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INDICE
CONTENIDO
PÁGINA
Carátula
Dedicatoria
Agradecimiento
Índice ........................................................................................................01
Introducción ..............................................................................................03
Descripción del problema..........................................................................04
MARCO TEÓRICO
CAPÍTULO I
1. PRINCIPIOS DE ÁLGEBRA
Caso 1.- Factor Común ......................................................................05
Caso 2.- Factor Común por agrupamiento .........................................06
Caso 3.- Trinomio Cuadrado Perfecto ................................................06
Caso 4.- Diferencia de Cuadrado .......................................................07
Caso 5.- Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.......08
Caso 6.- Trinomio de la forma x2 + bx + c ..........................................08
Caso 7.- Trinomio de la forma ax2 + bx + c ........................................10
Caso 8.- Cubo perfecto de binomios ..................................................10
Caso 9.- Suma y diferencia de cubos perfectos .................................11
Caso 10.- Suma y diferencia de potencias iguales.............................12
CAPÍTULO II
2. GEOMETRÍA
Teorema de Pitágoras .........................................................................13
Teorema de la Altura ...........................................................................13
Teorema del Cateto.............................................................................13
Segmentos Rectilíneos........................................................................13
1
Ángulos................................................................................................14
CAPÍTULO III
3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Circulo Trigonométrico.........................................................................15
Funciones Trigonométricas. Definición...............................................17
Funciones Trigonométricas. Signos ...................................................17
Reducción de Funciones Trigonométricas al primer cuadrante...........18
Valores numéricos de las funciones de 45°, 30° y 60° ........................18
Valores numéricos de las funciones de 0°, 90°, 180° y 270°...............19
Resolución de triángulos rectángulos ..................................................20
Identidades trigonométricas.................................................................20
CAPÍTULO IV
4. ESTADÍSTICA
Población, muestra y variable Estadística ...........................................22
Tablas estadísticas, frecuencia absoluta y relativa..............................22
Datos agrupados, intervalos y marcas de clase ..................................22
Representaciones gráficas ..................................................................22
Medidas de tendencia central..............................................................23
Probabilidad.........................................................................................23
CAPÍTULO V
5. TEORÍA QUE FUNDAMENTA EL PRODUCTO EDUCATIVO ...........24
PRODUCTO EDUCATIVO
Estructura del Sistema..............................................................................27
Producto de calidad ..................................................................................30
Anexos ......................................................................................................32
Bibliografía ................................................................................................34
2
INTRODUCCION
El Matemático Virtual se origina por la necesidad de apoyar al maestro y
facilitar la enseñanza en los alumnos de décimo año de educación básica.
Este producto se desarrolla con la idea de crear un nuevo instrumento para
mejorar las bases teóricas y aplicarlo con facilidad en la práctica.
No pretendemos reemplazar la actividad del Maestro, sino queremos dotarle
de un instrumento de apoyo y trabajo. Además considerando las diversas
capacidades de asimilación del estudiante, le facilitaremos su aprendizaje
otorgándole un conjunto de leyes y propiedades, tales como axiomas y
teoremas, que dan sustento a las matemáticas, y permiten la obtención de
conocimientos a partir de otros.
Hemos
combinado
el
arte
de
“ENSEÑAR”
y
el
avance
de
la
“TECNOLOGÍA” para formar al MATEMÁTICO VIRTUAL.
Este producto es un desarrollador de conocimientos implementado en un
Programa Informático Interactivo.
El Matemático Virtual influirá dentro del proceso enseñanza aprendizaje
como un producto de entretenimiento interactivo, llamativo, participativo e
interesante.
3
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
En la actualidad el desarrollo de las matemáticas viene precedido de algunos
impedimentos.
alumno.
El primero pensamos que es el ambiente que rodea al
De aquí se deriva que la mayoría de los alumnos vean las
matemáticas como un mal necesario, y solo busquen el número suficiente
que represente en su calificación la aprobación de dicha materia, sin
importar el aprendizaje de la misma.
El segundo consideramos que el
profesor no encuentra una metodología clara para llegar a sus dirigidos, o no
tiene facilidad de palabra y paciencia para repetir pequeños detalles que
para un maestro parecen sencillos, pero el alumno difícilmente lo asimila.
Otro inconveniente que existe en las matemáticas es que no todos los
alumnos se encuentran en la misma capacidad de aprender, y a los
maestros poco les importa si el alumno aprende ya que solo buscan cumplir
con el dichoso avance programático.
Este producto se aplicará dentro del contexto educativo enlazando campos
como la Informática, la Matemática y la Pedagogía. Se empleará en los
décimos años de educación básica del Colegio San Vicente Ferrer en la
ciudad de Puyo, provincia de Pastaza; además será de gran utilidad para
quienes necesiten recordar las bases fundamentales del álgebra, geometría,
trigonometría, y estadística.
Con este sistema interactivo, el adiestramiento de los alumnos se replantea
con nuevas tecnologías, que potencian tanto el grado de asimilación que se
logra, como la facilidad para conseguirlo.
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MARCO TEÓRICO
CAPITULO I
PRINCIPIOS DE ÁLGEBRA
Los matemáticos pasaron de la aritmética (números concretos) al álgebra
cuando se interesaron en las operaciones que podían realizarse con
cualquier número al que representaban con una letra.
Así la palabra álgebra se originó en un libro titulado Hisab al Abr w’ al-mugabalah, escrito en 825 por Mohammed al-Khowarizmi, matemático musulmán.
En un principio las operaciones se describían con muchas palabras, era la
época de álgebra retórica, por ejemplo se decía “¿Cuánto vale la cosa que,
si se la duplica y se le añade quince, vale el cuadrado de la cosa?”. Luego
se utilizó la matemática sincopada y la misma frase pasó a ser: “Dos veces
cosa más quince es cosa por cosa ¿Cuánto es la cosa?”.
En el siglo XVI comenzó la etapa del álgebra simbólica, en la que asignamos
una letra a cada incógnita.
CASO 1.- FACTOR COMÚN
Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se
presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como
factor común.
Descomponer en factores a2 + 2a
Esta expresión tiene su factor común a como coeficiente de un paréntesis;
dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir:
a2 / a = a
y 2a / a = 2 y tendremos: a2 + 2a = a ( a + 2)
5
CASO 2.- FACTOR POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es
posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de
cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original.
Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o
más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que
queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor
común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.
Descomponer ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los últimos el factor
común y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos
últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo
+ y tendremos:
ax + bx + ay + by = ( ax + bx ) + ( ay + by )
= x(a+b)+ y(a+b)
= (a+b)(x+y)
CASO 3.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de
tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos
(tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble
producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al
cuadrado.
6
4x2 + 25y2 - 20 xy
Descomponer
Ordenando el trinomio tenemos:
4x2 - 20 xy + 25y2 = ( 2x - 5y) ( 2x - 5y) = ( 2x - 5y)2
2x
5y
CASO 4.- DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para
factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se
multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.
Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la
diferencia contengan más de un término.
Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres
de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y
combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de
cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados
perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.
16x2 – 25y4
Descomponer en factores
La raíz cuadrada de 16x2 es 4x; la raíz cuadrada de 25y4 es 5y2 Multiplico
la suma de estas raíces (4x + 5y2) por su diferencia (4x - 5y2) y tendremos:
16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) (4x - 5y2)
7
CASO 5.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO INCOMPLETO
Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados
perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el
término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber
cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el
término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo,
de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el
último término tendremos una diferencia de cuadrados.
Caso especial: Factorar una suma de cuadrados, se suma el término que
hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se
resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto
enseguida una diferencia de cuadrados.
x4 + x2 y2 + y4
Descomponer en factores
Como podemos observar en este ejemplo el trinomio no es perfecto por lo
cual se debe sumar y restar x2 y2 para obtener el segundo miembro por el
doble.
x4 + x2 y2 + y4
x2 y2
- x2 y2
x4 +2 x2 y2 + y4 - x2 y2
= ( x4 +2 x2 y2 + y4 ) - x2 y2
Factorando el trinomio cuadrado perfecto
= (x2 + y2 ) 2 - x2 y2
Factorando la diferencia de cuadrados
= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
Ordenando los binomios tenemos:
= (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2)
CASO 6.- TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C
Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:
8
El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la
misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).
Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y
donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término
en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada
paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo
término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del
trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo
siguiente:
Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el
otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo
término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.
Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán
iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del
trinomio.
x2 – 7x + 12
Descomponer en factores
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz
cuadrada de x2 o sea x:
x2 – 7x + 12 = ( x
) (x
)
Ubicamos el signo negativo en el primer factor porque es el signo del
segundo término –7x; y para el segundo factor aplicamos la ley de signos
que nos da negativo.
x2 – 7x + 12 = ( x -
) (x-
)
Buscamos un número que multiplicado de 12 y sumado 7; en este caso 4 y
3, los ubicamos respectivamente en los paréntesis y tenemos:
x2 – 7x + 12 = ( x - 4 ) ( x - 3 )
9
CASO 7.- TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer
término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el
coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de
la forma: x2 + bx + c; y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el
trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número
que esta como denominador.
20x2 + 7x – 6
Descomponer en factores
Multiplicando el trinomio por 20 tendremos: ( 20x)2 + 7 (20x) – 120
Descomponiendo este trinomio , tenemos ( 20x + 15 ) ( 20x – 8 ).
Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir por 20, pero como
ninguno de los dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en
5 x 4 y dividimos el factor ( 0x + 15 ) entre 5 y ( 20x - 8 ) entre 4
tendremos:
( 20x + 15 ) ( 20x – 8 )
----------------------------------- = ( 4x + 3 ) ( 5x - 2 )
5 x 4
CASO 8.- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si
cumple las siguientes condiciones:
Posee cuatro términos
El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas
exactas).
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El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último
término - multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el
tercero y negativo el segundo y el cuarto.
Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el
primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo
término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es
mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del
segundo y cuarto término del cubo son menos.
Hallar si 8x3 + 12 x2 + 6x + 1 es el cubo de un binomio
Veamos si cumple las condiciones expuestas antes. La expresión tiene 4
términos:
La raíz cúbica de 8x3 es 2x
La raíz cúbica de 1 es 1
3 (2x) 2 (1) = 12 x2, segundo término
3 (2x) (1)2 = 6x, tercer término
Cumple las condiciones, y como todos su términos son positivos, la
expresión factorizada es (2x + 1)3
CASO 9.- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos.
Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por
las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado
por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la
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segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos
a3 + b3 = (a + b) ( a2 – ab + b2)
formas acuerdo a lo siguiente:
a3 - b3 = (a - b) ( a2 + ab + b2)
a3 - 8
Descomponer en factores
La raíz cúbica de a3 es a ; la de 8 es 2. Según la Regla 1
a3 - 8 = ( a – 2) [a2 + 2(a) + 22] = ( a – 2) (a2 + 2a + 4)
CASO 10.- SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:
Para an - bn con n = par o impar la factorización será:
an - bn = (a – b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + abn-1 + bn)
Para an-bn con n = par la factorización será:
an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2 - … - abn-1 + bn)
Para an + bn con n = impar la factorización será:
an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2 - … - abn-1 + bn)
m5 + n5
Descomponer en factores
Dividiendo entre m + n los signos del coeficiente son alternativamente + y m5 + n5
= m4 – m3n + m2n2 –mn3 + n4
m+n
( m5 + n5 ) ( m4 – m3n + m2n2 –mn3 + n4.)
12
CAPITULO II
GEOMETRÍA
TEOREMA DE PITÁGORAS
Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que
establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados (catetos). El teorema de Pitágoras
permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen
los otros dos lados despejando la siguiente fórmula: a2 = b2 + c2.
TEOREMA DE LA ALTURA
En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa (hc) es
media proporcional geométrica entre los dos segmentos (p y q) que dicha
altura determina en la hipotenusa.
hc2 = p. q
TEOREMA DEL CATETO
En un triángulo rectángulo, la media de cada cateto (a y b) es media
proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección
sobre ella. Los segmentos c y p son los segmentos proyectados sobre la
hipotenusa.
a2 = c. p
b2 = c. q
SEGMENTOS RECTILÍNEOS
Cualquier segmento u, distinto de cero, puede utilizarse como unidad de
medida.
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ÁNGULOS
Porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común. Las
semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo (inicial y terminal) y el
punto en común, vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de
sus lados
Clasificación
Si la semirrecta que genera un ángulo gira en sentido contrario a las agujas
del reloj, el ángulo generado es positivo; si la semirrecta gira en el mismo
sentido de las agujas del reloj, el ángulo es negativo.
Ángulo Central.- Tiene su vértice en el centro de una circunferencia.
Ángulo coterminal.- Son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo
lado terminal.
Ángulo en posición normal.- Cuyo vértice está en el origen de coordenadas,
y el lado inicial coincide con el eje positivo de las abcisas (x).
Medida
La magnitud de un ángulo es la amplitud de rotación para llegar desde el
lado inicial hasta el lado terminal. Medir un ángulo es compararlo con otro
que se toma como unidad. Los sistemas usados para medir ángulos son el
sistema sexagesimal y el Sistema Internacional (SI).
La unidad de medida más común es el grado sexagesimal, que consiste en
1/360 del ángulo completo. Se designa con el Símbolo (°). En el Sistema
Internacional, la unidad de medida es el radián (Rad.).
Un radián es la
medida de un ángulo central que determina un arco cuya longitud es igual al
radio de la circunferencia.
Su relación con el grado sexagesimal es la
siguiente: 180° = _ Rad.
14
CAPITULO III
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre
los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de
las funciones trigonométricas de ángulos.
Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de
la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema
era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no
podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la
Luna.
Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la
física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de
fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
CIRCULO TRIGONOMETRICO
Es un círculo de radio uno (1), donde cada función trigonométrica puede
representarse mediante un segmento.
15
Se trabaja con un círculo de radio unitario, es decir r =1.
hipotenusa = 1.
De aquí resulta
Se gráfica un ángulo en posición normal y un punto sobre
un lado terminal, así queda determinado un triángulo rectángulo, a partir del
cual podemos definir seis funciones trigonométricas que nos permiten
establecer relaciones entre el ángulo y cocientes de lados del triángulo.
y
D
α
A
α
0 cos α
B
x
De ahí parten las razones trigonométricas que definimos.
1
y
sen α = y
csc α =
cos α = x
sec α =
1
x
cot α =
x
cos α
=
y
sen α
tan α =
y
sen α
=
x
cos α
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS – DEFINICIÓN
Consiste en definir las Funciones Trigonométricas a partir de la formación de
un triángulo rectángulo, sea un ángulo en posición normal y un punto
cualquiera sobre un lado terminal, con un vector r del triángulo OPQ.
y
Lado
terminal
sen α =
cateto opuesto
b
ordenada
= =
hipotenusa
r radio vector
c os α =
cateto adyacente
a
abscisa
= =
hipotenusa
r radio vector
P(a,b)
b
tanα =
r
b
cateto opuesto
b ordenada
= =
cateto adyacente a
abscisa
‘Funciones Trigonométricas Inversas’
α
a
0
Q
x
csc α =
hipotenusa
r radio vector
= =
cateto opuesto
b
ordenada
s ecα =
hipotenusa
r radio vector
= =
cateto adyacente
a
abscisa
cotα =
cateto adyacente
a
abscisa
= =
cateto opuesto
b ordenada
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS - SIGNOS
Las Funciones Trigonométricas de acuerdo a su posición encontrada
también se identifican con su respectivo signo, recordemos que el plano se
divide, a partir de los ejes de coordenadas, en cuatro cuadrantes, así
tenemos los signos respectivos de cada función:
sen α y csc
cos α y
y
tan α y cot
y
+
+
–
–
x
y
–
+
–
+
x
17
–
+
+
–
x
REDUCCIÓN
DE
FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
AL
PRIMER
CUADRANTE
Es un proceso que se emplea para facilitar el desarrollo y la resolución de
ejercicios, aunque las calculadoras científicas nos permiten obtener
fácilmente las razones trigonométricas de cualquier ángulo, a veces
conviene comparar dichas razones con las razones situadas en el primer
cuadrante.
Aquí
presentamos
las
respectivas
aplicaciones
para
las
funciones
encontradas en los diferentes cuadrantes.
ÁNGULOS EN EL SEGUNDO CUADRANTE
sen α = sen (180° - α)
cos α = -cos (α – 180°)
tan α = -tan (180° - α)
ÁNGULOS EN EL TERCER CUADRANTE
sen α = -sen (α - 180°)
cos α = -cos (α – 180°)
tan α = tan (α - 180°)
ÁNGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE
sen α = -sen (360° - α)
cos α = cos (360° - α)
tan α = -tan (360° - α)
VALORES NUMERICOS DE LAS FUNCIONES DE 45°, 30° Y 60°
Dentro de la resolución de ejercicios y la determinación de las funciones
trigonométricas en los diversos ángulos, encontramos aquellos que
fácilmente los podemos obtener basta aplicar una tabla, además con
ángulos que se utilizan con mucha frecuencia.
18
Aquí se presenta una tabla que se aplica para la determinación de las
funciones trigonométricas para estos ángulos.
Grados
30°
45°
60°
Radianes
π/6
π/4
π/3
se n
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
3
1
3
3
cos
tan
cot
3
se c
23
3
2
2
c sc
2
2
23
3
VALORES NUMERICOS DE LAS FUNCIONES DE 0°, 90°, 180° Y 270°
Al igual que en el tema anterior estos ángulos son utilizados con frecuencia
en geometría y se los llama ángulos notables y se los obtiene de la
observación del círculo trigonométrico de radio igual a la unidad. Aquí se
muestra la tabla de los valores obtenidos.
Grados
0°
90°
180°
270°
360°
Radianes
0
π/2
π
3π/4
2π
sen
0
1
0
-1
0
cos
1
0
-1
0
1
tan
0
ND
0
ND
0
cot
ND
0
ND
0
ND
sec
1
ND
-1
ND
1
csc
ND
1
ND
-1
ND
19
Los valores de las funciones trigonométricas que hemos mencionado y, en
general, todo valor está incorporado a las calculadoras científicas.
RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
Al obtener los conocimientos anteriormente señalados podemos resolver
ejercicios de aplicación.
Este tema señala la resolución y aplicación de las teorías aprendidas, para
ello se considera algunos criterios que se pueden presentar dentro de su
planteamiento del problema, tenemos así:
o Se conoce un lado y un ángulo
o Se conoce dos lados
Planteamos el problema y utilizamos los valores dados.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Son relaciones que establecemos, entre las razones trigonométricas, que se
expresan a través de una igualdad.
Consideremos que de acuerdo a la necesidad se pueden sustituir, igualar y
despejar.
Las Identidades son:
sen α
tan α =
cos α
sec α =
1
cos α
1 = sen 2α + cos 2α
cot α =
cos α
sen α
csc α =
1
sen α
tan2α +1 = sec 2α
20
1 + cot 2α = csc 2α
CAPITULO IV
ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
El primer campo de actuación de la estadística es la demografía. De esta
ciencia ha tomado la nomenclatura (población, individuo…).
Se llama población al conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento
interesa. Cada uno de esos elementos es un individuo. Si se está estudiando
el resultado de ciertos experimentos químicos, cada uno de esos
experimentos será un individuo estadístico y el conjunto de todos los
posibles experimentos en esas condiciones será la población.
Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por
ejemplo, si los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de
hermanos o su estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción
química, el tiempo de reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es
ácido o básico serán posibles caracteres que pueden analizarse.
Un carácter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo
si no admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son
caracteres cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres
cualitativos.
Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo configuran
una variable estadística. La variable estatura, en cierta población estadística,
toma valores en el intervalo 147-205; y la variable número de hermanos
toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como esta
última es discreta, ya que sólo admite valores aislados. Una variable
estadística es continua si admite todos los valores de un intervalo, como
ocurre con la estatura.
21
POBLACIÓN, MUESTRA Y VARIABLES ESTADÍSTICAS
Población.-
Es el conjunto de personas, animales u objetos sobre los
cuales se estudia una determinada característica.
Muestra.- La muestra es una parte representativa de la población.
Variables Estadísticas.-
Se expresan mediante una cantidad y son
cuantitativas, también se expresan mediante una cualidad o característica y
se llaman cualitativas.
TABLAS ESTADÍSTICAS, FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA
Tablas Estadísticas.- Se la conoce también como tablas de distribución de
frecuencias.
Frecuencia Absoluta.-
Es la cantidad de veces que se repite un
determinado valor de una variable.
Frecuencia Relativa.-
Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el
número de individuos de la población o de la muestra. La suma de las
frecuencias relativas es igual a la unidad.
DATOS AGRUPADOS, INTERVALOS Y MARCAS DE CLASE
Intervalo de Clase.-
Cuando los diferentes resultados obtenidos se
agrupan, se forman los intervalos de clase.
Marca de Clase.- Es el punto medio de cada intervalo.
22
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Los datos de un fenómeno estadístico y sus respectivas frecuencias,
ordenadas en tablas estadísticas, se pueden representar en distintos tipos
de gráficos, que nos ayudan a analizar de forma más rápida e intuitiva la
información obtenida, así:
Diagramas
de
barras.-
Los
diagramas
de
barras
de
utilizan
preferentemente para distribuciones de frecuencias en que la variable toma
pocos valores diferentes.
Polígonos de frecuencia.-
Los puntos de las frecuencias absolutas se
unen mediante segmentos, resultando una línea poligonal llamada polígono
de frecuencias.
Gráficos circulares.-
Los gráficos circulares son muy útiles cuando se
requieren mostrar porcentajes.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Es muy útil calcular ciertos números que reflejan la tendencia de los datos a
concentrarse en torno a un valor central.
Esos números que llamamos
medidas de tendencia central son:
Media Aritmética.- Es el cociente entre el total de la frecuencia acumulada
y el total de la frecuencia absoluta.
Mediana.- Es una de las medidas de centralización. Colocando todos los
valores en orden creciente, la mediana es aquél que ocupa la posición
central.
Moda.- La moda de un conjunto de datos, es el dato que más se repite, es
decir, el que tiene mayor frecuencia.
23
CAPÍTULO V
TEORÍA QUE FUNDAMENTA EL PRODUCTO EDUCATIVO
Desde la aparición de las computadoras en los años 80 se trata de
incorporarlas a la enseñanza, pero no se obtienen los resultados esperados.
Una explicación parcial de esto es que la aplicación de esquemas y prácticas
usuales solamente produce en los aprendices una actividad mental de bajo
nivel, y no llegan a explotar el potencial específico de la computadora, como
por ejemplo, su posibilidad interactiva y su gran capacidad para la
presentación de datos, que fue obviada o tal vez no tan estudiada por mucho
tiempo.
Se cree que las computadoras deben estar inmersas en ambientes de
aprendizajes poderosos y colaborativos, como herramientas que apoyan el
proceso activo de construcción del aprendizaje y de desarrollo de
habilidades. No al aprendizaje como un proceso pasivo de adquisición de
información, sino al aprendizaje basado en la interactividad y en el
autoaprendizaje, que para muchos es una solución eficaz para superar los
problemas de la distancia, la adecuación a las necesidades de los alumnos y
a las limitaciones del tiempo.
Del ordenador hay que aprovechar su potencial y fortaleza específica para
presentar, representar y transformar la información, diseñando programas
educativos para servir como herramientas de apoyo dentro del aprendizaje
(Enseñanza Asistida por Ordenador, EAO).
“Enseñanza Asistida por ordenador o computadora (EAO), tipo de programa
educativo diseñado para servir como herramienta de aprendizaje” 1
1 Enciclopedia Microsoft Encarta 2004
24
Además la EAO utiliza una metodología atractiva, participativa y dinámica,
para que los usuarios se familiaricen con el programa. Atractiva porque
abarca diversos diseños combinados con efectos, colores, gráficos y otros
elementos para atraer la atención y mantener el nivel de interés.
Participativa y dinámica puesto que se utiliza ejercicios y sesiones de
preguntas y respuestas para presentar un tema y verificar su comprensión
por parte del estudiante, permitiendo también estudiar a su propio ritmo,
adquiriendo conocimientos de lo simple a lo complejo.
Un aspecto importante que influye en la calidad de un programa de EAO es
la uniformidad en los procedimientos de acción del alumno respecto al
programa. Por ejemplo, la entrada y salida al programa, la realización de
actividades, etc., siempre deben ser idénticas. Además la interacción se
facilita cuando aparecen las funciones más utilizadas en la pantalla, de
manera que con sólo pulsarlas se pueda pasar de una parte a otra del
programa.
Para la elaboración de este tipo de software se utilizan herramientas
informáticas, diseñadas en un lenguaje Informático Experto, que es un
sistema de programación de aplicaciones diseñado para crear programas,
bases de datos y materiales para la enseñanza asistida por ordenador o
computadora.
Para considerar que un software educativo está diseñado correctamente, se
debe tener en cuenta si garantiza lo siguiente:
facilitar la motivación,
recordar el aprendizaje anterior, proporcionar nuevos estímulos, activar la
respuesta de los alumnos, proporcionar información, estimular la práctica,
establecer una secuencia de aprendizaje, propiciar recursos, generar efectos
visuales y auditivos, ser cómodamente interactivos, poder procesar símbolos
y ser modificables.
Dentro del uso didáctico, la EAO ofrece indudables ventajas en el campo de
la formación; puede facilitar la adquisición de unos contenidos a través de un
programa de ordenador, de tal forma que, el usuario – alumno es el receptor
25
de esos contenidos, y el programa de ordenador sustituye al formador en
sus funciones de: Transmitir conocimientos, aportar ejemplos y ejercicios
prácticos, controlar el aprendizaje de los alumnos y proporcionarles una
información inmediata sobre sus resultados.
Basada en la interactividad y en el autoaprendizaje, es para muchos una
solución eficaz para superar los problemas de la distancia, la adecuación a
las necesidades de los alumnos y a las limitaciones de tiempo.
La EAO es, en sí misma, una metodología de formación y como tal sólo un
buen diseño de los programas y su adecuada utilización posterior aseguran
el éxito de la formación.
26
PRODUCTO EDUCATIVO
ESTRUCTURA DEL SISTEMA
Nuestro Producto consiste en un software interactivo cargado en CD-ROM
de fácil manejo, el cual debe ser instalado en un ordenador.
Está
estructurado en base a cuatro unidades didácticas del programa de estudio
del Décimo año de Educación Básica. Al ingresar a cada unidad el usuario
dispondrá de diferentes temas en donde se explica los fundamentos
teóricos, se desarrollan ejemplos, y se plantean ejercicios para que el
usuario ejercite lo aprendido, siempre ayudado por las modernas tecnologías
del campo informático.
La estructura del Matemático Virtual es la siguiente:
MENÚ INTERACTIVO
UNIDADES EDUCATIVAS
Sesiones de Estudio
Explicación
Teórica
•
Menú.-
Desarrollo
Práctico
Ejercicios
Luego de ingresar al sistema encontramos la pantalla
principal, con su respectivo menú para facilitar el acceso a las
sesiones de estudio.
27
•
Menú Interactivo.- Es el que permite el acceso en forma fácil a las
cuatro unidades educativas, simplemente ejecutando un clic en el
respectivo cuadro de la unidad.
•
Sesiones de Estudio.- Una vez seleccionada la unidad el usuario
ingresará a la sesión específica de estudio, que contendrá lo
siguiente:
28
Explicación Teórica.- Explicará todos los fundamentos necesarios
para que el alumno pueda comprender porqué se aplica tal teorema o
axioma para resolver un ejercicio.
Desarrollo Práctico.- A través de ejercicios dirigidos se explicará
paso a paso el desarrollo de los mismos. En el caso de Factorización
hemos implementado una opción explicativa audiovisual que ayudará
al estudiante a resolver de forma rápida los ejercicios.
Ejercicios.-
El usuario dispondrá de diferentes ejercicios para la
aplicación de los conocimientos adquiridos, para ello hemos
implementado un libro guía para el alumno, en el cual se ofrece los
ejercicios planteados en nuestro software para que lo desarrolle
manualmente, los cuales también servirán al maestro en su proceso
evaluativo.
Todas las presentaciones de este sistema están diseñadas bajo ciertos
criterios de accesibilidad y manejo para el usuario como botones de
opciones y menús interactivos de trabajo que serán ejecutados en forma fácil
mediante el típico clic del ratón.
Cierra y Minimiza la
sesión.
Tema de estudio
Muestra una
explicación detallada
de la teoría
Muestra el desarrollo
paso a paso de los
ejercicios
Muestra una serie de
ejercicios a
desarrollar en la guía
del alumno
Regresa a la Unidad.
29
PRODUCTO DE CALIDAD
El Matemático Virtual es un producto de calidad porque incorpora tres
campos muy importantes dentro de la educación.
1.-
La matemática:
Como una asignatura que refleja resultados muy
pobres en las evaluaciones aplicadas, porque el estudiante presenta
desmotivación por el estudio de esta disciplina. Por ello se debe desarrollar
y explicar en forma adecuada para que exista un aprendizaje significativo, y
así reducir el porcentaje de deserción escolar que se atribuye en parte a este
problema.
Por ello se desarrolla:
•
Álgebra
A través del álgebra el alumno tendrá los conocimientos básicos para
desarrollar problemas en los niveles superiores de estudio, por ello los
matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de
objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma
más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
•
Trigonometría
El usuario de este Producto Educativo relacionará las medidas de los
lados del triángulo con sus ángulos, los signos de las funciones
trigonométricas según el cuadrante en que se encuentra ubicado e
identificará las identidades trigonométricas.
Al mismo tiempo dominará los conceptos básicos que le ayudará a
comprender con facilidad una trigonometría que es de gran utilidad en
situaciones en las cuales se trata de medir longitudes inaccesibles.
30
Geometría
Como una rama de las matemáticas que se preocupa de problemas
métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la
superficie y volumen de cuerpos sólidos, esta disciplina es de gran
ayuda en la vida cotidiana.
Estadística
A través de la estadística el alumno alcanzará un basto conocimiento
para analizar datos y hechos de la vida real, y representarlos
gráficamente.
2.- La Informática: Como un medio que en los últimos años ha desarrollado
grandes cambios en todos los campos, en especial como una herramienta
aplicable a la educación, en manuales interactivos, enciclopedias, Internet,
juegos de creatividad, etc.
3.- La Pedagogía: Como una guía en métodos y técnicas empleados para
la transmisión del conocimiento, así como la explicación básica de teorías y
conceptos fundamentales para el desarrollo y resolución de cualquier
ejercicio.
31
ANEXOS
Hno. Miguel Ángel González Director del Producto Educativo
Grupo de Trabajo: Patricio Quishpe, Lorena Villegas, Pablo Villafuerte
32
Alumnos de Décimo año de Educación Básica del Colegio San Vicente
Ferrer, en el Laboratorio de computación.
Equipo utilizado para la elaboración del Matemático Virtual
33
BIBLIOGRAFÍA
ARÉCHIGA MARAVILLAS, José, “Problemática de la transferencia de
las matemáticas”, http://www.uag.mx/63/a04-04.htm
CALVACHE G; ROSERO T; YACELGA M, “Geometría Plana y del
Espacio”, 2001.
COLECCIÓN LNS, “Matemáticas”, Edibosco, Talleres Gráficas LNSCuenca, 1991, Cuenca Ecuador.
ESPINOZA LOPEZ Alfredo, “Matemáticas para Tercer Curso”,Fosset
Graba, 2 Edición,1990, Guayaquil
GUERRERO
CASTRO,
Francisco,
[email protected]
“Tecnologías de la Información y la Comunicación en el proceso
Enseñanza – Aprendizaje”, www.monografias.com
GONZALEZ M.O. MANCILL J.D,
“Álgebra
Elemental
Moderna”,
Editorial Kapelusz, 1962, Argentina Volumen 2
GRUPO SANTILLANA, “Matemáticas, Guía Didáctica No. 10”, Edición
1999, Ecuador.
LELONG Jaqueline, “Álgebra Tomo1”, Editorial Reverte S.A, Barcelona,
Bogotá, Buenos Aires, Caracas, Mexico, Río de Janeiro.
LONDOÑO Nelson; BEDOYA Hernando, “Matemática Progresiva 8 –
Álgebra y Geometría”, Grupo Editorial Santillana, 1992, Colombia.
LONDOÑO Nelson; BEDOYA Hernando, “Matemática Progresiva 10 –
Geometría Analítica y Trigonometría”, Grupo Editorial Santillana, 1994,
Colombia.
34
MARTIN Janes; ODELL James, “Análisis y Diseño Orientado a Objetos”,
Prentice Hall Hispanoamericana S.A.
MORENO GUTIERREZ Vladimir; RESTREPO LÓPEZ Mauricio, “Alfa
10”, Grupo Editorial Norma, 2001.
MORENO GUTIERREZ Vladimir; RESTREPO LÓPEZ Mauricio, “Alfa
11”, Grupo Editorial Norma, 2001.
PAUL K. REES – FRED W. SPARKS,
“Álgebra”,
Editorial
Reverte
Mexicana, S.A, 1968, Mexico.
SANTILLANA, “Calculo - Matemáticas 11”, Editorial Santillana, Santa Fe
Bogotá Colombia.
VARELA LEOPOLDO-FONCUBERTA A JUAN, “Matemática Dinámica
3”, Editorial Kapelusz, 1973, Buenos Aires.
35
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
PROGRAMA ACADÉMICO PUYO
U. P. S.
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD INFORMÁTICA EDUCATIVA
PRODUCTO EDUCATIVO
“EL MATEMÁTICO VIRTUAL”
PRODUCTO EDUCATIVO PREVIO A LA OBTENCIÓN DE LA
LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESPECIALIDAD
“INFORMÁTICA EDUCATIVA”
Integrantes:
Patricio Quishpe Avilés
Pablo Félix Villafuerte Gavilanes
Lorena Elizabeth Villegas Mayorga
Director:
Hno. Miguel Ángel González
Puyo – Pastaza – Ecuador
2004
36
D E D I C A T O
R I A
Al escalar un peldaño más en
nuestras vidas; dedicamos todo
el
esfuerzo
y
persistencia
reflejado en este trabajo a:
Dios como cuarto integrante del
grupo;
Nuestros
Padres
incondicional; y,
37
por
su
amor
Compañeros
trabajo,
de
Tesis
dedicación
por
y
mutuo.
Lorena Villegas Mayorga
Patricio Quishpe Aviles
Pablo Villafuerte
Gavilanes
38
el
apoyo
A G R A D E C I
M I E N T O
El presente trabajo esta dirigido con
inmensa gratitud a:
Nuestros Maestros que supieron
impartir sus conocimientos.
La Universidad Politécnica Salesiana
por abrirnos las puertas del
conocimiento y brindarnos una
educación de calidad.
Colegio San Vicente Ferrer por
permitirnos desarrollar el trabajo en
sus instalaciones.
39
Al Hno. Miguel Angel González, por su
labor desinteresada como Director del
Programa Académico Puyo, y como
nuestro Director de Tesis.
Con cariño:
Patricio, Lorena y Pablo
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