Universidad Técnica Federico Santa Mar´ıa Gu´ıa N 2 MAT023

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Guı́a N◦ 2 MAT023
Ecuaciones diferenciales
Segundo semestre 2012
1. Dos muestras A y B, se convierten en un solo compuesto C. En el laboratorio se ha mostrado que para estas
sustancias se cumple la siguiente ley de conversión: la velocidad de variación con el tiempo de la cantidad
x del compuesto C es proporcional al producto de las sustancias no convertidas A y B. Supongase que las
unidades de medida se eligen de tal forma que una cantidad del compuesto C está formado de la combinación
de una unidad de A con una unidad de B.
(a) Si en el tiempo t = 0 hay a unidades de la sustancia A, b unidades de la sustancia B y ninguna del
compuesto C presente, muéstrese que la ley de conversión puede expresarse con la ecuación:
ẋ = k(a − x)(b − x)
(1)
k > 0 es la constante de proporcionalidad.
(b) Haga la lı́nea de fase de la ecuación anterior.
(c) Clasifique los puntos de equilibrios.
(d) Resolver esta ecuación con la condición dada. Investigue el comportamiento de x para t → ∞.
2. Se tiene que un tanque contiene inicialmente q libras de sal disueltas en 10 galones de agua. Suponiendo que
el agua contiene un cuarto de libra de sal por galón y entra al tanque a una razón de 3 galones por minutos,
además la solución desaloja el tanque a la misma razón.
(a) Plantee la ecuación diferencial que determina la variación de sal en el tanque.
(b) Haga la lı́nea de fase de la ecuación anterior.
(c) Clasifique los puntos de equilibrios.
(d) Resolver esta ecuación con la condición dada. Investigue el comportamiento de la sal en el tanque cuando
t → ∞.
3. a la ecuación diferencial (1 + xy − y 2 )dx + (−1 + x2 − xy)dy = 0 sabiendo que admite un factor de integración
que depende de x − y.
4. Resolver la ecuación diferencial e indique el máximo subconjunto abierto de la recta real en donde la solución
está definida.
(a) y(x)y 0 (x) − (y 0 (x))2 x = 1
(b) 9x(y 0 (x))2 + (y(x))2 = 25
5. Se sabe que cierto material radiactivo decae con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente. Un
bloque de este material tiene originalmente una masa de 100 gramos y se observa que 20 años después tiene
una masa de 80 gramos. Determine la masa del material en función del tiempo.
6. Un isótopo radiactivo de carbono, conocido como carbono 14, obedece la ley de decaimiento radiactivo.
Determine la constante de proporcionalidad si la vida media del carbono 14 es aproximadamente de 5568
años.
7. Un cuerpo de masa m es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial v0 metros por segundos
en un medio que presenta una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad instantánea de la masa.
Determine la velocidad lı́mite de la masa.
8. Un objeto de masa m es lanzado desde la superficie de la Tierra, hacia arriba con una velocidad v0 . Suponiendo
que la única fuerza que actúa sobre la masa es el campo gravitacional de la Tierra. Determinar la menor
velocidad inicial (velocidad de escape) que se debe impartir al cuero para que este no retorne a la Tierra.
9. Hallar la solución general de la ecuación diferencial 5xy 0 +3y = 3x2 y 8/3 , x > 0. Decir cuál el máximo intervalo
abierto I en el que está definida la solución que verifica y(1) = 1.
Coordinación MAT023
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10. Un tanque de capacidad 500 litros contiene inicialmente 100 litros de agua en los que se disuelven 100 kilos
de sal. Una salmuera que contiene medio kilo de sal por litro, se bombea al tanque con una rapidez de 6 litros
por minuto. La solución bien mezclada se bombea enseguida hacia afuera del tanque con una rapidez de 4
litros por minuto. Hallar la cantidad de sal en el tanque en el instante en que esta se llena.
11. Se sabe que el coeficiente de variación de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre
su temperatura y la del medio ambiente. Si el medio se encuentra a 25◦ y el cuerpo pasa de 200◦ a 100◦ en
40 minutos. Calcular el tiempo necesario para que el cuerpo pase de 200◦ a 50◦
12. Dado un circuito RL en serie, sean R = 20Ω, L = 0.03mH, i(0) = 0 conectados a una fuente constante E0 .
Hallar el tiempo necesario para que la corriente alcance el 99.9% de su valor final.
13. Dado un circuito RL en serie, sean R = 20Ω, L = 0.03mH, i(0) = 0 conectados a una fuente constante E0 los
10 primeros segundos para después permanecer desconectados a la fuente . Hallar la corriente para todo t.
14. Resolver
(a) (x + 2y + 1)y 0 = 4x − y + 1
(b) (x + y 2 )dx − 2xydy = 0
(c) (x4 ln x − 2xy 3 )dx + 3x2 y 2 dy = 0
(d) y 2 dx − (x2 + xy) dy = 0
y
x
(e)
− 1 dx + 1 −
dy = 0
(x + y)2
(x + y)2
15. Resuelva la ecuación (5x2 y + 6x3 y 2 + 4xy 2 )dx + (2x3 + 3x4 y + 3x2 y)dy = 0 sabiendo que admite un factor de
integración de la forma xp y.
16. Resuelva la ecuación (x2 + y 2 + 1)dx − (xy + y)dy = 0 sabiendo que admite un factor de integración de la
forma (x + 1)n
17. Un tanque de 50 galones de capacidad contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para , una solución
salina que contiene 1 libra de sal por galón se vierte en el tanque a razón de 4 gal/ min, mientras que una
solución bien mezclada sale del tanque a una razón de 2 gal/ min. Encuentre la cantidad de sal que hay en
el tanque en el momento en que éste se llena.
18. La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear ha elevado el nivel
de cobalto radiactivo en la región a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará
para que la región vuelva a ser habitable? (ignore la presencia de otros elementos radiactivos).
19. Considere las ecuaciones diferenciales ordinaria siguientes: y 0 = b(y − a) y y 0 = −py 3 . Clasifique según los
valores reales p, b cuales de ellas son cualitativamente equivalentes.
20. Resuelva y bosqueje el campo de pendientes de las siguientes ecuaciones
(a) (x − y cos(y/x))dx + x cos(y/x)dy = 0
(b) (x + 2y − 1)dx + (2x + 5)dy = 0
(c) y 0 = sen(x + y)
21. Para qué valores del parámetro α el problema tiene solución única.
(a) y 0 = y α , y(0) = 0
α
(b) y 0 = y |ln y| , α > 0, y(0) = 0
22. Resolver
(a) 4x − 3y + y 0 (2y − 3x) = 0
p
(b) xy 0 = y + y 2 − x2
(c) 4x2 − xy + y 2 + y 0 (x2 − xy + 4y 2 ) = 0
2xy
(d) y 0 = 2
3x − y 2
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(e) (x − y + 3)dx + (3x + y + 1)dy = 0
(f) y cos xdx + (2y − sen x)dy = 0
(g) y 0 =
1
x sen y + 2 sen 2y
2