Programación lineal, método Simplex

Parte 2 / 3
Programación lineal, método Simplex:
Programación lineal, método Simplex:
Típico ejemplo de maximizar los beneficios o producción de una empresa: la inyectora de plástico
Zonda, que produce mesas y sillas, en 3 talleres -carpintería, tapizado y empaque- con las siguientes
(... con X1 ; X2 >=0 )
restricciones:
X1 <= 3
F.O.: Maximizar Bj = 8X1 + 3X2
X2 <= 6
(donde $8 y $3 son los beneficios en ambos productos)
6X1 + 4X2 <= 36
(Precaución: si los coeficientes técnicos -del cuadro resumen- no fueran uno razone por regla
de tres como pasa esos coeficientes hacia los de este sistema de restricciones)
1) Transformar a ecuaciones, agregando las variables de holgura (capacidad ociosa en cada sección)
1X1 + 0X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 = 3
0X1 + 1X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 = 6
6X1 + 4X2 + 0X3 + 0X4+ 1X5 = 36
2) Tabla 0: la primer línea de encabezamiento es común para todas las tablas, con estas 9 columnas:
Funcional (F); Variable (X); Recursos (R); X1...5 ;Variable.Saliente (VS); y puede omitirse en las
siguientes tablas o pasos del cálculo si se ponen a continuación.
3) Convien anotar los coeficientes de la funcion objetivo (F.O)., o funcional, arriba de cada Xj de la
primera línea encabezamiento, como una ayuda para calcular el punto 9.
4) En la columna X anotar las variable básicas que intervienen en cada cálculo o tabla. La primera
solución (en el origen) solo incluye las variables de holgura (con nada producido todo son excedentes)
Se suponen variables contínuas; fraccionables.
5) En la columna Funcional van los coefic. de las variables básicas en la F.O.. El valor que tiene en el
funcional.
6) En la columna Recursos se anotan los recursos iniciales. Es el valor de cada variable X en este paso
(tabla) del cálculo Simplex. En las próximas tablas irán los recursos utilizados para esa etapa (o solución
de la frontera acodada).
7) En X1 ... 5 se anotan inicialmente los coeficientes del sistema de ecuaciones; i filas, j columnas. Cada
Xij indica cuánto disminuye el valor de la variables Xi por cada unidad de Xj que decida fabricar (o que
sobre, si j fuera un insumo). O sea, cuánto disminuye el valor de Xi por cada unidad con que j entre
valiendo a la base.
8) Conviene trazar rayas: tras la columna Recursos; tras la colum. X5; y otra inferior.
9) Agregar una última fila: calculando cada X como: (∑FiXi) – Bj
10) Variable que entra: el mayor negativo en la fila inferior (señalarlo). Se toma el mayor negativo por
que mejora el funcional(...mayor en valor absoluto).
11) Calcular la última columna VS como R / cada coefic. en la columna de la variable que entra.
12) Variable que sale: el menor positivo en VS (señalarlo), ya que indica el valor con que la variable
entra a la base y sale el menor (las variables no pueden ser nulas o negativas).
13) Pivote: intersección entre ambas señales. Señalar el pivote:
TABLA 0:
8
X1
3
X2
0
X3
0
X4
0
X5
3
6
36
1
0
6
-8↑
0
1
4
-3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3 ←
6
X1
X4
X5
3
6
18
1
0
0
0
0
1
4
-3↑
1
0
-6
8
0
1
0
0
0
0
1
0
6
4,5 ←
X1
X4
X2
3
1,5
4,5
37,50
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1,5
-1,5
3,5
0
1
0
0
0
-1/4
1/4
0,75
F
X
R
0
0
0
X3
X4
X5
TABLA 1
8
0
0
TABLA 2
8
0
3
VA
TABLA 1:
14) En la columna X cambiar la var. que sale por la variable que entra.
15) Anotar en la colum. F el valor que tiene cada variable en el funcional.
16) Calcular la nueva línea del pivote como = linea pivote anterior / pivote
17) En la columna del pivote completar con ceros (salvo el 1 del pivote)
18) Para calcular cada elemento restante observar los extremos del cuadrado con diagonal en el pivote:
al número en la tabla anterior restarle la otra diagonal dividida por el pivote.
19) Calcula la última fila según (9)
20) Calcular la columna VS según (11)
21) Marcar la var. que entra (según 10) y la var. que sale (según 12); circular su intersección como
nuevo pivote:
TABLA 2:
22) Repetir el cáculo para la Tabla 1. Se llega al óptimo cuando una tabla tiene todo positivo en la última
fila.
23) Los coeficientes R indicarán ahí las producciones; puede quedar algún recurso ocioso. El valor
máximo B se puede anotar al final bajo R ( B = 8(3) + 3(4,5) = $37,50 ) y sobra 1,5 del recurso 2:
Contribución marginal (precios sombra o máximo a pagar por otra unidad ): 3,5 y 0,75 para estos dos
insumos.
Costo de oportunidad: si hubiera quedado alguna cifra abajo en las columnas de los productos X1 ó X2
(indicando que no se produce ese bien) sería el costo o perdida si se decidiera producir lo que no
conviene.
Minimizar el costo de producción:
En los casos de minimización, el origen de coordenadas no puede ser el paso inicial por lo que
suponemos costos muy altos para los insumos ($M). Además de las variables reales y las slag (aquí con
signo -) se agregará una nueva variable, artificial en el funcional (+Mi), asi como una columna en las
tablas para considerar esos altos costos +$M. En la columna F de la tabla 0 inicial se anotan esos altos
costos $M, continuando el proceso hasta obtener el precio de cada insumo que minimiza lo requerido
para la produccion dada de bienes cuando todos los valores de la última fila sean negativos !.
Sin embargo, es más fácil calcular el primal, o sea, el dual del mínimo.
DUAL:
Todo caso normal de maximización implica uno de minimización y viceversa.
Como los cálculos para minimizar son mayores que para maximizar, debido a esos agregados
comentados, es posible calcular el dual de un mínimo convirtiéndolo en un caso de máximo, al
considerar los recursos disponibles como los coeficientes de las variables de un nuevo funcional y
tomando los coeficientes de las filas del sistema de restricciones del mínimo como columnas para el
sistema del máximo.
Es decir, el dual tiene una variable por cada restricción del primal (y el dual tiene tantas
restricciones como variables hay en el primal).
Solo se trata de que el funcional pase a ser terminos independientes y poner las filas como
columnas (las desigualdades tendran sentido inverso). Esto vale igualmente cuando en el primal hay
mezcladas desigualdades contrarias: si alguna es negativa se le agregara una variable artificial tal como se
dijo)
Ej.: Min Z = 5X1 + 9X2
sujeto a
-3X1 - 2X2 >= -6
5X1 + X2 >= 10
X1 + 10X2 >= 9
(...y X1; X2 >=0)
Su dual es:
Max. B = -6Y1 + 10Y2 + 9Y3
-3Y1 + 5Y2 + Y3 <= 5
-2Y1 + Y2 + 10Y3 <= 9
(...con Y1; Y2 >=0)
(2variables y 3 restricciones pasan a ser 3 variables y 2 restricciones...)
Sujeto a :
Análisis de sensibilidad: es el porcentaje que pueden variar los precios del funcional o los recursos
(términos independientes) sin que cambie la solución óptima.
Véanse cualquier texto pero no los mezcle; son equivalentes pero cambian los pasos y su consideración
de los signos:
310 ejercicios con resolución en -Investigación Operaciones-, de R. Bronson. Ed. McGraw-Hill
Ricardo F. Solana –Producción- Ed. Interamericana, 1994; Dieguez y Porto -Problemas de
Microeconomía-, Amorrortu; Taha –Investigación de Operaciones-; etc.
S. Eiras Roel
5) Programación lineal: Método Simplex.
En una economía lineal para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de
tierra, $12 de semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se
requieren 5 unidades de tierra, 15 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de
trigo y de centeno es de $15 y $20 respectivamente. Las cantidades disponibles de tierra
y de trabajo son 100 unidades y 300 unidades.
Plantee el problema y resuélvalo si el empresario desea optimizar el resultado de esta
explotación.
Opine sobre el problema dual, precios sombra y contribuciones marginales.
SOLUCIÒN:
Para producir una unidad de trigo necesitamos:
2 u. Tierra
$4 de semillas
1 trabajador
Para producir una unidad de centeno necesitamos:
1,25 u. Tierra
$3,75 de semillas
1,5 trabajadores
Como las semillas tienen precio y no están restringidas, se las puede deducir de los
ingresos monetarios, así nos quedaría:
Ingreso proveniente del trigo: $11
Ingreso proveniente del centeno: $16,25
Entonces la función objetivo será:
Z = 11x1+16,25x2
Donde: x1: Trigo
x2: Centeno
2x1+1,25x2(100
x1+1,50x2(300
x1(0
x2(0
Establecemos las ecuaciones de balance introduciendo las variables de holgura:
2x1+1,25x2+s1=100
x1+1,50x2+s2=300
x1=0
x2=0
Siendo s1: ociosidad de la tierra y s2: ociosidad de trabajadores
Utilizamos el método simplex para resolver el problema:
S1
S2
C
X1
2
1
11
X2
1,25
1,50
16,25
S1
1
0
0
S2
0
1
0
B
100
300
Elegimos x2 para entrar a la base, debido a que 16,25>11, y la variable s1 para salir de
la misma, ya que 100/1,25=80<300/1,5=200
Operando, nos queda la siguiente tabla:
S1
S2
C
X1
1,60
-1,40
-15
X2
1
0
0
S1
0,80
-1,20
-13
S2
0
1
0
B
80
180
-1300
La solución óptima es:
X1 = 0
X2 = 80
Z = 1300 => Z = 11 . 0 + 16,25 . 80 = 1300
Problema Dual:
Cuando el problema primal es de maximizaciòn, el dual es de minimización y viceversa.
El número de variables originales del problema dual es igual al número de restricciones
del primal, y el número de restricciones del dual es igual al número de variables del
problema primal.
En este caso el problema dual sería el siguiente:
2x1+x2(11
1,25x1+1,5x2(16,25
x1(0
x2(0
Z = 100x1+300x2
En este caso el problema dual consiste en minimizar la función objetivo.
Precios Sombra:
La contribución marginal de un recurso es cuánto se incrementa la función objetivo si se
incrementa en una unidad un recurso saturado.
El precio sombra es el máximo precio que conviene pagar por agregar una unidad de un
recurso saturado. Ese precio es igual a la contribución marginal del recurso ya que no
conviene pagar por esa unidad adicional más de lo que se incrementa la función
objetivo. Es decir, que el costo de incrementar en una unidad un recurso saturado deberá
ser inferior a la contribución marginal para que se justifique hacerlo.
Si un recurso no se utiliza totalmente (no está saturado) su precio sombra es cero,
porque no tiene sentido pagar por un recurso que sobra.
En este problema los precios sombra son:
Precio sombra del recurso 1 (tierra): $13
Precio sombra del recurso 2 (trabajo): $0
Es decir, que si se incrementa en una unidad el recurso tierra, la función objetivo se
incrementa en 13 unidades monetarias.
EJERCICIO 1: Método Simplex
Establezca las restricciones, funciones y explique como calcula el máximo beneficio de una
empresa que produce dos bienes x e y sujeto a los siguientes datos:
X
Y
Capacidad
Mano de Obra
3
6
60
Materias Primas
4
2
32
Materiales
1
2
16
Beneficio
20
24
Solución:
Función Objetivo: 20x + 24y
Restricciones Ö 3x + 6y ≤ 60
4x + 2y ≤ 32
1x + 2y ≤ 16
x,y
≥0
Método Simplex
TABLA 0:
Co
0
0
0
X0
X3
X4
X5
B
60
32
16
X0
X3
X4
X2
B
12
16
8
20
A1
3
4
1
-20
24
A2
6
2
2
-24
A3
1
0
0
0
A4
0
1
0
0
A5
0
0
1
0
10
16
8
20
A1
0
3
0.5
A3
1
0
0
0
A4
0
1
0
0
A5
-3
-1
0.5
10
0
5.3
16
-8
24
A2
0
0
1
0
20
A1
0
1
0
0
24
A2
0
0
1
0
A3
1
0
0
0
A4
0
0.33
-0.16
2.76
A5
-3
-0.33
0.66
9.24
TABLA 1:
Co
0
0
24
TABLA 2:
Co
0
20
24
X0
X3
X1
X2
B
12
5.33
5.33
Beneficio Máximo: 20 * 5.33 + 24 * 5.33 = $234.52
Microeconomía, Dr. Fernando Tow, Página 67, Ejercicio 11-10
Ejercicio 1:
En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de
fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra
parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesita, en cambio,
por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres.
Cantidad de hombres: 320.
Cantidad de hectáreas: 120.
Precio cebada: $ 100.Precio trigo: $ 130.Maximizar el beneficio y plantearlo en sistema simplex.
SOLUCION
TABLA 0:
C0
0
0
X0
X3
X4
B0
100
320
A1
0,33
0,66
A2
0,50
1,50
A3
1
0
A4
0
1
-130
-100
0
0
A1
1.00
0.00
A2
1.5151
0.50
A3
3
-2
A4
0
0
0
96.963
393.9
0
TABLA 1:
C1
130
0
X1
X1
X4
B1
303.0303
120
Beneficio Máximo: 130 X1
303.0303
484.8484
1. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción lineales, mediante la contribución
de tres insumos, fundición, ensamble y distribución, con una disponibilidad de $18, $8 y $14
respectivamente.
La distribución de los insumos a los productos se reproduce en la siguiente tabla:
Producto 1
Producto 2
Disponibilidades
18
Fundición
1
3
Ensamble
1
1
8
Distribución
2
1
14
Beneficio
1
2
Determinar la combinación a producir que maximiza los beneficios.
Solución:
1. Se plantea el sistema de inecuaciones:
X1 + 3X2 <= 18
X1 + X2 <= 8
2X1 + X2 <= 14
X1;X2 => 0
B = X1+2X2
2. Al sistema de inecuaciones se le agregan las correspondientes variables de holgura.
X1 + 3X2 + S1 = 18
X1 + X2 + S2 = 8
2X1 + X2 + S3 = 14
3. Se resuelve este sistema de ecuaciones mediante el método Simplex, aplicando Gauss-Jordan.
B
1
0
0
0
X1
-1
1
1
2
X2
-2
3
1
1
S1
0
1
0
0
S2
0
0
1
0
S3
0
0
0
1
Cte. Variable
0
B
18
S1
8
S2
14
S3
B
1
0
0
0
X1
- 1/3
1/3
2/3
2/3
X2
0
1
0
0
S1
2/3
1/3
- 1/3
1/3
S2
0
0
1
0
S3
0
0
0
1
Cte. Variable
12
B
6
X2
2
S2
8
S3
B
1
0
0
0
X1
0
0
1
0
X2
0
1
0
0
S1
1/2
1/2
- 1/2
1 1/6
S2
1/2
- 1/2
1 1/2
-2 1/2
S3
0
0
0
1
Cte. Variable
13
B
5
X2
3
X1
3
S3
El beneficio máximo es de $13, con una producción de tres unidades del producto 1 y cinco unidades del
producto 2. En los procesos de fundición y ensamble se utilizan todos los recursos, en tanto que la
distribución presentará $3 de recursos ociosos.
2. Un granjero tiene posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la semilla de trigo es
de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tiene un costo de $6 por hectárea. El costo total de la mano de
obra es de $20 y $10 por hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de trigo
y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1500 en mano
de obra, ¿cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantarse para obtener la máxima ganancia?
Solución.
1. Se arma el cuadro de los insumos.
Maíz
Alpiste
Semillas
4
6
Disponibilidades
480
Mano de Obra
20
10
1500
Beneficio
110
150
2. Se plantea el correspondiente sistema de inecuaciones.
4X1 + 6X2 <= 480
20 X1 + 10 X2 <= 1500
X1;X2 => 0
B = 110X1+ 150X2
3. Se transforma el sistema de inecuaciones a un sistema de ecuaciones con las correspondientes
variables de holgura.
4X1 + 6X2 + S1 = 480
20X1 + 10 X2 + S2
=
1500
4. Se resuelve mediante el método Simplex.
B
1
0
0
X1
-110
4
20
S1
0
1
0
S2
0
0
1
Kte.
0
480
1400
Var.
B
S1
S2
B
X1
1
-110
0 0,66667
0
20
X2
S1
-150
0
1 0,16667
10
0
S2
0
0
1
Kte.
0
80
1400
Var.
B
X1
1
-10
0 0,66667
0 13,3333
X2
S1
0
25
1 0,16667
0 -1,6667
S2
0
0
1
Kte.
8800
80
600
Var.
B
X2
S2
B
X1
1
-10
0 0,66667
0
1
X2
S1
0
25
1 0,16667
0
-0,125
S2
0
0
0,075
Kte.
8800
80
45
Var.
B
1
0
0
X2
S1
S2
0 23,7497 0,75002
1 0,25002
-0,05
0
-0,125
0,075
Kte.
12450
50
45
Var.
B
X2
X1
X1
0
0
1
X2
-150
6
10
El máximo beneficio de $12450, se obtiene de cultivar 45 hectáreas de trigo y 50 hectáreas de alpiste.
Quedan cinco hectáreas en desuso.
Bibliografía:
1.
Henderson y Quandt. "Teoría Microeconómica". Capítulo 5, pp.159-163. Editorial Ariel S.A.
Barcelona.
2. Venturin García, Alejandro. "Algebra con aplicaciones económicas". Unidad 6, p.185. C.E.C.E.
Buenos Aires (1993).
Microeconomía I, Dr. Fernando Tow
Ejercicio 1:
En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de
fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra
parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesita, en cambio,
por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres.
Cantidad de hombres: 320.
Cantidad de hectáreas: 120.
Precio cebada: $ 100.Precio trigo: $ 130.Maximizar el beneficio y plantearlo en sistema simplex.
SOLUCION
TABLA 0:
C0
0
0
X0
X3
X4
B0
100
320
A1
0,33
0,66
A2
0,50
1,50
A3
1
0
A4
0
1
-130
-100
0
0
A1
1.00
0.00
A2
1.5151
0.50
A3
3
-2
A4
0
0
0
96.963
393.9
0
303.0303
484.8484
TABLA 1:
C1
130
0
X1
X1
X4
B1
303.0303
120
Beneficio Máximo: 130 X1
Ejercicio 2:
Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por
hectárea y 5 meses/hombre.
Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno
por hectárea y 9 meses/hombre.
El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente.
El empresario maximizador de beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre.. La
ley laboral le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $ 50 por
meses/hombre, sin limitación.
a) Formule el problema en términos de programación lineal maximizando el beneficio
SOLUCION
TRABAJO PRACTICO DE MICROECONOMIA
PROGRAMACION LINEAL - METODO SIMPLEX
Ejercicio
Tabla
• Mano de obra
• Materia Prima
• Fondos
X
1
2
10
Y
1
1
20
• Beneficio
100
400
DISPONIBILIDAD
200
260
3500
Formulación de restricciones
• X + Y <= 200
• 2X + Y <= 260
• 10X + 20Y <= 3500
• X ; Y >= 0
Sumando las variables de olgura a las restricciones
• X + Y + Z1 + 0Z2 + 0Z3 = 200
• 2X + Y + 0Z1 + Z2 + 0Z3 = 260
• 10X + 20Y + 0Z1 + 0Z2 + Z3 = 3.500
Con estos datos comenzamos a formar las tablas
Tabla 0
C0
X0
B0
A100
A400
A0
A0
A0
θ
0
0
0
Z1
Z2
Z3
200
260
3.500
1
2
10
1
1
20
1
0
0
0
1
0
0
0
1
200
260
175 ⇐
-100
-400
0
0
0
A0
A0
A0
⇑
Tabla 1
C0
X0
B0
A100
A400
θ
0
0
400
Z1
Z2
Y
25
85
175
0,5
1,5
0,5
0
0
1
1
0
0
0
1
0
-0,05
-0,05
0,05
100
0
0
0
20
• Como en la ultima fila no hay ningún numero negativo el simplex esta completo
Función beneficio original
B = 100 (X) + 400 (Y)
• De la resolución del simplex surge que se produce 175 de Y y 0 de X
• Por ende el máximo beneficio esta dado por:
MB = 100X + 400Y
MB = 100 (0) + 400 (175)
MB = 70.000