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DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
1. Sea w = w(α , ϕ ) una función de clase uno en un abierto no vacío de R 2 .
Se considera el sistema { 3 + 2 } :
⎧
⎪ w = x senα cos ϕ + y senα senϕ + z cos α
⎪
⎪ ∂w
S⎨
= x cos α cos ϕ + y cos α sen ϕ − z sen α ,
⎪ ∂α
⎪ ∂w
⎪ ∂ϕ = − x sen α senϕ + y sen α cos ϕ
⎩
que define como funciones implícitas z = z ( x, y ), α = α ( x, y ) y ϕ = ϕ ( x, y ). Se pide
∂z
∂z
calcular
y
en función de α y ϕ .
∂x ∂y
2. Sea f ∈ C 2 ( I ), siendo I un abierto no vacío de R y z = z ( x, y ) una función
implícita definida por la ecuación z = x + y f ( z ). Demostrar, que cualquiera que sea
∂
∂z
∂
∂z
ϕ ∈ C1 ( I ), se cumple:
[ϕ ( z ) ] = [ϕ ( z ) f ( z ) ].
∂y
∂x ∂x
∂x
Sea u = g ( z ), con g ∈ C n ( R) ( n ≥ 1 entero ). Se considera la función implícita
z = z ( x, y ) definida por la ecuación z = x + y ϕ ( z ), con ϕ ∈ C n ( R). demostrar que se
3.
verifica la fórmula de Lagrange:
∂ nu ∂ n −1 ⎛
∂u ⎞
= n −1 ⎜ ϕ ( z ) n
⎟.
n
∂y
∂x ⎝
∂x ⎠
u = u ( x, y, z , t ) y v = v( x, y, z , t ) dos funciones implícitas de las cuatro
⎧u = z + x ϕ (u , v)
variables independientes x, y, z , t , definidas por el sistema { 2 + 4 } : ⎨
⎩v = t + yψ (u, v)
4.
Sean
siendo ϕ ,ψ ∈ C1 ( A) dos funciones dadas y A ⊂ R 2 abierto no vacío,
Si f ∈ C1 ( A) es una función arbitraria, demostrar que: f x = ϕ f z y f y = ψ ft .
5. Demostrar que z = z ( x, y ) definida por el sistema { 2 + 2 } :
⎧ x cos α + y sen α + ln z = f (α )
satisface la ecuación:
⎨
⎩− x sen α + y cos α = f ´(α )
α = α ( x, y ) y f son funciones de clase uno.
2
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
2
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = z .
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
6. Demostrar que z = z ( x, y ) definida por el sistema { 2 + 2 } :
⎧⎪( z − f (α )) 2 = x 2 ( y 2 − α 2 )
∂z ∂z
, satisface la ecuación:
= xy.
⎨
2
∂x ∂y
⎪⎩( z − f (α )) f ´(α ) = α x
α = α ( x, y ) y f son funciones de clase uno.
7. La ecuación f ( x 2 − y 2 , y 2 − z 2 ) = 0, donde f es una función real de clase uno,
∂z
∂z
define una función implícita z = z ( x, y ). Demostrar que: xz + yz − xy = 0.
∂y
∂x
8. Comprobar que la función z = z ( x, y ) definida implícitamente por la ecuación
y = x ϕ ( z ) + ψ ( z ), siendo ϕ ,ψ funciones reales de clase dos, satisface la condición:
2
∂2 z ∂2 z ⎛ ∂2 z ⎞
−⎜
⎟ = 0.
∂x 2 ∂y 2 ⎝ ∂x∂y ⎠
9. Sea f una función real de clase dos y z = z ( x, y ) una función implícita definida por
la ecuación f ( x + z, y + z ) = 0. Hallar d 2 z.