Geometría Analítica 3

Geometría Analítica 3
LA CIRCUNFERENCIA
d(P; 0) 
Elevando al cuadrado
Definición
Se llama circunferencia a la sección cónica
generada al cortar un cono recto con un plano
perpendicular al eje del cono.
La circunferencia es el lugar geométrico de
todos los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro (C).
La distancia constante del centro a todos los puntos de la
circunferencia recibe el nombre de radio.
Ecuación de la circunferencia
A partir de la definición vamos a deducir la ecuación de una
circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y
radio r.
 Si P(x; y) es un punto
que pertenece a la
circunferencia entonces la
distancia de P al centro
es:
x 2  y2  r
x2  y2  r2




x  h 2  y  k 2  R2
Esta es la ecuación canónica de la circunferencia de centro
(0; 0) y radio r
 Si P(x; y) es un punto
que pertenece a la
circunferencia con
centro en C (h; k) y radio
igual a r, entonces la
distancia de P al centro
es:
d(P; C) 
(x  h)2  (y  k)2  r
Elevando al cuadrado:
(x  h)2  (y  k)2  r2
Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h;
k) y radio r
Javier Trigoso/Freddy Liñán
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Ecuación general de la circunferencia
Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:
x 2  2hx  h2  y2  2ky  k 2  r 2
x
2
 2hx  y
2
Ordenando:
 2ky  h
2
2
2
k
2
r
2
 0
2
Haciendo: -2h = D; -2k = E; h + k – r = F y reemplazando en
la ecuación anterior, obtenemos:
x2  y2  Dx  Ey  F  0
Conocida como la ecuación general de la circunferencia.
PARA LA CLASE..
01. Determina el centro y el radio de cada una de las siguientes
circunferencias:
 x 2  y 2  100
 ( x  2) 2  y 2  64
 x 2  ( y  3) 2  121
 ( x  1) 2  ( y  1) 2  49
 ( x  5) 2  ( y  4) 2  50
02. Deduce la ecuación de cada una de las siguientes
circunferencias:
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



centro en (-3; 5) y radio 2
centro en (2; -5) y radio 3
centro en (4; 0) y radio 2
centro en (0; -2) y radio 1
03. Determina la ecuación de la circunferencia que satisface
las siguientes condiciones:
 centro en (0; 0) y pasa por (-3; 4)
 centro en (3; -2) y pasa por (11; -2)
 centro en (2; 4) y tangente al eje X
 centro en (-3; -2) y tangente al eje Y.
04. Los puntos P (2; 5) y Q (-4; -3) son los extremos del diámetro
de una circunferencia. Determina el centro, el radio y la ecuación
de esta.
05. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre
el eje Y y que pasa por los puntos (2; 2) y (6; -4).
06. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen
de coordenadas y tiene su centro en el punto de intersección de
las rectas: L1: x – 2y = 1; L2: x + 3y = 6
07. Determina el centro y el radio de cada uno de las siguientes
circunferencias:
 x 2  6x  y 2  10y  2
 x 2  8x  y 2  6y  15
 9x 2  12x  9 y 2  77
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 16x 2  8x  16y 2  32y  127
15. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
(1; 4) y que es tangente a la circunferencia de ecuación
08. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
(-3; 4) y es concéntrica con la circunferencia de ecuación:
C : x2  6x  y2  2y  5  0 en el punto (-2; 1).
C : x2  y2  6x  2y  6  0
16. La circunferencia de ecuación C : x2  y2  40 es
09. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al
triángulo de vértices (0; -1), (4; -5) y (0; -9)
intersectada por una recta en los puntos A y B, cuyas
coordenadas son (2 ; a) y (6 ; b) respectivamente. Calcula el valor
de a + b, si a > 0 y b > 0
10. La ecuación de una circunferencia es
2
C : (x  4)  (y  3)
2
 20 . Halla la ecuación de la recta
tangente a esta circunferencia en el punto (6; 7)
17. Encuentra la ecuación de la circunferencia que está inscrita
en el triángulo cuyos lados son las rectas: L1: 4x + 3y – 21=0,
L2: 3x – 4y –22 = 0 y L3: x + 6 = 0
11. Dada la circunferencia C : (x  2)2  (y  3)2  5 . Halla la
ecuación de la tangente a dicha circunferencia que pasa por el
punto (3; 3).
PARA LA CASA..
12. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(-2; 2) y
radio r = 2
A. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4
B. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 6
C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4
D. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4
circunferencia C : x2  y2  4x  6y  17  0 y que sea
tangente a la recta L: 3x - 4y + 7 = 0
13. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
(1; 3) y (3; -1) y cuyo centro está en la recta: L1: x - 3y + 2 = 0
14. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro
la porción de la recta: L: 3x - 2y + 12 = 0, en el segundo
cuadrante.
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02. Determina el diámetro de la circunferencia de ecuación
C : (x  3)2  (y  7)2  49
A. 3u
C. 7u
B. 5u
D. 14u
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03. Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de la
circunferencia: C: (x – 2)2 + (y + 9)2 = 4
A. (2; -9) ; r = 2
B. (-2; 9) ; r = 4
C. (2; 9) ; r = 2
D. (2; -9) ; r = 4
04. Halla el área de la circunferencia,
si P (6; 0) y Q (0; 6)
A. 6π u2
B. 24π u2
C. 12π u2
D. 36π u2
08. Determina el radio de la circunferencia de ecuación
C : x2  y2  8x  6y  0
A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
09. Dada la ecuación C : 3x2  3y2  4y  7  0 , encuentra su
Y
centro.
A. (0; -3/2)
C. (3/2; 0)
Q
P
X
B. (0; -2/3)
D. (2/3; 0)
10. Halla la longitud de la circunferencia cuya ecuación es:
C : 25x2  30x  25y2  20y  62
05. Halla la ecuación general de la circunferencia de centro
(–5; 12) y radio 13.
A. x² + y² + 10x – 24y = 0
B. x² + y² - 10x + 24y = 0
B. x² + y² + 24x – 10y = 0
D. x² + y² - 24x + 10y = 0
A. 3π
B. 6π
C. π 3
D. 2π 3
06. Una circunferencia de centro (3; -2) pasa por el punto (12; 0).
Indica otro punto por donde pasa esta circunferencia.
A. (9; 5)
B. (7; 8)
C. (10; 3)
D. (8; 6)
A. 2π u2
C. 4π u2
07. Hallar la distancia máxima y mínima del punto (-7 ; 2) a la
circunferencia: C: x²+y²-10x-14y -151=0
A. 28 y 26
C. 13 y 15
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B. 28 y 2
D. 1 y 20
11. Calcula el área del círculo cuya circunferencia está
representada por la ecuación C: 4x²+4y²-24x+4y +17=0
B. 3π u2
D. 5π u2
12. La circunferencia C : x2  y2  9x  2y  18  0 , en qué
puntos intercepta al eje X?
A. (0; 3) y (0; 6)
B. (0; 0) y (3; 6)
C. (-3; 0) y (-6; 0)
D. (3; 0) y (6; 0)
13. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-4; -1) y que
es tangente a la recta L: 3x + 2y – 12 = 0
A. (x - 4)² + (y - 1)² = 52 B. (x + 4)² + (y + 1)² = 52
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C. (x + 4)² + (y - 1)² = 52
D. (x - 4)² + (y + 1)² = 52
14. La circunferencia de centro (3; 4) y tangente al eje X, corta
al eje Y en los puntos A y B. Determina la longitud de la cuerda
AB.
A. 4
B. 5
C.
7
D. 2 7
15. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el
punto P (1; 0), sabiendo que es concéntrica a la circunferencia
representada por la ecuación C:x²+ y² - 2x - 8y + 13 = 0
A. (x - 1)² + (y - 4)² = 16
C. (x - 1)² + (y + 4)² = 9
B. (x + 1)² + (y - 4)² = 16
D. (x + 1)² + (y + 4)² = 16
16. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta
definido por los puntos: A (-8; -2) y B (4; 6). Obtén la ecuación de
dicha circunferencia.
A. (x - 2)² + (y - 2)² = 52
B. (x + 2)² + (y - 2)² = 52
C. (x + 2)² + (y + 2)² = 52
D. (x - 2)² + (y + 2)² = 52
17. Determina el valor de M para que la circunferencia de
ecuación C:x²+y²-6x+8y=M , tenga como radio 2.
A. -29
C. 4
B. -21
D.21
18. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al
eje X, tiene 10 u de radio y su centro está sobre la recta
L: x – 2y = 0
A. x² + y² + 40x – 20y + 400 = 0
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B. x² + y² - 40x + 20y + 400 = 0
C. x² + y² - 40x - 20y + 400 = 0
D. x² + y² - 20x + 40y + 400 = 0
19. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro está
en el eje X y es tangente a la circunferencia
C:x²+y²-6x-12y=7 en el punto (-3; 2)
A. (x + 6)2 + y2 = 13
C. x2 + (y + 6)2 = 13
B. (x - 6)2 + y2 = 13
D. x2 + (y - 6) 2= 13
20. Las circunferencias: C1: x2 + y2 – 12x – 6y + 25 =0
C2: x2 + y2 +2x + y = 10. Son tangentes en el punto “P”. Las
coordenadas del punto P son:
A. (3; 2)
B. (1; 2)
C. (-2; -1)
D. (2; 1)
21. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al
eje de las ordenadas en (0; 6) y cuyo centro está contenido en la
recta L: y - 3x = 0.
A. (x - 2)² + (y - 6)² = 4
B. (x + 2)² + (y - 6)² = 4
C. (x - 2)² + (y - 6)² = 4
D. (x + 2)² + (y + 6)² = 4
22. Halla la longitud de la circunferencia que pasa por los puntosa
(3; 0), B (1; 0) y C (0; 1)
A. 2 2 π u
B. 3 2 π u
C. 2 5 π u
D.
5π u
23. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (1; -0,5)
sabiendo que es tangente a la recta L: 4x + 3y – 15 = 0
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A. 4x2 + 4y2 – 8x + 4y – 15 = 0
C. x2 + y2 – 4x - 2y + 1 = 0
B. x2 + y2 – 2x + y – 7 = 0
D. x2 + y2 – 2x + y - 5 = 0
24. Determina la ecuación de la recta ortogonal a la cuerda común
de las circunferencias: C1:x²+y²  8y=32 ; C2:x²+y²  6x=16
A. 3x–4y+16=0
C. 4x-3y-12=0
B. 3x+4y-16=0
D. 4x+3y+12=0
25. Halla las coordenadas de los puntos de intersección de las
circunferencias dadas por las ecuaciones:
C1:x²+y²-4x  6y  9  0 ;C2:x²+y²  8x-2y  13  0
A. (2;1) y (4;3)
C. (2; 3) y (4; 1)
B. (1; 2) y (3; 4)
D. (1; 3) y (2; 4)
26. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos A(-2; 5), B(4; 3) y C(6; -1)
A. x2 + y2 – 2x - 6y – 38 = 0
B. x2 + y2 + 2x + 4y – 45 = 0
C. x2 + y2 – 2x - 2y - 35 = 0
D. x2 + y2 – 8x - 2y - 8 = 0
27. Determina el área del triángulo cuyos vértices son N (2; 4) y
las intersecciones de la circunferencia C:(x-2)²+(y-4)²=25 con
el eje de las abscisas.
A. 6 u2
C. 12 u2
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28. El centro de una circunferencia está dado por la intersección
de las rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si pasa por el
punto S (6; 2), halla su ecuación ordinaria.
A. (x + 2)² + (y - 5)² = 25
B. (x - 2)² + (y - 5)² = 25
C. (x - 2)² + (y + 5)² = 25
D. (x - 5)² + (y + 2)² = 25
29. El centro de una circunferencia es la intersección de las
rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si L3: 5x + 2y + 9
= 0 es tangente a ella, determina su ecuación ordinaria.
A. (x + 2)² + (y - 5)² = 29
B. (x - 2)² + (y - 5)² = 29
C. (x - 2)² + (y + 5)² = 29
D. (x - 5)² + (y + 2)² = 29
30. Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los
puntos A (4; 1) y B (5; -6), y cuyo centro está sobre la recta
L: x + 2y + 5 = 0
A. x² + 4y² + 2x – 4y = 0
B. x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0
C. x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0
D. x² + y² - 24x + 10y + 9= 0
B. 8 u2
D. 16 u2
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