la formacion de la fam ilia y la frecuencia con que se dan diversas

LA FORM ACION D E LA FA M IL IA
Y LA FR EC U E N C IA CON Q U E S E DAN
D IV E R SA S R E L A C IO N E S D E P A R E N T E SC O
^K B U O T FC A ^
i 1 A G O 1997j
^
^ Goodm¡m
Nathan Kexfitz
Thomas W. Pullum
'
LaFORMACION
de la FAMILIA
y la FRECUENCIA
con que se dan
DIVERSAS
RELACIONES
de PARENTESCO
CENTRO LATINOAM ERICANO D E D EM O G RA FIA
Santiago de Chile, 1975
'¡O
B
C e n t r o L a t in o a m e r ic a n o d e D e m o g r a f í a
CELADE: J.M. Infante 9. Casilla 91. Teléfono 257806
Santiago (Chile)
CELADE: Ciudad Universitaria Rodrigo Fació
Apartado Postal 5249
San José (Costa Rica)
AGRADECIMIENTOS
La investigación por L.A. Goodman fue respaldada en parte por el
subsidio de investigación NSF GS 2818 de la División de Ciencias
Sociales de la National Science Foundation. La investigación por
N. Keyfitz fue respaldada por NSF Grant GZ 995 y NIH Research
Contract 69-2200. La investigación por T.W. Pullum, fue realizada
mientras era Visitante Asociado de Investigación en el Instituto de
Población, de la Universidad de Filipinas, con el respaldo de la
F ord Foundation.
Documento recibido el 19 de enero de 1970 y
publicado en “ Theoretical Population Biology” , Vol. 5,
N° 1, febrero de 1974.
© Centro Latinoam ericano de D em ografía, 1975
Serie E, N °2 1
IN D IC E
Resum en
Introducción
1. Descendientes directos
2. Progenitores directos
3. Hermanas
4. Sobrinas
5. Tías maternas
6. Primas
7. Número eventual esperado de parientes
8. Tamaño medio de la fam ilia
Sumario
Apéndice
Evaluación numérica de las integrales
Referencias bibliográficas
Cuadro 1: Medidas de fecundidad y m ortalidad en tres
países seleccionados
Cuadro 2a: Número esperado de hijas tenidas y
sobrevivientes de una mujer, según su edad, en tres
países seleccionados
Cuadro 2b: Número esperado de nietas tenidas y
sobrevivientes de una mujer, según su edad, en tres
países seleccionados
Cuadro 2c: Número esperado de bisnietas tenidas y
sobrevivientes de una mujer, según su edad, en tres
países seleccionados
11
13
19
27
35
41
47
53
59
65
71
75
77
83
24
25
26
26
Cuadro 3a: Probabilidades de una mujer, según su edad,
de tener la madre y la abuela sobrevivientes en tres
países seleccionados
Cuadro 3b: Probabilidad de una mujer, según su edad, de
tener la bisabuela y la tatarabuela maternas
sobrevivientes en tres países seleccionados
Cuadro 4: Núm ero esperado-de hermanas nacidas y
sobrevivientes de una mujer, según su edad, en tres
países seleccionados
Cuadro 5: Número esperado de sobrinas nacidas y
sobrevivientes de una mujer, según su edad, en tres
países seleccionados
Cuadro 6: Núm ero esperado de tías nacidas y
sobrevivientes de una mujer, según su edad, en tres
países seleccionados
Cuadro 7: Núm ero esperado de primeras primas (hijas de
hermanas de la madre) nacidas y sobrevivientes de una
mujer, según su edad, en tres países seleccionados
Cuadro 8: Cantidades representadas en el gráfico 2,
calculadas para tres países
Gráfico 1: Diagram a de Lexis para una prima, hija de una
hermana m ayor de la madre, de una niña de edad a
G ráfico 2: Número esperado eventual de parientes
en una población estable
El estudio La form ación de la fam ilia y la frecuencia con que se dan
diversas relaciones de parentesco, de Leo A. Goodman, Nathan Keyfitz
y Thom as W. Pullum, que se publicó el año recién pasado, estam os
seguros que llegará a constituir un texto fundamental, y por lo tanto
imprescindible, en los cursos de dem ografía formal.
Con rigor, y al mismo tiempo, con claridad y elegancia los autores
derivan sucesivamente una serie de expresiones que establecen las fre­
cuencias esperadas de varias relaciones de parentesco necesarias en una
población en la que han permanecido constantes sus leyes de
fecundidad y de m ortalidad. Tan elemental y claro es el razonamiento
que muchos lectores se preguntarán cóm o hasta ahora, después de
tantos años transcurridos desde que Lotka planteó las primeras rela­
ciones de este tipo, no se desarrollaron las expresiones que se presentan
en el docum ento reconociendo, com o se hace en el propio estudio, los
hallazgos originales de Brass y Henry.
El Centro Latinoam ericano de D em ografía (CELADE) al seleccionar
este trabajo para su edición en español tiene la seguridad de hacer un
aporte im portante, en el cam po de la dem ografía formal, a los estu­
diosos de habla hispana. Espera, además, que la utilidad de las ideas del
docum ento se extienda también al terreno de las aplicaciones. No es
aventurado prever que las relaciones establecidas en el estudio podrán
ser em pleadas para realizar estimaciones sobre la fecundidad y la
m ortalidad a partir de información que se pueda recoger en una
población acerca de las relaciones de parentesco.
RESUM EN
Un conjunto de tasas de fecundidad y de m ortalidad por
edad implica un número esperado de parientes. Una niña o
mujer, seleccionada al azar en una población cuyas tasas de
fecundidad y de mortalidad están dadas, puede esperarse que
tenga un número determinado de hermanas m ayores, de
hermanas menores, de sobrinas, primas, etc. En este docu­
mento se presentan expresiones que establecen esos valores
esperados, tanto para el caso del total de parientes tenidos
cuanto de sobrevivientes. Se examinan también fórmulas que
dan las probabilidades de tener viva la madre, la abuela, la
bisabuela y la tatarabuela de una niña o mujer según la edad
de ésta. Los m étodos son aplicables para determinar el tam a­
ño de la familia nuclear y extendida. Todas las fórm ulas han
sido escritas en programas de com putación, y en este docu­
mento se presentan ejemplos numéricos de su aplicación.
) 11 (
IN TRO D UCCIO N
Si en dos com unidades las tasas de m ortalidad son iguales, las
niñas de la com unidad cuyo nivel de fecu n didad sea m ayor es
de esperar qu e tengan m ás herm anas y tías. Por el con trario, si
las tasas de fecu n didad son iguales, las niñas de la com unidad
de m enor m ortalidad es m ás probable que tengan a la m adre o
la abuela viva. M ostrarem os aq u í cóm o calcular valores espe­
rados y probabilidades para éstas y diversas o tras relaciones
de paren tesco; darem os tam bién expresiones para calcular el
tam año m edio de la fam ilia nuclear y extendida.
L o s resultados estarán b asad o s en un régimen dad o y fijo de
m ortalidad y de fecu n didad representado por:
a ) L a probabilidad qu e una niña recién nacida sobreviva a la
edad x, sim bolizada por lx . E sto es lo m ism o que la colum na
de sobrevivientes de la tabla de vida cuando la raíz lQ se hace
igual a 1. Si la tasa de m ortalidad por edad en el intervalo
(p o r unidad de tiem po) entonces
de edades t a t + dt es
lx = exp ( - ¡ * n t d t). A sí, dar las tasas de m ortalidad por edad
íit (para 0 < t < » ) es equivalente a dar la probabilidad de
sobrevivencia lx (para 0 < x < °°).
b) L a probabilidad que una m ujer de edad x tenga un hijo
en los p róxim o s dx años (esto es, en el intervalo de edades
desde x a x + dx) sim bolizada por mx dx. D esignarem os las
edades m enor y m ayor del perío do de vida reproductiva
) 15 (
ex y (3, respectivam ente. E sto es m x = 0 para * < o c y x > p , con
fecundidad positiva sólo dentro de los lím ites de variación
ex < x < p. (S u p o n em o s que mx es una fun ción integrable de
x. Si adem ás su ponem os que mx es una fu n ción continua,
tenem os entonces qu e poner mx = 0 para x < <x y x > p , con
mx > 0 para a < x < P).
L as tasas de m ortalidad y de fecu n didad serán tom ad as
com o fijas. V erem os qué conclusiones sobre tam año de fam ilia
y relaciones de paren tesco se derivan de un régim en dado de
m ortalidad y fecu n didad, si suponem os que el régim en se apli­
ca independientem ente a los individuos considerados. C alcula­
rem os cuántas herm anas, tía s, abuelas, etc., habrá de acuerdo
con diferentes regím enes. A unque la técnica que se presenta
puede ser exten d ida para estim ar el núm ero esperado de her­
m anas, etc., en un régim en cam biante, no abordarem os a q u í
ese problem a.
N uestros resultados dan un m odelo para el estu dio de com u ­
nidades reales. Si el régim en de fecu n didad y de m ortalidad es
conocido (y si varios su pu estos sobre el régim en son ciertos)
no se necesitan entonces m ás dato s em píricos para determ inar
el núm ero esperado de sobrinas de una m ujer de 45 añ os, o la
probabilidad de que su m adre esté viva. En una com unidad de
alta m ortalidad será frecu en te la orfan d ad; n uestros cálculos
m uestran cuán com ún, dad os los regím enes de fecu n didad y
m ortalidad (y siem pre que los varios su pu esto s sobre el régi­
men sean ciertos).
Si el régim en no es con ocido y se pueden recoger dato s
sobre el núm ero m edio de sobrinas de m ujeres de 45 añ os y
otras edades, sobre la proporción de individuos que tienen su
m adre viva, y asu n tos sim ilares, nuestras fó rm u las entonces
pueden ser consideradas com o ecuaciones cuyas incógnitas son
las tasas de fecu n didad y m ortalidad por edad. D ejam os para
otra ocasión el exam en de las condiciones en las cuales p o ­
drían ser resueltas y el m étodo de solución. B asta decir aq u í
que n uestros resu ltados pueden ser aplicados a d o s tip o s de
) 16 (
problem as op u esto s: encontrar los valores esperados de varias
relaciones de parentesco im p lícito s en las lx y mx dad as, e
inferir la lx y mx de las frecuencias observadas de las varias
relaciones de parentesco.
N uestro razonam iento, con alguna m odificación, es aplica­
ble tan to a hom bres com o a m ujeres, y sólo a fin de concretar
la exposición serán consideradas única y reiteradam ente las
m ujeres.
) l? (
DESCENDIENTES DIRECTOS
Si una m ujer de edad a nos habla en un m om ento í, no hay
ninguna duda que está viva, y puede considerarse que ha esta­
do expu esta en to d o m om ento a la fecun didad de la población
de la cual ella es un m iem bro seleccionado al azar. Si la fecu n ­
didad es mx dx para el intervalo de edades x a x + d x , entonces
el núm ero to ta l esperado de niños qu e dicha m ujer ha tenido
lo da la integral
/
mx dx.
(1.1.a)
H em os integrado con respecto a x, la edad de la m adre en
el parto, entre « , la edad fértil m ás b aja, y a, la edad presente
de la m ujer. Si m x es la tasa de dar a luz hijas m ujeres, en ton ­
ces la integral da el núm ero esperado de ellas; para una edad
a > j3, esto es, para una m ujer qu e ha pasado el perío do de
vida reproductiva, la integral dará la cantidad que en dem o­
grafía se con oce com o la tasa bruta de reproducción , la cual
se aplica a las m ujeres qu e sobreviven p asado el p erío d o de
vida reproductiva. Si mx son las tasas de fecun didad para niños
de am bos sexo s y a> (3 , la integral es entonces con ocida com o
la tasa global de fecun didad. (E n los cálculos que siguen se
tom a mx com o la tasa de dar a luz hijas m ujeres).
L a probabilidad de que una hija, nacida cuando su m adre
ten ía una edad x , esté viva cuando su m adre tiene una edad a ,
) 21 (
depende de la supervivencia a través de un p erío d o de a-x años:
una probabilidad la _x . D e ahí, la probabilidad de que una hija
nazca de una m ujer entre la edad x y x + dx, y que la hija so b re­
viva al m om ento t, cuando la m adre tenga a añ os, es mx dx la _x .
(Su p on em os a lo largo del razonam iento qu e la probabilidad
de supervivencia a través d e a -x añ os es la _x , la qu e es indepen­
diente de qu e la m adre esté aún viva a la edad a , y tam bién es
independiente de otros factores). A sí, ob ten em os la siguiente
fórm ula para el núm ero esperado de hijas vivas qu e una m ujer
de edad a (a > oc) tendrá en un m om ento t :
/
la x mx d x -
(L L b )
E xpresión deducida por B rass (1953), y utilizada por él para
estim ar la m ortalidad durante los prim eros añ os de vida.
A vancem os ahora dos generaciones y bu sq uem os el núm ero
esperado de nietas vivas en un m om ento t, cuando la mujer
tiene una edad a. A l pasar de una edad * a x + dx se espera que
una mujer tenga mx dx hijas. Considérese una de éstas. La p ro ­
babilidad que la hija sobreviva a la edad y y después tenga una
hija, es ly my dy. Luego el núm ero esperado de nietas, hasta el
m om ento t, a través de la hija nacida a la edad * de la m ujer
original, debe ser J ° x
dy. En vista que mx dx es el núm ero
esperado de hijas tenidas por la mujer original a la edad x a
x + d x , obten em os la siguiente fórm ula para el núm ero esp e­
rado de nietas nacidas hasta el m om ento t :
/
oc
[/
oc
Kmy dy] m dx.
J
J
(1.2.a)
Para calcular el num ero esperado de nietas aún vivas en el
m om ento r, n ecesitam os in troducir en la expresión anterior
una probabilidad de supervivencia para el p erío d o desde el
nacim iento al m om ento t, esto es, a través de a-x^y años
desde el nacim iento. E sto se obtien e com o la diferencia entre
los años a , la edad presente de la abuela, y los x + y añ os que
) 22 (
pasaron desde el nacim iento de la abuela al nacim iento de su
nieta. L a integral interior de (1.2.a) debe ser m ultiplicada por
la probabilidad la _x _y a fin de determ inar el núm ero esperado
de nietas vivas en el m om ento t :
a
f
a-x
[f
ly m y la-x - y
¿y] m%dx.
(1.2.b)
El razonam iento puede repetirse para otras generaciones
sucesivas. El núm ero esperado de hijas nacidas a la edad x a
x + dx es siem pre mx d x ; el núm ero esperado de las q u e entre
éstas tendrán hijas a la edad y es ly my d y ; el núm ero esperado
de las qu e entre éstas (h ijas de las hijas) a su vez tendrán hijas
a la edad z es lz mzdz. Para un valor particular de * , y y z el
núm ero esperado de bisnietas es
l2mz dz lymy dy mx dx.
A hora, los intervalos de edad pertinentes son : para la edad
x de <x a a ; para la edad y d e a a a - x , y para la edad % de
a a a-x-y. O btenem os, en tonces, la fórm ula siguiente, para el
núm ero esperado de bisnietas nacidas hasta el m om ento
t:
a
a-x rr a-x-y
f [/
1/
/jW ( ¡z ] / m dy] m dx.
(1.3.a)
o c a
ce
y y
'
x
x
7
Para obtener el núm ero esperado de bisnietas que sobre­
viven hasta el m om ento t, se in trodu ciría un fa cto r la.x.y.z
en la m ás interna de las integrales, lo que nos daría (1.3.b).
Por m edio de reglas que resultarán ahora fáciles de percibir,
p o d ríam o s obtener las fórm ulas correspondientes a generacio­
nes posteriores que design aríam os com o (1.4.a), (1 .4 .b ), (1.5.a),
etc.
M ediante el em pleo de un program a de com pu tación , des­
crito en el A pén dice, hem os estim ado los valores esperados de
descendientes directos utilizando su p u esto s de poblacion es
estables para los E stad o s U nidos (1967), V enezuela (1965) y
M adagascar (1966).
) 23 (
L o s d ato s b ásicos qu e se ingresan en el program a de co m p u ­
tación para e sto s países fueron tom ad o s de K eyfitz y Flieger
(1971), págs. 360, 376, 312). C om o lo indica el cuadro 1,
estos con jun tos de d ato s representan tres patron es de fecu n ­
didad y m ortalidad, típ ic o s y op uestos. L o s E stad o s U n idos
m uestran b aja m ortalidad y b aja fecu n didad; V enezuela, baja
m ortalidad, pero alta fecu n didad; M adagascar, alta m ortalidad
y alta fecun didad.
Cuadro 1
MEDIDAS DE FECUNDIDAD Y MORTALIDAD EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Tasa bruta de reproducción
Esperanza de vida al nacer
(población femenina)
Estados Unidos
1967
V enezuela
1965
Madagascar
1966
1,26
3,13
3,29
74,22
67,70
38,48
Presentam os en los cuadros 2a, 2b y 2c los resu ltados o b te ­
nidos m ediante las fórm ulas 1.1.a y b, 1.2.a y b, y 1.3.a y b,
respectivam ente, las cuales dan el núm ero esperado de descen­
dientes fem enin os n acidos to tal y aún vivos según la edad de
la mujer. C om o es m uy pequeña la fecu n didad antes de los
15 años, los prim eros valores positivos para nietas se producen
a los 30 años. De un m odo sim ilar, ya que la m ayor parte del
p eríodo reproductivo ha term inado hacia los 45 años, el n ú ­
m ero eventual de nietas tenidas debe estabilizarse ap ro xim ad a­
mente a la edad de 90 añ os a un nivel equivalente al prod ucto
de la tasa bru ta de reproducción (tod a vez que la m ujer con si­
derada ha sobrevivido el p erío d o reproductivo de la vida) por
la tasa neta de reproducción (ya que sus hijas pueden no haber
sobrevivido). Para los tres países con siderados, esto s núm eros
asintóticos son 1,5246; 8,8579; 6,1852, respectivam ente. En
) 24 (
los cuadros se presentan valores sólo hasta los 85 añ os, porqu e
no dispon em os de los correspondientes a tasas de sobreviven­
cia m ás allá de esa edad.
L o s núm eros de descendientes ten idos de Venezuela y
M adagascar, exceden a los de E stad o s U nidos, debido a sus
altas tasas de fecu n didad; pero la alta m ortalidad de M adagascar
reduce grandem ente el núm ero de sobrevivientes. Por ejem plo,
de acuerdo con el régimen de m ortalidad de este p aís una
m ujer de 75 añ os puede esperarse que haya perdido 40 por
ciento de sus nietas, en tan to que en los E stad o s U n idos una
m ujer d é la m ism a edad habrá perdido m enos d e l4 por ciento.
C onsecuencias sim ilares de las leyes básicas de fecu n didad y
m ortalidad podrán apreciarse en to d o s nuestros resultados.
Cuadro 2 a
NUMERO ESPERADO DE HIJAS TENIDAS Y SOBREVIVIENTES
DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Hÿas tenidas
Hijas sobrevivientes
Edad
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0,0021
0,1678
0,5923
0,9401
1,1336
1,2276
1,2534
1,2551
1,2551
1,2551
1,2551
1,2551
1,2551
1,2551
1,2551
0,0046
0,3163
1,0791
1,8729
2,4615
2,9178
3,0812
3,1220
3,1267
3,1267
3,1267
3,1267
3,1267
3,1267
3,1267
0,0076
0,3533
1,0906
1,7948
2,4912
2,9411
3,1795
3,2587
3,2888
3,2888
3,2888
3,2888
3,2888
3,2888
3,2888
0,0021
0,0043
0,2946
1,0038
1,7387
0,0056
0,2607
0,7928
1,2765
1,7301
1,9710
2,0324
1,9600
1,8441
1,7048
1,5693
1,4386
1,3084
1,1681
1,0073
) 25 (
0,1639
0,5784
0,9172
1,1043
1,1932
1,2143
1,2105
1,2028
1,1916
1,1752
1,1511
1,1166
1,0672
0,9964
2,2786
2,6914
2,8269
2,8430
2,8184
2,7801
2,7294
2,6617
2,5670
2,4334
2,2580
Cuadro 2 b
NUMERO ESPERADO DE NIETAS TENIDAS Y SOBREVIVIENTES
DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Nietas tenidas
Nietas sobrevivientes
Edad
Estados
Unidos
2967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0,0004
0,0149
0,0982
0,3109
0,6288
0,9558
1,2161
1,3836
1,4704
1,5066
1,5188
1,5218
0,0014
0,0508
0,3211
1,0395
2,2586
3,8064
5,4152
6,8043
7,7946
8,3893
8,6890
8,8093
0,0019
0,0477
0,2618
0,7609
1,5553
2,5604
3,6120
4,5384
5,2402
5,7003
5,9613
6,0886
0,0003
0,0146
0,0959
0,3036
0,6136
0,9319
1,1839
1,3442
1,4242
1,4528
1,4550
1,4441
0,0013
0,0473
0,2989
0,9667
2,0979
3,5296
5,0102
6,2762
7,1587
7,6582
7,8645
7,8799
0,0014
0,0352
0,1916
0,5513
1,1122
1,8011
2,4868
3,0376
3,3813
3,5123
3,4723
3,3203
Cuadro 2 c
NUMERO ESPERADO DE BISNIETAS TENIDAS Y SOBREVIVIENTES
DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Bisnietas tenidas
Bisnietas sobrevivientes
Edad
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0,0000
0,0014
0,0128
0,0599
0,1821
0,4035
0,7054
1,0333
1,3282
0,0003
0,0088
0,0752
0,3522
1,1122
2,6477
5,1078
8,3875
12,1272
0,0004
0,0070
0,0508
0,2083
0,5933
1,3126
2,4117
3,8382
5,4468
0,0000
0,0014
0,0125
0,0585
0,1778
0,3938
0,6879
1,0068
1,2923
0,0003
0,0082
0,0700
0,3277
1,0342
2,4597
4,7395
7,7709
11,2130
) 26 (
Mada­
gascar
1966
0,0003
0,0052
0,0372
0,1518
0,4291
0,9400
1,7064
2,6751
3,7245
PROGENITORES DIRECTOS
Se requiere un en foqu e diferente para establecer la probabili­
d ad de qu e un progenitor dad o de una niña esté vivo. T o m e­
m os al azar una niña de edad a, de entre to d a s las de esa edad
de una población , y bu sq uem os la probabilidad de que su
m adre esté viva.
Si la m adre ten ía una edad x en el m om ento que dio a luz
a la niña que ahora tiene la edad a , en tonces la probabilidad
de qu e la m adre esté viva ahora es la+x/ l x ■ D esignem os M, (a)
la probabilidad de que la m adre esté viva ahora e indiquem os
con W(x\ t-a) la distribución por edad (en el m om ento t-a) de
las m ujeres qu e dieron a luz una hija en el m om ento t-a.
E n con tram os que
MÁa) = j f ( U / U BTtU-a) dx.
Se ju stifica el uso de la fórm ula arriba escrita si su ponem os
q u e: a) la probabilidad la+x/lx se aplica a cada m ujer de edad
x qu e dio a luz una hija en un m om ento t- a , y b ) qu e la dis­
tribución por edades (en el m om ento t-a) de las m ujeres qué
dieron a luz una hija en el m om ento t-a, es igual a W (x\t-a),
con dicionada a que la hija esté con vida en el m om ento t.
Si la población que consideram os es estable, W(x | t-a) no
) 29 (
dependerá de t-a, y entonces po dem o s reem plazar W(x\t-a) por
W(x) = I j n j í * * ,
donde r es la tasa intrínseca de crecim iento natural. A sí, en
este caso, la probabilidad M (a ) que la m adre esté viva ahora
e s ( L o t k a , 1931)
M, (a) = /
(W ü m
d* = ¿ U ' V " * dx-
i2'1)-
E xpresión utilizada por Henry (1960), para estim ar la m or­
talidad en una población que carecía de registros de
defunciones.
Si la población que consideram os no es estable, las fórm ulas
(a) diferirán de las del párrafo precedente.
para W(x lt-a) y
En este caso, la distribución por edades observada (en un m o­
m ento t- a ) de las m ujeres que dieron a luz una hija en un
m om ento t-a p o d ría usarse com o W(x |t-a) en la fórm ula para
Ai (a), presentada anteriorm ente; o, si no se con oce la distri­
bución por edades observada, se puede usar otro tipo de in for­
m ación dem ográfica para estim arla. Por ejem plo, si designam os
con B ( t ) el núm ero de niñas n acidas en un m om ento t, p o d e­
m os estim ar W (x |t-o) m ediante
W(x | t-a ) — B ( t- a - x ) lxmx /
B ( t- a - x ) lxmx dx.
N ótese qu e el denom inador en la expresión escrita arriba
será igual a B ( t - a ) si: a) tom am o s las B com o núm eros espe­
rados, y b ) los regím enes descritos por las lx y mx son apli­
cables a to d as las niñas nacidas en un m om ento t - a - x (para
< x < x < ¡3 ). Por su pu esto que a q u í nos interesa el caso donde
t>a+j3.
Para la validez del argum ento son esenciales tan to la selec­
ción aleatoria de la niña considerada com o la constancia de las
leyes de fecu n didad y de m ortalidad. Si la niña de edad a tu ­
viera p o ca salud esto es, una m ortalidad superior a la prom edia,
) 30 (
y si la salud de m adres e hijas estuvieran correlacionadas,
entonces esa niña ten d ría una probabilidad m enor qu e el p ro ­
m edio de tener la m adre viva. N ótese q u e hem os supuesto
adem ás que las varias generaciones que entran en cada ex p re­
sión están in dependientem ente su jetas a las leyes de m ortalidad
y fecu n didad que se han ad o p tad o . Por otra parte la población
se considera cerrada a la m igración.
La m ism a técnica puede extenderse a generaciones an terio­
res y la utilizarem os para encontrar la probabilidad de que
una niña de edad a , tom ad a al azar de una población de régi­
m en fijo de m ortalidad, tenga viva la abuela m aterna.
Si la m adre ten ía una edad x en el m om ento que dio a luz
a la niña que ahora tiene la edad a , entonces la prob ab ilidad
condicional que la abuela m aterna esté ahora viva es igual a la
probabilidad M 1(a+x) que la m adre de una m ujer de edad
a+ x (esto es, la m adre de la m adre de la niña) esté tod avía
viva. Para la niña de edad a , designem os con M2(a) la p ro b ab i­
lidad de que su abuela m aterna esté aún viva. E n to n ces o b te ­
nem os la expresión:
M2(a) =
M1(a + x:) W(x\ t- a ) dx,
donde W(x\ t-a ) es la distribución por edades definida en la
sección anterior.
De una m anera sim ilar, y considerándose sólo las ascen­
dientes m aternas directas de cada generación, para una niña de
edad a , designem os co n M 3 (a ) y M4 (a ) las probabilidades de
que su b isabu ela y tatarabu ela m aternas, respectivam ente, es­
tén vivas ahora. E n con tram os las expresiones
M3(a) =
M2(a + x) W(x\ t - a ) dx,
MA(a) =
M3(a + x) W(x| t- a ) dx.
CX
) 31 (
C onsideraciones
recurren te:
sim ilares
llevan
a la relación general
M ¡(a ) = f ^ M i_í (a + x) W(x\ t - a ) dx,
donde M¡ (a) es la probabilidad de que esté viva en el m om ento
t la progenitora fem enina de la generación de orden i'.*(S e
consideran solam ente las ascendientes m aternas directas de
cada generación).
Si la población considerada es estable, entonces W { x \ t - a )
puede ser reem plazada por la cantidad W(x) defin ida anterior­
m ente, y las fó rm u las de arriba pueden sim plificarse de la
siguiente m anera:
M2(a) =
Mt (a + x ) W(x) dx,
(2-2)
M3(a) =
M2(a + x ) W(x) dx,
(2.3)
M4(a) =
M3(a + x) W(x) dx.
(2-4)
En los cu adros 3a y 3b,se dan los valores num éricos de las
probabilidades de que la m adre, la abuela, la bisabuela y la
tatarabuela de una m ujer, según su edad, esté viva, en los
ejem plos ilustrativos de población estable que se han con si­
derado. A la edad ex acta 0, esto es en el m om ento del naci­
m iento, la probabilidad de que la m adre esté viva es necesa­
riam ente 1 (la unidad). E sta probabilidad dism inuye m uy
* Nota del traductor: Se presenta en el texto otra expresión para designar la
progenitora femenina de la generación de orden i, aprovechando la circuns­
tancia de que en el idioma inglés cada generación anterior, a partir de la
abuela, tiene una denominación que se forma por la anteposición de la palabra
“ great” . Asi, bisabuela se dice “ great-grandmother” , tatarabuela “ great-greatgrandmother” , etc. Empleando una forma análoga a la que se utiliza en
matemáticas para indicar una potencia puede, por lo tanto, escribirse la
expresión “ great1' 2 -grandmother” para designar a la progenitora femenina
de la generación de orden i. No cabe una traducción literal al español de esta
forma de expresión.
) 32 (
lentam ente en las condiciones de b aja m ortalidad de los
E stado s U nidos y Venezuela, de m odo tal que el nivel 0,50 es
alcan zado a las edades de 53 y 50 añ os, respectivam ente, en
esos dos p aíses, pero sólo a la edad de 34 años en M adagascar.
Cuadro 3a
PROBABILIDADES DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, DE TENER
LA MADRE Y LA ABUELA SOBREVIVIENTES EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Probabilidad de tener la
madre viva
Edad
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
Probabilidad de tener la
abuela viva
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
1,0000
0,9946
0,9870
0,9758
0,9594
0,9356
3,9014
0,8527
0,7846
0,6931
0,5769
0,4393
0,2975
0,1629
0,0443
0,0006
1,0000
0,9895
0,9756
0,9569
0,9317
0,8971
0,8502
0,7879
0,7073
0,6083
0,4921
0,3591
0,2226
0,1029
0,0259
0,0005
1,0000
0,9256
0,8523
0,7817
0,7126
0,6421
0,5660
0,4806
0,3855
0,2859
0,1922
0,1160
0,0611
0,0286
0,0086
0,0002
0,9193
0,8790
0,8232
0,7485
0,6532
0,5385
0,4108
0,2815
0,1652
0,0756
0,0230
0,0035
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,8673
0,8125
0,7424
0,6557
0,5532
0,4383
0,3186
0,2055
0,1120
0,0478
0,0141
0,0022
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,5999
0,5190
0,4329
0,3438
0,2564
0,1773
0,1121
0,0639
0,0321
0,0136
0,0044
0,0008
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
El nivel 0,50 para la abuela m aterna es alcanzado a una edad
que es m enor a las anteriores en casi exactam ente el valor del
intervalo entre dos generaciones. T om a los valores de 27,22 y
6 años en los tres p aíses citados, respectivam ente.
Una mujer de 25 años tiene aproxim adam en te una p ro b a­
bilidad tres veces m ayor de tener su abuela m aterna viva si
ella habita en los E stad o s U nidos en lugar de M adagascar.
) 33 (
Cuadro 3 b
PROBABILIDAD DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, DE TENER
LA BISABUELA Y LA TATARABUELA MATERNAS
SOBREVIVIENTES EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Probabilidad de tener la
bisabuela viva
Edad
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Probabilidad de tener la
tatarabuela viva
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
0,5069
0,3881
0,2716
0,1690
0,0899
0,0386
0,0123
0,0026
0,0003
0,3974
0,2902
0,1931
0,1140
0,0577
0,0239
0,0076
0,0016
0,0002
0,1636
0,1069
0,0642
0,0349
0,0168
0,0070
0,0023
0,0006
0,0001
0,0493
0,0205
0,0068
0,0017
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0303
0,0124
0,0041
0,0010
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0089
0,0037
0,0013
0,0003
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
A plicando la fórm ula (2.3) hem os calculado que una niña
en el m om ento de nacer tiene una probabilidad de tener con
vida a su bisabuela (en la lín ea fem enina) equivalente a
0,5069 en los E stad o s U nidos, 0,3974 en Venezuela y 0,1636
en M adagascar. Com o cada persona tiene cuatro bisabu elas, a
través de los padres y abuelos de am b os sex o s, podem os
estim ar la probabilidad de que una o m ás de las bisabuelas esté
viva (en el m om ento del nacim iento de la mujer considerada)
com o l-(l-0,5069)4 = 0,94 en los E stad o s U nidos y solam ente
1-(1-0,1636)4 = 0,51 en M adagascar. Tal estim ación es inexacta
puesto qu e su pon e la m ism a tasa neta de m aternidad (o de
patern idad), tan to para hom bres com o para m ujeres. Sin em ­
bargo, uno puede inferir q u e la alta tasa de fecun didad y m or­
talidad en las sociedades tradicion ales restringirá la form ación
de hogares exten d ido s linealm ente. Sean cuales fueren las
norm as culturales q u e favorecen tales estru ctu ras, en una
situación de alta m ortalidad, norm alm ente el núm ero de gene­
raciones con tem porán eas será pequeño.
) 34 (
HERMANAS
Q ue una m ujer tenga herm anas m enores depende en p arte de
la sobrevivencia de su m adre a partir de su propio nacim iento
en con traste con lo qu e ocurre en relación con las herm anas
m ayores. Por esta razón, consideram os separadam en te las her­
m anas m ayores de las m enores. N uestro prim er paso es encon­
trar cuántas herm anas m ayores puede esperarse que tenga una
niña cuya edad actual sea a. C om o antes, su ponem os que la
niña nació cuando su m adre ten ía una edad x. En ese m om ento
X
po d ría esperarse que la m adre hubiera tenido
my dy niñas.
E nton ces en contram os que el núm ero esperado de herm anas
m ayores está dado por
S(a) -
<x
m dy] W(x\ t-a ) dx,
[/
a
3
donde W(x | t-a ) es la distribución por edades definida en la
sección precedente. Si la población con siderada es estable, la
fórm ula anterior puede ser reem plazada por:
/
cc
í f my dy] W (x)dx,
oc
J
(3.1.a)
donde W(x) es la distribución definida tam bién en la sección
citada. N ótese que (3.1.a) no depende de la edad a de la niña
que estam os considerando.
) 37 (
A fin de encontrar el núm ero de herm anas m ayores que
están actualm ente vivas se repite el m ism o razonam iento, aun ­
que in troduciendo ahora un facto r que tom e en cuenta la
sobrevivencia de ellas. La niña nacida cuando su m adre tenía
y años, ( y < x ) es x - y años m ayor que su herm ana que ahora
tiene a años de edad, de m odo qu e la herm ana m ayor debe
tener la edad a + x - y años en el m om ento t, si ella está viva.
Por lo tan to , un facto r de sobrevivencia la +xy debe incluirse
en la m ás interna de las integrales:
f
ifm y la ^ y d y ] ^ ) d x .
(3.1.b)
Para calcular el núm ero de herm anas m enores se requiere
una ligera m odificación algebraica. La probabilidad de que la
madre viva desde la edad x (cuando tuvo la hija que ahora
tiene una edad a, en el m om ento t, que es nuestro punto de
partida) hasta la edad z ( z > x ) , y luego dé a luz una hija en el
intervalo de z a . z + dz es ( lz/lx )m z d z . El núm ero esperado de
estas hijas a lo largo de los a años de posible exposición al
riesgo de tener hijas es:
f
a+x
a
Ú A ) "•* dz = f (lx+y/¡x)
m x+y d y .
De donde se deduce que el núm ero esperado de herm anas
m enores es:
s '( a ) =
[/
(lx+y/lx) mx+y dy] W (x\t-a) dx,
siendo reem plazada esta fórm ula para la población estab le,
por
[ / ( lx +y / lx ) mx +y dy} w(x) dxUn facto r l
(3.2.a)
en la m ás interna de las integrales tom ará en
) 38 (
cuenta la sobrevivencia al m om ento t de las herm anas
m enores:
£
[ / (lx+y¡lx) mx+yla-y
W(x) dx~
(3.2.K)
N ótese que el valor lx , en el denom inador, se anula con el
lx que está incluido en W(x), para dar una form a alternativa
de (3.2.a) y (3.2.b).
A dvertim os que en el m odelo usual de crecim iento de
población , la tasa de fecu n didad mx de una m ujer de edad x
puede depender de la edad de la m ujer (es decir, es una tasa
por edad), pero no depende de característica otra alguna
de la m ujer y, en particular, no depende del hecho de
si esa mujer de edad x dio o no a luz durante los
nueve m eses precedentes al m om ento considerado. En otras
palabras, el p erío d o de em barazo y el de am enorrea post-parto
es uno de los fen óm en os que en el m odelo usual de creci­
m iento de población no se tom a en cuenta. Para sim plificar
hem os utilizado ese m odelo a lo largo del trab ajo , a pesar de
darnos cuenta qu e un m odelo m ás com pleto (q u e considerara,
entre otras cosas, el p erío d o de em barazo) nos con du ciría a
fórm ulas qu e diferirían algo de las presentadas aq u í. Por ejem ­
plo, las fó rm u las (3 .2 .a) y (3 .2 .b ) diferirían porq u e una
herm ana m enor de la m ujer considerada no puede nacer
dentro de aproxim adam en te un año a contar del m om ento
del nacim iento de ésta. Tam bién diferirían por esa razón las
fórm ulas relacionadas con las que se exam inan, y que aparecen
en las secciones 4, 5 y 6.
E n el cuadro 4 figuran algunos resu ltados num éricos corres­
pondientes a esta sección. H em os com binado los resu ltados
para las herm anas m ayores y m enores, presentando sim ple­
m ente el núm ero to tal de herm anas. E ste núm ero es m ás de
dos veces m ayor en Venezuela y M adagascar que en los
E stad o s U nidos. El noventa por ciento del núm ero to tal even) 39 (
tu ai de herm anas de una m ujer es alcanzado a la edad de 12
años en los E stad o s U nidos y a la edad de 15 añ os en
Venezuela y M adagascar, lo que refleja la m ayor varianza en
la edad de reproducción en los dos últim os países.
El núm ero de herm anas sobrevivientes alcanza su culm ina­
ción a las edades 25-30 años en los E stad o s U nidos y
V enezuela, y antes, a los 15-20 años, en M adagascar. El
núm ero de herm anas aún vivas es m ayor en M adagascar que
en los E stad o s U nidos hasta la edad de 51 años, a partir de la
cual el efecto de la m ayor m ortalidad dom ina el efecto de la
m ayor fecu n d id ad , de m odo tal que, para la edad m ás alta
(85 añ os), una m ujer de los E stad o s U nidos tiene ap ro xim ad a­
m ente el doble de herm anas sobrevivientes qu e una de
M adagascar.
Cuadro 4
NUMERO ESPERADO DE HERMANAS NACIDAS Y SOBREVIVIENTES
DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Hermanas nacidas
Hermanas sobrevivientes
Edad
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0,6103
0,8860
1,0837
1,1902
1,2351
1,2485
1,2508
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,3250
1,9299
2,4418
2,7934
2,9893
3,0697
3,0917
3,0957
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
1,3804
1,9484
2,4147
2,7351
2,9172
2,9999
3,0296
3,0378
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
3,0393
0,5952
0,8633
1,0541
1,1548
1,1939
1,2003
1,1931
1,1794
1,1594
1,1305
1,0892
1,0309
0,9510
0,8458
0,7152
0,5650
0,4060
0,2544
1,2281
1,7852
2,2518
2,5648
2,7275
2,7761
2,7617
2,7186
2,6558
2,5704
2,4556
2,3040
2,1094
1,8680
1,5801
1,2545
0,9147
0,5980
0,9643
1,3342
1,6067
1,7506
1,7759
1,7170
1,6140
1,4941
1,3696
1,2425
1,1101
0,9679
0,8144
0,6535
0,4947
0,3503
0,2302
0,1385
) 40 (
SO B R IN A S
T om em os nuevam ente, com o punto de partida, una m ujer
seleccionada al azar de edad a , nacida cuando su m adre ten ía
una edad x , y pasem os a considerar el núm ero de sobrinas
nacidas de herm anas m ayores. Una herm ana m ayor, nacida
cuando su m adre ten ía una edad y , tiene un núm ero esperado
ci+x-y
de hijas n acidas que vale /
lzm2dz (cu ando o+ x-y > a ).
A sí, m ediante la in troducción de este facto r en la expresión
(3 .1 .a ), obten em os la fórm ula siguiente com o expresión del
núm ero esperado de sobrinas nacidas de herm anas m ayores:
P
f
oc
X
[/
cc
Ü + X -V
Lf
ce
d z } rn, dy] W (x)dx.
J
(4.1.a)
Si estam os interesados en el núm ero esperado de estas
sobrinas que están sobrevivientes al m om ento t, debe in­
cluirse el facto r la+x_y_2 en la m ás interna de las integrales:
R
f
o:
x
a+x-y
[f U
cc CC
lzmA+x-y-z d z $ my ¿ y ] ^ ( x ) dx
J
J
R eem plazando W(x) por W(x | t-a) se obtienen resu ltados
(4 -1 -b)
para
poblacion es no estables en ( 4 .1 .a ) y ( 4 .1 .b ) , a sí com o en la
expresión ( 4 .2 .a ) que se considera m ás adelante.
¿Q ué po dem o s decir só b re la s sobrinas nacidas de herm anas
m enores de la niña de edad a ? A una herm ana m enor,nacida
) 43 (
cuando su m adre ten ía una edad w (w > x), le corresponde un
núm ero esperado de hijas nacidas
a-y
/
lz m z d z >
donde y = w-x representa la diferencia en edad entre la niña
cuya edad es a y su herm ana m enor cuya edad es a-y. A sí,
m ediante la introducción de este facto r en la expresión (3.2.a),
obten em os la siguiente fórm ula que nos da el núm ero esperado
de sobrinas nacidas de herm anas m enores
[/
11/ y k mz d zl (lx *y /lx) mx*y
W(x)dx.
( 4 .2 .a )
C om o se vio an tes, el fa cto r i que aparece entre paréntesis,
se puede anular con lx contenido en W(x), lo que da una form a
alternativa de esta expresión. Si estam os in teresados en el nú­
mero de estas sobrinas qu e están vivas en el m om ento t, el
facto r la.y.z debe ser incluido en la m ás interna de las in tegra­
les de ( 4 .2 .a ) con el fin de obtener ( 4 .2 .b ) .
En el cuadro 5 se m uestran resu ltados num éricos para el
total de sobrinas sum an do las nacidas de herm anas m ayores y
m enores. En razón de q u e esencialm ente hem os realizado una
convolución por d o s veces de una función de fecu n didad, la
de la m adre de la m ujer considerada y la de sus herm anas, o b ­
tenem os una distribución de “ tener so b rin as” qu e tiene una
varianza m ay or y que es m enos asim étrica qu e la de “ tener
h ijas” . A dem ás, la edad de una m ujer a la cual la m itad de sus
sobrinas ha nacido es, consecuentem ente, cerca de dos años
m ayor que la edad a la cual ha tenido la m itad de su s propias
hijas. A sí, la m itad de las sobrinas de una m ujer ha nacido
cuando éstas alcanzan las edades de 26, 31 y 30 años p á ra lo s
E stad o s U n idos, V enezuela y M adagascar, respectivam ente. El
núm ero de sobrin as aún vivas tiene un m áxim o a las edades de
55-60 años en los E stad o s U nidos y Venezuela y de 45-50 en
) 44 (
M adagascar; luego declina. Sin em bargo, a la edad de 85 años
una m ujer en M adagascar aún tiene cerca de 50 por ciento m ás
sobrinas vivas que una m ujer en los E stad o s Unidos.
Cuadro 5
NUMERO ESPERADO DE SOBRINAS NACIDAS Y SOBREVIVIENTES
DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Sobrinas nacidas
Sobrinas sobrevivientes
Edad
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0,0092
0,0336
0,0954
0,2203
0,4228
0,6844
0,9558
1,1853
1,3467
1,4420
1,4891
1,5086
1,5151
1,5169
1,5173
1,5173
1,5173
1,5173
0,0536
0,1712
0,4434
0,9659
1,8105
2,9637
4,3023
5,6378
6,7923
7,6580
8,2197
8,5342
8,6847
8,7451
8,7648
8,7700
8,7710
8,7712
0,0616
0,1661
0,3820
0,7632
1,3407
2,0897
2,9260
3,7395
4,4344
4,9578
5,3067
5,5129
5,6206
5,6701
5,6899
5,6968
5,6987
5,6992
0,0090
0,0328
0,0931
0,2150
0,4124
0,6671
0,9306
1,1522
1,3058
1,3932
1,4310
1,4382
1,4277
1,4048
1,3699
1,3200
1,2504
1,1568
0,0498
0,1592
0,4120
0,8968
1,6791
2,7447
3,9767
5,1971
6,2380
6,9961
7,4538
7,6586
7,6804
7,5774
7,3820
7,1017
6,7287
6,2496
0,0446
0,1198
0,2735
0,5417
0,9415
1,4468
1,9885
2,4802
2,8500
3,0622
3,1206
3,0562
2,9086
2,7114
2,4864
2,2433
1,9848
1,7121
)45(
TIAS MATERNAS
El núm ero de tía s m aternas de una niña de edad a depende
del núm ero de herm anas que su m adre haya tenido. C onside­
rem os, prim ero, las herm anas m ayores de la m adre. En la
sección 3, S(a) se utilizó para designar el núm ero esperado de
herm anas m ayores de una niña o m ujer de edad a. Si la niña
de edad a nació en el m om ento t-a de una m adre de edad x
(en el m om ento t-a), el núm ero esperado de herm anas m ayores
de la m adre es S (a + x ). A sí, el núm ero esperado de tía s m ater­
nas (d e la niña de edad a ) que son m ayores que su m adre (esto
es, el núm ero esperado de herm anas m ayores de la m adre) es
f ^ S ( a + x ) W (x ¡t-a )d x ,
expresión que tam bién puede escribirse
cc
[ f ^ í f y m d z } W (y\t-a-x) dy] W (x \t-a)d x .
oc oc
Para una población estable, la fórm ula de arriba se reem plaza
por
OC
[ / ^ I / 7 m dz]¡ W (y)d y ] W(x) dx.
OC
(5.1.a)
OC
Si querem os saber el núm ero esperado de estas tía s m ater­
nas que están vivas en el m om ento t, debem os introducir el
) 49 (
facto r la+x+y_z en la m ás interna de las integrales, obteniendo
a sí la expresión (5.1.b).
Considerem os ahora las herm anas m enores de la m adre. En
la sección 3, S'(a ) designaba el núm ero de herm anas m enores
de una m ujer de edad a . Si la niña de edad a nació en el m o­
mento t-a de una m adre de edad x (en el m om ento t-a ),
entonces el núm ero esperado de herm anas m enores de la
m adre será S '( a + x ) . A sí, el núm ero esperado de tía s m aternas
de la niña de edad a , que son m enores que su m adre (esto es,
el núm ero esperado de herm anas m enores de la m adre) es
CC
S '(a + x ) W(x| t- a ) dx,
la que puede tam bién escribirse
/
B
[/
B „ a+x
Lf
(ly +w/ ly) my+w dw } W (y \t-a-x ) dy] W (x \t-a)d x ;
y para una población estable la fórm ula anterior se reem plaza
por
B
/
[/
0 ^ o+x
1/
(ly+u>/ly) my+w dw^ ^ ( y ) dy ] W (*)d x .
(5.2.a)
Para calcular el núm ero esperado de estas tía s m aternas que
están vivas en el m om ento t , debe introducirse el factor
la+x_w en la m ás interna de las integrales a fin de obtener la
expresión (5.2. b ).
El tipo de razonam iento desarrollado anteriorm ente po dría
servir para establecer el núm ero esperado de tía s abuelas m a­
ternas o la frecuencia de otras relaciones de parentesco sim i­
lares.
En el cuadro 6 se m uestran resultados num éricos para tías
nacidas y tía s sobrevivientes. N ótese, en prim er lugar, que
virtualm ente tod as las tías de una m ujer ya han nacido en el
m om ento en que ella alcanza la edad de 15 años. En form a
más precisa, tod as las tía s de una m ujer deben haber nacido
en el m om ento en que ella alcanza la edad 0 -2 ex. A fin de de­
) 50 (
m ostrar esto su pongam os que una m ujer nace en el m om ento
T. Su prim era nieta nacerá no antes del año T+ 2 a y su ú lti­
m a hija nacerá no después del m om ento T + p. L a últim a hija
será la tía m enor de la prim era nieta y nacerá cuando su nieta
alcance una edad (T +P ) - (T + 2cc) = (3-2oc, o m enor. (E n razón
de que el valor de p no es el m ism o en los ejem p los num éricos,
han resu ltado algunos núm eros pequ eñ os de nuevas tía s m ás
allá de la edad de 15 años para V enezuela y M adagascar).
En segundo lugar, el núm ero eventual de tía s esperado es
idéntico al de las herm anas. E sto es sim plem ente porque las
tía s de una m ujer son las herm anas de su m adre; observación
qu e será utilizada m ás adelante en la sección 7 de este d o cu ­
m ento.
Cuadro 6
NUMERO ESPERADO DE TIAS NACIDAS Y SOBREVIVIENTES
DE UNA MUJER, SEGUN SU EDAD, EN TRES
PAISES SELECCIONADOS
Tías sobrevivientes
Tías nacidas
Edad
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
1,2417
3,0400
3,0804
2,9745
3,0173
3,0332
3,0379
3,0390
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
3,0391
1,1891
1,1846
1,1694
1,1455
1,1112
1,0631
0,9975
0,9112
0,8027
0,6741
0,5320
0,3877
0,2551
0,1480
0,0739
0,0311
0,0108
0,0029
2,7257
2,7204
2,6745
2,6001
2,4981
2,3643
2,1934
1,9817
1,7298
1,4443
1,1399
0,8387
0,5666
0,3460
0,1877
0,0888
0,0357
0,0117
1,6379
1,5462
1,4315
1,3059
1,1739
1,0357
0,8910
0,7417
0,5923
0,4502
0,3231
0,2174
0,1361
0,0785
0,0413
0,0196
0,0083
0,0030
1,2491
1,2507
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
1,2509
3,0929
3,0957
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
3,0961
) 51 (
En razón de que tan pocas tías de una m ujer nacen después
que la m ujer m ism a, el núm ero de tía s sobrevivientes decrece
m on ótonam en te, en proporcio'n aproxim ad a a la probabilidad
que la m adre esté viva. En realidad, al m om ento en que una
mujer nace, con form e al régimen supuesto para M adagascar,
un 45 por ciento de sus tía s ya han m uerto. La edad de una
mujer a la cual se puede esperar que la m itad de sus tía s (n aci­
das alguna vez) estén vivas, es de 47 , 43 y 6 años en los
E stad o s U n idos, Venezuela y M adagascar, respectivam ente.
Una m ujer en M adagascar puede esperar tener 2,4 veces más
tías nacidas que una m ujer en los E stad o s U n idos, pero dadas
las m ayores tasas de m ortalidad tendrá de hecho m enos tías
vivas después de la edad de 23 años. En con traste con esta
situación , una m ujer en Venezuela espera tener 2,5 veces m ás
tías nacidas que una norteam ericana y a la edad de 50 años
aún tendrá 2,1 veces más de tía s sobrevivientes.
)52(
PRIM AS
C onsiderem os ahora las prim as m aternas (esto es, las hijas de
tía s m aternas). N uevam ente em pezam os con una niña de edad
a y nos preguntam os prim eram ente acerca del núm ero de sus
prim as, hijas de las herm anas m ayores de su m adre. L a p ro b a­
bilidad de que su m adre tuviera la edad * a x + dx al m om ento
de su nacim iento es W (x)d x y de que su abuela tuviera la edad
y al m om ento del nacim iento de su m adre es W (y)dy. (E sto
es para el caso de una población estab le; para aplicaciones a
casos m ás generales, W(x) y IV(y) serían reem plazadas por
W (x\t-a) y W (y\t-a-x), respectivam ente). L a probabilidad de
qu e su abuela tuviera una hija m ayor a la edad z , donde
z < y, es mz dz. El núm ero previsto de hijas qu e esta herm ana
m ayor de su m adre hubiera ten ido, sería lwmwdw sum ado
desde a h asta el m om ento presente, esto e s a + x + y - z , usando
nuevam ente el artificio de contar el tiem po a través de las eda­
des de las diferentes personas consideradas. A fin de encontrar
la respuesta com pleta, necesitam os solam ente m ultiplicar las
probabilidades e integrar a lo largo de to d as las edades p o si­
bles x (la edad de la m adre al m om ento del nacim iento), y
(la edad de la abuela al m om ento del nacim iento de la m adre)
y z (la edad de la abuela al m om ento del nacim iento de la
herm ana m ayor de la m adre) para obtener
[ / U 7 (f
CE
OC
OC
7
lwmw d w )m z d z l W (y)dy] W (x)dx.
CX
) 55 (
(6.1.a)
El gráfico 1 puede ayudar a seguir las lín eas de descenden­
cia involucradas en este razonam iento.
Gráfico 1
DIAGRAMA DE LEXIS PARA UNA PRIMA, HIJA DE UNA
HERMANA MAYOR DE LA MADRE, DE UNA NIÑA DE EDAD a
Para las prim as cuya m adre es m enor qu e la m adre de la
niña de edad a, necesitam os solam ente reem plazar la integral
a lo largo de z. T enem os que tom ar en cuenta la sobrevivencia
de la abuela hasta esa edad z y , con este p ro p ó sito , reem pla­
zam os mz en la expresión anterior por (lz/ly)mz . A dem ás, los
lím ites de la integración correspondientes tienen que ser m od i­
ficad os; en lugar de integrar entre oc e y , debem os hacerlo
entre
y
y a + x+y. Por lo tan to tenem os
/ '3 [ / ^ [ /
oc
oc
y
J
7 (/
oc
7
lwmw d w )^ m 2 d z} W (y)dy] W (x)dx,
i
y
„
(6 .2 .a )
para prim as cuya m adre es una herm ana m enor de la m adre
de la niña de edad a . L a l del denom inador pu ede sim plifi­
carse con la Z contenida en W(y).
) 56 (
L a sum a de las d o s integrales da el núm ero esperado de
prim as relacionadas a través de las herm anas de la m adre de
la persona considerada. Para obtener el núm ero de sobrevi­
vientes entre ellas, debem os in troducir el facto r la+x+y. z. w en
la m ás interna de las integrales
,ñ r B „ y , a+x+y-z
f
[/
1/ ( /
lwmwla+x+y-z-w dw ) mz dz] W (y)dy] W(x) dx
(6 -1 -b )
para las prim as a través de herm anas m ayores de la m adre, y
R
/
R
a+x+y
[/ U
“
“
a+x+y-z
(f
L
lwmwla+x+y-z-w
y
dw^ T
mz
dz^ W(j) dv] &(x) dx
V
(6 .2 .b )
para las prim as a través de herm anas m enores.
Cuadro 7
NUMERO ESPERADO DE PRIMERAS PRIMAS (HIJAS DE HERMANAS
DE LA MADRE) NACIDAS Y SOBREVIVIENTES DE UNA MUJER,
SEGUN SU EDAD, EN TRES PAISES SELECCIONADOS
Primas nacidas
Primas sobrevivientes
Edad
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
Estados
Unidos
1967
Vene­
zuela
1965
Mada­
gascar
1966
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0,7332
0,9666
1,1701
1,3224
1,4207
1,4754
1,5016
1,5123
1,5160
1,5170
1,5173
1,5173
1,5173
1,5173
1,5173
1,5173
1,5173
1,5173
3,5129
4,6998
5,8527
6,8514
7,6223
8,1512
8,4725
8,6443
8,7243
8,7564
8,7673
8,7704
8,7711
8,7712
8,7712
8,7712
8,7712
8,7712
2,4824
3,2129
3,9064
4,5006
4,9601
5,2811
5,4833
5,5981
5,6566
5,6833
5,6940
5,6978
5,6990
5,6993
5,6993
5,6993
5,6993
5,6993
0,7137
0,9398
1,1353
1,2793
1,3684
1,4119
1,4231
1,4130
1,3872
1,3468
1,2897
1,2126
1,1125
0,9886
0,8432
0,6834
0,5202
0,3680
3,2437
4,3291
5,3729
6,2605
6,9197
7,3324
7,5239
7,5393
7,4212
7,1964
6,8749
6,4553
5,9327
5,3074
4,5915
3,8130
3,0158
2,2535
1,6694
2,1157
2,5050
2,7913
2,9519
2,9884
2,9211
2,7776
2,5834
2,3575
2,1111
1,8510
1,5828
1,3132
1,0516
0,8085
0,5938
0,4148
)5 7 (
En el cuadro 7 figuran resu ltados num éricos derivados de la
inform ación de los tres países seleccionados.
En el m om ento del n acim iento, com o se observó antes al
considerar el núm ero esperado de herm anas, es cuando se
alcanza algo m enos de la m itad del núm ero eventual de prim as
que han de nacer. U tilizando el m ism o tipo de razonam iento
que para las tía s, to d as las prim as de una m ujer habrán nacido
hacia el tiem po en que ella tiene la edad (T+2(3) -(T +2oc) =
= 2((3-oc), lo que es dos veces la edad a la cual to d a s sus her­
m anas habrán nacido. La edad a la cual una m ujer tiene el
m ayor núm ero de prim as sobrevivientes es 30-35 añ os en los
E stad o s U n idos y V enezuela, y 20-25 en M adagascar.
El núm ero eventual de prim as nacidas es idéntico al de
sobrinas nacidas. Se observó en la sección 5 qu e el núm ero
eventual de tía s y de herm anas nacidas era igual. L a presente
observación se deriva de aquélla, to d a vez que las prim as son
las hijas de las tía s y las sobrinas son las hijas de las herm anas.
L a ley q u e sigue el núm ero de descendientes se hace m ás
ex p lícita en la sección 7.
) 58 (
NUMERO EVENTUAL ESPERADO DE PARIENTES
Cada niña nacida viva puede ser tom ad a com o un origen o un
punto de referencia en una lín ea de descendencia. E sto es, en
el m om ento de nacer una niña representa una m adre, una
abuela m aterna, etc., y tam bién un núm ero esperado de hijas
que se conoce com o la tasa neta de reproducción (N ) , un
núm ero esperado de nietas (N 2 ), etc. En esta sección en con ­
trarem os que si uno con oce los valores num éricos de: a) la
tasa neta de reproducción y b ) el núm ero eventual esperado
de herm anas, entonces para una población estable se puede
tam bién calcular el núm ero eventual esperado de cada una de
las posibles categorías de parentesco.
M ediante el uso del térm ino “ núm ero eventual esp erad o ” ,
querem os sólo significar que llevam os continuam ente la cuen­
ta de las personas que nacen en cada una de las relaciones de
parentesco, tales com o “ t í a ” o “ so b rin a” . No querem os decir
que la m ujer (para quien utilizarem os el térm ino an tropológico
“ eg o ” ) que define la estructura, vive b asta o m ás allá de alguna
edad esp ecífica. T o d o s los n acim ientos y m uertes ocurren
con form e con las reglas fijas descritas previam ente. L as can ti­
dades obten idas no se refieren a una edad dada de ego y no
son ni siquiera dependientes de que ella esté to d av ía viva.
En el gráfico 2 se m uestra cóm o se generan las frecuencias
eventuales esperadas. El m ovim iento hacia ab ajo de cada
) 61 (
Gráfico 2
NUMERO ESPERADO EVENTUAL DE
PARIENTES EN UNA POBLACION ESTABLE
Generaciones desplazadas desde ego
-3
-2
-1
0
1*
(8)*
*
(4)*
1#
Tías bisabuelas: S
K
(8)
Tías abuelas: S
,
^
<2)*
Ego: 1*
[\
i
a r
K i (2)
i
Hijas:
(2)
N
K
(4)
...
Tías: S
(4)
N Hermanas:
SXN
jS (8)
K
SXN
(32)
,
i
*
.
SXN2
(32)
SXN3
(128)
SXN3
(64)
,
SXN4
(256)
,
S X N4 *
(128)
S X N 54,
SXNn
(32)
1
^ “S X N 31
SXN4*
(8)
(64)
(16)
Línea de
descen­
Linea
Primeras
dencia
primas
principal
de las her­
manas
N3
i
SXN
( 16)
Sobrinas:
SXN2
(4) SX. N (1 6)
i
^ S X N2 i
N2
2
3
,,,,
(Ib)
Madre: 1*
ir -■
1
N
i
S X N 24,
(64)
S X Ns 4
(256)
(512)
1
SXN6
(1024)
Segundas
primas
Terceras
primas
S = Número eventual esperado de hermanas, IV = Tasa neta de reproducción. Los
números entre paréntesis son sólo multiplicadores aproximados en un modelo de
dos sexos,
indica que el número es exacto.
colum na, de una generación a la siguiente, involucra sim ple­
m ente la m ultiplicación del núm ero precedente por la tasa
neta de reproducción , AL La equivalencia del núm ero espera­
do de herm anas, tía s, tía s abuelas, etc., puede requerir alguna
ju stificació n . N ótese que ego tiene una y sólo una m adre, y
esta m ujer (la m adre de ego) esperaría eventualm ente tener
tantas herm anas com o ego en una población estable. D esde el
punto de vista de ego las herm anas de su m adre son sus tías.
En form a sim ilar se puede razonar para las tía s abuelas, etc.
En el cuadro 8 se dan valores num éricos, para las celdas del
gráfico 2, correspondientes a los tres con jun tos de d ato s u tili­
zados an tesen este docum en to. L as cantidades para herm anas,
tía s, sobrin as y prim as concuerdan con las que se han dado
)62(
antes en el caso de que la m ujer hubiera sobrevivido hasta las
edades m ás avanzadas. Por ejem plo, de acuerdo con las tasas
para 1965 y 1967, una m ujer venezolana esperará tener 31,5
veces m ás prim as terceras (desplazado un tiem po cero) que
una m ujer de los E stad o s U n idos, y 12,7 veces m ás bisnietas.
Cuadro 8
CANTIDADES REPRESENTADAS EN EL GRAFICO 2,
CALCULADAS PARA TRES PAISES
Estados Unidos
V enezuela
Madagascar
1967
1965
1966
H
1,2509
3,0961
3,0393
H X N
1,5173
8,7712
5,6992
H X N2
1,8404
24,8488
10,6871
H X IV3
2,2324
70,3966
20,0404
H X /V4
2,7079
199,4335
37,5797
H X N5
3,2846
564,9951
70,4694
H X IV6
3,9842
1 600,6311
132,1442
N
1,2130
2,8330
1,8752
N2
1,4714
8,0259
3,5164
IV3
1,7848
22,7374
6,5940
T odas las cantidades calculadas hasta a q u í se han lim itado
a m ujeres, relacionadas a través de m ujeres. Si el sex o de la
relación de parentesco es ign orado, y no se considera el sexo
de la persona investigada, el núm ero esperado de parientes
aum enta rápidam ente con la distancia de la relación. El facto r
m ediante el cual cada frecuencia se increm enta es ap ro xim ad a­
m ente una potencia de d o s, que depende de la razón entre
sexo s a diferentes edades. Cada celda del gráfico 2 contiene un
núm ero entre paréntesis qu e m uestra el aum ento en la fre ­
cuencia cuando el con cepto de “ m adre” se generaliza al de
“ pad re” sin distinción de sex o , el de “ herm an a” al de “ her­
) 63 (
m an o” , el de “ h ija” a “ h ijo ” , etc. N ótese que con esta gene­
ralización, el núm ero eventual esperado de herm anos y
herm anas es sólo aproxim adam en te la m itad del núm ero de
tíos y tías, etc.
)64(
TAMAÑO MEDIO DE LA FAMILIA
C onsiderem os ahora fam ilias que estén com pu estas de un n ú ­
cleo fam iliar de m arido, m ujer e hijos so lteros (si hay alguno).
Supóngase que to d o s los niños viven con sus padres hasta que
se casan, y qu e a la inform ación que hem os utilizado a lo largo
de este d ocu m en to, consistente de lx y mx , se agrega ahora una
nueva in form ación : la proporción de m ujeres casadas entre
tod as las m ujeres de edad a , representada por P(a). B u scam os
la proporción de m ujeres casadas en el to tal de la población
fem enina; la recíp ro ca de esta proporción será el núm ero
m edio de m ujeres por fam ilia. (N o con tam os com o fam ilias
separadas aquéllas en las cuales la esposa ha fallecid o ; su n ú ­
m ero está tom ad o en cuenta im plícitam en te com o parte de
algunas otras fam ilias con esposa viva).
Sea f(a 11) la distribución por edades de la población fe m e­
nina en el m om ento t. E ntonces la proporción de m ujeres
casadas en la población fem enina es
/
0
P (a )f(a \ t) da,
donde u> es la edad m ás alta a la cual alguien llega con vida.
Para una población estable, f ( a 11) puede ser reem plazada por
m
= ^ ~ ra/ / V r* dx.
) 67 (
En este caso, el núm ero m edio de m ujeres por fam ilia es
1 / f P (a )f(a )d a .
(8.1)
G oodm an (1953 y 1968) desarrolló expresiones para la razón
entre sexos. H asta donde las poblacion es están fo rm ad as por
núm eros aproxim adam en te iguales de hom bres y de m ujeres,
el núm ero m edio de m iem bros de una fam ilia nuclear, tanto
de hom bres com o de m ujeres, puede encontrarse m ediante la
m ultiplicación por 2 de la expresión anterior, obteniéndose
así
2 / f ° P(a) f(a ) da.
(8.2)
L a fórm ula (8 .2 ) es aplicable cuando: a) cada m ujer casada
form a una fam ilia; b ) cada m ujer soltera es m iem bro de la
fam ilia de alguna m ujer casada (su m adre o su m adre ad o p ­
tiva); c) cada hom bre es m iem bro de la fam ilia de alguna m ujer
casada (su m adre, su m adre adoptiva o su esp osa). L a su po si­
ción im p lícita es que los hijos ilegítim os están tam bién inclui­
d o s en la fam ilia de alguna m ujer casada. E s necesario m od i­
ficar (8 .2 ), cuando las condiciones a), b) o c) no son
satisfech as; pero no entrarem os en lo s detalles de esas m o d ifi­
caciones aq u í.
C onsidérese ahora el caso de la fam ilia exten d ida en o p o si­
ción a la fam ilia nuclear, don d e: a) cada m ujer casada fo rm a
una fam ilia si su m adre está m uerta; b) cada mujer casada es
un m iem bro de la fam ilia de su m adre si ésta está viva; c) cada
m ujer soltera es un m iem bro de la fam ilia de alguna mujer
casada (su m adre o m adre ad o p tiv a); d) cada hom bre es un
m iem bro de la fam ilia de alguna mujer casada (su m adre, su
m adre adoptiva o su esp osa). En este caso el tam año m edio de
la fam ilia está dado por la expresión
2 /í
W(*\ t- a ) d * ] P («) /(« I 0 da,
)68(
donde W(x \ t-a ) es la distribución por edades definida en seccio­
nes anteriores. L a cantidad entre paréntesis de la fórm ula
anterior es la probabilidad de que esté m uerta la m adre de una
m ujer de edad a . Su pon em os a q u í que esta probabilidad no
depende del hecho que la m ujer de edad a esté casada. Si este
su pu esto no se satisface se requieren m odificaciones en la
fórm ula, pero no n os ocuparem os de ellas aq u í. Para una
población estable, la fórm ula de arriba que da el tam año m edio
de la fam ilia exten d ida, se reem plaza por
2 /f
W x) d x] P(a) f ( a ) da,
(8.3)
donde W(x) y f ( a ) se calculan m ediante las fórm ulas dadas
anteriorm ente.
R eferim os al lector a Coale (1965) y B u rc h (1970) para resul­
tad o s relacionados con los qu e acab am os de presentar sobre
este pu n to, pero diferentes. D ichos autores proponen ex p re­
siones para el tam año m edio de la fam ilia nuclear y exten d ida,
con form e con su pu estos algo más restringidos que los nuestros.
Suponen que to d a s las m ujeres se casan; que to d o s los casa­
m ientos tienen lugar exactam ente a la edad m edia del m atri­
m onio, y que to d o s los nacim ientos ocurren a la edad prom e­
dio de dar a luz. Si esto s su pu esto s no se cum plen (com o de
hecho sucede) las fórm ulas utilizadas en las obras m enciona­
das pueden dar resu ltados in correctos, pero las qu e se presen­
tan a q u í continuarán siendo aplicables.
)69(
SUMARIO
En este artícu lo se presentan algunas técnicas sim ples que
pueden ser u tilizadas a fin de establecer las frecuencias esp e­
radas o las probabilidades correspondientes a varias relaciones
de paren tesco. Para las siguientes seis catego rías estas frecuen ­
cias esperadas o probabilidades son dad as según la edad de
una m ujer: 1) hijas y otras descendientes; 2) m adre y otras
progen itoras; 3) herm anas; 4) sobrin as; 5) tía s; 6) prim as. En
lo s casos 1) y de 3) a 6) los núm eros esperados de nacidas y
sobrevivientes son in dicados con fó rm u las designadas a y b ,
respectivam ente. El m étodo es aplicable a parientes m ás dis­
tantes y , con alguna m odificación, a la lín ea m asculina tan to
com o a la fem enina. En la sección 7 m ostram os que la even­
tual frecuencia esperada para cualquier posible relación de
parentesco en una población estable, depende sólo de la tasa
neta de reproducción y del núm ero eventual esperado de
herm anas. En la sección 8 dam os fórm ulas para el tam año
esperado de la fam ilia nuclear y la extendida con form e con
su posicion es sim ples sobre fo rm ación de fam ilia.
L as aproxim acion es num éricas a las integrales fu ero n calcu­
ladas utilizando com o dato de entrada solam ente las tasas por
edad de fecu n didad y m ortalidad (véase el A pén dice). L os
cóm pu tos para la sección 8 requerirían, adem ás, la proporción
de m ujeres casadas en cada intervalo de edad.
)73(
APENDICE
EVALUACION NUMERICA DE LAS INTEGRALES
L a fórm ula (2.1), com o ejem plo de una integral sim ple, estaba
dada por la relación:
Md * ) = / U ' V -'* dx-
(A-1)
G eneralm ente, no podem os evaluar las fu n cion es lx y mx
para valores arbitrarios de x, ya que la inform ación se recoge,
por lo usual, para intervalos quinquenales de edad. A sí, cuando
x es un m últiplo de 5, tenem os la fun ción de la tab la de vida
sLy = / r+5 lx dx
(A.2)
y las tasas de fecu n didad observadas para grupos quinquenales
v+5
sFy - f
v+5
mxkx d x / f
kx dx
(A .3)
donde kx es proporcion al a la distribución por edades obser­
vada.
E xten dem os algo el intervalo de integración redefiniendo
oc com o el m últiplo de 5 m ás grande, que es m enor o igual que
la edad m enor del intervalo de reprod ucción , y 0 com o el
) 77 (
m enor m últiplo de 5 que es m ayor o igual que la edad m ás alta
del intervalo de reproducción . E n ton ces, si y se restringe a
m últiplos de 5, p odem os escribir nuevam ente (A .l) com o
(A.4)
En razón de que cada térm ino de la fun ción integranda es
una función continua, podem os aplicar el teorem a fu n ­
dam ental del cálculo integral a fin de obtener, para
y = a , oc+ 5 , , /3—5, la relación
(A.5)
donde y es algún núm ero entre y e y + 5 , esto e s y < y < y + 5 .
Su pon em os adem ás, prim ero, que y = y + 5/2, y segundo que
my = my+s¡2 = $Fy . L a segunda suposición será cierta si mx es
constante entre y e y + 5 , aunque puede ser tam bién verdadera
conform e con otras condiciones, dependiendo de la distrib u ­
ción por edades den tro del intervalo. A sí pues em pleam os la
siguiente aproxim ación para
(a):
(A.6)
Las o tras integrales sim ples (1.1.a) y ( l.l.b ) fueron evaluadas en
form a análoga.
In dicarem os nuestra aproxim ación num érica a integrales
dobles utilizando una form a general en lugar de una form a
particular. C ada integral doble en este docum en to tiene la
siguiente fo r m a :
S = /
a
f(x,y) dy) g(x)dx,
b¿x)
)78(
donde bl y í>2 son el m enor y el m ayor de los lím ites de in te­
gración de la integral interna y son ellos m ism os fun cion es de
x . Luego la integral interna puede ser resum ida por un nuevo
sím b olo
b Jx )
f(x,y)dy,
Kx) = I
&,(*)
que es una función de x , tal que
(3-5 Z+5
fí
S = ¡
oc
I(x)g(x)dx =
2 /
Z=OC Z
I(x)g(x)dx,
donde ce, (3, y z son todos múltiplos de 5.
De nuevo ahora, aplicando el teorem a fun dam en tal del
cálculo integral, to d a vez q u e / ( x ) es continua,
(3-5
S =
Z+5
2 I(z)f
Z-CC
Z
g(x)dx
para una z, z < z < z+5. Nuestra información es tal que la I ( x )
puede ser evaluada solamente para argumentos que son múl­
tiplos de 5, de modo que nos aproximam os al valor de /(z)
haciendo
[I(z) + I(z+ 5)]. Esta aproximación será exacta si
I(x ) es constante entre z y z + 5, pero también puede ser exacta
o más o menos precisa dependiendo de la configuración de las
funciones que la componen.
H em os ya m ostrado cóm o reducir integrales dobles a in te­
grales sim ples, las que a su vez ya han sido exam in adas; la
reducción de integrales triples, etc., se efectú a en form a an á­
loga, lo que no necesita ser detallado.
Hay dos cam inos obvios para m ejorar la calidad de estas
aproxim aciones. Uno puede suponer que dentro de los in ter­
valos de cinco años lx y mx son lineales, cuadráticas, etc. En
form a alternativa, las funciones SLX y SFX podrían ser aju s­
tadas para edades singulares, o para intervalos de edad aún
m enores; y las sum as precedentes, establecidas para unidades
)79(
de cinco añ os, deberían ser m od ificad as a fin de tom ar en
cuenta que la unidad de sum a sería ahora la de un año.
El segundo cam ino es m ás sim ple en principio, pero hubiera
requerido m ucho tiem po de com putador. C alculam os la p ro ­
babilidad de tener una abuela sobreviviente (fórm u la 2.2) con
los dato s de V enezuela de 1965, utilizando intervalos de cinco
años e intervalos de añ os sim ples de edad, a fin de estim ar el
orden de aproxim ación de las sum as a lo largo de cinco años.
En la tabla I se m uestran nuestros resultados con tres deci­
m ales. Para cada edad parece que los cóm p u tos hechos a
intervalos de cinco añ os subestim an ligeram ente el valor de la
probabilidad verdadera de tener la abuela sobreviviente, por
una cantidad que nunca excede de 0,004 en valor ab solu to.
La discrepancia p o d ría presum iblem ente ser m ayor para
nuestras integrales triples y cuádruples, y m enor para las
integrales sim ples.
Tabla I
COMPARACION DE LOS VALORES DE M2(a) CALCULADOS A
INTERVALOS DE CINCO AÑOS Y A INTERVALOS DE UN AÑO.
VENEZUELA, 1965, POBLACION FEMENINA
Edad exacta
de la niña
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
(2.2)
Probabilidades de tener la abuela sobreviviente calculadas a
Intervalos de cinco años
de edad
Intervalos de un año
de edad
0,867
0,812
0,742
0,656
0,553
0,438
0,319
0,206
0,112
0,048
0,014
0,002
0,000
0,869
0,814
0,745
0,659
0,556
0,442
0,322
0,209
0,114
0,049
0,015
0,002
0,000
)80(
El programa de com putador que produjo los resultados
numéricos de los cuadros 1-7, y que podría ser aplicado a
cualquiera de las fórmulas de las secciones 1-6, fue escrito en
FORTRAN IV, estando disponible, a solicitud del lector.
) 81 (
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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) 85 (
Impreso en los Servicios de
Reproducción de CELADE.