ejercicios desarrollados

EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 1
Determine la ecuación de la circunferencia tangente al eje X y cuyo centro corresponde al
punto de intersección entre las rectas
Desarrollo
El centro se obtiene resolviendo el sistema
Reemplazando
en la ecuación 1 se obtiene
por lo tanto el centro es (7,3)
Como la circunferencia es tangente al eje X, se deduce que el radio es 3
La ecuación es
Tema: Circunferencia
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1
Ejercicio 2
Determine la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
y circunscribe a un cuadrado de lado .
Desarrollo
a
a
a
a
Se observa que el diámetro (
cuadrado, es decir:
de la circunferencia corresponde a la diagonal del
El centro de la circunferencia coincide con el centro de la circunferencia
Utilizando el método de completación de cuadrado
Luego la circunferencia tiene centro
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Por lo tanto la ecuación de la circunferencia buscada es
Ejercicio 3
Determine la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triángulo cuyos lados están
en las rectas de ecuación
Desarrollo
El gráfico representa la situación planteada en el ejercicio
A
2
L1
L2
C
L3
B
2
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Se observa que la circunferencia buscada pasa por los puntos A, B, C, para encontrar las
coordenadas de estos puntos se deben determinar los puntos de intersección entre las rectas
A: corresponde al punto de intersección entre la recta
;
B: corresponde al punto de intersección entre la recta
;
C: corresponde al punto de intersección entre la recta
;
Estos puntos se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes:
i) Las coordenadas del punto A
Se obtiene A (5,7)
ii) Las coordenadas del punto B
Se obtiene B (-3,3)
iii) Las coordenadas del punto C
Se obtiene C (6,0)
La ecuación de una circunferencia con centro (
y radio
está dada por:
Los puntos pertenecen a la circunferencia, por lo que satisfacen la ecuación, obteniendo a si
las siguientes ecuaciones.
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Reemplazando en la ecuación se obtiene:
Procediendo de la misma forma con el punto
Para encontrar el valor de las variables
se obtienen las ecuaciones:
se resuelve el sistema
Desarrollando los cuadrados en cada ecuación se obtiene
Restando las ecuaciones 1 y 2; 2 y 3 se obtiene el sistema
Luego
, reemplazando en ecuación 1 del sistema original
La ecuación es:
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Ejercicio 4:
Dada la circunferencia
. Determine los valores de
Sea tangente a la circunferencia en el punto (2,2).
tal que la recta
Desarrollo
La recta debe ser tangente a la circunferencia, esto implica que la distancia entre el origen y
recta debe ser igual al radio, es decir
La ecuación de la recta se reescribe
Como el punto (2,2) pertenece a la recta se tiene
reemplazando en la ecuación se tiene:
, usando formula distancia punto –recta
,
Esto implica que
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