UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS
DE HIDALGO
FACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS
ADMINISTRATIVAS
PROFESOR:
Dr. Fernando Ávila Carreón
MATERIA:
Investigación de Operaciones
Morelia, Mich., a 17 de diciembre de 2009
INTRODUCCIÓN
La materia de investigación de operaciones es una materia que requiere que los
alumnos hayan comprendido sus cursos de matemáticas anteriores,
particularmente el de matemáticas básicas, por ello este curso trata de
implementar de la mejor manera dichos conocimientos para dar un primer y
pequeño acercamiento al fascinante mundo de la investigación de operaciones.
El propósito de este curso es que el alumno comprenda, el potencial que
representa las matemáticas, como una herramienta en el campo laboral, como a
través de un planteamiento correcto se puede optimizar los recursos materiales
con los que cuenta el administrador; así se pretende que el profesional
administrador en el ejercicio de su profesión haga uso de herramientas
matemáticas para lograr que sea más eficiente su trabajo.
El presente material contiene ejercicios de dificultad básica con el objetivo
principal del entendimiento del alumno de los posibles alcances de dichas
herramientas matemáticas.
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES (I de O)
Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que
está sometido a muchos más cambios, los ciclos de vida de los productos se
hacen más cortos, además de la nueva tecnología y la internacionalización
creciente.
Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los
primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una
empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios
militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.
La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la
conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una
organización.
La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada
solución óptima) para el problema bajo consideración.
La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del
método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o
sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de
la organización.
Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan,
unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no
encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en
multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos
compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran
comunicarse con un lenguaje común.
La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a
través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego
para resolverlo.
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
SISTEMA
REAL
VARIABLES
RELEVANTES
SISTEMA
ASUMIDO
RELACIONES
RELEVANTES
MODELO
CUANTITATIVO
MÉTODO
DE SOLUCIÓN
SOLUCIÓN AL
PROBLEMA DEL
SISTEMA REAL
SOLUCIÓN
AL MODELO
JUICIOS Y
EXPERIENCIAS
DECISIONES
INTERPRETACIÓN
Definición del problema
Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se
puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la
organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para
tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que
afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio .
La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es
construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una
aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que
hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las
alternativas de solución.
Obtención de una solución a partir del modelo.
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables
dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el
propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la
efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las
restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del modelo.
Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos,
que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter
inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que
utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y
corregir todas las fallas que se puedan presentar.
Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las
dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor
conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de
entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de
modelo se comporten de una manera factible.
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro
de los cuales no cambia la solución del problema.
Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la
solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se
conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo
largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.
NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO EN LA I de O
El éxito del empleo de la I de O es el de un enfoque de solución de problemas y no
una colección asociada de métodos cuantitativos.
La I de O es relativamente costosa, lo que significa que no debe emplearse en
todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en que las ganancias sea mayores
que los costos.
Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero
comprender la metodología para resolver los problemas, así como los
fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo
utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.
LIMITACIONES DE LA I de O
Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para
poder manipularlo y tener una solución.
La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en
las organizaciones se tienen objetivos múltiples.
Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema
práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la
aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para
razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión
muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.
Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones
definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven
superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un
modelo.
Aplicaciones de la Investigación de operaciones
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
El problema general es asignar recursos limitados entre actividades
competitivas de la mejor manera posible (óptima).
Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por
recursos escasos necesarios para realizarlas.
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber
ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a
programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la
programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un
resultado óptimo.
MODELO GENERAL DE PL
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de
distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de
actividades bajo consideración.
FORMULACION DEL PROBLEMA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
Lo que se busca en este tipo problemas es obtener una expresión que represente
de forma matemática la máxima ganancia o en su defecto el mínimo costo.
En esta forma la solución del problema entrega a manera de receta de cocina la
cantidad exacta de los diferentes ingredientes de forma tal que se alcance el
objetivo mencionado en el párrafo anterior.
EL PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN
Ejemplo 1.
Considérese el caso de un fabricante que utiliza en su proceso de producción dos
máquinas A y B. La máquina A tiene una capacidad de 24 horas de operación a la
semana y la B tiene una capacidad de operación de 16 horas a la semana con el
fin de utilizar ésta capacidad disponible de la máquina, el fabricante estudia la
posibilidad de producir 2 nuevos productos.
LA PRODUCCIÓN DE CADA UNIDAD DEL PRODUCTO I NECESITA 2
HORAS DE LA MÁQUINA A Y 2 HORAS DE LA B. LA PRODUCCIÓN DE CADA
UNIDAD DEL PRODUCTO 2 REQUIERE 3 HORAS DE LA A Y 1 DE LA B.
El primer paso en esta formulación del problema es determinar las variables que
intervienen en el proceso, por eso es recomendable que en la práctica esto se
lleve a cabo con una persona que conozca a profundidad el proceso de forma que
tal identificación de variables se dé en forma natural.
En nuestro caso con el propósito de determinar en forma correcta las variables
estructurales debemos estar seguros que éstas, no son otra cosa que el producto,
artículo principal resultado de este proceso o en algunos casos la materia prima a
partir de la cual se fabrica este producto.
Así del enunciado anterior podemos determinar con toda seguridad que estas
variables quedaran perfectamente definidas como:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1= UNIDADES DEL PRODUCTO I.
X2= UNIDADES DEL PRODUCTO II.
Una vez determinadas las variables estructurales, el segundo paso es establecer
las restricciones, es decir, todas aquellas limitantes que nos implica el llevar a
cabo dicho proceso.
RESTRICCIONES:
Como restricción inicial es fundamental mantener que para nuestro caso las
variables siempre serán positivas
RESTRICCIÓN
RESTRICTA:
X1,X2 > 0
Luego identificamos una capacidad máxima de uso para las máquinas Ay B
respectivamente:
CAPACIDAD HORAS DE LA MÁQUINA A
CAPACIDAD HORAS DE LA MÁQUINA B
2X1 + 3X2 < 24
2X1 + X2 < 16.
Por último la función objetivo, que no es más que la representación matemática
que representa uno de los objetivos o razón de ser de una empresa es decir el
lucro o beneficio económico, sin embargo puntualizando que ese beneficio no sea
cualquier beneficio, sino el óptimo en el caso de que estemos hablando de
ganancia debe de ser la máxima ganancia, y en el caso de un costo debe de ser el
mínimo de forma tal que nos lleve a obtener un máximo beneficio económico.
FUNCIÓN OBJETIVO:
MAXIMIZAR GANANCIAS = 5X1 + 7X2
La etapa de formulación del problema termina con la determinación de la
expresión para función objetivo, por lo que este primer ejemplo esta finiquitado.
Ejemplo 2
Una pequeña empresa comercializa dos tipos de lámpara; el común y el de lujo. El
material y la mano de obra para fabricar las lámparas están limitados. Todas las
lámparas requieren para su fabricación la misma cantidad de material y hay
suficiente material para producir 100 lámparas a la semana. La diferencia entre los
dos tipos de lámpara se debe a la mano de obra; pues mientras que la lámpara
común requiere ½ hora de trabajo para producirla, la lámpara de lujo requiere 1
hora. La mano de obra con la que s cuenta es de 60 horas a la semana (es decir
un trabajador de tiemplo completo y uno de medio tiempo) Suponiendo que la
ganancia bruta por lámpara de la común y de la de lujo es de $5 y $8
respectivamente, ¿Cuántas unidades de cada tipo de lámpara debe de
producirse? ¿Cuál es la ganancia bruta total por semana?
Solución
Como se hizo para el primer problema, lo primero que se establece son las
variables estructurales las cuales se obtienen interpretando en forma matemática
la primera pregunta que se formula al final del párrafo anterior.
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = NÚMERO DE LÁMPARA COMÚN
X2 = NÚMERO DE LÁMPARAS DE LUJO
RESTRICCIONES:
Ahora para determinar las restricciones, podemos encontrar en la redacción del
problema la palabra limitaciones como palabra clave que nos indica con precisión
la ubicación de las restricciones. Así encontramos restricciones de mano de obra y
en cuanto a material. No olvidando que las variables las consideramos siempre
positivas lo que nos originan las primeras restricciones.
X1, X2 > 0
CANTIDAD DE MATERIAL
MANO DE OBRA
X1 + X2 < 100
½ X1 + 1X2 < 60
Por último la función objetivo, que nos representa el objetivo de esta empresa
fabricante de lámparas, que es la optimizar sus ganancias derivadas de la
fabricación de dos tipos de lámparas, la solución optima es aquella en la que la
ganancia es máxima.
FUNCIÓN OBJETIVO:
MAX G = 5X1 + 5X2
Ejemplo 3
Un fabricante de televisores compra todos los componentes necesarios para
ensamblar aparatos de televisión tanto en blanco y negro como en color. El
fabricante tiene una capacidad para ensamblar 100 aparatos de color o 500
aparatos en blanco y negro. Los mercados en ambos tipos de aparatos están
limitados. El fabricante puede vender nomás de 75 aparatos de color y no más de
400 aparatos de blanco y negro a la semana. Determine el programa de
producción semanal óptimo si la ganancia bruta por aparato es de $100 para los
aparatos de color y y $50 para los de blanco y negro ¿Cuál es la ganancia bruta
total máxima?
En este problema es claro de la importancia básica del planteamiento anterior es
conocer el número indicado de televisores blanco y negro así como los de color
que proporcionen la máxima ganancia. Por lo que las variables estructurales son:
VARIABLES ESTRUCTURALES.
X1= NÚMERO DE TELEVISIÓN BLANCO Y NEGRO.
X2= NÚMERO DE TELEVISIÓN A COLOR.
En la redacción se precisa de nueva cuenta la palabra clave de limitaciones que
nos indica una restricción. Lo que nos indica las restricciones en cuanto a el
número máximo de aparatos que se pueden ensamblar, el mercado que tiene
restricciones y no olvidar las variables siempre positivas.
RESTRICCIONES:
X1, X2 > 0
1.- CAPACIDAD PARA ENSAMBLAR.
X1 + X2 < 1
500 100
2.- CAPACIDAD DE MERCADO BLANCO Y NEGRO.
X1 < 400
3.- CAPACIDAD DE MERCADO COLOR
X2 < 75
En este caso también el objetivo del fabricante es el de maximizar las ganancias
que se deriven del ensamble de los aparatos de televisión de blanco y negro y de
color.
FUNCIÓN OBJETIVO:
MAX G = 50X1 + 100X2
Ejemplo 4:
Una desarrolladora inmobiliaria construye casas de 4 tamaños A1, A2, B1, B2,
con 80, 90, 120, 140
de construcción respectivamente. Todas
construidas en terreno de 250
la desarrolladora cuenta con 50 000
inicialmente para su uso exclusivo de construcción de vivienda.
El precio de las casas es proporcional a los
construidos; así los precios son de
$750 000, $900 000, $1100 000, $1400 000, para las casas A1, A2, B1, B2,
respectivamente.
En promedio las casas se llevan 180 horas por
de construcción, se cuenta con
1500 trabajadores cada uno con 8 horas diarias. Seis días a la semana, se
pretende construir esta primera etapa a lo más en 1 año (52 semanas)
Se espera una ganancia bruta de al menos $54 000 000 por todo el proyecto. Si
consideramos que los costos aproximados por casa son de $550 000, $650 000,
$800 000, $950 000, para las casas A1, A2, B1, B2, respectivamente.
El municipio a consignado a la desarrolladora a construir al menos el 65% de las
casas más económicas, es decir A1, A2.
Determine el modelo de programación lineal que maximice la ganancia de estas
casas para dicha desarrolladora.
CASAS
A1
A2
B1
B2
80
90
120
140
PRECIO
750000
900000
1100000
1400000
COSTO
550000
650000
800000
950000
UTILIDAD
200000
250000
300000
450000
MODELO
Variables
X1 = Cantidad de casas a construir del modelo A1
X2 = Cantidad de casas a construir del modelo A2
X3 = Cantidad de casas a construir del modelo B1
X4 = Cantidad de casas a construir del modelo B2
Restricciones
a) Restricción natural
X1, X2 , X3 , X4 ≥ 0
b)
250 X1+ 250X2 + 250X3 + 250X4 ≤ 50000
c) Trabajo de horas por metros cuadrados
14400 X1+ 16200X2 + 21600X3 + 25200X4 ≤ 3744000
180x80=14400, 180x90=16200, 180x120=21600, 180x140=25200
1500x8x6x52= 3744000
d) Construcción de al menos 65% de las casas más económicas.
X1 + X2≥130
Dentro del modelo puede haber varias soluciones, la otra puede ser la
siguiente:
X1 + X2≥ .65 (X1+ X2 + X3+ X4)
e) Restricción ganancia
200000X1 + 250000X2 + 300000X3 + 450000X4 ≥ 54000000
Función objetivo
MaxG = 200000X1 + 250000X2 + 300000X3 + 450000X4
Ejemplo 5:
Un taller de muebles elabora 3 tipos de productos; bases para cama, closet tipo
sencillo y cocinas integrales tamaño económico. El fabricante considera que tiene
material suficiente para la elaboración semanal de 1000 muebles de cada uno.
El taller cuenta con 3 maquinas A, B, C, cuyas capacidades de trabajo son de 96,
90, y 84 horas a la semana.
La madera necesaria para la elaboración de cualquier unidad de los 3 productos
requiere pasar por las 3 maquinas con un tiempo de 15 minutos por maquina esto
con la intervención de un trabajador.
Posteriormente un artesano se encarga de unir las piezas en un tiempo de 3.5
horas por closet, el mismo tiempo en una cocina y ¼ de hora por base de cama.
Luego son barnizados estos muebles por otro trabajador en un tiempo de 15/4 de
hora cada cocina, lo mismo para el closet y 15 minutos por base de cama.
Los closet y las cocinas deben de ser instalados en los hogares de los de los
compradores por parte de un trabajador en un tiempo de 2 horas.
El taller tiene un mercado en el que no venden más de 200 cocinas y no más de
250 closet y venden al menos 400 bases para cama.
Cuenta con la mano de obra necesaria para la producción. Considera que el
material necesario para la elaboración de los muebles representa un costo de
$200 $950 y $2100 para las bases de cama, closet y cocinas respectivamente. El
paso por cada una de las maquinas contando la mano de obra del trabajador
representa $15 la hora. La hora del barnizador así como el material que utiliza
representa $25 la hora y $12 de la hora del instalador de cocinas y closet.
Los precios de venta de los productos son de: $700, $4500 y $11500 para las
bases para cama. Los closet y las cocinas respectivamente.
Elabora un modelo de programación lineal que cumpla con las restricciones y
maximice las ganancias del taller para una semana de trabajo.
SOLUCION
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = Unidades de bases para cama
X2 =Unidades de closet tipo sencillo a producir
X3 =Unidades de cocinas integrales tamaño económico a producir
RESTRICCIONES:
Material disponible para camas X1 = <1000
Material disponible para closet X2 = <1000
Material disponible para cocinas integrales X3 = <1000
Capacidad de producción en horas maquina A .25(X1+X2+X3) < 96
Capacidad de producción en horas de la maquina B .25(X1+X2+X3) < 90
Capacidad de producción en horas de la maquina C .25(X1+X2+X3) < 84
Capacidad de venta s de bases para cama X1 >_ 400
Capacidad de venta de closet
X2 <_ 250
Capacidad de ventas para cocina
X3<_ 200
Restrictas X1, X2, X3, >_0
FUNCION OBJETIVO:
Máx. g. = 490 X1 + 3425.5 X2 + 9278.5 X3
COSTO TOTAL
BASE PARA CAMA:
Material $200
Maquinas $15 hora (.25)
Barniz
$25 hora (.25)
Instalación ----------_________
200+3.75 + 6.25 =210
Precio de venta:
700+210 = 490
CLOSET
Material.
Maquinaria.
Barniz.
Instalación
$950
$15(.25) = 3.75
$25 (3.75) = 93.75
$12 (2) = 24
______________
1071.5
COCINA
Materiales
Maquinaria
Barniz
instalación
$2100
$3.75
$ 25(3.75)
$ 24
__________
2221.50
EL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN
Ejemplo 6:
Un laboratorio farmacéutico desea producir una cápsula de vitaminas naturales
que contenga al menos 12 unidades de vitamina A y no menos de 16 unidades de
vitamina B. Dos ingredientes están disponibles en existencia en cantidades
suficientes para producir la cápsula de vitaminas especificada. Cada ingrediente
contiene tanto vitamina A como B y la cápsula se puede producir utilizando
cualquiera de los dos ingredientes o una combinación de los dos. Cada gramo del
primer ingrediente contiene 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B.
Por otra parte un gramo del otro ingrediente contiene ½ unidad de vitamina A y
una unidad de vitamina B. Si el primer ingrediente cuesta 6 centavos el gramo y el
segundo 4 centavos el gramo, ¿Cuál es el costo mínimo de la producción de la
cápsula de vitaminas?
L a tarea inicial es fácil de cumplir una vez que no se convence que el primer
paso es determinar que las variables estructurales, son las cantidades de los
ingredientes que pueden conformar la cápsula de vitaminas.
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = CANTIDAD DE INGREDIENTES 1 (GRAMOS).
X2 = GRAMOS DE INGREDIENTES 2
Las restricciones que se deben de olvidar
RESTRICCIONES:
X1, X2 > 0
Las limitaciones que establece el problema son en cuanto a la cantidad mínima de
contenido precisamente de vitaminas que debe de contener cada una de las
cápsulas a producir.
CANTIDAD DE UNIDADES DE VITAMINA A
CANTIDAD DE UNIDADES DE VITAMINA B
3X1 + ½ X2 > 12
2X1 + X2 > 16
La función objetivo es en este caso minimizar los costos, para utilizamos los
costos unitarios por gramo de cada uno de los diferentes ingredientes.
FUNCIÓN OBJETIVO:
MIN C = 6X1 + 4X2
Ejemplo 7:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = CALCULADORAS VENDIDAS A DISTRIBUIDORES
X2 = CALCULADORAS VENDIDAS A TIENDAS DE DESCUENTO
RESTRICCIONES:
HORAS DE RELACIONES COMERCIALES
PRESUPUESTO PARA PUBLICIDAD
½ X1 + X2 < 5000
5 X1 + 5X2 <40000
X1, X2 < 0
FUNCION OBJETIVO=
MAX G = 30X1 + 40X2
Ejemplo 8:
VARIABLES ESTRUCTURALES.
X1 = MILLONES DE PESOS EN EFECTIVO.
X2 = MILLONES DE PESOS EN PRÉSTAMOS.
X3 = MILLONES DE PESOS EN HIPOTECAS.
X4 = MILLONES DE PESOS EN VALORES A CORTO PLAZO.
X5 = MILLONES DE PESOS EN VALORES A LARGO PLAZO.
RESTRICCIONES:
CAPITAL EN EFECTIVO:
EFECTIVO Y V.G C.P.:
PRÉSTAMOS E HIPOTECAS:
X1 > 100
X1 + X4 > 300
X3 + X2 < 600
X3 > 2X2
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1000
X1, X2, X3, X4. X5 > 0
FUNCIÓN OBJETIVO:
MAX G. X1 1.08X2 + 1.07X3 + 1.04X4 + 1.05X5
0.08X2 + .07X3 +.04X4 + .05X5
Ejemplo 9:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1= UNIDADES DE FALDA
X2 = UNIDADES DE LOMO
X3 = UNIDADES DE FILETE.
RESTRICCIONES:
1.- CONTENIDOS DE PROTEÍNA
2.- UNIDADES DE GRASA
3.- UNIDADES DE AGUA
4.- PRODUCCIÓN
0.13X1 + 0.10X2 + 0.18X3 > 140
.45X1+ 52X2 + .20X3 < 450
0.42X1 + 0.38X2 + 0.62X3 < 500
X1 + X2 + X3 = 1000
X1,X2,X3 > 0
FUNCIÓN OBJETIVO:
MIN C. 25X1 + 20X2 + 40X3.
Ejemplo 10.VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = TELA 1, PROCESO EN MILES DE METROS
X2 = TELA 1, PROCESO 2 EN MILES DE METROS
X3 = TELA 2, PROCESO 1 EN MILES DE METROS.
X4 = TELA 2, PROCESO 2 EN MILES DE METROS
RESTRICCIONES:
CAPACIDAD TELAR NÚMERO 1
20X1+ 17X2 < 350
CAPACIDAD HORAS TELAR NÚMERO 2
24X2 + 23X4 < 120
CAPACIDAD HORAS HILADORAS
550X1 + 850X2 < 1200
CAPACIDAD HILADORAS CONTINUAS DE ANILLO 500X3 + 500X4 < 8000
RESTRICCIÓN DE PRODUCCIÓN TELA 1
X1+ X2 > 10
X3+ X4 > 12
X1, X2, X3, X4 > 0
FUNCIÓN OBJETIVO:
MAX G. 800X1 + 800X2 + 700X3 + 700X4
800 (X1 + X2) + 700 (X3 + X4)
Ejemplo 11:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = CANTIDAD DE CAFÉ BRASILEÑO USADO EN LA MARCA 1 EN KG
X2 = CANTIDAD DE CAFÉ COLOMBIANO USADO EN LA MARCA 2 EN KG
X3 = CANTIDAD DE CAFÉ BRASILEÑO USADO EN LA MARCA 1 EN KG
X4 = CANTIDAD DE CAFÉ COLOMBIANO USADO EN LA MARCA 2KG
X5 = CANTIDAD DE CAFÉ AFRICANO USADO EN LA MARCA 2 EN KG.
RESTRICCIONES:
ACIDEZ MARCA 1. .40X1 +.26X2 + .48X3 < 6000
CAFEÍNA MARCA 1 .10X1 + .32X2 + .14X3 < 4500
AROMA MARCA 1 .74 X1 +.90X2 + .16 > 11400
CONSISTENCIA M
.82X1 + .86X2 + 0.56X3 > 10500
ACIDEZ M. 1
.40X4 + .26X2 +.48X2 < 19200
CAFEÍNA M 2
.10X4 +.32X5 + .14X6 < 7680
AROMA M 2
.74X1 + .90X5 + .16X6 > 12800
CONSISTENCIA M2 .82X4 0.86X5 0.56X6 > 24320
REST. DE PRODUCCIÓN MARCA 1 X1 + X2 + X3 = 15000
MARCA 2 X4 + X5 + X6 = 32000
RESTRICTA:
X1,X2,X3,X4,X5,X6 > 0
FUNCIÓN OBJETIVO:
MIN C. = .88X1+ 1.10X2 + .55X3 + .88X4 + 1.10X5 + .55X6
Ejemplo 12:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. A EN LA PLANTA 1
X2 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. A EN LA PLANTA 2
X3 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. B EN LA PLANTA 1
X4 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. B EN LA PLANTA 2
DEMANDA DE PRODUCTO A
DEMANDA DE PRODUCTO B
X1 + X2 = 2000
X3 + X4 = 2700
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO A PLANTA 1
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO B PLANTA 2
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO B PLANTA 1
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO B PLANTA 2
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PLANTA 1
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PLANTA 2
X1 < 3000
X2 < 2000
X3 < 2000
X4 < 2200
X1 + X3 + 1500 < 5000
X2 + X4 + 2100 < 4500
RESTRICTAS:
X1 , X2 , X3 , X4 > 0
FUNCION OBJETIVO:
MIN C_: (1X1 + 10 X2 + 9 X3 + 12 X4 + (13.50 X 2100) + (20X1500)
Ejemplo 13:
VARIABLES ESTRCTURALES:
X1
X2
X3
X4
NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA A
NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA B
NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA C
NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA D
RESTRICCIONES:
PRESUPUESTO:
20X1 + 18 X2 + 11 X3 + 10 X4 + 17 X5 < 750
PUBLICACIONES EN LA REVISTA A
PUBLICACIONES EN LA REVISTA B
PUBLICACIONES EN LA REVISTA C
PUBLICACIONES EN LA REVISTA D
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X1 >
X2 >
X3 >
X4 >
X5 >
12
12
3
1
3
RESTRICTAS:
X1, X2 , X3, X4, X5 > 0
FUNCION OBJETIVO:
1960X1 + 1116 X2 + 2.552X3 + 1790 X4 + 2.601 X5
Ejemplo 14:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1 CANTIDAD DE TIEMPO OCUPADO EN LA VENTA DE A EN HORAS
X2 CANTIDAD DE TIEMPO OCUPADO EN LA VENTA DE B EN HORAS
X3 CANTIDAD DE TIEMPO OCUPADO EN LA VENTA DE C EN HORAS
RESTRICCIONES:
TIEMPO DISPONIBLE DE AGENTES DE VENTAS
MINIMO DE VENTAS PRODUCTO A EN CAJAS
MINIMO DE VENTAS PRODUCTO B EN CAJAS
MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO C EN CAJAS
MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO A EN CAJAS
MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO B EN CAJAS
MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO C EN CAJAS
RESTRICTA:
X1,X2 , X3 > 0
FUNCION OBJETIVO:
MAX G.: 5 X1 + 4X2 +4.5 X3
X1 + X2 + X3 < 3120
2X1 < 500
4X2 > 1600
2.5X3 > 1200
2X4 < 4000
4X5 < 8500
2.5X6 < 6000
Ejemplo 15:
VARIABLES ESTRUCTURALES:
X1
X2
X3
X4
NUMERO DE ACCIONES A
NUMERO DE ACCIONES B
NUMERO DE ACCIONES C
NUMERO DE ACCIONES D
RESTRICCIONES:
MONTO DE LA INVERSIÓN 84X1 + 100 X2 + 220X3 + 128 X4 < 250000
RENDI,MIENTO TOTAL
5.88X1 + 5 X2 + 22X3 + 10.24 X4 > 17500
LIMITE DE INVERSIÓN:
ACCION A
ACCION B
ACCION C
ACCION D
84 X1< 100,000
100X2< 100,000
220X3< 100,000
128X1< 100,000
RAZON PRECIO GANANCIA: 84X1 + 100 X2 + 220X3 + 128 X4 < 18
5.88X1 + 5 X2 + 22X3 + 10.24 X4
RESTRICTA:
X1, X2 , X3, X4, > 0
FUNCION OBJETIVO:
MAX. G:
5.88X1 + 5 X2 + 22X3 + 10.24 X4
METODO
GRAFICO
ALGEBRAICO
½ X1 +X2 < 5000
5X1 + 5X2 <40000
________________
MAX G = 30X1 + 40X2
½ X1 + X2 = 5000
X1 = 0
X2 = 5000 (0, 5000)
X2 = 0
½ X1 = 5000
X1 = 1000 (1000, 0)
5X1 + 5X2 = 40000
X1 = 0
5X2 = 4000
X2=40000/5
X2 =8000 (0, 8000)
X2 =0
5X1 = 40000
X1 =8000 (8000, 0)
2X1 + 3X2 < 12
2/3 X1 + 2X2 < 6
________________
MAX G = 4X1 + 8X2
2X1 + 3X2 =12
X1 = 0
3X2 = 12
X2 = 4 ( 0,4)
X2 = 0
2X1 = 12
X1 = 6 ( 6,0 )
2(2X1 +3X2 = 12)
3 (2/3 X1 +2X2 = 6)
4X1 + 6X2 = 24
2X1 +6X2 = 13
__________________
2X1
=6
X1 = 3
2/3 X1 + 2X2 = 6
X1 = 0
2X2 = 6
X2 = 3
(0, 3)
X2 = 0
2/3 X1 =6
X1 = 9 ( 9,0)
6 + 3X2 = 12
2X1 + 3X2 = 6
X2 = 2
SOLUCIONES FACTIBLES
A)
B)
C)
D)
(0,0) 0+0 =0
(0,3) 0+8(3) = 24
(3,2) 4(3) + 8(2) =28 ------------ SOLUCION OPTIMA
(6,0)99 4(6) + 0 = 24
2X1 +3X2 < 12
2/3 X1 + 2X2 < 6
_______________
MAX G = 4X1 + 5X2
2X1 + 3X2 < 12
2/3X1 + 2X2 =6
X1= 0
X1 = 0
3X2 =12
X2 =4 (0,4)
2X2 = 6
X2 = 3 (0,3)
X2 = 0
X2 = 0
2X1 =12
X1 = 6 (6,0)
2/3X1 = 6
X1 = 6/1 / 2/3 = 18/2
X1 = 9
(9,0)
2( 2X1 + 3X2 = 12)
3 ( 2/3 X1 +2X2 =6)
________________
4X1 + 6X2 = 24
2X1 + 6X2 = 18
______________
2X1
=6
X1
=3
2(3) + 3X2 = 12
6+3X2 =12
3X2 = 6
X2 = 2
SOLUCIONES FACTIBLES
MAX G = 4X1 + 5X2
A)
B)
C)
D)
(0,0)
(0,3)
(3,2)
(6,0)
4 (0) +5(0) =0
4(0) + 5(3) =15
4(3) + 2(5) = 22
4(4) + 2 (0) = 24 ------------------- SOLUCION OPTIMA
2 x1 3x2 12
2 x1 2 x2 10
MIN C = 3 x 2 + 4 x2
1.- 2x1 + 3 x 2 = 12
x1=0
3x2 = 12
x2 = 4 (0,4)
x2 = 0
2x1 = 12
x1 = 6 ( 6,0)
2 x 1 +3x2>12
2 x1 +2x2>10
x2 = 2
2x1 + 3(2) =12
2 x 1 =12-6
x1 =6/2
x1=3
2.- 2x1 + 2x2 = 10
x1 = 0
2x2 =10
x2 =5
(0,5)
x2 = 0
2x1 = 10
x1 = 5
( 5,0 )
SOLUCIONES FACTIBLES
MIN C = 3x1 + 4x2
A) (0,5) = 3 (0) +4(5) =20
B) (3,2) = 3(3) + 4(2) =17------------------- SOLUCION OPTIMA
C) (6,0) = 3(6) + 4(0) = 18
4. .
2 x 1 +3x2>12
2 x1 +2x2>10
______________________
MIN C = 2x1 + 3x2
1 (0 , 4 ), ( 6, 0 )
2 ( 0 ,5 ), ( 5, 0 )
2 x 1 +3x2=12
2 x1 +2x2=10
x2 = 2
2x1 + 6 =12
2 x 1 =6
x1 =6/2
x1=3
SOLUCIONES FACTIBLES
MIN C = 2x1 + 3x2
A) (0,5) = 2 (0) +3(5) = 15
B) (3,2) = 2(3) + 3(2) =12------------------- SOLUCION OPTIMA
C) (6,0) = 2(6) + 3(0) = 12------------------- SOLUCION OPTIMA
3 x 1 +4x2<12
5 x1 +3x2<15
x1<1.5
_________________________
MAX G = x 1 + 4 x2
1.- 3x1 + 4 x 2 = 12
x1=0
4x2 = 12
x2 = 12/4
x2 = 3 (0,3)
x2 = 0
3x1 = 12
x1 = 4 ( 4,0)
2.- 5x1 + 3x2 = 15
x1 = 0
3x2 =15
x2 =5
(0,5)
x2 = 0
5x1 = 15
x1 = 3 ( 3,0 )
A(0,0)
B ( 0 , 1.5 )
C (2 , 1.5 )
D (24/11 , 15/11 )
EC ( 3 , 0 )
C . 3x1 + 4 x 2 = 12
x 2 =1.5
3x1 + 4 (1.5) = 12
3x1 + 6 =12
3x1 = 12-6 =6
x2 = 3 (0,3)
x1 = 6/3
x1 = 2
B.- 5(3x1 + 4x2 = 12)
3(5x1 + 3x2 = 15)
15x1 + 20x2 = 60
15x1 + 9x2 = 45
11 x2 =15
x2 =15/4
x2 = .363
3x1 + 4 ( 15/11) = 12
3x1 = 12 – 12 – 60/11
3x1 = 132 – 60 = 72/11
11
x1 = 72/11
3/1
x 1 = 72 /33 = 24/11
x1
=
2.1818
( 2.19, 1.36 )
X1 + 4 x 2
SOL. FAC.
A ( 0 , 0 ) = 0 + 0 =0
B ( 0 , 1.5 ) = 0 + 4 (1.5 ) =6
C (2 , 1.5 ) = 2 + 4 (1.5 ) = 8----------------------------- SOLUCION OPTIMA
D (24/11 , 15/11 ) = 24/11 + 4 (15/11) = 24/11 = 60/11 =84/11
EC ( 3 , 0 ) = 3 + 0 =3
3 x 1 +2x2>12
1/2 x1 +x2>4
_____________________________
MIN G = 5 x 1 + 4 x2
1.- 3x1 + 2 x 2 = 12
x1=0
2x2 = 12
x2 = 12/2
x2 = 6 (0,6)
x 2= 0
3 x1 = 12
x 1 = 4 (4 , 0)
3 x 1 +2x2 =12
1/2 x1 +x2 = 4
3 x 1 +2x2 =12
x1 +2x2 = 8
2x1 = 4
x1 = 2
2.- 1/2x1 + x2 > 4
x1 = 0
x2 =4
(0,4)
x2 =0
1/2x1 = 4
x1 = 4/1 = 8
1/2
x 1 =8 (8 , 0)
3 (2) +2x2 =12
6 + 2x2 =12
2x2=6
x2 = 6/2
x2 =3
SOLUCIONES FACTIBLES
MIN C = 2x1 + 3x2
A) (0,6) = 5(0) +4(6) = 24
B) (2,3) = 5(2) + 4(3) =22------------------- SOLUCION OPTIMA
C) (8,0) = 5(8) + 4(0) = 40
2 x1 2 x2 10
2 x1 3x2 12
6 x1 3x2 18
MAX C = 4x 1 + 5 x2
1.- 2x1 + 2 x 2 = 10
x1=0
2x2 = 12
x2 = 5 (0,5)
x2 = 3 (0,3)
x2 = 0
2x1 = 10
x1 = 5 ( 5,0)
2.- 2x1 + 3x2 = 12
x1 = 0
3x2 =12
x2 =4
(0,4)
x2 = 0
2x1 = 12
x1 = 6 ( 6,0 )
3.- 6x1 + 3x2 =18
x1 =0
3x2 =18
x2=6 (0,6 )
x2 = 0
6x1 = 18
x1 = 3 (3, 0)
A)
B)
2 x 1 +2x2 =10
6 x1 +3x2 = 18
2 x 1 +2x2 =10
2 x1 +3x2 = 12
6 x 1 +6x2 =30
6 x1 +3x2 =18
3x2 = 12
x2 = 4
2x 1 +2x2 =10
2 x1 +2(4) = 10
2x1= 2
x1 = 1 (1,4)
x2 = 2
2 x1 + 4 = 10
2x1 = 6
x1 =3
(3,2)
SOLUCIONES FACTIBLES
MIN G = 4x1 + 5x2
A) (1,4) = 4(1) +5(4) = 24
B) (3,2) = 4(3) + 5(2) =22------------------- SOLUCION OPTIMA
5 x1 8 x2
40
7 x1 7 x2
49
8 x1 6 x2
48
MAX G = 2x 1 + 5 x2
1.- 5x1 + 8 x 2 = 40
x1=0
8x2 = 40
x2 = 40/8
x2 =5 (0,5)
x2 = 0
5x1 = 40
x1 = 40/5
x1 = 8 (8,0)
B)
2.- 7x1 + 7x2 = 49
x1 = 0
7x2 =49
x2 =7
(0,7)
x2 = 0
7x1 = 49
x1 = 7 ( 7,0 )
C)
7(8 x 1 +6x2 =48)
8(7 x1 +7x2 = 49)
7(5 x 1 +8x2 =40)
5(7 x1 +7x2 = 49)
3.- 8x1 + 6x2 =48
x1 =0
6x2 =48/6
x2=8
x2 = 0 (0,8)
8x1 = 48
x1 = 48/8
x1= 6 (6,0)
56 x 1 +42x2 =336
56 x1 +56x2 =392
-14x2 = 56
x2 = 4
35 x 1 +56x2 =280
35 x 1 +35x2 =245
21 x2 = 35
x2 = 35/21 =5/3 =1.67
5x1 +8(5/3) =40
5x1+40/3 =40
5x1=40/1-40/3=120-40/3 =80/3
x1 =80/3 5/1=80/15=16/3=5.33
8x 1 +6x2 =48
8 x1 +24 = 48
8x1= 48-24
x1 = 24/8
x1 =3
(3,4)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Líneas 1
Líneas 2
Líneas 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SOLUCIONES FACTIBLES
2x1 + 5x2
A) (0,8) = 2 (0) + 5(8) =40
B) (3,4) = 2 (3) + 5(4) =26
C) (16/3,5/3) = 2(16/3) + 5(5/3) = 32/3 + 25/3 =57/3 =19
D) (8,0) =2 (8) + 5 (0) =16------------------- SOLUCION OPTIMA
4 x 1 +8x2>32
2 x1 +2x2 >12
x2 <5
MAX C = 5x 1 + 2 x2
1.- 4x1 + 8 x 2 = 32
2.- 2x1 + 2x2 = 49
x1=0
8x2 = 32
x2 = 4 (0,4)
x2 =0
3.- x2 =5
x1 = 0
2x2 =12
x2 =12/2 =6
x2 = 0
2x1 = 12
x1 = 12/2
4x1 = 32
(0,6)
7
6
5
Líneas 1
4
Líneas 2
3
Líneas 3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1 = 8 (8,0)
A)
x1 =6 (6,0)
B)
2 x 1 +2x2 =12
2x1 +2 (5)= 12
2x1 =12-10
2 x1=2
4 x 1 +8x2 =32
2 x1 +2x2 = 12
________________
4 x 1 +8x2 =32
4 x 1 +4x2 =24
_________________
2 x 1 +2(2) =12
2 x 1 +4 =12
2 x 1 =12-4
x 1 =8/2
x1=4
x1 = 1
(1,5)
4 x2 = 8
x2 = 8/4
x2=2
(4,2)
SOLUCIONES FACTIBLES
5x1 + 2x2
A) (1,5) = 5 (1) + 2(5) =15------------------- SOLUCION OPTIMA
B) (4,2) = 5 (4) + 2(2) =24
C) (8,8) = 5(8) + 2(0) =40
1/5 x1/2x2<3
2 1/2 x1 +x2 <10
x2 <5
MAX G = 3 1/2x 1 + 2 1/2 x2
1.- 1/2x1 + 1/2 x 2 = 3
x1=0
1/2x2 = 3
x2 = 3/1 / 1/2
x2 =6 (0,6)
x2 = 0
1/2x1 = 3
x1 = 3/1 / 1/2
x1 = 6(6,0)
2.- 2 1/2x1 +x2 = 10 3.-x2 =5
x1 = 0
x2 =10 (0,10)
x2 =0
2 1/2 x1 =10
x1 = 10/1 / 5/2 =20/15 =4 (4,0)
12
10
8
Líneas 1
6
Líneas 2
4
Líneas 3
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
½ X1 + ½ X2 = 3
½ X1 + ½ (5) = 3
½ X1 + 5/2 = 3
½ = 3/1 – 5/2 = 6-2 / 2 = ½
X1 = ½ / ½ = 2/2 =1
B (1,5)
C)
½ X1 + ½ X2 =3
2 ½ X1 + X2 = 10
_________________
X1 + X2 = 6
2 ½ + X2 = 10
_________________
-1 ½ X1 = - 4
X1 = -4 / 1 / -3 /2 = 8/3
X1 = 8/3
SOLUCIONES FACTIBLES
½ (8,3) + ½ X2 = 3
8/6 + ½ X2 = 3
½ X2 = 3 –8/6 =18-8/6 = 10/6
X2 = 10/6 / ½ = 20/6
X2 = 20/6 = 10/3
(8/3,10/3)
A) (5,0) = 3 ½ (0) + 2 ½(5) = 5/2 (5) = 25/2 = 12.5
B) (1,5) = 3 ½ (1) + 2 ½ (5) = 7/2 + 25/2 = 32/2 = 16
C) (8/3,10/3) = 3 ½ (8/3) +2 ½ (10/3) = 7/2 (8/3) +5/2 (10/3) 56/6 + 50/6 = 53/3
= 17.67
D) (4,0) = 3 ½ (4) + 2 ½ (0) = 7/2 (4) = 28/2 = 14
E) (0,0) = 3 ½ (0) +2 ½ (0) = 0
4X1 + 3X2 < 24
6X1 + 9X2 < 54
X1
< 24
_______________
MAX. G 3X1 + 4X2
4X1 + 3X2 = 24
X1 = 0
3X2 = 24
X2 =24/3
X2 = 8 (0,8)
6X1+9X2 = 54
X1 = 0
9X2 =54
X2 = 54/9
X2 = (0,6)
X1= 4
4X1 = 24
X1 = 24/4
X1 = 6 (6,0)
X2 = 0
6X1 = 54
X1 = 54/6 = 9 (9,0)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Líneas 1
Líneas 2
Líneas 3
1
4X1 + 3X2 = 24
6X1 + 9X2 = 54
______________
12X1 + 9X2 = 72
6X1 + 9X2 = 54
______________
6X1
= 18
X1
= 18/6
X1
=3
2
3
4
5
6
7
8
4(3) + 3X2 =24
12 + 3X2 ==24
3X2 = 24 - 12
3X2 =12
X2 = 12/8 = 4 (3,4)
9
10
SOLUCIONES FACTIBLES
3X1 + 4X2
A)
B)
C)
D)
E)
(0,6) = 3 (0) + 4 (6) = 24
(3,4) = 3 (3) + 4 (4) = 25----------------- SOLUCION OPTIMA
(4,0) = 3 (4) + 4 (0) = 12
(0,0) = 3 (0) + 4 (0) = 0
(4,8/3) = 3(4) + 4 (8/3) =12 + 32/3 = 68/3 = 22.67
4X1 + 3X2 = 24
X1 = 4
4 (4) + 3X2 = 24
3X2 = 24 – 16
X2 = 8/3 (4,8/3)
½ X1 + X2 < 5000
5X1 + 5X2 < 40000
___________________
MAX G = 30X1 + 40X2
1.- ½ X1 +X2 = 5000
2.- 5X1 +5X2 =40000
X1 = 0
X1 = 0
X2 =5000 (0,5000)
X2 = 40000/5
X2=0
X2 =8000
1/2X1= 5000
X1 = 10000
X2 = 0
X1 = 40000/5 = 8000
(10000,0)
(8000,0)
Líneas 1
10
00
0
80
00
60
00
Líneas 2
40
00
20
00
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
(0,8000)
SOLUCIONES FACTIBLES
30X1 + 40X2
A) (0,0) = 30(0) + 40(0) =0
B) (0,5000) = 30(0) + 40(5000) =200000
C) (6000,2000) = 30(6000) + 40(2000) = 180000 + 80000 = 260000-----S.
OPTIMA
D) (8000,0) = 30(8000) + 40(0) =240000
½ X1+ X2 =5000
5X1 + 5X2 =40000
_________________
2 ½ X1 + 5X2 =25000
5X1 + 5X2 = 40000
_________________
- 2 ½ X1 = - 15000
X1 = - 15000 / 5/2
X1 = 30000/5 = 6000
½(6000) + X2 = 5000
3000 + X2 = 5000
X2 = 5000 – 3000
X2 = 2000
EXAMEN 2
7Xi + 5X2 >_ 35 lllll
5Xi + 6x2 <_ 30 /////
4Xi +7X2 >_ 28 ==
______________
Min. C.= 8Xi +4X2
1) 7Xi +5X2 = 35
Si Xi = 0
5X2 = 35
X2 = 35/5
X2 = 7 (O, 7)
2) 5Xi + 6X2 = 30
Si Xi = 0
6X2 = 30
X2 = 30/6
X2 = 5
(O, 5)
2) 4Xi + 7X2 = 28
Si Xi = 0
7X2 =28
X2 = 28/7
X2 = 4 (7, O)
A) 5( 7Xi + 5X2 = 35)
7(5Xi + 6X2 = 30)
_______________
35Xi + 25 x2 = 175
35Xi + 42X2 = 210
________________
-17 X2 = -35
X2 = -35/-17 = 2.6
5Xi + 6 (35/17) = 30
5Xi + 217/17 = 30
5Xi = 30 – 210/17
5Xi = 300/17
Xi = 300/17/5/1 = 300/85 = 60/17 = 3.53
A (60/17, 35/17)
c) 4(5Xi + 6X2 = 30)
5(4Xi + 7X2 = 28)
_______________
20Xi + 24X2 = 120
20Xi + 35X2 = 140
_______________
-11X2 = -120
X2 = 20/11 = 1.82
B) 4(7Xi + 5 X2 = 35)
7(4Xi + 7X2 =28)
_________________
28Xi + 20X2 = 140
28Xi + 49 X2 = 196
_________________
-29X2 = -56
X2 = 56/29 = 1.93
4Xi + 7 (56/29) = 28
4Xi 392/29 = 28
4Xi = 28 – 392/29
4Xi = 420/29
Xi = 420/29/4/1=420/116
Xi =105/29 = 6.62
B) (105/29, 56/29)
c) 4Xi + 7 X2 = 28
4Xi + 7 (20/11) = 28
4Xi + 140/11 = 28
4Xi = 28 – 140/11
4Xi = 168/11
Xi = 168/11/4/1= 42/11=3.82
c) (42/11, 20/11)
EJERC. 1
SOLUCIONES FACTIBLES:
A (60/17, 35/17) = 8 (60/17) + 4 (35/17) = 620/17 = 36.47 solución optima
B (105/29), 56/29) = 8(105/29) + 4 (56/29) = 1064/29= 36.69
C (42/11, 20/11) = 8(42/11) + 4 (20/11) = 416/11 = 37.82
METODO
SIMPLEX
A)
2X1 + 3X2 < Ó = 24
2X1 + X2 < Ó = 16
MAXG: 5 X1 + 7X2
Cj
SM
24
16
X1`
X2
Zj
0
0
0
Zj-Cj
Cj
SM
8
8
BASE
X2
X2´
Zj
Zj-Cj
Xj
7
0
56
2X1 + 3X2 + X1´ = 24
2X1 + X2 + X2´ = 16
5 X1 + 7X2
5
X1
2
2
0
7
X2
3 8
1 16
0
0
X1`
1
0
0
0
X2`
1
0
0
-5
-7
0
0
5
X1
2/3
1 1/3
16
11
7
X2
1
0
8
1
0
X1`
1/3
- 1/3
0
0
0
X2`
0
1
8
8
2X1 + 3X2 < Ó = 24
2X2 + X2 < Ó = 16
MAXG: 5 X1 + 7X2
Cj
Xj
0
0
X1´
X2´
Zj
2X1 + 3X2 + X1´ = 24
2X2 + X2 + X2´ = 16
5 X1 + 7X2
SM
24
16
0
Zj-Cj
Cj
7
0
Xj
SM
X1
X2´
8
8
56
Zj
Zj-Cj
7
5
Zj
7
X2
3 8
1 16
0
0
X1`
1
0
0
0
X2`
0
1
0
-5
-7
0
0
5
X1
2/3
12
4/3 6
4 2/3
- 1/3
Cj
Xj
X2
X1
5
X1
2
2
0
XM
4
6
58
Zj-Cj
7
X2
0
X1`
0
X2`
1
0
7
0
1/3
- 1/3
2 1/3
2 1/3
0
1
0
0
5
X1
0
1
5
7
X2
1
0
7
0
X1`
1/2
- 1/4
2 1/4
0
X2`
- 1/2
3/4
1/4
0
0
2 1/4
1/4
SOLUCION OPTIMA
X1 = 6
X2 = 4
MAX G. = 58
X1 + X2 + X1´ = 100
1/2X1 + X2 + X2´ = 60
5 X1 + 7X2
X1 + X2 < Ó = 100
1/2X1 + X2 < Ó = 60
MAXG: 5 X1 + 8X2
Cj
0
0
Xj
X1´
X2´
Zj
SM
100
60
0
Zj - Cj
Cj
0
8
Xj
X1´
X2
Zj
SM
40
60
480
Zj - Cj
Cj
5
8
Xj
X1
X2
Zj
SM
80
20
560
Zj - Cj
5
X1
1
1/2
0
-5
8
X2
1 100
1 60
0
0
X1´
1
0
0
0
X2´
0
1
0
-8
0
0
5
X1
1/2 80
1/2 120
4
8
X2
0
1
8
0
X1´
1
0
0
0
X2´
-1
1
8
-1
0
0
8
5
X1
1
0
5
8
X2
0
1
8
0
X1´
2
-1
2
0
X2´
-2
2
6
0
0
2
6
SOLUCION OPTIMA
X1 = 80
X2 = 20
MAX G. = 560
X1/500 + X2/100 < Ó = 1
X1 < Ó = 400
X2 < Ó = 75
MAXG: 50 X1 + 100X2
Cj
Xj
0
0
0
X1´
X2´
X3´
Zj
SM
1
400
75
0
Zj - Cj
50
X1
1/500
1
0
0
-50
Cj
100
X2
1/100
0
1 75
0
-100
0
X1´
1
0
0
0
0
X2´
0
1
0
0
0
X3´
0
0
1
0
0
0
0
Xj
SM
50
X1
100
X2
0
X1´
0
X2´
0
X3´
0 X1´
0 X2´
100 X3´
Zj
1/4
400
75
7500
1/500
1 400
0
0
0
0
1
100
1
0
0
0
0
1
0
0
1/100
0
1
100
0
0
0
100
50
X1
100
X2
0
X1´
0
X2´
0
X3´
50 X1´ 125
0 X2´ 275
100 X3´
75
Zj
13750
1
0
0
50
0
0
1
100
500
-500
0
25000
0
1
0
0
-5
5 55
1 75
-150
Zj - Cj
0
0
25000
0
Cj
50
X1
100
X2
0
X1´
0
X2´
0
X3´
1
0
1
50
0
0
0
1
100
0
0
-100
100
10000
10000
1
1/5
1/5
30
30
0
1
0
0
0
Zj - Cj
-50
Cj
Xj
SM
Xj
SM
50 X1´ 400
0 X2´
55
100 X3´
20
Zj
22000
Zj - Cj
SOLUCION OPTIMA
X1 = 400
X2 = 20
MAX G. = 22000
-150
2X1 +3 X2 < Ó = 12
2/3X1+ 2x2 < Ó = 6
MAXG: 4 X1 + 8X2
Cj
Xj
0
0
X1
X2
Zj
SM
4
X1
8
X2
0
X1´
0
X2´
12
6
0
2
2/3
0
3 4
23
0
1
0
0
0
1
0
-4
-8
0
0
Zj - Cj
Cj
Xj
0
8
X1
X2
Zj
SM
4
X1
8
X2
0
X1´
0
X2´
3
3
24
13
1/3
2 2/3
0
1
8
1
0
0
-1
1/2
1/2
4
-1 1/3
0
0
4
Zj - Cj
Cj
Xj
4
8
SM
X1
X2
Zj
3
2
28
Zj - Cj
4
X1
8
X2
0
X1´
0
X2´
1
0
4
0
0
1
8
0
1
- 1/3
1 1/3
1 1/3
-1 1/2
1
2
2
SOLUCION OPTIMA
X1 = 3
X2 = 2
MAX G. = 28
1/2X1 + X2 < Ó = 5000
5X1+ 5x2 < Ó = 40000
MAXG: 30 X1 + 40X2
Cj
0
0
Xj
X1
X2
Zj
SM
30
X1
40
X2
0
X1´
0
X2´
5000
1/2
1 5000
1
0
40000
5
5 8000
0
1
0
0
0
0
0
-30
-40
0
0
Zj - Cj
Cj
Xj
40
0
X1
X2
Zj
SM
30
X1
40
X2
0
X1´
0
X2´
5000
1/2
1
1
0
45000
2 1/2
1
200000
Zj - Cj
-10
Cj
Xj
40
30
X2
X1
Zj
Zj - Cj
20
0
-5
40
40
0
0
40
0
SM
30
X1
40
X2
0
X1´
0
X2´
2000
0
1
2
- 1/5
2/5
6000
1
0
-2
260000
30
40
20
4
0
0
20
4
SOLUCION OPTIMA
X1 = 2000
X2 = 6000
MAX G. = 260000
2X1 + 3X2 < Ó = 12
1/2X1+ x2 < Ó = 6
MAXG: 4 X1 + 2X2
Cj
Xj
0
0
SM
X2
X1
Zj
12
2
2
X2
0
X1´
0
X2´
3
1
0
6
1/2 12
1
0
1
0
0
0
0
0
-2
0
0
Zj - Cj
6
-4
Cj
SM
4
X1
2
X2
0
X1´
0
X2´
X1
X2´
6
1
0
1 1/2
1/4
1/2
- 1/4
0
3
Zj
Zj - Cj
24
4
6
2
0
0
4
2
0
Xj
4
0
4
X1
SOLUCION OPTIMA
X1 = 6
X2 = 0
MAX G. = 24
1
X1 + 3X2 < Ó = 12
X1+ x2 < Ó = 10
MAXG: 5 X1 + 2X2
Cj
Xj
0
0
X1
X2´
Zj
SM
5
X1
2
X2
0
X1´
0
X2´
12
1 12
3
1
0
10
1 10
1
0
1
0
0
0
0
0
Zj - Cj
-5
Cj
Xj
0
5
X1
X2´
Zj
Zj - Cj
-2
SM
5
X1
2
X2
0
X1´
0
X2´
2
0
2
1
-1
10
1
1
0
1
50
5
5
0
5
0
3
0
5
SOLUCION OPTIMA
X1 = 10
X2 = 0
MAX G. = 50
1/2X1 + X2 + x3 < Ó = 8
X1+2 x2 + x3 < Ó = 12
MAXG: 2 X1 + 4X2 + 3X3
Cj
Xj
0
0
X1´
X2´
Zj
SM
2
X1
8
1/2
12
1
4
X2
18
26
0
0
0
Zj - Cj
-2
Cj
Xj
0
4
X1´
X2
Zj
SM
2
X1
2
0
6
24
Zj - Cj
Cj
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
-3
0
0
X2´
3
X3
0
X1´
1
1/2
1/2 4
1/2 12
0
- 1/2
1/2
2
4
2
0
2
0
0
-1
0
2
2
X1
3
X3
0
X1´
X3
X2
4
0
4
1/2
Zj
Zj - Cj
28
2
0
SM
0
X1´
4
X2
0
1
4
X2
0
1
Xj
3
4
-4
3
X3
0
X2´
1
2
0
-1
1
4
3
2
-1
0
0
0
1
SOLUCION OPTIMA
X3 = 3
X2 = 0
0
X2´
MAX G. = 50
-1
2X1 + 3X2 < Ó = 12
2X1 + X2 < Ó = 8
MAXG: 6 X1 + 8X2
Cj
Xj
0
0
X1´
X2´
SM
6
X1
8
X2
0
X1´
0
X2´
12
2
3 4
1
0
8
2
18
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Zj
Zj - Cj
-8
-6
Cj
8
0
Xj
X2
X2´
Zj
SM
6
X1
8
X2
4
2/3 12
4
4/3 3
32
Zj - Cj
Cj
Xj
8
6
X2
X1
Zj
0
X1´
0
X2´
1
1/3
0
0
- 1/3
1
5 1/3
8
8/3'
1
- 2/3
0
8/3'
1
SM
6
X1
8
X2
2
0
3
1
34
Zj - Cj
0
X1´
0
X2´
1
1/2
- 1/2
0
- 1/4
3/4
6
8
2 1/2
1/2
0
0
2 1/2
1/2
SOLUCION OPTIMA
X2 = 2
X1 = 3
MAX G. = 34
2X1 + 2X2 < Ó = 12
X1 + 2X2 < Ó = 8
5X1 + 4X2 < Ó = 20
MAXG: 9 X1 + 5X2
Cj
Xj
0
0
0
X1´
X2´
X3´
Zj
SM
12
8
20
0
Cj
0
0
9
X1´
X2´
X1
Zj
Zj - Cj
5
X2
2
4
2
0
0
X1´
1
0
0
0
0
X2´
0
1
0
0
0
X3´
0
0
1
0
-5
0
0
0
5
X2
2 2/5
1 1/5
4/5
7 1/5
2 1/5
0
X1´
1
0
0
0
0
0
X2´
-2
1
0
0
0
0
X3´
- 2/5
- 1/5
1/5
1 4/5
1 4/5
-9
Zj - Cj
Xj
9
X1
26
18
54
0
SM
4
4
4
36
9
X1
0
0
1
9
0
SOLUCION OPTIMA
X2 = 0
X1 = 4
X3 = 0
MAX G. = 36
X1 + X2 < Ó = 5
X1+ x2 < Ó = 8
x2 > Ó = 2
MAXG: 2 X1 + X2
Cj
Xj
0
0
0
X1´
X2´
X3´
Zj
SM
5
8
-2
0
-2
Zj - Cj
Cj
Xj
2
0
0
X1
X2´
X3´
Zj
Zj - Cj
2
X1
1 5
1 8
0
0
SM
5
3
-2
10
1
X2
1
2
-1
0
-1
2
X1
1
0
0
2
0
1
X2
1
1
-1
2
1
0
X1´
1
0
0
0
0
X2´
0
1
0
0
0
X3´
0
0
1
0
0
0
0
0
X1´
1
-1
0
2
2
0
X2´
0
1
0
0
0
0
X3´
0
0
1
0
0
SOLUCION OPTIMA
X1 = 5
X2 = 0
MAX G. = 10
3X1 + 1/2X2 > Ó = 12
2X1+ x2 > Ó = 16
MIN C: 6 X1 + 4 X2
Cj
Xj
M
X1´´
M
X2´´
Zj
4
X2
1/2
1
3/2M
0
X1´
-1
0
-M
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1
0
M
5M-6
3/2M-4
-M
-M
0
6
X1
1
0
6
4
X2
1/6
2/3
2/3M+1
0
X1´
-0,3333333
2/3 12
3/2M-2
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1/3
- 2/3
(-2/3M+2)
Zj - Cj
0
2/3M-3
-M
(-5/3M+2)
0
Cj
6
X1
1
0
6
0
4
X2
1/2
1
3
-1
0
X2´
- 1/2
-1 1/2
-3
-3
M
X1´´
0
-1
0
-M
M
X2´´
1/2
1 1/2
3
3-M
SM
12
16
28M
Zj - Cj
Cj
Xj
6
M
X1
X2´´
Zj
Xj
6
0
X1
X1´
Zj
Zj - Cj
SM
4
8
8M+24
SM
8
12
48
6
X1
34
28
5M
3/2M-2
0
X1´
0
1
0
0
M
X2´´
0
1
M
0
M
X2´´
0
1
M
2X1 + 3X2 > Ó = 12
2X1+ 2x2 > Ó = 10
MIN C: 3 X1 + 4 X2
Cj
M
M
Xj
X1´´
X2´´
Zj
SM
12
10
22M
Zj - Cj
4M-3
Cj
Xj
4
M
X2
X2´´
Zj
SM
4
2
2M+16
Cj
Xj
X2
X2´´
Zj
Zj - Cj
3
X1
2/3 6
2/3 3
8/3+2/3M
(-1/3+2/3M)
Zj - Cj
4
3
3
X1
2
2
4M
SM
2
3
17
3
X1
0
1
3
0
4
X2
3 4
2 5
5M
0
X1´
-1
0
-M
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1
0
M
M
X2´´
0
1
M
5M-4
-M
-M
0
0
4
X2
1 4
0
4
0
X1´
- 1/3
2/3
-4/3+2/3M
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1/3
- 2/3
4/3-2/3M
M
X2´´
0
1
M
0
-4/3+2/3M
-M
4/3-5/3M
0
4
X2
1
0
4
0
0
X1´
-1
1
-1
-1
0
X2´
1
-1 1/2
-1/2
-1/2
M
X1´´
1
-1
1
1-M
M
X2´´
-1
1 1/2
1/2
1/2-M
SOLUCION OPTIMA
X1 = 3
X2 = 2
MIN C: 17
2X1 + 3X2 > Ó = 12
2X1+ 2x2 > Ó = 10
MIN C: 2 X1 + 3 X2
Cj
M
M
Xj
X1´´
X2´´
Zj
SM
12
10
22M
Zj - Cj
3
M
X2
X2´´
Zj
SM
4
2
12-2M
Cj
Xj
X2
X1
Zj
Zj - Cj
2
X1
2/3 6
2/3 3
2+2/3M
2/3M
Zj - Cj
3
2
2
2
4M
4M-2
Cj
Xj
2
X1
SM
2
3
12
2
X1
0
1
2
0
3
X2
34
25
5M
0
X1´
-1
0
-M
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1
0
M
M
X2´´
0
1
M
5M-3
-M
-M
M
0
3
X2
1
0
3
0
X1´
-1/3
2/3
2/3M-1
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1/3
- 2/3
1-2/3M
M
X2´´
0
1
M
0
2/3M-1
-M
1+1/3M
0
3
X2
1
0
3
0
0
X1´
-1
1
-1
-1
0
X2´
1
-1,5
0
0
M
X1´´
M
X2´´
-1
1 1/2
0
-M
SOLUCION OPTIMA
X1 = 3
X2 = 2
MIN C: 12
1
-1
1
1-M
3X1 + 2X2 > Ó = 12
1/2X1+ x2 > Ó = 4
MIN C: 5 X1 + 4 X2
Cj
M
M
Xj
X1´´
X2´´
Zj
SM
12
4
16M
Cj
5
M
X1
X2´´
Zj
SM
4
2
Cj
X1
X2
Zj
0
X2´
0
-1
-M
3M-4
-M
-M
0
0
4
X2
2/3 6
2/3 3
0
X1´
-1/3
1/6
0
X2´
0
-1
M
X2´´
0
1
5
2/3M+10/3
1/6M-5/3
-M
0
2/3M-2/3
1/6M-5/3
-M
M
X1´´
1/3
- 1/6
(1/6M+5/3)
(7/2M+5/3)
0
X1´
-1/2
1/4
-3/2
-3/2
0
X2´
1
-3/2
-1
-1
M
X1´´
1/2
- 1/4
3/2
3/2-M
M
X2´´
-1
3/2
1
1-M
1
Zj - Cj
5
4
0
X1´
-1
0
-M
5
X1
2M+20
Xj
4
X2
2
1
3M
7/2M-5
Zj - Cj
Xj
5
X1
34
1/2 8
7/2M
SM
2
3
22
5
X1
1
0
5
0
Zj - Cj
4
X2
0
1
4
0
SOLUCION OPTIMA
X1 = 2
X2 = 3
MIN C: 22
M
X1´´
1
0
M
M
X2´´
0
1
M
0
M
0
3X1 + 1/2X2 > Ó = 12
2X1 + X2 > Ó = 16
MIN C: 6X1 + 4X2
Cj
Xj
M
X1´´
M
X2´´
Zj
SM
12
16
28M
5M-6
Zj - Cj
Cj
Xj
6
0
X1
X1´
Zj
Zj - Cj
6
X1
3 4
28
5M
SM
8
12
48
6
X1
1
0
6
0
4
X2
1/2
1
3/2M
0
X1´
-1
0
-M
0
X2´
0
-1
-M
M
X1´´
1
0
M
M
X2´´
0
1
M
3/2M-4
-M
-M
0
0
4
X2
1/2
0
X1´
0
1
0
0
0
X2´
- 1/2
-1 1/2
M
X1´´
0
-1
0
-M
M
X2´´
1/2
1 1/2
1
3
-1
SOLUCION OPTIMA
X1 = 8
X2 = 0
MIN C: 48
-3
-3
3
3-M
METODO
DUAL
Cj
Xj
X”1
X”2
M
M
Zj
SM
12
16
28M
Zj - Cj
CJ
Xj
6
M
X1
X’’2
Zj
4
X2
½
1
3/2 M
3/2
5M-6 M-3
SM
4
8
6
X1
1
0
8M+24
6
Zj-Cj
0
C
6
X1
1
0
6
0
Xj
6
0
6
X1
3
2
5M
X1
X’1
Zj
Zj-Cj
SM
8
12
48
0
X’1
-1
0
-M
0
X’2
0
-1
-M
M
X”1
1
0
M
M
X”2
0
1
M
-M
-M
0
0
4
X2
1/6
2/3
0
X’1
-1/3
2/3
2/3M2/3M+1
2
2/3M2/3M-3
2
4
X2
1/2
1
3
-
X1=8
X2=0
MINC=48
0
X’1
0
1
0
0
0
X’2
0
-1
-M
-M
0
X’2
-1/2
-3/2
-3
-3
M
X’’1
1/3
-2/3
2/3M+2
5/3M+2
M
X’’1
0
-1
0
-M
M
X’’2
0
1
M
X’’2
½
3/2
3
3-M
M
0
PRIMAL
5X1+8X2_>40
7X1+7X2_>49
8X1+6X2_>48az
cj
xj
Y’1
Y’2
0
0
Zj
40
Y1
5
8
0
-40
49
Y2
7
7
0
-49
48
Y3
8
6
0
-48
0
Y’1
1
0
0
0
0
Y’2
0
1
0
0
SM
2/7
3
14
40
Y1
5/7
3
35
-5
49
Y2
1
0
49
0
48
Y3
8/7
-2
56
8
0
Y’1
1/7
-1
7
7
0
Y’2
0
1
0
0
SM
2/5
9/5
16
40
Y1
1
0
40
0
0
Y’1
1/5
-8/5
8
8
0
Y’2
0
1
0
0
SM
2
5
0
Zj-Cj
Cj
Xj
49
0
Y2
Y’2
Zj
Zj-Cj
Cj
Xj
40
0
Y1
Y’2
ZJ
Zj-Cj
DUAL
49
48
Y2
Y3
7/5
8/5
-21/5 -3/34
56
64
7
16
PRIMAL
Y1=2/5 Y’1=X1=8
Y2=0
Y’2=X2=0
MINC=16
3X1+1/2_>12
2X1+X2_>16
MINC=6X1+4X2
3Y1+2Y2_<6
1/2Y1+Y2_<4
MAXg=12Y1+16Y2
3Y1+2Y2=6
1/2Y1+Y2+Y’1=4
MAXg=12Y1+16Y2
CJ
Xj
SM
6
4
Y’1
Y’2
0
0
ZJ
0
ZJ-CJ
Cj
Xj
16
0
Y2
Y’2
Zj
Zj-Cj
SM
3
1
48
12
Y1
3
1/2
0
-12
16
Y2
2
1
0
-16
0
Y’1
1
0
0
0
0
Y’2
0
1
0
0
12
Y1
3/2
-1
24
12
16
Y2
1
0
16
0
0
Y’1
1/2
-1/2
8
8
0
Y’2
0
1
0
0
DUAL Y1=0 Y2=3 MAXG=48
PRIMAL Y’1=X1=8 Y’1=X2=0
MINC=48
4X1+3X2_<24 4Y1+6Y2+Y3_>3
6X1+9X2_<54 3Y1+9Y2_>4
4Y1+6Y2+Y3-Y1+Y”1=3
3Y1+9Y2-Y’2+Y”2=4
maxg=3x1+4x2 minc=24y1+54y2+4y3
minc=24y1+54y2+4y3+my”1+m
CJ
Xj
SM
3
4
7M
Y”1
Y”2
M
M
Zj
Zj-Cj
CJ
Xj
SM
1/3
4/9
Y”1
Y2
M
54
Zj
24
Y1
4
3
7M
7M24
54
Y2
6
9
15M
15M54
4
Y3
1
0
M
0
Y’1
-1
0
-M
0
Y’2
0
-1
-M
M
Y”1
1
0
M
M-4
-M
-M
0
24
Y1
2
3/9
54
Y2
0
1
4
Y3
1
0
0
Y’1
-1
0
M
Y”1
1
0
M
54
M
-M
0
M-4
-M
0
Y’2
2/3
-1/9
2/3M6
2/3M6
1/3M+24 2M+18
Zj-CJ
CJ
2M-6
24
Xj
SM Y1
24
Y1
1/6
1
54
Y2
7/18
0
Zj
25
24
Zj-Cj
0
54
Y2
0
1
54
0
4
Y3
1/2
-1/6
3
-1
0
Y’1
-1/2
1/6
-3
-3
0
Y’2
1/3
-2/9
-4
-4
0
M
Y”1
1/2
-1/6
3
3-M
DUAL
Y1=1/6
Y2=7/18 MINC=25
PRIMAL
Y”1=X1=3 Y”2=X2=4
MAXg=25
2X1+3X2_>12 2Y1+2Y2_<3 2Y1+2Y2+Y’1=3
2X1+2X2_>10 3Y1+2Y2_<4 3Y1+2Y2+Y’2=4
3x1+4x2 maxg=12y1+10y2
maxg=12y1+10y2
M
Y”2
0
1
M
0
M
Y”2
-2/3
1/9
2/3M+6
5/3M+6
M
Y”2
-1/3
2/9
4
4-M
CJ
12
Y1
2
3
0
-12
10
Y2
2
2
0
-10
0
Y’1
1
0
0
0
0
Y’2
0
1
0
0
SM
1/3
4/3
16
12
Y1
0
1
12
0
10
Y2
2/3
2/3
8
-2
0
Y’1
1
0
0
0
0
Y’2
-2/3
1/3
4
4
SM
1/2
1
17
12
Y1
0
1
12
0
10
Y2
1
0
10
0
0
Y’1
3/2
-1
3
3
0
Y’2
-1
1
2
2
Xj
SM
3
4
Y’1
Y’2
0
0
ZJ
0
ZJ-CJ
CJ
Xj
Y’1
Y1
0
12
Zj
ZJ-CJ
CJ
Xj
10
12
Y2
Y1
ZJ
ZJ-CJ
DUAL
Y1=1 Y2=1/2 MAXG=17
PRIMAL
Y’1=X1=3 Y’2=X2=2 MINC=17
EXAMEN FINAL
6X1+9X2>108
8X1+8X2>64
6X1+9X2<108
8X1+8X2<64
6Y1+9Y2+ Y =6
9Y1+8Y2+ Y =9
MAX
G=108Y1+64Y2
MIN C=6X1+9X2
MIN
C=6X+9X2
0
0
CJ
XJ
Y
Y
ZJ
ZJ - CJ
SM
6
9
0
108
Y1
6
9
0
-108
CJ
XJ
108
0
Y1
Y2
Z J
108
Y1
1
0
108
0
SM
1
0
108
ZJ - CJ
SOLUCION DUAL = Y1=1
64
Y2
8
8
0
-64
0
Y
1
0
0
0
0
Y
0
1
0
0
64
Y2
4/3
-4
144
80
0
Y
1/6
-3/2
18
18
0
Y
0
1
0
0
Y2=0
MAX. G. = 108
SOLUCION PRIMAL = X1=18 X2=0
MIN. C. = 108
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