Relación de ejercicios 1

Relación de ejercicios 1
Modelos Matemáticos II
Grado en Matemáticas
26 de abril de 2016
Los ejercicios marcados con una ∗ pueden entregarse como parte de la evaluación continua hasta la fecha indicada.
Ejercicio 1.1. Dados a < b ∈ R y una función f ∈ C 1 ([a, b]) consideramos el funcional
Z b
f (x)(1 + y 0 (x)2 ) dx
(1)
F [y] :=
a
definido en el conjunto
D := {y ∈ C 1 ([a, b]) | y(a) = y(b) = 0}.
(2)
1. Determina la ecuación de Euler-Lagrange asociada a este funcional.
2. Demuestra que si 0 < a < b y f (x) = x para x ∈ [a, b] entonces el funcional F tiene
un mı́nimo global. Calcúlalo.
Ejercicio 1.2. (∗ 5 de mayo) Calcula los valores propios y las funciones propias del siguiente
problema de Sturm Liouville en el intervalo [0, π]:
y 00 + λy = 0,
y 0 (0) = y 0 (π) = 0.
(3)
Ejercicio 1.3. (∗ 5 de mayo) Sea L > 0. Consideramos el funcional
Z L
Z L
00
2
0
2
F [y] :=
(|y (x)| + |y (x)| ) dx +
y(x) dx,
0
0
definido en el dominio
D := {y ∈ C 4 ([0, L]) | y(0) = y 0 (0) = y 00 (L) = y 000 (L) = 0}.
1
(4)
1. Encuentra las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a este funcional.
2. Encuentra una función que sea un punto crı́tico de este funcional (dicha función es de
hecho un mı́nimo, como demostraremos más adelante — ver Ejercicio 1.12).
Ejercicio 1.4. (∗ 16 de mayo) Calcula la serie de Fourier en [−π, π] de la función f : [−π, π] →
R en cada uno de los siguientes casos:
1. f (x) = x,
2. f (x) = |x|,
x ∈ [−π, π].
x ∈ [−π, π].
3. f (x) = −1 para −π ≤ x ≤ 0, f (x) = 1 para 0 < x ≤ π.
En cada uno de los casos, expresa la serie de Fourier de dos formas: como combinación lineal
de las funciones {sen(nx)}n≥1 , {cos(nx)}n≥0 , y como combinación lineal de las funciones
{einx }n∈Z .
Ejercicio 1.5. Consideramos la función f : [0, π] → R, f (x) = x para x ∈ [0, π].
1. Calcula su serie de Fourier en senos.
2. Calcula su serie de Fourier en cosenos.
Ejercicio 1.6. (∗ 16 de mayo) Calcula la serie de Fourier de la función f (x) = x2 , definida
en [−π, π].
1. Demuestra que la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en [−π, π].
2. Evaluando la serie para x = π calcula el valor de
∞
X
1
.
2
n
n=1
(5)
Dicho valor es la función zeta de Riemann evaluada en z = 2, normalmente denotado
por ζ(2).
Ejercicio 1.7. Si u = u(t, x) es una solución de la ecuación de ondas definida en R × R que
además cumple que
u(t, x) = −u(t, −x),
t ∈ R, x ≥ 0,
(6)
demuestra que u restringida al conjunto R × [0, +∞) es solución del problema
(
∂t u = ∂x2 u en R × (0, +∞)
u(t, 0) = 0 para t ∈ R.
2
(7)
Ejercicio 1.8. Sea u es una solución de la ecuación de ondas en [0, +∞) × R con datos
iniciales f, g:

∂t u = ∂x2 u en (0, +∞) × R


u(0, x) = f (x) para x ∈ R.
(8)


∂t u(0, x) = g(x) para x ∈ R.
Supongamos que f , g son funciones en C 2 (R) con soporte contenido en [−1, 1]. Demuestra
que para cada t ≥ 0 la función x 7→ u(t, x) tiene soporte contenido en [−1 − t, 1 + t].
Ejercicio 1.9 (Equipartición de la energı́a). (∗ 25 de mayo) Sea u = u(t, x) una solución
de la ecuación de ondas en [0, +∞) × R con datos iniciales f, g:

∂t u = ∂x2 u en (0, +∞) × R


u(0, x) = f (x) para x ∈ R.
(9)

 ∂ u(0, x) = g(x) para x ∈ R.
t
Supongamos que f , g son funciones C 2 con soporte compacto definidas en R. Definimos la
energı́a cinética T = T (t) y la potencial U = U (t) como se definieron para la ecuación de
ondas. Demuestra que
1. T (t) + U (t) es una constante independiente de t, para todo t ≥ 0,
2. T (t) = U (t) para todo t suficientemente grande.
Ejercicio 1.10. Estamos intentando construir un instrumento de cuerda con cuerdas de
un cierto material, con una tensión fija. Ajustamos la tensión de forma que una cuerda de
50 centı́metros de longitud produce un sonido que fijamos como la nota La. ¿Qué longitud
deben tener otras seis cuerdas para completar toda la escala desde Do hasta Si?
Ejercicio 1.11. (∗ 25 de mayo) Sea L > 0 y p : [0, L] → R una función continua. Consideramos el funcional asociado al problema de la viga:
Z L
Z L
00
2
F [y] :=
|y (x)| dx +
p(x)y(x) dx,
(10)
0
0
definido en el dominio
D := {y ∈ C 4 ([0, L]) | y(0) = y 0 (0) = y(L) = y 0 (L) = 0}.
(11)
Demuestra que este funcional tiene un único mı́nimo en D.
Ejercicio 1.12. Demuestra que el funcional del Ejercicio 1.3 tiene un único mı́nimo en el
dominio en el que está definido.
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