Análisis Dinámico: Integración
Anuncio
Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Análisis Dinámico: Integración Jesús Getán y Eva Boj Facultat d’Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 1 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Integración indefinida Conceptos y propiedades Métodos de integración Integración definida Conceptos y propiedades Función integral Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 2 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Podemos pensar que el origen de la integración está en la búsqueda de solución a dos problemas, 1) Dada una función f (x) definida en un dominio D abierto, halla una función F (x) tal que F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ D. (Se puede ver como operación inversa de la derivación). 2) Dada una función f (x) definida en un dominio D, tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ D, dar una definición del área entre la curva y = f (x) y el eje OX que no recurra a la intuición geométrica. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 3 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Por simplificar, en lo que sigue estudiaremos el caso de una sola variable y limitándonos al caso de que la función f sea continua en D. En algunos momentos estudiamos el caso de una función que tiene un número de discontinuidades finito en D. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 4 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Sea f (x) una función definida en un intervalo [a, b]. Definition Llamaremos integral indefinida (brevemente integral) de la función f (x) definida en [a, b], a una función F (x) tal que F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) . La escribiremos Z f (x) dx = F (x) + C , donde C es una constante. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 5 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Vamos a explicar la presencia de la constante C . Antes, recordamos el siguiente Teorema Theorem Sea f (x) una funcion derivable en un dominio abierto D. Si f 0 (x) = 0 para todo x ∈ D, entonces f (x) = c para todo x ∈ D y para alguna constante c. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 6 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Suponemos que G (x) es otra integral de f (x) , entonces G 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) . Con estas hipótesis podemos enunciar Theorem Si F (x) y G (x) son dos integrales indefinidas de la misma función f (x) entonces, las funciones F y G difieren en una constante. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 7 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Dem: Dadas F (x) y G (x) definidas para todo x ∈ (a, b) , construimos la función diferencia F (x) − G (x). Como ambas son derivables en (a, b) , la diferencia también lo será. Por tanto (F (x) − G (x))0 = F 0 (x) − G 0 (x) = f (x) − f (x) = 0, (1) y, en vitud del Teorema anterior, tenemos que F (x) − G (x) = C , que reescrito nos da F (x) = G (x) + C . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 8 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Este resultado nos sugiere que la solución de una integral indefinida es una familia de funciones que depende de un parámetro C . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 9 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Propiedades: Dada la integral Z f (x) dx, podemos enunciar algunas propiedades generales para simplificar el cálculo de las integrales que se llaman propiedades de linealidad. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 10 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Primera propiedad: Z Z kf (x) dx = k f (x) dx. Que se deduce del hecho de que (kF (x))0 = kF 0 (x) . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 11 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Segunda propiedad: Z Z (f (x) ± g (x)) dx = Z f (x) dx ± g (x) dx. Que se deduce del hecho de que (F (x) − G (x))0 = F 0 (x) − G 0 (x) . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 12 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Tercera propiedad: Z Z (k1 f1 (x) ± · · · ± kn fn (x)) dx = k1 Z f1 (x) ± · · · ± kn fn (x) . Que es una combinación de las reglas anteriores. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 13 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Cálculo de integrales El problema que resolvemos en esta Subsección es el de encontrar una función integral F (x) para la integral Z f (x) dx. Con el objeto de calcularlas de una manera sencilla, podemos o bien clasificarlas en tipos sencillos y fácilmente reconocibles o bien dar reglas generales de cálculo sencillas. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 14 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Integrales inmediatas Como regla de clasificación en tipos sencillos y fácilmente reconocibles, podemos enunciar Definition Sea dada la integral Z f (x) dx. Decimos que una integral es inmediata cuando, para solucionarla sólo se requiere recordar las fórmulas elementales de derivación. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 15 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Veamos un ejemplo: Calcular Z x dx. Solución 1 F (x) = x 2 + C . 2 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 16 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Denotaremos por u = u (x) una genérica función real de variable real. R n 0 R u0 1 u u dx = n+1 u n+1 + C . dx = ln u + C . R u 0 R uu 0 e u dx = e u + C . a u dx = ln1a au + C . R R u0 sin (u) u 0 dx = − cos (u) + C . 2 (u) dx = tan (u) + C . R R cos −u 0 0 cos (u) u dx = sin (u) + C . dx = ctan (u) + C . 2 (u) R u0 R sin 0 −u 2 dx = arctan u + C . 2 dx = arcctan (u) + C . R 1+u R 1+u 0 u −u 0 √ √ dx = arcsin u + C . dx = arccos u + C . 1−u 2 R 1−u2 0 tan (u) u dx = − ln cos u + C . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 17 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Las integrales inmediatas, junto con la propiedad de linealidad de la integral indefinida y la regla de la cadena del cálculo de derivadas nos permitirá calcular de manera sencilla muchas integrales indefinidas. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 18 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Integrales por cambio de variable Sea dada la integral Z f (x) dx. Con el fin de simplificar la integral, podemos definir una nueva variable t = g (x) de tal manera que podamos despejar fácilmente la variable original x, resultando x = h (t) que al derivar nos da dx = h0 (t) dt. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 19 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Al sustituir en la integral x y dx por los elementos respectivos, resolver y por último deshacer el cambio, obtenemos Z Z f (x) dx = f (h (t)) h0 (t) dt = G (t) + C = G (g (x)) + C . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 20 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Calcular Z 6 3x 5 e x dx. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 21 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración La solución es: Hacemos el cambio t = x 6 , entonces dt = 6 x 5 dx de donde x 5 dx = dt 6. Al sustituir en la integral Z 5 x6 3x e Z dx = dt 3 3e = 6 6 t Z 3 1 6 e t dt = e t + C = e x + C 6 2 . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 22 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Integrales por partes Sean dos funciones u = u (x) y v = v (x). Si derivamos su producto obtenemos (uv )0 = (u (x) v (x))0 = u 0 (x) v (x) + u (x) v 0 (x) , al integrar la expresión se obtiene Z 0 (u (x) v (x)) dx = Z 0 Z u (x) v (x) dx + Jesús Getán y Eva Boj u (x) v 0 (x) dx. Análisis Dinámico: Integración 23 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Reordenando y simplificando da Z u (x) v 0 (x) dx = u (x) v (x) − Z u 0 (x) v (x) dx, siendo esta expresión muy útil para la resolución de integrales. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 24 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Calcular Z xe x dx. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 25 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración La solución es: Z x x Z xe dx = xe − u=x dv = e x dx e x dx = xe x − e x + C . du = dx v = ex Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 26 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Integrales polinómicas racionales Son integrales del tipo Z P (x) dx, Q (x) donde P (x) y Q (x) son polinomios con coeficientes reales y los grados de los polinomios son gradP (x) y gradQ (x). La forma de resolverlas consiste en transformar los cocientes en suma de fracciones simples. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 27 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración CASO 1. Si gradP (x) < gradQ (x) . Descomponemos el polinomio Q (x) en factores primos (i.e. usando la regla de Ruffini) Veamos primero el caso en que todas las raı́ces son reales y simples, por ejemplo Q (x) = (x − a1 ) (x − a2 ) · · · (x − ak ) y transformamos el cociente en suma de fracciones simples de la siguiente forma P (x) A1 A2 Ak = + + ··· + , Q (x) x − a1 x − a2 x − ak donde los coeficientes A1 , A2 , · · · , Ak son a determinar. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 28 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Resultando la integral Z P (x) dx = Q (x) Z A1 dx + x − a1 Z A2 dx + · · · + x − a2 Z Ak dx, x − ak siendo todas inmediatas. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 29 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Ahora estudiamos el caso de que exista alguna raı́z de multilicidad l. Por ejemplo Q (x) = (x − a)l y transformamos el cociente en suma de fracciones simples de la siguiente forma A1 A2 Al P (x) = + + ··· + , Q (x) (x − a) (x − a)2 (x − a)l donde los coeficientes A1 , A2 , · · · , Al son a determinar. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 30 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Resultando la integral Z P (x) dx = Q (x) Z A1 dx + x − a1 Z Z A2 (x − a) 2 dx +· · ·+ Al (x − a)l dx, siendo todas inmediatas. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 31 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración CASO 2. Si gradP (x) ≥ gradQ (x) . Efectuamos la división de los polinomios, resultando P (x) = c (x) Q (x) + r (x) donde c (x) es el cociente y el r (x) resto de la división. Finalmente, resolvemos la integral Z P (x) dx = Q (x) Z Z Z r (x) r (x) c (x) + dx, dx = c (x) dx+ Q (x) Q (x) donde la última integral, como gradr (x) ≤ gradQ (x) , se resuelve como en el CASO 1. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 32 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Calcular Z 5 dx. x 2 − 3x + 2 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 33 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración La solución es: Primero miramos los grados de los polinomios y notamos que gradP (x) = 0 < 2 = gradQ (x) . Por tanto estamos en el Caso 1. Por Ruffini tenemos que x 2 − 3x + 2 = (x − 1) (x − 2) , entonces la suma de fracciones simples será de la forma x2 5 A1 A2 = + , − 3x + 2 x −1 x −2 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 34 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Veamos un procedimiento de cálculo de los coeficientes: 5 (x − 1) (x − 2) A1 (x − 1) (x − 2) A2 (x − 1) (x − 2) = + , x 2 − 3x + 2 x −1 x −2 al simplificar 5 = A1 (x − 2) + A2 (x − 1) , desarrollando 5 = A1 x − 2A1 + A2 x − A2 , reagrupando 5 = (A1 + A2 ) x − 2A1 − A2 , Aplicando la regla que dice, dos polinomios son iguales si los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. Resulta el sitema de ecuaciones A1 + A2 = 0 ⇒ A1 = −5 y A2 = 5. −2A1 − A2 = 5 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 35 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración Por tanto, la integral queda como sigue: Z 5 dx = 2 x − 3x + 2 Z −5 dx + x −1 Z 5 dx x −2 = −5 ln (x − 1) + 5 ln (x − 2) + C . Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 36 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Calcular Z Conceptos y propiedades Métodos de integración x 2 − 3x + 2 dx. x −4 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 37 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Métodos de integración La solución es: Primero miramos los grados de los polinomios y notamos que gradP (x) = 2 ≥ 1 = gradQ (x) . Por tanto estamos en el Caso 2. Efectuando la división obtenemos que x 2 − 3x + 2 6 =x +1+ , x −4 x −4 luego la integral es Z 2 Z Z x − 3x + 2 6 dx = (x + 1) dx + dx x −4 x −4 = x2 + x + 6 ln (x − 4) + C . 2 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 38 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Definition Llamaremos integral definida de la función f (x) definida en [a, b], a Z b f (x) dt = F (x)|ba = F (b) − F (a). a donde F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) . Se conoce como Regla de Barrow. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 39 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Dada la integral Z b f (x) dx, a podemos enunciar algunas propiedades generales para simplificar el cálculo de las integrales definidas Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 40 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Primera propiedad: Propiedad aditiva en el intervalo [a, b]. Si c ∈ (a, b) tenemos que Z b Z f (x) dx = a c Z f (x) dx + a Jesús Getán y Eva Boj b f (x) dx. c Análisis Dinámico: Integración 41 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Segunda propiedad: Sobre los lı́mites de integración Z b Z f (x) dx = − a Jesús Getán y Eva Boj a f (x) dx b Análisis Dinámico: Integración 42 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Tercera propiedad: Z b Z a Jesús Getán y Eva Boj b f (x) dx. kf (x) dx = k a Análisis Dinámico: Integración 43 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Cuarta propiedad: Z b Z a Jesús Getán y Eva Boj Z f (x) dx ± (f (x) ± g (x)) dx = a b b g (x) dx. a Análisis Dinámico: Integración 44 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Quinta propiedad: Sean f , g ∈ [a, b] tal que f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces Z b Z f (x) dx ≤ a Jesús Getán y Eva Boj b g (x) dx. a Análisis Dinámico: Integración 45 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Sexta propiedad: Z a b Conceptos y propiedades Función integral Z f (x) dx ≤ Jesús Getán y Eva Boj b |f (x)| dx. a Análisis Dinámico: Integración 46 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Ejemplo de función definida a tramos: 3 x si x ∈ [0, 1) , Dada la función f (x) = 1 si x ∈ [1, 4] . Calcular la integral Z 4 f (x)dx 0 Solución: Z 0 1 x 3 dx + Z 4 1dx = 1 Jesús Getán y Eva Boj x4 4 1 0 + [x]41 = 13 1 +3= 4 4 Análisis Dinámico: Integración 47 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Función integral Sea f (x) una función definida en un intervalo [a, b] con la caracterı́stica de que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Definition Llamaremos función integral de la función f (x) definida en [a, b], a una función A (x) definida por Z x A (x) = f (t) dt = F (x) − F (a) para todo x ∈ [a, b] . a En general la escribiremos Z x A (x) = f (t) dt + C para todo x ∈ [a, b] , a donde C es una constante. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 48 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Conceptos y propiedades Función integral Entendemos como función integral a la función que se define cuando uno de los extremos del intervalo de integración para una función f (x) es de carácter variable, con tal de que f (x) conserve su carácter de integrable dentro del intervalo en cuestión. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 49 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Aplicación al cálculo de áreas Cálculo del área de una función positiva en un intervalo Dada f (x) = x + 4, calcular el área en el intervalo [1, 3]. 3 Z 1 x2 (x + 4)dx = + 4x 2 Jesús Getán y Eva Boj 3 = 12 1 Análisis Dinámico: Integración 50 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Cálculo del área de una función negativa en un intervalo Dada f (x) = x 2 − 4x + 3, calcular el área en el intervalo [1, 3] Z 3 (x 2 − 4x + 3)dx = 1 Área es igual a x3 − 2x 2 + 3x 3 3 =− 1 4 3 4 3 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 51 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Cálculo del área de función que alterna signo en un intervalo Dada f (x) = x 2 − 4x + 3, calcular el área en el intervalo [0, 3] Z 3 Z 2 (x − 4x + 3)dx = 0 1 Z 2 0 x3 − 2x 2 + 3x = 3 3 (x − 4x + 3)dx − 1 (x 2 − 4x + 3)dx = 1 x3 − − 2x 2 + 3x 3 0 Jesús Getán y Eva Boj 3 = 1 4 4 8 − (− ) = 3 3 3 Análisis Dinámico: Integración 52 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Cálculo del área entre dos funciones Calcular el área comprendida entre la recta f (x) = x + 3 y la parábola f (x) = x 2 − 4x + 3. Primero calculamos los puntos de intersecció de la recta y la parábola (x, y ) = (0, 5) y (x, y ) = (5, 8). Podemos ver gráficamente que la recta está por encima de la parábola. Aunque no es necesario si utilizamos el valor absoluto. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 53 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas 5 Z ((x + 3) − (x 2 − 4x + 3))dx = 0 Z 0 5 5 3 5 2 125 x = (−x + 5x)dx = − + x 3 2 6 0 2 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 54 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Generalizando todo lo anterior, tenemos la siguiente regla: Supongamos dos funciones f (x) y g (x), con puntos de corte de abcisas x1 , x2 , . . . , xn . El área comprendida entre ambas funciones se calcula como: Z x2 x1 Z x3 f (x) − g (x) dx + f (x) − g (x) dx + · · · + x2 Z xn f (x) − g (x) dx xn−1 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 55 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas Aplicaciones económicas: Coste total con base al coste marginal. Sea C 0 (x) = x 3 + 2x el coste marginal de generar la x-ésima unidad de un cierto producto. Hallar el coste total suponiendo que los costes fijos son 45 u.m. ¿Cuánto cuesta producir 100 unidades? Nota: Tambié se puede hacer un ejemplo parecido con el ingreso marginal. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 56 / 57 Integración indefinida Integración definida Aplicación de las integrales Aplicación al cálculo de áreas Aplicaciones económicas La solución es: Primero calculamos el valor de los costes fijos Z C (0) 0 (t 3 + 2t) dt + C = 45 ⇒ C = 45. 0 La función coste total será la suma de los costes variables ms los costes fijos: Z x x4 + x 2 + 45. C (x) = (t 3 + 2t) dt + 45 = 4 0 El coste total de producir 100 unidades es C (100) = R 100 0 t 3 + 2t dt + 45 = 1004 4 + 1002 + 45 = 25.010.045 u.m. Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 57 / 57
