1. Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación)

Apuntes: Matemáticas Financieras
1.
1.1.
1.1.1.
Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación)
Valoración de Rentas: Constantes y Diferidas
Renta Temporal y Pospagable
En este caso, el origen de la renta es un momento d distinto al instante 0,
por lo que el diferimiento se produce desde 0 hasta d. En d + 1 se produce el primer
pago y el último en d + n (gráfico 1).
Figura 1: Valor final renta diferida pospagable
El valor actual, que se denota por d /an⌉i se obtiene sumando los capitales
unitarios en el momento 0. Otra forma de encontrar el valor, es a partir del valor de
la renta en d y trasladarla a 0 (multiplicando por (1 + i)−d ):
d /an⌉i
= (1 + i)−d · an⌉i
El valor final de la renta no se ve modificado por el diferimiento.
Si en vez de pagar una cantidad unitaria, en cada momento del tiempo se
paga una cuantı́a constante C, el valor actual se obtiene como:
V0 = C ·d /an⌉i = C · (1 + i)−d · an⌉i
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al final
de cada año a partir del cuarto año y durante 10 años, si se utiliza el tipo del 10 %.
1
1.1 Valoración de Rentas: Constantes y Diferidas
En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantı́as se abonan al final
de cada año), de cuantı́a constante y con un diferimiento de 4 años. Por lo tanto el
valor actual de la renta se obtendrá a partir del valor de la renta en d para luego
encontrar el valor en 0. El valor en d es:
a10⌉10 =
1 − (1 + i)−n
1 − (1 + 0,1)−10
=
= 6,1445
i
0,1
Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en
0:
4 /a10⌉10
= (1 + i)−d · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 6,1445 = 4,1968
Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuantı́a
C multiplicando por dicha cuantı́a:
V0 = C·4 /a10⌉10 = C·(1+i)−d ·a10⌉10 = 5000·4,1968 = 5000·(1+0,1)−4 ·6,1445 = 20984,11
1.1.2.
Renta Perpetua y Pospagable
En este caso los pagos no acaban en d + n sino que continúan de forma
indefinida. El valor actual de dicha renta se puede calcular de tres formas distintas:
1. A partir de la suma de todos los capitales llevados al instante 0:
d /a∞⌉i
[
]
= 1·(1+i)−(d+1) +1·(1+i)−(d+2) +· · · = (1+i)−d (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·
El término del corchete es justamente la suma infinita vista en el caso de l
renta perpetua, pospagable pero inmediata y cuya suma vale
2
1
i
y por lo tanto
Apuntes: Matemáticas Financieras
d /a∞⌉i
=
(1 + i)−d
i
2. Como lı́mite de la renta temporal
d /a∞⌉i
= lı́m n → ∞(1 + i)−d · an⌉i =
(1 + i)−d
i
3. A partir del traslado de la renta permanente en el instante d (a∞⌉i ) al instante
0 (d /a∞⌉i = (1 + i)−d a∞⌉i )
Por último, si la renta no es unitaria sino que paga una cuantı́a constante C
entonces el valor de la renta permanente es:
V0 = C ·d /a∞⌉i =
C · (1 + i)−d
i
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio
de cada año a partir del cuarto año y de forma indefinida, si se utiliza el tipo del
10 %.
En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantı́as se abonan al principio de cada año), de cuantı́a constante y con un diferimiento de 4 años. Además
es una renta permanente ya que el pago de las cuantı́as se produce de forma indefinida. Una de las formas para obtener el valor actual de la renta es valorar la renta
indefinida en el instante d y valorarla después en 0. El valor de la renta permanente
en d es:
a∞⌉10 =
1
1
=
= 10
i
0,1
y ahora, multiplicando por (1 + i)− d se encuentra el valor de dicha renta en
d:
3
1.1 Valoración de Rentas: Constantes y Diferidas
d /a∞⌉10
= (1 + 0,1)−4 ·
1
= 0,6830 · 10 = 6,830
0,1
Y por último, se multiplica por C para tener la renta de cuantı́a C = 5000:
V0 = 5000 ·d /a∞⌉10 = 5000 · 6,830 = 34150,67
1.1.3.
Renta Temporal y Prepagable
En este caso los capitales se pagan al principio del periodo pero existiendo
un diferimiento entre 0 y el periodo d. Por lo tanto, el primer pago se hace en d.
Figura 2: Valor final renta diferida prepagable
El valor actual se puede obtener como la suma de todos los capitales trasladados al isntante 0 o como el valor actual en 0 de la renta sin diferimiento
d /än⌉i
= (1 + i)−d · än⌉i
y finalmente, a partir de la relación entre la renta pospagable y prepagable1
se obtiene que
d /än⌉i
1
= (1 + i)−d+1 · an⌉i
Como recordatorio än⌉i = (1 + i)−1 an⌉i
4
Apuntes: Matemáticas Financieras
Si en vez de ser una renta unitaria, es una renta constante de cuantı́a C,
entonces el valor actual es:
V¨0 = C ·d /än⌉i = C · (1 + i)−d+1 · an⌉i = C · (1 + i)−d+1 · an⌉i
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio
de cada año a partir del cuarto año y durante 10 años, si se utiliza el tipo del 10 %.
En este caso es una renta prepagable (ya que las cuantı́as se abonan al principio de cada año), de cuantı́a constante y con un diferimiento de 4 años. Por lo
tanto el valor actual de la renta se obtendrá a partir del valor de la renta en d para
luego encontrar el valor en 0. El valor en d es:
ä10⌉10 =
1 − (1 + i)−n
1 − (1 + 0,1)−10
=
= 6,7590
1 − (1 + i)−1
1 − (1 + 0,1)−1
Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en
0:
4 /ä10⌉10
= (1 + i)−d · ä10⌉10 = (1 + 0,1)−4 · 6,7590 = 4,6165
Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuantı́a
C multiplicando por dicha cuantı́a:
V0 = C·4 /ä10⌉10 = C·(1+i)−d ·ä10⌉10 = C·(1+0,1)−4 ·6,7590 = 5000·4,6165 = 23082,52
También se puede resolver el ejercicio a partir de la relación entre la renta
diferida pospagable y la renta diferida prepagable. Ası́, sabiendo que:
ä10⌉10 = (1 + i) · a10⌉10
5
1.2 Valoración de Rentas: Constantes y Anticipadas
y sustituyendo en la expresión para la renta diferida y prepagable:
4 /ä10⌉10
= (1 + i)−d · (1 + i) · a10⌉10 = (1 + i)−d+1 · a10⌉10
y como se ha visto antes a10⌉10 = 6,1445 por lo que
4 /ä10⌉10
= (1 + i)−d+1 · a10⌉10 = (1 + 0,1)−4+1 · 6,1445 = 4,6165
Y, finalmente multiplicando por C se obtiene la renta pedida en el ejercicio:
V0 = 5000 · 4,6165 = 23082,52
1.1.4.
Renta Perpetua y Prepagable
De forma análoga a la renta pospagable, se obtiene la renta permanente
prepagable como:
−d
· ä∞⌉i =
d /ä∞⌉i = (1 + i)
(1 + i)−d+1
i
y si la cuantı́a es constante:
C · (1 + i)−d+1
V¨0 = C ·d /ä∞⌉i = C · (1 + i)−d · ä∞⌉i =
i
1.2.
Valoración de Rentas: Constantes y Anticipadas
En estos casos la renta finaliza en el periodo n pero se valora en un instante
posterior n + k por lo que la renta está anticipada k periodos en el momento de la
valoración.
6
Apuntes: Matemáticas Financieras
El valor actual de dichas rentas no se ve afectado ya que en el momento 0 la
renta es inmediata. Además no pueden existir rentas perpetuas y anticipadas ya que
dichas rentas no terminan nunca y por lo tanto no se pueden valorar en un instante
posterior al de su finalización.
El problema radica en encontrar el valor final, que dependerá de si la renta
es pospagable o prepagable.
1.2.1.
Renta pospagable
Figura 3: Valor final renta anticipada y pospagable
El valor final en este tipo de rentas se denota por k /Sn⌉i y se obtiene de dos
formas:
1. trasladando todas las cuantı́as al instante n + k.
2. trasladando el valor final de la renta en n (ya calculado en apartados anteriores)
y trasladar dicho valor a n + k multiplicando por el factor de capitalización
(1 + i)k :
k/Sn⌉i = (1 + i)k · Sn⌉i
Si la renta es de cuantı́a constante C entonces el valor final será
Vn+k = C · k/Sn⌉i = C · (1 + i)k · Sn⌉i
Ejemplo
7
1.2 Valoración de Rentas: Constantes y Anticipadas
Valore un Bono que se compró hace 15 años, que paga unas cuantı́as anuales
de 1000 euros al final de cada año durante 10 años si el tipo de interés para su
valoración es el 8 %.
Como el bono tiene una duración de 10 años y se valora 5 años después,
se trata de una renta anticipada. Para su valoración, se puede encontrar el valor
del bono a los 10 años a través de la expresión para la valoración de una renta
pospagable y luego valorarla cinco años después. Ası́, el valor de la renta a los 10
años será:
V10 = C · S10⌉8 = 1000 ·
(1 + 0,08)10 − 1
= 1000 · 14,4865 = 14486,56
0,08
Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta
V10 5 años adelante:
V10+5 = 1000 · 5/S10⌉8 = 1000 · (1 + 0,08)5 · Sn⌉i = 1000 · 1,4693 · 14,4865 = 21285,51
1.2.2.
Renta prepagable
En este caso, como los capitales se pagan al principio del periodo, el último
capital se paga en n − 1.
Figura 4: Valor final renta anticipada y prepagable
De nuevo, se puede valorar la renta sumando todos los capitales una vez
trasladados a n + k o trasladando el valor de la renta en n a n + k. En ese caso, y
denotando el valor de la renta por k /S̈n⌉i :
8
Apuntes: Matemáticas Financieras
k /S̈n⌉i
= (1 + i)k · S̈n⌉i
y a partir de la relación entre el valor final de una renta pospagable y prepagable2 se obtiene que:
k /S̈n⌉i
= (1 + i)k+1 · Sn⌉i
Si la renta es de cuantı́a constante C entonces el valor final será
¨ = C ·k /S̈n⌉i = C · (1 + i)k · S̈n⌉i = ·(1 + i)k+1 · Sn⌉i
Vn+k
Ejemplo
Valore un Bono que se compró hace 15 años, que paga unas cuantı́as anuales
de 1000 euros al principio de cada año durante 10 años si el tipo de interés para su
valoración es el 8 %.
Como el bono tiene una duración de 10 años y se valora 5 años después, se
trata de una renta anticipada. Para su valoración, se puede encontrar el valor del
bono a los 10 años a través de la expresión para la valoración de una renta prepagable
(ya que las cuantı́as se abonan al principio de cada año) y luego valorarla cinco años
después. Además, se puede obtener el valor de la renta prepagable a partir de su
expresión o a partir de la renta pospagable. Ası́, una vez obtenido S10⌉0,08 en el
apartado anterior, la renta prepagable se obtiene como:
S̈10⌉0,08 = (1 + 0,08)S10⌉0,08 = (1,08) · 14,4865 = 15,6455
Ası́, el valor de la renta a los 10 años será:
V¨10 = 1000 · S̈10⌉8 = 1000 · 15,6455 = 1000 · 14,4865 = 15645,49
2
A modo de recordatorio S̈n⌉i = (1 + i) · Sn⌉i
9
1.3 Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas
Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta
V10 5 años adelante:
V10+5 = 1000·5/S̈10⌉8 = 1000·(1+0,08)5 · S̈10⌉0,08 = 1000·1,4693·15,6455 = 22988,35
1.3.
Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas
Se dice que una renta es fraccionada cuando se divide cada cuantı́a y cada pe-
riodo en m partes iguales y en cada periodo de tiempo de amplitud
un capital de cuantı́a
1.3.1.
1
m
le corresponde
CS 3
m
Renta temporal y pospagable
En cada periodo de tiempo, la distribución de los capitales es idéntica y por lo
tanto se puede sustituir por un capital equivalente a los m capitales en cada periodo.
De esta forma pasamos de una renta fraccionada a una que no lo está.
Figura 5: Valor final renta fraccionada
Si pensamos en la renta unitaria, en cada periodo hay m cuantı́as y por tanto
al final del periodo se puede encontrar el valor final de la renta compuesta de las
m cuantı́as que será Sm⌉im es decir, el valor final de una renta pospagable con m
3
Es importante tener claro las relaciones entre los tantos efectivo (i), tantos nominal de frecuen-
cia m (jm ) y rédito asocidado a subperiodos de amplitud
(
)m
m
1 + jm
10
1
m.
Dicha relación es 1 + i = (1 + im )m =
Apuntes: Matemáticas Financieras
periodos y con un tipo en cada periodo de im . Como la cuantı́a no es unitaria sino
que toma el valor
1
m
entonces el valor final de la renta en cada periodo es:
1
· Sm⌉im
m
Por otro lado, utilizando la expresión para el valor final de una renta pospagable se obtiene que:
Sm⌉im =
(1 + im )m − 1
im
y teniendo en cuenta la relación de los tipos anuales y el rédito de frecuencia
m, i = (1 + im )m − 1 y im = jm · m se obtiene que:
1
1 (1 + im )m − 1
i
· Sm⌉im =
·
=
m
m
im
jm
De tal forma que en cada periodo el capital que se abona es
i
jm
y por lo tanto,
utilizando la valoración de las rentas pospagables no fraccionadas se obtiene el valor
(m)
(m)
de las fraccionadas, que se denotan por an⌉i y Sn⌉i simplemente multiplicando por
la cuantı́a anual C =
i
:
jm
(m)
an⌉i =
(m)
Sn⌉i =
Siendo el operador
i
jm
i
· an⌉i
jm
i
· Sn⌉i
jm
el que permite pasar de una renta fraccionada a una
que no lo está.
Si la renta es constante, en cada momento
1
m
el capital es
C
.
m
m cuantı́as al final del periodo se obtienen como:
C
C (1 + im )m − 1
C i
i
· Sm⌉im =
·
=
·
=C·
m
m
im
m im
jm
11
El valor de las
1.3 Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas
y por lo tanto los valores actual final son
(m)
V0
(m)
= C · an⌉i = C ·
(m)
Vn(m) = C · Sn⌉i = C ·
i
· an⌉i
jm
i
· Sn⌉i
jm
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantı́as trimestrales
pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %.
Para encontrar tanto el valor actual como el final es necesario encontrar
previamente el tanto nominal de frecuencia 4, que en ese caso toma el valor
1
j4 = 4 · (1,12 4 − 1) = 0,1149
Posteriormente se encuentra el valor actual de la renta fraccionada unitaria:
(4)
a10⌉12 =
i
· an⌉i
jm
Para lo cual hace falta calcular la renta pospagable no fraccionada:
an⌉i =
1 − (1 + i)−n
1 − (1 + 0,12)−10
=
= 5,6502
i
0,12
Y sustituyendo en la expresión de la renta fraccionada se obtiene que:
(4)
a10⌉12 =
0,12
i
· an⌉i =
· 5,6502 = 5,9010
jm
0,1149
Existe otra forma de valorar las rentas fraccionadas. Este segundo método
consiste en valorarlas como no fraccionadas pero tomando como medida del tiempo
12
Apuntes: Matemáticas Financieras
un emésimo periodo (pensar en meses, trimestres, etc). En ese caso, el número de
periodos consiste en el número de años multiplicado por el número de periodos al
año n · m, el tipo de interés será el rédito de frecuencia m y la cuantı́a será
C
.
m
Ası́,
se obtienen los valores actuales y finales de una renta de n · m como:
V0 =
C
· an·m⌉im
m
Vn =
C
· Sn·m⌉im
m
y
lógicamente, la valoración de las rentas debe ser la misma, por lo que se
cumple que:
(m)
C · an⌉i =
C
· an·m⌉im
m
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantı́as trimestrales
pospagables durante 10 años, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del
12 %.
En este caso se encontrará el valor actual de la renta fraccionada como si
no fuera fraccionada. Para ello será necesario encontrar el rédito trimestral. Para
encontrar el rédito mensual se puede partir del tanto nominal de frecuencia trimestral
obtenido anteriormente:
1
j4 = 4 · (1,12 4 − 1) = 0,1149
i4 =
j4
0,1149
=
= 0,0288
4
4
13
1.3 Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas
Ahora, sabiendo que el número de periodos es n · m = 10 · 4 = 40, el valor de
la renta es
]
]
[
[
1
1 1 − (1 + 0,0288)−40
1 1 − (1 + im )−(n+m)
= ·
= 5,90
an·m⌉im = ·
m
4
im
4
0,0288
1.3.2.
Renta perpetua y pospagable
El valor actual de la renta perpetua se puede obtener como lı́mite de la renta
temporal, ası́:
(m)
(m)
i
i
i 1
· an⌉i =
· lı́m an⌉i =
·
n→∞ jm
jm n→∞
jm i
a∞⌉i = lı́m an⌉i = lı́m
n→∞
y por lo tanto
(m)
a∞⌉i =
1
jm
y si la cuantı́a es constante C:
(m)
V0
(m)
= C · a∞⌉i =
C
jm
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantı́as trimestrales
perpetuas y pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %.
Como se ha visto anteriormente el valor actual de la renta perpetua toma la
forma
(m)
a∞⌉i =
14
1
jm
Apuntes: Matemáticas Financieras
donde, para su valoración, se necesita jm . Como hemos visto en el apartado
1
anterior, j4 = 4 · (1,12 4 − 1) = 0,1149 y por lo tanto:
(4)
a∞⌉12 =
1.3.3.
1
= 8,7032
0,1149
Renta temporal y prepagable
De nuevo, para cada periodo se construye una renta equivalente no frac-
cionada y pospagable desplazando todas las cuantı́as
1
m
un periodo a la derecha
1
multiplicándolas por (1 + i) m = 1 + im y ası́ la cuantı́a de la renta pospagable y no
fraccionada es:
1
(1 + i) m ·
1
m
y los valores actuales y finales se obtienen a partir de la valoración de la renta
temporal pospagable no fraccionada:
(m)
1
(m)
1
(m)
1
(m)
1
än⌉i = (1 + i) m · an⌉i = (1 + i) m ·
S̈n⌉i = (1 + i) m · Sn⌉i = (1 + i) m ·
i
· an⌉i
jm
i
· Sn⌉i
jm
De nuevo, es importante observar que el operador que permite pasar de una
renta prepagable y fraccionada a una renta pospagable y fraccionada es (1 + i)f rac1m
Cuando la cuantı́a es constante,
C
m
en cada subperiodo, los valores actual y
final son:
¨(m)
(m)
V0 = C · än⌉i
(m)
¨(m)
Vn = C · S̈n⌉i
15
1.3 Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantı́as mensuales prepagables, de duración 10 años, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del
12 %.
Para encontrar el valor de la renta fraccionada prepagable se necesita el valor
de la renta no fraccionada y pospagable. Ası́, en primer lugar se obtiene
an⌉i =
1 − (1 + i)−n
1 − (1 + 0,12)−10
=
= 5,6502
i
0,12
Para encontrar la renta fraccionada pospagable se multiplica la cantidad anterior por
i
,
jm
por lo que, previamente, se debe encontrar j12 :
1
j12 = 12 · (1,12 12 − 1) = 0,1139
Ahora, la renta fraccionada pospagable es:
(m)
an⌉i =
i
0,12
· an⌉i =
· 5,6502 = 5,9546
jm
0,1139
Y por último, la renta prepagable se encuentra a partir de la pospagable a
1
multiplicando por (1 + i) m :
1
(m)
1
(m)
än⌉i = (1 + i) m · an⌉i = (1 + 0,12) 12 · 5,9546 = 1,009 · 5,9546 = 6,0111
1.3.4.
Renta perpetua y prepagable
De nuevo, la renta perpetua se obtiene como lı́mite de la temporal. Por lo
tanto:
1
(m)
ä∞⌉i
= lı́m
n→∞
(m)
S̈n⌉i
= (1 + i)
1
m
i
(1 + i) m
·
· lı́m an⌉i =
jm n→∞
jm
16
Apuntes: Matemáticas Financieras
y si la cuantı́a es constante
¨(m)
V0
1.3.5.
1
=C·
(m)
ä∞⌉i
C · (1 + i) m
=
jm
Rentas Fraccionadas, Diferidas y Anticipadas
Para valorar las rentas fraccionadas diferidas, se obtiene el valor de la renta
sin tener en cuenta el diferimiento y luego se aplica el operador para las rentas
diferidas, (1 + i)−d . De la misma forma, si se quiere valorar una renta fraccionada
anticipada, se valora la renta sin tener en cuenta los años anticipados y luego se
aplica el operador de las rentas anticipadas, (1 + i)k .
Ejemplo
Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantı́as mensuales prepagables, diferida 3 años, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %.
En el ejemplo anterior se ha calculado la renta anterior para el caso en el que
no hay diferimiento:
1
(m)
(m)
än⌉i = (1 + i) m · an⌉i = 6,0111
Para encontrar la renta diferida, tan solo hay que multiplicar por (1 + i)−d
(m)
d /än⌉i
= (1 + i)−d än⌉i
(m)
y en este ejercicio
(m)
3 /än⌉i
= (1 + i)−3 · 6,0111 = 0,7118 · 6,0111 = 4,2786
17