ExTipoPrimParMate2014-1

Matemáticas
Examen tipo del primer parcial
Semestre 2014-1
Instrucciones para el alumno: El total de preguntas a contestar en el examen parcial son 3 del
primer bloque y 2 de los restantes temas, es decir un total de 7 preguntas a contestar.. En la
evaluación se considera el procedimiento y el resultado, pero los resultados sin procedimientos no se
contabilizan. En el examen parcial se permite utilizar solamente calculadora sencilla, no se permiten
apuntes ni aparatos electrónicos (Teléfonos, computadora, IPad, etc.) y la duración es de 3 horas.
Tema 1. Espacios Lineales
1.
Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes:
1 1  1 0   1 1 
, 
, 

a) S1  
1
1
0
1
0
0
 





 1  x, x  2x,
b) S2  e x , cos x
c) S3
2.
2
5  x2 , 2  x  x2

R  de los números reales positivos. Si se define la adición en la
forma x  y  x  y , x , y  R  , y la multiplicación por un escalar en la forma
  x  x x  R  ,   R  ; demostrar que el conjunto R  de los números
Dado el conjunto
reales positivos, con estas operaciones, es un espacio lineal.
3.
Favor de indicar falsa o cierta cada una de las siguientes afirmaciones:



Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector de ceros es
linealmente independiente.
Un conjunto formado por solo un vector de nulos es linealmente
dependiente.
Si S es un conjunto de vectores linealmente independientes, cualquier
subconjunto del mismo conjunto es también de vectores linealmente
independiente.
1

4.
Si S es un conjunto de vectores linealmente dependientes, cualquier conjunto
S´ que contenga a S (S∈ S´) como un subconjunto de S´ también será de
vectores linealmente dependientes.
Dados los dos vectores siguientes:
𝑣1 = (
3 4
4 3
) , 𝑣2 = (−
)
5 5
5 5
a) Comprobar que estos vectores forman vectores ortogonales.
b) Comprobar que estos dos vectores son Orto-normales.
c) Si el vector 𝑣 = (6 − 7) puede escribirse como una combinación lineal de los
vectores anteriores, favor de comprobarlo.
5.
 2   1  1   3  
        
3


Dado el subconjunto de vectores
 1  ,  1 ,  0  ,  3    R ; hallar entre
        
 2   1  1   3  
ellos un subconjunto de vectores que constituya una base para R 3 .
Tema 2. Transformaciones lineales y matrices
3 4
)
4−3
1. Dada una matriz, 𝐴 = (



Encontrar sus valores propios.
Comprobar que 𝑣1 = (2 1 ), 𝑣2 = (1 − 2) son vectores propios de la matriz.
Favor de diagonal izar la matriz en caso afirmativo de acuerdo con los
vectores propios en el inciso anterior.
2. Para la transformación lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3


𝑋
𝜆𝑋 + 𝑌 + 𝑍
𝑇 (𝑌 ) = ( 𝜆𝑋 + 𝑌 )
𝑍
𝑌+𝑍
Encontrar valores 𝜆 tales que el núcleo de T sea cero
Cuando 𝜆 = 0 encontrar la imagen de T si es que existe
2
3. Probar directamente que la siguiente función
3
𝑇: 𝑅 → 𝑅


𝑋
2𝑋 − 3𝑌 − 𝑍
𝑇 (𝑌 ) = (
)
𝑋 − 3𝑌 − 𝑍
𝑍
3
Es lineal
Es inyectiva
4. Determine si las siguientes transformaciones son lineales:
 x1  x2 


x


1
a. T:R2R3 definida como T     x1  x2  .
 x2    4x 
1 

 x y 


x


b. T:R2R3 definida como T     2 y  2  .
 y   3y 


5. Encontrar la representación matricial de la siguiente transformación:
 a11  a12
a12  
   a22
a22  
 a12  a21
a
T  11
 a21


a11  a21 
a12  a22 
a21
6. Encuentre los valores de a,b,c,d,e,f dado que los vectores: (1,1,1) , (1,0,-1) , (1,-1,0)
son los vectores propios de la matriz.
1
a

d
1
b
e
1
c 
f 
Tema 3. Introducción al estudio de la optimización lineal
1) Maximizar:
SA:
2x1 + 5x2
=
≤
4
x1
π
x2
≤
3
x1+2x2
≤
8
x1
≥
0
x2
≥
0
3
2) Maximizar:
SA:
π
x1+x2 +3x3
=
≤
3x1+4x2 +3x3
12
2x1+4x2 +x3
≤
42
x1
≥
0.0
x2
≥
0.0
x3
≥
0.0
3) Transformar los dos problemas anteriores en problemas de minimización y
encontrar la solución óptima en caso de existir.
4) Maximizar:
SA:
π
=
x1+2x2
≤
20
4x1+2x2
≤
32
6x1+3x2
x1
≤
8
x1 , x2
≥
0.0
Se pide:
a) Hallar su solución aplicando el procedimiento simplex.
b) Mostrar los precios sombras asociados a la solución del planteamiento dual e indicar
qué significan en este caso.
5) Demostrar si es Convexo el siguiente Conjunto

C  {x  R3 | x1  2x2  5x3  4, x1  x2  4x3  6}
4