3. SEMANA 15 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. primeras de la 2 ecuación: sen (5x − 10º ) = 2 B) 133º E) 123º A) 450º D) 360º → C) 540º cos2x + senx = 0;x ∈ 0º;360º C) 122º (1 − 2 sen x ) + sen x = 0 2 0 = 2 sen2 x − sen x − 1 2 sen x 1 sen x -1 2 2 → VP = arcsen = 45º 2 2 5 x − 1 0º = 1 8 0º n + B) 630º E) 300º RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN sen (5x − 10º) = de cos 2 x + sen x = 0; x ∈ 0º;360º Halle la suma de las 3 soluciones positivas A) 111º D) 132º Resolver y dar la suma soluciones de la ecuación: (−1) n 0 = ( 2 sen x + 1) ( sen x − 1) 4 5º x = 3 6º n + ( − 1 ) 9º + 2º ;n ∈ ℤ n Si: ∴ n = -1→ x = - 43º n = 0→ x = 11º n = 1→ x = 29º n = 2 → x = 83º ∑ = 11º +29º +83º = 123º 1 2 IIIC: x = 210º IVC: x = 330º i) senx = − ii) sen x = 1 ∴ ∑ = 90º +210º +330º = 630º x = 90º RPTA.: E 2. Indique el número de soluciones positivas y menores a una vuelta de la ecuación: sec x − cos x = sen x A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 RPTA.: B 4. C) 3 A) 360º D) 660º RESOLUCIÓN * 0º < x < 360º * sec x − cos x = senx → ii) → ∴ C) 450º cos x 1 − =1 sen x 2 sen x cos x 2 2 cos2 x − 1 = 2 sen x cos x tg 2x =1 → sen2x − senx cosx = 0 → senx( senx − cosx) = 0 i) B) 630º E) 810º RESOLUCIÓN 1 − cos x = senx cos x → 1 − cos x = senxcosx → sen x = senx i cosx 2 Halle la suma de las soluciones de la ecuación: ctg x – csc 2x = 1 Para ángulos positivos menores de 360º senx = 0 → x = 0º ,180º , 360º ,... senx senx − cosx = 0 → senx = cosx → =1 cosx tg x= 1→ x = 45º, 225º, … Son “3” soluciones: 180;45º;225º kπ π + 2 8 Se pide: ∑ Soluc = 630º de donde: x = RPTA.: B RPTA.: C 5. Al resolver la ecuación: tg2 x cos x = 3 sen x E) {30º;60º} donde: 0 ≤ x ≤ 360º , la suma de todas sus soluciones es: A) 1260º D) 720º B) 990º E) 570º RESOLUCIÓN C) 650º sen2x = cos x;x ∈ 0º,360º 2 sen x i cos x = cos x 2 sen x i cos x − cos x = 0 RESOLUCIÓN → → tg2x = 3 tg x 2 tg x = 3 tg x 1 − tg2 x donde: tg x = 0 x = 0; 180º; 360º Pero: 2 = 3 -3 tg2 x 1 tg2 x = 3 x = 30º; 150º; 210º; 330º Se pide: ∑ Soluc = 1 260º cos x ( 2 sen x − 1) = 0 i) ii) ∴ RPTA.: A 8. Halle los valores de “x” en el primer cuadrante que verifican la ecuación: cos 4 x -3 cos 3 x+3 cos 2x -1=0 A) 15º y 75º C) 30º y 60º E) 18º y 60º A) B) 45º y 30º D) 15º y 30º E) C) 3π 2 5π 2 tg2x + tg x = sen3x i sec x, x ∈ 0;π π π 3π ,x ≠ , , 2 4 4 sen ( 3x ) sen 3x ;cos x ≠ 0 = cos 2x i cos x cos x kπ π sen 3x = 0→ x = k=1 → x= 3 3 2π k=2 → x= 3 k=3 → x=π x≠ ) -3cos 3x=1- 2cos2 2x − 1 − 3cos2x - 3 co s 3 x = 2 -3 co s2 x-2 cos 2 2x i) -3cosx(2cos2x-1) = (2 + cos2x) (1−2cos2x) de donde: x = 30º y 60º RPTA.: C Resolver la ecuación: sen 2x = cos x e indicar sus soluciones para x ∈0º;360º A) {30º;90º;150º;270º} B) {30º;90º} C) {60º;90º;120º;270º} D) {60º;90º} B) π RESOLUCIÓN - 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x 7. π 2 D) 2 π RESOLUCIÓN ( Siendo tg2x + tg x = sen3x i sec x ; x ∈ 0; π Indique la suma de las soluciones. RPTA.: A 6. cos x = 0→ x = 90º ; 270º;… 1 sen x = → x = 30;150º;... . 2 conjunto solución = {3 0 º ; 9 0 º ; 1 5 0 º ; 2 7 0 º } ii) ∴ cos 2x = 1 → 2x = 2 π → x = π (ya se considero) Suma = 2 π RPTA.: D 9. Resolver: cos2 x + cos2 2x = cos2 3x + cos2 4x Indique el número de soluciones en el intervalo de 0; π A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 11. RESOLUCIÓN 2cos2 x + 2cos2 2x = 2cos2 3x + 2cos2 4x → cos 2 x + cos 4 x = cos 6 x + cos 8 x 2 cos 3 x i cos x = 2 cos 7 x i cos x π i) cos x = 0→ x = 2 ii) cos3x − cos7x = 0 → 2sen5x sen2x = 0 a) sen 2x = 0→ x = 2π 3 3π D) 2 A) k = 0→x = 0 sen x = π 2 k= 2 →x = π 1= k = 1→x = ∴ 3π 5 π E) 6 B) kπ 5 3 cos x − sen x 1 3 1 cos x − sen x = 2 2 2 1 = cos 30º i cos x − sen30º i sen x 2 1 = cos ( x + 30º ) → 2 π 5 2π k= 2→ x = 5 3π k = 3→ x = 5 4π k = 4→ x = 5 k=1→ x= 1 2 1 2 Hay 7 soluciones Resolver: sen x + cos x = tg x i sec x La solución de la ecuación es: (K es un número entero) π 4 π C) k π − 12 π E) k π + 4 π 6 π D) k π + 18 A) k π − B) k π + i) ii) ∴ π 6 3π x + 30º = 300º → x = 270º <> 2 π 3π 5π ∑= 6 + 2 = 3 x + 3 0º = 6 0º → x = 3 0º < > RPTA.: C 12. RESOLUCIÓN sen x + cos x = ( sen x 1 i cos x cos x cos3 x = senx 1 − cos2 x ) tg x = 1 → tg x = 1 π x = k π+ 4 3 ∴ 5π 3 3 cos x − 1 RPTA.: C 10. C) RESOLUCIÓN kπ 2 b) sen 5x = 0 → x = Determine la suma de soluciones de la ecuación: sen x = 3 cos x − 1 ;x ∈ 0;2 π Halle uno de los valores de x que satisfacen la ecuación cos 5x − 3 sen 5x − 2 cos x = 0 (K es un número entero) π K π − 12 2 A) π K π − 12 3 B) RPTA.: E π K π − 12 4 π K π D) − 18 2 π K π E) + 12 2 D) 315º C) RESOLUCIÓN (1 − tgx) 1 + cos x − 3 sen5 x = 2 cos x π cos + 5 x = cos x 3 de donde: kπ π x1 = − 2 12 kπ π x2 = − 3 18 RPTA.: D 15. RPTA.: A Resolver e indicar la suma de las 2 primeras soluciones positivas de la ecuación: co s2 5x − se n2 x = co s 4 x 5π 12 7π D) 12 A) 5π 24 11 π E) 24 B) C) Al resolver la ecuación: sen 2x = cos 2 x i tg x i csc x Calcule la diferencia entre menores soluciones positivas. 2π 3 2π D) 15 π 6 3π E) 4 A) 7π 24 B) C) las π 12 RESOLUCIÓN sen2x = cos2 x i tg x i csc x, x ≠ 2senxi cosx = cos2 xi RESOLUCIÓN → 1 − tg2x 2tgx 1 tgx = + ( ) 1 − 2 1 + tg2 x 1 + tg x (1 + tgx )2 2 tg2x 1 tgx = + (1 − tgx ) ( ) 2 2 1 + tg x 1 + tg x π de donde: x1 = kπ − 4 π x2 = kπ ± 6 Se pide: ∑ Soluc. = 315º RESOLUCIÓN 13. E) 325º c o s 2 5 x − s e n 2 x − co s 4 x = 0 cos (5x + x ) cos (5x − x ) − cos 4x = 0 kπ 2 senx 1 i ; senx ≠ 0 cosx senx cosx ≠ 0 co s 6 x cos 4x − co s 4 x = 0 cos 4 x ( cos 6x − 1) = 0 i) ii) ∴ cos 4x = 0 → 4x = 90º → x = 22º30' cos 6x = 1 → 6x = 360º → x = 60º π π 11 π ∑ = 22º30 '+ 60º = 8 + 3 = 24 RPTA.: E sen x = ∴ 14. Al resolver la ecuación: 1 tg x − ( ) (1 + sen2x ) = (1 + tgx ) (1 − cos2x ) La suma de las soluciones comprendidos entre 0 y 180º será: A) 360º B) 240º C) 245º 1 2 Diferencia = π 6 5π x= 6 x= 2π 3 RPTA.: A 16. Determinar todas las soluciones de la ecuación: 1 + tg x 3 + ctg x = (k ∈ℤ ) 1 − tg x 3 − ctg x π 4 π C) K π ± 12 π E) K π ± 4 π 6 π D) K π ± 18 cos x cos x A) k π − B) K π ± i) c os x − 2 = 0 → cos x = 2 → x ¡Incompatible! ii) cos x -1 = 0 → cos x =1 x = 2 π n ; "n"∈ ℤ → RESOLUCIÓN RPTA.: A 2 6 = 2 tg x 2 ctg x ctg x = 3 tg x 19. ctg2 x = 3 ∴ x = kπ± -2 -1 π 6 Indique la solución general de la ecuación: 5 se n 4 x + co s 4 x = ;" n "∈ ℤ 8 A) x = 2 π i n ± RPTA.: B π 6 π 2 π 3 π C) x = 2 π n ± 3 π π D) x = i n ± 2 6 π E) x = π n ± 6 B) x = i n ± 17. Al resolver la ecuación: sen ( x + 135º) + cos ( x − 135º) = cos ( x + 135º) El mayor ángulo negativo x es: A) −15º D) −87º C) − 45º B) – 75º E) – 39º RESOLUCIÓN sen ( x + 135° ) = c os ( x + 135° ) − cos ( x − 135° ) RESOLUCIÓN s e n ( x + 1 3 5 ° ) = − 2 s e n x is e n 1 3 5 ° 2 2 2 senx + cos x = −2senx i 2 2 2 tg x = - 1 x = - 45º sen4 x + cos4 x = 5 8 3 + cos 4x 4 5 8 − ∴ RPTA.: C 18. Resolver la ecuación: 3 (1 − cos x ) = sen 2 x;n ∈ ℤ co s 4x → ⇒ A) { 2 π n } B) { π n } D) {4 π n} π E) n 4 RESOLUCIÓN 3 (1 − cos x ) = sen x 2 3 − 3 cos x = 1 − cos2 x c os 2 x − 3 cos x + 2 = 0 π 2 C) n ∴ = = − 1 2 1 VP = arc cos − = 120° 2 4x = 360° n ± 120° x = 90° n ± 30° π π x= n± ; "n"∈ ℤ 2 6 RPTA.: D 20. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica 3 cos2 5x = sen2 3 x − cos2x, ∀ k ∈ℤ 2 π 2 π B) ( 2K + 1) 4 π C) ( 2K + 1) 3 π D) ( 2K + 1) 5 π E) ( 2K + 1) 8 x 2 Indique la suma de las soluciones en el intervalo de 0;6 π A) ( 2K + 1) 3 cos x = 7 + 4 cos A) 2 π D) 8 π 3cos x = 7 + 4cos cos2 5x − sen2 3x = − 3 cos 2x 2 3 cos 2x 2 π π i) cos2x = 0 ⇒ 2x = (2k + 1) ⇒ x = (2k + 1) ,k∈ Z 2 2 3 ii) cos 8 x = − → x ∈ φ 2 π ∴ x = ( 2k + 1) ,k ∈ ℤ 4 cos 8xicos 2x = − 21. Resolver la ecuación trigonométrica: 0,5cos2 x + 3senx cosx − 0,5sen2 x = 0, ∀k ∈ ℤ π 3 π kπ D) − 12 2 x x x x − 2cos − 5 = 0 ⇒ 3cos − 5cos + 1 = 0 2 2 2 2 x 3 cos -5 ≠0 2 x x cos + 1 → cos = −1 2 2 3cos2 Luego: 3 3 π k π π 2x = k π − → x = ,k ∈ ℤ − 6 2 12 3 sen2x = − cos 2x → tg2x = − Resolver la trigonométrica k = 0⇒ x = 2π k = 1⇒ x = 6π ∴ Suma = 8 π RPTA.: D 23. Dado el sistema: π x−y= 2 cos x = RPTA.: D 22. x = 2 ( 2k + 1) π cos2 x − sen2 x + 3 i 2senx i cos x = 0 ⇒ → x = ( 2k + 1) π 2 B) k π − RESOLUCIÓN ⇒ x x x ⇒ 6 cos2 − 4cos − 10 = 0 2 2 2 x 3 2 cos2 − 1 2 RPTA.: B k π π − 6 2 k π π C) − 3 2 π E) k π − 6 C) 6 π RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN A) B) 4 π E) 10 π ecuación ( ) 3 − 2 cos y Indique una solución general de y (∀ k ∈ ℤ) π 24 π B) k π + 12 π C) k π + 10 A) k π + π 6 π E) k π + 3 D) k π + = RESOLUCIÓN Como: x = π π + y ⇒ cosx = cos + y = −seny 2 2 Luego en: cos x = ( ) 3 − 2 cos y , se tiene: π tg y = 2 − 3 → y = k π + ,k ∈ ℤ 12 RPTA.: B 24. Dado el sistema: 6 sen x + sen y = 2 2 cos x + cos y = 2 Halle: “x” 0< y< π y “y”, C) D) E) si 0<x< π; RESOLUCIÓN Como: = 6 x + y x − y ⇒ 2sen i cos 2 = 2 2 6 ………………………………….……(1) 2 Como: b) cosx + cosy = 2y = π → 6 y = π 12 RPTA.: A 7π π ;y = 12 12 7π π x= ;y = 10 10 3π π x= ;y = 4 2 2π π x= ;y = 3 4 π 3π x = ;y = 8 8 a) senx + seny = (1) ÷ (2) 2π x + y ……… ( α ) tg = 3⇒x+y= 3 2 También: 2 3 ( a) : sen2x + sen2y + 2senx seny = 2 ……(3) 1 2 (b) : cos2 x + cos2 y + 2cosx cosy = 2 .….(4) (3) + (4): π 2 + 2cos( x − y) = 2⇒cos( x − y) = 0⇒x − y = … ( β ) 2 7π 7π ( α ) + (β) : 2 x = 6 → x = 1 2 ( α ) − (β ) : A) x = B) 2 ……………………………………..(2) 2 2 x + y x − y i cos ⇒2cos = 2 2 2