Grado en Ingeniería Mecánica Teoría de Sistemas PROBLEMAS

Grado en Ingeniería Mecánica
Teoría de Sistemas
PROBLEMAS PROPUESTOS. TEMAS 1 A 4
Señales y sistemas. Transformada de Laplace. Función de transferencia
continua. Modelado de sistemas continuos.
PROBLEMA 1. Cálculo de transformada de Laplace
Dada la señal x(t) representada en la figura 1, se pide calcular la transformada de Laplace
X(s) por los dos métodos siguientes, comprobando que los resultados coinciden:
a) Usando directamente la definición de transformada de Laplace.
b) Descomponiendo la señal en escalones y rampas.
Figura 1: Señal x(t)
x(t) =


0




1

2 − t/T





0
t<0
0≤t<T
T ≤ t < 2T
t ≥ 2T
PROBLEMA 2. Transformada inversa de Laplace
Calcular la transformada inversa de Laplace de las funciones siguientes:
F1 (s) =
1
s(s2 + 2s + 2)
F2 (s) =
1
+ 4)
s(s2
F3 (s) =
1
6s + 3
s2
F4 (s) =
5s + 2
(s + 1)(s + 2)2
PROBLEMA 3. Linealización y obtención de la función de transferencia
Dado el sistema definido por las ecuaciones diferenciales siguientes:
 2

 d w(t)


2
w(t)
dw(t)
= 40 − 20 ·
dt
dt
x(t)


dy(t)

y(t) = 5 · w(t) − 2 · y(t) ·
+ 2 · v(t)
dt
donde las señales x y v son entradas y la señal y es de salida y el punto de funcionamiento
sobre el que se trabajará viene dado por x(0) = 2; v(0) = 5.
−3·
Se pide:
1. Obtener la función de transferencia G1 (s) = Y (s)/X(s).
2. Obtener la función de transferencia G2 (s) = Y (s)/V (s).
PROBLEMA 4. Linealización y obtención de la función de transferencia
Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada
e y(t) representa la salida:
x2 (t) +
dx(t)
d2 y(t)
dy(t)
+ 2 · x(t) · y(t) =
+
3
·
dt
dt2
dt
Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 2, se pide obtener la
función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s).
PROBLEMA 5. Linealización y obtención de la función de transferencia
Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada
e y(t) representa la salida:
d3 y(t)
d2 y(t)
dy(t)
dx(t)
dx(t)
+
2
·
+5·
+3·
· y(t) + 2y(t) − 10 ·
− x2 (t) − 2 = 0
3
2
dt
dt
dt
dt
dt
Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 2, se pide obtener la
función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s).
2
PROBLEMA 6. Linealización y obtención de la función de transferencia
Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada
e y(t) representa la salida:
x(t) + 2 ·
d3 y(t) d2 y(t)
dx(t)
dy(t)
=2·
+ 3 · y 2 (t)
+
+5·
3
2
dt
dt
dt
dt
Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 300, se pide obtener
la función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s).
PROBLEMA 7. Linealización y obtención de la función de transferencia
Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada
e y(t) representa la salida:
dy(t)
dx(t)
d2 y(t)
3
−
4y(t)x(t)
+
5
·
·
x(t)
−
2x
(t)
−
+ 40 = 0
dt2
dt
dt
Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 2, se pide obtener la
función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s).
PROBLEMA 8. Modelado de un calentador eléctrico para líquidos
La figura 2 representa un calentador eléctrico para líquidos cuyo contenido se calienta aplicando tensión a una resistencia R.
Figura 2: Calentador eléctrico
Las variables que intervienen en el sistema son las siguientes:
3
h(t): altura del líquido en el depósito
v(t): tensión aplicada a la resistencia
T (t): temperatura del líquido
qe (t): caudal de entrada
qs (t): caudal de salida
Se pide:
1. Diagrama de bloques en el dominio de Laplace.
2. Funciones de transferencia M1 (s) y M2 (s):
M1 (s) =
T (s)
QE (s)
M2 (s) =
T (s)
V (s)
Datos:
Ecuaciones del sistema con los valores de las constantes sustituidos:
0, 25 ·
dh(t)
= qe (t) − qs (t)
dt
−4
qs (t) = 5, 6 · 10
·
q
h(t)
125 · qe (t) + 4, 17 · 10−6 · v 2 (t) =
= 4, 17 · qs (t) · T (t) + 520 · 10−6 · [T (t) − 20] · h(t)+
"
dT (t)
dh(t)
+ 1, 04 · h(t) ·
+ T (t) ·
dt
dt
Punto de funcionamiento para el análisis:
v(0) = 100 V
qe (0) = 0, 5 · 10−3 m3 /s
4
#
PROBLEMA 9. Modelado de un dique
La figura 3 representa un dique de 15 m de altura pensado para evitar riadas en épocas
lluviosas. Se considerarán como variables de entrada al sistema la intensidad de lluvia pl(t)
y la apertura de la compuerta de desagüe vd (t); y como variable de salida la altura de agua
en el dique h(t). También se utilizarán como variables intermedias el caudal de lluvia qpl (t)
y el caudal de desagüe qd (t).
Figura 3: Esquema de un dique
Ecuaciones físicas del sistema:
qpl (t) = pl(t) · A
qd (t) = K ·
q
h(t) · vd (t)
dh(t)
qpl (t) − qd (t)
=
dt
A
Valores de las constantes:
A = 40000 m2
(área de la presa)
K = 28 m1/2 /s (constante de vaciado)
Se pide:
1. Representar las ecuaciones del sistema en el dominio de Laplace, linealizadas sobre el
punto de equilibrio correspondiente a una intensidad de lluvia pl(0) = 5,2 l/m2 s (1
litro = 10−3 m3 ) y una apertura de la compuerta de desagüe vd (0) = 2,57 m2 .
2. Representar el diagrama de bloques del sistema completo.
3. Partiendo de la situación de equilibrio y sin variar la posición de la compuerta de
desagüe, calcular la altura que alcanzará el agua en el dique si la intensidad de lluvia
pasara a valer 5,7 l/m2 s.
4. Partiendo de la situación de equilibrio y sin variar la posición de la compuerta, calcular
el tiempo que tardaría el nivel de agua en sobrepasar el dique si la intensidad de lluvia
pasara a valer 8 l/m2 s.
5
5. Partiendo de la situación de equilibrio y suponiendo que la intensidad de lluvia no
varía, calcular cuál sería la apertura de la compuerta necesaria para que la altura de
agua en el dique bajara 1 m en una hora.
6. ¿Cómo afecta a la velocidad del sistema el área de la presa? Razonar la respuesta.
PROBLEMA 10. Modelado del amortiguador de un vehículo
En la figura 4 se muestra un modelo simplificado de una de las suspensiones de un vehículo. Se considera como variable de entrada el desplazamiento x(t) de la base del neumático
respecto de una referencia de altitud absoluta y como salida el desplazamiento y(t) del chasis
del vehículo respecto de la misma referencia. La ecuación que describe el sistema es:
d2 y(t)
dy(t) dx(t)
−
m·
=
mg
−
K
·
(y(t)
−
x(t))
−
B
·
dt2
dt
dt
!
donde los valores de las constantes son: m = 1000 kg, B = 8000 Ns/m, K = 40000 N/m y
g = 9,8 m/s2
Figura 4: Modelo simplificado de uno de los amortiguadores de un vehículo
Suponiendo que se trabaja alrededor del punto de equilibrio dado por x(0) = 0, se pide:
1. Obtener la función de transferencia F (s) que relaciona la entrada x(t) con la salida
y(t).
2. Si el vehículo está circulando por una superficie horizontal en régimen permanente y
se encuentra de repente con un bordillo como el que se muestra en la figura 5, obtener
la evolución de la posición del chasis del vehículo en función del tiempo (salida y(t)).
Figura 5: Entrada para el apartado 2 del problema 10
6
PROBLEMA 11. Obtención de función de transferencia. Cálculo de salida de
sistema realimentado
Sobre un sistema con función de transferencia F (s) desconocida se ha aplicado como entrada
un escalón unitario obteniendo como respuesta la señal siguiente:
y(t) = 0,5 · 1 − e−2t ,
t≥0
Se pide:
1. Obtener la función de transferencia del sistema, F (s).
2. Si el sistema anterior se realimenta como se indica en la la figura 6, obtener la respuesta
y(t) cuando la entrada x(t) es un escalón de amplitud 10.
Figura 6: Sistema realimentado para el problema 11
PROBLEMA 12. Cálculos sobre un sistema usando la transformada directa e
inversa de Laplace y el teorema del valor final
El comportamiento de un sistema puede modelarse por la siguiente ecuación diferencial,
donde x(t) representa la señal de entrada e y(t) la señal de salida:
−
d2 y(t)
dx(t)
dy(t)
2
+
y(t)
·
−
5
·
x
(t)
+
y(t)
·
− 4 · y(t) = 0
dt2
dt
dt
Suponiendo que se trabaja alrededor del punto de equilibrio definido por x(0) = 2, se pide:
1. Obtener la función de transferencia F (s) que relaciona la entrada y la salida del sistema.
2. Si la señal de entrada x(t) pasa bruscamente a tomar un valor x(t) = 4 desde el punto
de equilibrio, calcular los valores de la señal de salida y(t) en los instantes t = 0,5 y
t = 2 segundos.
3. Sabiendo que el sistema es estable, calcular la amplitud necesaria del escalón de entrada
para que el valor de la salida y(t) se incremente en 2 unidades en régimen permanente.
7
PROBLEMA 13. Respuesta de un sistema
Sea el sistema representado por la ecuación diferencial siguiente, donde x(t) es la entrada e
y(t) la salida:
d2 y(t) dy(t)
= x(t)
+
dt2
dt
Suponiendo condiciones iniciales nulas (x(0) = y(0) = 0), se pide obtener la salida del
sistema en el instante t = 3 segundos ante la entrada x(t) que se muestra en la figura 7.
Figura 7: Señal de entrada x(t) para el problema 13
PROBLEMA 14. Respuesta de un sistema
Sea el sistema representado por la ecuación diferencial siguiente, donde x(t) es la entrada e
y(t) la salida:
dy(t)
d2 y(t)
+2
+ y(t) = x(t)
2
dt
dt
Suponiendo condiciones iniciales nulas (x(0) = y(0) = 0), se pide obtener la salida del
sistema en el instante t = 4 segundos ante la entrada x(t) que se muestra en la figura 8.
Figura 8: Señal de entrada x(t) para el problema 14
8
PROBLEMA 15. Simplificación de diagrama de bloques
Dado el diagrama de bloques de la figura 9, se pide simplificarlo y obtener la función de
transferencia Y (s)/X(s).
Figura 9: Diagrama de bloques
PROBLEMA 16. Dibujo de diagrama de bloques y simplificación
Dadas las ecuaciones siguientes, expresadas en el dominio de Laplace, se pide representarlas
en un diagrama de bloques y reducir el diagrama hasta obtener la función de transferencia
M (s) que relaciona la entrada R(s) con la salida C(s): M (s) = C(s)/R(s).
Ecuaciones:
E(s) = R(s) − C(s)H3 (s)
U1 (s) = E(s)G1 (s)
U3 (s) = [U1 (s) − U2 (s)]G2 (s)
U2 (s) = U4 (s)H2 (s)
U4 (s) = [U3 (s) + U5 (s)]G3 (s)
C(s) = U4 (s)G4 (s)
U5 (s) = C(s)H1 (s)
Nota:
E(s), R(s), C(s) y U (s) son señales.
Gi (s) y Hi (s) son funciones de transferencia.
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