XIV Simposio Internacional de Processos Civilizadores

XIV Simposio Internacional de Processos Civilizadores
Resumen de ponencia
Mesa 7: Horizontes de una sociología de las expresiones a partir de Norbert Elias.
Compromiso y distanciamiento en el desarrollo del conocimiento humano: el caso de
Julio Garavito a finales del siglo XIX en Colombia.
Carlos Daniel Pérez Ruiz
Historiador
Universidad Nacional de Colombia
Abstract:
This research will try to evaluate the conditions that could preclude the comprehension of
No Euclidian geometry and the Relativity in the case of Julio Garavito at the end of XIX
century in Colombia. In this way, we will use the notions of Involvement and detachment
that Norbert Elias postulated because we think that only with this notion we will be able to
explain the conservative position of the Colombian scientist toward the more advantages
theories in mathematics and physics in his time.
Resumen:
Este trabajo pretende evaluar las condiciones que imposibilitaron a un científico
colombiano como Julio Garavito a finales del siglo XIX la comprensión de los postulados
de las geometrías no euclidianas y la relatividad general. En este sentido, nos parece
indispensable incluir las nociones de Compromiso y Distanciamiento formuladas por
Norbert Elias para entender la posición tan conservadora que dicho científico mantuvo
frente a teorías y postulados que claramente superaban en poder explicativo a los que él
defendía.
Introducción:
Hacia finales del siglo XIX un científico colombiano -Julio Garavito- rechaza tácitamente
algunos de los avances en matemáticas, en particular, a las geometrías no euclidianas
desarrollados por Nikolái Lobachevski y Carl Friedrich Gauss. Unos años después, cuando
la teoría especial de la relatividad es formulada por Einstein, Garavito no acepta las
premisas de las cuales parte dicha teoría y se propone refutarlas aunque es sorprendido por
la muerte mientras lo intenta.
Para la época, Julio Garavito era conocido como el más importante científico colombiano:
sus aportes como ingeniero y astrónomo hacían de él el más reconocido de aquellos que
dedicaban su vida a la ciencia, y su conocimiento de la mecánica clásica le llevaron a
obtener varios cargos a nivel gubernamental y académico. Sin embargo, su posición frente
a los adelantos mencionados, que a posteriori se mostraron indispensables para entender el
universo físico en una lógica moderna, lo dejan claramente por debajo de los científicos
más brillantes de su época a nivel mundial. ¿Por qué Julio Garavito, a pesar de haber sido
uno de los más competentes matemáticos y físicos colombianos, no acepto las ideas de las
geometrías no euclidianas y la física relativista? ¿Qué le impidió a Garavito dar este
decisivo paso en el entendimiento del universo físico?
Creemos que las premisas necesarias para explicar este hecho pueden encontrarse en la
teoría formulada por Norbert Elias frente al desarrollo del conocimiento humano, en
particular sus postulados frente a Compromiso y Distanciamiento. Partiremos describiendo
la situación de las matemáticas y la física en Colombia desde la segunda mitad del siglo
XIX. Posteriormente, analizaremos el giro que sobrevino con la llegada de las geometrías
no euclidianas y la relatividad y la posición de Garavito frente a ellas. Finalizaremos con
una explicación de este caso a partir de los postulados que Elias hace frente al compromiso
y al distanciamiento, en particular cuando estos dos principios se vinculan en la posibilidad
de aprehender y generar nuevas perspectivas en la comprensión del universo.
Las matemáticas y la física en la formación de Julio Garavito.
Desde principios del siglo XIX la Física y las Matemáticas se abrían paso lentamente en
Colombia guiadas por las demandas en de las necesidades empíricas de la ingeniería civil y
militar: en este ambiente, las aplicaciones a problemas prácticos más que el interés
investigativo era lo que primaba entre aquellos que se dedicaban al estudio de estas
disciplinas.1
El panorama comenzó a cambiar a partir de de la década de los cuarenta de dicho siglo,
cuando una serie de reformas enfocadas hacia la educación llevaron a la creación del
Colegio Militar en 1846. La posibilidad de una profesionalización de las Matemáticas y la
Física solo fue posible con los presentes que había sentado este colegio: gracias al esfuerzo
de personajes como Lino de Pombo, quien se formo como ingeniero en el ―Real Cuerpo de
Ingenieros de Alcalá de Henares y en la Écolede Ponts et Chaussés‖ y Aimé Bergeron,
quien hizo parte de la comisión francesa que apoyo esta iniciativa, el Colegio Militar (con
un pensum basado en cálculo diferencial e integral, geometría, trigonometría y algebra)
comenzó a formar un grupo de estudiantes quienes posteriormente conformarían la ―ilustre
élite científica‖ colombiana que jugaría un papel fundamental en la formación de
ingenieros.2
1
Michel Paty y Regino Martínez Chavanz, «Formación y desarrollo de la cultura científica en Colombia: La
física de 1880 a 1940.», en Formación de cultura científica en Colombia. Ensayos sobre Matemáticas y Física.
(Cali: Universidad del Valle, 2004), 118.
2
Clara Helena Sánchez, «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora», en Miguel Antonio Caro Y
La Cultura De Su Época (Universidad Nacional de Colombia, 2002), 348; Paty y Martínez Chavanz,
«Formación y desarrollo de la cultura científica en Colombia: La física de 1880 a 1940.», 121. Tal es el caso
de Indalecio Lievano quien se busco “llenar los vacios” que la matemática tenía como disciplina científica.
Hacia 1867 el Colegio Militar se une a la Universidad Nacional de Colombia. La creación
de esta institución y con ella la formación profesional en ingeniería llevó a que una gran
cantidad de personas se vinculara a carreras poco tradicionales comparadas con aquellas
que habían sido las más requeridas hasta mediados del siglo XIX: durante la década de los
setenta, la cantidad de estudiantes matriculados a Ingenieras y Matemáticas supero a
aquellos matriculados en Derecho y Medicina, aunque esta tendencia solo se mantuvo hasta
la década siguiente cuando los dos grupos se equilibraron.3 Para el periodo, la posibilidad
de vincularse laboralmente en la apertura ferroviaria del país pudo haber jugado un papel
muy importante en la tendencia hacia la elección de carreras más ―prácticas‖ que las
tradicionales profesiones liberales, dando de paso un fuerte impulso a la profesionalización
de las matemáticas y la ingeniería en una institución universitaria.
Desde finales de los setenta y hasta principios del siglo posterior el ambiente político
colombiano sería en extremo volátil: la pérdida del poder para los liberales en 1875
desencadenaría una inestabilidad política que tuvo como principal consecuencia la guerra
de los mil días a principios de siglo; a la vez, nuevas reformas conservadoras fueron
implementadas por el gobierno de la época, en particular en la constitución de 18864.
En este ambiente y hacia 1888, tras una larga pugna entre distintas formas de concebir la
formación académica se crea una institución dedicada en exclusividad a la formación en
Matemáticas en la cual los estudiantes podían obtener un título en ―Profesor en Ciencias
Matemáticas‖ tras haber cursado un pensum de cinco años 5. Esta institución llamada
―Instituto Central de Matemáticas y Facultad de Matemáticas‖ se adscribió a la Universidad
Nacional y fue la primera en la cual la profesionalización del estudio de las ciencias exactas
que se puso en práctica de manera sistemática. El instituto funcionó hasta 1903 cuando fue
cerrado sin un aparente motivo eliminando las posibilidades de que los adelantos más
grandes en matemáticas pudieran ser difundidos y desarrollados en el país6.
La formación de Julio Garavito como ingeniero y matemático comienza en el Instituto
Central de Matemáticas del cual se gradúa en 1891. Al parecer, inmediatamente después de
su graduación, su manejo de cálculo diferencial e integral lo llevaron a obtener una cátedra
universitaria a la vez que muy tempranamente se convirtió en el director del observatorio
astronómico7. La formación recibida tanto como ingeniero y matemático fue fundamental a
lo largo de los distintos intereses que Garavito mantuvo entre los que se encuentran la
elaboración de una cartografía colombiana a partir de determinaciones astronómicas, la
explicación de la mecánica celeste de cometas y orbitas, una explicación al movimiento de
3
Marco Palacios y Frank Safford, Colombia : país fragmentado, sociedad dividida : su historia (Bogotá: Grupo
Editorial Norma, 2002), 443.
4
Ibid., 451.
5
Sánchez, «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora», 351.
6
Ibid., 351–532.
7
Ibid., 360.
la luna y la dinámica de los electrones.8 Sin embargo y ante las geometrías no euclidianas y
la relatividad, la perspectiva en que el científico colombiano evaluaba el universo lo
obligaba a rechazar tácitamente los postulados que contradicen a la realidad euclidiana.
Las geometrías no-euclidianas y el rompimiento de paradigmas matemáticos.
Podríamos preguntarnos ahora que cambia en las matemáticas con el advenimiento de las
geometrías no euclidianas: ante todo, estamos frente a un cambio en la manera en que se
observa el espacio que reformaría radicalmente la postura de los matemáticos y prepararía
el terreno para la aceptación de nuevas perspectivas en que se evaluó el universo, en
particular la relatividad. Comencemos con el problema del quinto postulado.
Desde la formulación de los postulados en la geometría euclidiana, el quinto postulado
siempre represento problemas para los matemáticos que intentaban trabajar en su
demostración. Este postulado se enuncia de la siguiente forma:
Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del mismo lado ángulos internos
menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas al infinito se encontrarán en el
lado en que estén los ángulos menores que dos rectos9.
El postulado de las paralelas en un plano bidimensional como el presentado por Euclides
fue un agudo problema para los matemáticos de distintas épocas puesto que en él se dejaba
consideraciones intuitivas (como la prolongación hacia el infinito de rectas) sin una
sustentación formal y puesto que no había una forma para deducirlo de los postulados
previamente enunciados en el libro de los elementos de Euclides.
En vista de la imposibilidad de esta demostración bajo los principios euclidianos, desde
comienzos del siglo XIX se busca construir una geometría en la cual se pueda entender este
postulado desde otra perspectiva. Esto supone un rompimiento muy grande con la tradición
matemática que hasta ese momento se había caracterizado por la creencia de que la
geometría ―era una representación de características básicas e invariantes del mundo real, y
que la verdad matemática era absoluta‖.10
En este espíritu, las geometrías no euclidianas desarrolladas por Gauss, Lobachesky y
Bolyai a principios del XIX critican la adopción del plano bidimensional en donde se
desarrolla la geometría euclidiana y presentan construcciones que solo pueden
comprenderse en planos curvos o esféricos en los cuales el quinto postulados euclidianos se
relativiza. Por ejemplo, en la geometría propuesta por Lovachesky es factible formar dos
8
Jorge Arias de Greiff, Julio Garavito Vida Y Obra, Palabras Rodantes (Medellín: Comfama, 2009); Paty y
Martínez Chavanz, «Formación y desarrollo de la cultura científica en Colombia: La físicade 1880 a 1940.»,
122.
9
Víctor Samuel Albis González, «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia», Revista de la Academia
o
Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales, n. 21 (80) (1997): 1.
10
Ian Stewart, Historia de las Matemáticas : en los últimos 10.000 años (Barcelona: Crítica, 2008), 183.
paralelas pasen por un punto exterior a un recta11 o que la suma interna de los ángulos
internos de un triangulo no sea igual a la suma de dos ángulos rectos, cosas impensables en
un plano bidimensional. Al criticar la adopción del plano bidimensional, la geometría
comienza a entrar en un mundo contra-intuitivo en el cual las experiencias en nuestra
realidad inmediata tridimensional no pueden relacionarse en forma directa con los
postulados que comienzan a demostrarse.
A partir del desarrollo de las geometrías no euclidianas y a diferencia de lo que había
venido pasando hasta este momento, el paradigma en el cual la geometría y las matemáticas
eran una representación de la realidad se rompe: ahora, aparece la posibilidad de integrar
distintas perspectivas en una sola, independientemente que dichas perspectivas estén o no
vinculadas con la realidad más evidente e inmediata a nuestras percepciones. En la nueva
relativización del espacio, las matemáticas ya no son una representación de las
características invariantes del mundo y no hay una relación de necesidad, como lo afirmaría
Kant, para entender la geometría del espacio solo en el plano euclidiano caracterizado por
la caja tridimensional que nos es conocida por nuestras experiencias inmediatas.
En los desarrollos posteriores de la física relativista, las geometrías no euclidianas jugaron
un papel determinante: la curvatura del espacio-tiempo que ocurre a causa de la gravedad
de un objeto muy denso en el universo solo puede ser explicada en un espacio que no tenga
forma euclidiana, sino en un plano hiperbólico como el desarrollado por Lobachesky. Por
otro lado, la relatividad va aun más lejos y relativiza las nociones de tiempo que hasta
principios del siglo XIX se consideraban constantes y permanentes: ya que la relatividad de
la duración del tiempo y de la longitud del espacio dependen de la velocidad a la cual se
esté moviendo un objeto determinado, ni el tiempo ni el espacio son características
invariantes del mundo y dejan de ser consideradas como permanentes en el universo. El
hecho de que el tiempo-espacio se relativice implica que la naturaleza del universo mismo
no es estática como hasta ese momento se pensaba, por el contrario su dinamismo es latente
y vigoroso.
Estas eran las nuevas perspectivas que se habrían para la matemática y la física cundo Julio
Garavito desarrollaba sus estudios en Colombia. Para el periodo cuando este autor llego a
ser conocido como ―sabio‖ entre los científicos era clara la consolidación de las geometrías
no euclidianas como sistemas de referencia por lo menos tan consistentes como el de la
geometría euclidiana. Sin embargo, su persistencia en demostrar la falsedad de los
postulados de algunos de estas geometrías era tenaz.
Garavito y las geometrías no euclidianas:
En la lógica de pensamiento de Garavito, las geometrías no euclidianas solo podían ser
entendidas como juegos lógicos puesto que no tenían ninguna representación de la realidad;
11
Albis González, «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia», 13.
para él, no había otra geometría posible más que la euclidiana puesto que ―sus postulados
son evidentes y lo evidente es verdadero‖12. En esta lógica, y conociendo los postulados de
las geometrías no euclidianas a través de las publicaciones secundarias de Poincaré y
otros13, emprende la demostración de la falsedad de dichas geometrías.
Es interesante resaltar que Garavito siempre erra en esta demostración puesto que introduce
de una u otra forma el quinto postulado de Euclides cada vez que intenta descartar los
hallazgos de Lovachezky. En ninguna de sus demostraciones logró deshacerse de la
tendencia de incluir al plano bidimensional y por consiguiente el postulado de las paralelas
o una de sus variantes como premisa de lo que buscaba demostrar.14
Como afirmamos arriba, las geometrías no euclidianas rompen con la tradición de
representación del universo en que se hallaban presas la geometría y las matemáticas. Sin
embargo, para Garavito se hace impensable y en cierta forma terrible que se logre este
rompimiento. En la siguiente cita podemos observar no solo la posición de Garavito frente
a las geometrías no euclidianas sino sus juicios valorativos acerca del pueblo donde ellas se
desarrollan:
Se necesita una perversión intelectual como la que existe hoy en Europa para poder
digerir la geometría no euclidiana. El cerebro no se perfecciona indefinidamente
sino se transforma con la herencia de los antepasados. La herencia de diez o veinte
generaciones hace sustituir en la masa cerebral las intuiciones propias de la
naturaleza por el convencionalismo nominalista hasta el punto de conferir a las
palabras y a las convenciones una realidad mayor que la de los hechos mismos15.
Garavito considera que solo una mente insana puede comprenderse algo que va claramente
contra la intuición propia de la naturaleza, es decir contra las percepciones y experiencias
en el universo más inmediato el cual claramente está inscrito en una lógica euclidiana: las
geometrías no euclidianas solo son ―convencionalismos nominalistas‖ desde este punto de
vista. Por otro lado, el científico colombiano tambien considera que en la mente del pueblo
Europeo se ha presentado una corrupción sustancial que se trasmite de generación en
generación, una corrupción capaz de ―formar generaciones de locos intelectuales es decir
de gentes que nacen locas sin volverse locas‖16, locos quienes son los únicos que pueden
pensar que las palabras y las convenciones pueden llegar a ―una realidad mayor que los
hechos mismos‖. Estos mismos juicios se aplican para la Relatividad, ante todo en el caso
del tiempo, aunque Garavito nunca llego a conocer profundamente este desarrollo de la
física.
12
Sánchez, «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora», 363.
Albis González, «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia», 13–14.
14
Ibid., 18.
15
Clara Helena Sánchez, «Los cuadernos de Julio Garavito una antología comentada.», Revista de la
o
Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales XXXI, n. 119 (junio 1, 2007): 258.
16
Ibid.
13
Como vimos antes, la formación en matemáticas de Garavito se fundamentaba
principalmente en el manejo del cálculo derivacional e integral y la mecánica clásica,
desarrollos que se hallaban profundamente ligados a la noción euclidiana del espacio. De
igual forma, los temas de su principal interés tenían que ver ante todo con movimiento de
cuerpos celestes y con la determinación astronómica de coordenadas geográficas, temas que
aunque podían ser explicados de una mejor forma con las geometrías no euclidianas (en
particular el de las coordenadas), pertenecían originalmente a los campos estudiados por la
mecánica clásica enmarcada en la geometría euclidiana. Así, tanto la formación como los
principales temas de interés que manejaba Garavito lo forzaban a considerar el plano
euclidiano como la mejor explicación de la forma que tenía el espacio. Pero la fuerza del
plano bidimensional como la mejor forma del espacio en las explicaciones de Garavito no
solo se derivaban de estos hechos: como el mismo lo reconoce, son ―las intuiciones propias
de la naturaleza‖, es decir las percepciones que llegan de la realidad más inmediata, las que
dan más fuerza a la caja tridimensional en que se hallan envueltas nuestras experiencias con
el mundo. El temor a abandonar estas explicaciones por otras que ofrecen un mayor poder
explicativo en la comprensión del mundo está en juego cuando Garavito conoce las
geometrías no euclidianas.
Una explicación a la posición de Garavito desde las nociones de Compromiso y
Distanciamiento formuladas por Norbert Elias
Norbert Elias explica cómo los niveles de compromiso y distanciamiento con los que
contamos en la manera en que evaluamos a un fenómeno en el cual nos hallamos inmersos
tienen un correlato en el tipo de explicaciones que hacemos frente a dicho fenómeno. En
una perspectiva fuertemente comprometida con nuestra experiencia y nuestras sensaciones
más inmediatas, las explicaciones que se pueden desarrollar frente a dicho fenómeno no
permitirán un dominio y un entendimiento real de él, a pesar de que sean emocionalmente
satisfactorias. En una perspectiva más distanciada de nuestras experiencias y sensaciones
más inmediatas, las explicaciones que se obtienen frente a cierto fenómeno pueden ser no
tan agradables emocionalmente, pero llevan a un mayor control y entendimiento de las
relaciones que se tejen al interior del fenómeno. En este caso estamos frente a ―una
interdependencia funcional entre el equilibrio de sentimientos de una persona y el proceso
global en qué está inmerso‖17 que deriva en explicaciones de distinto carácter –más o
menos comprometidas- dependiendo del grado de inseguridad que sintamos frente al
fenómeno a estudiar.
De igual forma, la posibilidad para dejar de lado explicaciones comprometidas y
emocionalmente gratas por explicaciones más distanciadas pero emocionalmente
insatisfactorias no siempre está abierta: ya que ―el margen de las variaciones sociales de
17
Norbert Elias, Compromiso y Distanciamiento (Peninsular Publishing Company, 2004), 109.
distanciamiento está supeditado a los patrones sociales de distanciamiento‖18, la posibilidad
de que un miembro de una sociedad dada le puedan parecer plausibles explicaciones de una
sociedad distinta a la propia no siempre está abierta; dependiendo del tipo de sociedad, esta
posibilidad ni siquiera puede existir.
Por otro lado, Elias también indaga por el formato de las explicaciones que los hombres
utilizan para interpretar fenómenos: Elias observa que un esquema con una fuerza inusitada
en las explicaciones humanas se deriva de nuestra tendencia a anteponer un origen único y
absoluto al fenómeno que buscamos entender. Este esquema, que entre otras cosas define a
nuestras relaciones causales, es por definición, estático y no permite evaluar al fenómeno a
estudiar en función del proceso por el cual se desarrolló. De igual forma y con respecto a la
procesualidad de los fenómenos, este esquema se muestra rígido ya en él no hay cabida
para que el estado final en que encontramos a un fenómeno se deba al sin número de
relaciones que ha mantenido a lo largo de su existencia con su medio.
Es precisamente este esquema en el que se expresa las observaciones de la geometría
euclidiana y la mecánica clásica, en particular en los fenómenos que tienen que ver con el
movimiento, y es precisamente este tipo de explicación la más valoradas por Julio Garavito
como lo vimos arriba. Al parecer en este esquema explicativo, que fue enriqueciéndose y
llevado a altos niveles de abstracción por Garavito a lo largo de su formación como
matemático, las experiencias intuitivas en relación con el espacio de una sociedad como
colombiana a finales del XIX se adaptan fácilmente, lo que da un peso emocional mayor
como explicación adecuada para entender distintas clases de fenómenos. Además, los
principales logros e intereses que Garavito alcanzó y mantuvo en Colombia se derivaban
mal que bien del conocimiento y manejo de la mecánica clásica y las geometrías no
euclidianas, lo que refuerza el peso emocional que ellas tenían como explicaciones. Por
estas razones podemos afirmar que el científico colombiano estaba muy comprometido con
la geometría euclidiana y la mecánica clásica como explicaciones de fenómenos físicos y
matemáticos.
De igual forma y como vimos, las geometrías no euclidianas y después la relatividad
especial, se muestran como explicaciones en las cuales el esquema no tiene cabida, o por lo
menos no de una forma directa. En las geometrías no euclidianas, el plano deja de tener las
propiedades de Euclides para dar paso a planos con características que no pueden ser
comprendidos a partir de las experiencias más inmediatas con la realidad, ni tampoco
pueden ser comprendidos como estáticos, universales e inmanentes en el espacio; En la
relatividad, se relativiza al tiempo y al espacio de acuerdo con el movimiento de un agente
y se afirma que la velocidad de la luz es una constante, lo que lleva a que las premisas
fundamentales de la mecánica clásica se reformulen. La perspectiva que estos nuevos
postulados exigen en el entendimiento del universo requiere de una distancia considerable
18
Ibid., 23.
con relación a las explicaciones que se habían dado desde la geometría euclidiana y de la
mecánica clásica. Esta nueva perspectiva exige, ante todo, poder asumir que ciertas
explicaciones funcionales durante dos milenios de la historia de la humanidad en el
entendimiento de ciertos fenómenos pueden estar equivocadas y tienen que ser reformadas
o transformadas para poder entender a otros fenómenos naturales o a los mismos
fenómenos en un plano más general.
Esta nueva perspectiva en el caso de Garavito simplemente no era posible: su apego
emocional por las explicaciones de las geometrías no euclidianas y la mecánica clásica
eran tan fuerte que le fue imposible distanciarse de ellas para observar los fenómenos desde
una perspectiva que le permitiera una mayor comprensión. Esto explica porque a Garavito
pensaba que las geometrías no euclidianas y posteriormente la relatividad no eran más que
juegos nominales que nada tenían que ver con la realidad. Por otro lado, en la sociedad
donde Garavito se formó como matemático los patrones sociales de distanciamiento estaba
lejos de ser altos: por el contrario y como lo vimos arriba, dada la importancia de las obras
civiles en el desarrollo que se buscaba de la sociedad colombiana, el prestigio de la
geometría no euclidiana y de la mecánica clásica era notablemente alto en comparación con
las nuevas teorías que se abrían paso, lo que daba un margen de compromiso muy alto con
esta clase de explicaciones para todos aquellos que hicieran parte de esta sociedad. En este
ambiente, era en extremo difícil que un científico pudiese cambiar hacia una perspectiva
más distanciada desde la cual observara las ventajas que traían las nuevas explicaciones
tanto de la física como de las matemáticas en términos del dominio y entendimiento de
ciertos fenómenos. En el caso de Garavito podríamos afirmar que su ―punto de vista ego
centrista‖ menoscabo ―el valor cognitivo de su labor‖19: la posibilidad de que este científico
colombiano pudiese hacer suyas las explicaciones y experiencias que fueron desarrolladas
en otras latitudes a fenómenos que eran de su interés, explicaciones que claramente
pertenecían a un esquema explicativo distinto al del origen, no existía.
19
Ibid., 26.
Bibliografía:
Albis González, Víctor Samuel. «Vicisitudes Del postulado euclídeo en Colombia». Revista
de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales, n.o 21 (80)
(1997): 281–293.
Arias de Greiff, Jorge. Julio Garavito Vida Y Obra. Palabras Rodantes. Medellín:
Comfama, 2009.
Elias, Norbert. Compromiso y Distanciamiento. Peninsular Publishing Company, 2004.
Palacios, Marco, y Frank Safford. Colombia  : país fragmentado, sociedad dividida  : su
historia. Bogotá: Grupo Editorial Norma, 2002.
Paty, Michel, y Regino Martínez Chavanz. «Formación y desarrollo de la cultura científica
en Colombia: La físicade 1880 a 1940.» En Formación de cultura científica en
Colombia. Ensayos sobre Matemáticas y Física., 111–151. Cali: Universidad del
Valle, 2004.
Sánchez, Clara Helena. «Los cuadernos de Julio Garavito una antología comentada.»
Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
XXXI, n.o 119 (junio 1, 2007).
———. «Matemáticas e Ingeniería en la República Conservadora». En Miguel Antonio
Caro Y La Cultura De Su Época, 345–367. Universidad Nacional de Colombia,
2002.
Stewart, Ian. Historia de las Matemáticas   : en los ultimos 10.000 años. Barcelona:
Crítica, 2008.