Límites de funciones

10. LIMITES DE FUNCIONES
Definición de límite
La función
no está definida en el punto x = 1 ya que
se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos
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Definición de límite
A vista de la tabla pueden hacerse tres importantes observaciones:
I) Cuando x toma valores próximos 1, la función f(x) toma valores
próximos a 1/2.
II) Cuanto más próximo es x a 1, más lo es f(x) a 1/2.
III) Podemos acercarnos con f(x) tanto como queramos a 1/2,
eligiendo x convenientemente próximo a 1.
Por verificarse la tercera, diremos que ½ es el límite de la función
cuando x tiende a 1. Es decir, ½ es el límite de f(x), cuando x se
acerca a 1, si para cualquier valor ε, positivo y pequeño que se
considere, por ejemplo ε = 0,0000001, siempre podemos encontrar
valores x, suficientemente próximos a 1 pero distintos de 1, de
modo que sea
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Definición formal de límite
Se dice que la función f tiene límite L cuando x tiende al valor
a, si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que para los x que
verifican 0 < | x – a | < δ se tiene que | f(x) – L | < ε.
Abreviadamente podemos escribir
La definición dada se escribe en forma equivalente empleando
intervalos en la forma:
El valor del límite es independiente del valor de la función en el
punto, y que en general el valor de δ depende del ε elegido y del
punto a considerado.
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Propiedades de los límites
Las principales propiedades de los límites de funciones son las
siguientes: Si
y
,
entonces se verifica que:
1. Si existe el límite de una función en un punto, es único.
2.
3.
4.
5.
6.
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Ejemplo 1.
Las funciones
y
toman los mismos valores en un entorno reducido del punto x = 1
y como es
también es
Ésto es lo que ocurre cuando se efectúa en forma directa el
cálculo del límite
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Límites laterales
En la definición de límite tomamos valores de x próximos al
valor a en ambos lados de a. Puede ocurrir que el límite exista a
condición de que tomemos valores de x próximos pero sólo a un
lado del punto a, esta idea nos lleva a los límites laterales.
Escribiremos
Para la existencia de límite de una función en un punto han de
existir los límites laterales y coincidir, es decir,
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Límites laterales
Ejemplo 2.
La función
posee en el punto x = 1 límite por la izquierda, que vale 2, límite
por la derecha, que vale 3, pero al no coincidir estos valores la
función no tiene límite en ese punto.
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Límites infinitos y límites en el infinito
Se considera la recta real ampliada,
el límite de
una función en un punto puede ser
ó
y la variable puede
tender a
óa
y se escribe, por ejemplo,
Indeterminaciones y cálculo de límites
Aparte de la indeterminación de la forma
con k ≠ 0, que
obliga a hallar los límites laterales para decidir la existencia o no del
límite, existen siete indeterminaciones más, que se representan como
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Ejemplo 3.
El límite
minación.
no presenta indeter-
Ejemplo 4.
El límite siguiente es indeterminado de la forma
calculamos así:
y lo
Donde hemos simplificado la expresión entre x - 2, ya que
numerador y denominador son polinomios múltiplos de x - 2,
al tener ambos el valor x = 2 como raíz.
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Ejemplo 5.
El límite
presenta una indeterminación del tipo
y si simplificamos numerador y denominador, resulta
es decir, tenemos otra indeterminación. Ésta se resuelve hallando
los límites laterales, que son
por lo que el límite pedido no existe.
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Ejemplo 6.
2 x 2  3x
El límite lim 3
x  x  x 2  4

presenta una indeterminación  

que se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la
potencia mayor del denominador, que es
2
3
 2
2 x 2  3x

00
 
x
x
lim 3
    lim

 0.
2
x  x  x  4
   x 1  1  2 1  0  0
x
x
3
No conviene dividir entre la potencia mayor del numerador, que es
porque en muchos casos nos queda una indeterminación del
tipo
lo que nos obliga a calcular los límites laterales.
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Ejemplo 7.
Para hallar el limite
multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la
expresión conjugada del denominador, que es la que origina la
indeterminación, obteniendo
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