ejercicios de derivadas

FORMULAS DE DERIVACIÓN
f  x   k ................................... f   x   0
f  x   x ................................... f   x  1
f  x   x n ................................. f   x   nx n  1
f  x    g  x   ........................ f   x   n  g  x  
n
f  x   g  x  ........................... f   x  
f  x   ln x ............................... f   x  
f  x   ln  g  x   ....................... f   x  
n 1
 g x
g x
2 g  x
1
x
g x
g  x
f  x   g  x   h  x  ................. f   x   g   x   h   x 
f  x   g  x   h  x  ................... f   x   g   x   h  x   g  x   h   x 
f  x 
g  x
h  x
............................ f   x  
g   x   h  x   g  x   h  x 
 h  x  
2
f  x   e x ................................. f   x   e x
f  x  e
g x
............................. f   x   g   x   e
g x
f  x   k x ............................... f   x   k x  ln k
f  x  k
g  x
........................... f   x   ln k  g   x   k
f  x   log b  x  ...................... f   x  
f  x   log b  g  x   .................. f   x  
g  x
log b  e 
x
g   x   log b  e 
g  x
f  x    g  x  
h x 
.................... f   x   h   x   g  x  
h x 
 ln  g  x    h  x   g  x  
f  x    g  x  
g x
................... f   x   g   x   g  x  
g x
 ln  g  x    g   x   g  x  
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h  x  1
g  x
 g x
f  x   x x .................................................... f   x   x x  ln x  1
f  x   sen  g  x   ........................................ f   x   cos  g  x    g   x 
f  x   cos  g  x   ....................................... f   x    sen  g  x    g   x 
f  x   tg  g  x   .......................................... f   x   sec 2  g  x    g   x 
f  x   cotg  g  x   ....................................... f   x    csc 2  g  x    g   x 
f  x   sec  g  x   ......................................... f   x   sec  g  x    tg  g  x    g   x 
f  x   csc  g  x   ......................................... f   x    csc  g  x    cotg  g  x   . g   x 
f  x   arcsen  g  x   .................................... f   x  
f  x   arccos  g  x   .................................... f   x  
f  x   arctg  g  x   ...................................... f   x  
f  x   arccotg  g  x   .................................. f   x  
g x
1  g  x 
2
g x
1  g  x 
2
g x
1  g  x 
2
g x
1  g  x 
f  x   arcsec  g  x   .................................... f   x  
f  x   arccsc  g  x   .................................... f   x  
2
g x
g  x
 g  x 
2
1
g x
 g  x   1
f  x   senh  g  x   ...................................... f   x   cosh  g  x    g   x 
f  x   cosh  g  x   ...................................... f   x   senh  g  x    g   x 
f  x   tgh  g  x   ........................................ f   x   sech  g  x    g   x 
f  x   cotgh  g  x   .................................... f   x    csch  g  x    g   x 
f  x   sech  g  x   ...................................... f   x    sech  g  x    tgh  g  x    g   x 
f  x   csch  g  x   ...................................... f   x    csch  g  x    cotgh  g  x    g   x 
g  x
2
2
2
f  x   arg senh  g  x   ................................. f   x  
f  x   arg cosh  g  x   ................................ f   x  
g x
1  g  x 
2
g x
 g  x 
2
1
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f  x   arg tgh ............................................ f   x  
g x
1  g  x 
f  x   arg cotgh  g  x   ............................. f   x  
f  x   arg sech  g  x   ............................... f   x  
f  x   arg csch  g  x   ............................... f   x  
2
g x
1  g  x 
2
g x
g  x   1  g  x 
2
g x
g  x   1  g  x 
2
ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÒN
I. En los siguientes ejercicios, establezca si la función es continúa o no en el punto
indicado, si no lo es, explique porqué:
3)
f x   4 x 2  2 x  12 , en x  2
8
f x  
, en x  2
x2
g x   x  3 , en x  3
4)
g t  
1)
2)
5)
6)
7)
8)
t3  8
, en t  3
t 3
 x  3 si x  2
f x    2
 x  1 si x  2
t 3  8
si t  2

ht    t  2
12 si t  2

x3
f x   
2
3  x
g x   
3  x
si x  3
si x  3
si x  1
si x  1
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 2x2  x  3
si x  1

9) f x    x  1
2 si x  1

4
10) g x   x  32 , en x  -3
LA DERIVADA
II. En los siguientes problemas use la definición de derivada, para calcular la
derivada de:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
f x   x 2  5 x  1
1
f x   2
x
f x   x
f x   1  x
1
f x  
x
1
f x  
x 1
III. Aplicando las reglas de derivación, obtenga la derivada de cada una de las
siguientes funciones:
4
2
a) f ( x)  3x  2 x  8
k) f ( x)  x 2  3x
5
3
b) f t   at  5bt
1
1
3
c) f ( x)  4  2 x 
x
x
2
1
d) f x   x3  3 2 
x
3 x
2
3
2  3x  4 x
e) f x  
x
f)

f  x   2  3x 2
g) f ( x) 
h)

3
2
a x
2
2
2
l) f t   t a  t
2  3x
m) f ( x) 
4  5x
a2  x2


f
x

n)
a2  x2
o) f w 
p) f ( x) 
w
1 2w
x2
a2  x2
q) f z   3z  1z  3
2
2
f t   4  9t  10t 2
r) f ( x) 
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b 2
a  x2
a
b

i) f x    a  
x


2

2
2
j) f x   4  x 3  x  x
s) f w 

t) f ( x) 
2
w  2w
2
 3w2

5
1  2x
1  2x
IV. Obtener la derivada indicada (derivada de orden superior) de cada una de las
siguientes funciones
4
2
3
a) f ( x)  3x  2 x  6 x  f ( x) 
d)
f  x   5  6 x  f 2 ( x) 
a  bx
f ( x) 
 f 2 ( x) 
a  bx
f t   a 2  x 2  f 3 ( x) 
e)
f ( x)  x 4  r 2
f)
a  bx
a  bx
f ( x)  4ax
b)
c)
f ( x) 
g)
 f 3 ( x) 
 f 3 ( x) 
 f 2 ( x)
V. Derivando implícitamente, calcular y ´
dy
para cada una de las siguientes
dx
funciones:
3
5
a) 15x  15 y  5 y  3 y
2
b) y  2 y  x
c)
y 2  4 px
d)
xy 2  x 2  4  0
e)
b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2
f)
x3  3xy  y 3  1
g)
x 2  xy  y 2  3
h)
y  sen( x3 y 2 )
i)
cos 2 y  sen2 x  9
j)
k)
x3seny 2  y 2 cos x3  1
cot gxy  xy  0
VI. Aplicando las reglas de derivación, para las funciones trascendentes, obtenga la
derivada de cada una de las siguientes funciones:
1.
2.
x
2
f ( x)  4 cos x / 3
f ( x)  3 sen 2
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 x2 




l
t

log
2 
3.
1 x 
x2  a2
4.
xa
2  x
5. y  tan  2  x 
f ( x)  log
6.
7.
8.
f w  ln 9  2 x 2
f (t )  cos 2 t

f w  ln aw a  w
x
9. y  cot 3



2
10. y  ln x  2 x  1
x2
11. y  e
cos 2 x
12. f x   1  sen2 x
x
13. y  e
2
14. y  arc sen x
nx
15. f x   10
x
16. y  arc cos a
2 x
17. f x   x . e
a
18. y  arc tan x
ex  1
y

19.
ex  1
2
20. f x   arc cot x
2
21. y  e x
x
22. y  arc sec 4
4
t
23. f t   x cos 2t
2
24. f x   sec x
25. l t   t cos t
26. f x   arc sen x
sen5 x
27. f x   5
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x
2
2
2
28. y  x. a  x  a . arc sen a
sen w
29. f w  w
x
x
 arc sen
30. f x  
2
2
a
a x
31. y  ln tan x
32. y  ln 2 x  3
x 1
33. f x   2
34. f x   ln ax  b
35. f x   a csc bx
3
36. f x   ln x
2
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