.trigonometria 15

3.
SEMANA 15
ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1.
primeras
de
la
2
ecuación: sen (5x − 10º ) =
2
B) 133º
E) 123º
A) 450º
D) 360º
→
C) 540º
cos2x + senx = 0;x ∈ 0º;360º
C) 122º
(1 − 2 sen x ) + sen x = 0
2
0 = 2 sen2 x − sen x − 1
2 sen x
1
sen x
-1
 2
2
→ VP = arcsen 
= 45º
 2 
2


5 x − 1 0º = 1 8 0º n +
B) 630º
E) 300º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
sen (5x − 10º) =
de
cos 2 x + sen x = 0; x ∈ 0º;360º
Halle la suma de las 3
soluciones
positivas
A) 111º
D) 132º
Resolver y dar la suma
soluciones de la ecuación:
(−1)
n
0 = ( 2 sen x + 1) ( sen x − 1)
4 5º
x = 3 6º n + ( − 1 ) 9º + 2º ;n ∈ ℤ
n
Si:
∴
n = -1→ x = - 43º
n = 0→ x = 11º
n = 1→ x = 29º
n = 2 → x = 83º
∑ = 11º +29º +83º = 123º
1
2
IIIC: x = 210º
IVC: x = 330º
i)
senx = −
ii)
sen x = 1
∴
∑ = 90º +210º +330º = 630º
x = 90º
RPTA.: E
2.
Indique el número de soluciones
positivas y menores a una vuelta
de la ecuación: sec x − cos x = sen x
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
RPTA.: B
4.
C) 3
A) 360º
D) 660º
RESOLUCIÓN
*
0º < x < 360º
* sec x − cos x = senx →
ii)
→
∴
C) 450º
cos x
1
−
=1
sen x 2 sen x cos x
2
2 cos2 x − 1 = 2 sen x cos x
tg 2x =1
→ sen2x − senx cosx = 0 → senx( senx − cosx) = 0
i)
B) 630º
E) 810º
RESOLUCIÓN
1
− cos x = senx
cos x
→ 1 − cos x = senxcosx → sen x = senx i cosx
2
Halle la suma de las soluciones de
la ecuación:
ctg x – csc 2x = 1
Para ángulos positivos menores de
360º
senx = 0 → x = 0º ,180º , 360º ,...
senx
senx − cosx = 0 → senx = cosx →
=1
cosx
tg x= 1→ x = 45º, 225º, …
Son “3” soluciones: 180;45º;225º
kπ π
+
2
8
Se pide: ∑ Soluc = 630º
de donde: x =
RPTA.: B
RPTA.: C
5.
Al resolver la ecuación:
tg2 x cos x = 3 sen x
E) {30º;60º}
donde: 0 ≤ x ≤ 360º , la suma de
todas sus soluciones es:
A) 1260º
D) 720º
B) 990º
E) 570º
RESOLUCIÓN
C) 650º
sen2x = cos x;x ∈ 0º,360º
2 sen x i cos x = cos x
2 sen x i cos x − cos x = 0
RESOLUCIÓN
→
→
tg2x = 3 tg x
2 tg x
= 3 tg x
1 − tg2 x
donde: tg x = 0
x = 0; 180º; 360º
Pero: 2 = 3 -3 tg2 x
1
tg2 x =
3
x = 30º; 150º; 210º; 330º
Se pide: ∑ Soluc = 1 260º
cos x ( 2 sen x − 1) = 0
i)
ii)
∴
RPTA.: A
8.
Halle los valores de “x” en el
primer cuadrante que verifican la
ecuación:
cos 4 x -3 cos 3 x+3 cos 2x -1=0
A) 15º y 75º
C) 30º y 60º
E) 18º y 60º
A)
B) 45º y 30º
D) 15º y 30º
E)
C)
3π
2
5π
2
tg2x + tg x = sen3x i sec x, x ∈ 0;π
π
π 3π
,x ≠ ,
,
2
4 4
sen ( 3x )
sen 3x
;cos x ≠ 0
=
cos 2x i cos x
cos x
kπ
π
sen 3x = 0→ x =
k=1 → x=
3
3
2π
k=2 → x=
3
k=3 → x=π
x≠
)
-3cos 3x=1- 2cos2 2x − 1 − 3cos2x
- 3 co s 3 x = 2 -3 co s2 x-2 cos 2 2x
i)
-3cosx(2cos2x-1) = (2 + cos2x) (1−2cos2x)
de donde: x = 30º y 60º
RPTA.: C
Resolver
la
ecuación:
sen 2x = cos x
e indicar sus
soluciones para x ∈0º;360º
A) {30º;90º;150º;270º}
B) {30º;90º}
C) {60º;90º;120º;270º}
D) {60º;90º}
B) π
RESOLUCIÓN
- 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x
7.
π
2
D) 2 π
RESOLUCIÓN
(
Siendo tg2x + tg x = sen3x i sec x ;
x ∈ 0; π  Indique la suma de las
soluciones.
RPTA.: A
6.
cos x = 0→ x = 90º ; 270º;…
1
sen x = → x = 30;150º;... .
2
conjunto solución =
{3 0 º ; 9 0 º ; 1 5 0 º ; 2 7 0 º }
ii)
∴
cos 2x = 1 → 2x = 2 π → x = π
(ya se considero)
Suma = 2 π
RPTA.: D
9.
Resolver:
cos2 x + cos2 2x = cos2 3x + cos2 4x
Indique el número de soluciones
en el intervalo de 0; π
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
11.
RESOLUCIÓN
2cos2 x + 2cos2 2x = 2cos2 3x + 2cos2 4x
→
cos 2 x + cos 4 x = cos 6 x + cos 8 x
2 cos 3 x i cos x = 2 cos 7 x i cos x
π
i)
cos x = 0→ x =
2
ii) cos3x − cos7x = 0 → 2sen5x sen2x = 0
a) sen 2x = 0→ x =
2π
3
3π
D)
2
A)
k = 0→x = 0
sen x =
π
2
k= 2 →x = π
1=
k = 1→x =
∴
3π
5
π
E)
6
B)
kπ
5
3 cos x − sen x
1
3
1
cos x −
sen x
=
2
2
2
1
= cos 30º i cos x − sen30º i sen x
2
1
= cos ( x + 30º ) →
2
π
5
2π
k= 2→ x =
5
3π
k = 3→ x =
5
4π
k = 4→ x =
5
k=1→ x=
1
2
1
2
Hay 7 soluciones
Resolver: sen x + cos x = tg x i sec x
La solución de la ecuación es:
(K es un número entero)
π

4

π 

C) k π −

12 

π

E) k π + 
4

π

6

π 

D) k π +

18 



A) k π −
B) k π +
i)
ii)
∴
π
6
3π
x + 30º = 300º → x = 270º <>
2
π 3π 5π
∑= 6 + 2 = 3
x + 3 0º = 6 0º → x = 3 0º < >
RPTA.: C
12.
RESOLUCIÓN
sen x + cos x =
(
sen x
1
i
cos x cos x
cos3 x = senx 1 − cos2 x
)
tg x = 1 → tg x = 1
π
x = k π+
4
3
∴
5π
3
3 cos x − 1
RPTA.: C
10.
C)
RESOLUCIÓN
kπ
2
b) sen 5x = 0 → x =
Determine la suma de soluciones
de la ecuación:
sen x = 3 cos x − 1 ;x ∈ 0;2 π 
Halle uno de los valores de x que
satisfacen la ecuación
cos 5x − 3 sen 5x − 2 cos x = 0
(K es un número entero)
π 
K π
−

12 
 2
A) 
π 
K π
−

12 
 3
B) 
RPTA.: E
π 
K π
−

12 
 4
π 
K π
D) 
−

18 
 2
π 
K π
E) 
+

12 
 2
D) 315º
C) 
RESOLUCIÓN

(1 − tgx) 1 +

cos x − 3 sen5 x = 2 cos x
π

cos  + 5 x  = cos x
3


de donde:
kπ
π
x1 =
−
2
12
kπ
π
x2 =
−
3
18
RPTA.: D
15.
RPTA.: A
Resolver e indicar la suma de las
2 primeras soluciones positivas
de la ecuación:
co s2 5x − se n2 x = co s 4 x
5π
12
7π
D)
12
A)
5π
24
11 π
E)
24
B)
C)
Al resolver la ecuación:
sen 2x = cos 2 x i tg x i csc x
Calcule la diferencia entre
menores soluciones positivas.
2π
3
2π
D)
15
π
6
3π
E)
4
A)
7π
24
B)
C)
las
π
12
RESOLUCIÓN
sen2x = cos2 x i tg x i csc x, x ≠
2senxi cosx = cos2 xi
RESOLUCIÓN
→
 1 − tg2x 
2tgx 
1
tgx
=
+
(
)
1 −
2 
1 + tg2 x 
 1 + tg x 
 (1 + tgx )2 
 2 tg2x 

1
tgx
=
+
(1 − tgx ) 
(
)


2
2
 1 + tg x 
1 + tg x 
π
de donde: x1 = kπ −
4
π
x2 = kπ ±
6
Se pide: ∑ Soluc. = 315º
RESOLUCIÓN
13.
E) 325º
c o s 2 5 x − s e n 2 x − co s 4 x = 0
cos (5x + x ) cos (5x − x ) − cos 4x = 0
kπ
2
senx 1
i
; senx ≠ 0
cosx senx
cosx ≠ 0
co s 6 x cos 4x − co s 4 x = 0
cos 4 x ( cos 6x − 1) = 0
i)
ii)
∴
cos 4x = 0 → 4x = 90º → x = 22º30'
cos 6x = 1 → 6x = 360º → x = 60º
π π 11 π
∑ = 22º30 '+ 60º = 8 + 3 = 24
RPTA.: E
sen x =
∴
14.
Al resolver la ecuación:
1
tg
x
−
(
) (1 + sen2x ) = (1 + tgx ) (1 − cos2x )
La suma de las soluciones
comprendidos entre 0 y 180º
será:
A) 360º
B) 240º
C) 245º
1
2
Diferencia =
π
6
5π
x=
6
x=
2π
3
RPTA.: A
16.
Determinar todas las soluciones
de la ecuación:
1 + tg x 3 + ctg x
=
(k ∈ℤ )
1 − tg x 3 − ctg x
π

4

π 

C) K π ±

12 

π

E) K π ± 
4

π

6

π 

D) K π ±

18 


cos x
cos x

A) k π −
B) K π ±
i)
c os x − 2 = 0 → cos x = 2 → x
¡Incompatible!
ii)
cos x -1 = 0 → cos x =1
x = 2 π n ; "n"∈ ℤ
→
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
2
6
=
2 tg x 2 ctg x
ctg x = 3 tg x
19.
ctg2 x = 3
∴
x = kπ±
-2
-1
π
6
Indique la solución general de la
ecuación:
5
se n 4 x + co s 4 x =
;" n "∈ ℤ
8
A) x = 2 π i n ±
RPTA.: B
π
6
π
2
π
3
π
C) x = 2 π n ±
3
π
π
D) x = i n ±
2
6
π
E) x = π n ±
6
B) x = i n ±
17.
Al resolver la ecuación:
sen ( x + 135º) + cos ( x − 135º) = cos ( x + 135º)
El mayor ángulo negativo x es:
A) −15º
D) −87º
C) − 45º
B) – 75º
E) – 39º
RESOLUCIÓN
sen ( x + 135° ) = c os ( x + 135° ) − cos ( x − 135° )
RESOLUCIÓN
s e n ( x + 1 3 5 ° ) = − 2 s e n x is e n 1 3 5 °
2
2
2
senx +
cos x = −2senx i
2
2
2
tg x = - 1
x = - 45º
sen4 x + cos4 x =
5
8
3 + cos 4x
4
5
8
−
∴
RPTA.: C
18.
Resolver la ecuación:
3 (1 − cos x ) = sen 2 x;n ∈ ℤ
co s 4x
→
⇒
A) { 2 π n } B) { π n }
D) {4 π n}
π 
E)  n
4 
RESOLUCIÓN
3 (1 − cos x ) = sen x
2
3 − 3 cos x = 1 − cos2 x
c os 2 x − 3 cos x + 2 = 0
π 
2 
C)  n
∴
=
= −
1
2
 1
VP = arc cos  −  = 120°
 2
4x = 360° n ± 120°
x = 90° n ± 30°
π
π
x=
n±
; "n"∈ ℤ
2
6
RPTA.: D
20.
Resolver la siguiente ecuación
trigonométrica
3
cos2 5x = sen2 3 x − cos2x, ∀ k ∈ℤ
2
π
2

π

B) ( 2K + 1) 
4

π

C) ( 2K + 1) 
3

π

D) ( 2K + 1) 
5

π

E) ( 2K + 1) 
8

x
2
Indique la suma de las soluciones
en el intervalo de 0;6 π 

A) ( 2K + 1) 
3 cos x = 7 + 4 cos
A) 2 π
D) 8 π
3cos x = 7 + 4cos
cos2 5x − sen2 3x = −
3
cos 2x
2
3
cos 2x
2
π
π
i) cos2x = 0 ⇒ 2x = (2k + 1) ⇒ x = (2k + 1) ,k∈ Z
2
2
3
ii)
cos 8 x = − → x ∈ φ
2
π


∴
x =  ( 2k + 1) ,k ∈ ℤ 
4


cos 8xicos 2x = −
21.
Resolver
la
ecuación
trigonométrica:
0,5cos2 x + 3senx cosx − 0,5sen2 x = 0, ∀k ∈ ℤ
π
3

π 
kπ
D) 
−

12 
 2
x
x
x  x 

− 2cos − 5 = 0 ⇒ 3cos − 5cos + 1 = 0
2
2
2  2 

x
3 cos
-5
≠0
2
x
x
cos
+ 1 → cos = −1
2
2
3cos2
Luego:
3
3
π
k
π
π


2x = k π − → x = 
,k ∈ ℤ 
−
6
2
12


3 sen2x = − cos 2x → tg2x = −
Resolver
la
trigonométrica
k = 0⇒ x = 2π
k = 1⇒ x = 6π
∴
Suma = 8 π
RPTA.: D
23.
Dado el sistema:
π
x−y=
2
cos x =
RPTA.: D
22.
x = 2 ( 2k + 1) π

cos2 x − sen2 x + 3 i 2senx i cos x = 0
⇒
→
x
= ( 2k + 1) π
2
B)  k π − 
RESOLUCIÓN
⇒
x
x
x
⇒ 6 cos2 − 4cos − 10 = 0
2
2
2
x


3  2 cos2 − 1 
2


RPTA.: B
 k π π
− 
6
 2
 k π π
C) 
− 
3
 2
π

E) k π − 
6

C) 6 π
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A) 
B) 4 π
E) 10 π
ecuación
(
)
3 − 2 cos y
Indique una solución general de y
(∀ k ∈ ℤ)
π 

24


π 

B) k π +

12


π 

C) k π +

10



A) k π +
π

6

π

E) k π + 
3


D) k π +
=
RESOLUCIÓN
Como: x =
π
π

+ y ⇒ cosx = cos  + y  = −seny
2
2


Luego en: cos x =
(
)
3 − 2 cos y , se tiene:
π


tg y = 2 − 3 → y = k π +
,k ∈ ℤ 
12


RPTA.: B
24.
Dado el sistema:
6
sen x + sen y =
2
2
cos x + cos y =
2
Halle: “x”
0< y< π
y
“y”,
C)
D)
E)
si
0<x< π;
RESOLUCIÓN
Como:
=
6
 x + y
 x − y
⇒ 2sen
 i cos  2  =
2
2




6
………………………………….……(1)
2
Como:
b) cosx + cosy =
2y =
π
→
6
y =
π
12
RPTA.: A
7π
π
;y =
12
12
7π
π
x=
;y =
10
10
3π
π
x=
;y =
4
2
2π
π
x=
;y =
3
4
π
3π
x = ;y =
8
8
a) senx + seny =
(1) ÷ (2)
2π
x + y
……… ( α )
tg 
= 3⇒x+y=

3
 2 
También:
2
3
( a) : sen2x + sen2y + 2senx seny = 2 ……(3)
1
2
(b) : cos2 x + cos2 y + 2cosx cosy = 2 .….(4)
(3) + (4):
π
2 + 2cos( x − y) = 2⇒cos( x − y) = 0⇒x − y = … ( β )
2
7π
7π
( α ) + (β) : 2 x = 6 → x = 1 2
( α ) − (β ) :
A) x =
B)
2
……………………………………..(2)
2
2
 x + y
 x − y
i cos
⇒2cos

=
2
 2 
 2 