenfes
¿/eA en cada uno de los sistemas.
Todo vector A también se puederepresentaren función de los vectores
, +, 3!. q v¿,,v,,,v,,,
¡L
Óut out oug
que, aunque también se llaman vectores unitaios en Ia base, no tienen módulo unidad en general
este caso
,
I
A
= c,+
óu1
=
* c,PL + c"+
óut
OU s
= ctat + c2c2+ Csq,s
= ct|t + crfu+ c"B"
""iu"
siendo Cr, Cr, C" las componentes
contravariantes
covaüantesdel
! cyc2 cslas componenles
y
f
A
c19u" + cr9u, +
(problemas
que tr, :
13 y 34).Obsérvese
f,r,9, -
aur, p : 1,2,3.
:
ELEMENTOS
P,E,TINEAY DE VOLUMEN. A partir de la relaciónr r (¿r,u¿,as)se
* lL ¿u" = h1dv1e, + ht du" e2 + hs ¿ua eg
+ d¡. = 3! ¿r. * PL ¿u"
'
'
óut
duc
dus
La diferencial de la longitud de arco ds es el elemento de
línea y viene dada por ds2: dt. r1r.En los sistemasortogonales,er '€z : €z' e¡ : e3. el : 0, con lo que
ds2 = h?,dui + hf,dui + ti aui
En sistemasde coordenadascurvilíneasmás seneral.véase
el problema 17.
A lo largo de la linea coordenadar,tr,son constantestr2
y ¡r¡, con lo que /r : hrdure, El elemento de línea ds,,
segúna, en el punto P es,ltrdri. Análogamente,los elementos de líneaen P segúnz, y a. soirds, : h2dury ds, :hsdus,
resPectiYamente.
Observandola Fig. 3, el elementode volumenen un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal viene dado por
tt7
COORDENADAS CURVILINEAS
: VÍg/l
ld'
e1).(h2du2e) x th"du"e"¡l
l(tuduf
ilv\
I
ll
=
h1h2hsdu.du2dus1
i/
;.r -- | ;r, ' ¡'/. " d"l l
le 1.e 2xe3l
GRADIENTE, DMRGENCIA Y ROTACIONAL, Veamossu expresiónen los sistemasde ooorcurvilíneasortogonales.SeanQ una función escalary A: ,{, e1I A2ea* A"e" una función
de las coordenadascurülíneasortogonalesub u2,u.i en estascondiciones;se verifica:
Y.n =
;:(\h243)
1/
.it
'i o/v
Ir e
fé
=
\'/
= Laplaci¿node é
¡'ü d-c \
l'
;ldt'"
..
= h [*,*.8,- ¿X,*ffi,. r¿<f*eer]/
h1: hr: á" : I y q' er, e. por i' i' k, respectivamente,
estasrelacionesse redücena las
correspondientes
en coordenadas
retangulares,en donde(zr, r4, z") hacenel papelde (-r,¡r, z),
En el Cap. 8 extenderemos
los resultadosanterioresaplicandouna teoríamás generalde los sistemas
oordenadas
curvilíneasutilizando los métodosdel análisistensorial,
CASOS PARTICULARES DE SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES.
l.
Coorden¡d¡s clllnüic¡s (q, {, z). Se representan€n la Fig.4.
a
r=
ecos6,
siendog?0,
2. Coorden¡d¡s esférices (r,8, fl.
gsenó,
z:z
siendor¿0,
\('"
\,-
h{:
8,
-,x
h,:
<z<oo
I
Se representanen la Fig. 5.
rsen0cos é,
h,:1,
y:
0Só12n,
he: l,
x:
,..'
\i
-y:
rsen0sen {,
0<ó<2a,
2:rcose
0<0<n
ho: ¡, á¿:rsen0
,\
i COORDENADAS CURVILINEAS
t3 8
\)
.:.
Ft3. 5
- 3. Coordenrd¡scill¡dric¡s prrrbólicos (a, r, z). Se representan,en sección,en la Fig.
y: utt, z:z
¡: |(at-É),
siendo-oo
< tt < oo, vZ 0, -oo
h":h":
En coordenadas
cillndricas,u:
!/ur+vr,
AA
!2p cos.:,
-z-2
v:
< z< @
h,:l
V 29 seni,
z:
z
k Fig. 6 muestralas proyeccionessobreel plano x¡ de las superñciescoordenadas.
homofocales con un eje comrún.
¿-
f
F18. 6
\
{\-
-r1,
t19
COORDENADAS CURVILINEAS
¡1, Coordensd¡s p¡r¡boloidales
.r:
(¡¡, v, é).
.y: ¡lvsenó, ,:tQ'-ñ
rvcosd,
siendo¿20,
v>0,
0Sú<2n
ho:uv
h,:h,:^/u"+v",
f, en la Fig. ó segiran las parábolasalrededordel eje x, y lo llarnamoseje z. seobtienendos sistemas
l:rficies coordenadas.El tercer sistemade superficieses el formado por el haz de planosque?asan
eJe.
!l
Ccorden¡dss cilindric¡s elípticas (u, u, z). Se representan, en sección, en la Fig. 7.
, x:
¿cosh¡¡cosv,
0< v 17n'
siendo¿i0,
<z<oo
-a
h': aVsentr'u +sentu,
h":
z:z
/:4Senhrsenv,
h,:l
Lr Fig. 7 muestra las proyeccionesde las superficiescoordenadassobre el plano iry. Son elipses e
homofocales.
.\
ir
,_-
=2
¿.
3>/c
p o,rll6
¡+1'rilt
t
Ftc. ?
ó. Cmrdeul¡s
¡:
esferoid¡l€s ¡lerg¡d¡s (6, ¡1,ó).
asenhf sen4cos{,
t:
siendoó:0,
¿senhf senl sen{'
0=4<t,
h¿: fio: ¿/senh"6 +sent?,
0l
ár:
z:4cosh6cost,
f <?:t
a senh6sen4
Si en la Fig. ? se giran las curvasalrededordel eje-x, y lo_llamamoseje 2,,se obtien€ndos sistem¡s
¡oerficiescóordenadas.El tercef sistema de superficieses el formado por el haz de Planosque pasan
cste eje.
,
I.M
COORDENADAS
CURVTLINEAS
7. Coordca¡d¡s esferoid¡les
sch¡tsdas
.r
- acoshdcos Tcos í,
(f, ?, d).
a cosh6cose¡sen z:
ó,
!:
s ie n dfo= 0 . _ + = n s i,
asenhfsen?
o<g<2n
he : hn : a /ientrr 5 J ,"nz
, , ¡¡ó : a cosh ¡ cos ,,
7,se
,tlj:^11-a.rq, girantascurvasatrededor
del
.8",¿.""?",.'Eii.",l;fffi:.:::Ji,Hl,¿,;
seobtienen
dos
'ormado
J,ill,T,*,;n,*::
Í:,,:ffI"",,:.
por et haz de planos qu-e
por este eje.
t.
Coorden¡daselipsoidales(1, p,
u).
r,
*- *.- *=
t2
!2
" " :i ' f_ r, ,l
u2e,2
;- -+ --+
a t--v
l.=r
r.{i
^z
ri
It
l¡
r
l /_ - - - '- -
!
9'
coorden¡d¡s
.bipf-f"
x2 +(y-acotu)¿:
a¡ csc¡lr,
t,
f¡
.l
I
I
I
r-
h.
"
|
= :
I
,- - - ;:.- - :- ;i -
\/-pt(^_ul
zV @:n@:pr(q-,
(^-v\(tL-v\
(r, y, z). se representan
en la Fig. g.
f
t-
c2< b2< u< a2
z V <¿-i<t"-="i|_.
i'f
t-
c2 ( l t 1b2 < o,
" r_,
--
Y A-rxó-¡á-rl'
t",|
H
= I,
I,
b' _u
/--:-------.--(/¿-A )l r-l \
/
H
,2
tr .""<b,<o"
[¡"'
(¡_acoth v), f
/r:
ascschrv,
a
COORDENADASCURVIL¡NEAS
o
-!,
¿ scnh y
c o s h y -c o s ta
sicndo 0Su<22,
¿ senr¿
y:
_oo
l4l
cosh- y -cos
< y < oo,
t¿ '
< z < o0
-@
a
cosh l, -cos
u '
r': Fig' g muestraras proyeccionesde ras superficies
coordenadassobreel prano xy. Girando
las
ahededor del eje y, y lo llamamos
,, ." irUtl*" un ;;;;;,
o" coordenadastoroidales.
--s
"¡.
Problemas resueltos
L Dcsc¡ibir las superñcics y llnc¿s coordcn¿das
d€ los sisemas de coordenadas: (a) cifndricas y (ó)
esféricas.
(¿) Las superñciescoordcnadas (o
supcrficies de nivel) son:
:
cr cilindros coaxiatcscon el cjc z(o eje, si c¡ :0),
0
ó : cr planos qu€ pasan por el oje z.
z : cr planos pcrpendiculercs al cjc z.
Las lfneas coordcnad¿s son:
tntcrsccción dc p : s, y C : c¡ (lfnca z), una racta.
Int fscoción dc Q : ct ! z : c¡ (lfnca
c), una circunfcrencia (o un puntoli'
Intcrsccción
de (:c¡y
z: c¡ (lfncae), una f€cta./
(ó) L¿s supcrficias coordcn¿das son:
,ú
¡ : cr csfcras con cGntro cl o¡igen (o el orig€n si cr :
O).
0 : c¡ conos con vértice cn cl origen (r€ctassi
c, : g 6 i,
plano ¡/ si cr : r/2).
I : c¡ planos quc pasan por el cj€ z.
"¡
jr
Las lfnc¿s coordcnadas son:
Inlersccción dc , : cr y 0 : cr (llnea ó), una ci¡cunfcrcncia
(o un punto).
Intcrsccción dc | : cL y í:
c¡ (llnea 0), una semicircunferencia(cr * O).
Inters€cción dc 0 : c¡ I ó : c¡ (llnea r), una ¡rcta.
2. Exprcsar las coordenadas cillndricas cn función
de tas rectangulares. _
Las ecuacionos que deñnen la transformación de las
coordenadas ¡€ctangulares a cilíndricas son:
(/) ¡:
pcos é,
(2).y: esen ó,
e)z:z
Elevando al cuadrado(1) y (2) y sumando, p¡(cos,
C * s€n, {) : ¡r +/r, o bien,
x1 +y',
y a q u e cos' d + sen¡ ó: I y es posi ti vo,
e :\/
I
sen ó
Dividiendo (2) oot 0t. !- :p ¡;iP;:ta
só'
"" ¡
o bi en' ¿:
LueSola transformación
pediü es (4) e:\/x,
+y',
(J) d:
ar" rag! '
arctag{ , (6) z:2.
Observeseque d es indeterm¡nadaen los puntos del
eje
puntos s¡ngularesde la transforñ¿ción_
' z (x :0,
, :0),
Estos puntos se llamao
I
.)
'
/1
COORDENADAS CURVIL¡NEAS
"d\
i.)
3. Dcmostrar quc el sistema d€ coordcnadas cilíndricas es ortogonal.
El v€ctor de lneición de un punlo en coordcnadas cillndricas ss
r:
e c o sC¡ + e s ó nCj + r k
¡l* ¡C+ z k :
Losvocto¡€s
tangentes
a l¿slfn€as0, Cy z ücnendados,r€sp€ctivamon
b, p*
.At
: cos0r + s€n0l'
ZA
\
?T
: -:e ¡en{¡ + scosói,
E
+,
-?, ,
+
: *
Los vcctor€sunitariosen esasdircccioncsy sentidosson
arlap
-
cosdl+scn dJ
q ':6 ¡á ¿ 1 :
'r:
a a{
c- ' : c ' :
cosdi+s€nll
/ffi:
-pson ll * pcosCt
i a f n :7 5 ffi*:
: - s€ n ó l+ co sct
tul0z
I attair:l
c¡:et:
Porlo tanto,rer.er): (cosót + rÉnól).(-scn Cl *cos CD : 0
€r-e. : (cosCl + scnón,(k) : O
q.e, : (- scn{i + c¡s CJ).(k) : 0
con lo quc, rr q y e' sonDutua.mcntcpcrpendic.ularcs
y por ello €l sigtotlradGcoordcnad¿s
€sorúogonsl.
¡1. Reprcscntarol vactor A:
t-Z{
**
c¡r coordenad¿s
cilfndric¿sy dctcfmin¡r i¡,;;¡,:
D€l problcrn¡3,
:t"
;
¿
\.1
_({)eo,= c.isql+s6n f 11 1,[email protected]=
i.-t,ai--1/-Qi+t¡,Q¿
l-ii.¿:
Rcsolücndoel sistor4aformado ¡ror (I) y'(4,
,
\
)
i : cosri-s.n
,
li,
/{
i'¡i
\I yVl
),',.tj
t
l
y
j : scnrc? + cocl.,
zl-2xl + y\
A:
Lluogo
ó Ga,
(t) ¿,:k
-s¿n dl+cosC,
,'
: dcos I c" - senú cr) - 2e cos I (scnI e¡ + cos t c.) + e $n I c'
= (z cas{-zee,s {scn f)g-(zscn ó * 2pcos'{{}
c sonlgi
An:
Fw ó-zQcos órct í,.'lt:
¿ .d :
A : J c¿, á.n:
á
rGpocto dol ticmpo
5. D€moskar quc
-{q,
-zsan ó-Zpcos, {, A,:
Q*ni,
cn donde cl punto sobr€ Ia función f€prrscnta la
Dcl probl¿rm 3,
e:
Lucgo,
d
c o s l¡+ rc n lJ ,
Gí : - scnlt +cos rt
7íq
: - (scnó)1lt+ (cosC)¿l : (- scnót * cosll) { : Cc¡
d
det
: - (cosC)dl-(scnó)Cl : - (c o sCi+ s ó nCl)d * -{ S
l
-
COORDENADALCURVILINEAS
l4l
la velocidad v y la ac€leración s del moyimiento de una partícul¿
en coordcnad¡rscilíndricas
de posiciónen coordenadas
r€ctangulares
es r : ¡i * yl * zk y los vecto¡esvelocidady ace_
bff"tf"rfr
, =
=
#
+i !+'zh
. =
#
= ' ir + ir + . jr
En coordenadas cilíndricas, según el problenra 4,
= ,t+ y t+ z t
t
= (p c o s fy l c o a$ co _senóe6)
,t,,.'-
+ (p senp)(s€n+ c, + cos ó eé,, + z ¿z
pep+ zez
¿p
_
L u e s o , v = ,t_
'r =
de^
pí
i"o*
tfr ""
= i.p+ p$"f + ie,
t,
;úD €l problema5. Derivandonueva¡nenre,
a = dJ
=
+ p$e6+ ier)
*,tiV
. ideé
=
;d3.: t Peo + PQ7;+
- P
¿;
.l
i ó .6 *
.:
..
PQeó+ pQe6+2e"
i i " , *.t p$¡ $.0)
+ póeó+ i$e6+ .;e"
- (i ; - p f>.0 +* <pó+ zp$¡ e,+.áe"
Eúr el problema 5.
F
hlla¡ el cuadrado del elem€nto de lfnoa €n coordenadascillndricas y determinar los
factores de escalaco¡resFd¡entes,
,...
pcos4,
r:
-Q senidó + cosóde,
[..Ego,
d/*
dx 2+ d y ' + d z ¡:(-p s e n
drl
.
x
.:-
'do.
y:
ewr|ú, z:z
pcosódó+ ff.)aóae, dz:dz
ó d 4 * c os dtdp)!* (ecos i dé + * nódpY
f @i,
(dú'+ e'@ó)'+ (dz),: hi@d"+ hi@ü"+ hi@z),
c donde ¿1 :
he :
l, ho : h :
p, h" : h":
hundo método. El veator de posición es r :
, :
df
:
:
Lrgo,
ds! :
ar ,
de
Ap
-
fu ,,
aó
a6
l,
son los factoresde €scala.
g cos / i + p s€n CJ + zk.
Ento¡ces,
ar
+ -U ;4 ,
( e o s/i + s € n Cj )d e + (-p s e n di + ecos 4!)dó f kdz
(c o sd d p - p s e n g d s )t f (s e nC dp + ecos4dó)j + kdz
dr.dr :
(cos {d4-
pscn CdC)'+(s€n dde + e cosó dó), + (dz),
: (dd"+ e,@ór,
+ (d,),
i
.:¡¡ )
I
COORDENADASCURVILINEAS
3. Demostrar qu€ el sistemade coordenadascilíndricas es ortogonal.
El vector de posición de un punto en coo¡dcnadascilíndricases
r : ¡i + -v l+ z k : e c o s Ci* e s € n Ct lz k
Los ve{torestangentes
a las llneaso, d y z vienendados,r€spectivamen*,
no,
f
0r
a.
+uy
:
:cosdi+s c n d ¡,
-esen9l +
S cosC ¡'
fr, +
, +
a'
E :l
Los vectorcs unitarios en esasdirecciones y s€ntidos son
€t :
A rl A o
--;-;-:
I orléQ i
qo :
'
cosdi + sendl
---_
- : :
y'cos'C * sen¡
d
Arla6
cos ói +sen ói
-psen ói + ecosCJ
r er ladt:/n' *n,aañ
e¡ :
ArlAz
:-=--:
e, :
I ofloz
Po r l o ta n to , er' err:
I
-s€nCl+cosdi
k
eri c! :
(cosC i + s€n C ¡).(_scn C l + cos C j ) :
(cosdi + s€n dJ).(k) :0
er.e!:
(_ s€ndi + cos
O
C J).G) :0
con lo que, e' e" y e" son mutua¡rente perp€ndicularesy po¡ ello el sistema de coordenadases
ortogona,l.
4' Reprcsentar el v€ctor A : zi -
2x! + l.,k cn coordenadas cilíndric¿s y determinar An A1 y A,.
Dcl prob¡ema 3,
lj)
o :-T; r,t,Iy."..t! (2)et: -senr¡ +cosc,
(r)¿,:k
Resolvicndoel sistemaformado por (1) y (2),
I :
I
cos C qp-sen C €c,
l:
scnde! +cos óet
LucgoA : zl-2xliyk
: 4cosóge-s€n Cec)-2ecos d(s€nú€" + cosr el) + pscn
Cc,
: (z cosó-Z|cos dsen{)q-(zsen C + 2pcosrC).90
+ o senC,ar,/
/
Ao : z.casó-2ecos Cs€nó, ,t : -zscn C-2ecosr {, l, : e*n l.
I
d: dl
Z* E:
¡esp€cto dol ticmpo
J. u€moslrar que
óec,
i"l:
-iC,
cn dondc el punto sobre la función ¡Epr€scnta
Del problema 3.
E:cos{l+scnCJ,
ft'
_d
tuego,
:
¿ 4
dt
tr :
c, : - scnli +cos dl
- (s€nd)iÁi+ (cosC)lj :(-scnCt+cosóJ)d:de¡
- (cos¿l d'i - Gcn d) jj
: - (cosCl + s€nI J)C : -{S
---\}
I
COORDENADASCURVILINEAS
l4l
la velocidad v y l¿ ac€leración ¡ del movimiento de una paricula en coordenad.ascilíndric¿s
El v€ctor de posición en coordenadas r€ctangulareses ¡ : ¡i * ¡i + zk y los vectores velocidad y accEión son
+!t+i h
,=#=
¡ = 4-=\*7trz..
y
En coordenadas cilíndricas, según el probl€nra 4,
= ,l + r!+ z l
.
_a
= (p c o s d ¡1 coe@eO - scné e4)
+ 1p sen @¡lscn @ c, + coa ó ai), + z ez
= Pep+ z ez
L u e so ,
=';,- =
"
dp
l .o*
de^
ol
. " i" " = i" p * p $ . n + ie "
¿.
rgún el problcma 5. Derivando nuevam€nte,
"
= + = ! G " o + p g e6 i+e ",t
- * pói+
^ i¿ ' ó . pé.r
^ \ + |$e6+2e.
* i:.p
- ¿ r!
= ;9
= i ó"0* í% r p ó e , í e ¡ + p ó e 4 + i$ e r + z e "
= ti i- pé?t.p, p $ * z i$ ¡ " , * ' i. "
il
tgún ol problcma 5.
Ilallar el cuadrado del elemento de línea en coo¡denadascilfndricas y determina¡ los factores d€ escalacoffes¡ondientes.
Primer método.
x:
¿l¡ : -qs€n ódó +cos íde,
pcosó,
dy
-
y - esefró,
z:z
ecosódi +.É,nóde,
dz -dz
Lucgo,d.rr: dx'+ dy, +dz¡:(*esen 4d4 I cosdde)s*(ecos Cdd + senídd'*@z).
: (dp), + p,(d$' j (dz\' : hi@d, + hi@ó,' + hi(dz)'
& dond€,h : ho: I, h": h¡ : e, h": h": l, sonlosfactores
deescala.
9gundométodo. El vectorde posiciónes r:
:
At
A¡ ,.
Ar
+
+
óQ
o zz
o8
-d
o '
-d
ó
-d
(c o sd i + s e n d ¡)d e + (-e s €n
:
(c o sd d e -
,
dr :
ds ' :
ecos Ci + ps€nÉj + zk. Entonces,
:
pcos ó
dó + kdz
p s e n /d d )i + (s€nC dq + Qcos4dí)J + kdz
(¡o s /d ¿ -
d r.d .:
Ci+
p * n ó d é ),
+ (s€ndde * p cosódó), I (dz),
(d P)' + e'@4)' + (dz)'
i .)
I
COONDENADAS CURVILINEAS
I
l,t4
I
t. R€solvcr cl problem¿ 7 cn coordonadas (a) esféricas y (ó) cilíndricas paraÚlic¡s.
¡ : r s€nocosc,
(a)
f
z:1c¡A 0
rsenosen í,
t:
ódr
- r ssn0 scnCdd * ¡ cos0 cos 6d0 + *¡
'cfÉ
:
d
0
s€n
s€n
dr
d,
¡ sen0 cos ó dó + r cos scn ó d +
{
:
dz
- ¡*n0 & *cos0dr
Entonces d¡:
con lo quc (dr)' :
(dz)' :
(d¡)r *(dy)'l
tos factor€sdo €scalason h,:
¡ :
(ó )
E n to n c € sd ¡:
(dr)'+ r\do)' + r'sf,'¡'o(dü'
he: r, h¡: ht:
I, h:
h,:
Y:
ü(.¡¡-Y t)'
u 4 -vdv,
dt:udv
r*t9.
2:z
uv,
dz:dz
* vda,
conlo qu€ (dsr' ':'(dx)' +(dy\'+(dz\': (¡¡r+v¡)(¿/)t + (u' + t:)(¿tv)'+ (y'zt'
Losfactores
d€escala
soná, : h, : \/ u+ v' . h": h, : \/A +nt , h': h, : l.
v-'.
lt t 4ur y LJ . t . t
_
t
t,..,./va,
j"/
o
'
"tJ'
. , , , ) , J , ,';
9. Represontar y hallar las dinreísiones del elemento de volu¡nel
¿
en coordenadas (a) cilínd¡ic¿s y-(á)
(a) L¿s dimensiones del olemento de volumen en coo¡denadas cillndricas (Fig. (¿)) son e dó, dp y dz, yt
vienen dadas por
ds,: h, tl\ : (l) (det : de,
dt:
hdu¡:
p d4,
ds. : (r) (dz\ : dz
utilizando los factores de escala obtenidos en el Droblerra 7.
i¡
.-l
l
i
Fig. (¿) Eleocrto de voluEe¡ en coorderad¡s cilíndrlc¡s
Fig. (ó) Elem€nto de volumen en clo¡der¡d¡s
(ó) Las dimension€s del elemento de volumen en coo¡den¿das esféricas (Fig. (ó)) son d¡, r d0 y r *¡
ya que vienen dadas por
d s ,: h ,d u , : (l )(d!l : dt,
ds¡: hzd* :
r& ,
utiliz¡ndo los factores d€ escala obtenidos en el problema 8 (¿).
ds,:
h" du, : r* ¡ 0dó
-\
COORDENADAS CURVILINEAS
cl oleüEnto dc volumcn d/ c¡r coordGnadas(o) ciltndric¿s, (ó) €sf¿ricasy (c) cillndricas parabólicas.
E clctncnto dc volur¡rcn en coord€nadas cuwilfncas onogonsles ¡r, ..t, r¿rGs
dV:
En coordcnsd¿s cillndricas, a, :
e, ut :
h, h¡ h¡ dardq dut
6, ut : z, ht:
(trl € )o )d Qdódz
d V:
l, ,t : p, ¿t : I (problerm ?). por lo tanto,
:
Qdedódz
También se pucdc obtener di!€ctanenta obs€rvando la Fig. (a) dol problema 9:
En coordcnad¿s
csféricas,a r:L
lr¡to,
dV :
t,:0 ,
u ¡:
i , h,:1,
ht:r,
(l\ (rr(r st 0\ dr & d{ :
h¡:fs€no
(probl ema8 (a)). P or l o
rrffiíúdOd{
También so puedc obte,nerdircct¡urnte a padir d€ l¿ Fig. (ó) dcl problema 9.
cilfnd¡icasparabólic¿s,
ur: ü, ur: v, .!, : z, h:1,/irTl,
F¡ coordenad:s
(problema
8 (ó)). Por lo tanto,
dV - (\/ u, + ü (.\/ri. + v\ (t\ du dv dz :
h. : \/7i-+ ". , h. - |
(u, * vrl du dv dz
(¿) los factorcs de esc¡la y (ó) cl el€Nnentode volumcn dll en coordenadas esferoidales achatadas.
¡ : ac os h ¡C o s ? c o s ó ,
./:4 c o s h
É cos?sen6,
z:
¿senh6sonA
dx : - 4 cosh 6cos?sen CdC-acosh I scn 4cos ódq * a *rrh 6cos Zcos Cd6
dy : acosh fcos4cos ód6-acash 6senqsen 4h + a frr,nhfcos ¡sen Cd6
dz : ascnh fcos ?d? + acosh ¡ s€n?df
Entonccs (dr)t :
(dx)' + (dy), + (dz), :
a! (senh' ¡ + s€¡! 4) (d¡)'
+ a'(s€nhr 6 + sen! ?) (d?)¡
+ a¡ coshr 6 cos' ? (dC)r
f
h : he: 41,/scnhtf + s€nt? , h":h,t:a/s6fr[i-F?s€n,4,
h, : ht : a cosh6 cos?
dv : (at/ *nW ¿ + *n,,ü G /Gh--T + s€n' 4) @ cosh€ cosri dt dn d 6
: ar (s€nh¡f + scn' ?) coshI co} rt dEdI d{
las expr€sionesde los slementos de su¡erficie en coordenadascurvilíneas ortogonales.
Obsorvando Ia Fig. 3, pág. 136,Ios e¡ementosde super6cie vienen dados por
dA :
l€¡xerl:
l(h¡ dqe,\ x (r¡ ¿¡r e,) | :
lr¡ /r¡ le¡ x eo I du1du" :
hh" du, du,
I
r
I:.
¡.
le,¡:
t. Análoganente,
dA, :
| (h, du,e,) x (lr, ¿r, et) |
h h' dh du.
dA, :
l(hdqe)
x (h, dqe) |
h' h, du, dul
1
I
l4ó
COORDENADAS CURV¡LINEAS
Sie¡do ¿r, ¿¡, ,r¡ las coord€r¡adascurvillneas ortogonales, dcmostrar quc al Jacobiano de ¡, /, z
l¡r, ¡r, .¿¡ es
?¡
?v
),
ü a t¡[
3x
7y
7z
óU q
ótte
due
7r.
?u"
7y
?r"
Zz
?r"
=
h th ..ü
Según el problcma 38 dcl C¡pftulo 2, el determinante dadoesigual a
?"
(-l
oul
+
a,
7z
+ <- h ) .
óut
our
-4J
-
?¡
&.?¡ "?¡
?u,
?u2
?v
( '{- - l + 1 l J
óuz
ott2
ó""
+
E.
ott2
-I)x(-
=
Ár€r' h2e2 x hseg
=
htbho
e1' e2 x es
?¡
Ev
l +<- J +<- k )
oug
oua
=
2z
oug
hthzhg
ar ar a'
si cl JacobianoesidénticamcntenulLo,losv€ctores
-6r,, dr", son coplanariosy las
á,
(x, y, z) estánligadaspor una relación del tipo F(x, y, z) : 0. Por consiguient€,p¿ra aplicar una
ción d€ coord€nadas es necesario que el Jacobiano corr€spondiente sea distinto d€ cero.
frf
14. Hallzu
J J J
(¡'+l'+
zr)dxdydz siendo / una esfqa d€ c€ntroel origeny radio ¿.
Fk. (o)
Fr¡. (ó)
La intogral pedida es ocho vecos la integral sobr€ la parte de esfera contenida en el primer
(rig. (a)).
En coordenadas ¡ectangula¡es,
s
¡o
J
¡ /-a2-x2
J
u.o y.o
r /7=V=7
J
+ z2r ¿2¿rd'
@2+.f
z¿o
p€ro su cálculo, aunque posible, es complicado. Resulta más fácil utilizar coordenadas esféric¿s.I
€ste tipo dc coord€nadas,€l integrando.:, + y, + 2., s€ transforma cn ¡', y cl elomonto de volumen,
COORDENADASCURVILINEAS
t47
rúfÉrte en r,vrrgdrd0dó (problema l0(ó). Para ¡ecoüer Ia región del prim€r octante,sc tian 0 y C
,Jrf y s€ integra desder :0 hasta ¡: a; a continuación,manteniendod constante,se integn desde
=l tA : z / 2y , ñnalm e n te ,s e i n te g ra re s p e c to d e é desded:0hastad:z/2,H emospl anteadol a
ión en el orden 4 0, f, Wfo s€ podia hab€r s€guidootro orden cualquiora.
, ["" ["" J' <*rrr*n
o¿,¿o¿
\ = " I"n f^ f
r=0
6=0
¡=0
ó=0
8=O
r' sen0&dedó
¡-=O
1r/2
=+
' ' r["* ,["""l *neli-oaeaq
J,'" J,
=+
*n0 a0d$
=#
=
,o"o("o¿ó
J""
J"""'r
r JI
41roa
Fnq¡r¡ente, la integral representael momonto de inercia de la esfera respectodel origcn, es decir, el momento
de inercia, siendo la densidadde la esferaigual a la unidad.
rr
E¡ general,cuando se pasa de coordenadasrectangularesa coordenadascurvilfnoasortogonales,el
cnto
E¡lo
de volumen,dx dy dz, s€ t¡ansformae¡ h,h"h"dudu"du",o su equivalentc,t
l+"a")
./ el Jacobianode la transformaciól de x, y, z a ¡.¡',ar, ¿' (problema l3).
jrÉlo a1,¡/',a¡laslíneas
demostrar
curvilínoo,
coordenadas
deun sistoma
tue fr,
+,-h,Y
du,du,du,
vr¡r,V¡¡,
i¡¡ son dos sistemasde vectoresreclprocos.
\ l s i p :q
'
"
I(v^s tP+
-; q .
at
Tcnemosquedemostrarque j;o ü t 'vu.:-
endondepy4puedentomarlosvalo¡es1,2,3.
F
fr ticne,
dr
=
3r ¿u. *
dr,
a¡ au"+
ll ru"
7n"
Multiplicando por Vl, .,
V,1 'dr
o bien,
-
du1 =
a¡
tVur'*rl¿,,
= 1,
Vur '
?,,.
+ (Vur'
vrr. A , = o ,
{rrn
V r, '
,
tVur'*l¿,"
a
?u"
\nálogamente,multiplicando por V|rr' y v¡¿s's€ demuestranlas demásrelacionos.
rx m o s t r a r q u e
{*
# ,.*}{e u ,.i v" ,v," }
= r.
ar
ar a'
dc YectorssPorlo tanto
V¡rssonsistcfiasrecíprocos
-AC, -ft V Vu,, V¿¿',
Segúnel problema
á,
",
!¡ demostracións€ deducedel problema53(c), Cap. 2.
-r)
lrE
COORDENADAS CURVIIJNEAS
Es¡o rlsultado'oqüivalc a un tcortú[a dal ,¡cob¡¡so,
a"!
3rr 3c1
¿r Oz
dt
b
iq.9u2r.O*,
a¡
3s
&
e dcrtet(#th\
kot
4",
?:
llg
, (
¡t. r2t l¡t
)
t'f,.
Er
¡, trúrodococrnrrsotprobt@¡13¡
-
^ry#l
?¡2
dt
t?. Democtr¡r quc cl oradndo dcl Gl@tto do lfnc¿cn coordin¡das cunillnca¡ ra puodooxpncar por
g3
ds2 =
X
X +q '\hc
q'r
,'L
Tcndrcmos,
g
¿t -
¿u, *
llt
ola
¿r.dr
=
@t
Por lo tanto,
.
dtz
o
du?+ Aa.q
Cr'c-
gd4
+ &2 du2
¿ttLdt2+ gr.q
d¿1iu3
+ Q.Al
du2til,a+ q.As
duf, + Q.g
+ ds.q
d¡s de1 + Q.Q
dasdu2+ q,drd":
3g
"
GRÁDTENTE,DTVERGEF{CIAy ROTAOONAL
ORTOGONALES
^ TPy- ^-*
lt. Dcdr¡ci¡ ls cxpr€ciónV(D cn coordc¡radascu¡vilfn€at¡ortog6nato,
Se¿ ViD = f¡cr+ foeo+.fs 03 con t1,¿,/3 c¡aúsicnté a dctcrnimr.
como & = + ao1t $aoo* $ao"
' duz
' tsq
ü1
.
hlc/.tttr + h2 e2du2 + f,s c"dng
Irsulta
Por otr¡ púrt!,
.
(¡)
de
(2'
ae. ffia,r
*#or*.ffia,,"
VO. th
d4 dus
, sioado\q = cr'c,q
E t*dgd,n
F q.L
).!
r
+-dk
ote
-
¡.|.hdt4+ hfztbz + fu/edq
COORDENADAS CURVILINEAS
Igualando(/) y (2),
k
r= r 3 e
r=1?E
'1
'z
h,aur'
¡, éu2'
,-,"
r a iD.
[ a,t
vé = htp gg.p3É.e"g9
dut
hz du2 '
lo tanto,
fu ?rg
E¡¡ rclación indica la equivalencia operacional
g3 eo3
v = bt33.
out
h2 du2
- ls du"
¡o3 s€ teduce al operador Ven su for¡u
bn
norrnal en coordenadas rect¿ngulars.
u,, uo,u", coordenadascurvillneas ortogonales. (a) Demostrar que lVuDl:h;r,p:1,2,3.
(ó) Demostrar que e, : E .
¡¡¡ S eaQ : ul en e l p ro b l e ma1 8 . En to n c € r"
s:
logam€nte,haciendoé
+
:
y
- u, u,, lAu;1
y l V arl :
l e,l l h,:á,-r,
ya que l erl :
t. A ná-
¡rt y lVu,l : h;1.
&, Pord€finiciónEr:#fr.**r"r,sepuedeescribirEr:hoAuo:eoqteesloquosequcrf¿demostrar.
Iaostrar que er : ¿¿á! v¿¡ x v¡/' y que e¡ y e" vienen dados por ecuaciones análogas,
siendo r¡r, ¡r, ¿¡,
oordenadas curvilíneas ortogonales.
sesúnclproblema
t9, %, =
fr,
V""=8, %" =;.
3"
€t
=
Por lo tanto. V,, t Vu" = 9¿l
n, 4
ll-th"
E¡ €sidp.t.-
Arálogamente,
e, = AeilVu3xVul
y
fti
,IIr l
- -vu2t Yus
et = hztB
I
I
,l
I
ca= h]2Vu'xVur,
I
,l
lmostrar que en coordenadascurvilíneasortogonales
(d) v
(drel) =
{1e,n,ts
th"
a ¿( ,{ ,¿,) 1á ¡ V x 1 l ,e ) = jnI)
n7 aus
. ¡oálogamente para los vectores,4¡e¡ y,4s€r.
r
.e+
hthz
¡
*;tlrt"tl
(
Del problema 20,
V'
(l1el)
=
9,
=
VéIh2hr.
qArh2hrix2xgu".¡
Vr2'Vr"
+ A]2fug,
qyu"xVx"¡
= gulhzhs).ff'fr.
o = i6,n;'¡t.fr¿
=
=
n"t' f; ];e,t"r'")
* fr f,*,tn",
[f r},^u't
]
1a
€r
hzt¡
hrr,rr," zí)éthzhdt
.,
/l
l
llt,
ADAS CURVILINEAS
COO
'E
(ó) Vx (,tl"J
= Vx ¡,t1Á1Vr1¡
.
V(1Ár¡.x Vr, + 4hrVxVu.'.
= Vq,rrl.¡rfr
+0
=[; ftu,^,,
* ftft<tl,t
frf;,r,^.,]-;
=ftftr,,,u
- frf;,,,,,¡
Zl. Expresardiv A : V 'A on coordsn¿dsscurvilfnc¡s ortogonal€s.
V'I
V' (Aa4 + azaz + ,{oGs) .
'
-
I
V'¡,trcr¡ + i,1,1"4¡ + V. (.{re")
* 3tarroJ
f3,rr44,
' -' * ]1,r,r"rr¡
7a' " ^' Eu"' - "'l
t"194 l?ur "
aplicandocl probhms 21(o).
Zl. Expf€ssr rot A:
Vxl
.
V x A en coord€nad¿scuwilfncas ortogonales.
Vx(ltcL + Aza2+ 4 s"¡ .
Vxl,t1cJ + Vx (la!a) + Vx 1,tuc"¡
= ftfto,ar- ftftu'ut
* ft¿gr,r,hr
- ffifru"ut
- &*'o.,^)- fr*",t'"^o
= *^[fit'"'"r
-*,^,r,]- fr[ftr',a,-ft,r"^"r]
f;,,,'u]
ft1f;u",",soghncl problema2l(ó), Esto sc pucdc€sctibir c¡r l¿ form¡ máscompact¡
h*t
Vt,r
=
a
,a\/¡a¿á
-j.;
üq
hzec
a
}6c,al
al
al
A1h1 A2h2 Ashsl
21. &(pr€sar vlP €o coordcnadas curviüncas ortogoDal€s.
V,/ = + $- = $
D e l p ro b l e malE,
'
h1 du1
h" da"
.eo ¿'lt
ig a"a
COORDENADASCURVILINEAS
s ,r=9ú,Entonces
l. =1
v.¡
V
*
4,,
#r,
.=
*
"= i
Ott2
r ?,y'
, ,{s = .
*
hS óuC
i 51
y, según€l Í oblema22,
V2!.t
a ,h.h, á! .
f ¿ .h2h.a/ .
,r¡"Lau,t," á ; ' ' ¡ ¿ t
^,
a . i',¡, a¡, .l
a",'' üt
, " á il
I f A'n dS
drvA= v.A = jH. r\,
@obleÍia 19, Cap. 6), eipresar y 'A cn coordenadas
a¡rvilftreas ortogonales.
Consideremos e¡ elemento de volumen lV c\ryas
áñcnsiones, como se observan €n Ia figura adjunta,
n htAu,, h/q, h,Au¡
S€an,A : lr e! + Are, + A, ety n el vector uni¡¡io normal extcrior a la superñcie /S del elemento
* volu¡nen Á V cit2do. Ei la cara JKLP la norm¿l cs
r : -er. Por Io tanto, y aproximadamente, tendr€mos
Pf
| | ,r. n ¿s
= (A . n en el puntoP) (Arca dc .¡K¿P)
JltP
=
l(1e1+
A1h2ha Au2&6
-
E¡la,(,¡ra EreE,b
+ Ase3).(-er)l (¡2rka82a¡¡s)
A2e2
integralde superñciees
4 hzhsLr'2N1- ,
{^<1,
nrn"AarA""¡&,
infinitésifios de orden superioru Ou,O^/.r¡.
es
fugral
dc
sup€rñcic,
-sprcciando
A¿1 =
(¡"¡r¡"
<L
ona
^¡zAh)
l¡ contribuciónde las seisc¿rasdc / zes
f ¡
lfit,e'r,ro
+
La contribuciónneta de estasdos carasa la
+oul (/i A2&) A¿1A¿2A¿3
'l
á
+ A
a"1a"za"g
f;tAzhths\ ü(/s^1¡,)l
Xlvidicndo por cl volumcn h:¿J'[ Áu, /u, Au' y hallando el llrnitc cuando Áu,, Áu', A4 ticnden a cero'
tilne
( ¡ r ¡ r ¡ " ) * 9 t r " ^ r , , r ll
dr"a = V .r = ,,t,[ 3 r r r r " ^ " 1 * 9ot4
ot¡s
4h2h
LduT
J
obBérvcsequellegarlamosalmismoresultadosihubiésemosconsidcfadounelementode.volumen/./
en el problema 2l
U qu" ¡, iuera ,i, c"rrtio. ¡n estecaso, ei cáiiulo se efcctuaría de forma análoga al rcalizado
.H Cap. 4,
COORDENADÁS CURV¡LD{EAS
tt2
ú, A psrtL ds la dcñnición
(rot A). tr = (VxA). n = Uñ
A3-o
I!!AS
(problcma 35, Cap. ó), cxpr€sa¡ V x A cn coordenad¡s curvilfncos ortoSonal€s.
En prirncr lu8ar, c¡lculcmos (rot A) ' ct. Para
cllo consider€nos la supcrñcic S¡ normal a c1GnP'
como indica y aclara la ñgura adjunta. Scan' A :
,{¡ c¡ * A¡9 * A¿e1y Cr Gl contomo d€ S'' En
€stas condicioncs t€ndrcmos,
/'^
9
^. ¿.
=
-c,' P 8 ü
.t
l¡ . ¿¡ '
, f ^.r,, f ^.r,
tc
l^. r ,
.t
It
Admiticndolrs aprorinacion€3
(I)
f
J
t.a,
=
(aenP).ltr&tcr¡
:
(,1r"1 + A2e2+ Ascal . (¡24u2.2)
I^'"=
l^'" =
A2h2lrue +
(2)
- A2 h2 No
A2h2ü4.
ioüi Á2h2&t2¡ N.
xL
o bicn,
=
-
(¡z
+
o¿3
A¡2) A¡¡g
^2
LT
AnálogampntG,
I n. n
Px
o bion
(3)
t ^ .n
¡tP
(4)
I
¿ea¡,s+ r,l"r"a,"l&"
f ^, ,, = ,4s
fi
(.1),(2'),(3), (4) s€obtiene
Sumando
/"))
0 r.¿r
=
UC,
-
+(rsAs&3)&,
Ou2
=
l-:
[-trr,t"t"¡
(A2h2\udtNs
ir
ouo
>
-
despreaiandoinñnitésimos de orden superior a A¡¡, Az¡.
ü6"hd
'l
)
N"Lus
COORDENADAS CURVILINEAS
Dividindo por ol órca dc Sr quc v¿b á¿r'ílr.
(rora)..r =
*
y h¡ll.ndo cl llmiic c-r¡rndo/r, y .¿rr ticodca¡ @ro.
3*,r,^,,]
[*."or-
Anólogamcntolom¡ndo lr3 árcasS. y S. perpcndiculatcsa q y c¡ cn p rsp.ctivsmcntc, se obticm
(rot A) . C y (rot A) . c.. For lo t¡nto el ncult¡do pcdido cs
(rotA =
- lt.,,n"t
- ft ,r"t"l]
. fr[*t--n,tu-ft.r"^",]
f,rGr }¿¡z
. ¡i fftt'"ta
- ftt"a'] " #
ó
o
hq I
^dl
l
?n, 49
a*
hr/iL
bAsl
i2A2
I
Al misnrotcullado s€ habrla llog¡do si hubiéscctocconsidcr¡dosl punto P.como ccnt¡o dcl ó¡ro &;
cl cálcüto!c rlalizarla dc fonna análogaa conn sc hizo cn cl problana 36 dcl Cap. 6.
. Exprcsaron coordcnadascillnd¡icss: (¿) V!D, (á) V'¿\ (c) V x A, (d) VS.
En coo¡dco¡d¡¡ cillnüi<¡¡ (p,ó,¡),
uf P,az.Ó.h.2;
Y
L=he= r,
q'cp,
%=.ó, csaGz;
hz=tó= P, hs=,'z. t
(d)v e= i H " r ¿ H " i ffi "
-
i # " -i # " ¿ *i 33"'
$ t . i S "' $ o
=
#"[fi,r"^"ro
t ln<nnt,,tot
" fto,r,rn]
#"" [+(orur)- $ (,',,u,r)
- $ (r'ro,,)]
iG1*,
-#,5*^",f
sicndo A = Ap e a + A ó a 2+ A" e s , l .e, A L-A p,4= A ó,
h¡e1
(c)
Vx¡
=
I
hthrh"
h2e2
ep
hseg
ooo
¡,'6¿;[
h1A1 h2A2 hsAs
=!
A B = A z.
Peó
"z
oód
P
ú&r;
Ap PA6 A2
154
COORDENADAS CURV¡LINEAS
. Q*-,*) , . (¡**,-%*)
; [(# ]*^,,),
(/) v'Q =
(*r).+(*#).*(*n)]
# ['"''
#",[#(ryr) .* (T#).,*(ws¡1
¡* Q #')¡ # . #
2t. Expi,csa¡en coordcnadasesféricas:(a) V x A y (á) V.y.
n1=r, uz=0, W-ói
En ostccaso,
¡r",
¡r"o
¡.""
I a
a
a
|
( ¿' ) V x A =
t
h1Áol'"
aL'e, e2=ca,cc=$ i ha-hr.l, h2ehg=¡,lo-h6=r*¡0_
?r,
3r"
?,"
|
I
,l haar h2a2 h.As
¿f ,a0
-
(1,(')A*.8
aa
E6e
| scnác6
a
E
|
I
I
A7 rA, r *^t'^rl
- F#[{$r'*'o+t- $c^¿l*
_
{#
_
$r,*oel't\,", . {*or,, _ *1,*oe"6]
(ó,
v'ú=dE[+(+#)
.*(**) .*(*#)]
=*#*.a[*(*r'#)
.#(=**)
,+(##)l
=,h[-"'*('#). #(*"*Y)
. * #]
=
|
t ?/" 4 ' ' \
-' \
. Fh t-*_
n ., 1' rÍ) . t* #- (*", uu)
¿óo
29. Escribi¡ la ccuación dc taplace cn coordcnadas cillnd¡icas perabólicas.
Dcl problema t (á),
¡r=¡, 42:¡,, ¿o=r;
hr=Gi-ro,
ho. /71-oo, h.t
'rll
COORDENADASCURVILINEAS
.
vzry' =
Por,otanto,
#,[*(*)
("."'#)]
- *
*(#)
t
l))
= .- -r r( *'#)'#
b ecuación de Lapl"o
É,/ : 0, o bi"n,
"t
=o
fu.{+
,q,",,,¡t!
dz.
¿u"
du2
I
: xV'U de la transmisióndel calor por con-
E¡presaf en coordenadascilíndricaselipticasla ecuaciónff
ducción.
;
tur
i*-
fr
u!=u, t'e=1), us=z i l,r=r,r=",,(ffi'f,llñiu¡,
r
i" u
t
\
/
l¿fryl
h=1.
\
Porlo tanto,
/
ll
^
\ 'I
3la{ s enh' z * * .d'I
' ", $} l
a, \au/ - a'\
- 3lg)
)
¿'(senh'?¡/
+sen'v)L¿, \¿,/
lfu 't!1
{4
a"2 J ' 7"'
c{senhta r sen'r,) | ?u2
y la ecuaciónp€didaes
y = *{
.* l ?r"
- *J}
'* sen'v)iL*au2
a,
I a(senh'a
(OORDENADAS
¡.
7," I
EN UNA SUPERACIE
CURVILINEAS
: r (¡, v) viene dado por
Demostrar que el cuadrado del el€m€ntode línea sobre la superñcier
=
ds2
d. =
Tendrcmos
Por lo tanto, ds2
=
Ed u 2
+
$a,
du
Gdu2
* $a'
du
d¡. tl¡
= +.+.h,2 + zS.*r,r,
Ótt Ót)
dtt du
=
+
2F dudv
Edu2
t
2F dud ¿
+
_ *.*r,,
ot) ot)
Cdo2
!¿. Demost¡ar que el elemento de área sobre la superficie r : r (,J,v) viene dado por
ds = ffi-fi
¿u¿,
El clemento de área es
= l+"*
ds= l,$n",',$n,,1
1 0 " ,,= n
C¿
dul
ld¿
|
ld¡
f fl $ ¡ 8 ,,.,ffi ,,,,
El radicando es (problema 48, Capftulo 2)
,* '
du
Pr
,* 'P,
du du
du
-,*'P ,,*'*,
óu
du
=
dv
du
E c -t r¿ q u e e s lo q u e s e q u e rí a d e mo s t ra r .
l
COORDENADASCURV¡L¡NEAS
CURWLTNEAS
DTVEN,SOS SOBRE COORDENADAS
PROBLEMAS
33, S€a A un vector dado resp€cto de dos sistemasde coordenadas curvilíneas (¿¡' lrr, ¡¡) y (¿', ¿', ú').
relación entre las componéntes contravariantes dc dicho vcctor €n ambo8 sistemas.
Las €cuacionesde transformación de las coordenad¿sen un sistem¡ r€ctanSular (r, y, z) a las
(4, u., u.) y (úr, at út¡) vienen dadas por
z = 1rlt'ltu2tus,,
I
(¡)
I x = xlí¡í2,tsl'¡,
f = r"4,¿2tt4l,
2 = 21(ut.t4.t4\
| = fz(út í2,ís\,
¿ = ¿z(ít-U,ía)
En estascondiciones, habrá unas fórmulas Oetransformación ¿irccta d€l primer sistema(n,, n', ,¡¡) al
(rr, ¿', ¿.),
(21
¿1 = ¡1(4, ü2,üo),
u2 = ulí¡i,2,ísl
¿e = k(4' Q, üs)
,
y r€cfproc¿mente.
De (1),
tt¡ = tsr,,
ouL
=
¿¡
*
+_ d¡1
:! díh
Ou2
o¡l¡
= d.1
dq +
d2 du2
+
Q tlq
d-u"
*
o¡&.
=
d2 ¿:u2 +
d3 dl\
=
dtdú
#uo*
*"n*'
+
+
úadi1
Por {o taDto,
(3).
d1du1 |
Dc (4,
dxl
l'2du2 +
=
Qd4
+ l2d12
+
d¡a'u"
#' ,*S' a.ft' ' "
a",=ftaa,*fta"r*t
r trs = ffr' ,* H r* -* r*
Sustituyendo en (r) o igualando los coeficientesde dü1, d¡2, dEe de los dos miembros, se obtien€
a1
(11
o,#. oH .
d2
",*,
-
ús
"'*'
"#
t*,
. c "H
,*"
.
d"*
Ahora bicn, A so pucde expresar en los dos sistemasde coordenadas por
(5)
A
=
siendo Cr,C2,Ca y
(4) en
?u'
=-
- dlir
--_ -
?¡.
?¡"
+ -q = --+
=
a
erdr+Qd"+d3d'"
dt,dz, Qhs componentes
de A en lo3dos sistem¿s.
contravadantes
c1d,L + c2 b
lL.
.
y
Cttta + c2c2 + csl€
+ c3 c3
=
Qd,'
+ d' d.
?¡" - ?¿. *
<Z'fr
frlc' =-- + C2=-- + q
?¡,.
-C a=
?¡.
q
:-- + C" i-- i=-)
dE2
ó83
+ c-nd'
- ?¡ " - E*
- ?* ,ttaor
* aü* t" d
-
a-.
t
COORDENADAS CURVILINEAS
b tantor
=
cr
aÉ
tt7
- dí, ' e"g
-d%
- ¿"9
¿ r* :
c2
¿ , *: . r,* ,,r" *
c.
;
c^
?u^
-C1--!
En"
- ?so
- 'ó t ,
- dlt
'c"3óEs
¡br€viadamGntc,
t daYlr
+ .
ó¡tI
?u^
,,t
* -,"t?¿^
P=r,2,3
nás compacto,
31
^
ul
I
ffloganonte,
|
¡i.
y-
=
-
= oub
"c l.
P = l'2'3
"-q
p€rmut¿ndo las coo¡dqiadss sc d€duce
31-
er - I . r t ?
ñ
P = L'2,3
"rO
Los resultados anterior€s nos llevan a adoptar la siguiente definicíón. Si tros magnitudes, C¡ G, C¡ en
r sistema dc coordenadas (ub ut us\ están r€lacionadas con otras tres Cu Cu C en otro sistema de coorde"
{'( (¿r, q, ¿¡) por las ecuacionesde t¡ansfornración (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitud€s
s€ llaman comy'oprimer
a¿t de un vecto¡ conlrarariamte o le tor contravafianle dc
orden.
lEolver el problema 33 para las component$ contravarianles de A.
ñ
lcpresentandolas componcntcEcovariantosAe A cn loo sirtemas (¡1u2,ue) y (4,t¡4)
Z_.;2,¿ , resp€ctivamcnte,
A
=
c1iu1 +
por c1, c2,ca y
;r 9Í, + arVa, + á.E¡
c29u2 + caVq
Ahora bien, ü¿ = 7.llt!,u2, rro) con p = 1,2,3,
|
¿,p
tI :,,ü
\t
d,
?,,
au1
-+
lz
oul a¡1
t
-+
¿r
dt ?n,,
-+
?u, ?:
?¡, 7a
?n2
a%
b
?u3
ot
ot,
áq
úf
ab
6;
of
?q
ol
oul ?12
út 4,"
¿"
4"3
ot
P = 1,2'3
-
También,
ir)
c19u1+ c29u2 + caVr6
=
<",$*
",$**$¡,
+rc1 $+r$- *$y * (",* * ",$ * ""$r.
iI
..
;
.).
COORDENADAS CURVILINEAS
l)¡'
(4\
at,
¿t3. .
.- ?Et
- cA 5;)¡(c1'
-+ ¿2t+
-c l vrru !+ c- 2!rfu 2 + cavus =
* <ar**a"p*;"p¡¡
ol
of
ol
1a,oz $* a ,02p *; " $02 ¡
Igualando los coeficientes d€ l, r, k en (3) y (4),
?un
-dz
* " ,p
* " "ot$ = a r$
.;,pou
o,
ox
?¿, +
(s)
c1 =--
of
?¿.
c1 =-_
oz
+
?¡"
C2 Xi
?u"
tc g
of
¿r
7u.
E¿.
c2:i o2
oz
ous
-ca =-
tr+
ot
= otk
u2-
e"13
oy
E-dz, Y
ir+o2
EE"
ot
-^
oz
Sustituyendo las ecuaciones(2) con p : I,2,3 en una de las €cu¡lciones(t c igualando ¡os co€ficientesde
9.91". ' gtt. 9.
¿,' ¿"
4'
4'
9"". fu, k, + deambosmiembros,
ssobtiene
4' ¿, dz dz
,-&
ou!
Ottt
_
ova
-""+
ou1
-
(6)
ottl
ou2
ou2
ov2
_ Otta
cl iou!
ou2
-c2 <ola
_ oue
ca
Qua
--
*
e.F
- dui
7^ !2
que sepuedcn€scribiren la forma
(71
"f
a
tn #
p= L,2.3
o bien,
3
-9
r
Análoga¡DÉnta,sc deduce quc
(e)
el
t
;
ou^
--J
P - 1,2'3
?,n
3&t
p ú 1' 2, 3
Los r€sultados¿nteriorcsnos llcvan a adoptar la siguientcdsfnición. Si t¡es magnitudes,c,, cr,c.
sistema d€ coordenadas (zr, ar, ¿¡) están relacionadas con otra!¡ tres 6r, ¿'r,é, cn otro sistema de
(ú\ ú,, ú,) por las ecuaciones de transformación (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitudes s€ llaman
de un vector covarlanle o tensor covafiante de primer orden.
La generalizaciónde los conceptosde estep¡obl€ma y del problem¿ 33 a un espacio
asi como la d€l concepto de vector, la veremos en el ardlisls
así
procesl de t
ard lisls tensofiql,
tensoriql, Cap.
Cap.8,
8, En el proceso
conviene emplear una notación concisa que exp¡€selas ideas fundamentales de forma abreviada,
' sin embargo, que aunque la notación €s distinta, los conceptos básicos que se expon€n en el Cap, t
Intimamente relacionados con los de este capltulo.
COORDENADASCURVILINEAS
l.)
Detnostrar que en
coordenadas generales (¿h, ¿2,4e),
trr
gB
tp
f es
931
8s2 g*
siendo 6rn los coeñcient$ de dn, dn, en ds. (Oroblema l?).
e) Demostrarqueel elem€ntode volumenen coo¡denadas
curvillneases {i ¿o,au,au,.
(.)
Del problema 17,
(J)
s'Ps
..
=
1 _.=t= 3a3a- ¿3L.
4Y
¡. d ^q =
::
éup }un
éup }uo
7z 7z
P ,q = r' 2' 3
}up éu,
Teniendo en ct¡€nta la fórmula dc ta multiplic¡cióo de determin¿ntes,
at a2 03
A¡, Bt
ba b2 b3
Az Be c2
cL C2 cg
As Bs
=
c.
?¡ .. ?r ¿
(.?r
= - ..-_^=_,
otaa ou2
oug
l " r^ r+
a 2 a2+ osA s otB r+ a282+ ca83 o1c1 + r,2c2+ osca
l \4 1 +
b 2 A 2+ úA s
l c L Ar+
c 2A 2+ c" A s cl B at czB zl . cgB s cLcT+ c2C 2+ cacs
}
?r1 Eu1
i-
b2C 2+ bsC a
7,
E¡
oul
-?¡
btB l + b2B 2+ bs& s \C \+
4é,
ouz é"2
7u2
a" 47,
oue
Er6 ?rr3
? ¡U ? z
?z
?r
?r
Oul
Ou2
dus
?" Er ?¿
}
U¿ t
ttt
ttz
ttg
7u, ?'u2 7u2
?u1 Eu2 ?rr3
tzt
tz
ta
?¡
?r
?¿
?q
E6
?le
7z 7z 3z
?a1 ?u2 ?ug
tat
Ep
tsg
ou7
our
ou1
(ó) El clcmento de volumen viene dado oor
=
ar = lrfra,,r. <f;r,ot
'r&¿*¿*r
l# #,.*l ,!u1du2dus
=
{6
du1tlu.2tlas
segr¡n (¿).
Obsérvese que 1/t es el valor absoluto del Jacobiano d! x,/,
z r€specto de a¡, n¡, z¡ (problema l3),
lóo
COORDENADASCURViLINEAS
Problemas propueetot
l,as solucioncs dc cstos Problcmas propucstos ñguran al ñn¡l dcl capltulo.
36. Enunciar y trazar las supcrficics y llncas coordonad$ dc los sistcmas: (a) cillndricas elípticas, (ó)
y (c) cillndracas parabólicas,
37. T¡¿nsforrn¡r las coo¡dcn¿das (a) *férbas on rcctanSularcs, (á) csfé¡icas cn cillndricas.
3t. Exprcaar on coordcnadas csféric$ los lug¿r€s gmnúricos siguicntcs:
(a) csfcra .rr + y' + zr : 9
(á) cono ,r : 3(¡¡ * y)
(c) paraboloidc z :
(d)pl anoz= 0
x'*
(e)pl anoy: ¡ .
y'
39. Sicndo e, l, r, las coordeo¡das cilfnd¡icas, cnunciar los luga¡cs gpo¡rétrlns quc sc indic¿n y hall¿r su
(¿) o :4 ¿ :0; (ó) e :4; (c) l : tl2; (dl {: t43, z :1.
sióncn coordcnad¿s
rcctsngular€s:
Sicndo z, v, z las coordcnada! clípticas y a :4,
exprcs¡ón rn coordcnadas rcctangulsrrs:
cnunciar los luga¡€s gponréhicos,quc se indican y
(o \ v :
z:2;
n l 4 i @ ) u :O,
z:0;
(c) uol n2,
(d)v:0,
z:0.
41. Sicndo s, v, z, las coordcnad¡s píoUOli""", rEprcs€nt¿r las curvas o rcgiones siguicntes: (a) u:2,
(ó ) y : I, z = 2 : ( c) l 3u 52,2 S v = 3, z:Oi
v< 3, z: O .
@ ) | < u< 2,2<
z
a2. (a) Hallar 106v€cto¡€s uniarios c,, c¡ y c¡ dcl sistcma dc coordenadas csféricas cn función de t' t' l¡.
(á) Exprcsa¡ i, L k cn función do G,,cc y ea.
43, Rcprescntaron coordcnadascsféric¿sal vector A :
xyl-,úl
* 3.r k v hallar las componcnles,l', ,,1,
¡14, Dcmost¡ar quc cl sistem¿ ds coordcnadas csféricas cs ortogonal.
a5. Dcmostra¡ quc los sistcm¿s dc coordcnadas siguicntos son ortogonal€s: (¿) cilfnd¡icas parabólicas, (ó)
dricas cllpticas, y (c) Gsfcroidslcsachat¿das.
.:
4ó. Dcmctra¡quc i, = 9crr*n0ó"ó,
ée = -0%+
ce9Qc",
i¿.
-son/óer-
coa|
47, Exprcsar la volocidad r y la acelcración ¡ dcl movim¡cnto dc una partfcula cn coordcnad¿s
at, Halla¡ cl cuadrado del €lcnento dc llnca y los factorG dc Gcc¿lacorrÉspondicntd cn cl siste¡nadc
(a) pataboloidalcs, (á) cillndricas cllpticas y (c) csfcroidalcs achatadas.
o.
Hallar cl c¡aÍrcnto de volumcn dy cn coordenadas(a) paraboloidal€s, (ó) cillnd¡ic¿s ellpticas y (c)
50. En el sistcña d€ coordenadasesfc¡oidalesalargadas, hallar: (a) los factores dc oscal¡, (á) cl elemento
rnen dY.
51. Hall¡¡ los factores dc cscala cn cl sistoma dc coordcnadas: (¿) clipsoidalcs, (ó) bipolarc,s.
52. Hallar cl clcmcnto de árca dc un volu¡lcn elcnrntal on cl sist€ma dc coordcnadss: (¿) cillndricas, (ó)
y (c) paraboloidales.
53. Dcmostrar que la condición ncccsaria y suñciente par¿ quc un sistema d€ coordonadas curvillneo
gonal os quc g¡{ : O pa|a p + q.
a\ - l
COORDENADAS CURVIL¡NEAS
tól
c¡so del sistcmade coordenadas:(a) cillndricas,(ó) csféricas,(c) cilln!L Haffa¡ el J¿cobian
t t (i!r
r)
^ "l
dricss parabólicas,(d) cillndric.s ellpticas,(e) csfcroidalesalargadas'
fff
s- llaltar J
.-
J { xt * yr dx dy dz, siendo / la región limitada por z : x' 4 f' y z : 8 - (xr f rr).
!
IÍd. : Emplcar coordcnad¿s cillndricas,
lA Hallsr el volurnen dc la mcnor dc las rrgionGlimitadas por la csfcra ¡' + yr + z' :
16y el cono zr : ¡¡ +.r,¡.
t.
Emplcándo coo¡dcnadas 6féric¡s, h¿llar cl volunrcn do la nr¿nor dc las dos r€gionG limitadss por una csfcra
de radio a y un plano quc la corts a una distancia ¡ dGsu c€ntro.
]l
(¿) Enunciar las superficics y ¡as lfnes coordcnadas del sistcma
x t-y .
ot%
X l :htanu¡
:2 ¡&c ¡s a ¡
z:
u.
(d) Demo6(ó) Dcmostrar que dicho si6t€m¿es onogon¡|. (c) Hallar el Jacouiano {-Il4)
"r I u¡,4, u¿| d"t fnirfno.
g
y
y
trar quc l¿ry r¿rcstán r€lacionadas con las coordcnad¡s cillndricas
á detamina¡ las ccuecionB de
tr¿nsformsción,
x'-y':4'
xy: I, xy:2, z: I
Hallar €l momentode imrcia do la rcgión limitada por x'-y':2,
y z : 3 rüpccto dcl eje z considerando la densidad const¿nte o igual a (. Ind.: Haccr ¡r - /' : fui, xy : v.
Ar
Halfar -fr,
Ar
A.
-ú,-6G,
cn coordcnadas:(¿) cilfndricas,(ó) csféric¿sy (c) cillndricas parabólicas, Dcmostrar quc, en dichos sistcmss, er : Er, ei : E , .¡ : q,
vubau.,vu.
S€a le transformación dc coordcn¡das q : xy, U : x' + y',.u.:
pondientc
no esortogonat.(ó) Haltarel w"ai*o
t (ff,fr).
z. (a) Dcmostrar qu€ cl sistsñ¡ conls-
(c) catcuur ar'.
t
Halla¡ viD, div A, y rot A en coordenadas cillndricas parabólicas.
Expr€sar (a) Vv y (á) V 'A en coordenadas esféricas.
Hallar v¡u en coordenadas csferoidales achatad¿s.
a¡ó
Fscribir la ecuación
-
aó
: é en coordcnad¿s cillndrica ellpticas.
oy'
Exp¡€sarIa ccuacióndo Maxwell dc clcctromagnetismo,v x E:-1S
"n "*rarn"das
alargadas.
. Exprcsar la ecuación de Schriiedinger de Ia ri€cánica cuántica, vry
denadascilfndricas parabólicas, sicndo zr, lr y E const¡ntes.
* Y
esfe¡oid¿les
<, - v(x,y, )\,p: o cncoor-
Escribir la €cuación de Laplac€ cn coordenadas paraboloidales.
2 r¡
: xa'U
á
( c ) r y t , ( d ) í,0 y t.
Erprcsar la ccuación
(ó ) ó y 0,
en coordenadas esféricas sabiendo quc U €s indcpcndiente de (¿) d,
ll¿ll¿r cl elcmento de lfnce en una esfera de radio a.
I
II
Dcmostrar quc en todo sistcña dc coordcnad¡s cu¡vilfncas ortogonal, div rot A : 0 y rot gr¿d Q : 0.
.i ,
.l
COORDENADAS CURVILINEAS
162
72. Domostrar qu€ el área de una r€gión R de la sup€rficier : r(4, v)€s J,J /Ec-|"
dudo. Como
deducir el área de la superficie esférica.
73. Demostrar que el vector de nódulo ¡ normal a la superñcie r : r(¿, v) viene dado por
A -
1p(?,:!x
#)/r'Ec-F2
74. Enunciar la transformación x : x (u, v), y : y (u, ,¿).
(¿) ¿En qué condicion€slas líneas coordenad¿sü, v son ortogonales?
73. Sean(¡, y) las coordenadas r€ctangulares de un punto P cn el pla¡o xy y (u, y) las de un punto O en el
(a, v). Si x : ¡(s, r) e : y(u,v), existeuna coÜespondencia
entre los puntos P y O y, entonces,un
-y
es la imagen del otro(a )En e l c a s o d e q u e .r:2 u+ vey:u-2v,domostr¿rquel asrectasdel pl anor¡secorres ponden
las del olano ly,
(ó) Hallar la imagen €n el plano ¡¡v dcl cuadrado limitado por ¡ :0, x : 5, I :.0 e.v : 5 en el plano
(c)
I y demostrar que es igual a la relación de áreasenre el cuadrado y su
" Calcular el Jacobiano .l IIJ
\u,vl en el Dlano¿v.
76. Si ¡ : L@ - v'), y : uv, hallar la imagen(o imrigenes)en al plano ¿v de un cuadrado lirnitado por x :
x : l , y :0 ,.1 : I e n e l pl anoxy.
Tl. }J'all¡t las condicioncsque d€ben cumplir F y G para que
|
|
e- s(r+y\ F@rG(r)d,¿r
t
. -" '
-o
Ind.: Aplicar la transformación
x+y:t,
t€orla de la transformadade LaDlace.
¡:
. (ft
I\voI
)
)
F @t c ( . - u \ ¿ u d
¡t
,
udel plano ¡/ al plano v/. El resultadoes important€
hal l ar l os vol úmenesdel cubo
z -2ur-u,-ug,
7 t. (¿ ) Si x :3 u t.* u z -u t,
f: q* 2u¿!2u" ,
p o rx :0 ,x :1 5 ,y :0 ,¡:1 0 ,2:oyz:5ydel
cubo i magenen el si st€made coor denadas
largs ¡r¡,4$ t¡r.
(á) Relacionar el cociente de estos volúmenescon el Jacobiano do la transfoí¡ración.
de un mismo
79, Sean(x, y, z) y (ur uz,u"'l las coordcnadasrectangularesy curyilíneas,respectivamente,
(a) Six : 34 + u2- u",y : u, + 2u2+ zubz:24si el sistema¡lrl/r ¡r¡es
u' -- uz,detetminar
(ó) Hallar dsz y g en cste sistema.
.(c) ¿Qué relac¡ónexiste entre este problema y el anterior?
8 0 . s i e n d o ¡:u l + 2 ,y :u t+ u z ,z:¡j -¡,hal l ar(¿)sy(ó)ol Jacobi ano./:##h
Com pr obar
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
36. (a) u : ct y v : cz son cilindros, elíptico e hiperbólico respectivamente,cuyo eje es el eie z. z:
planos. (Fig. 7, páe. 139.1
(b) u : c, y v : c¿son cilindros rectoscuyas intersqcciones
con el plano ¡/ son circunforonciasde
y que se cortan ortogonalmente.'Los cilindros ¡r : cr p¿san
en los ejesy y x, respectivamonte.
los puntos(-a,0,0) y (a,0,0). z : c¡ son planos(Fig. 8, pág. 140.)
(c) u : c, y v : c' son citiodros parabólicoscuyas interseccionescon el plano xy son parábolas
perpendicularesentre sí con sus vérticesen el eje.z, aunquea distinto lado dcl origen. z : c, son
(Fis.ó, pás.138.)
Las lineascoordenadasson las intersecciones
de cada dos superficicscoofdenadas,
COORDENADAS
CURVILINEAS
. : \ / r r + 7 +z',
,:t/-p"TV,
ló3
y
I : arctag-
t/ r, +y,
v : arcn,g-;-,
I
O: arc.tas
-2
(b) 0: nl6, (c) ¡s€n'0:cosd, (d)0:¡lZ,
¡:3,
cf pfano/:¡
estáfo¡madopor los dossemiplanos
ó:nl4y
l:5¡14.
(á) Cilindro xz * y, : Ió cuyo cje coinciile con
Circunferenciaen el plano xy, x' t !' : 16, z :0.
:
(c\
plaro
yz
y
(d)
y
z.
El
siendo
O.
La
**ta
1/j ¡, z : I siendo ¡ E 0, t ] 0.
=
úe
Cifindro hiperbólico x.'- y. : 8. (ó) La recta que une los puntos(--4, 0,0) y (a, 0,0), es decir, ¡ : ,,
: 0, z : 0, siendo--4 < f = 4. (c) eripse +
:
:2.
'U ,, ,
fi
(d) La porcióndel ejo x dcñnidapor
>-4, y:Q,2:g -
(á ) P a r ábol a
(c) Región del plano x/,limitada
P ar ábolay !: * 8 (¡-2 ),
z :0 .
/¡ :2x * I, z:2.
y": -8(x -2), y' :8(x ]-2\ e l¡:
el
lE(¡ +912) incluyendo
Fr las parábolasy":--2(x-ll2),
.ontorno. (d) Como en (c) pero excluyendo el contorrio.
t
n5
v
-<-7
u-
(d e, :
,,ñ :
ut
-{
ec :
(ó) i :
j :
¡ :
,il.rV
0cosó'l + s€n0scnCl +cos0k
se-n
cos0cosdi +cos0send!-sen0k-senCi +cosói- ll?
s€n0 cos Cs, * cos-0cos d €o- s€n é ec
s€n0ssnl€, + cos0s€n
{eo + sosCeC
cos0e.-s€n0eo_
A,ei * Aees+ ,'lce¿ siendo
2iséntd sen-dcosC -rscn0cas0s€n d + 3rs€nrcos0cosó
2rsen0cos0s€n
{cos d-rcos'0sen d - 3r sen'0 cos{
- 2r sen0 s6nró - rcos 0cos ¿
v.et + voeof v6e4 siendo\:
i, eo: ¡0, vo: rsert9ó
a.e. + aoeo* a¡e¡ siendo a, : i - it' - r *n' 0 ót,
ld
ao:;
I
o) r s€n0cos0 d',
fi Q' -
bba¡
I
t,
,d€ cer
I todos
F coax
|on,pla
f s€tl t
(s) ds. :
(ó) ¿' :
(c\ ds' :
all
(u' + v)(du' + dt") + u'v' dú', h' : h, : I u" * v2, ht, : uv
a'(senh'z * sentv)(da' + dv'\ L.¿"2, h4: h': ay'EññülliÑi,
a'(senhrf + sen'?)(d6'+ d?) + ¿'!coshrEcos'qdót,
h e :h ,,:
+ sen" ? áó:¿cosh4cos?
'
"y'senh'e
(a) uv(u'1vz)dudvdó,(ó)¿'(senh'¿Isenrv)dudvdz,@
9,(a)he:lo:ay's enn
e +sen5, /¡c: asénh€sen4
(ó) qt(senhr6 + sen¡?) senh€ senqdEdrtdó
G#!#E
¡, : t
16.I
COORDENADASCURVIL¡NEAS
t2. (o, p ¿p ¿ó, p dó dz, dp dz
1 E¡rs e n d d ¡¿ ó , /sene ¿e¿ó,
(c, (C+*\ ¿urtú, uouGE tudg,
(¿\ p,
$'
0".
(b, P*n7,
'f 15i'
"6.
¡d¡d0
uuy'EF drae
u2+n2, (d) o2 (senh¡a+ scnty), (.) ¿r(senhr +
é: sonr?¡ senhf
e\
e*nQ- /i,
-¡-
rz. leas-b2h
B
+ hsr
IJs. (c) l;
kl\ q = rp2, u2 = 2ó
tg. 2K
60.(,) g
cos@t + ss¡ l! ¡,
op
D¡
(ü)
vo=#
aó
-ps€nó t + p cosój,,
?¡
E,
t.
a¡
= coe{t+scn{¡
Vé = -sendl+ c6é,
p
V" = ¡
?r
= scná cos{ t + senásen@J
+ cosá t
a.
=
¡cog? cos@l + r coal sanej
- r sendt
od
?¡ =
-rson, son@t + ¡sená cosé,
aé
9¡
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'@
ve =
vó =
tl + ft+
= son
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coa{ |t + s0
-t,*g
t'+ l-
seló,
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t
- senb
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COORDENADASCURVILINEAS
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o11
o2 coa z¡(senh'f + sen'z¡¡ ?4
o1
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= ¿{sonh',¡+s€nrv)
<D
- #
# [{3".^*,$,'"",}'",
r
{$r"er - $<nr6r}'n - {'$r'""r- $1'".r}."r]
dH,
,
,
= - ;TZ-;É.,siendo R = senhf
sen?
y
?fl_
. all,.
iTi"t
S = t/senñ{
+ se.n'q .
= o,siendo
v(u,v,z)=v(',r,Z)'
' #'+('-r'""'q)'t'
*l#t#]
. "*, , # , * ,,,a ? r ' $ r+ < u ", o\ f=i o
",*
= "[Étu,#,,vh$<*"a$r]
,', *
=
"[i *"'*,]
,,
+ .Y-.!1
^2
t"r,.ne$<s"na$r
w
&.
¡
= n
6'¡! 6¿!¡ "
ilsz = a2la02 + *n, e ¿4,2f
rr ¡ r *oIP Ou
.
¡,
(o) 750, ?5;
ll
(o) No.
tl
(a) g=!6u2 ú2,
P
P =o
dtt dn
(ó) J¡.obiano: l0
(b) ¿C = l4¿tÍ + 6¿u2 + 8 dn"2+ Bdurtluo(ü) ,l = 4¡¿1¿g
6du7¿ts+ g¿ae¿üs, ,=l0O
Ca ítulo
Anólisistensoriql
LEYES FISICAS. Las leyes físicas han de ser independientesdel sistemade coordenadas
se utilice en su formulaciónmatemática.En el estudiode las consecuencias
cü. i,c derivan de esta
dición juega un papel importante el andlisistensorialde enormeempleoen la teoría de la
geometríadiferencial,mecánicateórica, elasticidad,hidrodinámica,teoría del electromagnetismo
y
otros camposmuy diversosde las cienciasy técnicasmodernas.
ESPACIOS DE N DIMENSIONES, En un espaciode tres dimensionesun punto se
por un conjunto de tres números,llamadoscoordenadas,que lo determinancompletamente
en un sist
de referencia
dado. Por ejemplo,(x, y, t),(p,ó,r), (r,0,{) son las coordenadas
de un punto en
sistemastridinensionalesrectangulares,
cilíndricasy esféricas,respectivamente.
Por analogía,un
en un espaciode N dimensionesse caracterizapor un conjunto de N números,que nombraremos
(¡\ ¡f, . . . , xx), en donde l, 2, . . . , N son saperíndicesy no exponentes de potencias, locualhade
se muy en cuenta en todo momento.
El hecho de que no se puedan representargeométricao gráficamentelos puntos en un espacio
dirnensiónmayor gue tres, no quiere decir que no existan.
TRANSFORMACION DE COORDENADAS, Sean(.rr,:rt, . . . , xN)y (ú\, i2,. . . , ¿N)las
nadasde un mismo punto en dos sistemasde referenciadistintos.Supongamosque existen,lV
independientesentre las coordenadasanterioresde la forma
iL(r\ , x2, ... , rll )
'T
,2, .,., xx )
(l )
-2(r1,
-l
-ltt-.
-2
-,y\
o más brevemente
(2)
zl
=
i\ rt , * , . . . , rx ¡
h = r, 2 , . . . , N
Todas las funcionesse suponenuniformes,continuasy oon derivadasasimismocontinuas.En estas
(ir, ú2,. . . , úN) le correspondeun único conjunto(¡r, x', . . .
diciones,a cadaconjunto de coordenadas
de maneraque
(3)
,h
=
r\21,¡2,...,¡x)
k = 1,2,...,N
de un sistemade
de coordenadas
Las relaciones(2) ó (3) deñnenlasfórmulas de trunsíormación
cia a otro.
ró6
ANALISIS TENSORIAL
coNvENIo DE suMAcIoN DE Los INDICES REPETIDOS. Al esc¡ibiruna expuresión
de
brma ar.x1I a2x2*--.lqNxN
podemos emplear la notación más breve y cómoda 2.o.xJ-
r crnbargo,todavíaes posiblemayor brevedady escribirla sumaanterior en la forma a,x,. adoDtando
onvenio de que cuando aparezcaun indice repetidoha de entenderseuna suma respectodel mismo
el valor I hasta¡y',a menosque seadviertalo contrarioexpresamente.
Esteesel conieniodesumación
bs índicesrepetidosdebidoa Einstein..Esevidenteqre en lugar del índicej puedeconsiderarse
cualquier
o, por ejemplopr como en la expresiónarxp.-lodo indice que se repita en un término implica-una
respectode él y se llama. a veces,seudoíndice
o índiceumbral.
Un indice que solo apareceuna vez en un término dado se llama índicelibre y puedetomar cualrvalordeentrelosnúmerosl,2,...,N,comoporejemploelíndicekde(2)ó(3),acadaunode
cualescorresoondeuna ecuación.
¡i
A' =
r
''
d tr
L¿
¿t\
ot
--?
P = 1,2,...'N
bien, teniendoen cuenta el conveniode los lndicesrepetidos,
jt
A
¿rt , c
=
¿rc ^
r flaman componentesde un vector contravarianleo tensorconlravarianlede primer orden(ptoblemas 33
¡ 34 del Cap. 7).
(xr,x2,..., xN) están¡elacionadas
Si.rYmagnitudes
sistemade coordenadas
Ar,/",:..,1¡¡enun
aotrasNmognitudes.4,.4¡,...,Ayenotrosisteria(it,t2,,.,,iN)mediantelasfórmulasdetr¿nslmación
7
'-t
x
9.t: a
|
L¿ )=r "q
=
-¡
Ab
'
=
dx'l
li¡
ox'
p = r' 2 ' . . . ' N
,
ño
: llaman componentes de U'rLveclor covañanle o tensor covariante de primer orden,
Obsérvesebien que los superlndicesindican componentescontravariantes,mientrasque los subínIces se refierena las covariantesexceptoen la notación de las coordenadas.
En lugar de hablar de un tensor de componentesA' o ADnos referiremos,en general,al tensor l'
por no haber lugar a confusión alguna.
a 1,, respectivamente,
TENSORES CONTRAVARIANTES, COVARIANTES Y MIXTOS, Si N¿ magnitudes.4o"en
m sistemade coordenadas(xi, x', . .. , xx) estánrelacionadascon otras N2 magnitudes,4'r en otro sist,nw (ñ1,ú2,...,:rx) mediantelas fórmulas de transformación
:LT
A
x ]t
^_¿gJj-=rl e4
L/
l¿
A-Y
dt-
t'-
p,r = 1,2,...,N
Tl
ANALISIS TENSORIAL
resp€cto de los indices m y p. Si un tensor es hemisimétrico respectode cualquier par
y de cualquierpar de covariantessedenominahemisimétüco.
contravariantes
(N. del T. Algunos
a la hemisimelríaIa llarnanantisimetría.)
ONES FUNDAMENTALES CON TENSORES.
.|ñción, La ¡¿¡z¿de dos o más tensoresdel rnisrnoorden y tipo (es decir, igual númerode índic¿s
ürtravariantes y covariantes)es otro tensor del idéntico orden y tipo.
si Ai' y BiD son dos tensores,Cit : ¿7t + tf, es otro tensor.
Expresadomatemáticamente,
L¡ adición de tenso¡esgoza de las propiedadesconmutativay asociativa.
Sst¡acción. La diferenciade dos tensoresdel mis¡noorden y tipo es otro tensorde idénticoorden
si Ait y BID son dos tensores,DtrD: Ait - Bñ' es otro tensor.
¡ tipo. Expresadornatemáticamente,
Irltiplicación extern¡. El producto de dos tensoreses otro tensor cuyo orden es la suma de los
rdenes de los tensoresdados. Este producto que consisteen una rnultiplicaciónordinaria de las
;Dmponentesdel tensor se llarnz producto externo. Por ejemplo, A{ B!: C{{ es el producto
atemo de los tensoresAtr y Bf, Sin embargo,convieneobservarque un tensor, en general,no
cornoproducto de dos tensofesde orden inferior. Por estarazón,
¡ede escribirse,o descomponerse,
h divisiónde tensoresno siemprees posible.El productode tensoresgozade las propiedadesasociarra y distributivarespectode la suma; sin embargo,salvocasosparticulares,el productode tensores
ro es conmutativo.
f¡tracción. Si en un tensor se igualan un índice contravariantea otro covariant€,segrlnel conde los índicesrepetidos,debe sumarserespectode dicho índice. Esta sum¡ es otro tensorde
-nio inferior en dos unidadesal del tensor origen. El procesose llama contráccióntensoüql.Por
,¡den
tirnplo, si en el tensor l?jú'de orden 5 hacemosr: J, se obtiene A!! : B^o que es otro tensor
resulta el tensor
¡ro de orden 3. Continuando la operación,si €n este rlltimo hacemosp:4,
ry : C^, que es de orden l, esto es, un vector.
hltiplicación interna. Por el procesode multiplicación externa de dos tensoresseguidade una
:ontracción,igualandoun índice del primer factor a otro del segundo,se obtiene un nuevo tensor
pe se llama prcducto inlernode los dos dados. Por ejemplo, sean los tensoresAtrDy BL cryo
¡roducto externo es AtreBIr Haciendo 4 : r se obtiene el producto interno Ait B!,. lgtsalando
t: f y p: J resulta otro producto í¡lefno, A:DBit.
Ly de cociente. Supongamosque no sabemossi una magnitud X es un tensor o no. Si el pro¡cto interno de X por un tensorcualquieraconducea otro tensor,entoncesse puedeafirmar que X
6, asimismo,un tensor. Esta propiedadse conocecon el nombre de ley del cociente.
üATRICES. Una matriz de ordenrn por z esuna disposiciónordenadade magnitudesaro,llamados
para escribir una matriz es
en nr filas y n colurnnas.La notación que ernplearemos
ata atz
@zt 42
4*t
,)
a¡2
en f or m a m ás a b re v i a d a(a p q )o l a e q l ,p :1 ,...,m;
.¡77 at2
...
dz!
aP
.,.
a¡t
o¡e
...
q:1,...,2.
:il
E n el caso de q\te m:
n,
se llama cuadradade orden m por m o, simplemente,de orden m. Si m: l, se denomina
fla o vectorfila; si n : l, se llama matriz columna o vector columna.
Ie diagonal
liagonal de un¿ matriz cuadradaque contienea los elementosdtt, an, . . . t ann¡ sEconocecon el
de diagonalprincipal. Sellama matriz unidad(o unitaria) I, aquella cuyos elernentosde su diagonal
I son todos igualesa la unidad y el resto son ceros. Si todos los elementosde una matriz son
se denomina matriz nula O.
I
I
.1
I7O
ANALISISTENSoRIAL
ALGEBRA MATRICIAL.
En estascondiciones:
Sea A : (an) y B : (b,a'¡ dos matrices del mismo orden, rz r
A : B si, y solo si, aoc: bn (necesarioy suficiente).
I.
La yna S y diferencia D de dichas matric€s se definen por
D = A- B = (opq-btq)
S = A+B = 1a¡o+b¡q\,
3. El productoP : l.B solo existecuandoel nrlrnerode columnasde I es igual al de filas de B y.
tal caso,viene dado por
P = AB = (arq\(bi{j = @p¡brq)
en donde apr.brq =
|
"frbno
según el convenio de los índices repetidos. Si el producto
matricesestá definido, estasse llaman conformesrespectode la multiplicaciónque se efectúa,
pre, en el orden filas por columnas.
El producto de matrices,en general,no es conmutativo,es decir, AB + BA. Sin embargo,
de las propiedadesasociativas,A(BC): (lA)C y distributiva respectode la surna,,{(8 *
AB + AC, (A + B)c: AC * BC.
4. El determinante(polinomio) de una matriz cuadradaA:(aoo) se designapor lAl, det A, labien, det (¿^).
Si p: AB, severifica: lpl : lll l8l.
: I siendo lla rnatriz ur
La condición necesariay suñciente par¿ que una matriz I posea inversa l-1 es que det I *
decir, solo tiene inversas las matrices cuadradas regulares. Una riatriz cuadrada I cuyo
nante es nulo, det I : 0, se llama matriz sizgular.
5. lA ínversade úrrrsrrwlriz cuadreda ,{ es otra matriz A-r, tal que ll-1
El producto de un escalarI por una n triz A: (a,), que escribiremos11, es otra matriz
en la que cada elementode I es multiplicado por 1.
La truspuestade una matriz I es otra matriz Ar que resulta de I permutandosus filas y
Por lo tanto, si I : (¿r.), la traspuestaes Ar: (a¿). Algunos autores ernpleanla notación,l
expresar la matriz traspuesta.
EL ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO. En un sistema de
(x, y, z) el elementode llnea o diferencial de longitud de arco es ds2: dxz I dy¿
rectangulares
Si pasamosesta expresióna coordenadascurvilíneas(problema 17, Cap. 7) s€ transforma en
33
L
L
eoodupdun. Estzs expresionesson válidas en el espaciotridimensionaltle Euclideso
euclídeo.
Sin embargo, es inmediata la generalizacióna un espacio de,V dimensionesde
(xt, ¡', . . ., ¡x). El elementode llnea en un espaciode estetipo viene dado por una forma
que se llarna.,fonna métúca o, simplernente, nétrica.
tts2 =
$
{
#, E,
d,f
"Pn
"
o bieo según el convenio de los lndices ropotidos,
ds2
=
-Pq
".
d,tl d.r1
d'n
I;a
T
ANALISIS TENSORIAL
t71
En el caso particular de que exista una transformaciónde coordenadasde xt a ik tal que la forma
se convierta en (dñr)z * (dE2)2+ . . + (diN)z, o bien, dikdrk, el espacio en cuestión se llama N
de Euclides. En general, no obstante, se llama espacio N dinensionql de Riemann.
L¿s magnitudes grq son las componentes de un tensor covariante de segundo orden denominado
méttico o tensorfundamenlal.Este tensormétrico es simétrico(problema29).
TENSOR RECIPROCO. Seag - ]ge4lel determinanteformado con los ele¡nentosgr¿y suponqueg + 0. Definimosg'o por la expresión
-,a
_
adjunto de gr?
cstascondiciones,gx es un tensor contrayariantesimétricode segundoorden que se llama ,enso¡
de gro (problema34). Se demuestra(problema33) que
,fe trQ =
sl,
TENSORES ASOCIADOS. Dado un tensor subiendoo bajando índicesse obtienenotros tenPor ejemplo,si en el tensor,4rosubimosel índicep, resultael tensor l:4, indicandopor el punto
,ciónoriginal del índicedesplazado.Subiendoahora el índice q se obtieneel tensor l::. Cuando
Gr.istaconfusiónposible al subir un índice omitiremoslos puntos,es decir, en lugar de l?!, escribile. Estostensoresse puedenobtenerformandolos productosinternosde un tensor dado con el
métrico g,r o su recíproco g?'. Por ejemplo,
J
I
Als = s'f Anq,
Afe = gnl E"aAr",
tQñ ' th
A1.." = trq Af,Q,
"
rñ,q,st
th
8 gsñg
^.r.. b
¡ recordarlo,interpretaremosla multiplicaciónpor g" de estamanera: Se hacer : p (o bien,p : r)
todo lo que siguey se suáeesteíndice.De forma análogase interpretala multiplicaciónpor 9.4: Se
¡: g (o bien, e: r) e¡ todo lo que sigue y se baja estei'J.die.
V
ll
DI
Todos los tensoresque se obtienende uno dado formando los productosinternoscon el tensor
asociadoscon el dado. Por ejemplo,A^ y A^ sor:tensoresaso'
ico o su reclorocosellaman tensores
y el segundolo es de covariantes.La relación
contravariantes
el prirneio es de componentes
ellos es
A, = cro Aq
o bien ¡l
= /n An
grc: I siP: 4Y ntc:0sip lq, de maneraque Ao: ADi estoexplica
rectangulares
coordenadas
y covariantesde un vectoren
'qué no hemoshechodistinciónentre las cornponentes
contravariantes
caDitulosanteriores-
MODIJLO DE UN VECTOR Y ANGULO ENTRE DOS VECTORES. El producto intemo
, de AD y .8c es un escalaranálogo al producto escalarque vlno¡ 9n coordenadasrectangulares
nódulo L de un vector At o At es,por deñnición,la raiz cuadradade la expresión
L" = At op = ,hoArAo = ,ro aPAq
I
172
ANALISIS TENSORIAL
El ángulo 0 entre dos vecto¡Es ,1, y 8¡ viene dado por
C O Bá
,[FAr,7l)
COMPOI\¡ENT¡S FISICAS DE UN VECTOR. Dado el vector ADo 1,, llam€mos A", A, y ,'
sus proyeccionessobre las tangcntes a las llneas coordenadas.Si el siste¡nacurvillneo de referenci¿
ortogonal, est¡s proyeccion€sson
Au-G iA' = #s_, Av= ,*r' =
#,,
A,={6;A"
=a
Anólogamente, las conrponcntesffsicas de un tensor Atl o Ar. vienen dadas por las fórrnulas
guientes:
Ar* = g"{e =
ar
6tt
,
.
_
.12
A yU = {6rrt-A
Ap
,
t__
,B
A ut = v6o6sa
-
,
v6st*
ArB
t 6t t s
SIMBOLOS DE CHRISITOFFEL. Lasexpresiones
, 7gr, + atq,
zl -
[pq,,J
2' drc
{"
1
t Pc,
-
Tclq
-
dr, .
-.t
?/rr '
s"' lpq' rl
se.llam¡n slmbolotde Chriitoffel de tres signosde primeray segtndac/ar¿respectivamente.
¿utoresen lugar dc la
emplean{p4,s} o f;.. Estarlltimaforma sugiere,sin
".m0" {l"f}
un carácteftensorid a los sftnbolos,lo cual no es ciefo en gÉncral.
LEYES DE TMNSFORMACION DE LOS SIMBOLOS DE CH STOFFEL. Designando
una bara encim¡ a los símbolosexprcsadosen el sistemsde coordenadas
it, se verifica:
Í¡*,.)
r ^^ ;
"""
?rt éxQ ?xr *
¿zJ ¿zh ¿-,tt'
?rf
,
éoQ
¿E
é" ,9
¿71¿v*
{ ;} = { ; }Y. # # , . # # #
que constitu¡renlas leyes de tr¿nsformación de los simbolos de Christoffel. Se puede observar que
transfoÍnan como los tensores y que, por lo tanto, no tienen ese carácter, a rnenos que los seg
términos de los segundosmiembros sean nulos.
LINEAS GEODESICAS. La distanciaentre dos puntos tr y ,¡ sobreuna ourva x,:
espaciode Riem¡nn viene dada por
fL
/
,b,o
=
" J''-/c'oft "t d'
:
x,(t)
------.-,_,,'ANALISIS TENSORIAL
bien, aquellacurva en el espacioque pasandopor dos puntos hagamlnima la distanciaentreellos
línea geodésicade dicho espacio. En el cólculo de variacionesse demuestra(problernas50 y 5l)
es
ecuacióndiferencialde las líneasgeodésicas
,1"r'
l'
*'\pq¡¿"8
| ¿rt drq
en el plano, por ejemplo,son
rde s indica el parámetrode la longitud de llnea. Las geodésicas
y las correspondientes
en una esferason arcos de círculo náxino-
DERMDA COVARIANTE DE UN TENSOR. La derivada convariantede un tensor ,1, resde ¡", que llamarcmos ..1r.¡, se define por
7An
=
4
..?,q
--:
7r9
{;},"
i :1
h'
on tensorcovadantede segundoorden'
l¡ derivadacovariantede un tensor,{t r€spectode.;ro,que llamaremos,{',q, se definepor
tr
#. {;"},"
un tensor mixto de segundoorden.
En coordenadasrectangulareslos símbolos de Christoffel son nulos y, por tanto, las derivadas
tes no son otra cosa que las derivadasparcialesordinarias.
Los result¡dos anterioresse pueden generalizara las de¡ivadascovariantesde tensoresde mayor
Por ejemplo,
...P¡
¡ ¡Pr "' Pr
-" f
t"' f'
ot'
I sl
/P1,..P'i
l)nI ni::;""''"
-
\r,q l ^" '," ''i
.
'"
10,)eri:..,,,1;;)eirl.it
h derivadacovariantedel tensor,1f...ij t"tn"",o a"
+
...
1",){..'"-c
+
10,|,f_li-.
"".
Las reglasde derivacióncovariantede la suma y producto de tensoresson las mismasque las de
¡aciónordina¡ia. En lo que serefierea la derivación,los tensoresgpo'go0! ó2 son constantes,ya que
derivadascovariantesrespectivasson nulas (problema54). Como las derivadascovariantesexpresan
del sistemade referendice o cuantía de la variación de las rnagnitudesfísicas independientemente
que se utilice, son de gran importanciaen la fo¡mulaciónmatemáticade las leyesfísicas.
sIMBoLos Y TENSORES ALTERNANTES' Definamos el sírnbolo €p{' por las relaciones
: ezsr: e.t2: * l, e¿rs
-- €taz:?s¿t: -1, eoc,:0 si dos o más índicesson iguales,y.análoga.iii-Uóió e*'. eiroJsí¡nbóios,pués,son igualesa, la unidad positivasi la permutaciónde índices
4
If "'
f:
ANALISIS TENSORTAL
es de clasepar, la unidad negativa si dich¿ p€rmutación esimpar, cero si dos lndices el menos8on
Los sfmbolos e¡¡, y ¿4' se llaman slmáolosalternantese¡ el espaciode tres dimensiones.
Más adelante definircrnos
,pqn=
,fQ' t y'¿
"ftr
ft%r,
Se demuestra que €ra' y €r4'son tensores covariante y contravariante, respectivamcnte,y se denor
tensoresalternantesen el espaciode trcs dimensiones.Por l¡ltimo di¡cmos que es posible gcneralizar
conceptosa un espaciode ruis dimensiones,
FORMA TENSORIAL DEL GRN)IENIE, DIVERGENCH, ROTACIONAL Y
1, Gr¡dlente. Sea(Dun escalaro ilvarisnte; el gradientede é scdefinepor
VO= g r a d é = C,r = #
en donde é, , es la derivada covariante de (D respectode .xr.
2. Divergcncir. La divergencia de z{, es la contracción de su derivada covarientc respecto
esto es, la contracción de A0,q, En estascondiciones
dtvAt = At,¡ =
=
3. Rotrdon¡|. El rotacion¿l
deI oes4,s - +,
Tambiénsepuededefinir el rotacionalpor - eñ Ap,a.
1. I^rph¡ittr¡
ou,
*rr¿
t
#
-
$,
untcnsordesegundo
Comola laplacianadel escal¡ré es la divergenciadel gradientedeQ,
= t* < G d u fi i
v " Q = a rv @ ,p
En aquelloscasosen queg < 0, y'! seha de sustituirpor y'-g.
comog < 0 escribiendoy'lgi en lugar dc y'-g.
Sepuedenteneren cuentatanto
DERIYA.DAABS¡OLUTAO INTRINSECA.Dado ,tl, suderivadaabsolutasc$in la ourva¡'
t^,
queescribireoos
esel productointemo de la derivadaoov¿riantede I
#.
f;,
"p, +,
tanto, la derivadaabsolutao int¡lnsecavienedadapor
6A^
¿A^
Et
dt
Análogsmentc,
lAp
E¿
=
¿A'
¿t'
l,,I*#
li.lr#
Los vectoresI' o At setraslailant Lolargo de la curvasi susderivad&sabsolutaspor clla
r€spectivamente.
No hay dificultad en generalizar la dcrivasión absolut¿ o intrlnsecs s tensor€sde mayor
--"R
ANALISB TENSORIAL
t
L/)
RELATM Y ABSOLI-rTO.rJn tensortrP-t"'! se llama tenso¡ relativo de peso w si
TENSORES
'7 " '
n
oomponentesse transforman de acuerdo con la ley.
¿¡9¡ 7{t
?{"
,et"'qa ¿74,
''
^\...h
a;
I I
;Á
;4 ar", " ."",
|}xlu
t'
" 1"' ' ¿
J:
lr-
I
el Jacobianode la transformación.Si w: 0 el tensorsellama aósolaroy esel tipo de
lff
I
del que hernosvenido hablandoahora, si lr: I el tensor relativo se conocecon el no¡nbrede
üd tensorial.Las operacionesde adición,multiplicación,etc., de los tensoresrelativosson análosas
definidaspera tensoresabsolutos(problema64).
Problemas regueltos
DE SUMACION DE LOS INDICFS REPETIDOS
F¡c¡ibir cada una de las expresiones siguientes teniendo en cuenta el conyenio de sumación de los fndices
rlp€tidos.
.,
ío) cl@ =
s=h
aó.^ +
+ rdz.
ot
)¿k t-t
L=¿x1 ¿t
(ó) "-:-
=
(c ) ¡x1f
+ 62f
(d) ds-
=
dt
d{
dt'
¿ó..
dx.
:
.,
Ack t-e
+ ::_'-:_
¿r2 ¿t
i.2
+
? ó ,r
¿tt_
.,
'
-ot'
(rx)'.
,, o.2
r gDlax-)
+ gotdxs\2 .
d.s2= thb¿rh¿rk, N=3
33Añ
(¿) >
>
?=1 q=I
tA^dr' dr'
t
io¡ o -rh.
trodz' di l , N = l
?=, "iu'u
= orr'1+ ot." +
t
xon
O\ AN f
I ordeL
}rJ
,h ,h
Escribir todos los términos de cada una de las siguient€ssumas indicada.
I son
?ó,¡
díb _ &h ¿rñ
¿.
¿r¡ ¿.
Aíh ¿r1Í
¿rr da
.
+ ¡rs¡2 + ... +
tí(ar-)
.,.
2
AódA'
=
A¡ 1A'
r"r4" = 'o$fi, n='.
+ Ab2A'
+
J
"...
JI
Ir
+ Ap¡A'
t
t76
ANALIS$
3
3
,
TENSORIAL
^ot¿
i
7rh
¡1' n1t 1a{;, a;s
-'.s
3
-
^ox"
i -. or'
,!r'Ei, ar- ¿t"
D11
air- ars
+' ,:= o121-''
ot
.
-t-94.9X_¡
. gl, -iof-- o{ + gJ"
¿r. ¿:"" ' - e. &"'
6zt{r
?¡1 ?¡3
X"
?¡3 ?¡1
a."" ' %.arr a*"
4r*
&s
' st"p
?¡r
Dxs 7*
h'ñ
¿f
ór'
&'
7x2 ézB
' toñ
a¡"
. go ?ro ?"3
art ar"
Para 1V:2' 3 y N= 4, hallar el lugar
r€ctangul¿r€s.
3. Scan¡*, k :1,2,,..,1\¡ las coordenadas
que repr€sent¿nlas siguicntesexpresiones.
S€ suponenque las funsionesson uniformes,con
ti¡uas o indep€ndi€Nrt€s,cuando ¡c¿ necosario.
(a\ a**
(b ) * *
: l, siendo a¡ constantes,
(cn el plano).
Para iV : 2, a,xr t (er, : l, una r€cta on 2 dimo .nsiooes
P¿r¿ /V : 3, qxr + a,Jr' + a$t : l, un plano en 3 dinrensiones(en el espacio)'
Para iV l 4 aúr + a¿c'*...
* ayxM: I es vr hiperplanoQ(ano sn el€spaciodc N
:1 .
P¿¡t N :2, (¡)t * (¡)l : l, una ci¡cunferencia de radio unidad en el plano.
Para 1V: 3, (¡)¡ * (x')' * (¡)' : I, un¿ esf€ra de radio unidad,
Para N ¡ 4, (¡r)¡ * (¡')¡ +, . . * (¡n)' : l, u\a hipetesferudE radio unidad,
(c) * : *(u).
Para N = 2, ¡r : ¡1(¡), .rr : ¡¡ (rr), una curva en cl plano, dc parámetro¿.
P¡ra 1V: 3, rr : .rr (r), ¡' : ¡r (r¡), ¡' : ¡' (¿), una cuna en el ospacio do 3 dimonsiones.
Para 1V¡ 4, una curva on cl €apscio de ,lVditrrensio¡Fs,
(d) x*:
* (u, v\.
Paru N :),
xr : xL (u, v), x' : xr (u, t) es una trsnsformación d€ coordensdas de (r, v) a (¡r,
P¿ra/V: 3, -r1: xr(a, v), x.: x.(u,v), xr : x' (u, v\ es una superficie en el espacio dg 3
s¡ones,do parómotrosz y r.
Par¿ ,¡V¿ 4, wn hlperwperfcie.
VECTORFÁ Y IENSORES CONTRAVARIANTES Y COVARHNTES.
4. Esc¡ibirla ley do t¡ansfornacióndGlostensorcs1"¡ lio, 1t¡ Afi,
(o)
rio,'
rc\ Ct .
"úo##^i,
Par¿ rccord¿r la tr¿nsformación, obscrvemos quo Ia posición rclativa dc los lndices 7, q, r, en d
niemb¡o os el mismo quc on ol scgundo. Como estos índicrs están asociados a las coordenadas t y I
ccc t',1, *, lo cstán, respcctivament€,a los r, C, r, la transfomación p€dida sc cscribc sin diñcultad.
t77
ANALISIS TENSORIAL
(ü) 8n-"¿=
¿tl
¿iq ¿xt éi
l,h
o^n
¿," a"" {-¡ ¿¡" Ñ "¿¡a
7¡? ,t
@\ óP =
¿,'"
Una magnitud A(j, k, l, n), que €s función de las coordenadas xr, s€ transforma al pasar a otro sist€ma dq
coordenadasi¡ de acuerdocon la hy
?
A (p ,q ,t,s )
-
=
o¿4 0+ 4
;í
ñ;l
¿,r
At¡.t
.¿,^)
^\t,8,
(a) ¿Es un tensor dicha maenitud? (á) En caso añrmativo, escribir €l tensor con la notación ad€cuada, y (c)
decir sus grados de contravarianz¿ o covarianza asl como su ordgn.
(a) Sf. (á) Af'^.
(") Tr€s vecescontravariant€ y una vez covariantc con Io que su orden €s 3 + I : 4.
Determinar cuál de las magnitudes siguientes es un tensor. Para aquellas que lo sean establ€cer sus grados
.
) ,{
/- '
!
de contravari¿nzay covarianzaasf como su orden: (a) axh, 16'¡ 99J1;t:Z)
árR
'
(a) Consideremosla transformaciónde coo¡denadas¿/ : d(xr, , .. , ¡9. En estascondiciones.d¡' :
atr
ft
con lo que dl es un tensor contravariante de primer orden, es deci¡, un vector contravariante. Obsé¡vese
quc la posición d€l Indice k es la ad€cuada.
(ó) En la transformación xe : ¡¡(6\ . . . ,6"), 6 es una función de ¡* y, por tanto, de ¿, de forma que
-C("',.
. . ,;rv); dicho de otra rnanera,es un escal¿ro inv¿riante(tensor de orden cero).
ó(xr,. , , , xN\:
24
¿ó a*
Axk A{
A0
:
: -a¡ :
-Ar¿
Por la regla de la derivación parcial de una función de función, á
ag
art
Ait
a)
e
*
aó
es un tensor covariante de priner orden, es
y
l*. Yor lo tanto,
se transformaen Á| : fi'
fr
fr
decir, un vector covsriaDte.
I
f) a (x'
Dd e 3
;
I
aó
Obsérveseque
-o r en +
el índice €stá en el d€o@rin¿dor y quc, por ello, actúa cono subfndice distin-
j4,
jj.
tivo de su caráctercovariante.El tensor oJ(. o el tensor cutmscomDonentcsson
ó y se escribe en la forma grad d o V C.
Las componentesde un tensor covariait€ en coordenadasr€ctangular€sson xy,2y-z',
componenles covariant€s cn coordenadas esféricas.
, o el grudientede
¡2. Hallar sus
Sean ,{¡ las componentes covariantes €n coordenadas rectangulafes xr : x, x' : y, xt : z. Enton@s,
A, = zy = a7a2,
A, = 2y-22 = 2"2- (f¡' ,
(8-49)
As = xLé
cn donde no deben confundirse los superlndiccs con exponentes.
Sean d¡ las componeotes covarianles en coordonadas €sféricas ¿r :.r, Er :0,
A¡
¿;h
"J
¿' :
ó. Entonces,
ANAIISIS TENSORIAL
Las fórmul¿s de aansforu¿ción entre ambos sbtcmas do coordenadasson
¿¡ 8€n t¡ COStt,
¡¡:
:
'r
5r l8n tr S€n t¡,
x¡ :
ir 666 5r
En estascondiciones,las ecuaciones(1) dan las componentespedidas
1xr
, : dxt
A,
-AArA,n -ñn,+
1xr
A,
an,
: (sentr cosr) (¡rrr) + (s€n¿r sonr)(2¡._(¡))
: (8€n, cos C)(¡r s6n¡s€n Ccos l)
+ (cos¿r)(¡t¡)
+ (seD0 8€nC)(2rsen0 senó-rrcosrO)
{ (coc0)(r¡ sen0 coc0 cos ó)
Ax'
0x.
, : 0x,
-ñ
-56 4 * -56 At
^,
^,-t: (rcos0cos d) (rr s€n¡0 s€núcos C)
+ (rcos0 s€nC)(2¡son
0 sen/-rrcos¡0)
+ (-¡ sond)(r. sen0 cos0 cos fl
0x, ,
Ax.
Ox.
-aF A+-aF
A,+ az,A,
,
Ar:
: (-r sond sen {) (rr san.d sen {cos {)
+ (¡ son0 cosó) l2rsengsenó-r'cos.0)
+ (0) (¡¡ send cos0 cos C)
e. Oanostrar que
ff
no esr¡n t€nso¡a p€sarde que,{, esun tensorcovariantede prim€r orden.
Por hipótosis, ,, =
#
S
¿4
¿h
. De¡ivandorespectode ¿k,
=:--;
dar
átt
^2á
gzr¡ ao
F'
¿,Q ZAp &q
^2
1- D
TzJ óxq ¿¡,h
d{
d,1
dA¿
¿:| ézh ¿ns
+
+
I
1- ¡
é" ,f
r-l--i
or o4
Ahora bieo, comoen ol sogundomi€mbroaparecendos términ*,
tonsor've¡emosmásadelaoto(problema52) cómo añadi€ndoa
ff
queesun toinsor,
"2
t.
"P
ffi
*
una
s6 transformacomo
-'gn¡tud
adecuad¿el
ANALIS¡S TENSORIAL
t79
t, D€mostrar que la velocidad da un fluido €n un punto cualqui€ra es un tensor contravariantc de primer orden,
Las componcntcs dGla velocidad de un fluido en un punto son
el sistem¿ t, de referencia la velocidaa
de función.
$
en el sisteuta dc coo¡dpnadas¡¡. En
Abo¡a bien, según la r€gla de derivación de una función
"s ff.
7;
?:J ¿,h
=
¿rh
¿t
de dondc so sigue quc la velocidad citada es un lensor contravariant€ de primer orden o r€cto¡ @ntravarisnte
r!
I'ELIA
DE XRONECXDR.
.t
4f
bq
10. Cafcular(a)
tig A)s , (ü)
'
r'
" üq 5_
A
Como Ei : I sip : 4y0 sip + 4, sotien€
ot$ol. al
ot alot{= e!,.
tl. Denosüafque
=
#
s ie=r, S
ot
=
" iúc , #
B*oooo &l
AA
t
c om o ¡ ' =
¡t,
o
como ¡2 Y rq son indopendir:ntos.
=
= *
t2.comprobarque
##
L¿s coordenadas ¡, son función dc las coordenadas t¡ qu€, a su vcz, depcnden de las coordenadas.d.
Por lo t¿nto, según la regla dc dorivación parcial de un¿ función de función y teniendo en cuenta el problcllra
I I podremos escribir,
¿,1 _ ¿,1 ¿za _ At
-r
}xr
r¡. siZ/ =
fl
Aiq ¿{
aq orovn,qts
Aq =
"o
¿{
multipliqu€mosla ocuación r. =
¿8
ñ'
.1 8 0
ANALISIS TENSORIAL
= YY
Entoncca,
como hcr¡osvisto en et probtem¡,r,V^
Aq = tí lq = ¡tquc os lo
^/
¿a?
7z? 7"e
se quedademostrarsin másquehacerr : 4. Estc hechomu€straqueen las fórmulasde transfortnación
las componentes
dc un tqlsor las m¿gniü¡des
con bara encimay sin bsra son pemut¿blcg r€sultadoI
puoded€mostrarsaon general.
14. Comprobar que 6, es un tensor mixto dc segundo orden,
Si d?osun tonsorde asetipo dcbotra¡sform¿¡scdo acuordocon la loy
:jo¡
=
&i ¿'c !
;j tJ%
Ahora bien,sc8útrcl problsm¡ 12, el s€gundo
miombroes 44
-
¿J ?'t,
= 6j , .o.o Q:aL:
J : k, y Osí I + &, s€daducequeó, cs un tonsormixto d€ sÉgundoorden, lo quojustifica,por otra
noiac¡ónempleads.
Obsérvescque, a vcces,usa¡cmos la función ó¡e : I si, : q,y 0 si p + q coño uúa delta de
Sin ombargo, €Nrest¡ forma no ¡epres€nt¿un tonsor oovsrisnte de soguado orden como con la aotación
virios sl €st¡,bleccr su dofnición,
OPERACIONES FT'NDAMENIAI,ES CON IENS'ORES.
15. Comprobar4r ls sumay dif.rcoci¿ dc lo0 tcNrsorls4s y ry cs ot¡o tcoior.
Por hipótes4 Af y 4" son tonsorcs,lwgo
d d¡h d,, ,tc
ñññ"
Ai
-lh
-8J:
Suusndo,
=
H
ñ{,rlr+
úih,e!i¡= 44
drr
R€stando,
_ih
_ih
(a ; -B ; t
=
dra
Oz'
ñ
( +bs + +ba,
0q
&J &h lsr (Atqr
- B ;)
Orr
Se d€duco,pucs,que ,lE * ,ry V Af - 4
f6. Conprobar qw Q
&h Arr ^N
ót1
ai,
son tonsor€sdpl mi$no orden y tipo qus los dadoc.
: Al 4 cs un tansorsuponiendoque ,{1" y
4 lo son.
I
:---El
ANAlrsn TENSoRTAL
I
- " |
T--r
'--r
sonrosproductos
dcrasconponentqs
derog
f#::""H#,componentes
-."T.1p;Ti:ff::ff":.li
,i,=###^1,
E := # # *
I
I
t : , I
:;
r
l8l
Murtip,ic¿ndo,
,{q =
#y_###^1,,;
que demuestrael caráctertensorialde ,{lqrÍ de quinto orden, contravariant€
en los lndicesp,4, J, y covarianteen r, f, Io qu€da lusar a la noraciónClfs. EstEesetprcductoextemoCtr' : ,{lvdf de los tensores
dados.
I
;ffi;f
r
r
o. *a AD,!,un tcnsor. (a) Haciendot :, d€mostra¡ queA!,ao,conel conveniode los fndicesr€petados,
es un
,i"*;r}a"tir"s"en
es? (ó) Haciendor:py
r:q demost¡ar,análogamente,
q.e Al¿,os un iensor.
(a) Como l3l es un tensor.
I
I
I
I
I
t
(1)
rik= ####"-**^l:,
Hemosde demostrar queAllt 6 un tensor. Igualando los lndicasj y ¿ y suma¡do rcsp€ctodo
é1,
te¡dremos:
¡{lt=###"##^l'",
T-r;i;"
II ====";"'
¡¡'
I
I
I
-
|
tlr#:s¡:l,ti:;itrtit:t
:f,.J#ii"tffiü.*r*1,xH"1i.ffiifl,!t*T
ti:j:tr.l:itr,3
fi"tr¿l:
tmcción. El orden del tensor contrafdo €s dos unidades inferior al d€ partid¿.
(r,
*#Lt"lTTgS'ñÍ,f,*".*_""*"*:"_u'"'_"**
(a)n:¡v¡z:*vsumando
'¡
ANAIISIS TENSORIAL
=ih
A :- tel
=
¿ii ¿rh ¿r
¿,s d,t
a,l aJ a;¿6g
,lS
^rst
¿rt ¿;j ¿rs ¿rk ¿rr ,lq
Ei ;? ¿-;haq tr "',st
= tJ'i#^l'",
=
*u,^1.t,
lo quc indica quc ,4á €s un tcnsor dc pri¡nÉr orden que podcmos llamar C'. Obcérv€scquo por una dobb
contracción, so f€ducc el orden €n cuatro unidadcs.
It. Domostr¿rquc la contraccióndo[ trDso¡ l¿ es un essalaro invatiant€
rl =##^i
So ticne
HacicNtdo/
ft y sumando,
-
I
| - ##^i = 'inl= Ar
1
b
Dc la igualdad A-t : AZ & sigrJf-quo ,l! os un invariantc. Como ,{¿ es un tensor de s€gundo orden y h
contr¿cción rcspocto de un soló fridice dbminuye el ordcn d€ dos unidades, hcmos d€ñnido un invaria¡:
o eScalarcomo un tcnsor de ofd€n cero.
I
I
19, Dom$t¡ar quc la contracción dcl p¡oducto cxtcmo dc los tensor€s ,1, y .8. ee un escalar o invariante.
c-rlñA, y 8{ sontcruor€s,
,t=#},
^t
dEJ
-1 AB.
Por contracción(haciendo* :j
Por lo tanto,
\.#",
^áOt
#^"0
y sumando)rosult¿
,tE,=
##¡r
= tf,^r'o
- ^',0
lo quc indica quc ,{r& €s un invariante. El proceso dc multiplicación exrema de dos teqsor$ scguida de
contracción s€ llaria malt,pllcaclón lñterns y su rcsultado¿rodrclo inra¡no de ambos. Como ,ltrr es u¡r
sc dcnomina producto escalat d€ los vectorcs ,{, y ¡r.
20. Dcm$trar que todo producto intemo de los tcnsores ¿l! y 4" cs un tGnsor do tcrcar orden.
Producto externo de A! y ff
: Ai Dl'.
a
¡
a
ANALTSISTENSORIAL
l8l
Contraemosrespectode los índicesp y ¡, es decir, hacemos f : p y sumamos. Debe resultar como
producto interno, A! B!', un tensor de tercer o¡den.
Por hipótesis,Al y Bl'sol tensoresy, por lo tanto,
ar¿ ¿t ¿rt -qs
= Ln
.,
Multiplicando, haciendo ¡ :j
----)--E +
?;k
y sumando s€ obtiene
rlí'i = J
A;Ít >-t
; arh
at, aJ
-t
b ¿ab
-rb 'Ñ
.a-t
;-o
)-c
¿."f
t
"t
b qs
:!r'
P
^rñ
nbqs
.A
R
<;
; ¡ r-f
lo que indica que AIBX'es un tensor de torcer orden. Por contracciónrespectode los índices4 y r, o bien,
,r y r, del producto ,498Í' sedemuestra,análogamenrc,que todo producto interno es un tensorde te¡cerorden.
Otunétodo. El producto externo de dos tensores9s otro tensor cuyo orden es la suma de los correspondientesde los factores.Por lo tanto, A!fi' es tn tensor de orden 3 + 2 : 5. Como po¡ una con¡racción
sc disminuye€l orden en dos unidad€s,el orden del lansor A!4' es 5 - 2 : 3.
l.
21. SuponiendoqueX(p, q, r) es una magnitud tal qre X(p, q, r)Bf' : 0 cualquie¡aque seael tensorffo, dcmostrar que X(p, q, r) : 0 idénticamente.
Dado quBfn es un tensorcualquiera,podemoselegiruno particular,por ejemploel de q :2, ¡ : 3,
y como
con una componentedistinta de cero y las demás nulas. En estascondiciones,X(p,2,3)s?:0,
:
posibles
a¡' t 0 se sigueque X(p,2, 3) 0. Este razonamientose puedehacerde igual forma con todas las
combinacionesde q y de r, de donde se deducequeX(p, q, r) : 0 como qucriamosdemostrar,
¿. En el sistenrade coordenadasx¡ una ¡nagnitud A(p, q, t) es tal qte A(p, q, r)4' : Cj, siendo,4' un tensor
arbitrario y C; un tensor.Demostrar que A(p, q, r) es un tensor'
En fas coordenadastransformadaslii' l(i'k,Dl:^
E nt onc ls ,
>:i
A (j ,k ,l \ ?
Ot-
)=1t A-r qs
U1.
=Ot'; Ox
¿in fATh ¿'r A(i,h,t)
a""L¿"c;7
;i
J
^
-ó
P
¿vJ
W#
^*.o,ut';
q5
8;
- 4 uo,o,u)
=o
II
I
I
I
J
ANALISTSTENSORIAL
tE4
El producto interno ro,
,l
{es 4."1., multiplicar por $
ff
rri,r,o
[$ $
# ^*'''uf
":
=0
[# # t,'-',' 4
o bien,
I cont.ae. l.,eeo haciendom : ,) es
n*'n,,r)#:
0,
Ahora bien, como Bfo es un tensor cualquiera,según el problema 2l t€nd.emos.
A"
!!k a'" .4(1,É
,1) ao
__,
cx
af.
El producto interno por
\q
\- '
ot'
ox
9]_ 9-"
,ttp,q,,1 :
0
cr,
proporciona
h. n ó1,bLA(i,k,t\ _
o bien,
j
=
A- (i ,n,nJ
A-P A-q A¡.n
áJ ar, f,¡
^ó
Ax
-_?
otJ
ra
r-.
oxAx
=
oa - ox'
-.
e@,n,,\ = o
I
,.
A \p,q,tl
lo que indica gue A(p, q, r\ es un tensor y quedajustificada la notacióf] A'Dq.
En esteproblemahemosestablecidoun casopa icular de Ia /¿ydel cocienleque expresaque si el producto
inte¡[o de una magnitud X por un tensor cualquieraB os otro tensor C, la magnitud en cuestión,X, es u¡
tcnsor.
TENSORES SIMETRICO Y HEMISIMETRICO.
23. Si un tensor ,iÍ¡'€s simétrico(o hemisimétrico)¡espeatode los índicesp y 4 en un sistemade coordenadar
dado, demostrarque no se altera su ca¡ácter de simetfía (o hemisimet¡ía)respectode los mismos índic!¡
p y q al pasar a otro sistemade coordenadas.
Como solo intervienenlos indicesp y 4, demost¡aremosque e¡ issultado de Ia transformaciónes 8-Si Bra es un tensor simétrico,,r4 -- B4r. Entonces,
¿iJ ¿tk
ó
:;
-b,l
D
-.
con lo que B,a es simétrico en el sistemat,.
Por otra parte,si Br¿es un tensorhemisimétrico.
Bra : -Bor. Entonces!
-B i u._
ü!ü3uta
djró A,o
= _¿i' :É1 ,0, = _Ehj
ó.q ?,t
con Ia que B¡a es hemisimétrico
en el sistema¡'.
(o
l-osrcsultados
antcriores
sonválidos,asimismo.
en el casode otrostensores
simétricos
a
ANALISIS TENSORIAL
:
18'
Demostrar que cualquier tensor se puede descomponer €n la suma de dos t€nsor€s, uno de ellos siméttico
y otro hemisimétrico en una pareja de fndices covariantes o contrava¡iantes.
Consideremos, por ejernplo, el tensor 8r.. Tenüemos,
I
Bls =
Ahorabien, ¡19=;@fqraq'')
¡1alq* aú¡ * ¿@fq- eql¡
= i9l essimétrico,y s'q ¡Gfu - 69y')= -s9y' esh"-i"imét i*.
-
Por análogo razonamiento se llega a la conclusión de que la propiedad es válida para cualquier tens.
Siendo Q : an AtAk, demost¡ar que siempre es posible escribi¡ é : b¡¡A,Ak en donde ó.,&es simétrico.
=
é
=
E nt onc e s , 2 +
tj ,th
o j a .l i l h
y
;
"31
O
=
*
=
=
on]Ah ,tJ
oo, l J l h
=
!to ¡¿ + oh.\ A i A h
onj,cj th
(d.h+ or¡ ei l h
=
bj nai th
o¡¡) = ó¡- es simétrico.
con Io qu€ b¡n = I@
¡u+
I
I producto
I .Y, es un
Hallaf la suma S : A + B, difcrencia D:
^
A-8,
= ( : -; -3),
| -rl
\-z
y p¡oductos P : ABy Q:81,
B=
de las matrices
tí i i )
s'{+B=
( ;tí ?ii-íl;)=Lt i i)
lión es I'4.
I
I
I
I
t
D=a-B
(j:r ?;i-ir) G ; -t)
I (3)(2)+ (1X-4) + (-2Xl)
\(- 2X2)+ (lX-4) +(-1Xl) (-2X0) + (1X1)+ (-1X-1)
I o
= ( rs
bimétricos).
3
(3X-1) + (1X2) + (-2X0)
(4X-1) + (-2X2) + (3X0)
(-zx-r) + (1X2) +(-rX0)
-t\
-s -a )
\-9
2
I I
= l-r2
o=
BA
'
I
-4
\ -t
i
(3X0)+ (lX1) + (-2X-1)
p = AB = ( tlxzt*(-2x-4)+ (3x1) (4X0)+ (-2X1) f (3X-1)
"
4l
-3\
e l
-s l
Se observac6mo AB + Bl, es deci¡, la multiplicación de matricesno goza, en g€neral,de la propiedad
conmutauYa.
ANALISTS TENSORIAL
= (-l
2?.siendor
;)
r, u = (-;
-!).u.*,-.0""(r+B)(r-B)
* A 2-82.
-r)
)(: (-:
=(l
,-'= (: :). Porrotanto,,'.urr,n-'r
1
^-''(li),
':)
,'=(-?
l)(-:l)=E:) n=fl-;)ft;)=(-;
;)
= (-i r;)
Entonces.{2-82
En rcsuú€n, (,{+a)( A-n¡ ¡ Í -Bt , Sin embargo,(,{+ a ) (A-R7 = l2 -1pr31-
tz .
2t. Escribir en notación matricial las fórmulas de transformación d€ un: (a) vector covariante, (ó) toBsor
variante de segundo orden, suponiendo .lv: 3,
(¿) Las ecu¿ciones
de transformación*n
nr=
ooques€ puedenescribir e¡ la forma
(ilffiril()
$
eD función de vectof€s columna, o bien, en función de v€ctores ñla
/a;. a" a;\
t2F¿= (ar
a2r",f
@,
# # #l
\s s *:/
(ó) Las ecuacionesde transformación,"
l¡" ¡' ¡'\
=
foma
,0"." puedenescribir en la forma
#
""E
a* a"\
/g -¡u^
E\ /," ," ,'"\l+,,¡ v,
a/ a/l
ü
u
;'"lf
;;#
#
#lf
''"
""1
l'^
f
n""
n-l\H
,.*
,.*/
*
#/\,"
#
\¡\#
&3 1
;r
&2
zt
xs
?/22 ars I
}rs }rs
I
7 6 ,"ñ t
sup€rior,sin emb¡
Es posible generalizar cstos resultados para N > 3. En el caso de tensor€sde orden sup€rior'
notación matricial no s€ pucde hacer.
187
ANALISIS TENSORIAL
ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO.
Si ds, : g¡kdxtdxk es un invar¡ante,demostrarque gft es un tensorcovariantesimétrico de segundoordcn.
Segúnel problema 25, é: /st, at : y'¡i y Ak : dxki por lo tanto, g/& puedc considerarsesimétrico.
Por otra Darte. como dJ'es un invariante,
E dr bdzq =
"pq-- -= t¡,
Entoncesárg
,
z, d,id,,h
-"jh --
=
d
, -4
ójh
--re y d -¿rt
Zzc
,"rt¿rt
-V ü
¿rc
,4
r-i ¡-l
o¡denquesedenomina
simétricode seSundo
un tensorcov¿riante
r,r
"t
# ffiV
tensor métrico o tensor fundamenlal.
Expresarel tensor métrico en coorden¿das:(a) ciltndricasy (á) csféricas.
(¿) Como en el problema'1, Cap' 1, d{ : de' + e'd{' + dz'
Si¡,:
p, x¡: ó,x':
z resultaS¡r:l,3|¡ : pr,A¡!: I' Cr.: gn :0' g., : s¡¡:0, g$ : ar' : 0'
cs
métrico
enformamatricial
El tensor
/rr,
,,, ,,"\
to r,o
It,,|
a", ao/
\a",
o o\
/r
=
É ol
o 1/
[o
\o
(á) Como en el problem¿ 8(a), Capítulo 7, d{ : dr' I f d0' + rt sa '0 dó''
Si 11.r,t2= e,f =Q
el tensormétricoes
En coordenadascurvilineasortogonalesen general s
(a) Desarrollar el determinante 6 =
lr
o
o \\
0
I O t"
|
O ' 2xn' á/
\o
: O para i + k
Ear 8!2 g8l
¡ila con sus corest21 g22 g.'-lPor los elementos de la segunda
931 932 gssI
g/* de &
oondientesajuntos. (ó) Demostrar q\te gtkc(i, k) : g, siendo G(.r,t) el adjunto del elemento
y en donde la suma se efectúasobreel índicek únicamente
g/¡ es el valor dcl determinant€que-res-"ltade g, ('),suprimiendo la fila y la columnaa los
(¿)
' ' El adjunto de
*ot consiguicnte,
que perteneceii elementogir. y (2) anteponiéndoleet signo (-l¡i*t'
^ ., t - trs l ,
odes
- . = (-1 )" ' ¡" ra
'A djunt
D2t
'-"'
lg", S""1
Adjunto de6€
A d j untode tn
"
= (-1)2+"
=
1-r¡2+ 2l t:t:" 1'
I tsr 6sol
trt tt"l
t"t gnl
En estascondiciones,ol
Llamemos G(2, |), G(2' 2) y G(2,3) z tos adjuntos anteriotgs,respectivamente.
caso, es
en
nu€stro
segunda
fila
llnea,
de
una
por
los
elementos
desarrollo ¿ei ieiirminanti
s^GQ, D + sn G<2'2\+ g* G(2'3) : e
I88
.IS TENSORIAL
ANA
(á) Aplicandoel resultadode (¿) a cualquierI r o columnatendremos
gi¡ G(, k) : g, en dondela sumaci@
seefectúaen el índicek solamente,
Estos.jsultadosson válidosaunqueI : iglr seaun determina¡:
de orden N.
32. (a) D€mostrarque g¡, G(3,l) + enc(3,2\ + slr C(3,3) :
(á) Demost¡arque sk G(p, k) : 0 s\ j + p.
gpzl
-1r -12
(¿) Consideremosel determinante t.,
t.-
0.
-13 |
que es cero por tener dos filas iguales. Su
t-l
." l
por los elementosde su última fila es nulo,
e,,G(3,l) -Ls*G(3,2,I s¿,G(3,3)= o
(ó) Igualandolos elcmentosde cualquier pa¡eja de líneas(ñlas o columnas)se demuestra,como en el
tado (a), que gik G(p, k) : 0 si j * p. El resultadoes el mismo aunqueel determinanteque se
sea de orden N.
33. Dennimos ,*
:
G(ia k)
siendoc(j, k) el adjunto de g/r en el determinanteg : lg¡k | + O.
Demostrarque gr¡ grk : óf.
Por el probl€ma31, tn 999:
C( ñ
Por el probfema32, g¡¡ JlJ!--
I, o bien.gr* gi¡ : l, en donde la sumaciónseefe.túa en el
I¿\
: 0, o bien,g¡¿grt : 0 si p E l.
E n to n c e sg, /r g ,¡(: I síp: ¡, y 0 sí p + j ):61.
Hemos empleadola notacióngit sin habe¡ dernostradosu validez,es decir, que g/&es un tensor
variantede segundoorden. Seestablece,no obstante,en el problema34, Obsérvese
que el adjunto seha
en fa forma GU, Í) en lugar de Gik, ya que no es un tensoren el s€ntido usual (absoluto).Se demuestr-¡
es un lensor relativo contravariantedo peso dos y, en consecu€ncia,
con esta generalizacióndel
tensor qued¿justificada la notación 6r* (problema propuesto 152).
34. Demostrar que ¡'ift es un tensorcontravariantesimétrico de segundoorden.
t,
Como g,* es simétrico, C(./',¿) también lo es, y lo mismo l€ ocurre a e¡r : G(j, k)lg.
Si 8, es un vgctor contravariantecrbitrado, Ba - EoqBo es un vector covariante,Multiplicando
resutta!
g¡q Bq :
giq goq B' :
ó1"Bp :
Bt ,
o bien
gte Be :
P
AI ser 8q un vector cualquiera,g,4 es un tensor contravariantede segundoorden, segúnIa ley del
EI tensorgrft s€ llama tenso nétrico conjugado.
-
ANALISIS TENSORIAL
189
Expresar el tenso¡ métrico conjugado en coordenadas:(a) cilíndricas y (ó)
esféricas.
100
0 p2o
001
(¿) S€gúncl probloma 30(¿), t =
adjunto de g,,
I
ñ2
adjunto dc g,¡
_
1
tn 2
adjunto de g¡3
I
-=
c
adjunto de g¡r
P ,O
01
t0
01
I
^2
10
op2
00
0l
=0
Análogamcnte,gi& : 0 sil + k. La, matdz del tensor métrico
conjugadoes
o o\
vp 2 o l
o rl
It
Io
\0
t
(á) Según€l problema 3O(ó), =
I
Po
0
Como en (a) se deduce
se pu€deescribir
00
6
0
l="
sen! d
É s€nee l
= I' * =
10
0 \/P
(
00
1r,
f* n' 9'
gk :0
pa:raj+ k, y en forma matricial
,,L)
Hallar (a) g, y(á)gr¿ correspondientea ds2 = 1kfuL\z + g(dr2f + 4Gi3)2 -6drldr2
(o ) gu= 5' t p= 3'
% s = 4 ,8 e = 8 2 !--g ' t
= 8 e ' 2 , g rs= 631= 0. P or Io tanto,g :
5-3
-3
0
+4dr2¡lé.
0
32
24
(á) Los adjuntos G(/,&)de 9Á son
G ( 1, 1¡ = 6,C (2 ,2 )= 2 0 , C (3 ,3 )= 6 , G (\,2 \= G(2,1\= 12, C (2,3)= c(3,2)= _10,
C (1,3)= c(s,1)= _6
E nt onc €s , 911 = 2t2, = 5 , f
= 3 /2 , g p = tz = 3 ,
t^= * -_S /2,
C B = fr= _S /Z
Obsérves€que el producto de mat.ices(ai¡) por (gr&)
es la matriz unidad I. es decir.
('i1(:,"
(,,)
:,,.{',)
r90
ANALIS$ TENSORIAL
TENSORESASOCIADOS.
37. Si At : gre,{r, demostrarque A. :
Multiplicando At:
gh Al
-
gtr Ar
g*Ak por g/c resulta,
gL g,k Ar : 61At : lr , cs dccir, A.:gk4
o bicn Ak:gk
At
Los icnsor€s de priner orden, ,{¡ y ,l* s€ llsman osoc¡adot. Rcpr€sentan las componcnt€s
Y contrava¡iantes de un r,€ctor.
3E. (¿) De¡nostra¡qúe L. : gr.ADA. 6 un inva¡ianlc. (ó) Dcmod¡ar que ¿z : gm AeAa.
b) Seá;n4 y ,{¡ las component$ covariantcy contravariantedc un v€ctor. Entonc€s,
, ;f =
4 - 4^,,
rq - ¿iqAh
##+¡
= a !,t,th
. t,ri
?,i
con lo quc l, /, €3 un invariantc que llamsmos ¿t. En cstas conücio¡¡es podrcn¡os cscribir,
L, = aini =
(ó)Dc(o), ¡'= t, ,l ,
thtbtl
chl A¿. dÉ tl \=
= 6rotr,tq
,ft trtn.
t,a m¿gnitud 6calar, o invariantc, ¿ : l rl" ,lt *llañ^módulo
tes,{, y contr¿vadantes /.
dol vector de componontes
39. (c) Si lr y 8r son do6 vccto¡€s, demostrar quc 8,r{ ,,lr r. cs un escala¡ o invariantc.
-o esun ¡nvanantc.
(a) Po¡ el Droblema38. l? n. = f tlqo-0 = glqAb E
,
(ó) Como ADA,y BaBe
son invariantes,
'@ +r{t
cs un escalar.
Defnimos
,f nq
U
tsmb¡énlo es, con lo que
'1t?
trlrnq
coe I
cono el coscnodel áagulo entre los vectoresAo y 8.
ortogonales,
SagÑ ADBa: ADB, : 0. dichos vector€s ia
ANALISIS TENSORIAL
l9l
Expresar las ¡elaciones entre los tenso¡es asociados
siguientes:
(a) Atkt y ADqb (b) A;1 y Aek
,
(c, A!;i:;
y,At;:it
@) A¡kt : tto gkc gh Aoc,, o bien ADe, : gtDgka gb Attl
Q) A;Í:
skgt, Aeh,, o bien Aok¡:
sta.Sb A;,
(c) Alitr':t: sots,kcd A;;i't, o bier,A;;i't :
sotg* ett AIliI.
"Tffit5fi*Tjlt
ánsulos0'.,0", v 0¡,entredoslín€ascoordcnadas
deun sistema
curviÍncokidimensional
cos op =
cos d," =
,:,=
cos d", =
*
I
ffi,
Segúnla línea coordenada¡r, ¡r : constante,y ¡r : constante.
Entonces,de la forma métrica, ds' : gtL@xt),,o bien, !4
: _!.
cts
t/e,
Por lo tanto' cl v€ctor unitario según r& t¿ngente a la tnea ¡r e,sq:
toresunitarios
ransenres
a l¿srneascoordenadas
x¡ y x¡
"""
AI=
¿i- Anároga'cnte, lo¡ vcc-
-l:
!
8tt
,
fsoti
ei=
ftt!,
EI coseno del ángulo 0,, enlÜreAi y Ai a
co a o ,o, z r n e l e l= t * h ,*r *a la 1
=
I
ffisn
Dc mancra análoga se deducen los otros ¡ssultados p€didos.
Demostraf que en un sistema de coo¡denadas o¡togonales,
an : ar, : a$ : O.
Se dcduce.fácilmentedel problema 4l hacicndo 0..0*:0!1
gpc : Ecp, también se d€sprend€ qué gr, : g", :
C1r : 0.
Demostrar que en un sistem¿ d€ coordenadas ortogonales
Del problema 33, eD,gn :
Si , p: 4: 1,
g, ' g ,\:
8,,=
1
-'
¿2.
t, o b i e n g ,rg u + a " c ,,
+ c¡' s!,:
Por lo tanto, toniendoen cuenta el problema 42,s.:f.
An álogam €nt e,
s ip :
: 90". De la ca¡acterísticade simetrla,
q :2 ,s * :
* ,y
s íp : q :
" r" :;1.
l.
c",-
I
F'
r _-_L
".3
f.
ANALISIS TENSORIAL
SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL,
{;}
",{;}
( o)r pc ,=, r
^k , *
", {;}
=**
-* ,
= s"'[p c ,=, ]' - r * , . r =
= ,r,r"'
n, rr"{;}
G\ lpq,r7 = t,',
=
44. Dcmostrar
@\ fpc,¿ = lqp,,\,
{;}
=
-" # -¿ J b t r,e ,4 .
{ oi}
tpcu). EI lpq,rf= lpq,kJ
= t^{;}
o b i e n , [p q ,l .] " ,."{ ;} ,* o* i r,[pc,,]
Obsérveseque multiplicar Ípq, rl por 8't tiene el efecto de sustituir r por J, elcvar este lndice y
mu¡tip¡ic¡r
*t g,,, o bien por
los corchetespor llaves obteniéndos€
. ma"*."nte,
{;}
{'}
ticno cl efecto de sustituir s por r, baja¡ est€ fndic€ y cambiar las llaves por colchetes obteniéndos€ [pq,
45. Demostnr(")
7tu"
;f,
= [pn,q] + fqn,pl
- '*\kl
,tr# = -/"l:"1
(ol lpor,cl + [q.,1]
(b) > tL )^ ¡
#(6"'til
=
= r,:'*_,3?-l'ol,
, -rr"tn'1u - 34,
- 7r4
?'r
¿'q
d¿
¿'?
arq
i,"(D¿)
Mufüpticandopor
6¿t, ,*rrrS
o bien
= ?:u
= 0. Enúoncos,
{ Y-# rr,
es dccir,
=# "a
",{;,}
t;#
= o ,o b i,r,*
€ n ,= -t-Y
. -rt'r¿'p
= -si'lh t[¡-,!] + [i''.i])
z t . _ , n l , I )_ / ' {; }
de donde se llega al rcsultadopedido sustituyendo,respectivamente,
4 k, i,i por p, q, n, n.
(c) Del probl€ma 31, g = g¡aG(j, k) sumandoen el índice k sblamente.
a*
ANALISIS TENSORIAL
193
As
: GG ¡)' Entonces,sumandorespecto
Ahora bien, como G(7',t) noI contreneexplictlamentegk'
ah
de j y r,
'!!r
?g = ?r
=
, u"tt,
- "t¡"
¡
",
?rt
a-. ar"
El
tt^
:- oE¿-
¿2
= t s J ' (ljn , t l + [ rn , / ] )
= es"'
#
=
.
'({;}
= ,'{,,,"}
{;})
Por consiguiente,
I ag = f il
l¡ l
l,i"i
"r¿*' Li"l'
a
= #'"'i
de donde ss deduce el ¡osultado pedido sustituyendo j por p y nt por q.
Deducir las leyesd€ transformaciónde los simbolosde Christoffel de: (a) primera clase,(ó) s€gundaclase,
1z¡c o mtu
o =
-,
-o
# # tro,
¿,1 ¿,0 dqo z,r
¿ri ¿Eb¿", ¿""
4p
ari
á"f ?2,Q
¿¿i ¿ir. ¿a -Pq
O{
Ox l
+_ ¡
¿ír Ari ¿ih
-Pc
Por pe¡mutaciónclclica de los lndices7',k, m y p, q, r,
?30*
___:::
¿rf
TEni
?zh
7go,
=
-
á"Q Z,r ___t_ :L
¿"1
::-:L
¿xc ?'rr
#
#
¿rl¿r,
?rr
¿2n,
¿-,,d,, ñ'
Ttrb
¿r, ¿"1
1re
ari ?ij ?,c arl
aE. ¿h¿l
t,
"rf
¿',s
d",
22rr
?"1
' dü¿-J ¿,,8s,
¿b ¿t
¿-"1"rf
Restando (1) de la suma (2) + (J) y multiplicando por ¡ sededuce la definición establecida d€ los símbolos
de Christoffel de primera clase.
¿rl
(41
¿rQ ¿r'
¿l ¿u ¿n
(b) Multiplicando (4) por
p, = W ts: r$
s€obtiene
Ot' Oz-
gn" ¡¡t,^1 = ¿f
il
¿"Q 7rr
¿in ¿rt
.
,
i" ,b ¿rQ ¿rt! ¿ir
^.
-, LPc'tJ +
s-'
¿r¿ ar" a," al
ñ ¿th 7," ¿,s ¿,t t" t)q
ANALISIS TENSORIAL
&¿ .9 .r
é' tl
-t " "tC
arj arl a,s
2,rf ¿rQ ¿u, ., ., ,
.
et 6 t r'1" r
f¡j ¿l ¿,s
¿,2 ¿,c ¿¡n f s )
¿2"
tJ
f,J a",a," lrol ' ;l#
=
yoquo6;r"¿ lpc,,f . r"'fre,'f
?2r¡
.
47'Dcmostrar
arr'-*:.
=
¿,t
y
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{r"r}
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= e"qr¡, .
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¿ rl ¿ rq l^ |
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"r,
.
.
Dcrprob,c,¡r¡4ó(ó)
###
{;} #*y_
f;)
uurtioricandoDor*$n,
ftly" - *#t3{;} - #*t
=##{ ;.}##
Dcepciando
$$
pedido.
resultado
* tn*
"
¡lt. Calcu¡ar los slmbolos d€ Christofiet de: (¿) pri¡nera clase, (ó) segunda clasc qr un cspocio en quc gsi p *q.
t Tttl
(c )s i p=e=¡,[pc , . ] . [ p p , p ]= + ( * " * - % )
si p.qfr,
fp".. l -
lp p , ''t
. = !(dt¡'
2\a,p
?,t
1; F'
- 1¿¿\
-i
?,r I
, Dtfi
¿{ '
"t"
sip.¡¡r, [pc,,]. [pc,p]= +(!A,]*-%J
z
?rt
\ E,"
Si los índie
?rf
=
I
L¿tit .
2 ¿rq
,, 4, ¡ son d¡stintos, fpq, rl : O.
Aquf no hernos ompleado €l convenio dc sumación d€ los índicts repetidos.
(á) Por el problcma 43, gt :
{;}
Por(a):
1,,
lsin sumar¡. Entonces,
= c"'lpc , rf = o s i . ls ,
y = s s s I p g , s ] ' [ "1:"] f.in .u'o"r¡ ,i r :
",
--I\
\
ANALISIS TENSORIAL
- !g :ll
*
Sio = o=s.1 " i =fp-\e
\=cf
\w f
'Si p =91s,
{;}
dcü
= E;¿,r
.t
=z¿r
=-' "too'
L ) rn
_ [pp,"] = -t ¿ $ p
28ss ?rs '
ts"
{;}
h)=
_ lpq,p) _
tll
{;}
Si p, 4, ¡ son distintos,
195
ü +H=i* ,.+,
= 0.
{;}
te. Expresar los símbolos de Christoffel de segundaclase en coordenadas:(a) rectangulares,(ó) cilindricas y
(c) esféricas.
Pod€mosutilizar los resultadosdel problema48, puestoque en coordcnadasortogonalesgrr : Osi p + q
f
)
(a) En coordenadas
grD: l, con lo que f " ) = 0.
rectangulares,
-_
tPY
'
(ó) En coordenadas
zy, segúnel problema30(a),¡',,: l,A,r: 0i,¡'!J: l.
cilíndricas,
¡r : p,42: í,x":
Los únicos slmbolos de Christoffel de segundaclaseno nulos ocurren para p : 2. Estos son
-2"
{;}
?¡
r)
=
=
-i
;f
a<rt -c'
1
- 11
JzI
lrz f
{;}
7go
I
=
7xL
la"L
(e-' =
2e' ¿e
V
(c) En coordenadasesféricas,¡1 : r, x' : 0, x' : ó y, segúnel problema 30(ó), g" : l, grz: r,, g$ : r'
s€n¡0. Los únicos símbolosde Ch¡istoffel de segundaclaseno nulos ocurrcn pafa p :2 ó 3. Estos son
,
{;}
4r,
78r"
2.,.
t _If-t
_
7'1
={'}=,7=t?
{;}
{;}
f zl
lrrl
tr2t
=
2 é¡ '
422 7x ,
_f
=+3¡r¡=1
z?d
= -rseúo
= - !!¡"*n,e¡
= --l -:b
2 7¡'
2gr, 7r'
= -
1 b,
= - J -^ ! ¡p' * n , o ¡
42, 7r2
u' ¿A
=1 r\=
ó Eo
|I ?s
=
{;}
t13,
,¿*
4o
{;}
=1r\=
123t
II
22
4-
r
7"
?d c""- r ?
= -* n lc o s |
9 é y.n,ot
ü*n,07,'
1
! ¡2 * n , o ¡ = c o t o
" =
¿,2
zP*n'0 70'
'I
196
ANAL¡SIS TENSOR¡AL
LINEAS GEODESICAS.
' FP, x, i1 at seauoa extr€mal (¡ttáxima o
paraque / = |
Dcmosharquela condiciónnecesaria
ma)esque--+(=)=0.
Ot
tlt
dr
s€a ¡ : x(t), \ = t = t, la curva que hac¡ extremal la intogral /. Entonces ¡ : x(t) + (? (r), si(
ind€pcndi€nte de l, €s una curva muy próxima que pasa por I' y rr de manera 9ue ?(1,) : ?(4) : 0. E¡
de 1 para estacurva muy próxima os
=
Ie
Fqr,x+eq, i+ei1¡ at
.[rt"
Estaesunaextr€malpara € : o. La condiciónnccesariaparaqueallo s€veriñqueesque f I
bicn, derivandocl integrando,suponiendoválido el proceso,
" l¡.o
= f b,'dx
+
Pn+
* út
¿¿= o
' *d;
déllr=o
J¡
" -que pu€d€ escribi¡se en la forma
, #rli',- f'",fr,{',*= [,o,(# - f,#,) ,!¿= o
1,,'*r,,
= o.
como ? es arbitrario,E - 4rPfl
dt'?i
a"
El r€sultadoes fácil de gcneralizar
a la intcgral fh
r1t,r',i',r',i2,...,tt,ix)
¿t
.rlL
! 4_ar ! 4r = o
de la qu€ se obüGne
dc éiE
7'E
qre * llafirzn ecuacionesde Euler o de Lagranee (.Drobleñl013).
.2r
51. Demostrarque las líncasgeodésicas
en un espaciode Ricm¿nnvienendadaspor{{
Hemos de haflar la cxtrcmal a" fh
J.
/--'---------=
con F = y'gooi/ iv. Tendremos,
fT-tq
a¡ =
:-;
dt*
AF
dih
Ahora bien,teniendo€n cuentaque
=
ii
¿,q
=
*l , l¿J
ds ds
lpq I
dt mcdiant€las ecuacioncsde Euler (problema
irr*;t;trun!fu !;o
irtoo;l ieYt/z z6roil
= 6;TF
, las ecuacionesde Euler adquierenla forme
AI{AUSIS THTSORI,AL
¿ j*{
.
dr(-T-)
, üoo .o .o =
r'
ülTt
o
,7s t ¿l ¿t- ! ¿ % o ! r o " = # :
,.-'!
-?B
i€ n ,
2 ¿rh
?r9
;
*3o,o*oo%. I ;o = ltlt ,?ql, ;o ¿o, scco¡rvicrr.
cn
z 'a'c ú'
d 'e
,0..
t¡',
i
* ¡P q , r*1i!
,tÚ
"
Empleandola lqngitu{ dc ¡rcrJoodo parámct¡o,!= t, != t y la ccuacióneccscribirá
ff
uurtipricanad¡iprlt
*ooúr,.%*
'
= 0
S {
¡*'a
d2rr , t', \ *f ¿'q
ds2
lrrJ a" ar
¿i¡
(r)
_
?rl
=0
érr áar ?nt
?¡r ?¡r
¿zJ ¿*t'ul
Dcl probloma47,
tr'
&i&h
--
l--t
ar'
litit ñ
-
¿i
¿rt ( r '
eJ aro1,, r
Sustiú¡),staló€o (.f),
n
a;¿
t ^n- ##{; }
-'"
- ##{;},"
dAi
''
'¿"b
#(#-{;,}n)
ANÁúIS¡S TENSORIAL
aon lo qu" 1! - I " L osun tcnsorcovariantcd€ s€gurdoorden qu| * |lanr &rtvada
-s
7,Q tpcf
Ae respectode xe y * err,ritc An.".
(á) C omo
I =4^ ' ,
ot
d
(2)
-
?z'
¿ r J{ ü ,ír t
7rr éxr ar¿
a ' !^ .
drr ¿"t ¿íE
Del probl€mr 47, pcnnutandolas coorderadasx y i,
i* ={;}# ##['J
Sustituy€ridocn (2),
¿ri = a;i a,t ?4
?¡l
?r, ?zt ?,t
-
,. \ a/
lul
¿""
Qd _ f"l!d
= ¿-,i¿,t
?*r a;¡ a,t
lrtl
¿,n
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#A
#*'¡71í ' l '
¿,t ,t
?
4^'- #'i(:,1¡
= ¿zJ¿,qú
1o¡u¡ ?d¡ " - f 4¡ t
('r,
¿,t A* ¿,c - I'ct ¿,, a?¿
o bion,
¿Ai
ñ
¿zJ d's
áF ' 1*, -i1"
*#
(#.{;"},)
^t
con lo que dA + I P t ¡s os un tensor mixto dc segundoordcn quc s llarln de¡lvada
ári
tCs,
At res¡nctode x4 y * escribcl:..
53. Escribü la derivada cova¡iantc resp€cto d€ ¡. de cada uno ds los tcnsor€s sigui€nt€s:
(a\A¡p,
(b)¿rt,ol el¿,<¿¡ o t*! .
4r,
(o)
AJp,q
(o\ a-ih,c
. , , AE,q
!
t¿¡ lJ
ht,s
l? - {;}o'-
{*}'o
' { ;" } ,u
#. {i"¡"'
, {i"},;
# -{¿},;
*
-
{¿}¿
- {¿}'j. - {;"}'i,
ANALISE TENSORIAL
ihl
(c) A ¡ n, q
=
¿ nt!
-
E9
r99
. {i"},Jl'
- {,",},f'{i"},;:'- {i"},¿",i
l "l ,J ¡t
l,"qf ^ s'1
54. Demostrar que las derivadas covariant€s del. (a) g¡p, (b\ gtk, (c) óL son nulas.
3-{;}'",-{ü},,"
(a'tsp,o
,,tL
_
l¡c,tl
-
Ítc,¡l
=
por el problema45(a).
0
dz'
= 0
{;,}* . {1"}'o
?¡fi
ih
=;.
dr.1
,
I
dd¡
¿'Q
ctt a
-
{;}'j . {;"}';
,
por el problema45(ó).
0-
{i} ' {;}
:0
55. Hallar la derivada covariante de Atr BII respecto de .xq.
= + - {¿}d,; - {;},i,i
,^iuli,,o
' {;"},;,1
- {;"},i,r. {;},í,1"
. {;"}
,;)"i'
(#-{¿}d
. ^l(#-{;}':'.{j"}';"
'{;}'f)
= nlr,rtl' ,
tl,,
^!u
S€ Ducde observar cómo la derivada covariante de un ptoducto de tenso¡es obedece a las mismas reglas
de la dérivada de un producto del cálculo dife¡encial ordina¡io.
56. Demostrar que
-¡r
Gjn An ),q
=
-ti
6¡¿ An ,9 .
-¡i )n
GroAi
= tiu,o{,hr
,lt
str^n
'o
=
,hn
etoa",e
g¡t, gtk y 6l se consideran
ya que gr¡,a : 0 segúnel problema 54 (a). En Ia derivacióncovarlafj.].3,
ANALISIS TENSORIAL
200
FORMA TENSORIAL
DEL CRADIENTE,
ROTACIONAL
DIVERGENC¡A,
Y LAPI,1\CIANA.
n'r.
dtvAl = *
{ g ^Lr<l¿
ót-
quc
5?: Demosrrar
La div€rgpncia dG,{t €s la contracción tensorial de la derivada covari¿nte de ,{', es dccir, la
de Ar,e o At,r. S€gúnel problema 45 (c), pues,
dlt Al
.
l9,l
.
-+
= #.{j-}"
a¡l
¿r
o
'
?rt *
hy'-e\ Ah
arl
i, *\'nt'
¿r
st.Demost¡arquc
n* =
t$ú*,ffi.
u¡r tonsorcovarisnteda brim€r orden(p¡oblem¿6 (ó))
El gradientede é es ¡¡¡tf + . V<D= 3P,
nido como la derivadacova¡iantedc é y que sc escribeQ,,. El tcnsorcontravarian¡cde primer orden
ciadocon é,, u, ll = ,t
Soronel problema5?,
$.
I ¿.,_7
=i(v t t
vB ot50, Demostrarquc Ar,q -
Ar,q- ac,r
Aq,p -
?Ap
7Ao
?rj
dr?
ao
Ot'
(*-ur")
l a - I"tcpf
\,--"/\ . n,
-'a¡' ^o¡rc
\al
EstGtsnso¡ de segundo orden es el rotacional de ,,1r.
6(). Expresar la divergencia del vector,{, en función de sus component€s flsicas en coordenadas: (a)
(á) esféricas.
(a) En coord€nadascilfndricas, ¡t=p, *=$,
é.2,
100
=
o Éo
p2,
de dond€ Y!-:
p (problema30(a))
001
Las componontesf¡sicas,,.1q,
,{c, ,,lr son
lo = y'l'tt
-
tL,
A6-
4^o
= pAo, t"= { Qtr .
t8
ANALISÉ TENSOR¡AL
.)
Entonces
dtt Af
* !;<{s ta
lg
dx '
It?<pht * + (,ró)+ + (pAz',)
PO pqQ z
(ó) En coordenadasesfüicas, rr=¡,*=0,*=Ó,
10
0¡2
0
o
O o P *¡20
: r. sén¡0, de donde y']'-
¡t s¡¡rO (problema 30(ó))
Las componentesffsicas, ,4.,,{a, z{o son
A1 = AL :
A r = ,8
t,
-,/l -f
A ó= y' -e* a' = ¡scnÉ ,te
= ,Í,
Entonces,
üv AP
t*,"¡^r
rr) +$r, *.t 6 ,
t1
pfi, ffir* s6no
S,<,,t
.
¿, #
* ; $rseno,rrt'
fle+t
al. Expresarla Laplaciana¿e é, t'Ó,
en coordenadas(c) cillndricas,(á) esféricas.
(a) En coordcnadascillndricas, grr : I, g" : ll8', g" : I (problern¡ 35(¿))- Segúncl problenra58'
v l D = * * < q '**r
It
Or'
ot
a aé,
' l r r9 ,ropP,óp, $, q'P
139'
4'
=
r?
aO
= :-Q = -l
P
ép" áp'
raob
+ a-
P' 4"
+ l- (Pi-:) I
o2
02
dfD
+ :-;
(ó) En coorden¿dasesféricas,g¡r : l, 922: llrt, g'r : l/t¡ son' 0 (problema 35 (ó)). Entonces,
vb = rt$,c',,#*,
' i}¡ t$r,,,'nu
#, - # {*'o#)
. F*;u$,**$
- á.,3*#,,
'
a
I
aé.
E{t seno @"
.r
a lo
'
P *n"0 42
ANALIS$
DERIVADA
ABSOLUTA
TENSORIAL
O INTRINSECA.
ó2. Hallar las derivadas absolutas o intrlnsecas de cada uno de los siguientes tensores, suponiendo que las
ciones de f son derivables: (a) un escalar o invariante o, (b) AI, (c) AL, @\ At*ú.
t.l €oa
e,#
.
= c9, derivadaordinaria
##
.(#.{¿}')
=
#
## .lt"lr#
^io#
" r#
' 4.lt\^"4
dl
sA!
G)#'
(9r,
ttt
. {i"}4)#
- {¿},{
^!,.,#(#
d4
_
'
¿t
-
í "1 , i¿f . { ¡ } r : 4
I
lrq|'i'o,
lqs,
dt
-{;},*.
^!:,,,#(# -{;}¿T"
- {.?4i. {j"},*. {j"},íi,
)*
='+ - \;,1^'"-,#
- l:,|^!i"
- \il^g,#
#
-{/"}4i,#,1:"1^{L+
ó3. D€mostrarquc las derivadasabsolutasde gr&,art y 4 son nulss.
6tr¡
¿,r s
Ef =Ju r,o-n
<q,ntfl= o,
ff'
Et . ,i ¿t -.
a ¡ l- r , o
problemas{.
fn,sft = 0 porel
t,
TENSOR RELATIVO.
A. fur Aly BI" dos tcnsorcsrelativosde pesosrrr y n, respectivanente.
Deñostrar que sus productos
y externoson tensorosrclativos de pesor,, + u:.
Po¡ hipótesis,
_i
A:
B
El producto ext€mo,
. ,.##^!, El,= f',###r,;
= ,^'*#### *4"4':
¡to¡l'
es un tensor relativo de peso lyr + n¡. Como un producto interno es una conhacción de un producto
también es un tensor relativo dg peso lrl + rr!.
ANALISIS TENSORIAL
Demostrarque rfes
2,JI
un tensor relativo de peso unidad, es decir, una densidadtensorial.
o'
Los elementosgra del determinanteg se transformande acuerdoc< la reY '6¡fr = -ó
'n
ñ
Haciendo los determinantesds ambos miembros, F.
árl
dz1
dEJ
;i
^o
ot
#
t¡q
t = t -E ó { E = t 4 ,
que demuestraque r/g es un tensor relativo de peso unidad.
Demostrar que dV :
{g axt ¿¡'. , . dxt es un escala¡o invariante.
Por el problema 65-
¿v = G ¿rr d* ... ¿zx = G t ¿rLd* .,, ¿/
=
l*lar't*
"
...¿J = \Gd'Ldxt... dzr= d'v
De aquí se deduce que si é es un invariante se verifica
f
f _
l ... l 6r¡
JJJJ
_
f
f _
= t...
t<bdv
fv
cualquieraque seael sistemade coordcnadasy donde la int€graciónseextiendea todo el volumendel espacro
de N dimensiones.Análoga cuestión se puedever también para integ.alesdo superficie.
CIONES DIVERSAS.
Exp.esaren forma tensorial: (a) la velocidady (á) la acelcraciónde ¡¡na pa¡tlcula €n movimiento.
(a) Si una partícula se desplaz¿por una trayectoria curvillnea con una ley de movimie,rto ¡k : ¡t(¡), en
donde , €xprosael parámetrotiempo, su velocidades u" :
ff,
orden (problema9).
.
(á) La magnitud
oueesun tenso¡contra..-riante de primer
dvk
: d'xk
.;- no es un tensor,en general,puesdependedei .;itema d coo¡denadasque se
¿,
tome como referencia.Sin embargo,se puededefinir la aceleraciónaecomo la derivaü¿absolutao int¡ínsecade la velocidad,es decir, ar :-#
ou" es un tensor contravariantede primer orden.
ExpresarIa ley de Newton de la mecánicaen forma tensorial.
Supongamosque la masa M de una partícula es un invariante independientedel tiempo t. Entonc€s,
Mak : Fk es un tensor conravariante de primer orden que se llama fuerza aplicada sobre la particula. La
ley d€ Newton, pues, admite Ia ¡epresentacióntensorial
Fh
=
lrloh =
'u- &:a_
ANALISIS TENSORIAL
qüe"u = Y = #,
6e.Demostrar
t#
l:rl #
Como vk es un tensorcontravariante,segúnel probl€ma62 (ó)'
# . \i"\,#= # . {1,\r#
Eot
&
#.u,|#'i
?0. Hallar las componentesfísicasdc (a) la velocidady (á) la aceleraciónde una partícúlaen coordenadas
dricas.
(¿) Segúnel problema 67 (¿), las componentoscontravariantesde la velocidadson
*'
¿P
d*
¿ 7 = i'
ü
dz
¿,'
= ¿Ó
¿.'Y
E'E
Por Io tanto, las componentesflsicas de la velocidadson
dxt
= do
vsr,
-¡;
fr'
-
dz2
'e* l;
dó
Y
' PT'
tenie¡do en cuenta que grr -- l, g¡r :- at, 4"! :
dz
dr
' -df
os ¿t
l.
(ó) De los problemas69 y 49(b),las component€scont¡avariantesde la acele¡aciónson
"'=#,|:,]t'#'f=#-P(#f
_2_
f'o
dF
. l:,\## , l:,\#'#=(#, VAfA'
2¿Pdó
t,s = E P
¿e
yo s=
Entonc€s, las componentes físicas de la ac€leración vienen dadas por
{t,
ot = 'i - pó,,
{É- o2 - pó * zitÓ' v
V t6d-,
z
en donde los puntos indican deriv¿ciónresp€ciod€l tiempo'
?1. La energíacinética I de una particula d€ masa constanteM que se desplazacon velocidadde
T : tMv, : lMgDL n, ic. Demostrar que
!,? L ¡ - 9 L
¿i ¿ir'
=
?'D
I¡ Eto ,
siendo a¡ las componentescovariantesde la aceleración.
Como I .= tMg N
tendremos
"¡ "a,
205
ANALISIS TENSORIAL
?T
.-...:
?"¡
= *n!i4 i tq.
á,8
d .aT
Porlo tanto'- ( t¡)
-
?r
:--T
d ,3!,
i9
Nt-Pq
¿h
¿t' dih
)""h!
= Mtz. .f +
i! $.'¡
Eq
}xl
t' tc - r'!4 t't')
- ,(rr, ,n ,*
. ,(*,r'i,**Y-*,u*)
n¡oo'iq + fpq,rf;t tq¡
*)
= n*ar
= *oh
-o(*'{; } ,
teniendo en cucnta el problema 69. Este resultado puede emplearse para expresar La aceleración en distintos
sistemasdc coordonadas.
72. Utilizando el ¡€sultado del problena 71, hatlar las componentes físicas de la acele¡ación de uoa panicula
móvil en coordenadascilíndricas.
,f = tfif = p2+p2$?+? y
Como ds2=d,f + p2dg2+d22,
Del problema 7l con.xr :
g, x¡
T-r
v2= !n1p2+p2$2+ 22¡.
z s€ deduce
+ =ftéot, %=t
q = ió- pó',
Por lo tanto, Ias componentes flsicas son
+.2 .2
{grr' y'g-'
ya quo grt : I, g*:
73. Sea F¿ :-#
y'gn
o
E -oé? .PL¿t
!te
-' ó t .' ;'
p1 g"" : t. Compáreseestercsultado con el del problerra 70.
la fusrza covari¿nteaplicada a una partícula en done Z:
Demosu", oua 4,
Dotencial.
'
t t
: t
¿ r'# t-|-=o
-)raa
De
L = T -v ,
#,
=
V(xr,...,xN)
es la energtra
siendor = r - l'
ya que t/ es independientode .tt. Entonces,segúnel problema?1,
#
= =
I,#, - {, = u"n ra -#
v
La función I, se llama Lagrungiana. Estas eeuacionesen que interviene I se llaman ¿c¡acionesue Lagrange
y son de gran importanc¡a en el estudio de la mecánicatoórica. Del problema 50 se sigue que ¿l resultado
hallado equivalea decir que una partícula se desplazade manera que la integral J,' t at es una extremal.
rL
Se llarna princípio de Hamilton.
ANALIS$ TENSORIAL
206
74. Expresarel teorema de la divergenciade Gaussen forma tensorial.
Sean,,4kun campo tensorial de primer orden y 'h la normal un¡taria cxterior en un punto de uoa superficie ce¡rada,Sque encierraun volumen Z. Entonces,el teoremade la divergenciade Gaussestableceque
[f I
¿s
f[,tr u.
E
th.,av
JJ
Í
En un espaciode N dimensiones,la integral triple s€ sustituyepor una integral de orden ¡f, y la integral dobL
por una de orden N- l..El invariante .4k,¡.es la divergenciade,{k(problema 57). El invariante Ak vLesd
producto escalarde Ak y "¿, análogo a A . n en la notación vectorial del Cap. 2.
Hemos expresadoel teorema,pues,en forma tensorial,por lo que dicho teor€maes válido on cualquier
sistema de coordenadas aunque la hayamos visto, en principio, en el caso de coordenadas rectangulares
(C a p .6 y p ro b l e rn a 6 6 ).
75. Expresar las ecuaciones de Maxwell del elect¡omagnetismo
(a )d tv B = 0 ,
(6 )d l y D = 47p,
(c)V xB = + * ,(d)V xu
= !4
en forma tensor ial.
Definamoslos tensorest&, Dk, E*, H*,Ik y supongamosqu€ I y c son invariantes.Entonces,las €cl¡¡
ciones adquieren la forma
{o) 8¡O = 6
1b¡ Dh,, = anP
k\ - ejhq E.
P,q
-f
ut - eihqxo.o'
$rI"
c
?Bi.oui"n.eJEeg
= ! éB'
h'q
;;
?¿
i
I
41Tf
, o bien,eilg flr.o = - -;-
Estas ecuaciones son la base de toda la teoría del electomagnetismo.
76. (a) Demost¡arqw
Al,w - At,rq = Rlq, An
deprimerorden. (ó)
siendo.4, un tensorcualquiera
mostrarqueRt,es u¡ tensor. (c) Demostrarcue R¿grs = 6n" Rlq, es un t€nsor'
(o) At
?#- \,,,1^,.,
- \-l^^'
("nr=
- t}(* -l;l')
"
{JJ,) (*-{;},,)
=le-- #ü,)',- {J,}
# - gl"#.ltl\i,l*
17-I
=
= 6r,l
.n
c,
?"r \ ?re
ot
ü,)
o-
- {t,l*.{;Xi,}',
Permutando g y r y restando s€ obtiene,
(
d
I.
T
cl
t-
I
{
t. E
I. E
I
I
ANALISIS TENSORIAL
'1' 9- , q 7
Ar,,q=
{;}{,1}',
*ll,l ^'- {;}{j},'. ."t{j,}',
. *{;,},,
- l!,1\t,l^,
*lt,l^,-{i,}{;}*
E
r rd
F
b
=
1
R:
A.
?qr J
^1,.= {;}{¿}- á}{;'}- {;}{l,}' * {j,}
Sustituycndoj por z se deduceel r€sultadopedido.
(ó) Como Ap,,o- Ao,,oes un tensor, RXa,Ao es ot¡o tensor; además,como ,4¡ es un tensor cualquier, por
fa fey del cocientese deduceque ,Rr¿,es un tet'li;rr. Este se llama tensorde Riemann-Chrisfolfelque, a
veces,se escribeen la forma R.i*, R;;:,:, o simttcmente, R;a..
(c) Roo,,: g", Rfu,,es un tensorasociadoa Rle, y, por consiguiente,es un tensor.Se lta¡na¿e¿.ro¡
co|aria e
de curyaturqy juggaun pape¡muy importante en la teoríageneralde la relatividadde Einstein.
, Problemas propuestos
Al final del capítulo se dan las solr¡cionesde estosp¡oblemaspropuestos.
77, Escribir cada una de las siguientesexpresionestgnrendoen cugnta el convenio de sumación de los índices
rep€tidos.
(d¡ arxlxB + arxQxg + ... + orxXr3
¡c¡lal + e! a' * t!n" , ... t eJrax
qbl A21B, + An B" + An B" + ,,, + A'x Br
(d) *'t¡
+ c2t t", + ft E", + fat.,
te¡B\\1 + aeo2+ aftr + aff
78. Escribir término a término cada una de las siguientessumasindicadas.
)
b
ta) !-,(r'c -- A-\, N =s
¿,P
.i k -b ..
(b\ AJ" Bi C)
N= 2
R J ,
a;j j-¿,!
(c). 3
E,¿ Et{
?g. Haffar el luga. geométricorepresentadopor akxkxk: l en donde rt, con k '= 1,2,
positivasy N -'2,3 ó 4
nadasrcctangulares,
¿e son constantes
80. Escribir el sis:emade ecuacionesoooxq: bo para N - 2.
81. Escribi¡ Ia ley de transformaciónde los tensorcs(a) ,4'f , (b) BI. k) C-", (d) A^.
. , N' son las coorde-
ANALISIS TENSORIAL
208
82. Determinar si las magnitudes B(.¿k, m) y C(j, k, m, n) q1re,en el paso de un sistemade coo¡denadas¡i a otro i',
sg t¡ansformansegúnlas leyes
( a , 6 \P,q ' t)
=
¿ri ¿rk ¿7r D^..
,
\t'E 'm)
¿ _ "b ñ;,q
son tenso¡iales.En c¿soafirmativo,escribir los tenso¡escon la notación adecuadadando el o¡den y su característica de covarianzao contravarianza.
83. ¿Cuántascomponentestiene un tensorde quinto o¡don en un espaciode 4 dimensio¡es?
E4.Demostrarqug si las componentesde un tensorson oulasen un sistemade coordenadasdado, t4mbiénlo son
en cualquieroha rcfcrencia.
85, Demostra¡ que si las componentesde dos tensoresson igualesen un sistemade coo¡denadasdado, también
lo son en cualquier otra refercncia.
)-k
Demostrarque la velocidad
?
: y* de un fluido es un tensor,pero que I1dvk no lo es.
87. Hallar las componentoscovariantesy cont¡avariantesde un tensor en goordenadas:(¿)cilínd¡icas p, d,z;
(ó) esféricasr,d, {, sabiendoque sus componentescovariantesen coordenadasrectangularesson Zr-z
x"y, yz.
88. Las componentescontravariantesde un tensor en coord€nadasr€ctangularesson: /2, 3, 2x + /. Hallar sus
componentescovariantesen coordenadascilíndricasparabólicas.
ó
b . qs
.r
.f .Q .¡ " s
" P ,.ql",
8e. calcular G) 6;81-. , (¿) E; E; l'", p¡ an
(d) tq ¡r Ds 6i.
{
9{). Si,4fs es un tsnsor demostra¡qf¡e,41'esun tgnsorcontravariianted€ primgr orden.
E:, = ltsi ¡ * *
91. Demostrar oue
Jñ
tu r, ¡ = i
92. Si
:-
^f
;-9
A¿, = .fu,{O
demostrar
cue Aq = z'- + .
%.si l: =##,4!
fi.
no es un tensor covariantecon la notación expuesta'
demostrar
w. e! = ffi{* e!.
Sabiendoque é es un escalaro invariante, determinar si
ge=
es un tensor.
O r 'Ot1
. Sí A! y B, son dos tensores,demostrarque,4¿ B¡ y AXBt son, asimismo,tensoresy halla¡ su orden,
96, Demost¡a¡que si ,4lraes un tensor,.41,o+ ,4!,fes un tenso¡simétricoy,4ta -,4Íl
eshemisimétrico.
yl, Si ApQy B¡r son tonsores hemisimétricos, demostrar que Ct! : A'q8,, es vn tensor simétrico.
98. Si un tensor es simétrico (o hemisimétrico), sus contracciones sucesivas, ¿son simétric¿s (o
99. Demostrar quo si ,.{r¿es un tensof simétrico, .4rsrr)r4:0.
ANALIS¡S TENSORIAL
Hallar el máximo número de componentesde un tensor si¡nétrico de segundoorden en un espaciode:
(a) N :4, (ó) N: 6. ¿Cuáles estenúmero para cualquie¡N?
¿Cuántascomponentesno nulas y distintas, prescindiendodel signo, tiene un tensor covariantohemisimét¡ico de tercar orden?
Si ,4Í,¿es un tonsor, demostrarque por una doble contracción resulta un €scala¡o invariante.
Demostrar que la condición necesa¡iay suñcientgpara que un tensor do orden R se conviertaen un escalar
o invariantg por contraccionessucesivases que R s€a p¿r y que el númgro de indi@scovariantesy cootravariantes s€a igual a R/2.
Si ,4r¿y B" son dos tensores,demostrarque su productoextemo esun tensorde cuarto orden y que se pueden
forma¡ dos productos internos de órdenesdos y ce.o, rcsp€ctivamente
Si A(l¡, q) B" - Ct, en donde 8s €s un tensor covariantede primer orden cualquieray C' un teosor contravariante do primer orden, demostrarque A(p, q) es w tensormixto de segundoorden
Sean,4, y -84dos tonsoresarbitrarios. Demostrarqu€ si Ae Ba CQr,q) es un invariants, C(p, 4) cs un tensor
que puede escribi¡seen la forma Cj.
y productosP : ABy Q:
Haflar la sumaS : A + B, diferenciaD : A-8,
c,essiguientes:
B,{, siendo,{ y B las matri-
\
l^
.\
/
B
=
(
o
:
l
@\A =(: - 11,
4l
-tl
\2
\-2
o r\
lz
(ó),{=Í- r- 2
r1.
\- r s -Ll
Hallar (3A -
-t ,\
I=| 3 l ,
2-4 1
2l
\-t -,
28\ (2,4 - a), s[ndo A y B las matrices del p¡oblema anterior.
(a) Cornprobar qu€ dot (,{8) : {det ,{} {der A} para las marices del problema 107.
(ó) Comprobar si se verifca que dct (áA) : det(BA).
t.
\
s ean
rasm a rce s, = (: -: :).
2 3,
/-r z - r \
r = { i ; - ; l.
2 r
\{
zl
\
Demostrarque (.¡) /,8 estádefiniday hallar su valor, (ó) B,{ y ,{ + ,8 no estándeñnidas.
Despejar los valores de las incógnitas, x, y, z, del sistema de ecuaciones, cscrito en forna matricial.
(?i i)(')
fi)
\-¡
3-
La inversa ,{ -r dc una matriz cuadrad¿/ s€ de6ne por la relación AA | : I, siendo r la matriz unidad
cuyos elementosde Ia diagonal principal son unos y los restantescoros.
Haflar ra inversa,4-r de la matriz
(")
/ =(_;-;). = _l
",r ti
En ambos casos,¿s€verificaque A-tA:
/
I?
¡
-z\
| t
-t
;)
2lo
ANALISIS TENSORIAL
ll3. Demostrar que la matriz ,l
fr
r -2\
-Z
-3
ll4. Demotra¡ que (,{r)-r : BrA-t,
gI
carccr de inversa.
4l
siendo,4 y -Bdos matricescuadradas¡egulares.
ll5. Exprcsar cn ibrma malricial las ecuacionesde uansformación de un (¿) v€ctor contravarianto,(ó)
covarianle de segundoorden, (c) t€nsor mixto de segundoorden
116. Determinar los valoresde la const¿nte ltalo]ueAX:
lX. siendo ,l =
j
-i)
vxunarnatriz
quiera. Estos valores se llg;man valores propiot o autovaloret de la matriz ,{.
ll?. La €cuaciónF(¡) :0 que rcsulta en el problema anterior para hallar los valores propios de una
gollama ecuacióncaruclerítticq de A, DeÍ\ostrar que F(/) : 0, siendo F(,{) la matdz obtonida sustituyenÓ
po¡ ,{ en la ecuacióncaracteristica,el término constantec por la riatriz c¿ y O es la matriz nula (todos
elcmcntos son c€ros). El r€sultado es un caso particular &l ¡eo¡ema de I{amiltorr-Coyley, q|uedic€ que
matriz es solt¡ción de su propia ecuación c¿racterlstica.
llt.
Demostrar qtrc (AB>r : BrAr.
ll9.
Dotcrminar el tcnsor rnétrico o fundamcntal y su conjugado en coordenadas: (a) c¡llndricas
y (ó) cilínddcas ellpticas.
120. Demostrar que en toda transformaciónafin ¡' : 4 xD + Ir', siendod, y ú,'constantestalesque 4 4 =
las compon€ntescovariantesy contravariantesde un tensorcoinciden-En el casopanicular de que la ts
formación s€a de un sistema de coordenadas r€ctangular a otro rectangular, los tonsor€s se llaman
carlesiar@s.
l2l,
ln.
Hallar g y gr cor$pondientes
al elem€nto de linea ds2 = 3@x!¡2 + 2(¿r2f + 4@f)2 -
I ¿zr
Si A, : gi¡,{r, dcmost¡a¡ qtre 4 : gkAL, y r€cíprocamente.
123. Expresar las relaciones €ntr€ los tensores asociados
@) An y Aja, (b) A!¿' y tt¡a¡,@) A'oi y At!,t.
qtre (a',A;qB?rs= tbe lfi", (ü a!,qrB;l . erq..at = nio' tlr.
1rA.Demostrar
De aquídeducir
sultadogeneralde que un s€udofndice,o lndice umbral, en un término puedebajarsede su posición
y elevarse de su posición jnferior sin que cambie cl valor del término.
125. Demostrar que si ,{?o.: Bfo C,, entoncesA¡a, : BeaC, f A'ft : 3;z 6r. De aquí deducir el
-rel
qu€ un lndice libre en una ecuación tensorial s€ puede elevar o descender sin que se altere drcha
12ó. D€mostrar que los tcnso¡cs g'r., gD. ! ó! son asociados.
r27.
D€n'ostrar
ot Ert# = ,rs#, $\{#
= /t#
128. Si Ae es un campo vectorial, hallar el vector unitario correspondientc.
ra
I
{
r{
t
r(
rl
ANALISIS TENSORIAL
2ll
129. Demostrar que los cosenosde los ángulosque un vector unita o Ul€n un espaciotridimensionalfornra con
u"
ue
ut
tas líneas coordenadasson
.
,
rt-
{t*
rt-
(8-2t7)
130. Exprcsar los símbolos de christoffe¡ de primera clase en coordenadas(a) ¡ectangulares,(ó)
cilíndricas y
(c) esféricas.
l3l. Expresar los símbolosde Christoff€l de primera y segundactaseen coordenadas(a)
cilíndricasparabólicas,
(á) elípticas.
132.Deducir las ecuacionesdiferencialesde las lineas geodésicasen coordenadas(a) cilíndricas,(ó)
esféricas.
133.Demostrar qu€ las lfneasgeodésicasen el plano son rectas.
134. Demostra¡ que las lineas geodésicasen la esferason arcos de círculo máximo.
135.Escribir los símbolos de Christoffel de segundaclase para la forma métnca.
ds':
(dxt), + t(x,), - (x)!l(dr1,
y las ecuacionescorrgspondientesde las líneasgeodésicas.
136. Escribir la de¡ivada cova¡ianterespectode ¡¿ de cada uno de los siguientestensores.
.th
.i h
i
ikt
ih
( d\ A í , ( b) A í . a \ A ;h , G\,t;" ,
@ A í;n.
r
i
i
137. Haflar la derivadacovarianted,. (o \t-h A-, (b)A ' B h, (c)D ;,{ j
resp€cto
de ¡a.
138. Mediante fa ¡elaciónA¡ : gtk Ak dedücirla derivadacovariantede ,4i a parti¡ de la derivada
covariantede ,4e.
t39. Demostra¡ Cue fD,*-
ó,09, siendoé un escala¡o invariante, es decir, el o¡den de la derivacióncova_
riante de un escalarno influye en el resultado.
l4tt. Demostrar q\e iü
y (r¿t son tensorescovariantey contravarianterespectlva¡nente.
r4l, Expresarla divcrg€nciade un vector l' en función de suscomponentesfísicasen coo¡de¡adas(a)
cilíndricas
parabólicas,(ó) paraboloidates.
142, Hallar las componentesfisicasde grad é en coordenadas(a) cilíndricasparabólicas,(ó) cilíndricaselípticas.
r43.Expresar Vl(D en coorde¡adas cilíndricas Darabólicas.
r+4.Mediante la notación tensorial,demostrarque (a) div ¡ot.{'
- 0, (á) rot gradé = 0.
r45. Hallar las derivadasabsolutaso intrinse{asde los siguientescampostensoriales,en el casode que las funciones de , sean derivables:
;h
\
1o) Ap, (b\ ,LJ', 1"¡ ,1, sh, t¿l ó AJhsiendo d un escalalo invariante.
146. Hallar la derivadaabsolutad. qo)t¡nA , $, 6lhAj , n, ,rrt!,
4 .
t47. Demostrar
que
n, nol = , rfon,
ft Cto
*
.
2t2
ANALISIS TENSORIAL
1¡|8. Detnostrar que si no actúa fuerza ext€rlor alguna sobre una partícula de masa constante que dc desplaza
por una línea geodésicas€ verifica
g,f,' ,
149. Demostrar que la suma y diferencia de dos tensores rclativos del mismo peso y tipo es otro tensor relativo
de las mismas ca¡acterlstic¿s.
1f), Si lfv es un tensorrelativo d€ peso
'er,
demostrarque g-uh llE
es un tensorabsoluto.
= Cj', en donde
r51. Si ,l(p,q) f
^{, esun t€nsorrelativocualquierade posouly C; un tensorr€lativode peso
r"r, demostrar que A (p, q) 6 u tensor relativo de peso ¡'¡ - ur. Est€ €s un ejemplo de la ley del cociente
de los tensoresrelativos.
152. Demostrar que la magnitud Go,l)
del problema resuelto 3l es un tensor relativo de p€so dos,
153. Hallar las componentes físicas en coordenad¿s esféricas de la (a) velocidad y (ó) aceleración de una partícula móvil.
154. Scan,4' y B' dos vector€sen u¡r €spacio tridLtrensional. Demostrar que si t y p son const¿ntcs,Cr = |" Ar + pBr
os otto vcctor del plano que Íorman At y Y. ¿Cuál es Ia int€rpr€tación en un espacio de M dimensiones?
155. Demostra¡ eue ,tl . ,ll
$.
",
vactor unitario correspondiento.
un vector noínal a la superñcie C(¡r, x3,x) : constante.Hallar el
156. Iá €cuación de continuidad de un fluido es !. ¡s.r¡ * P = O
donde oesla d€nsidad y v la vclocidaddt
"n
Expresar dicha €cuación en forma tensorial.
157. Expresa¡ la ecuación de continuidad en coordenadas (a) cilfndricas, y (ó) esféricas.
lst.
Expresar el teorsm¿ del rotacional ds Stokes en forma tensorial.
159. Dcmostrar que el tensor covariante de cu¡vatura -Roo,,es hernisimétrico en los lndicec (a) p y .1, (b') r y s,
(c )q Y s .
lflr. Dcmostrarque nrqr.s . &srC,
161.Demostrarquc @) R¡qrs * Rr"q, * R¡sq = 0,
(b'',Rlqrc + f,rgrs + XT59g+ R¿57g .
0.
162. Demostrarque la dcrivación covarianteen un espaciode Euclid€ses con¡¡rutativa.Como consecuencia.
probar qu¿el tcnsor do Rirm¿nn-Christoffely el tensorde curvaturaen un espaciode Euclidesson nulos^
163. Sea fz.
,O
!f
cl vcctor tangentc a la curva C de ecuación ¡' : ¡r(s), an donde r es la longitud d€ arco.
(a) Demostrar
+te srOT, f4-r
(ó) Prob¿rqrregrqT'
o
#'
\€ctor unitario nornral a C para una /r dada. (c) Proba¡ quc *
"
dJ
en consccuencia,
iÉ "
* #*
-
es ortogonal a 1V..
164. Con la notación del problema anterior, dcmostrar que:
ótg
á r¡rq
-9 q
@ t% qrIv '=0,(ü)t¡o f
T=-<
o q o ( t 9 f f + x r ' )o= 0 .
probarquo8t
Porconsiguientc,
" * ,1"{ + xf¡es
un vectorunitariopara un ¡ dado ortogonala fr
ANALISIS TENSORIAL
Deducir las fórmulas de F¡enet- Serret
r,r.i
||-
o
= .¡u',
Á¡tl
b
-b
= rar-xr"
K
68l
3?
= -rN'+)
y ,t y r la curvasiendoIp, N, y 8, los vectoresunitarios tangente,normal y binormat a C, ¡espectivamente,
:ura y torsión de C.
Demostrar que ¿s2 = &@z4f - ¿rb ¿rh 0Y=3)es un €scalaro invarianteen la transfo¡maciónlineal (afín)
f =*,
7a = yqxa-l
7 t = y p L -o z J ,
*=12,
zL\
Esta es la transfor¡nación
siendo:,,É,cy y constantes,
de Lorentzde la relal:rlcy
t:(-fl?)'/'.
tividad especial.Físicamente,un observadorsituadoen el origen del sistema xt veria un sucesoque oculfe en la posición ¡r, xr,.r¡ en el instante¡{, mientras que un obs€rvadoren el origen del sistematl vería
ef mismo suc¡so en la posición ,r, Í2, tz en el instantet'. Se supooeque (/) los dos sistemasde referencia
tienen los ejesxr y tr coincidentes,(2) los semiejespositivosx¡ y x¡ paralelos,respectivamente,
a los 5, y .¿',
(t) el sistema t¡ se desplaza con velocidad v respecto del sistema xt, y (4) la velocidad de la luz
c os constante,
Demostra¡que para un observadorfijo en el sistsrna¡¡ (tr), una barra fija en el sistemat¡ (x¡) paralelaal eje
tt (.rl) y de longitud ¿ en estareferencia,aparecereducida la loDgitud¿ v'¡ - pl Este hecho se denomina
contracción de Lorentz-F¡tzgeruld.
DE LOS PROBLEMAS
.(ol aurhzs<tl Íin,
<"'t4sh
PROPUESTOS
O¡g29sor,N.=4 (., Bl:r,N=2
at $tG,e'> ' S<G e't * SrG e"t
Ot Ab4q
. Elipse para N:
.. a¡J a,t . a/
vt"*6r¿z
+ É1a!c" + tgaf,c, + tnaf,c.
2, elipsoide para ¡f:
a¡1x1+ opr2
t
orrrt
+ ap#
I
3, hiperelipsoidepara N:
éx2
a ' i'
d
Arx
4.
1 b1
= b2
@tlq= *{,##^1i
df
ññ
t¡rdq'=
*,# _y,#4',
#^-
d"tL
crn
(a) B(j, k, n) es un tensor de tercer orden, dos vecescovariante y una vez contravarianle. Puede escribirse
en la forma Eii. (b) C(j, k, n, n) no €s un tensor.
1é . LO2A
(a) 2e coszó -
z cos { + d sen, ó cos¡ d,
2€, sen ó cos d + ez sen d + p. sen ó cossd,
pz sen$.
214
ANALISTS TENSoRIAL
(b) 2t s€nr0 coa2ó
- r s€n0 co8á cGó + Ésenad sen2{ cos2t' + É senOcos2d sen@,
e¡,e0 coa2$ - f coaz0 cod$ + y'sen3á cos? sen2ó coc2ó
2{wn0
- ¡3 sen,0 cosÉ sen{,
- 2lsen'0 scnd cogd + f ggn? coadsen@ + y'se¡a9 sen{ cos3@
88. t?vz + g,,¡ gs - vf z,
n2 + ut¡- tP
94. No es un tensor.
1 0 0 . (d ) 1 0 , (ü ) 2 r,
89. (o) sls,
g) AF,
(c\ Aj, tal r
95. Orden 3 y ord€n I rcspectivamente.
(c ) N (N + r)/z
) (; :),=
,o?(o
. s=
98. Sí.
r0r. /V(/V-1) (/V- 2)/6
( - : - : ) , "= ( T T) , . = ( : : _: )
ri)
",'=(-lI il ' (-lr-s)'=(-i'i-*)'=(-i-li
,0,,.,(;lil:) (_jj::
1;) '. (:i ; -;)
",
t = - lt
t = 3,
z=2
,,,.
si
",(,1",),1
",t{i {:i)
(i)(#fiil()
"(',
::)€r
:il€rilt,
':^)€
Gi^il
Érilü
,*.,(":-",,
ff'+:
u6. ¡. = 4, -1
ANALISIS TENSORIAL
dlsenhr4 + sen,r )
0
0
o1senh,4 + sen'y)
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[ z t,z)= [n,z] =', [¡r,¡]=[13,s]=rsen'a
132,3J= ¡23,3.1= 12s€no cosd, Todoslos demásson nulos.
[tr,t] = ,, lzz,zl= ,, [rr,z]= -,, Lzz,t)
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lrz,rJ= [zr.l] = ,, [zt,z). [tz,z]- u.
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2t6
ANAf,ISIS TENSORIAL
135.
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ANALISIS TENSORIAL
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la velocidad.
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f
etvector
unitario
ta¡senr,e
a la curvacenada
c
b"
y' €l vector unita¡io normal extorior
a la superficie S que tiene cofi¡o contomo
C.
I ndic e
A derechas,sistgf¡ra,3
Absoluta, dorivada, 174
Absoluto, movimiento, 53
tensor,175
Aceleración, a lo largo dc una
curva en el espacio,35, 39,40,
50, 5ó
c€ntrípeta,43, 50, 5l
de coriolis, 53
de una partícula, 38, 42, 43, 50,
52, 84,2n3, m5
€n coord€nadascilfndricas, 143,
204
en coordenad¿scurvilíneas, 204,
205
en coordenadasesféricas, 160,
212
en coordenadaspolares,56
r€lativa a observadores fijo y
m ó v i l ,5 2 ,5 3
Achatadas,coo¡denadasesféricas,
140,145,160,16l
Adición, de matric€s,170
de tensores,169
Adjunto, l7l, 187,188
Afin, transformación,59, 2lO, 2t3
Alah€ada,cúbica, 55
Alarg. das, coordenadas esféricas,
| -r9,l@, 16l
Algebra, de matrices,170
de vectorcs,l, 2
Alternante, símbolo y tensor, 173,
r74,2tl
Angular, velocid¿4 26, 43, 52
Angulo, de dos superficies,63
entre dos vectores,19, 172, 190
sólido, 124, 125
Area, de la elipse, I 12
d€ un triángulo, 24, 25
de una superficie,104, 105, 162
del paralelogramo,17, 24
forma vcptorial, 25, E3
limitada por una curva cerrada,
lll
Areolar, velocidad,85, 86
A¡ociados, tensores,l7l, l9O, l9l,
210
Asociativa, propiedad,2, 5, 17
Autovalores,2l0
Base,v€ctorgsen la, 7, 8, 136
unitarios,136
Binormal,38, 45,47,48
Bipolar, coordenadas,l¿to,160 '
Brahe, Tycho, 86
Cálculode variacion$, 173
Calo\ 126, 127
*!acíórr, 126, 127, t6l
en coordonadas cillndricas
elipticas, 155
en coordenadas esféricas, 16l
especlfico,126
flujo, régimen pormanente,127
Campo,3, 12, 13, 168
cons€rvador,73, 83, $, 91, 93
de tipo fuente, 13
de tipo sumidrro, 13
ir¡otacional, 72, 73. 90
rotacional,72
solenoidal,67, '1, l2O, 126
tensorial,168
Caracterlstica,ecu ción, 210
Carga, densidad,126
Cartesianos, tensores,210
C.€ntral, fuerza, 56, 85
Centripota,aceleración,43, 50, 53
C€ntro d€ masas,15
Cero v6ctor, 2
Cicloide, 132
Cilindricas,coordenad¿s,137,138,
t4l, t42, lñ, 16l
divergencia,153,200, 201
ecuaciúnde continuidad, 212
elementode línea, 143
elemento de volumen, 1,14,
t45
gradiente,153,154
Jacobiano,l6l
laplaciana,153, 154, 201
lineasg€odésicas,
2l I
rotacional,153,154
slmbolos de Chris.cff€1,195,
2tl
tensormétrico, 187
tenso¡métricoconjugado,189
velocidad y ace¡eración,143,
2tu4,205
Cillndricas elípticas,coordenadas,
139,l s5, 160,l 6l ,2l l
Cincmática,38
Cinética,energía,94, 204
Cinétaco,momento, 50, 51, 56
Circulación,82, l3l
Circuncentro,33
Cociente,ley, 169, 184
218
Colineales, véctores, 8, 9
no-,7,8
Columna, matriz o vector, 169
Componenles,contravariantes,
13ó,15ó,157,167,168
covariantcs,136
de un tensor, 157, 167, 168
de una diada, 73
Componentesvectoriales,3, 7, &
rectangularcs, 3
Conductividadtérmica, 126
Conformes,matrices,l7O
Cónica s€cción,87
Conjugado, tonsor métrico, l7l.
188,189
Conjugados,tensores,l7l
Conmutativa, p¡opiedad,2, 5, 16
l7
Consorvacióo de la encrgía, 94
Conservador,campo, 73, 83, 9091, 93
condición necesaria y suF
cíente para, 90, 9l
movimiento de una partícul¡
en,93,94
Continuidad, 36, 37
ecuación de, 6'l, 126, 212
Contr¿cción,169,l8l, 182
Contravariante,tensor, d9 prün r
orden, 157, 167
de segundo,y superior,o¡der¡.
t68
Contravariants, vector, 136, 156.
r5'1,t67
Contra a¡iantes, componente!
136,156,157,167,168
de un tensor, 157,167, 168
de un vector, 136, 156, ltCoo¡denadascurvilíneas, 135-165
Coordenadas,líneas,135
Coordenadas,superficies, I 35
Coordenadas,transformación,5&
59, 76, 135,166
Coplanarios,vectores,3
condiclón necesaria y suF
ciente para, 27
no-, 7, 8
Coriolis, aceleraciónde, 53
Corrient€, densidadde, 126
Coseno,teoremadel, 20, 33
Cosenos,dircctores,I l, 58
Covariante, derivada, 173, | 9l' 199,2l l
INDTCE
I
L
Covariatte, tensor de curvatu¡a,
207
Cova¡iante, tensor de prific¡ orden, 158
Covariante,vector,136,157,l5E,
t67
Covariantes, componentes, 136,
157,158,167
de un tensor,167,168
de un vector, 136, 157, 158,
t67
Cuad¡ática, forma fundarnental,
t4 8
Cuántica,mecánica,l6l
Cúbica,alabeada,55
Curyatu¡a, 38, 45, 47, ll3
radio de, 38, 45,46,50
Riemann-Christoffel,206
tenso. de, 207
Curvas en el espacio,35
acele¡ación,35, 39, 40, 50, 56
bino¡mal,38, 45, 47,48
culvatu¡a,38,45, 47, I 13
elementode linea, 37. 56, l3ó,
1 48
normal principal, 38, +5, 46,
50
radio de torsió¡, 38, 45
tangente,37, 38, 40, 41,48, 50
Curvilineas,coordenadas,I 35-l 65
aceferación, 143,2O4,2O5,212
definición, 135
elementode linea, 56, I36, 148
elemonto de volumen, 136,
137,159
generales,
r4S, I 56-l59
ortogonales,
49, 135
superficiales,
48, 49, 56, 155
Christoffel, simbolos, 172, 192195, 211
leyesde transformación, l'12,
193, t94
Delta, de Kronecker, t68, t?9,
r80
Densidad,I26
de carga,126
de co¡rierite, 126
tenso¡ial,175,203
I)ependencia
lineal,10, l5
De ri vabilidad, 36, 37
Derivable,campoescalar,57
Campovectorial,57
Derivación de vecrores,35-56
ordinaria,35, 36, 39-43
parcial, 36,3'1,44, 45
Derivada, absoluta o intr¡'nsica,
1 7 4, 202, 2t l
covariante,113,197-199,2Il
segúnuna dire.cción,
57, 6l-63
Derivadade un v€ctor,35-56
fó rm ulas , 36, 3?, 40 ,4 1
ordende la, 37, 69
o rd i nar ia, 35, 36
parcial, 36, 37
Desca¡tes,folio de, 132
Determinante,
adjuntoen un, I?1,
t8 7 , 1 8 8
de una matriz, I70, 209
derivadade un, 4l
Jacobiano, 79, t33, 146, t4'7,
t4 8 , 1 5 9 ,l 6t, 162,175,202,
203
producto v€ctorial en forma de,
t7 . 2 3
rotacionalexpresadolporun, 5?,
58
triple producto escala¡en forma
d€, 15?
Dextrosum,sistema,3
Diada, 73
D i á d i c a ,7 3 -7 5,81
Diagonal de una matriz cuadrada,
169
Diferencia,de matrices,170
de rensores,169
de vectores,2
Diferencial, 37
exacta,83, 93, I I I
condición necesariay sufici€nte,
93
Diferencial,geometrla,37, 38, 4550, 54-56,166,2t2-2t3
Dif€renciales,ecuacion€s,54, 104
Difusividad,127
Dinámica, 38
ecuacionesde Lagrange, 196,
205
ley de Newton, 38, 50, 53
Direccional,derivada,57, 6l-63
Directores,cos€nos,I l, 58
Distancia ent¡e dos puntos, I I
Distributiva, propiedad,2
de las formas diádicas,74
d€ matrices,170
productoescala¡,16, 18
p¡oducto vectorial, 16, 22, 23
Divergencia,57, 64.6?
del gradiente,58, 64
del rotacional,58, 69, 70, 2l I
en coordenadascilindricas, 153,
2ffi,201
en coo¡denadascilindricasparabólicas,l6l
en coordenadas
cu¡vilineas,
137,
150
en coordenadas
esféricas,l6l,
2 0 0 ,2 0 1
forma tensorial, l'14, 20O,201
invarianza,8l
significadofísico, 66, 6?, ll9,
120
teoremade 6auss,106,I10, I ll,
tl5-127
demostración,
I17, ll8
e n u n c i a d o,
ll5
forma rectangular,
I l6
forma tensorial,206
s rg n rn c a onsrco,
o
I to, ¡l /
teoremade Creencomo caso
p a ¡ti c u lar,106,I I0, l l l
219
Einstein, teoria de la relatividad,
148,201,2t3
Electromagnética,teotía, 54, j2,
206
Elemento,de línea,l?0, 187-189
de volumen,136,ll7, 159
Elementode líoea,37,56,|]6, 148
en coordenadas
curvilíneas,
56,
148
en coordenadas
curvilíneas
ortogonales,136
sobreu¡rasuperficie,56
Elementos
de una matriz,169
Elipse,63, 139
112
ó¡bita
^rea, de los planetas,8ó, 87
Elipsoidal,coordenadas,
140, 16O
Energia,94
cinética,94,204
conservaciónde, 94
potencial,94
Equilibranre,6
Escala,facto¡es,135
Escalar,l, 4, 168
campo,2, 12, 168
función de posición,3
función de punto, 3
potencial,?3, 81. 83,91, 92
p.oducto,16,l 8-21,182
t¡iplesproductos,17,26-31
variable,35
Escalar,producto,I6. l8-21
propiedadconmutativa,
16,l8
propiedaddistriburiva.16. l8
Esfé.icas,coordenadas,
137, 138,
14r, r47, 160,l ól
co¡rtponentes
covariantes,I 77,
178
divergencia,
16l, 2O0,201
ecuaciónde continuidad,212
ecuación de transmisión de
calor, I6l
elemgntode volumen, 144,
145
gradiente,¡61
Jacobiano,I6l
laplaciana,154,201
lineasgeodésicas,
2l I
¡otacional,154
símbolosde Chrisroffel,195,
2tl
tensormétrico,187
tensormétricoconjugado,189
velócidady aceleración,
160,
212
Esferoidales,
coordenadas,
achatadas,I40, 145,ló0, 161
alargadas,
139,160,16l
Espacio.de Euclides,I70
de N dimensiones,
166
d€ Riemann,l7l
Especial,teoria de Ia relatividad,
213
Euclideo,espacio,170
de N dimensiones,
l7l
iule¡, ecuaciones,
196
220
INDICE
Ercentric¡d¡d,t7
Erterior, norm¡1,49, 83
E¡dcma,multiplicáción,169
Extrctml. ¡96
Extrentodc un vccior, | , 2, 5, ll
Füo y nóvil, cistcm¿sde referenci¿.5!-53
Filq m¿triz o v€ctor, 169
Ffsicas, comDoncnt€s,172. Xn,
mL m5, ztl
Fluido, moümi€nto, 6, €r, 72,
116, ll7, 125,126
incompresiblc, 69, 126
Fluidos, mecánica, 82
Flujo, 83, l2O
Forma cua'tlrática fundanental.
l,l8
F¡enet-S€rr€t, fómulas, 38, 45,
213
Frotrlera, 113
Fuente,13, 67, 120
campo de tipo, 13
Fuerza, central, 56, 85
de Coriolis, 53
de l¿ gravitación univcrsal, 86
de repulsión,85
r¡om€nto dc una, 25,26, SO
sobre una partlcula, 203, Z)5
Fucrzas. 53
rcsultante, I I
Fundan¡pnt¡I, tcNrso¡,¡71
Gauss,ley do, 134
Gauss, tcorcma do la divergencia,
1 0 6 ,1 1 0 ,1 1 1 ,1 1 5 -1 2 ?
demostración,I17, llE
onunciado.l15
forma f€ct¿ngular, l 16
forma tonsorial, 206
sigBifcadofisico, 116, ll7
teorerns de Gr€en como caso
p¿rticular, 106, tlo, lll
Goodésicas,llneas, 172, 173, 196,
lgt,2ll
Ceomet¡la difer€ncial, 31, 38, 45-
so,5+56,t6Í, 2t2-2t3
Gndiente, 57, 58, 5943, 177
de un vactor, 73
en coordcnadas cilfndricas, t53,
154
en coorden¿dascillndricas parab ó l i c a s1, 6 1 ,2 l l
en coordenadas
curvilfneasortogonales,137, 148, 149
En coorde¡adas ssféricas. 16l
iofma integral, 122,123
iorma tensorial, 174, 20O
ilrvarianza, ?7
Cráfica. suma de v€ctores. 4
repr€s€ntaciónde un vector, 4
Gravitación, ley universal de Newto n .8 6
Grccn, prinera idenüdad o Gorr''na,,lO7,l2l
$li¡nda
idootidad o tcorcÍ¡s sinrétrico, 107. 121
tcorema, en el espacio, 106, I10,
lll, tl5-t27
tco¡cma en el plano, ¡06, 108l t5
como caso particular d€l t. de
Gauss, 106, ll0 lll
como caso particular dcl t. de
Stokes, 106, I l0
para regiones m{¡lüplcmonte
conexas.I l2-l14
para ¡€giones simplflronto
conexas,108-ll0
Hamilton, principio, 205
H¿milton4¿yl€y, teorcm4 210
Hélice ci¡Eular, 45
Hipérboh, 87
HipcDlano, l?6
Hipenupcrficie, 176
Hipocicloide, I 32
Lagra¡rgc, ocuacione, 196, Z)5
LaSrangiana, 205
L¿placc, ccuación, 65, 127, l3¡l
G¡¡coordanadascilíndricas I
¡sbólicas, 154, 155
tr¿nsformada, de, 162
Laplaciana, oper¿dor (V), 58,
81, 2@
on coordenad¿s
t53, 154,201
Gncoord€nadascilínd¡icas
rabólicas,154, t55, 2ll
on coordonads
137,!50, lst
on coordenadas
€sféricas,
201
fornra tcnso¡ial,174 200
invarianzs,8¡
I-emnisca.132
I¡yes dcl álgpbra v€cto¡ial, ¿
Libre, lndicc, 167
Lli€a, eldrcnto dc, 170, 187L¡nea, inÉgra¡, 82, 87-%, lll
dlculo, 87-E9,lll
circulac¡ón,82, l3l
indopcndicnte del c¿mino, I
89,90,lll, tr4, r29,tn
Igualdad, de.m¿tric€s, 170
dc voctorcs, I
Impctu, 38
Indcpcndcncia, dct camino dc integración, E3"89, 90, lll, ll4
t29,130
dcl origen, 9
Independencia line¿l, 10, l5
Indic¡, libre, 167
umbral, 167
Inc¡cial, sist€ma, 53
Intogración, de llnoa, &!, 87-9,
l
dc supcrñcie, 83, 9+99
do vcctor€s, 82-105
dGvolu¡rren,83, 99101
doñnida- 82
indeñnida. 82
ordinaria, 82
teo¡€rnas, 107, l2O, l2l, 124,
125,130
Integal, fomi¿ del opcrador nabla,
to?, 123
lnterna, multiplicación, 169, lE2
Interno, producto, 169,182
Intrlns€ca,&rivada, 174,fr2,2ll
Invariarte, 59, 168,190
Invarianá, 58, 59, 76, 77, 8l
Inversade una matriz. 170
lrrotacional, campo, 72, 73, 90
Jacobiano,79, 133, 146, 147, 148,
159, t6r, 162, t7 5, 202,m3
Kepler, leyes,86,87, l0z
Kronecker,delta de, l6E, l?9, 180
símbolo,77, 208
tcoronra do Gr€e! y
do, I 12
rabqio, E2,88
Lineal, fuente,13
sumidcro,13
Linealmentédep€ndientcs,
res,10,15
Lorentz, transformación, 213
Lorcntz . Fitzgorald,
2t3
Luz, velocidad,81
Matricos, 169, l?0, 185, t86
confomres, 170
igualdad, 170
operaciones, I 70
suma, l?0
IÑlatriz,73, 169
álgebra,170
columna, 169
cu¿drada,1ó9
det€rminante de una, 170,
diagonal principal, 169
cle¡n€ntos, ló9
fila, 169
inv€rsa,170,209, 210
nula. 169
singular, 170
traspuesta,170,210
Maxwell, ecuaciones,?2, 8l
en fornu tensorial. 206
Mecánica,38, 56
de ñuidos, 82
Métrico, tcnsor, 170, 17¡,
Métdcos, co€ñcaentes,148
Mixto, tcnsor, 167, 168
Módulo de un vector, I
Moebius,banda,99
INDICE
t
I
>
a(
L
D
I
ta
a
,
r'
b
cinético, 50, 51, 56
Momentodo una fuerza,25,26,50
triedro, 38
y fijo, sistema,5l-53
Movimiento, de plan€tas,85-87
d€ un fluido,66,67,72,116,ll7,
125, t26
Múltipleftrnte conexa,región,I 10,
2-tt4
Multiplicación, de determinantes,
159
de natrices, t7O
de tensores,169
de un v€ctor por ün esc¿lar, 2
escalar,16, 18-21,182
extema,169,l8l
interna, 169, 182
Yectorial,16, 17, 22-28
Nab¡a(v), 57, 58
fó¡mulas en que aparece,58
invarianzade, 107, 123
opcrador en forma integral, 107,
t23
Newton, tey de, 38, 50, 53
de la gravitaciónuniversal,86
en forma tensorial. 203
Normal, a una superfrci€, 49, 50,
5 6 .6r
exterior o positiva,49, 83
plano, 38, 48
principal, 38, 45, 47, 48, 50
Nula, nratriz, ló9
Nulo, vector, 2
Ondas, ecuación, 72
Operaciones con tensores, 1ó9.
179-t84
Operador, dorivado respecto del
ti€mpo en sisternasñjo y móvi l ,5 1, 52
laplaciana,58, 64, 81, 2m
nabla, 57
Orden, de un tensor. 167
d€ una matriz, 169
Oriontablc, superñci€, 99
Origen, de un vector, I
indcpendencia de una ecuación
veatorial, respecto del, 9
Ortocentro,33
Ortogonal, transformación, 59
Ortogonales, coordenadas, bipolares, 140, 160
cilíndricas, 137, l3E
cilíndric¿selípticas, 139, 155,
t6 0 , t 6l. 2ll
cilíndric¿s parabólicas,I 38
curvilíneas, 49, 135, 137-141,
l9l
elipsoidales,l4O, 160
€sféricas,137, 138
esferoidales achatadas, l,l{),
1 4 5 ,l@, 16l
esferoidales alargadas, 139,
t@, l6t,2ll
O¡togonales, coordGnadas,
paraboloidales,139, 160,161,
toroidales,l4l
Osculador,plano, 38, 48
Pa¡, 50, 5l
Par'ábola-87. t38
Parabólicas. coordenadas.cilindri
css,138,1¡14,
154,155,160,
l 6 r. 2 l I
div€rgencia, 16l
elementodc lfn€a, l,f4
elem€ntod€ volurn¿n.145
gradiente,l6l,211
Jacobiano.l6l
laplaciana,154, 155,2ll
rotacional, 16l
Schróedinger,ecuación, 16l
slmbolo d€ Christoffel, 2l I
Paraboloidales,coordenadas,139,
l @ , l 6 t, 2 l l
Paralelogramo,área, 17, 24
ley, suma de vector€s, 2, 4
Paramétricas. ecuaciones. de una
curva, 39, 40
d€ una recta, 12
de una sup€rñcie, 48, 49
Periodo de un planeta, 102
Permanentc, campo escalar, 3
Pesode un tenso'r.175
Pitágoras, teoreria, l0
Planetas, rnovimiento, 85-87
Plano, distanciaal orig€n, 2l
€cuación,15, 21, 28
normal, 38, 46
osculador,38, 48
rcctiñcante, 28, 48
tangente, 49, 50, 6l
vector perp€ndicular a un, 28
vectorcs cn cl, 3
Poisson.ccuación.134
Polar. coordenadas. 98
Posición, vector, 3
Positiva,normal, E3
Positivo, dir€c{ión y s€ntido, 89,
106,I l3
Potencial, energla, 94
escalar,73, 81, 83, 91, 92
v€ctor. 8l
hincipal, diagonal, 169
Principal, normal, 38, 45, 47, 48,
50
Producto, de det€rminanlcs, 159
de ¡natricls, 170
de tensores.169
de un vector por un cscalar, 2
escalar,16, 18-21,182
€xterno, 169,l8l
interno, 169, 182
triple escalar,l7
ve.toríal, 16, 17, 22-28
P¡opio, vcctor, 2
Propios,valores,210
Proyección, de superficics, 95, 96
de un vector, 18, 20
221
Proyoctil, 102
Punto, función escala¡y vectorial, 3
Radio, de curvatura,38, 45, 46, 50
de torsión, 38, 45
R€fprocos, conjuntos o sistcmas
devectores,17,30, 31,34, 136,
t1'l
tensores,l7l
Recta,ecuación,9, 12
form¡ paranétrica, 12
forma simétrica, 9
Rectangularcs, sistema de coordenadas, 2
Yecto¡escomponenles, 3
Rectiñc¿nte,plano, 38, ,E
Régimen permanente, flujo calorl
ñco, 127
cañpo sscalaf, 3
campo vectorial, 3
Región, múltiplen€nte conexa,
I t0, I l2-l t4
simplement€conexa, 110, I13,
l 14
Relativa,ac€leración,53
velocidad,52
Relatiüdad, tr.oria, 148, 2O7, 213
Refativo, tenso¡, 175, 2O2, 2O-1
2t2
Resultante de v€ctores, 2, 4, 5, L.
l0
Riemann,espaciode, l7l, 172
llneas geodésicas,172, 196,
197
Rienrann-Christoff€I, te.nsor, 207,
2t2
Rlgido, sólido, movimiento, 59
velocidad, 26, 33
Rotación, de ejes,58, 76, 77
invarianza, 58t 59,16, 77, 8l
pura, 59
sistcm¿de coordenadas,en, 51,
52
Rotacional, 57, 58, 61-72
deñnición en forma integral, I 23,
t52,153
del gradiente,58, 69,211
e¡ coordenad¿scilfndricas, 153,
154
en coordenadascillndricas Parabólicas, 16l
en coordenadascurvillneas ortogonales,137, 150
en coordenadas esféricas, 154
form¿ tensorial, 174, 200
i¡varianza, 8I
significadoffsico, 72, l3l
Schrihdingcr, ecuación, I 6l
S€nos,teorema, triángulos planos,
25
triáogulos esféricos, 29, 30
Seudfndice,167
717
Simét¡ica,forma de la ecuaciónde
una recta,9
Simple,curva cerrada,82, 106
á.ea liñitada por una, I l l
Simplementeconexa, región, ll0,
1 1 3 ,I t4
Singular,matriz, 170
punto,141
Sistemade refe¡eDcia,58, 166
So¡enoidal,campo,6'1,73, l2O, 126
Sólido,ánguio,I24, 125
Stokes, teorema del rotacional,
106,I t0, 126-13l
demostr¿ción,127-129
fo¡ma tensorial,212
rcoremad€ Greef¡como caso
paÍicula¡, I l0
Suma,de matrices,170
de tensores,169
Sumade vectores,2, 4, 5
ley del triángu¡o,4
Iey del paralelogramo,2, 4
propiedadasociatiya,2, 5
propiedad conmutativa, 2, 5
Sumación,conveniode los índices
rep€tidos, 167, 175, 176,201
Surnidero,13,67, 120
campo d€ tipo, 13
Superíndices,166
Superficie,árca de una, 104, 105,
t62
coordenadas cuNilíneas sobre
una supe¡ficie, 48, 49, 56,
elementode línea, 56, 148
integral de, 83, 94-99
Superñcics,37
á n g u l o ,6 3 .
coordenadas,135
de dos caras,83
de una cara, 99
elementode lfnea, 56
normal exterior, 83
orientables,99
Sustracción,de tensores,169
de vgctorgs,2
Tangentea uDa curva en el, espacio, 37, 38, 40. 45, 47, 48, 50
plano, 49, 50, 6l
Tensor,absoluto, 175
asociado,l?1, 190,l9l,2l0
campo, 168
cartcsiano,2l0
INDICE
Tenso¡,
conjugado,l7l
contravariante,157, 167, 168
cova ante,158,167,168
curvatura,207
densidad,175,203
fundamental,l7l
hemisimétrico,168,169
métrico, 170
mixto, 167, 168
orden de un, 167
reciproco, l7l
rclativo, 175,,202,203, 212
simétrico,168
Tensorial,análisis,73, 137, 158,
t66-7.t7
campo, 168
densidad,173,203
Tenso¡es, operaciones fundamentales, 169, 179-184
Térmica,conductividad,I 26
Toroidales,coordenadas,141
Torsión,38, 45,47,213
radio de, 38, 45
T¡abajo, 21, 82, 86-91
como integral de llr¡ea,88-91
T¡ansformación, ¿fín, 59, 210,
de coordenadas,58, 59, 76, 135,
166
ortogonal, S9
Traslación,59
Traspuestade una matriz, 170,210
Triada, 38
Triádicas,73
Triángulo, áLrea,
24, 25
l€y de la suma de vectores,4
Triedro móvil, 38
Triple producto, 17,26-31
Umbral, índice, 167
Unitaria, diada, 73
matriz, ló9
Unitarios, rectangulares,2, 3
Yectores,2, I I
Variable, 35, 36
Vector, área, 25, 83
campo,3, 12, 13, 168
columna, 169
derivada respecto del
propiedaddistributiva"lf.
23
Velocidad,
4
angular, 26, 43, 52
Velocidad,a lo la¡go de rE
en el espacio,35, 39,¡¡
angular, 26, 43, 52
aerolar, 85, 86
de la luz, 8l
de un fluido, 179
de una particula,42, 5¿
lineal, 26
relativa ¿ observadons
móvi l ,52,53
Volumen, del paralelepíptL
76
empo,
51 5?
ecuación,2, 9
fila, 169
ffi,",h
s. ¡i
sAtAS
Z |BMA
Vector,
función de posicién,3
funcíón de punto, 3
módulo, I, l0
nul o,2
operador nabla, 57, 5t
potencial,8l
p¡oducto, 16, 17, 22-26
posición,3
radio, 3
triple producto, 17, 2Gll
Vectores,l, 4
álgebra,1,2
ángulo,19,1?2, 190
colineales,8
componentes,3, 7, 8
componenres
136,156,157,167
componentescovariantrs,
157,I58, I67
coplanarios,3
derivación,35-36
en la base,7, 8, 136
extÍgmo, I
igualdad, I
origen, I
r€cfprocos,17
reprosentaciónanalitica I
representación gráfic4 l, I
resultante,2, 4, 5,6, lO
suma, 2, 4
unirarios,2, 136
Vectorial, producto, 16, 17.
forma d€ dete¡mioanta
elementode, 136,,137,It
en coordenadas
t37, ts9
integ¡alesde, 83, 99-l0f
Vértices,campo de, 72