Tema 3 - Universidad Autónoma de Madrid

Redes de Petri
Estocásticas 3
Carlos Aguirre
Universidad Autonoma de Madrid, Dpto Ingenieria Informatica
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Recordatorio de cadenas de Markov
•Una cadena de Markov se puede describir mediante un diagrama de transicion de estado.
●
O bien mediante matriz de transición de estado Q denominada generador infinitesimal
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Descripción de las cadenas de Markov
• La solución de una cadena de Markov a tiempo t es la distribución de probabilidad sobre el conjunto de estados. (t)={(t),(t),(t),....} con (t)=P{X(t)=i}
•Se puede demostrar que:
• d(t)/dt = (t)Q cuya solución se puede escribir (t)= (0)H(t) con H(t)=eQt 
Descripción de las cadenas de Markov
• La solución de una cadena de Markov a tiempo estacionario es la distribución de probabilidad sobre el conjunto de estados. •Esta distribución solamente existe para Cadenas de Markov ergódicas.
•La distribución del estado estacionario (t) ={,,
,....} con = limt→∞ (t) se calcula como la solución del sistema de ecuaciones Q=0 con la condición ∑i=1
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Ejemplo
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Ejemplo: Grafo de alcanzabilidad
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Ejemplo: Cadena de Markov
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
Ejemplo: Cadena de Markov
Asumiendo que todas las transiciones de la red tienen semantica de servidor simple y que la tasa de disparo no depende del número de marcas.
•Los componentes de la matriz Q son
si i  j
•qij=flkej(mi)wk •qij= ­ ke(mi)wk
si i = j
•donde ej(mi)={h t.q. hej(mi) y mi[h>mj }
•wk es la tasa de disparo de la transición k •Q es el generador infinitesimal del proceso de Markov a tiempo continuo
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Ejemplo: Cadena de Markov
con 15=1+5
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Ejemplo: Cadena de Markov
Consideremos 1=5=1/2 y ===1
¿ Cual es la probabilidad estacionaria ?
Resolvemos Q=0 con la condición ∑i=1
Solucion: =====2/11 =1/11
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Ejemplo: Cadena de Markov
¿ Cual es el numero medio de tokens en el lugar p2 ?
• Definimos
•r(m)= n si m(p2)=n
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•r(m)= 0 en otro caso
El número espeado de tokens en el lugar pj viene dado por la siguiente expresión:
•E[m(pj)]=miRS(m0)r(mi)i=n>0n*P{A(j,n)}
•donde A(j,n)={miRS(m0) t.q. mi(pj)=n}
• Solución E[m(p2)]=2+=6/11
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Ejemplo: Cadena de Markov
¿ Cual es el numero medio de disparos por unidad de tiempo de t3 ?
• Usando f=mi(j/­qii)i y considerando que t3 sólo esta habilitada en M0, M1 y M3 la solución buscada es f=7/33