guia de estudio

GUIA DE ESTUDIO
[1]
Reglamento…………………………………………………………………………...1
Estudio Independiente……………………………………………………………….2
10 sugerencias para administrar tu tiempo………………………………………...3
El tiempo disponible ejemplo………………………………………………………..4
Plan de estudios……………………………………………………………………...5
Índice de Matemáticas III
Bloque 1
Lugares geometricos
1.1 El plano cartesiano ............................................................................... 9
1.2 El sistema coordenado rectangular .................................................... 10
1.3 Puntos, segmentos y poligonos en el plano ....................................... 11
1.4 Lugar geometrico ................................................................................ 14
1.5 El problema fundamental de la geometria analitica ........................... 15
Bloque 2
Segmentos rectilineos y poligonos
2.1 Segmento rectilineo ........................................................................... 25
2.2 Distancia entre dos puntos.................................................................. 26
2.3 Division de un segmento .................................................................... 29
Bloque 3
La recta como lugar geometrico
3.1 Pendiente de una recta ...................................................................... 35
3.2 Paralelismo y perpendicularidad ........................................................ 39
3.3 La recta como lugar geometrico .......................................................... 41
3.4 Obtencion de la ecuacion de la recta ................................................. 43
3.5 Forma pendiente y ordenada en el origen significado grafico
de m y b .............................................................................................. 45
[2]
Bloque 4
Formas de la ecuacion de una recta
4.1 Forma general..................................................................................... 52
4.2 Relacion entre las formas general y pendiente y ordenada
en el origen ........................................................................................ 53
4.3 Forma simetrica ................................................................................. 53
4.4 Interseccion de rectas ........................................................................ 58
4.5 Forma normal...................................................................................... 62
4.6 Sobre las diferentes formas de la ecuacion de la recta ..................... 65
Bloque 5
Circunferencia con centro en el origen
5.1 Curvas en el cono ................................................................................ 73
5.2 La circunferecia como lugar geometrico .............................................. 75
5.3 Ecuacion de la circunferencia con centro en el origen ......................... 75
5.4 Relacion entre las condiciones geometricas y analiticas para
la determinación de la circunferencia .................................................. 76
Bloque 6
Ecuaciones de la circunferencia
6.1 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen ................... 82
6.2 Forma general de la ecuacion de la circunferencia .............................. 84
6.3 Condiciones para la determinacion de la circunferencia ..................... 89
Bloque 7
Parabola con vertice en el origen
7.1 La parabola como lugar geometrico .................................................. 102
7.2 Elementos de la parabola ................................................................. 104
7.3 Ecuacion de la parabola con vertice en el origen .............................. 105
[3]
Bloque 8
Ecuaciones de la parabola
8.1 Parabola con ejes paralelos a los ejes coordenados (forma
ordinaria o canónica de la ecuación) ................................................ 113
8.2 Efectos graficos de los parametros geometricos h,k y p ................... 115
8.3 Forma general de la ecuacion de la parabola ................................... 116
Bloque 9
Elipse con centro en el origen
9.1 La elipse como lugar geométrico ...................................................... 125
9.2 Elementos de la elipse ...................................................................... 126
9.3 Ecuación de la elipse con vertice en el origen .................................. 128
Bloque 10
Ecuaciones de la elipse
10.1Ecuacion de la elipse con centro fuera del origen: formas ordinarias..145
10.2 Relación entre la grafica y los valores de h y k ...................... ……...147
10.3 Forma general de la ecuacion de la elipse ...................................... 151
[4]
REGLAMENTO
1. El Colegio de Educación Media Superior Abierta tiene reconocimiento de validez oficial
de estudios (RVOE) de la Secretaría de Educación del Gobierno del Estado (SEGE).
Acuerdo B0170, clave de centro de trabajo 24PBH0125
2. El plan de estudios es de la Dirección General de Bachillerato (DGB) y es válido en todo
el país. Consta de tres módulos: Módulo Básico (31 asignaturas), Módulo
Propedéutico (8 asignaturas) y Módulo de Formación para el Trabajo (1
especialidad).
3. El estudiante puede presentar exámenes por materia agrupando asignaturas seriadas
excepto matemáticas quedando de la siguiente manera: Modulo Básico (20 materias),
Módulo Propedéutico (4 materias) y Módulo de Formación para el Trabajo (1
especialidad)
4. Al concluir sus estudios se entrega un certificado de Bachillerato General, válido para
cualquier carrera en cualquier Institución de educación superior en todo el país.
5. Se reconocen los estudios parciales realizados en cualquier institución de
educación media superior presentando un certificado parcial legalizado de la escuela
de procedencia, se tramita una equivalencia de estudios ante Secretaría de Educación y
continúa con las asignaturas que le faltan para concluir sus estudios de Bachillerato.
6. La inscripción ante la Secretaría de Educación es Bimestral y se pueden reportar
máximo 8 asignaturas por bimestre posterior al bimestre de inscripción. La
inscripción y la presentación de exámenes en el Colegio es permanente.
7. Los requisitos para la inscripción en Secretaría de Educación: Certificado de
Secundaria, original, Acta de Nacimiento original, copia del CURP y Certificado
Parcial legalizado en caso de haber cursado estudios de bachillerato inconclusos.
No existe límite de edad para el ingreso.
8. El estudiante puede consultar sus calificaciones y obtener sus libros digitales gratuitos
en la página web del Colegio. Puede solicitar Constancias de Estudio (IMSS, Beca
Oportunidades o trámites de estudios superiores), Credencial (boletur, descuentos en
pasajes foráneos, museos)
9. Por ser un modelo no escolarizado el tiempo de término de estudios del bachillerato
depende del ritmo de estudio del alumno, sin embargo se pueden determinar los
siguientes periodos:
1 examen por semana 10 meses
1 examen por quincena 20 meses (1 año y medio)
1 examen por mes 40 meses (3 años 4 meses)
Estos tiempos pueden disminuir si el alumno tiene estudios parciales previos.
10. El estudiante que no presente examen en tres meses consecutivos será dado de
baja en la Secretaría de Educación. Para continuar sus estudios deberá solicitar un
certificado parcial de las asignaturas acreditadas e inscribirse nuevamente
[1]
ESTUDIO INDEPENDIENTE
Las características y habilidades para el estudio independiente no se reducen a un contexto
exclusivamente escolar. Esto quiere decir que la independencia se conforma a lo largo de la vida, es un
proceso donde el individuo se enfrenta a diversas situaciones que tiene que resolver en distintos ámbitos
como son el laboral o el familiar e incluso dentro de su comunidad, en los que influyen, por supuesto,
factores de carácter social y cultural.
Pero es la escuela, la entidad socialmente encargada de dotar de las destrezas o habilidades que le
permitan al sujeto, desarrollar de manera consciente métodos de aprendizaje, sobre todo si deseamos
que el postulado de la educación permanente, “aprender durante toda la vida”, realmente se cumpla.
El estudio independiente puede considerarse como un proceso dirigido hacia el autocontrol y la
autoevaluación y entenderse como una actividad orientada hacia la formación de habilidades que
permitan la construcción ininterrumpida de conocimiento y aprendizaje.
Existen muchos elementos para justificar la necesidad de fomentar el estudio independiente en los
sistemas de educación abierta o a distancia, el principal queremos encontrarlo en el hecho de que a
menos que el estudiante participe activamente en la adquisición de sus propios conocimientos estas
modalidades educativas como formadoras del estudiante, carecen de sentido. Si los objetivos de estos
sistemas no van solamente hacia la acumulación de conceptos, el estudio independiente debe ser una
parte indispensable del proceso formativo.
El estudio independiente tiene implícita la idea de que el aprendizaje requerido para un proceso formativo
puede ser incorporado no sólo en el salón de clases o bajo la tutela del maestro sino que el alumno tiene
la responsabilidad de trabajar de manera independiente y trascender lo que ha sido enseñado en el aula,
en las diferentes áreas y dimensiones del saber.
El estudio independiente lleva consigo la responsabilidad de la propia formación por parte del alumno y
esto es importante si consideramos que el sistema educativo ha estado renunciando al proceso formativo
y la creación de un aprendizaje colectivo es muy difícil en los sistemas de educación abierta, en donde la
posibilidad de interacción está limitada. No estamos hablando acerca de una nueva moda educativa.
Estamos hablando de una competencia humana básica, de la capacidad de aprender por uno mismo, que
de repente se ha convertido en un requisito previo en este mundo nuevo.
Las personas que toman la iniciativa en el auto aprendizaje, tienen más posibilidades de retener lo que
aprenden que el estudiante pasivo y esta iniciativa está más en sintonía con nuestros procesos naturales
de desarrollo psicológico, pero es importante añadir que la disposición para la autodirección de las
personas es variable, lo que exige diversos grados de asistencia por parte de la institución y de los
asesores, especialmente durante el desarrollo de las habilidades de estudio independiente.
Estamos hablando de un conjunto de acciones porque el estudiante pone en práctica algunas
herramientas cognoscitivas que ha venido consolidando a lo largo de su vida académica y otras que
experimenta para resolver problemas específicos, las cuales le facilitan y hacen más efectiva o
satisfactoria su labor de aprendizaje. Se trata de una labor consciente, y esta conciencia en el acto de
estudiar es un elemento fundamental que permite comprender y emprender acciones permanentes de
estudio independiente.
El estudio independiente necesita rescatar la noción de responsabilidad personal, entendida como el
hecho de que un individuo asuma la titularidad de sus pensamientos y acciones.
En conclusión el estudio independiente es el sistema de estudio que deposita en el alumno, la mayor
responsabilidad de su aprendizaje de acuerdo con sus posibilidades, características, vivencias y
necesidades, estimulándolo para que utilice al máximo sus propios recursos conforme lo considere
conveniente y oportuno
La asesoría o tutoría es el sistema de estudio que se basa en el proceso de auto aprendizaje y el asesor
es un programador de experiencias didácticas y un orientador del proceso; esta modalidad de estudio no
implica la asistencia a clases.
[2]
10 SUGERENCIAS PARA ADMINISTRAR TU TIEMPO
1. ¡Mantente alerta! La mayoría de la pérdida de tiempo ocurre por distracciones.
Distracción es cuando tu atención está en otra cosa o en otra parte que no sea lo
importante que sucede a tu alrededor.
2. Cambia la rutina. Pregúntate: ¿Qué parte de mi rutina puedo cambiar o modificar
para que mi productividad aumente?
3. Mantente en movimiento. Entre más activo estés, más alerta te sentirás.
4. Usa “objetivos espontáneos”. Éstos son ideas dirigidas hacia un resultado
deseado que surge espontáneamente. Pregúntate: ¿Cuál es el resultado final de
esta actividad?
5. No realices muchas actividades simultáneamente. Trata de trabajar a la vez que
requiera concentración.
6. Líbrate del papeleo. Existen solamente tres opciones: basura, archivo o acción.
7. Utiliza tu tiempo libre en algo importante en qué ocuparte (archivar, organizar,
adelantar algo, estudiar, capacitarte…)
8. Sé claro y conciso. Cuando expliques algo a alguien, hazlo de manera sencilla,
clara, breve y con los datos suficientes. Así no tendrás que estar explicando lo
mismo varias veces.
9. Toma un descanso mental. Cuando estés bloqueado y parece que no puedes
avanzar, respira hondo varias veces para relajarte, trata de pensar en algo
agradable y luego retoma lo que estás haciendo, con la mente fresca.
10. Sé puntual y organiza tus actividades. Una manera casi infalible de llegar a
tiempo es planear llegar más temprano. La mejor forma de optimizar el tiempo
es planear todas nuestras actividades.
[3]
EL TIEMPO DISPONIBLE
EJEMPLO
ACTIVIDADES
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
DORMIR
DESAYUNO
COMIDA
CENA
TRABAJO
TRANSPORTE
FAMILIA
DEPORTE
TELEVISIÓN
ASEO PERSONAL
ESTUDIO
INDIVIDUAL
ASESORÍAS
TOTAL
TIEMPO
DISPONIBLE
[4]
JUEVES
VIERNES
SÁBADO
DOMINGO
PLAN DE ESTUDIOS
PRIMER SEMESTRE:
SEGUNDO SEMESTRE:
TERCER SEMESTRE:
ALG001
Matemáticas I
TRI002
Matemáticas II
GAN003
Matemáticas III
QUI001
Química I
QUI002
Química II
GEO003
Geografía
EYV001
Ética y Valores I
EYV002
Ética y Valores II
ISC001
Introducción a las
Ciencias Soc.
HDM002
Historia de México I
LYR001
Taller de Lectura y
Redacción I
LYR002
ING001
Lengua adicional al
español I
INF001
Informática I
HDM003
Historia de México II
Taller de Lectura y
Redacción II
LIT-003
Literatura I
ING002
Lengua adicional al
español II
ING003
Lengua adicional al
español III
INF002
Informática II
CUARTO SEMESTRE:
QUINTO SEMESTRE:
FUN004
Matemática IV
BIO005
Biología II
BIO004
Biología I
HUC005
Historia Universal
Contemporánea
FIS004
Física II
ESM- Estructura
004
Socioeconómica de
México
LITLiteratura II
004
ING004
FIS-003 Física I
Lengua adicional al
español IV
FORMACION PARA EL TRABAJO: _______________________
[5]
SEXTO SEMESTRE:
FIL-006
Filosofía
EYM006
Ecología y Medio
Ambiente
MDI006
Metodología de la
Investigación
BLOQUE 1
LUGARES GEOMETRICOS
CONOCIMIENTOS
•
•
•
Identificar las características de un sistema coordenado
rectangular.
Reconocer parejas ordenadas, la igualdad entre ellas y
su representación grafica.
Identificar regularidades en conjuntos de parejas
ordenadas presentadas en forma grafica y numérica.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Establecer un orden o acomodo conveniente entre pares
de objetos para formar una pareja ordenada.
Comprender la noción de lugar geométrico
Determinar si dos o más parejas ordenadas son iguales o
no.
Transitar entre la representación numérica y grafica de una
pareja ordenada.
Visualizar la ubicación de una pareja ordenada en el plano
cartesiano.
Expresar verbal o simbólicamente las regularidades que
identifica un conjunto de parejas ordenadas.
Asociar el conjunto de parejas ordenadas vinculado a una
regularidad como un lugar geométrico.
Reconocer que la regularidad constituye la condición que
determina al lugar geométrico.
Construir la grafica de un lugar geométrico a partir de una
condición dada en lenguaje verbal o simbólico.
Reflexionar sobre la conveniencia de disponer distintas
formas de representación de un lugar geométrico.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
Valorar la importancia del orden entre los elementos de una
pareja ordenada.
Apreciar la utilidad de las parejas ordenadas en la
comunicación y representación de información de índole
geográfica, económica, demográfica, etcétera.
[6]
Unidad de Competencia del Bloque 1
[7]
Sistema coordenado rectangular
Y en el
Se sustenta en los
Conjuntos
Plano cartesiano
Que dan lugar a las
Y a las
Coordenadas
(elemento analítico)
Comenzando con los
Figuras geométricas
(elemento geométrico)
Después las
Puntos
Finalmente las
Líneas
Curvas
En sus diferentes representaciones
Lo analítico
(algebraico)
Lo geométrico
Y en contextos reales sus diversas
Aplicaciones
[8]
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 1:
1.1 El plano cartesiano
Conceptos y generalizaciones
El plano cartesiano es la herramienta principal de la geometría analítica. En este campo
aparece relacionado lo geométrico (puntos) y lo analítico (lo algebraico o numérico)
y
y
x
Un plano cualquiera
como un conjunto de
puntos.
Puedes localizar
cualquier punto en
el, simplemente
conociendo sus
proyecciones sobre
los ejes de
referencia.
Cuando le agregas
una referencia como
estos dos ejes de
números reales…
[9]
P (x,y)
x
Puedes establecer
para cada punto en
el plano una
asociación entre la
pareja ordenada
construida con las
proyecciones y el
punto.
R(-2,2)
3
Q (1,3)
2
P (3,1)
R(-2,2)
Q (1,3)
2
1
-3 -2 -1
3
El plano cartesiano
se construye cuando
asocias parejas
ordenadas a puntos
de un plano.
P (3,1)
1
1 2 3
-3 -2 -1
Y así, cada punto
está asociado a una
pareja ordenada
única. No hay dos o
más para el mismo
punto.
1 2 3
Y de ahí a la construcción de
imágenes solo hay un paso.
Se trata de los pixeles, que
son un grupo de puntos de
diferentes colores, cada uno
con una pareja ordenada.
De los puntos
podemos ir a la
construcción de
figuras
Es la herramienta
principal de la
geometría analítica.
Su representación
más útil para
nosotros es a través
de los dos ejes reales
perpendiculares
cortándose en el
origen.
El plano cartesiano representa a la infinidad de puntos del plano y, desde luego, su
asociación con un número infinito de parejas ordenadas.
Pero un punto, una recta, un segmento o una curva que traces en el, será solo un
subconjunto del plano cartesiano.
1.2 El sistema coordenado rectangular
El sistema coordenado rectangular es la representación grafica del plano cartesiano.
Ahora deberás aprender a relacionar en este cada punto con sus coordenadas.
Observa, es muy sencillo.
3
Primer cuadrante
(+2,+2)
Segundo cuadrante
2
(-2,+1)
1
0
-3
-2 -1
-1
(-3,-1)
-2
Tercer cuadrante -3
1
2
3
(+1,-2)
Cuarto cuadrante
Cualquier punto del plano cartesiano posee dos
coordenadas: una abscisa x y una ordenada y. El
punto de cruce es el origen (O), que representa el
cero para las dos coordenadas. A partir del. Los
signos de estas son positivos en el sentido de las
flechas y negativos en el sentido opuesto.
El plano queda dividido por los ejes en cuatro partes
llamadas cuadrantes. Se ordenan comenzando por
el que tiene sus dos coordenadas positivas, el
primer cuadrante, siguiendo para los restantes el
sentido contrario a las manecillas del reloj.
Notación: P (abscisa, ordenada)
[10]
P(x,y)
Por ejemplo:
(1,-2), en el cuarto cuadrante, posee abscisa
1, positiva, porque se avanza hacia la derecha desde el origen.
Y ordenada 2 negativa, porque se avanza hacia abajo desde el cero.
Toma Nota:
Una pareja ordenada consta de dos números en los que el orden en que se
encuentran es inamovible. Por ejemplo, el punto P(2,4) es diferente al punto Q(4,2).
Así cada punto en el plano cartesiano tiene solamente una pareja ordenada asociada y,
recíprocamente, a cada pareja ordenada de números reales
1.3 Puntos, segmentos y polígonos en el plano
Una vez que trazas un punto en el plano cartesiano, descubres que cualquier figura
sólo es un conjunto de éstos. Puedes hacer trazos valiéndote de las propiedades que
conoces sobre las figuras. Por ejemplo, para el caso de una recta, sólo requieres
conocer dos puntos, mientras que para otras curvas necesitarás algunos más.
Por otra parte, el empleo de coordenadas es una representación más que está a tu
alcance para constituir figuras. Por ejemplo, si deseas transmitir a otros la idea del
cuadrilátero del inciso a) en la actividad anterior, puedes hacer tanto el esquema
(representación geométrica) como también expresar solamente los puntos que
representan sus vértices, proporcionando estos en forma ordenada (representación
analítica).
Y
D
1
A
A
A
A
A
A
B
[11]
1
A
A
C
A
X
Rectángulo de Vértices
ACBCD
Y
C
G
F
B
A
E
D
K
P4
P3
X
J
H
P5
P1
I
P2
Esquema A
Realiza y contesta en cada caso según se indique.
En relación con el cuadrilátero HIJK del Esquema A:
a) Determina las coordenadas de sus vértices.
b) ¿Cómo lo clasificas de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos interiores?
c) ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
d) ¿Cuál es su perímetro?
e) Determina el valor de su área.
[12]
Y
1
X
1
Esquema B
Sobre el esquema B traza el triangulo de vértices:
A(-1,-1), B(2,-1), C(-1,3).
a) Determina su perímetro.
Sobre el esquema B traza el cuadrilátero de vértices:
A(-1,-1), D(-2,1), E(-5,-1), F(-3,-3).
a) Determina su perímetro.
Sobre el esquema B traza los puntos: I (2,0), J (0,-2), K (2,-4) y H (4,-2). Como veras,
conforman un cuadrado.
Traza la circunferencia inscrita en el.
a) El centro de la circunferencia es el punto G. ¿Cuáles son sus coordenadas?
b) Indica las coordenadas de los puntos en donde el cuadrilátero es tangente o donde
corta a los ejes coordenados, según el caso.
[13]
c) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?
d) Determina la longitud de la circunferencia y el área del círculo limitado por esta.
1.4 Lugar geométrico
El lugar geométrico en geometría analítica es justo ese recorrido, la trayectoria que
puedes visualizar cuando un objeto está en movimiento. Si lo analizamos desde la
perspectiva del plano cartesiano, una trayectoria representa un conjunto de puntos
que poseen cierta regularidad, como la circunferencia del avión de juguete o la recta
del recorrido del auto o bien, la elipse que describe la Tierra en su rotación continua
alrededor del Sol.
Ciertamente, hay una infinidad de trayectorias; tú mismo puedes fabricar una en
este momento con el lápiz y no todas están en un plano. Algunas, como el vuelo de
un insecto, son trayectorias en tres dimensiones. Pero estamos interesados sólo en
algunas trayectorias planas.
Todas ellas se pueden visualizar en el plano cartesiano. Verás que al analizarlas
bajo esta perspectiva tienen mucho que decirnos. Lo más importante, sin embargo,
son aquellas propiedades que trascienden a la matemática misma para apoyarnos en
la comprensión de otras situaciones, como lo es en el mundo de la física y en otros
campos del conocimiento; incluso en tu mundo personal.
Y
1
Y
Trayectoria del avión de
juguete vista desde quien
lo maneja.
Trayectoria de un auto en un
camino recto que observas a 1
m de distancia en la calle
desde algún punto en la
banqueta.
2
2
X
-2
2
-2
¡Así lo describimos!
Lugar geométrico de los puntos del plano
que están a una distancia de 1 m del
eje de abscisas.
X
¡Así lo describimos!
Lugar geométrico de los puntos del
plano que están a una distancia de 2 m
del origen de coordenadas.
[14]
Recuerda:
El lugar geométrico es un concepto asociado a la geometría analítica que utilizamos
para expresar un conjunto de puntos del plano cartesiano. Es la figura en sí misma
trazada sobre el plano. También puedes visualizarla como un subconjunto del plano
cartesiano, pues consideras sólo algunos puntos de él.
Lo importante es que puedas expresar las características intrínsecas de la figura en
relación o asociación con las referencias naturales en el plano cartesiano, como son:
uno o más puntos de él, alguno de sus ejes coordenados, etcétera.
Por ejemplo, la circunferencia, en el plano cartesiano, es una serie de puntos
equidistantes a su centro, que es un punto del piano
1.5 El problema fundamental de la geometría analítica
Sobre el problema fundamental
Forma algebraica o
numérica. La parte
analítica
Ecuación
Tabla
Grafica
Hay relación entre los tres
elementos matemáticos
Representación
grafica. La parte
geométrica
La geometría analítica relaciona lo geométrico con lo algebraico, y con ello se
constituye en una nueva disciplina matemática.
Bajo este nuevo enfoque lo algebraico se puede visualizar en lo geométrico
a través de las graficas. Recíprocamente, lo geométrico se puede analizar a
través de lo algebraico mediante ecuaciones.
El problema fundamental de la geometría analítica es relacionar las gráficas con las
ecuaciones, cuando esto es posible. Es importante que tengas esto siempre en mente.
[15]
La geometría analítica en lo cotidiano
La ventaja disciplinar de la geometría analítica
aparece cuando la llevamos al campo de lo
cotidiano o como lenguaje de otras ciencias como
la física y la química, o en la administración,
contabilidad y economía.
¿Qué idea te refleja este gráfico? ¿Crees que el
gerente esté contento con esta situación? ¿Qué
piensas que puede suceder?
La Ley de Boyle sobre el comportamiento de los
gases ideales muestra la variación de la presión
cuando el volumen aumenta o disminuye a
temperatura constante. La ecuación y el gráfico te
dicen lo mismo, pero de distintas formas.
¿Qué es lo que observas?
¿Cuál de las dos representaciones te es más
explícita?
[16]
En la figura de abajo observas los gráficos y las ecuaciones para calcular el costo
global y, de la compra de x cuadernos, silos compras en la tienda de la esquina
(rojo), o silos compras en una papelería más grande (azul) que vende más barato,
pero en donde requieres invertir en un medio de transporte (tomar el autobús).
¿En dónde comprarías a menor precio dos cuadernos?; ¿y seis cuadernos?
¿Qué significado puede tener el punto de intersección en relación con la situación
planteada?
¿Habrías pensado que dos rectas (lo geométrico) pudieran brindarte información sobre
lo anterior?
En lo cotidiano:
Costo ($)
250
y = 35x
200
150
y = 30x + 20
100
50
0
2
4
6
8
Numero de cuadernos
La pregunta es: ¿Qué puedes hacer con estas herramientas matemáticas?
Ciertamente, si no las conoces, la respuesta es nada. Sin embargo, conforme
vayas avanzando en su estudio y te vayas apropiando de este conocimiento, te
darás cuenta de lo útil que te puede resultar para comprender lo que lees, para
entender tu mundo, y seguramente también para plantear, resolver y presentar a
otros compañeros y amigos algunas situaciones o problemas de tu interés.
[17]
Realiza un esbozo de la grafica del lugar geométrico representado por la tabla en
cada uno de los siguientes casos.
Y
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
1
X
1
Y
x
-1
0
1
2
3
4
5
y
10
5
2
1
2
5
10
2
X
1
[18]
Construye una tabulación en el intervalo indicado y con ella grafica cada una de
las siguientes ecuaciones.
y = 3x -5
x
-1
0
1
2
3
4
Y
y
2
X
1
y = 4- (x+1)
X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Y
y
1
X
1
[19]
Imagina que tienes un negocio de tiempo libre vendiendo un determinado artículo
entre tus conocidos, el cual compras por mayoreo con un costo unitario de $3.00
y al menudeo lo vendes en $4.50.
Proyección de ganancias.
a) Construye la tabla de ganancias G en
relación con el número de artículos
vendidos n
n
0
10
20
G
b) Utiliza la tabla para construir el
grafico correspondiente.
G/n
c) Determina la ecuación que relaciona a n y G clasifícala algebraicamente.
[20]
Tu mascota, un lindo perrito, corre velozmente para alcanzar un frisbee que les
has lanzado. La relación de su energía cinética E (Joules) con la velocidad v (m/s)
está dada por E= 5v2, Inicialmente el perro está quieto y cuando corre va
aumentado su velocidad; alcanza su máximo en el momento en que se atrapa sus
juguete y esta es aproximadamente de 11 m/s.
Relacionando la energía cinética con la velocidad
a) Elabora la tabla E-v.
v
0
1
2
b) Utiliza la tabla para construir el grafico
correspondiente.
E
C) Algebraicamente, ¿Qué tipo de ecuación tienes?
[21]
BLOQUE 2
SEGMENTOS RECTILINEOS Y POLIGONOS
CONOCIMIENTOS
•
Identificar las características de un segmento rectilíneo.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Representar segmentos rectilíneos en el plano cartesiano a
partir de las coordenadas de sus extremos, o bien, a partir
de la representación de segmentos en el plano registrar las
coordenadas de sus extremos
Comprender la noción de distancia entre dos puntos en el
plano cartesiano.
Analizar la utilidad de la distancia entre dos puntos en el
cálculo de perímetros y áreas de polígonos.
Calcular la distancia entre dos puntos a partir de sus
coordenadas cartesianas.
Interpretar la noción de razón en la división de un
segmento rectilíneo.
Resolver problemas en los que intervenga la determinación
de la longitud de segmentos en el plano cartesiano.
Dividir segmentos rectilíneos con base en una razón dad.
Integrar el uso de razones en la división de segmentos
rectilíneos
Determinar la razón en que fue dividido un segmento a
partir de las medidas de los segmentos resultantes o de las
coordenadas de los extremos de dichos segmentos.
Resolver problemas y realizar ejercicios que involucren la
obtención de áreas o perímetros de polígonos utilizando
los conceptos de distancia entre dos puntos, o bien, la
división de segmentos a partir de una razón.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
•
Valorar la conveniencia de disponer distintas formas de
representación de un lugar geométrico.
Presentar disposición al trabajo colaborativo con sus
compañeros.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[22]
Unidad de Competencia del Bloque 2
[23]
Segmento rectilíneo
Sus conceptos básicos
Longitud
Dirección (sentido)
Relacionada con la
Punto medio
Relacionada con el
Distancia entre dos
puntos
Punto razón
Y su relación con los
Aplicada en casos de
Polígonos
el
el
Proporción
Área
Perímetro
Y más allá de su
ámbito geométrico
en otras
Forma visual
para diversas
Aplicaciones
[24]
Sus casos especiales
Punto de
trisección
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 2:
2.1 Segmento rectilíneo
Generalizando
El segmento rectilíneo queda determinado en la geometría analítica si se conocen sus
dos puntos extremos. La idea de proporcionarle además una dirección al segmento
resulta ser útil en una diversidad de situaciones, como en la representación de
desplazamientos, velocidades, fuerzas y, en general, todo aquello que puede
manejarse con vectores.
Toma nota:
Un vector es una cantidad física que se caracteriza por poseer dirección y sentido.
Puedes hacer una consulta de este en el bloque 1 de tu libro de física.
De la geometría …
Representación y notación
Propiedad
Segmento rectilíneo:
Porción de recta comprendida
entre dos puntos de ella.
Segmento AB
La longitud de un segmento
dirigido no se modifica por
tener dirección.
El sentido del segmento se
establece mediante un signo
+ o-.
De la geometría analítica…
Segmento rectilíneo dirigido:
En este es importante
también especificar cuáles
son sus puntos inicial y final.
|AB|
B
A
|BA|
Segmento BA
|AB|= |BA|
Longitud
Se lee:
La longitud del segmento dirigido
AB Es igual a la longitud de
segmento dirigido BA.
[25]
|AB|= |BA|
Si AB es positivo, entonces
BA será negativo y viceversa.
2.2 Distancia entre dos puntos
Generalizando
La distancia entre dos puntos siempre se podrá calcular desde las coordenadas de
estos. El proceso es bastante estándar, por lo que puede establecerse una fórmula que
nos permita proceder sin realizar cada vez todo el proceso.
La distancia entre dos
puntos se puede calcular
a partir de las coordenadas
de estos.
No importa la ubicación de
los puntos en los
cuadrantes, siempre se
restan las abscisas por un
lado y las ordenadas por
otro.
Distancia entre dos puntos
Y
1
A
|
2
1
2
2
Para A(-7, 2) y B(-4, 6).
|
1 ²
X
| 2
2
2
1
|
4
4
1|
1
|
Por ejemplo:
√25
Puedes invertir el orden de los
puntos. Recuerda que | | |
|
5
Determina la distancia entre los puntos proporcionados
1. A(0,-1), B(3, 3); |AB| =
2. A(15,3), B(3, -2); |AB| =
[26]
7
3
√9
B
7 ²
6
4 ²
16
6
2
2 ²
3. A(0, 4), B(4, -36); |AB| =
4. A(-1, 3), B(5, 3); |AB| =
5. A(-1, 2), B(-9, 4); |AB| =
Determina el perímetro y área de cada uno de los siguientes polígonos; para el
caso del área utilizada la formula de Herón que se ilustra en el ejercicio A:
Coordenadas de los vértices del triangulo DEF: D (-2, 5), E (-3, 3) y F (-1, 3).
Calculo de las distancias de cada lado del triangulo por formula de distancia entre dos
puntos:
|DE| = √5, |EF| = 2, |DE| = √5
El perímetro Pe es la suma de los lados: Pe
2√5
2
6.47
Formula de Herón
!
A=
"
2
!
#
"
$%
2
b
c
a
#
Con la formula de Herón se
puede calcular el área de un
triangulo a partir de sus lados.
[27]
Y
Calculo de s y A:
√&'
A=
= √5 1
3.24(3.24
D
3.24
√5) 3.24
2 3.24 -√5 5
20
4
E
F
3
2
Ejercicio A
1
-3
-2
-1
0
Para el cálculo del área de polígonos de más de tres lados puedes triangular, como se
muestra en el ejercicio B, y proceder para cada triangulo de la misma forma que en
este caso.
[28]
X
Ejercicio B
Comprueba, construyendo la figura en el plano cartesiano y analíticamente (cálculo de
las longitudes de los lados), que el triángulo de vértices (2, —2), (5, —1) y (3, 1) es
isósceles.
2.3 División de un segmento
Generalizaciones
El Punto razón siempre puede obtenerse a través de la semejanza de triángulos, como
lo trabajaste en la actividad. En la práctica se hace este proceso para determinar una
fórmula que nos permita determinarlo sin necesidad de plantear el proceso completo en
cada ocasión.
[29]
Punto Razón
El punto razón P(x ,y) divide
al segmento dirigido de
extremos:
inicial P1 (x1,y1) y final P2
(x2,y2) es una razón r
conocida.
y2
y
x1 rx2
1 r
y1 ry2
1 r
La razón r que se ilustra es
positiva.
-
$1$
$$2
$$2
Observa que los dos segmentos
del cociente tienen el mismo signo,
pues van en el mismo sentido. La
razón puede también ser negativa
cuando los segmentos dirigidos en
el cociente (dado por r) tienen
direcciones opuestas.
El Punto medio es un caso
especial, en donde r = 1.
P x,y $1$
y1
P2 x2,y2 P1 x1,y1 P x, y
1
x1xx2 2
2
,
1
2
2
Determina el punto razón (P) para cada uno de los casos propuestos e identifica
aquellos que corresponden al punto medio del segmento.
1.
P1 (1,-1), P2(3, 5), r
+,+
++ 1
2.
P1 (4, -2), P2(9, 4), r
[30]
+,+
++ 1
3.
+,+
P1 (-1, -1), P2(1, 0), r
++ 1
&
En el esquema, el triangulo ABC se ha fraccionado por el segmento DE
a) ¿ Cual es la razón
23
34
?
B
D
b) ¿ Cual es la razón
56
64
?
E
[31]
C
BLOQUE 3
LA RECTA COMO LUGAR GEOMETRICO
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
•
•
•
Reconocer la relación existente entre el Angulo de
inclinación y la pendiente de una recta.
Caracterizar las condiciones de paralelismo y
perpendicular entre dos rectas.
Identificar la relación entre fenómenos cuya razón de
cambio es constante y el modelo de la recta.
Reconocer la recta como un lugar geométrico.
Identificar la forma y los elementos requeridos para la
ecuación de la recta en su forma: pendiente y ordenada
al origen.
Identificar la influencia de los parámetros m y b de la
ecuación de la recta en la forma pendiente y ordenada al
origen en el comportamiento grafico de la misma.
Identificar los elementos mínimos para trazar una recta
especifica.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
•
•
Argumentar la noción de pendiente a partir de la razón
entre conceptos como elevación y avance.
Comprender el significado de la pendiente de una recta.
Obtener el ángulo de inclinación de una recta respecto al
eje X a partir de su pendiente y viceversa.
Determinar el paralelismo o perpendicular entre dos o más
rectas a partir de sus pendientes.
Comprender la existencia de una recta especifica: su
pendiente y uno de sus puntos, y dos de sus puntos.
Construir modelos de fenómenos que involucran razones
de cambio constante.
Integrar los elementos necesarios para el trazado de una
recta en la escritura de su ecuación.
Comprender la influencia de los parámetros m y b de la
ecuación de la recta en el plano.
[32]
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Mostrar interés en la búsqueda de nuevas maneras de
representar objetos con los que has tenido contacto desde
niveles educativos anteriores.
Mostrar disposición a utilizar los recursos disponibles para la
solución de problemas matemáticos.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Unidad de Competencia del Bloque 3
[33]
La recta como lugar geométrico
Y del
Los elementos de la
Algebra
Geometría
Su asociación con
su
su
Pendiente
Inclinación
Su asociación con
y sus
y sus
Puntos
Intercepciones
Dan lugar a su
Ecuación
En sus diferentes formas
Dos puntos
Punto pendiente
Relacionadas con los campos de
Aplicación
[34]
Punto y ordenada
en el origen
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 3:
3.1 Pendiente de una recta
En el sistema coordenado cartesiano la inclinación de una recta es una de sus
características. Esta puede medirse directamente a través de su ángulo de inclinación y,
aún mejor, a través de su pendiente.
Medida de la inclinación de una recta
Y
7
La pendiente de una recta es la
tangente del ángulo de inclinación
de esta.
Representación
m
X
El ángulo de inclinación de una
recta es el que forma esta con el
0° 9 8 : 180°
[35]
8
La ventaja que tiene emplear a la pendiente como unidad de medida de la inclinación,
es que esta es un número real, coincidiendo en esto con el sistema numérico decimal,
con la notación posicional característica con la que operamos. El ángulo de inclinación,
en cambio, emplea la notificación sexagesimal (grados, minutos, segundos).
Por otra parte, el cálculo de la pendiente resulta relativamente sencillo cuando
se conocen dos puntos de la recta.
La pendiente toma valores positivos, negativos y cero, lo que nos proporcionan
información sobre su orientación.
Interpretación geométrica del signo de la pendiente
Y
Y
Y
pendiente cero
7
8
X
>°
7
X
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Si =
Si =
Si =
30°
m= tan 30° =
,
√1
30°
m= tan 0° = 0
120°
m= tan 120° = - √3
En el plano cartesiano, la pendiente de una recta puede calcularse si se conoce un par
de puntos de ella. Generalizaremos este proceso para evitar realizarlo por completo
cada vez que se requiera. Para ello estableceremos una relación o formula que nos
permitirá abreviarlo.
Toma Nota
Como recordaras, la tangente de un ángulo es la división del cateto adyacente entre el
opuesto.
[36]
X
Calculo de la pendiente
Y
B (X2, Y2)
A (X1, Y1)
Y1
7
X1
X2
Por ejemplo:
Si A (-1, 0) y B (3, 2)
?@
1? ?,
E ?E,
F ?F,
X2 - X1
7
m=
m = tan =
Y2 – Y1
Y2
X
El signo positivo de la pendiente indica
que el angulo de inclinacion es agudo.
,
A
, x2 G x1
En realidad….
7 = arctan B,C =
26°34´
Escribe las pendientes de cada uno de los segmentos del esquema
1. m1 = -2
2.
Y
1
2
4
3.
4.
5
3
6
1
1
7
5.
8
10
[37]
X
9
Traza para cada punto un segmento con la pendiente indicada. No es importante
su longitud. Procede como se te muestra en los ejercicios 11 y 12
6.
Y
Punto A: m = -1/2
Respuesta:
Se construye a partir del
punto A un triangulo
rectángulo. El movimiento
es: uno hacia abajo
(pendiente negativa) y dos a
la derecha. Puede invertirse
el orden, primero dos a la
derecha y luego uno hacia
abajo. La recta pasa asi por
el punto dado y el punto al
llegaste al desplazarte. El
movimiento vertical siempre
es con el numerador y el
horizontal con el
denominador.
A
B
D
C
1
1
X
E
G
J
H
F
I
7. Punto B: m = 2
Respuesta:
Dos hacia arriba y uno a la derecha. Recordar que 2 = 2/1
Ejercicios para contestar en base a lo anterior:
8. Punto C: m = -2
9. Punto E: m = -1
10.Punto G: m = 1/4 11. Punto I: m = 0
[38]
Determina la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados; encuentra
además el ángulo de la inclinación con aproximación hasta minutos.
12. (1, 5) y (0, 0)
13. (3, 5) y (1, -1)
14. (-4, 0) y (-3, 1)
3.2 Paralelismo y perpendicularidad
Pendientes de rectas paralelas y perpendiculares
m┴
Las rectas paralelas tienen
la misma pendiente
m
m║
m║ = m
El producto de las
pendientes de rectas
perpendiculares es -1 (una
es la reciproca negativa de
la otra).
m • m ┴ = -1
m┴=
Por ejemplo:
Si la pendiente de una
recta es 3/5
La pendiente de cualquier recta
paralela a ella es también 3/5
[39]
,
H
mG0
Y la pendiente de cualquier
recta perpendicular a ella
es -5/3
En los siguientes ejercicios traza la figura en el esquema y establece, de
acuerdo con lo que se pregunta, lo que analíticamente debes comprobar. Haz los
cálculos, y con fundamento en los resultados obtenidos escribe una conclusión
acerca de la pregunta. Considera el proceso que se muestra en el ejercicio 1.
1. Verifica que el triangulo de vertices
B2 (2,-4), B3 (-1, -1) es rectángulo e isósceles.
Solución:
Sera un triangulo rectángulo si uno de sus
ángulos interiores es recto y será isósceles
si dos de sus lados son congruentes (longitudes idénticas). Según el esquema, si hay
un ángulo recto, pareciera ser B3, y los lados
congruentes │B1 B3│y │B2 B3│
1
B3
B1
Comprobación:
Por formula de distancias:
B1 (-4, -4)
B3 (-1, -1)
B2 (2, -4)
m13 = 1
d13 = √34
m23 = -1
d23 = √34
¿(m13) (m23) = 1? Si
Entonces B1 B3 ┴ B2 B3
¿Son iguales
las longitudes? Si
El triangulo tiene un ángulo interior recto y dos lados
Iguales Es, por lo tanto, un triangulo rectángulo e isósceles.
[40]
1
B2
2. El cuadrilátero de vértices A1 (-4 ,1), A2 (2, 3), A3 (2, 7) y A4 (-4, 5) es un romboide
(lados opuestos paralelos, longitudes de lados contiguos diferentes y ángulos
interiores no rectos).
3. El cuadrilátero de vértices D1 (4, 0), D2 (2, 2), D3 (0, 0) y D4 (2,-2) es un
cuadrado
3.3 La recta como lugar geométrico
La matemática es insustancial. Existe, como abstracta que es, sólo en nuestra mente.
Somos nosotros mismos quienes establecemos significados en ella. Significados
relacionados con situaciones que se presentan, que debemos resolver para decidir en
algún aspecto. Por otra parte, cada situación puede resolverse de distintas formas,
con distintas herramientas matemáticas. Incluso cuando se tiene un buen manejo de
ella, ocurre que planteamientos pueden ser de distintos campos del conocimiento.
Por ejemplo, algunos de los casos que hemos analizado pudieron manejarse y
resolverse desde la geometría euclidiana, la trigonometría, e incluso el álgebra.
Para nosotros en este momento representan sólo la oportunidad de aprender
los conceptos y su relación con el mundo físico de la geometría analítica, razón por la
que privilegiamos los procesos estudiados.
[41]
Cuando René Descartes desarrolló la geometría analítica, ésta quedó enfocada
de acuerdo con lo que en ese momento él veía como potencial de análisis bajo esta
novedosa forma de estudiar la geometría. En la actualidad sus ideas han ido más lejos
de lo que él inicialmente pensó. La geometría y sus métodos son pilares importantes
de otros conocimientos, no todos relacionados en primera instancia con lo geométrico.
Pero como veremos, la visualización geométrica puede damos una idea más clara de
lo que analizamos.
Generalización
Las tablas de valores, las ecuaciones y los gráficos son diferentes objetos matemáticos
que nos ayudan a visualizar situaciones reales. Hemos propuesto para análisis el caso
de movimiento cuya característica esencial es ser constante. El resultado son
ecuaciones lineales (primer grado) con dos variables, cuya representación gráfica es
una recta. Comienzan a observarse así las relaciones que se van construyendo entre
las diversas formas de representación.
y = 4x
Así, la recta es entonces un lugar geométrico y en cuanto al plano cartesiano se
refiere, es un conjunto definido de puntos. Tales puntos pueden generarse desde una
ecuación algebraica al quedar establecido en ésta la correspondencia entre abscisas y
ordenadas. También puede establecerse tal lugar geométrico directamente desde el
ámbito de la geometría, formando la recta que pasa por dos puntos dados, o por un
punto y con cierta pendiente específica. Una tabla, aun con sus limitaciones, también
puede dar lugar a establecer el lugar geométrico de una recta.
En un sentido más amplio, la recta, y cualquier otra curva, son más que
representaciones geométricas. Podemos estar tentados a quedamos sólo con
la idea visual de ella, pero la geometría analítica te permite llamar recta (o
curva desde una perspectiva más general) no sólo a esta representación
gráfica, sino también a su ecuación que, a fin de cuentas, es sólo otra forma de
verla. El lugar geométrico en sí mismo resulta realmente ser el conjunto de
parejas ordenadas, algo que puede resultamos más intangible, por ello la
ventaja de las representaciones visuales de los objetos.
[42]
Definición de recta
Decimos que un lugar geométrico es una recta
si dados dos puntos diferentes: A (x1,y1) y B
(x2,y2) de este conjunto, y estableciendo el
valor de su pendiente con ellos, encontramos
que para cualquier otra pareja de puntos del
mismo lugar geométrico la pendiente es siempre
es la misma.
m=
E ?E,
F ?F,
E ?E,
Constante
F ?F,
x2 G 1, G 1 #IJKL#LIJ%
3.4 Obtención de la ecuación de la recta
Existen diversas formas algebraicas en que puede ser representada una recta.
Cada una nos permite ver algunas de sus características específicas, como
sus intercepciones con los ejes, su pendiente, su distancia al origen, etc. Dos
son operativas, ya que a partir de ellas es posible hallar su ecuación cuando se
conocen dos puntos o un punto y la pendiente. Comenzaremos con el análisis
de estas dos formas.
Forma: Dos puntos
Si se conocen los puntos A(x1 , y1) y B(x2 , y2)
por donde pasa la recta y P(x, y) es cualquier
otro punto de ella:
y2 y1
y y1
Constante
x2 x1
x x1
(Desde la definición de recta)
Por ejemplo:
Si la recta pasa por: (-1, 3) y (2, 5)
y
3
S
3
x
1
&?1
? ?,
1
T x
1
y – y1= B
E ?E,
F ?F,
C
1
donde: x y y representan cualquier
punto de la recta (son las variables)
Aplicando
simplificación
algebraica
3(y -3) = 2(x + 1)
3y -9 =2x + 2
-2x + 3y – 11 = 0
Esta es una forma de representar la recta, pero…
[43]
2x - 3y – 11 = 0
Esta otra forma es mas usual, ya
que nos permite ver el modelo albraico característico para la recta
(ecuación lineal con dos variables)
Forma: Punto pendiente
Si se conoce un punto A(x1 , y1) y la pendiente
m de la recta, y P(x, y) es cualquier otro punto
de ella:
y y1
Constante
x x1
(Desde la definición de recta)
U
Por ejemplo:
Si la recta pasa por: (-1, 3) y m = 4
y
3
4x
1
y – y1= m
1
donde: x y y representan cualquier
punto de la recta (son las variables)
Aplicando
simplificación
algebraica
4x + y + 1 = 0
Esta es la forma más común en
que aparece (ecuación lineal con
dos variables).
3
4 x 1
Esta es una forma de representar la recta, pero…
Determina la ecuación de la rectas que pasan por lo puntos dados.
1. (1, -1), (0, 0)
2. (-4, -1), (-1, 2)
3. (-7, 7), (2, -1)
[44]
Determina la ecuación de las rectas que pasan por el punto dado y tienen la
pendiente que se indica.
1. (0, 0), m = 2
2. (1, -2), m = -2
5
3. (3, 1), m = 3
3.5 Forma pendiente y ordenada en el origen
Generalizando
La forma de la recta pendiente y ordenada en el origen se construye en primera
instancia para conocer, desde la ecuación, la pendiente de la recta y la
intersección con el eje Y. Más adelante, sin embargo, tiene ventajas que escapan
del campo mismo de la geometría analítica, cuando se buscan relaciones en las
que la proporcionalidad o, más generalmente, la forma lineal está presente.
Forma: Pendiente y ordenada en el origen
y = mx + b
(0, b)
b es el termino independiente
cuando y está despejada,
m es el coeficiente de x cuando y
está despejada,
Si 3x + 2y -5 = 0
Por ejemplo:
Si y = -3x + 5
m= -3
Se lleva a la forma:
2y = 3x + 5
Pendiente y odenada en el y
La recta corta al eje Y en (0,5) origen despejando y.
[45]
3
1
x
&
m
b
3
2
5
2
Eventos que se representan con una recta
A lo largo del bloque hemos manejado casos que se representan con una recta. Lo
común en ellos es que las relaciones o ecuaciones que los representan tienen forma
lineal de dos variables (primer grado). Siempre que puedas establecer que el
comportamiento entre dos variables es de proporcionalidad, obtendrás como representación gráfica una recta. A veces tales fenómenos se observan primero en la tabla o en
la gráfica.
Una buena comprensión de lo que hemos tratado hasta este punto te permite ya
relacionar las diferentes representaciones, por lo que no te será difícil discriminar entre
aquellos casos que te conducen gráficamente a una recta.
Los ejercicios aplicativos que proponemos a continuación te permitirán un panorama
más amplio de la versatilidad de las aplicaciones de los conceptos que has aprendido.
Escribe para cada recta en el esquema: su pendiente, su ordenada en el origen y
su ecuación en la forma pendiente y ordenada en el origen. Analiza el ejercicio resuelto
Y
2
4
1
3
8
6
1
1
5
7
9
10
1. m = 1, b = 5, y = x + 5
[46]
X
2.
3.
4.
5.
Generalizando
La forma de la recta pendiente y ordenada en el origen se construye en primera
instancia para conocer, desde la ecuación, la pendiente de la recta y la intersección con
el eje Y. Más adelante, sin embargo, tiene ventajas que escapan del campo mismo de
la geometría analítica, cuando se buscan relaciones en las que la proporcionalidad o,
más generalmente, la forma lineal está presente.
Utiliza la información de la ecuación para graficarla en el esquema, y sin calcular
puntos adicionales de ella procede como en los casos resueltos.
1. y = 2x -3
m = 2 y b = -3
2. y = -x -2
[47]
3. y = 4x
1
4. y = 3x + 2
5. Un vendedor de revistas que reparte a domicilio lleva consigo $100 (cien pesos) para
posibles cambios. El precio de cada ejemplar es de $5. Establece una relación entre la
cantidad y que llevara consigo a la venta de x ejemplares. Haz su representación
grafica.
6. Imagina que la escuela a la que asistes se encuentra cerca de tu domicilio, por lo
que te desplazas a pie a ella. El ritmo de tu paso te permite avanzar 3 m cada segundo,
y necesitas 15 minutos para arribar. Considera a s (metros) la distancia que te falta por
recorrer para llegar a la escuela. Ésta es cada vez menor hasta llegar a cero, cuando
finalmente estás en la escuela. Escribe una ecuación que relacione s y t y realiza su
gráfica. ¿Qué significado tienen la pendiente y la ordenada en el origen en el contexto
del problema?
[48]
BLOQUE 4
FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
•
Identificar las intersecciones de una recta con los ejes
cartesianos.
Asociar las intersecciones de una recta con los ejes
cartesianos y la ecuación de la recta en su forma
simétrica.
Reconocer la forma general de la ecuación de una recta.
Identificar la forma normal de la ecuación de la recta.
Relacionar la ecuación general y normal de la recta.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
Utilizar las intersecciones de una recta con los ejes
cartesianos para determinar sus ecuación en la forma
simétrica.
Desarrollar la ecuación general de la recta, pendiente y
ordenada al origen, simétrica y general entre sí.
Calcular distancia entre una recta y el origen, dos rectas
paralelas y un punto y una recta.
Transitar entre las diversas formas simétrica, general y
pendiente y ordenada al origen de la ecuación de la recta.
Realizar ejercicios y resolver problemas que le permiten
determinar la forma más adecuada de representación de la
recta dependiendo de la situación.
Emplear la ecuación normal de la recta en la realización de
ejercicios y resolución de problemas que implican calcular
distancias entre puntos y rectas.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
•
Valorar la importancia de poder transitar entre diversas
opciones simbólicas para representar una recta, así como
su relación con sus registros gráficos y numéricos.
Participar activamente tanto en la realización de ejercicios
como en la resolución de problemas.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[49]
Unidad de Competencia del Bloque 4
[50]
La recta
Sus representaciones
analíticos operativas
Forma de puntos
Forma punto pendiente
Su clasificación algebraica mediante la
Forma general
Y su relación con formas
especificas de la recta
Pendiente y
ordenada en
el origen
Simétrica
Normal
Para la determinación desde
la ecuación de
Su
Pendiente
Su
Su
Abscisa en
el origen
Ordenada
en el origen
Para la representación
interpretación y solución de
Situaciones
de contexto
[51]
Su
Distancia de la
recta a un punto
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 4:
4.1 Forma general
Forma general de la ecuación de la recta
Representación analítica
(algebraica)
La ecuación lineal de
dos variables tiene por
grafica una recta.
Una recta puede expresarse
analíticamente (algebraicamente)
Como una ecuación lineal de dos
variables.
Y
Representación grafica
X
Toma nota:
Bajo la forma general, por lo menos uno de los valores (de A o B) debe ser diferente a
cero. Si A = 0, la recta es paralela al eje X, y si B = 0 la recta será paralela al eje Y.
[52]
4.2 Relación entre las formas general y pendiente y ordenada en el origen
En el bloque previo analizaste la forma pendiente y ordenada en el origen. Como se
explico, dicha forma de la ecuación de la recta nos permite visualizar a la pendiente
como coeficiente de x, y el término independiente como la ordenada en el origen.
Relación entre la forma pendiente y ordenada en el origen y la forma general
Forma general
Y
Forma pendiente y
Ordenada en el origen
AX + By + C =0
y= m x+ b
A
y = B BC
m
b
De la forma general a la
X forma pendiente y ordenada
Y
en el origen.
Por ejemplo,
m=
Para la recta 3x -4y + 2 = 0
b=
1
?A
A
,
Permite conocer
la pendiente y la
ordenada en el origen de una recta
desde su ecuación.
Es una notación apropiada para resentar a la función
lineal.
1
?A
C
B BC
La forma pendiente
y ordenada en el
Origen tiene dos
dos propósitos
m=
X
1
b=
4.3 Forma simétrica
Generalizaciones
La forma simétrica tiene como finalidad a la vista en la ecuación la ordenada y la
abscisa, ambas en el origen. Una forma rápida de hacerlo es recordar que en ambos
casos la coordenada restante es cero. Otra es transformar la ecuación a la forma
simétrica, la cual se construye desde la forma dos puntos considerando la recta que
pasa por (a, 0) y (0, b). Así:
[53]
Z
[
\
[
Empleas la forma dos puntos.
Divides en ambos miembros de la igualdad por
b y haces las «cancelaciones» de los factores
en numerador y denominador del segundo
miembro.
y–0=
]?@
@?^
x
a
y–0=
]
^
x
a
y
b
y
b
Multiplicas los factores en el segundo miembro
y acomodas la ecuación para llegar finalmente
a la forma simétrica. En ella, la abscisa en el
origen aparece «debajo» de x y la ordenada en
el origen, «debajo» de y.
y
b
b
x
ab
a a 1
x
a
y
b
y
b
a
x
ab
x
a
a
a
x
a
a x
a
y
b
1
1
Siguiendo el proceso descrito desde la forma general es posible establecer una relación
entre las constantes A, B y C, con la ordenada y la abscisa en el origen. Esto es lo que
observaste en la Actividad 2 y aparece resumido en el siguiente diagrama.
[54]
Relación entre la forma simétrica y la forma general
O
r
d
e (0, b)
n
a
b
d
a
en el origen
La construcción de la forma simétrica se emplea
para la determinación, desde la ecuación, de las
intersecciones con los ejes.
Forma General
AX + By + C = 0
x
– C/A
(a, 0)
Forma Simétrica
x
a
y
– C/B
1
y
b
Transformación: forma
general a simétrica
a
Abscisa en el origen
Por ejemplo,
Para la recta
3x – y + 2 = 0
a
b
Para conocer la
ordenada y la abscisa
en el origen desde la
ecuación.
2
3
2
1
1
a
b
C
A
C
B
2
Determina la ecuación para cada una de las rectas en el diagrama representándola en
las formas general, pendiente y ordenada en el origen, así como simétrica
Y
1. Solución:
Se pueden obtener un par de puntos y la
pendiente directamente de la grafica. Por
ejemplo, esta recta pasa por el origen (0,0)
y m = 1.
1
2
3
4
Su forma pendiente y ordenada en el origen
es por consiguiente:
1
y =-x
Su forma general se obtiene de la anterior:
6
x+y=0
Como a = b = 0, su forma simétrica no se
puede representar (la división entre cero no
está permitida en matemáticas).
[55]
5
7
X
1
2.
3.
4.
Determinar la ecuación de la recta con los datos proporcionados y preséntala en
su forma general, pendiente y ordenada en el origen, así como simétrica.
5. P(-1, 3), Q (1, -3)
[56]
6. P(-3, 0), Q (0, 2)
7. P (4,-1), Q (2,1)
8. P (0,0), m = -1
9.
10.
11
P (4,7), m = 8
[57]
4
P (3,0), m = 3
Determina en cada caso la recta solicitada según las condiciones que se
proporcionan que se proporcionan.
11. La recta cuya ordenada al origen es 5 12. La recta paralela a x -4y -3 = 0 cuya
y pasa por el punto (1, -3).
abscisa al origen es -2.
13. La recta cuyas intersecciones con los
ejes coordenados son (1,0) y (0, -5).
4.4 Intersección de rectas
Generalizaciones
El gráfico es una herramienta útil para la visualización de las intersecciones entre rectas y
curvas en general. Adolece, sin embargo, de un problema: la exactitud de los resultados
depende de la precisión en el dibujo. Afortunadamente, existen como alternativa los
métodos analíticos. La intersección de rectas analíticamente se puede trabajar desde la
resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (o variables en
nuestro caso). Analizaremos dos formas posibles de proceder, aunque existen algunas
otras.
[58]
Determinación de la intersección de las rectas 4x + y – 5 = 0 y x + y -2 = 0
Se traduce algebraicamente a la
resolución del sistema de dos ecuaciones
lineales con dos variables.
4x + y -5 = 0
x+y–2=0
Proceso: Eliminación por situación
Se despejara y en la primera ecuación
Despeja en cualquier de las dos
ecuaciones una de las incógnitas.
y = 5 – 4x
x+y–2=0
Sustituye el despeje (segundo miembro)
por la misma incógnita en la ecuación que
no has utilizado. Ahora la ecuación
resultante solo posee una incógnita. Se ha
eliminado la que despejaste al inicio.
Sustituimos en lugar de y, en la segunda
ecuación, 5 -4x, que es su equivalente:
Resuelve la ecuación que posee una
incógnita.
Resolvemos la segunda ecuación y
encontramos el valor de x:
y = 5 – 4x
x + (5 – 4x) -2 = 0
y = 5 – 4x
x + (5 – 4x) -2 = 0
-3x + 3 = 0
x=1
Una vez que determinaste el valor de una
de las incognitos, la sustituyes en el
despeje inicial para encontrar el valor de la
otra incognita.
Sustitutos el valor de x en el despeje de y en la
primera ecuación:
y = 5 – 4(1)
y=1
El punto de intersección de las dos rectas es
(1,1).
También se puede emplear la regla de Cramer.
[59]
Determinación de la intersección de las rectas 4x + y – 5 = 0 y x + y -2 = 0
Proceso: Regla de Cramer (determinantes)
Sistema de ecuaciones:
Resolver el sistema y hallar el punto de
intersección de las rectas:
4x + y -5 = 0
x+y–2=0
A1x +B1y + C1 = 0
A2x +B2y + C2 = 0
La regla de Cramer establece que:
x=
∆F
∆
y=
Construimos los arreglos numéricos y
calculamos sus determinantes:
∆E
∆
∆=b
Siendo:
∆=b
∆x= b
1 1
b , ∆G 0
2 2
c1 1
b,∆
c2 2
41
b
11
51
45
b 3 ∆
b
b
21
12
∆F 1
∆E 1
∆x= b
b
1
2
c1
b
c2
x=
3
∆
= 1 =1, y =
∆
= 1 =1
3
La intersección es (1,1).
Grafica cada recta según las condiciones que se proporcionan y determina sus
punto de intersección de la grafica.
1. La recta que pasa por (-1, 5), pendiente
-2/3 y la recta 4x + y- 11 = 0
2. x + y -3 = 0, 2x + y -6 = 0
[60]
3. y = 2x + 5, y = -3x
Determina el punto de intersección de cada pareja de rectas empleando el método
analítico de tu preferencia (en el texto te mostramos dos de ellos, pero puedes
emplear cualquier otro que conozcas).
4. x – y + 2 = 0, 2x -5y + 1 = 0
5. 3x –y + 19 = 0, x + y -3 = 0
[61]
6. y – 2 = 0, 2x –y -5 = 0
4.5 Forma normal
El empleo que se le da a la forma normal es básicamente la determinación de la
distancia entre dos rectas paralelas y la distancia de una recta a un punto.
Forma normal de la ecuación de la recta
p es el radiovector: representa
La distancia (más corta de la
recta al origen. Por ello es perdicular a la recta.
Escribaaquílaecuación.
l Es el ángulo que hace el
radiovector p con el eje X.
0° 9 l : 360°
x cos m
senm
n
0
=eselangulodeinclinaciondelarecta
Por ejemplo :
Si p = 2, y m
Cos 30° =
P
l
La forma normal emplea el angulo l del radiovector p y la longitud de
este como las constantes de identificación de una recta.
La representación normal de una recta es útil porque hace visible en la
ecuación la distancia de la recta al origen en el valor p.
[62]
√3
x
2
30°
√1
sen 30° =
1
y
2
2
,
0
Esta es la ecuación de la
recta en su forma normal.
Su distancia al origen es 2
La forma normal de la ecuación de la recta se obtiene también desde la forma general.
El proceso es relativamente simple. Observa.
De la forma general a la normal
Y
Forma normal
x cos m
Z
Forma general
Ax + By + C = 0
P
l
ps0
0 9 m : 360°
X
De la forma general
a la normal
sen m
q Zr [²
[
senω
x+
q Zr '[²
Por ejemplo,
Para la recta 3x – 4y + 2 = 0
sen m
-p =
1
cos m
? 1rv ?A ²
? 1rv ?A ²
=
y+
\
q Zr [²
Z
-p
q Zrv [²
\
q Zr '[²
=0
\
q Zr '[²
sea negativo
1
? 1rv ?A ²
?A
0
q Zr [²
Elegir el ± de manera que
cos m
[
p
&
A
Forma
normal
&
Distancia
x
&
Al origen
&
A
&
p
y
&
&
Precisiones sobre el signo ±
En ocasiones se presentaran rectas en cuyas ecuaciones algunos de sus términos no
aparecen. Esto se debe a que sus constantes pudieran tomar el valor cero
(simultáneamente A y B no pueden ser cero). Para estos casos se siguen las siguientes
reglas:
1. Si aparece C(CG 0) entonces el signo en ± √A
cociente
\
q Zr '[²
B² es opuesto al de C, para que el
( = - p) sea negativo.
2. Si no aparece C (C = 0) y aparece B (BG 0), entonces el signo en ± √A
mismo que el de B.
3. Si no aparece C (C = 0) ni B (B = 0), entonces el signo en ± √A
mismo que el de A.
[63]
B² es el
B² es el
0
Distancia entre una recta y un punto
La obtención de la distancia de una recta a un punto resulta ser una consecuencia de
proceso de la determinación de la distancia entre rectas paralelas, para ello basta
reflexionar un poco sobre lo siguiente.
Si tienes un punto y una pendiente puedes siempre determinar la ecuación de la
recta; si tienes dos rectas paralelas (la pendiente de rectas paralelas es la misma),
entonces procedes como en la actividad previa para calcular la distancia entre ellas.
. La recta L es conocida, entonces
puedes determinar su pendiente.
L1
Y
L
P (x0 , y0)
X
d=?
El punto P es conocido,
entonces puedes construir la
recta L1 con este punto y la
pendiente de L.
Conocidas las ecuaciones de
las dos rectas, determinas la
distancia entre ellas, la recta L y
el punto P.
El problema de la distancia entre una recta y un punto es de gran utilidad en la
geometría, sobre todo cuando se desea manejar el concepto de bisectriz (línea que divide
a un ángulo en dos partes iguales), por ello se ha desarrollado una relación que permite
hacer el cálculo sin necesidad de seguir el proceso descrito anteriormente.
[64]
Distancia de una recta a un punto
Y
d negativa
K
P (x0 , y0)
X
ZF@[E@'\
d
q Zr '[²
PY
El Origen y P están del
mismo lado en relación
con la recta.
X
d=?
d positiva
El signo ± se elige de forma que
\
q Zr '[²
El origen y P están en
lados alternos en relación con la recta.
Y
se negativo.
d
X
P
Por ejemplo:
Si 5x + 12y -1 = 0 y P (-1,3)
d=
& ?, ', 1 ?,
' &r ', ²
1@
,1
El valor positivo indica que el punto
P y el origen aparecen en lados
opuestos en la relación con la recta.
Y
3
1
Generalizaciones
La relación que hemos dado nos permite obtener un signo para la distancia,
el cual nos indica la posición del punto y el origen respecto de la recta. Si
esta información no es relevante, cancelaremos el signo negativo para la
distancia y trabajaremos sólo con valores absolutos.
4.6 Sobre las diferentes formas de la ecuación de la recta
Para finalizar este apartado te proponemos un análisis de la razón de las
diferentes formas en que se representa la recta. Cada una de ellas, como te
hemos comentado en diferentes oportunidades, tiene una razón específica.
Una vista global de todas ellas te puede dar el camino o la pauta para saber
por dónde debes ir en el planteamiento o la comprensión de los problemas
que involucren a esta curva.
[65]
X
Formas
Relevancia
General :
Es la forma habitual de representar la
ecuación. La razón es reconocerla en el
ámbito del algebra como una forma específica
de esta disciplina: una ecuación lineal con
dos variables.
Ax + By + C = 0
Dos puntos:
E ?E,
y – y1 =
Es una forma operativa; nos permite
determinar la ecuación de la recta cuando
conocemos dos de sus puntos.
(x – x1)
F ?F,
Punto pendiente:
Es una forma operativa; nos permite
determinar la ecuación de la recta cuando
conocemos uno de sus puntos y su pendiente.
y – y1 = m (x – x1)
Pendiente y ordenada al origen:
y = mx + b
Simétrica:
F
^
E
]
=1
Normal:
x cos m + y sen m
n
0
En ocasiones se prefiere el empleo
visual de la transformación a esta
desde la forma general:
ZF
q Zrv [²
+
[E
q Zrv [²
+
\
q Zr '[²
Cuando despejas la variable y, queda a la
vista el valor de la pendiente como el
coeficiente de la variable x, y la ordenada en el
origen como el termino independiente, por ello
su utilidad. Esta forma también es conocida
como «pendiente intersección»
Observando la forma te percatas que la
intersección con el eje X es el punto (a, 0) y a
esta a la vista como denominador de x. Ocurre
algo semejante con el segundo cociente; b es
el denominador de y y se asocia a la
intersección de la recta con el eje Y. Así, la
forma simétrica es una manera de determinar
la ordenada en el origen b, y la abscisa en el
origen a, desde la ecuación.
Con esta forma es posible conocer desde la
ecuación la distancia de la recta al origen (el
valor de p), a partir de lo cual se calcula de
manera simple la distancia entre rectas
paralelas y la distancia de la recta a un punto.
Esta es la esencia de su función.
=0
[66]
Escribe la ecuación de la recta en la forma normal (en el apéndice, al final del
texto, encontraras los valores exactos de diferentes ángulos para sus relaciones
trigonométricas).
1.
p = 2, m = 45°
2. p = 0, m = 135°
Solución:
Del apéndice A: cos 45° = sen 45° =
√
Forma normal: x cos m + y sen m – p = 0
√
3.
P=
5. P =
1
&
x+
√
y–2=0
,m = 270°
4. p = 0, m = 60°
,m = 150°
[67]
Escribe la forma de la ecuación de la recta que cumple con las condiciones
proporcionadas.
6. Recta paralela al eje X con ordenada
7. Recta paralela al eje Y con abscisa al
origen 2.
al origen 5.
8. Recta que pasa por el origen con
inclinación de 60°.
Escribe la forma normal de las siguientes rectas y determina su distancia al
origen.
10. 8x + 15y + 3 = 0
9. 3x – 4y + 2 = 0
Solución:
1F?AE'
=0
A
3
x+ y
5
&
2
=0
5
q 1rv ?A ²
forma normal
La distancia de la recta al origen es
&
[68]
11. 6x -8y -3 = 0
12. 20x -21y = 0
Determina la distancia (sin signo) de la recta al punto en los siguientes casos.
14. 15x – 8y + 3 = 0, (3, 7)
13. 4x -3y + 5 = 0, (-2, 5)
d=
A ?
?1 & '&
q A r ' ?1 ²
=
A ?
?1 & '&
?&
18
5
Si solo se desea la distancia se
elimina el signo negativo cuando
aparezca
15. 7x + 24y + 2 = 0, (6, - 1)
16. 12x -5y = 0, (1, 0)
[69]
BLOQUE 5
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
•
•
Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a
un cono mediante un plano.
Reconocer a la circunferencia como lugar geométrico.
Identificar los elementos asociados a la circunferencia.
Comprender la existencia de una circunferencia
especifica conocidos su centro y radio.
Identificar el radio y centro de una circunferencia con
centro en el origen a partir de su ecuación.
Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes
a un cono.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno.
Determinar los elementos mínimos para trazar una
circunferencia.
Integrar los elementos necesarios para el trazado de una
circunferencia en la escritura de sus ecuación, en el caso,
de centro en el origen.
Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su
ecuación.
Resolver problemas que implican la determinación o el
análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el
origen.
Reflexionar sobre las características de la circunferencia
como lugar geométrico, mediante el cual se pueden
modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos
contextos.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Participar activamente en la realización de ejercicios como
en la resolución de problemas.
Aportar puntos de vista personales con apertura y considera
los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[70]
Unidad de Competencia del Bloque 5
[71]
La geometría
El álgebra
Construyen en
conjunto a la
Circunferencia
Su representación
analítica
Su representación
geométrica
Lugar geométrico
Ecuación
Con
Centro en el origen
Aplicadas combinadamente en
Situaciones en
contexto
[72]
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 5:
5.1 Curvas en el cono
Las curvas cónicas han sido tema de interés del hombre desde hace mas de dos
milenios. Existen reportes sobre el trabajo de Menecmo (350 a. C.) como un estudioso
de las cónicas, aunque el merito de iniciador de esta disciplina matemática se le otorga
a Apolonio de Perga (262-190 a. C.).
Pasaron alrededor de 1800 años para que el estudio sobre las cónicas se
reanudara; esta vez por René Descartes (1596-1650). Bajo el enfoque de la geometría
analítica creado por el, las cónicas parecen desenvolverse en su medio natural. En la
época de Descartes se da en el mundo una verdadera «explosión» de conocimiento, y
la matemática es impulsada por esto. Es en el mismo siglo cuando Galileo, Kepler y
Newton hacen sus aportaciones científicas, algunas de ellas relacionadas con este
campo de conocimiento matemático.
[73]
Las cónicas son curvas que aparecen
en el corte o intersección del cono con
un plano.
Parábola
Corte oblicuo a la base del cono
sin ir más allá del eje de simetría
del mismo. Es útil en la
descripción del movimiento de
los proyectiles.
Hipérbola
Corte perpendicular a la base
del cono. Es útil para describir
el movimiento de cometas u
otros cuerpos que, por su gran
velocidad se acercan al Sol
escapando después del
sistema solar.
Las cónicas son
especialmente útiles
en la modelización
del movimiento de
los cuerpos
Cualquier curva cónica se
asocia en Geometria analítica
con la ecuación general de
segundo grado;
Elipse
Corte oblicuo a la base del cono procurando
una curva cerrada. Todos los planetas
describen orbitas elípticas.
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey +F = 0
Circunferencia
Corte paralelo a la base del cono la rueda
y todas sus derivaciones se modelan con
esta curva
Las curvas cónicas nacen en el contexto del cono. Sin embargo, bajo la
geometría analítica escapan de él para convertirse por derecho propio en
«protagonistas principales». Así, las figuras se convierten en representaciones
geométricas que nos permiten visualizar comportamientos de fenómenos o
eventos en los que observaremos regularidades asociadas a ellas. Nuestro
curso, a partir de aquí, hará un análisis individual de cada curva, sus
propiedades geométricas y analíticas, explorando en cada caso los contextos
en que cada una de ellas aparece.
[74]
5.2 La circunferencia como lugar geométrico
La circunferencia se define en la geometría analítica por sus características.
Primero, estableces sobre el plano cartesiano un punto y defines una distancia.
A partir de ahí, buscas todos aquellos puntos en el plano que se encuentren a la
distancia definida inicialmente desde el punto que tomaste.
Es el lugar geométrico de
los puntos del plano
equidistantes a un punto fijo
llamado centro.
El radio es la distancia entre
el centro y cualquier punto
de la circunferencia .
5.3 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
Generalizaciones
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
x² + y² = r²
Por ejemplo:
Si r = 2/3
2
3
x² + y² = w x ²
[75]
También la puedes presentar como entera para evitar
las fracciones:
4
9
9x² + 9y² = 4
5.4 Relación entre las condiciones geométricas y analíticas para la determinación
de la circunferencia
Cada dato o información requerida analíticamente es una condición de la
circunferencia, es decir, aquella que la hace específica, distinta de cualquier otra. Existe
en esto un paralelismo entre las condiciones analíticas y las geométricas. Ciertamente,
para ambas requieres conocer el radio. En ocasiones tal información se proporciona de
manera indirecta; por ejemplo, con un punto de la circunferencia o con una recta
tangente a ella puedes conocerlo.
Cuando requieres determinar una información empleando procesos indirectos de la
geometría analítica, conocer el número de condiciones necesarias implícitas te ayudará
a que el planteamiento de tu problema sea eficiente.
Escribe la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias.
1. Centro el origen y radio 3.
2. Centro en el origen y radio 6.
3.
4.
1
Centro en el origen y radio 2.
3
Centro en el origen y radio 4.
Determina centro, radio, longitud de la circunferencia y área del circulo delimitado
por las circunferencias siguientes.
5. x² + y² = 16
6. x² + y² = 1
[76]
7. 49x² + 49y² = 4
8. 4x² + 4y² = 25
9. 2x² + 2y² = 25
Determina la ecuación de las circunferencias sujetas a las condiciones
especificadas. Analiza los ejercicios resueltos.
10. Centro en el origen y uno de sus puntos es (3, 4).
Solución:
Como la ecuación de la circunferencia
x² + y² = r² Ecuación buscada:
se verifica para todo punto de ella,
► (3)² + (4)² = r² ► x² + y² = 25
satisface en particular al punto P(3, 4).
25 = r²
El radio puede encontrarse también mediante la fórmula de distancia entre dos puntos.
11. Centro en el origen y uno de sus puntos es (15, 8)
[77]
12. Centro en el origen y uno de sus puntos es (-12, 5).
13. Centro en el origen y uno de sus puntos es (7, -3).
Resuelve cada uno de los problemas siguientes.
14. La rueda de un auto, al dar una vuelta completa, deja una marca sobre el piso de
longitud 66πcm Determina la ecuación de su circunferencia considerando el
centro en el origen.
[78]
BLOQUE 6
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
Reconocer la ecuación de la circunferencia con centro
fuera del origen a partir de la medida de su radio y las
coordenadas de su centro.
Identificar el radio y las coordenadas del centro de una
circunferencia con centro fuera del origen a partir de su
ecuación.
Reconocer la influencia de los parámetros h, k y r de la
ecuación de la circunferencia en el comportamiento
grafico de la misma.
Reconocer la forma general de la ecuación de la
circunferencia.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
•
•
Determinar la ecuación ordinaria de una circunferencia a
partir de las coordenadas de su centro y la medida de su
radio.
Obtener los elementos de una circunferencia con centro
fuera del origen a partir de su ecuación.
Explicar la influencia de los parámetros h,k y r de la
ecuación de la circunferencia en el comportamiento grafico
de la misma.
Relacionar las formas ordinaria y general de la
circunferencia.
Comprender las posibilidades analíticas y geométricas
para determinar una circunferencia conocidos tres de sus
puntos.
Desarrollar la ecuación general de la circunferencia a partir
de la forma ordinaria de la misma.
Transitar entre las formas ordinarias y general de la
circunferencia dependiendo de la situación.
Aplicar las formas de la ecuación de la circunferencia como
un modelo simbólico en la realización de ejercicios y
resolución de problemas.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Participar activamente en la realización de ejercicios como
en la resolución de problemas en los que se pone en juego
el uso circunferencias.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[79]
Unidad de Competencia del Bloque 6
[80]
Circunferencia
Sus tipos de
Ecuaciones
La forma
La forma
Y su relación
Canoníca
General
Relacionada con el
Relacionada con la
Geometría
Sus elementos
el
Algebra
Determinando las
Condiciones
Visualizando el
Las constantes en el
Centro
Geométricas
el
Radio
Asociando los conceptos y propiedades en las
Aplicaciones
[81]
Modelo
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 6:
6.1 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Cada vez que se puede manejamos la circunferencia en el origen, ya que la forma de
su ecuación es más simple. Sin embargo, se presentarán situaciones en las que esto
no es posible. Por ejemplo, si consideramos analizar las circunferencias representadas
por las ruedas, y las diferentes estrellas en una bicicleta, seguramente una de ellas
podría colocarse con centro en el origen, pero no las restantes. Las diferentes
perspectivas de un movimiento circular también pueden incitamos a considerar el
análisis de la circunferencia con centro fuera del origen de coordenadas.
Generalizaciones
La ecuación de la circunferencia es su representación analítica; con ésta podemos
generar parejas de coordenadas con la seguridad de que cada una de ellas sea un
punto de la circunferencia. Ciertamente la ecuación se genera de las condiciones
geométricas propuestas. Observa:
[82]
Ecuación de la circunferencia:
Y
P (x, y)
y
Significados
r
Coordenadas
del centro
C (h, k)
C
k
Cualquier punto de
la circunferencia
|{
h
P (x, y)
|}
||
x
~|
X
Forma canoníca de la
ecuación de la circunferencia
(x – h )² + (y – k)² = r²
Aplicando el Teorema de
Pitágoras, sobre el
triangulo generado con las
diferencias de
coordenadas y el radio,
construyes la ecuación de
la circunferencia
La forma canoníca de la ecuación de la circunferencia permite determinar a esta cuando se
conocen las coordenadas del centro C(h, k) y el valor del radio r.
Por ejemplo:
C(3, -2) y r = 4
x-3 ²+
(x – 3)² + (y + 2)² -16
x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 -16 = 0
2 ²
4²
Esta es la ecuación, pero…
x² + y² - 6x + 4y -3 = 0
Aun mejor si desarrollas los
Binomios al cuadrado y
Esta es una presentacion
ordenas los terminos
diferente de la ecuacion de
la ecuacion de la circunferencia
Geométricamente una circunferencia no modifica su tamaño si es analizada desde un
punto de referencia u otros (diferentes sistemas coordenados). La ecuación, sin
embargo, está ligada al sistema desde donde se efectúa el análisis. Observa:
Y
Y
N
(x – h)² + (y – k)² = 36
x² + y² = 36
N
O
C
k
X
h
M
Trayectoria de un niño en el
carrusel vista por el operador
situado en el centro.
Trayectoria de un niño en el
carrusel vista por la madre
situada en algún punto M.
[83]
El mismo evento es
analizado desde
perspectivas distintas por
lo que el resultado se
traduce en ecuaciones
diferentes, sin embargo, el
elemento geométrico
X implícito no se modifica. El
radio posee el mismo valor
independientemente de la
perspectiva
El caso que hemos ilustrado se aplica de manera semejante en otros
ámbitos; por ejemplo, se puede situar un sistema coordenado con origen en el
Sol y a partir de él, describir las órbitas aproximadamente circulares de la
Tierra y de la Luna.
Relaciona las curvas del esquema con las ecuaciones.
1.
9
(x + 1)² + (y + 3)² = 4
Y
(
2
)
1
2. (x -3)² + (y -3)² = 4
(
)
3
1
3. 4x² + 4y² = 25
(
)
X
1
4
6
5
Y
Escribe las ecuaciones de las curvas del
esquema
4.
6
7
1
5.
1
9
8
10
6.2 Forma general de la ecuación de la circunferencia
Cuando desarrollaste, en la sección de ejercicios previa, la forma canónica de la
ecuación de la circunferencia, notaste en los resultados ciertas características en todos
los casos. Una de ellas es la aparición de los términos x² y y2; otra es que sus
coeficientes siempre eran los mismos.
[84]
X
Estas similitudes en las ecuaciones nos permiten proponer una forma algebraica común
a todas las circunferencias, llamada ecuación general:
Ax2 + Cy2 Dx + Ey + F = O, (A = C ≠ O) Forma general de la ecuación de la circunferencia
Las literales A, C, D, E y F son las constantes o coeficientes de la ecuación y
distinguen una circunferencia de otra. La forma general acerca a las circunferencias al
álgebra al presentarlas como un modelo identificable en esta rama de las matemáticas,
una ecuación cuadrática o de segundo grado con dos variables, aunque ciertamente
falta el término producto xy (también de segundo grado), con la condición de que, para la
circunferencia, los coeficientes A y C sean siempre iguales.
Cuando se desea graficar una circunferencia y se nos presenta en su forma general
es necesario transformarla a la forma canónica, ya que en ella las constantes
geométricas C(h, k) y r son visibles. Esto requiere conocer el proceso de completar el
trinomio cuadrado perfecto o, simplemente, completar cuadrados.
Cuadrado de un binomio y trinomio cuadrado perfecto
Esto representa el
cuadrado de un binomio
Al desarrollar o expandirlo
obtenemos un trinomio
cuadrado perfecto.
( a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Si conoces una de las expresiones podras construir la otra, según el caso,
desarrollando el cuadrado del binomio o factorizando el trinomio cuadrado perfecto.
Por ejemplo:
Expandir (2x -3)²
(2x -3)² = (2x)² - 2(2x)(3) + 3²
= 4x² - 12x + 9
Trinomio cuadrado perfecto
Factorizar 4x² - 12x + 9
2 √9
√4
3
2 (2x) (3) = 12x
4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²
[85]
Si compruebas que el
doble del producto de las
raíces de los extremos
coincide con el término
central del trinomio,
entonces este es un
trinomio cuadrado perfecto.
El trinomio cuadrado
perfecto se factoriza como
un binomio al cuadrado.
Ejemplo:
Completar el trinomio cuadrado
perfecto
de x² - 6x + 13
x² - 6x + 13
= (x² - 6x
) + 13
=• ²
6
w x ²
6
2
w x ²€
=• ²
6
w x ²€
6
2
13
=
²
Agrupa los dos términos que poseen a la variable
o literal
6
9
6
2
13
Toma el coeficiente del segundo término, divídelo
entre dos, y eleva el resultado al cuadrado. Esta
cantidad súmala y réstala dentro de la agrupación
que hiciste previamente.
La operación anterior te conduce a la
construcción de un trinomio cuadrado perfecto
con los primeros tres términos en los corchetes; el
ultimo sobra en la agrupación, por ello lo envías
fuera de los corchetes.
Simplifica las expresiones realizando las
operaciones pertinentes.
13
6
2
w x ²
9
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto dentro de
los corchetes.
= (x² - 3)² + 4
Transformación de la forma general a la canoníca
Ejemplo:
¿Cuál es el centro y radio de 4x² + 4y² - 4x – 16y – 19 = 0?
x² + y² - x – 4y =
,•
Simplificas si divides entre el coeficiente de los terminos
A
(x² - x
) + (y² - 4y
B ²
4
B ²
1
4C
B
1
1
2C ²
14C
)=
cuadrados.
Agrupas por separado las variables.
A
4
4
2
,•
4 =
9
4
4 =
,•
1
4
A
,•
Completas el trinomio cuadrado perfecto
A
4
en cada caso.
Los terminos no requeridos para
complementar el trinomio cuadrado
perfecto (en rojo), los desplazas del
agrupamiento colocandolos en el
segundo miembro.
Factoriza cada grupo.
Solución:
C (h, k) = C B
r =3
[86]
1
, 2C
2
Generalizaciones
El proceso de transformación de la forma general a la canónica puede
realizarse de manera diferente de acuerdo con las preferencias de cada quien.
Se trata de variantes que hemos ilustrado. Otra forma de proceder es mediante
la construcción de fórmulas que nos permitan determinar directamente desde
los coeficientes: A, C, D, E y F las constantes geométricas de la circunferencia
h, k y r, para ello se aplica el proceso descrito a la forma general, o bien,
visualizarlos en la transformación de la forma canónica a la general.
Determinación de las coordenadas del centro y el radio desde la forma general
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Forma general
Formas canonícas:
(x – h)² + (y – k)² = r²
‚
ƒ
A = C = 4, D = - 4, E = - 16, F = -19
-
[87]
k=
2A
A
A
5
,
?A
?,„
D
3²'6²?A5…
-
Ejemplo:
Para 4x² + 4y² - 4x - 16y – 19 = 0
2A
C (h, k)
(A = C G 0
D
h=
2
B
?A r ' ,„ ²?A A ?,•
A
1
2
C²
3
2
9
Para cada uno de los siguientes casos determina la forma general de la ecuación
de la circunferencia.
1. C (4, 5), r = 5
2. C (3, -1), r = 7
3. C (4, -2), r = 8
4. C(3, -1), r = 1
Determina la forma canoníca de la ecuación de las siguientes circunferencias
empleando el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.
5.
x² + y² -8x + 10y + 32 = 0
6. x² + y² + 6x + 2y + 9 = 0
[88]
7. x² + y² -24x + 4y -63 = 0
8. x² + y² + 6x -10y + 25 = 0
9. x² + y² -4x + 2y -4 = 0
6.3 Condiciones para la determinación de la circunferencia
Las condiciones, en el contexto de matemáticas, se refieren a la información que
se debe proporcionar para identificar una única curva. En el caso de la recta se
requieren dos condiciones que se traducen casi siempre a dos puntos de ella, o
un punto y su pendiente. Para el caso de la circunferencia no es difícil percatarse
del número de éstas.
[89]
Y
Y
(x – 5)² + (y – 4)² = 2²
2
2
4
(8, 6)
4
X
X
5
5
¿Qué es lo que conoces de esta
circunferencia?
¿Qué es lo que conoces de esta
circunferencia?
¿Se puede trazar otra circunferencia
diferente que posea las mismas
condiciones?
¿Se puede trazar otra circunferencia
diferente que posea las mismas
condiciones?
¿Cuántas condiciones hay?
¿Cuántas condiciones hay?
Y
Y
(4, 7)
(8, 6)
(4, 5)
(8, 6)
(8, 4)
X
X
¿Qué es lo que conoces de a
circunferencia azul?
¿Qué es lo que conoces de esta
circunferencia?
¿Se puede trazar otra circunferencia
diferente que posea las mismas
condiciones?
¿Se puede trazar otra circunferencia
diferente que posea las mismas
condiciones?
¿Cuántas condiciones hay?
¿Cuántas condiciones hay?
[90]
Probablemente el caso más visible de los analizados es el primero. Una
circunferencia queda completamente determinada si se conocen las coordenadas de su
centro y de su radio. Aparecen en esta situación básicamente tres condiciones
traducidas en las constantes geométricas: h, k y r.
En el segundo caso sucede algo similar, se proporcionan dos condiciones al
considerar h y k, y la tercera se corresponde con un punto, a partir del cual será posible
determinar el radio. Nuevamente tres condiciones.
Los dos últimos casos deben de analizarse en conjunto. En el penúltimo
claramente queda a la vista la falta de condiciones. Por dos puntos aparece trazada no
una, sino tres circunferencias y es visible que se pueden colocar mas. Por ello dos
condiciones no son suficientes. Más adelante manejaremos el último caso y
comprobaremos que realmente una circunferencia queda determinada por tres de sus
puntos.
Independencia de las condiciones
Y
Las condiciones deben ser independientes
entre si; por ejemplo, para el caso del
diagrama, afirmar que la circuferencia tiene
radio 5, o que pasa por P(-3, 5) son
condiciones dependientes. Si tomas el radio
puedes determinar la ecuacion y con ella el
punto. Tambien con el punto determinas el
radio y despues la ecuacion.
P (-3, 5)
r=5
1
1
X
Existen muchas otras maneras de expresar las condiciones para la determinación o
trazado de una circunferencia: tangentes, intersecciones, puntos y combinaciones de
ellos. Algunos casos ya han sido analizados en las secciones previas.
[91]
Circunferencia que pasa por tres puntos
En el esquema se observa un análisis geométrico de este caso:
Por tres puntos no
colineales pasa una
única circunferencia
Si conoces tres puntos
construyes un triangulo.
Determinas la mediatriz
de por lo menos dos de
los lados del triangulo
Su intersección te proporciona
el centro de la circunferencia
(circucentro)
Este análisis justifica geométricamente la existencia de una circunferencia única que
pasa por tres puntos. En realidad, el resultado se esperaba, pues cada punto representa
una condición y para el caso de la circunferencia se requieren tres.
El proceso para determinar la ecuación de la circunferencia desde tres de sus
puntos es una adecuación de la idea geométrica manejada en el esquema anterior y
llevada al campo de la geometría analítica. Observa:
[92]
Circunferencia que pasa por tres puntos. Análisis desde la geometría analítica
AB: m
= 2, P medio (5, 4)
AC: m
= -1, P medio B
AB
‡ ‰
, C
AC
ˆ ˆ
Š
1 Se calculan los puntos medios y la
M1: m
=
M1
pendiente de por lo menos dos de las
ˆ
rectas
que
contienen
a
los
lados
del
5 Con el centro que
M3: m
=-1
triangulo; sus vértices son cuerdas de
determinaste y cualquiera
M3
la circunferencia buscada.
2 Con la pendiente de cada lado del
de los puntos iniciales,
encuentras la magnitud del
B (8, 8) triangulo construyes la pendiente de
la mediatriz asociada; son reciprocas
radio. Emplea estos
M2
y de signo opuesto, pues existe
valores para escribir la
perpendicularidad entre los
ecuación de la
C (-1, 5)
segmentos y rectas involucrados (M1
circunferencia .
con AB, y así para el resto.
C
r=5
Ecuación de la
circunferencia:
(x- 4)² +(y – 5)² - 25
Forma canónica
X² + y² -8x -10y + 16 =0
Forma general
M1
M3
3 Construyes las ecuaciones de por lo
menos dos de las rectas mediatrices
empleando la forma de la ecuación de
la recta punto pendiente.
A (4, 0)
4 Resuelve el sistema de ecuaciones lineales M1: x + 2y – 14 = 0
generando con las dos mediatrices. Tal punto
M3: x – y + 1= 0
es el centro de la circunferencia buscada.
x + 2y - 14 = 0
Solución
x–y+1=0
C (4, 5)
Existen métodos alternos para la determinación de la circunferencia desde tres
de sus puntos. Ilustramos el anterior análisis por el empleo de las propiedades de la
geometría euclidiana. Más adelante manejaremos otros procesos que también
resuelven este problema.
[93]
Resuelve los siguientes problemas.
1. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (1,3) y pasa por el punto
(3,8)?
2. Dos circunferencias son concéntricas, con centro en (-1, 5), la externa pasa por el
punto (-8, -6) y la interna tiene un radio menor que la otra en 2 unidades. ¿Cuál es la
ecuación de cada una de ellas?
3. Una circunferencia de radio 6 es tangente a los dos ejes coordenados en el primer
cuadrante. ¿Cuál es su ecuación?
[94]
Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos
dados.
4.
A (4, 2), B(2, 6), C(-4, -2).
Solución. Puedes seguir el método propuesto anteriormente o bien uno más algebraico
como el que seguimos a continuación. La forma general de la ecuación puede escribirse
también como x² + y² + ax + by + c = 0 (al dividir la forma clásica Ax² + Cy² + Dx + Ey +
F = 0 entre A; de esta forma, los coeficientes de los términos de segundo grado se
convierte en 1). Se sustituye cada punto en la forma anterior y se forma un sistema de
tres ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son: a, b y c.
(4, 2), 4² + 2² + a(4) + b(2) + c = 0
(2, 6): 2² + 6² + a(2) + b(6) + c = 0
(-4, -2): (-4)² + (-2)² + a(-4) + b (-2) + c = 0
4a + 2b + c = -20
► 2a + 6b + c = -40
-4a -2b + c = -20
Se resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Emplearemos en esta
ocasión la regla de Cramer (determinantes):
4 2 1
-20 2 1
∆ 261 40∆! -4061 80
-4-21-20-21
4 -20 1
4 2 -20
∆" 2-401 -160∆# 26-40 -800
-4-201-4-2-20
!
"
#
‹@
A@
?,„@
A@
?‹@@
A@
2
4
20
La ecuación de la circunferencia es x² + y² + 2x -4y -20 = 0; puede también presentarse
en la forma canoníca siguiendo los métodos ya vistos.
[95]
5. P(7, 0), Q(4, 5), R(-3, 5).
6. A (6, 0), B(-8, 14), C(-8, -2).
[96]
7. P(14, 7), Q(7, 14), R(-11, 2).
8. Una circunferencia con centro en el origen es tangente a la recta 3x + 4y -25 = 0.
¿Cuál es su ecuación?; ¿Cuál es el punto de tangencia?
5
0
0
-5
-5
[97]
5
9. Una circunferencia con centro en (-1, 2) es tangente a la recta 5x + 12y -188 = 0.
¿Cuál es su ecuación?
10
C
0
-20
0
-10
-10
[98]
10
BLOQUE 7
ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
•
Reconocer a la parábola como lugar geométrico.
Identificar los elementos asociados a la parábola.
Comprender la existencia de una parábola especifica,
conocidos su vértice, foco y directriz.
Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y
verticales con vértice en el origen.
Identificar los elementos de una parábola con vértice en
el origen, a partir de su ecuación.
HABILIDADES
•
•
•
•
Determinar las condiciones necesarias para trazar una
parábola.
Integrar los elementos necesarios para el trazado de una
parábola en la escritura de sus ecuación con vértice en el
origen y eje focal coincidente con el eje X o Y.
Obtener los elementos de una parábola horizontal o
vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación.
Resolver problemas que implican la determinación o el
análisis de la ecuación de parábolas horizontales o
verticales con vértice en el origen
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Participar activamente en la realización de ejercicios como
en la resolución de problemas en los que se pone en juego
el uso de parábolas.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[99]
Unidad de Competencia del Bloque 7
[100]
Parábola
Su significado
Geométrico
Analítico (algebraico)
Construyendo la curva
desde sus elementos
El
La
Su
Foco
Ecuación
Asociada
Directriz
Relacionada con
su orientación
Horizontal
Al
Vértice
Al
O
Asociándolos
Vertical
Valor de p
Y al
Y al
Llevados al campo de lo
Concreto y sus
aplicaciones
[101]
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 7:
7.1 La parábola como lugar geométrico
La forma geométrica de la parábola se relaciona inicialmente con una de las curvas que
resultan del corte a un cono. Actualmente se le relaciona mas con una ecuación de
segundo grado. Sin embargo, esto es consecuencia de su definición. Analicemos en
primera instancia este punto.
En la siguiente serie de recuadros reconstruimos el proceso que seguiste en la
actividad justificando geométricamente la igualdad entre las distancias de cualquier
punto de la parábola al foco y a la directriz.
[102]
Lados iguales del
triangulo isósceles
P
Lugar geométrico de todos los
puntos del plano equidistantes
de un punto y una recta.
Mediatriz
Directriz
Directriz
Parábola:
Foco
Los puntos de la parábola son los que
están equidistantes al foco y la directriz.
El punto P cumple con esta condición,
por ello pertenece a la parábola
Foco
Una parábola se construye a
partir de una recta (llamada
directriz) y un punto (llamado
foco).
Directriz
Mediatriz
P
Esta intersección es un
4 punto P de la parábola.
3 Trazas la mediatriz.
Directriz
Trazas una perpendicular a
1 la directriz.
2 Trazas el segmento para unir
Foco
el foco con la intersección D.
Tres puntos de la parábola
trazados bajo la misma idea.
La simetría de la parábola permite ahorrarnos
trabajo en el trazo. Además, observamos que
el vértice V siempre está sobre el eje de
simetría
V
Directriz
Directriz
Foco
Este proceso se repite todas las
veces que sea necesario. En
cada ocasión determinaras un
punto de la parábola
Eje de simetría
V
La parábola tiene una
infinidad de puntos. Con
algunos que tracemos,
al unirlos con una curva
suave, visualizamos su
forma.
Eje de simetría
Foco
Foco
[103]
7.2 Elementos de la parábola
¿Qué distingue geométricamente a una parábola? La respuesta está relacionada con
los elementos de la misma. Se sabe que ésta se construye desde una recta y un punto,
como los puntos equidistantes a éstos; por ello, la recta directriz y el foco constituyen
los elementos principales de una parábola. Derivado de esto surge otra
característica más que puede ser enunciada de diferentes formas.
Generalizaciones
La distancia foco-directriz es la que determina la forma de la parábola. Si
establecemos distancias iguales se obtendrán parábolas tal vez con
orientaciones distintas, pero siempre se podrán hacer coincidir sus puntos con
las debidas traslaciones y rotaciones.
Podemos también cuantificar la abertura de la parábola. Sabemos que conforme
la distancia entre el foco y la directriz aumente, la parábola se observará más
abierta, y viceversa. En realidad, la cuantificación de la abertura de la parábola
no emplea precisamente la distancia foco-directriz, pero sí una cantidad
derivada de ésta. Se trata de la distancia foco-vértice.
Elementos de la parábola
p = |VF|
D
A
P P
V F
2p
2p
B
Lado recto
Una parábola se
determina
mediante su foco
y su directriz. De
la distancia entre
ellos dependerá
su forma.
Resulta útil considerar la
distancia entre el foco y el
vértice como la manera de
conocer la forma de la
parábola. Esta distancia se
representa por p, y es la
mitad de la distancia entre
el foco y la directriz.
Lado recto = |AB|
La longitud del lado recto es otra manera de conocer la forma de la parábola.
Se trata de la cuerda perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco. Su
longitud equivale a cuatro veces la distancia entre el foco y el vértice.
F
F
Conforme la
distancia entre el
foco y la directriz
aumente, la
parábola se verá
más abierta.
Aunque la parábola se construye desde la directriz y el foco, el empleo de p
como un elemento para cuantificar la forma de ésta es relevante cuando
trasladamos el estudio al campo analítico. En este enfoque, la parábola quedará
determinada por este valor, por las coordenadas del vértice y por la orientación
en relación con los ejes coordenados, como veremos más adelante.
[104]
7.3 Ecuación de la parábola con vértice en el origen
En los apartados anteriores hemos analizado la relación entre parábola, directriz, foco,
vértice y lado recto. Ciertamente de esto poco puede ayudarte o relacionarse con lo que
vives o estudias. A continuación cambiaremos nuestro planteamiento analizando
situaciones que te son familiares y de cómo en ellas aparecen implícitas las formas
parabólicas.
Las ecuaciones y = x2 o x = y2 poseen dos variables, y el grado máximo que
observamos es dos, por lo que caen dentro de la categoría de las ecuaciones de
segundo grado con dos variables. La forma con la que podemos asegurar que
tales ecuaciones representan geométricamente a una parábola es analizar que
realmente se construyen curvas tales que sus puntos equidisten de un punto fijo
(foco) y una recta fija (directriz). De forma gráfica has visto, por lo menos, que
cumplen con dos de las condiciones geométricas esperadas: la existencia de un
vértice y la simetría; ambas son características de la parábola, pero no sólo de
ella.
Forma de la ecuación de una parábola
|PD| = |PF|
Y
D(-p, y)
n
P(x, y)
X
F(p, 0)
n
0
x p ² x–p ² y²
4xp
y² 4px
Exponente de
segundo grado
Exponente de
primer grado
p como elemento
geométrico
Si partimos de la
condición geométrica
de la parábola, se
construye una
ecuación que posee
una variable con
exponente dos, y la
otra con exponente
uno.
En retrospectiva,
esperamos que
cualquier ecuación
que posea esta
forma gráficamente
de lugar a una
parábola.
Toma Nota:
Recuerda que cada punto P(x, y) de la parábola satisface su ecuación, que es su
equivalente analítico.
[105]
La ecuación que observas en el recuadro amarillo se ha deducido considerando
a la parábola con vértice en el origen y foco sobre el eje X, extendiéndose hacia la
derecha.
Bien se podría haber considerando una orientación diferente, por ejemplo,
abriendo hacia la izquierda, arriba o hacia abajo, todos ellos con vértice en el origen.
Podría incluso considerarse el caso de un eje de simetría inclinado en relación con los
ejes coordenados. Dejaremos este último caso fuera del análisis; sin embargo, todos
los demás se resumen en el siguiente esquema.
Parábola con vértice en el origen
Caso 1
Y
p :0
F
p Ž0
F
Y
Ecuación de la parábola
y² 4px
X
p Ž0
Ecuación de la parábola
F
X
V (0, 0) F(p,0)
x=-p
Caso 2
Ecuación de la
directriz
F p :0
LR = |4p| Longitud del
lado recto
x² 4py
V (0, 0) F(p,0)
y=-p
Ecuación de la
directriz
LR = |4p| Longitud del
lado recto
Aprende a relacionar…
El termino cuadrático con la orientación de la parábola.
La forma de la ecuación de la directriz con el término cuadrático de la parábola.
El signo de p con la forma en que la parábola se extiende.
El valor de p en la ecuación de la parábola con la directriz o coordenadas del foco.
Y en general, a visualizar los elementos analíticos en el grafico y viceversa.
Por ejemplo:
p = 1 (se observa en el foco)
Y
x² 4 1 y
x² 4y
y -1
LR 4
4
1
F
4
Ecuación de la
parábola
Ecuación de su
directriz
Longitud de su
lado recto
X
[106]
Si sustituyes el punto (4, 4) en
la ecuación de la parábola,
observaras que satisface la
igualdad con ella. En realidad
es una condición más que se
proporciona.
El proceso inverso también es
posible, es decir construir el
grafico desde elementos
conocidos de la parábola
Construye para cada uno de los siguientes casos la ecuación de la parábola con los
elementos que se proporcionan, considerando para todos ellos que el vértice es el
origen. Haz un esbozo de su gráfica (un esbozo gráfico se refiere a trazar sobre los
ejes la parábola, cuidando la orientación, colocando el foco y, como ayuda, el lado
recto para lograr mayor precisión en cuanto a la forma, en relación con la escala
que utilices).
1. F(-1 , 0)
2. Directriz: x = 2
Y
Y
X
3. LR = 32 y se extiende hacia abajo
Y
X
4. Directriz: x = - 6
X
Y
X
5. Directriz: 3x -2 = 0
Y
X
[107]
Para cada una de las siguientes ecuaciones determina los elementos de la
parábola y realiza un esbozo de su grafica.
6. y² -4x = 0
7. y² -8x = 0
Y
Y
X
8. x² -20y = 0
X
9. y² + 12x = 0
Y
X
Y
X
Resuelve los siguientes problemas.
10. Una parábola posee vértice en el origen en el origen, su eje de simetría coincide
con el eje Y y pasa por el punto (1, 3). Determina las coordenadas del foco, la
ecuación de su directriz y el lado recto.
[108]
11. Una parábola posee vértice en el origen y eje de simetría coincidente con el eje X.
pasa además por P (-2, 3). Determina las coordenadas del foco, la ecuación de su
directriz y el lado recto.
12. Una parábola tiene la misma forma que y² = 8x, aunque su eje de simetría es
coincidente con el eje Y. Su vértice también es el origen ¿Cuál es su ecuación?.
[109]
BLOQUE 8
ECUACIONES DE LA PARABOLA
CONOCIMIENTOS
•
•
•
•
•
Reconocer la ecuación ordinaria de la parábola con
vértice fuera del origen.
Identificar los elementos de una parábola con vértice
fuera del origen a partir de su ecuación ordinaria.
Reconocer la influencia de los parámetros h, k y p de la
ecuación ordinaria de la parábola en el comportamiento
grafico de la misma.
Reconocer la forma general de la ecuación de la
parábola.
Relacionar las formas ordinaria y general de la parábola.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
•
Determinar la ecuación ordinaria de parábolas horizontales
o verticales con vértice fuera del origen.
Obtener los elementos de parábolas horizontales o
verticales con vértice fuera del origen a partir de su
ecuación.
Explicar la influencia de los parámetros h, k y p de la
ecuación de la parábola en el comportamiento grafico de la
misma.
Desarrollar la ecuación general de la parábola a partir de la
forma ordinaria de la misma.
Transitar entre las formas ordinaria y general de la
parábola.
Realizar ejercicios y resolver problemas que le permitan
determinar la forma adecuada de representación de la
parábola, dependiendo de la situación.
Aplicar las formas de la ecuación de la parábola como un
modelo simbólico en la realización de ejercicios y
resolución de problemas.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Participar activamente en la realización de ejercicios como
en la realización de ejercicios como en la resolución de
problemas en los que se pone en juego el uso de parábolas.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[110]
Unidad de Competencia del Bloque 8
[111]
Parábola
con
La visualización de
su forma desde la
Vértice en (h, k)
Geometría
Algebra
y la vinculación con sus
Elementos
(vértice, foco,
lado recto y
directriz)
Sus características
analíticas vistas
desde el
En su
Y su relación con
Ecuación
Llevados a la aplicación en
La ciencia y lo
cotidiano
[112]
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 8:
8.1 Parábola con ejes paralelos a los ejes coordenados (forma ordinaria o
canoníca de la ecuación).
Generalizaciones
El análisis para la determinación de la parábola con centro fuera del origen
muestra ciertas regularidades que existen entre los puntos importantes de ésta:
el vértice y el foco. En realidad, como se había comentado desde el inicio del
bloque anterior, la parábola es una figura geométrica que puede manejarse
desde la geometría y desde la geometría analítica. Por ello las características
puramente geométricas permanecen de manera necesaria invariables: la
distancia vértice-foco, la ubicación de la directriz en relación a la curva, y
también su lado recto; la relación que guardan los puntos de la curva entre sí
tampoco deberá modificarse por una ubicación distinta en el sistema
coordenado.
De esta forma, cuando estudiamos una parábola bajo el enfoque de la
geometría analítica, los únicos cambios que observaremos para una curva
específica colocándola en una orientación y ubicación u otra será el lugar
geométrico mismo, esto es, la parábola vista como el conjunto de puntos del
plano cartesiano. Y esto está relacionado con la ecuación, su representación
analítica. Es evidente que también se modificaran las coordenadas de los
puntos importantes de la parábola: el vértice y el foco.
Partiendo de lo que hemos aprendido sobre esta cónica, y con poco de
cuidado. No resultara complicado establecer las coordenadas de estos nuevos
puntos y ecuaciones. Observa los siguientes recuadros.
[113]
Ecuación de la parábola del tipo 1:
Vértice en V (h, k) y eje de simetría paralelo a X
Cuando el vértice de la
parábola es V (h, k)…
|PD|² = |PF|²
D(h – p, y)
Las coordenadas
del punto D en la
directriz se
encuentran
corridas a la
izquierda una
distancia p del
vértice, y a la
misma altura que
el punto P de la
parábola.
Ecuación de la parábola
‚
P (x, y)
n
P
k
P
‚
F (h + p, k)
V
n
‚
ƒ ²
‚
n
‚
Las coordenadas del foco aparecen
corridas a la derecha de una
distancia p, con la misma ordenada k.
}
~
ˆ
= 4 p {
ƒ
n
‚
ƒ
n
Forma ordinaria o
canoníca de la
ecuación de la
parábola tipo 1.
Resuelve y simplifica
h-p h h+p
n
|
Ecuación de la parábola del tipo 1:
Vértice en V (h, k) y eje de simetría paralelo a Y
Ecuación de la parábola
Cuando el vértice de la
parábola es V (h, k)…
El foco posee la
misma abscisa h
que el vértice, y
aparece encima
de este una
y
distancia p, Por k + p
ello su ordenada k
es k + p.
k-p
|PD|² = |PF|²
P (x, y)
F (h, k + p)
ƒ
n
‚ +
ƒ
n
‚
‚
ƒ
n
ƒ
n
ƒ
ƒ
n
n
D(8,k– p) V (h, k)
x
Resuelve y simplifica
h
Las coordenadas del punto D en la
directriz posee la misma abscisa x
que el punto P, y esta una distancia p
debajo del vértice.
[114]
{
|
ˆ
= 4 p }
~
Forma ordinaria o
canoníca de la
ecuación de la
parábola tipo 2.
Pero aún falta por analizar el caso en que la parábola se extiende hacia la
izquierda y hacia abajo. Pospondremos esto hasta lograr la comprensión de los efectos
geométricos de los parámetros de la parábola.
8.2 Efectos gráficos de los parámetros geométricos h, k y p
Generalizaciones
La actividad anterior te hace reflexionar sobre la forma de la ecuación de la parábola
atendiendo sobre todo a la ubicación del vértice y a la visualización geométrica de la
parábola conforme sus parámetros h y k se modifican.
En relación al parámetro p se emplea el mismo criterio que para el caso de la
parábola con vértice en el origen. Inicia siendo simplemente la distancia vértice-foco o
vértice-directriz, pero al considerarle un signo, este elemento toma un significado
geométrico de mayor relevancia. Nos permite cambiar la orientación de la curva de
manera que en lugar de que se extienda hacia la derecha, lo haga hacia la izquierda, o
bien, en lugar de extenderse hacia arriba, podamos orientarla hacia abajo. Como
recordarás, para estos dos últimos casos el signo de p es negativo. El siguiente
esquema es un resumen de lo anterior.
Parábola con vértice fuera del origen
Y
Tipo 1
p :0
F
p Ž0
Ecuación de la parábola
y–k ² 4p x–h V(h, k) F(h + p,k)
F
x = h - p Ecuación de la
X
p Ž0
Y
F
F p :0
X
Ecuación de la parábola
x–h ² 4p y–k V(h, k) F(h, p + k)
y = k - p Ecuación de la
directriz
directriz
LR = |4p| Longitud del
Aprende a relacionar…
Tipo 2
lado recto
LR = |4p| Longitud del
lado recto
El termino cuadrático con la orientación de la parábola.
La forma de la ecuación de la directriz con el término cuadrático de la parábola.
El signo de p con la forma en que la parábola se extiende.
El valor de h, k y p en la ecuación de la parábola, directriz o coordenadas del foco.
Y en general, a visualizar los elementos analíticos en el grafico y viceversa.
[115]
V(-1, 6), F(-1, 5), p = -1
Por ejemplo:
Y
Por su orientación, la parábola
es del tipo 2:
‚
F
1
1
X
1
²
Otros elementos…
Ec. tipo 2
4p (y – k)
1
4
4
1
6
6
Longitud de
su lado recto
Sustitución de
parámetros
Ec. de la parábola
(forma ordinaria)
2 + 4y -23 = 0
Generalizaciones
El desarrollo de las formas ordinarias tipo 1 y 2 llevan necesariamente a una ecuación
de segundo grado con dos variables, con la particularidad de que sólo una de ellas
posee el término cuadrático.
Forma general de la ecuación de la parábola
Ec. general de segundo
Parabola
grado con dos variables
tipo 1
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey +F = 0
Cy² + Dx + Ey + F = 0
Parabola
tipo 2
(x - h)² = 4p (y – k)
y² - 2hx – h² - 4py + 4pk) = 0
Forma general Forma general
Tipo 1
Tipo 2
No aparece x²,
A = 0, B = 0
Ax² + Dx + Ey + F = 0
No aparece y²,
C = 0, B = 0
La parábola pertenece entonces a la familia de ecuaciones de segundo grado con
dos variables, aunque las formas algebraicas que resultan del desarrollo de las
ecuaciones ordinarias dan lugar a dos tipos diferentes, que se traducen en la
inexistencia simultánea de los elementos de segundo grado.
[116]
Ec. de la
directriz
Ec. de la parábola
(forma general)
y=7
8.3 Forma general de la ecuación de la parábola
(y – k)² = 4p (x – h)
y² - 4px – 2ky + (k² + 4ph) = 0
LR = 4
Así, cuando aparece y² (tipo 1), no estará en la ecuación x2, y viceversa. Por otra
parte, observa que en ningún caso de los que se estudiaron presenta al término xy (B =
O); en realidad, la aparición de este término está ligada a considerar al eje de simetría
oblicuo en relación con los ejes coordenados, situación que queda fuera de análisis en
este texto.
Por otra parte, sobre las transformaciones de la forma de la ecuación de la parábola
adelantaremos que este proceso está relacionado con la presentación de los resultados
o su uso en situaciones de contexto (forma ordinaria a la general), o bien, la
determinación de los elementos de la parábola (forma general a la ordinaria). Los
procesos de transformación guardan semejanza con lo visto en el tema de
circunferencia, por ello no haremos mas discusión al respecto, aunque, a manera de
recordatorio, los ilustraremos nuevamente en la sección afirmando conocimientos.
Toma Nota:
La ecuación de una parábola con eje de simetría oblicuo a los ejes coordenados se
distingue por poseer el termino xy (B es distinto de cero).
Determina la ecuación de la parábola en su forma general y ordinaria, según los
elementos que se proporcionaran en cada caso, y realiza el esbozo de su grafica.
Analiza el ejercicio resuelto.
1.
V B1 C, F B2 C
1
1
Solución :
h = 1, k = , h + p = 2
1
Y
Ecuación en su forma
ordinaria
(y - )² = 4 (x – 1)
1
Desarrolla el binomio al
cuadrado; reduce y simpliEntonces p = 1
fica para llegar a la forma
y la parábola se extiende general.
a la derecha (tipo 1).
9y² - 36x – 12y + 40 = 0
Ecuación en su forma general
[117]
2
3
F
X
1 2
2. V (-2, 1), F (-3, 1)
Y
X
3. V (0, 2), F (0, 1)
Y
X
4. V(2, -1), directriz: y = 1
Y
X
[118]
5.
7
F (-1, 3 ), directriz 3y + 1 = 0
Y
X
Determina, desde las ecuaciones de la parábola, su forma ordinaria, las
coordenadas de u vértice y foco, la longitud de su lado recto y la ecuación de su
directriz. Realiza además un esbozo de su grafica.
6.
5x² - 30x – 20y + 53 = 0
Solución:
3. Convierte la ecuación a la
1. Deja en el primer miembro los forma ordinaria tipo 2 y
términos en x para completar el determina de ella los elementos
de la parábola.
trinomio cuadrado perfecto y
factoriza con el coeficiente de x²
5(x² - 6x
) = 20y -53
5(x² - 6x + 9 – 9) = 20y – 53
V B3, C , “ B3, C
&
&
LR = 4, Dir. y =-
5(x – 3)² + 5(-9) = 20y – 53
@
(x – 3)² = 4
&
F
3
2. Reduce términos: 45 – 53.
Factoriza con el coeficiente de y
simplificando la fracción: 8/20 =
2/5.
&
1
7/5
2/5
5(x – 3)² = 20y - 8
(x – 3)² =
Y
”
y = - 3/5
&
&
[119]
X
7. y² - x - 6y + 10 = 0
Y
X
8. y² - 8x – 24 = 0
Y
X
9. x² - 8x + 12y + 88 = 0
Y
X
[120]
10. 25y² - 25x - 20y + 4 = 0
Y
X
[121]
BLOQUE 9
ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN
•
•
•
•
CONOCIMIENTOS
Caracterizar la elipse como lugar geométrico.
Identificar los elementos asociados a la elipse.
Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o
verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los
ejes cartesianos.
Identificar los elementos de una elipse con centro en el
origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos, a partir de
su ecuación ordinaria.
HABILIDADES
•
•
•
•
Determinar las condiciones necesarias para trazar una
elipse con hilo o regla y compas.
Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios
para trazar una elipse y su efecto en la conformación de su
ecuación con centro en el origen y eje focal paralelo con el
eje X o Y.
Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales
con centro en el origen y eje focal paralelo con el eje X o Y,
a partir de su ecuación.
Resolver problemas que implican la determinación o el
análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Participar activamente en la realización de ejercicios y
resolución de problemas en los que intervienen elipses.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[122]
Unidad de Competencia del Bloque 9
[123]
Elipse
Su enfoque
desde la
Con centro en el
Su enfoque
desde el
Origen
Geometría
Algebra
Con su relación:
curva y
Con la construcción
de su
Combinando desde
ambas vertientes sus
Elementos
Ecuación
Propiedades
Aplicándolas en la
comprensión de
Situaciones de
contexto
[124]
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 9:
9.1 La elipse como lugar geométrico
La elipse es una curva plana, cerrada y simétrica en relación al origen, pues para cada
punto que observes de ella podrás encontrar otro, prolongando la recta que pasa por él y el
origen.
Entre sus elementos se encuentran sus focos y la distancia entre ellos, denominada
eje focal. Para el trazo de dos elipses idénticas se requiere, en primer lugar, ubicar sus
focos a la misma distancia: pero no sólo eso, existe otra condición relacionada con la
longitud del hilo en la actividad previa: la suma de distancias desde los focos a cualquier
punto de la elipse es siempre la misma. La elipse también posee vértices; éstos se ubican
sobre la misma recta que los focos (eje focal); de hecho, el diámetro mayor de la curva es la
distancia entre los dos vértices. A tal distancia se le conoce como eje mayor de la elipse.
Existe también un diámetro menor, al que se le conoce como eje menor de la elipse, y
siempre es perpendicular al eje mayor.
Toma Nota…
El diámetro de la elipse es cualquier cuerda que pasa por el centro de la misma y sus
extremos son dos puntos de ella.
[125]
Ejes y semiejes de la elipse
Semieje menor
Elipse. Símbolo y significados
La elipse es el lugar geométrico de
los puntos del plano tales que la
suma de distancias, desde ellos, a
dos puntos fijos (focos), es siempre
una constante positiva mayor que
la distancia entre los puntos fijos.
Q
r1
V1
F1
C
P
|“1$| + |$“2|= r1 + r2
r2 |“1• | + |•“2|= r1 + r2
F2
V2
Siempre que tomes un
Punto de la elipse, la
suma de sus
distancias a los focos
será la misma.
V1
F1
La longitud de los semiejes es
la mitad de la longitud de los
ejes.
b Semieje mayor
a F2
C
c
V2
Semieje focal
La distancia entre los dos
vértices se representa por
2a (longitud del eje
mayor).
La distancia entre los dos
focos se representa por
2c (longitud del eje focal).
La longitud del eje menor
se representa por 2b.
a es la distancia
del centro a
cualquier vértice.
b es el segmento
medio del
diámetro de
menor longitud
de la elipse.
c es la distancia
del centro a
cualquier foco.
En realidad, aunque en la construcción de la elipse partimos de dos puntos situados a
cierta distancia entre sí (2c) y de un lazo con una longitud también constante, una elipse
queda determinada si se conocen de ella las longitudes de los semiejes a y c. No es difícil
ver la relación entre estos elementos y los empleados en la construcción con las tachuelas
y el lazo. En la práctica resulta útil incluir, además, la longitud del semieje menor b. Sin
embargo, no pierdas de vista que éste es un valor dependiente de los dos anteriores, y su
relación será analizada más adelante.
9.2 Elementos de la elipse
Existen otros elementos de la elipse vinculados con las constantes a, b y e, y cada uno de
ellos «nos dice» algo acerca de la curva. Tales elementos son la longitud del lado recto de
la elipse y su excentricidad. Por cierto que esta última palabra ha trascendido a las
matemáticas. Decimos que una trayectoria (elíptica, de un corneta por ejemplo) es muy
excéntrica para referirnos a lo alargada que es.
[126]
Propiedades de la elipse
Relación entre
V1
F1
b
C
a
c
r2
™
a² b² c²
Excentricidad
r1
˜
e e:1
a, b, y c
Q
F2 V 2
Para Q: r1 + r2 = 2a
Por ello: r1 = r2 = a
La relación entre las constantes a, b, y c de
la elipse son consecuencia del Teorema de
Pitágoras.
Las elipses pueden tener formas
similares y tamaños distintos. La
excentricidad nos ayuda a
clasificarlas de acuerdo con esta
semejanza.
La excentricidad también nos
permite establecer visualmente lo
alargado o redondeado de la
elipse; para valores pequeños de
c, la elipse se asemeja a una
circunferencia, pero conforme la
hacemos crecer, la elipse se
deforma alargándose.
Relacionando el esquema puedes calcular y comprobar directamente la igualdad de la
relación entre a, b y c, considerando la cuadrícula en escala de uno por cada cuadro.
Puedes también verificar que la excentricidad sea menor que la unidad. Esto debe ser
evidente para ti, después de todo, pues por la misma construcción el valor de e siempre
será menor que el de a. ¿Por qué?
El lado recto de una elipse tiene un significado similar al que has visto anteriormente para
el caso de la parábola. Se trata de una cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno
de los focos.
Determinar la relación para el cálculo del lado recto involucra, algebraicamente, resolver un
sistema de dos ecuaciones, una lineal o de primer grado y la otra de segundo grado:
r1
r1²
= 2a -
,
LR
,
= (2c)² + ( –— )²
El problema no esta tan complicado, solo sustituye la parte de color naranja en la segunda
ecuación. No olvides que ahí aparece elevada al cuadrado.
r1
= 2a -
,
,
LR
,
(2a - –— )² = (2c)² + ( –— )²
[127]
Después de esto solo debes desarrollar o expandir el cuadrado del binomio, reduces
términos y despejas LR. No olvides la equivalencia a² - c² = b²; la necesitaras en tu
proceso.
P
Longitud del lado recto
r1
V1
F1
LR ™
r2
F2 V 2
C
El lado recto se determina aplicando
La condición de elipse al punto P y a la
Construcción del triangulo rectángulo PF1F2:
,
r2 = LR |F1F2| 2#
Condición de elipse
,
,
r1 + LR 2! →r1 2!
LR
Teorema de Pitagoras
Sobre PF1 F2
›²
r1²
Resuelve el sistema de dos
ecuaciones despejando LR
para obtener la relación
dada.
,
= (2c)² + ( –— )²
9.3 Ecuación de la elipse con centro en el origen
La ecuación de la elipse se deduce directamente de su definición o significado geométrico.
Recuerda que tomando cualquier punto de ella, la suma de distancias desde tal punto a los
focos es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.
[128]
Condición para cualquier
punto P(x,y) de la elipse
Ecuación de la elipse con
centro en el origen
|“1$| + |$“2|=2a
Tipo 1
Eje mayor coincidente con el eje X
# ²
²+
# ²
²
2! Tipo 2
Eje mayor coincidente con el eje Y
²
# ²+
²
F2 (c, 0)
C
V2 (a, 0)
P (x,y)
F1 (-c, 0)
V1 (-a, 0)
Y
x²
X a²
Propiedades
y²
b²
!²
1
Forma y ecuación
e=
˜
^
LR =
"²
#
x²
a²
e:1 ›²
y²
b²
#²
2!
Y
V2 (0, a)
F2(0, c)
P (x,y)
1
X
C
^
F1 (0, - c)
V1 (0, -a)
Forma y ecuación
Ejemplo:
Determina la ecuacion y los elementos de una elipse con centro en el origen cuyo eje mayor
coincide con Y y las medidas de eje mayor y eje focal son respectivamente, 10 y 6.
Y
5
a = 5, c = 3
Pertenece al tipo 2
Ecuacion de la elipse
Elementos:
F2
3
x² y²
1
1
Determinas b²:
e=
16 25
&
x² y²
b² = a² - c²
= 5² - 3²
= 16
a²
a²
1
25x² + 16y² = 400
–—
Esta forma algebraica entera la obtienes
al multiplicar la primera ecuacion en
ambos miembros por (25)(16)
2 16
5
32
5
Para el caso de la órbita terrestre generalmente se emplea un modelo circular,
pero esto no se debe a que la Tierra posea una órbita de este tipo, sino porque la
distancia entre sus focos es pequeña comparada con la del eje mayor, y por ello
su elipse es poco alargada, o bien, poco excéntrica. El manejo circular de su
trayectoria se debe a la simplificación del modelo en relación con uno elíptico.
[129]
F1
4
X
Sin embargo, tal simplificación no puede sostenerse para la órbita de todos los
cuerpos. Las hay alargadas o excéntricas, e incluso trayectorias abiertas cuando
un cuerpo después de acercarse al Sol tiene velocidad suficiente para escapar de
su órbita y abandonar el sistema solar de manera definitiva (su recorrido pertenece
al tipo de trayectoria hiperbólica).
Lo analizado hasta este punto te permite modelar diferentes tipos de
trayectorias: rectas, circulares, parabólicas y, ahora, elípticas; todas ellas están
ligadas al movimiento en general, aunque de manera particular su ámbito es más
amplio.
En los ejercicios siguientes determina la ecuación de la elipse y construye un esbozo
de su grafico.
1. Un vértice es V(10, 0) y uno de sus focos es F(8, 0).
Y
X
2. Un vertice es V(0, 3) y uno de sus focos es F(0, - 2√2 .
Y
X
[130]
3.
Uno de sus focos es F(-8, 0) y su excentricidad es
√”
A
Y
X
4.
64
Un vertice es V(0, 10) y su lado recto es 5.
Y
X
En los siguientes ejercicios determina las coordenadas de los vértices y de los focos,
la excentricidad y la longitud del lado recto; realiza un esbozo de su grafico.
5. x² + y² = 1
36 100
Y
X
[131]
6.
x² + y² = 1
100 64
Y
X
7.
x² + y² = 1
289 64
Y
X
8.
x² + y² = 1
225 289
Y
X
[132]
9. 64x² + 25y² = 1600
Y
X
10. 25x² + 169y² = 4225
Y
X
11. 676x² + 100y² = 67 600
Y
X
[133]
BLOQUE 10
ECUACIONES DE LA ELIPSE
CONOCIMIENTOS
•
•
•
Reconocer la ecuación de la elipse con centro fuera del
origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de
sus parámetros.
Identificar los elementos y las coordenadas del centro a
una elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a
los ejes cartesianos a partir de su ecuación.
Escribir las ecuaciones general y ordinaria de una elipse
con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes
cartesianos.
HABILIDADES
•
•
•
•
•
•
Determinar la ecuación ordinaria de una elipse y ejes
paralelos a los ejes cartesianos a partir de sus elementos.
Obtener los elementos de una elipse a partir de su
ecuación.
Explicar la influencia de los parámetros de la ecuación de
la elipse en el comportamiento grafico de la misma.
Desarrollar la ecuación general de la elipse a partir de la
forma ordinaria de la misma.
Transitar entre las formas ordinaria y general de la elipse.
Realizar ejercicios y resolver problemas que implican la
determinación o análisis de la ecuación de elipses.
ACTITUDES Y VALORES
•
•
•
Participar activamente tanto en la realización de ejercicios
como en la resolución de problemas en los que se pone en
juego el uso de elipses.
Aportar puntos de vista personales con apertura y
considerar los de otras personas.
Proponer maneras creativas de solucionar problemas
matemáticos.
[134]
Unidad de Competencia del Bloque 10
[135]
Elipse
Su enfoque
desde la
Con centro en
cualquier punto
Su enfoque
desde el
C (h, k)
Geometría
Algebra
Visualizando la
relación de la
curva y sus
Con la construcción
de su
Combinando desde
ambas vertientes sus
Elementos
Ecuación
Propiedades
Aplicándolas en la
comprensión de
Situaciones de
contexto
[136]
Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 10:
10.1 Ecuación de la elipse con centro fuera del origen: formas ordinarias
Generalizaciones
La elipse puede visualizarse desde la perspectiva de la geometría o de la geometría
analítica. En el primer caso basta la congruencia o igualdad de las curvas de este tipo
silos diámetros mayor y menor son los mismos. En tal situación, al desplazarlas y
rotarias, obtenemos la coincidencia total entre ellas.
Sin embargo, la situación se modifica cuando el estudio se realiza desde la
geometría analítica. Recordando que en este caso la curva se convierte en una serie
de puntos o parejas ordenadas, es evidente que tal conjunto está relacionado también
con la posición de la curva sobre el plano cartesiano. Por lo tanto, las ecuaciones
también se modifican variando con la posición de la elipse en el plano cartesiano, ya
que tales elementos algebraicos deben generar por fuerza el conjunto de puntos de la
elipse que definen a la curva. Lo que ciertamente sigue siendo válido es la condición
que define a la elipse en el ámbito de la geometría analítica: la suma de distancias
desde los focos a cualquier punto de la elipse es una constante positiva (que
ahora sabemos equivale a la longitud del eje mayor, 2a).
[145]
Forma ordinaria de la ecuacion de la
Elipse con centro fuera del origen
Condición para cualquier
punto P (x,y) de la elipse
|“1$| + |$“2|=2a
Tipo 1
Tipo 2
Eje mayor paralelo a X
ƒ
# ²
‚
# ²
ƒ
ƒ
Resuelve y
simplifica
‚ ²
!²
ƒ ²
"²
Eje mayor paralelo a Y
‚
2!
!²
1
e=
˜
^
Forma y ecuación
‚
"²
#²
e:1
simplifica
^
Forma y ecuación
k
X
V2(h, k+a)
F2(h, k+c)
P (x,y)
C(h,k)
K-c
F1(h, k-c)
K-a
V1(h, k-a)
h
[146]
ƒ ²
!²
›²
K+a
K+c
F2 (h + c,k)
V2 (h + a,k)
h +c
h+a
h-a
h-c
V1 (h – a,k)
F1 (h – c,k)
Y
h
ƒ Resuelve
# ²
2!
y
‚ ²
"²
Y
C(h,k)
# ²
Propiedades
LR =
k
ƒ
X
1
Y
Ejemplo:
Determinar los elementos y la ecuación de una elipse con centro
en C(1, -2), si su eje mayor es paralelo al eje Y y las medidas de
su eje mayor y eje focal son, respectivamente, 10 y 8
a = 5, c = 4
Ecuación de la elipse
(forma ordinaria)
%
1
A
2 ²
&
2 9
18
1
–—
9
25
5
5
Si la conviertes en entera, expandes los
binomios al cuadrado, reduces y ordenas
términos, y la presentas en su forma genePertenece al tipo 2 ral (ecuación general de segundo grado obtienes:
Determina b²:
b² = a² - c²
= 5² - 4²
=9
œ?• ²
›
ž?Ÿ ²
™²
1 ²
Elementos
1
125 ²
9 ²
50
36
164
0
10.2 Relación entre la grafica y los valores de h y k
La forma de la ecuación de una elipse con centro en C(h, k) y eje mayor paralelo
al eje X o Y se puede entender desde la construcción de la formas ordinarias de la
ecuación. Sin embargo, el uso más dinámico de analizar es el movimiento de la elipse
sobre el plano cartesiano, observando directamente desde la experiencia de sus puntos
importantes, lo que puede funcionarnos mejor para comprender esta dinámica y la
relación que guarda con el movimiento mismo.
Por otra parte, tal análisis hace muy visibles aquellos elementos que dependen
(cambian) de la posición de la elipse (bajo esta perspectiva), como son su ecuación y
coordenadas de los puntos importantes y aquellos que permanecen inalterados
(excentricidad, longitud del lado recto, dimensiones de los ejes mayor y menor).
Independientemente de la forma de visualizar las relaciones de una elipse con
las coordenadas de su centro, no olvidemos que en realidad cada elipse tiene una
ecuación y es un lugar geométrico en sí y, por consiguiente, un conjunto de puntos dl
plano cartesiano en relación biunívoca con el grafico y, desde luego, con la ecuación.
Toma Nota…
Una relación biunívoca se refiere a la relación que existe entre dos objetos
matemáticos, en ambos sentidos punto con pareja ordenada y viceversa, también el
grafico con el conjunto de parejas ordenadas
[147]
X
Con la información del grafico determina la ecuación y los elementos de la elipse.
Considera que la escala en la cuadricula es de uno en ambos ejes (el subíndice en
focos y vértices indica la existencia de dos de ellos, y puedes escribirlos en el
orden que prefieras).
1. a =
b=
c=
C(
,
)
Y
V1 (
,
) F1 (
,
) e=
V2 (
,
) F2 (
,
) LR =
Ecuación:
X
2. a =
b=
c=
C(
,
)
V1 (
,
) F1 (
,
) e=
V2 (
,
) F2 (
,
) LR =
Y
Ecuación:
X
3. a =
b=
c=
C(
,
)
V1 (
,
) F1 (
,
) e=
V2 (
,
) F2 (
,
) LR =
Y
Ecuación:
X
[148]
4. a =
b=
c=
C(
,
)
V1 (
,
) F1 (
,
) e=
V2 (
,
) F2 (
,
) LR =
Y
Ecuación:
X
5. a =
b=
c=
C(
,
)
V1 (
,
) F1 (
,
) e=
V2 (
,
) F2 (
,
) LR =
Y
Ecuación:
X
Determina la ecuación de la elipse, su grafico y los elementos faltantes de
acuerdo con la información que se te proporciona en cada caso (el subíndice en
focos y vértices indica la existencia de dos de ellos).
6. a =
b=
V1 (6, 1)
V2 (
c=
C( 2, 1)
F1 (2 +
,
) F2 (
7,1)
,
Y
e=
) LR =
X
Ecuación:
[149]
7. a =
b=
V1 (0, 8)
V2 (
,
c=
C(
,
)
Y
F1 (0, 4 +
7)
e=
) F2 (0, 4 +
7)
LR =
X
Ecuación:
8. a =
b=
c=
C(
,
)
Y
3
V1 (
,
) F1 (3,
V2 (
,
) F2 (3, -
3 - 7)
e=
3 - 7)
2
LR =
X
Ecuación:
9. a =
b=
V1 (5, 3 )
c=
C(
,
)
F1(
,
)
e=
V2 (-7, 3) ) F2(
,
)
LR =3
Y
X
Ecuación:
[150]
10.
a=
V1(
b=
,
V2 (-7, 3) )
2
C( - 3 )
c=
) F1(
F2(
e=
Y
2
2 Eje mayor
3
paralelo a Y
,
)
,
2
) LR =3
X
Ecuación:
10.3 Forma general de la ecuación de la elipse
La ecuación general es una forma de establecer un acercamiento al algebra. Tal forma
permite darnos cuenta que, desde esta óptica, la elipse se representa con una ecuación
específica; la ecuación general con dos variables de segundo grado, ya que el
desarrollo de cualquiera de las dos ecuaciones ordinarias o canonícas de la elipse
conduce a esta forma algebraica
[151]
Elipses con centro en C(h,k)
Tipo 1
Eje mayor paralelo a X
Formas ordinarias de la ecuación
‚ ²
!²
ƒ ²
"²
1
b² (x – h)² + a²(y – k)² - a²b² = 0
b² (x² - 2hx + h²) + a² (y² - 2ky + k²) – a²b² = 0
b²x² - 2b²hx + b²h² + a²y² - 2a² ky + a²k² - a²b² = 0
b²x² + a²y² + (-2b²h) x + (-2a²k) y + (b²h² + a²k² - a²b²) = 0
Forma general
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (ecuación de segundo
grado)
Tipo 2
Eje mayor paralelo a Y
‚ ²
"²
ƒ ²
!²
1
a² (x – h)² + b²(y – k)² - a²b² = 0
a² (x² - 2hx + h²) + b² (y² - 2ky + k²) – a²b² = 0
a²x² - 2a²hx + a²h² + b²y² - 2b² ky + b²k² - a²b² = 0
a²x² + b²y² + (-2a²h) x + (-2b²k) y + (a²h² + b²k² - a²b²) = 0
Por otra parte, los elementos de la elipse tan necesarios para construir un esbozo
rápido de su grafico, o para el manejo de propiedades geométricas, son visibles en la
forma ordinaria de su ecuación. Por ello es importante que puedas ir de una forma de la
ecuación a la otra.
Transitar de la forma canoníca a la general es seguir prácticamente el proceso indicado
en el esquema anterior; se trata solo de expandir cada binomio elevado al cuadrado
que aparece en la ecuación para así reducir y ordenar algebraicamente los términos
que resultan.
La transformación de la forma general a la ordinaria requiere nuevamente del proceso
de completar el trinomio cuadrado perfecto que describimos en el bloque 6 y que hemos
utilizando tanto en el caso de la ecuación de la circunferencia como en el de la
parábola.
[152]
Transforma las ecuaciones a las formas ordinarias, determina cada uno de los
elementos solicitados y realiza el grafico de la elipse (el subíndice en focos y
vértices indica que existen dos de ellos; puedes escribirnos en el orden que
prefieras).
1.
9x² + 25y² -18x + 50y - 191 = 0
C(
Y
,
)
a=
b=
X
c=
Forma ordinaria de la
ecuación:
2.
F1 (
,
)
F2 (
,
)
V1(
,
)
169x² + 25y² + 50x - 4200y = 0
Y
C(
,
)
a=
b=
X
c=
Forma ordinaria de la
ecuación:
F1 (
,
)
F2 (
,
)
V1(
,
)
[153]
3.
25x² + 16y² -100x – 160y + 100 = 0
Y
C(
,
)
a=
b=
X
c=
Forma ordinaria de la
ecuación:
4.
F1 (
,
)
F2 (
,
)
V1(
,
)
25x² + 169y² - 200x + 338y – 3656 = 0
C(
Y
,
)
a=
b=
X
c=
Forma ordinaria de la
ecuación:
5.
F1 (
,
)
F2 (
,
)
V1(
,
)
4x² + 36y² - 4x - 216y + 289 = 0
C(
Y
,
)
a=
b=
c=
Forma ordinaria de la
ecuación:
X
F1 (
,
)
F2 (
,
)
V1(
,
)
[154]
Resuelve lo siguiente según corresponda
6. Los vértices de una elipse son los puntos (6, 1) y (-4, 1), y el eje menor está
limitado por los puntos (1, -3) y (1, 5). Determina su ecuación.
[155]
[156]
[157]