RESOLUCIoN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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Colegio Sagrado Corazón
Dpto. de Matemáticas
José Luis León Contreras
RESOLUCIoN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c, son número. En nuestro caso a no puede ser 0, ya que entonces el
término en x2 se anularía y nos quedaría una ecuación de primer grado.
Identificación
Es muy importante que sepamos identificar los coeficientes a, b y c. Para ello presta
atención a los siguientes ejemplos.
a) 2x2 + 3x + 1 = 0 → solución: a = 2; b = 3; c= 1
b)
c)
d)
e)
f)
x2 - 2x + 5 = 0
→ solución:
-5x2 + 4x + -2 = 0 → solución:
-2x2 + x - 4 = 0 → solución:
x2 - 9 = 0
→ solución:
2
x + 5x = 0
→ solución:
a = 1;
a = -5;
a = -2;
a = 1;
a = 1;
b = -2; c= 5
b = 4; c= -2
b = 1; c= -4
b = 0; c= -9
b = 5; c= 0
Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dicen que son completas porque ninguno de sus
coeficientes (a, b y c) son cero.
Las ecuaciones como la e) y la f), se dicen que son incompletas porque alguno de sus
coeficientes es cero.
Tipos
Una ecuación de segundo grado puede ser completa e incompleta. En el cuadro siguiente
se ve la clasificación de las ecuaciones de segundo grado.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ax2 + bx + c = 0, con a≠0
Incompletas
1) = 0 →
2) = 0 → + = 0
+
=0
Completas: b ≠0 y c≠0
Resolución de una ecuación completa
Para resolver una ecuación completa, deberemos utilizar la siguiente fórmula.
ax2 + bx + c = 0, con a, b, y c distintos de 0 → x=
±
·
· ·
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Sobre esta fórmula es preciso hacer un par de apreciaciones:
1) En la fórmula aparece el término “-b”. Esto significa que se cambia el signo
del coeficiente b. Por ejemplo si b = 3, en la fórmula aparecería como “-3” y si
fuese b = -2, en la fórmula aparecería como “2”. Ojo, no cambiar este símbolo
es uno de los errores más frecuentes.
2) En la fórmula aparece el símbolo “±”. Como es la primera vez que vemos este
símbolo, te explico que indica que la raíz toma dos valores, uno positivo y otro
negativo.
Número de soluciones
Según que la expresión que está dentro de la raíz (b2 – 4·a·c) sea mayor que
cero (>0), igual a cero o menor que cero (<0). Esta expresión de dentro de la raíz, “b2
– 4·a·c”, se llama discriminante de la ecuación. De esta forma tenemos:
Si b2 – 4·a·c > 0, la ecuación tiene dos soluciones
X1=
·
· ·
X2=
·
· ·
Si b2 – 4·a·c = 0, la ecuación tiene solo una solución
X1=X2=
Si b2 – 4·a·c < 0, nos saldría una raíz negativa y esta no se podría calcular
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2 - 4x + 3 = 0
Solución:
x=
(
)± (
·
)
· ·
=
±√ " =
±√
= →#
=
=
= =
"
= =
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b) x2 - 6x + 9 = 0
Solución:
x=
( ")± ( ")
· ·$
·
"±√ " "
=
=
"±√%
=
"±%
= =
"
En este caso como lo que está dentro de la ecuación vale 0, tendremos solo
una solución.
c) x2 + x + 1 = 0
Solución:
±
x=
· ·
·
=
±√
=
±√
= NO TIENE SOLUCIÓN (ya que lo que está
dentro de la raíz es negativo)
d) 4x2 + 4x + 1 = 0
Solución:
±
x=
·
· ·
=
±√ " "
&
=
)
±√
±√%
±%
= =2
±√ '
±'
=
e) 6x2 - x - 1 = 0
Solución:
x=
(
)± (
)
·"
·"·(
=
=
f) 2x2 - 3x + 3 = 0
Solución:
x=
(
)± (
·
)
· ·
=
±√$ =
±√
'
=
→#
=
=
'
'
=
=
"
=
=
= NO TIENE SOLUCIÓN (ya que lo
que está dentro de la raíz es negativo)
Resolución de una ecuación incompleta
a)
En el caso que b=0, tendríamos una ecuación del tipo ax2 + c = 0. Para
resolverla, haríamos como en el caso de una ecuación de primer grado. Llevamos
todas las x a un lado y los números al otro. Finalmente quitaríamos el cuadrado
de la x y calcularíamos la raíz cuadrada de la otra cantidad.
Al igual que el caso anterior tendríamos dos soluciones de la raíz, una positiva y
otra negativa (siempre que lo que haya dentro de la raíz sea positivo).
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Ejemplo:
1) x2 - 4 = 0 → x2 = 4 → x= ±√
=
=−
→(
=
=−
2) x2 - 9 = 0 → x2 = 9 → x= ±√$ → (
3) x2 + 25 = 0 → x2 = -25 → x= ±√− ' → *+,-./+0123Ó*
4) 2x2 - 32 = 0 → 2x2 = 32 → x2 =
=
=−
→ x2= 16 → x= ±√ " → (
b) En el caso que c=0, tendríamos una ecuación del tipo ax2 + bx = 0. Para
resolverla, sacamos factor común en la x y nos quedaría algo del tipo x·(ax+b)=0.
Después igualaríamos a 0 cada uno de los factores, es decir, la x y (ax + b).
Ejemplo:
1) x2 - 3x = 0 → x·(x – 3)= 0 →5
2) x2 + 5x = 0 → x·(x +5)= 0 →5
−
= %
=%→ = = %
+ ' = % → = −'
3) 3x2 + 9x = 0 → x·(3x + 9)= 0 →
4) 2x2 + 7x = 0 → x·(2x + 7)= 0 →
= %
+$=%→
= −$ →
= %
+6=%→
= −6 →
=
$
=
6
=−
EJERCICIOS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1) x2 – 144 = 0
2) 5x2 + 20x = 0
3) 3x2 – 6x = 0
4) 5x2 = 2x
5) 3x2 – 27 = 0
6) 5x2 – 125 = 0
7) 2x2 + 8x = 0
8) x2 – 9 = 40
9) 9x2 – 1 = 0
10) 3x2 – 12 = 0
11) 2x2 = 8
12) 3x2 + 12 = 312
13) x2 – 9x + 14 = 0
14) 9x2 + 6x + 1 = 0
15) x2 – 5x + 12 = 0
16) x(x+5)=0
17) 15x2 + 2x - 8 = 0
18) 2x2 – 2 + 3x = 4x2 – x
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