TEORIA_EXPONENTES_REPASO

I.E “SANTA MARIA REINA”
TEORÍA DE
EXPONENTES
I BIMESTRE:
La teoría de Exponentes se basa
fundamentalmente en las propiedades de la
Potenciación y de la radiación, por lo tanto,
para una mejor comprensión definiremos
las operaciones de potenciación y luego
explicaremos cada una de sus propiedades.
LA POTENCIACIÓN:
Es una operación que
multiplicación:
abrevia
la
(a ) (a ) (a ) .... (a )  a n

b)
3
c)
4
5to. Año-A-B-C-D
TEORIA EXPONENCIAL
512  8  8 3  512
Es igual al producto de sus factores,
cada uno afectados con el mismo
exponente. Su forma general es: ( a . b )n
= an . bn
Ejemplos:
0.0016  0.2  (0.2)4  0.0016
PROPIEDADES
DE
LA
POTENCIACION Y LA RADICACION
1. Producto de Bases Iguales:
Es igual a otra potencia de la misma
base, cuyo exponente resulta de sumar
los exponentes iniciales. Su forma
general es:
a m . an = a m + n
Ejemplos :
a) 23 . 25 = 23 + 5 = 28
n veces
Donde :
a es la base
n es el exponente
an es la potencia o resultado.
b) ( - 5 )2 ( - 5 )4 = ( - 5 )2 + 4 = 5 6
a) 32 = 3 x 3 = 9
4
b)  2    2   2   2   2   16
 3
 3  3  3  3
81
c) ( 0.1 )3 = ( 0.1 ) ( 0.1 ) ( 0.1 ) = 0.001
LA RADICACIÓN:
Es una operación inversa a la potenciación:
raíz enésima
signo
radical
n
a
= b
a  b  bn  a
Ejemplos :
a)
25  5  52  25
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
1
 
5
46



2

5
8 .
1
 
5
a
4
a)
5
b)
(12)7
c)
4
d)
0,25 x 3
3
5

2
52
(12)4
0,25 5
0,25 8
3
3
5

2
3
 (12)  1728
 0,25 5  8  0,25  3  64
3. Potencia de un Producto:
 7,22 x 3  (7,2)6
3
5
15

b)  1     1 
 3  


3
NOTA:
Cuando se presentan varios exponentes,
esta propiedad recibe el nombre de
cadena de potencia, cuya forma general
se representa así :
 
y

x 
  an




an

bn




3
3
a)  7   7  343
8
83

3 

 11 


b) 
4

114
2
2
 2,5 
  (2,5)
c) 
39 
2
 3 9 




d)


a
512
 3 4
z
 an x y z
6. Potencia de Exponentes:
Presenta la siguiente forma:
Ejemplos :
n
y
x
La solución de este caso especial, se
efectúa en forma progresiva de arriba
hacia abajo tal como indica la flecha.
Ejemplos:


4
 3 5 
3 4 ( 5 )4

  3 5

 11 2 
4
114 ( 2 )4
11 2


 5 4  2  5 2  25
 (12)
4
4. Potencia de un Cociente:
Es igual al cociente de sus factores, cada
uno afectados con el mismo exponente.
Su forma general es:
4
7 4
5 )3
 (0,25)2 .
n
3
3
 8 4  52 

7,22 


1

1
3
 2 4 
2 . . 3

 7
 7 2
4
 7   



 

     2 
 2 
 2   




 



10
2. Cociente de Bases Iguales:
Es igual a otra potencia de la misma
base, cuyo exponente resulta de restar
ambos exponentes.
am
 am n
Su forma general es:
n
radicando o cantidad sub radical
n
6
Ejemplos:
indice del radical
c)
a 
 
b
1 1
   
5 5
Ejemplos:
5 )3 = 73 (
b) ( 7 .
a)
c)
a) ( 5 x 3 )2 = 52 x 32
c)
4
5To. Año A-B-C-D
(REPASO)
5. Potencia de Potencias:
Es igual a una potencia de la misma
base, cuyos exponentes se multiplican.
Su forma general es:
( a m ) n = a m.n
a) M = 2
b) 5
4
2
2
2
2
8
0
=2
2
-1
=5
4
2
2
2
8
0
=2
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
=5
2
1
=2
-1
4
2
2
1/2
=5
2
2
4
4
a 1
16
=2
=2
2
=5
c)Hallar "E" :
E  aa
Ejemplos :
2
2
, si aa = 2
= 25
I.E “SANTA MARIA REINA”
5to. Año-A-B-C-D
Transformamos la expresión así :
Comprobando esta propiedad tenemos:
 
ao
aa
a
E  aa .a  aa
 22  4  E  4
 a0  n
an

7. Exponente Nulo:
Todo término con exponente cero, es
igual a la unidad, tal que la base sea
diferente de cero. Su forma general es:
a0 = 1
Ejemplos :
a) 7 0 = 1
b) ( 3 5 ) 0 = 1
c)
3 3 
2

2

0
 a n  a n 
an
a
m
1
an
9. Exponentes fraccionarios
Todo
término
con
exponente
fraccionario es equivalente a un radical
de la siguiente forma :
an 
 am  m
3
c)
5 2 x
1 =

a0
= 1
8. Exponente negativo
Toda base con exponente negativo es
igual a su recíproco o inverso con
exponente positivo. Su forma general es
:
a n 
a 
también :  
b
1
an
n
b
 
a 
n
Ejemplos:
a)
3 2 
b)
m 5 
c)
 4
 
5
1
32
n
am
3
a)
52 
b)
64 6 
53
1
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO

53
43
125
64
n
a .
b 
n
7
25
1
1
a n . bn
a.b 
6
641  6 64  2 6  2 6  2
n
c)
5
d)
2
1
7 0. 2  7 10  7 5  5 7
a
5
a5 a
n
a .
n
a
b

n
n
2
10

1
5
 7 0 .2  5 7
10. Raíz de un Producto:
Es igual al producto de cada factor bajo
el mismo radical siendo su forma
general la siguiente:
a)
n
a.b  a .
n
b
a)
4x7 
4x
7  2
7
8 
30
1
8 también 8 30
b)
1
5  2.2.2.2 5  16 5 tam bién 5 16
c)
1
1/5
1/3

532
5.3.2 4  30 4  4 30
1
/
2


4

4

 


 


13. Potencia de un radical
Esta propiedad es una aplicación del
exponente fraccionario cuya forma
general es :
3
m

n
am
Ejemplos:
3 10
a)
5 3
3
1
5
5
5 81
81
27
0,16

0, 25
3.5.2
a 
n 
 a 


b
d)
a
a
37
7

b) 3
10
m.n.p
a)
2
2

3
a 
Ejemplos:
b
Ejemplos:
0,2 
n n p
3 5 p
Sabemos que:
Ejemplo:

x 5
6
6
n
3
Es igual al radicando cuyo índice del
radical resultante es el producto de los
índices dados. Su forma general es :
5
11. Raíz de un cociente
Es igual al cociente de cada término
bajo el mismo radical cuya forma
general es :
1
5
 
4
7
2
 5
25
3
3
Finalmente por exponente fraccionario
tenemos:
n
Ejemplo:
1
9
m5
3
12 x
se transforma en:
c)

3
d) Comprobando esta propiedad, en su
forma
general
tenemos:
1
n a . b  (a . b) n
5
a0
12 x 5 
5To. Año A-B-C-D
(REPASO)
Luego por potencia de un producto,
m
d)Comprobando esta propiedad se tiene
:
b)
3

1
1
am
TEORIA EXPONENCIAL
0,16
0, 25

0,4
0,5
3 5 




2
b)  2 


c)
5

3
3

52
23  2 2
5
324   2 5


d) Comprobando
tenemos:
12. Raíz de Raíz:
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO




4
 2 4  16
esta
propiedad
I.E “SANTA MARIA REINA”
n a 




m
 
 
 a n 
 
 
1
m
5to. Año-A-B-C-D

1
E
 2m n

m

n
n
am  a n  am
TEORIA EXPONENCIAL
 m  n 1 
2 m  n 1
 2
  E


2m n

5To. Año A-B-C-D
(REPASO)
Solución:
Este ejercicio a diferencia del anterior
empezaremos eliminando los radicales y
agrupando bases iguales, tenemos :
Luego, por el cociente de bases iguales y
simplificando los exponentes se obtiene
:
01. Simplifica la siguiente expresión:
5

3 1
a 6 b3 a 2 b 2
1 3
ab 3 a 2 b 2
 3

3
 9
2m + n – 1 – m – n
3 2 m :
E =
E = 2-1
3m
Solución
Aplicando las propiedades tenemos por
la raíz de un cociente:
Por el exponente negativo resulta :
E = 2 – 1 = 1/2
03.
Luego aplicamos la propiedad
exponente fraccionario:
2m
3 2
M
m
3 2
M3 2
02.
2
3
2
2
 32  3
33
a
 M 3
Solución:
Aplicando la propiedad del exponente
fraccionario al primer factor, se tiene:
3
M  3 6 . 3 12 . 3 2
Luego por el producto de bases iguales,
resulta :
4
E = ( 2m + n )- 1 ( 2m + n – 1 )
M  36
04.

1
12

3
9

2
Simplifica
6 3
a b
3
a b . ab
ab
3
15
7
3
4
a 2 b2
9
a 2b2
 3 9 


3
7
3
9
20
b 20
a8
b8
3
7
.
3
9
3
 
2
3

9
27

1
3
... (2)

3
8  2
P
2

1
2
2
06. Determinar el resultado de simplificar:
(x 3 n  2 )5 (y 2 n 1 )4
9
R=
59




3
Solución:
Resolviendo
primeramente
las
operaciones que se encuentran en la
base (corchete) tenemos :
2
3
Finalmente, la mitad de P es:
Halla la mitad de la expresión P, si:
5
8 
4
3
Por lo tanto la expresión P queda
reducida según ( 1 ) y ( 2 ) a:
8  3
1
 3 9 4


a 2 b 2 




15
M  34
:
3
a 2b2 
10
 3

2
3
 1  3

4
2
8






 9
P  8  
 
 
 5

3
9


6
M  3 4 . 12 3 . 3 3
1
9

x15 n  8 . y 8 n 6
 a 4 b 20 . a 8 b 8  a 8 b 40
05.
6
M  34 3 . 33
4
Halla el doble de E, si :
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
3 .
Solución:
Resolviendo el primer factor según la
propiedad 11 ( raíz de raíz ) y 8 (
exponente fraccionario ) tenemos:
Finalmente aplicamos la propiedad 2:
Cociente de bases iguales.
2mm
34
a 2 b2
3
3
Aplicando la potencia de potencia,
resulta :
del
3
7




1
Calcula el valor de M, si:
M
15
5
1
 15 7  10


 a 2 b 2 




1
E  2   1
2
3m
m

Finalmente, como se trata de obtener el
doble de esta expresión:
32  m
M

25
27
9
64



 8 ....(1)
2
8
8
8
Luego simplificamos el exponente:
PROBLEMAS RESUELTOS
2m

1
9
 
8
27
9
 25 
8 


8
8
 16 
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
Solución:
Teniendo en cuenta que :
1) (a m )n  a m.n
2)
am
 a m n
an
En el numerador efectuamos la
potencia de potencia:
R=
x15 n  10 . y 8 n  4
x15 n  8 . y8 n  6
Tenemos potencia de la misma base
en el numerador y denominador.
I.E “SANTA MARIA REINA”
R = x15 n  10 15 n  8 . y8 n  4  8 n
R = x 2 . y2
5to. Año-A-B-C-D
6
07.Determinar el resultado de simplificar:
S =
a n 3 a n 4 a n 2 a n 3
a
.
a
Solución:
Teniendo en cuenta que :
m
(1)
m
(2)
(3)
an a
mn
n
an am
am
 a m n
an
a m .a n  a m  n
a n 3
a n 3
a n2
S= a
.a
misma
P=
P=
6
x 8 .x x
12
x9
24
12
x 
x 18 .x
3
 
 . 16  9  2
 
 




1
Solución:
Recordando que:
1) 4 n 
1
4n
2) 2 1 
1
2
S = (64  9
1 / 3
08. Calcular el resultado de simplificar:
x
3
x x x
Solución:
Recordando que:
a2
3
04.
7 2a 1
35 2 b
1
7 ab 1
7 ab 1
7 ab  1
E=
)
a  2b
Transformando lo que está con línea
punteada:
4 1/2
7a
.
7 ab 1
Efectuando las operaciones con las
potencias de la misma base:
9 2 = ...................................................

1
1
2

4
2
05.  4 n 

06.
b 
3
a6b
2) 9 1 / 2 
x 3 .x x x
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO


S  64 1 / 3 . 16 1 / 2
S 
3
1

91 / 2
1
1
64 3
. 16 1 / 2
1
1
9

= .............................................

3n
4n .
3n
= .......................................
4n
m
4 m 1 = .............................................
m m2
2
07.
08.
(3 n  1 )n
n
= ...............................................
 9 n  2
 
2

x  3 x  


 
 


09.
10.
3n
x3
E
E = 35
7 2
n 1
6
= ..........................................
= .............................................
7 n  2  7 n 1
2 . 7n
7 a  2b 1 . 5 a  2b . 7 1
PRACTICA DE CLASE
1
3
n1
11. Cuál es el resultado de simplificar:
7 2a  1  2 b  a  5 a  2 b
a  2b
1) 4 1 / 2 
.
5a
Solución:
Expresando 35 2b  7 2b . 5 2b ,
además
teniendo en cuenta que tenemos a la
vista la división de 2 radicales del
mismo índice:
1 / 3 1
= .......................................
n
n
a) 21
b)18
c)49
d) 7
e) –1/14
12. Indicar el resultado de simplificar
4n
n

x (2)



Indicar el resultado de efectuar:
Vamos a introducir la “x” al siguiente
radical.
P=
1
.4
4
a  2 b 7 2a  1 5 a
E 
.
7 2 b.5 2 b 7 a
).(16  4
n m
2n
64
E  a  2b
x19
2a
P=
S 
  9 
03. 3m
16
10. Calcular el resultado de simplificar, 31 a
> 2b.
a n  3 n 2
S = a a .a a
S= a
la
3
5To. Año A-B-C-D
(REPASO)
S = 1
P=
Obsérvese que tenemos una división de dos
potencias de la misma base.
a n 4 n 3
1
S
x x
repetimos

 2 1
S   64  9


a n 4
.a
Nuevamente
operación:
x4
09. Determinar el resultado de simplificar:
En primer lugar eliminamos los radicales
S= a
6
P=
TEORIA EXPONENCIAL
2
3
01. (3) . (2) = ..............................................
(4) 2
a) x+1
1/ 3
02.  161/ 3 . 1  = .......................................
 
2
d)
x
x





(2)n
b) x
e)
c) x
x4
x
13. Marcar el resultado de efectuar:
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
I.E “SANTA MARIA REINA”
n
a) 1/4
5to. Año-A-B-C-D
18. Halla el valor de E, si :
2
64 n  16 n
32n  8 n
b)
d) n 2
 0.2
35

E 
8


c) 2 n
2
e) 1
14. Calcular el resultado de simplificar:
a) 3
d) 8
b) 1/2
e) 1/8
c) ¼
15. Determinar el resultado de simplificar.
 (x 3 y  2 ) 3

 (x 2 y  3 ) 4

a)
d)
1
3
b)
x5 y10
 1 
 
 xy 
 




3
e)
 (x  2 y 3 ) 4
.
 (x  3 y 2 ) 3





A




16. Cual es el equivalente de la expresión
a) n
b) 2n
d) n n
e) N.a.
a) a
d)
n
n2
Q 
c)
c) a
a) 3
d) - 3
1 / 2 
b) 1/3
e) N.a.
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
a) 0
d) 5
08.
2
 6n
2
 15 n
a
c) n2
20 a 1
4 a  2  2 2a  2
a) 10
d) 1
04.

a) 1/9
d) 4
c) 20
-5
-1
09.
b) 2
e) 1/3
P = 64
a) 4
d) 1/2
22 / 3
c) - 3
Efectúa :
Calcular el valor de “R”, si :




- 32
M = 81
51a  31a
b) 15a
e) N.a.
c) 2
Calcular:
5 a 1 3 a 1
a 1
2
2
b) 1
e) 2/5
- 16
n
a) 2
d) 125
05.
5


 
 3  






25 n
c) 1
2
10 n
n2
a n  b n  c n
b) an + bn + cn
e) N.a.
c)
Simplificar:
a ncn  a n bn  bncn
03. Indicar el valor que se obtiene al
efectuar:
n 4a
b) 4
e) N.a.
-9
-2-4
0
b) 2
e) 1/4
c) 1
10. Reducir:
2
17. Simplifica:





a) 8
d) 2
c) 5/6
-6
1/3
16
07.
3

R   0,125 2

e) 1
a
n
a) a + b + c
d) abc
2
a n  2n
b) a
 
 0.2 16
5
E=
1
42
Simplificar:
a 4n
3n
 64
1
9 2
b) 21
e) N.a.
b6
1
6 n
2
a
n
y3
5
02.
Calcular el valor de A:
2a
 27
1
9 2
-1/40 1/2
1 / 2
b)
e) N.a.
n
1
9 2
a) 15
d) 18
b4
20.
2
k  125
c) 4
 1 / 3

  6 9 4 


 a b  


 




06. Efectuar:
01. Calcular el valor de “k”

1
1
  2 
 

b) – 2
e) N.a.
a) ab
d) a3b6
c) x
1
xy6
 1

 xy5


M  a 8

5To. Año A-B-C-D
(REPASO)
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 1
19. Simplifica la expresión:
2 n  4  2(2 n )
2(2 n  3 )
a) 1
d) 7/8
TEORIA EXPONENCIAL
b) 64
e) N.a.
S = 64 9
c) - 1/3
E
a) 8
d) 2
4 2
b) 4
e) N.a.
26
x.
26
a) x5
d) x2
Calcular el valor de “S” :
4 /5




c) 5
1
x2 .
26
x 3 ...
b) x4
e) N.a.
c) 4
2
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
- 16
E = 16
x12
c) x3
11. Hallar :
-3
- 8 - 27
26
-6
0
I.E “SANTA MARIA REINA”
5to. Año-A-B-C-D
a) 1/2
b) - 1/2
d) – 2
e) 1
12. Hallar el valor de E, si:
2
  5  3 
E     
 7  


a) 1 b) 2
d) 8
c) 2
7 
 
5 
E = 16
c) 4
14. Efectúa:
5 (16)
0
a) 2
d) 12
16. Si x
xx
1
1
 
2
1
a) 1
d) 18
b) 4
e) N.a.
2


a) 32
d) 64
x
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
2
2m  2m
b) 3
e) 7
c) 5
07. Reducir:
x a  b  ya  b
xb  a  yb  a
a  b





0 .2
a) x2
d) y2
b) y
e) x
c) xy
08. Reducir:
d)
c) 6
x5
se
12 5
x
c) 12 x
e) N.a.
Reduce:
a) 1
d) 1/4
c) 60






3
b)
03.
b) 48
e) N.a.
1


 2 1 3
1




 64 




b) 1/2
e) N.a.
-4
-2
b) 3
e) 4
0,2
c) 4/9
09. Operar:
-2
1
64
a) 1
d) 4
-1
-1
-1
-3
(-27)
b) 2
e) N.a.
c) 1/2
10. Señalar el resultado que se obtiene al
simplificar
P= 16
a) 2
d) 5
b) 2/3
e) 27/8
S=
-9
-125
- 32
16
0
a) 3/2
d) 9/4
c) 1/3
04. Calcular:
debe
2

E  (27) 2 / 3  (27) 5 / 3 
81 

c) 1
1
2


9 4
 125







1
1
2

 9 4
8
. 2









1 / 2
05. Efectuar:
a)
3
5
d) 5
b)
5
3
a) 2
d) 4/5
2 m  7 .16 m  8
4 m  9 .8 m  6
5
3
 2 , calcula :
M=X
a) 1
d) 2
Efectúa:
a) x12
b) 3
e) N.a.

 3 5

2
3


 
 5 


c) 6
c) 9
1
1 2
 
8 
 
para que el resultado sea
x
x+x
x+x
b) 81
e) 1/729

3
x
 x .

4
6
 x .
x

20.
¿Cuánto
aumentar a la expresión :
1 
1
 3

2
 
 

8 5 . 54 6 . 812
02.
c) 16
4 n  3  4 (4 n )
M
4 (4 n  1 )
c) 15
1
 
4
b) 32
e) N.a.
2m  2
m
18 5 . 1210 . (0.5)4
a) 729
d) 3
18. Resuelve la expresión :
4
15. Halla el valor de la expresión :



-2
5To. Año A-B-C-D
R 
-3
-1
(REPASO)
01. Simplifica:
19. Calcula el valor de M, si :
-6
b)10
e) N.a.

1
M  
 8

-4
 3 n  1.
E
 3 n
b) 16
e) N.a.
a) 5
d) 20
a) 64
d) 4
3 n  3  3  3 n 


3  3 n  1 


-5
c) 8
E
6
13. Calcular la octava parte de la expresión
P, si sabemos que:
a) 24
d) 3
b) 4
e) N.a.
17. Calcula el valor de :
c) 4
e) N.a.
P
a) 2
d) 16
TEORIA EXPONENCIAL
c)
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA

5
3
a) 3
d) 10
b) 5
e) 12
c) 8
06. Reducir:
Lic. Hugo Tomás RIVERA PRIETO
b) 2/3
e) N.a.
c) 2/5