La Geometría dinámica - opción webApp y tabletas táctiles

La Geometría dinámica - opción webApp y tabletas táctiles
Introducción a DGPad - Junio 2015
DGPad es una aplicación de geometría dinámica táctil, pero disponible en WebApp en
computador. Tiene la ventaja de tener un módulo 3D fácil de usar. Su módulo de
graficación de curvas también anticipa las construcciones, lo cual permite explorar las
funciones de manera diferente a la usual.
1.1. Un nuevo concepto de interfaz– las paletas contextuales
Usted tal vez ha usado GGB, Cabri o CaRMetal: todos esos software tienen una interfaz
clásica para sus herramientas: las herramientas están prefijadas, se selecciona una
herramienta y luego los objetos asociados. No siempre tomamos conciencia pues se
tiene la costumbre y los gestos se realizan rápidamente, pero esta interfaz necesita
muchos clics, sobre todo si tienen menús desplegables.
El autor de DGPad pensó en una interfaz más eficaz que necesitara menos contacto con
la tableta, o clic con el ratón. Se decidió por un concepto radicalmente nuevo, el de las
paletas contextuales. Es la elección de una programación objeto centrada en los objetos
geométricos y no en las herramientas. Es como si se despertara un objeto (punto, recta,
segmento, polígono, círculo) y que nos propusiera todo lo que puede hacerse con él. Las
paletas son diferentes para un punto, una recta, un segmento, un círculo…
Son necesarios nuevos gestos, especialmente para herramientas con tres o más entradas
(circuncírculo, ángulo, polígono) : el puntero táctil – el dedo – no se comporta igual que
el ratón; cuando uno levanta el dedo, el sistema no sabe dónde va a aparecer, mientras
que sí sabe dónde está el puntero del ratón aunque no se haga clic. Pasamos de un
puntero continuo a un puntero discontinuo. La interfaz debe tener en cuenta esto para
conservar las construcciones con anticipación.
1.2. La línea de comandos– Modo estándar y modo consulta
La línea de comandos está por defecto en modo estándar. La mayoría de las
herramientas son interruptores que se activan o desactivan. Cuando ninguna
herramienta está activada, es el modo consulta: se puede actuar sobre la figura sin
crear objetos nuevos. Este modo hace parte de esta interfaz abierta.
En el modo consulta, en particular el sistema de referencia 3D es más rápido y se
desplaza sólo con un dedo o clic-izquierdo-arrastre en lugar de dos dedos
(respectivamente clic-derecho-arrastre). Cuando se abre una figura, por defecto está en
modo consulta. “Tocar” una de las herramientas de la línea de comandos hace pasar al
modo estándar (de creación de objetos).
En clase –sobre todo con tabletas–se puede enseñar a los alumnos a pasar de un modo al
otro rápidamente para manipular la figura « en consulta ».
Manipulación de una figura en modo consulta: http://huit.re/PatronsCube
1.3. La paleta de los comportamientos (también contextual)
Esta paleta de comportamientos contiene:
• Comportamientos específicos: anclaje e imantación en 2d, punto flotante en 3D.
• Atajos de la línea de comandos (propiedades, supresión, calculadora).
• Ajustes que no pueden hacerse desde la ventana misma (nombre de puntos y
desplazamiento de objetos superpuestos)
TD 1 - Parte A –Instrumentaciones geométrica y algebraica
Tres figuras planas para una primera panorámica
Ejercicio 1: un primer contacto – las mediatrices de un rombo.
a) Elegir nombres automáticos. Sobre un círculo de centro A que pasa por B tomar un
punto D.
b) Construir el punto C de tal manera que ABCD sea un rombo.
Puede hacerse terminando el paralelogramo:
• Geométricamente (construir segmentos y no rectas)
• Analíticamente: como𝐶 = 𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷se puede construir en DGPad (en la calculadora)
simplemente el punto B+D-A (señalando los puntos).
b) Construir los 4 segmentos de ABCD, luego las
mediatrices del rombo que se cortan en IJKL.
c) Conjeturar la naturaleza de IJKL con las
herramientas del software (medidas en las
propiedades).
d) ¿Cuál es la relación entre las diagonales de IJKL y
el rombo inicial? (puede demostrarse fácilmente con
las propiedades de las mediatrices).
Ejercicio 2: Conjetura– Utilización de una macro estándar.
a) elegir nombres automáticos, construir
con rectas un triángulo ABC, luego una
recta transversal (DE) como se muestra a
continuación, completar con el punto F.
b) Colocar el siguiente nombre sobre I y
construir I, J, K puntos medios de (B, F), (D,
C) y (A, E) respectivamente.
c) ¿Una conjetura?
d) Utilización de las macros: abrir las macro-construcciones, seleccionar « Tests » y
« alineación » y señalar los tres puntos.
Ejercicio3: Manipular herramientas con 3 ítems.
Sobre la misma figura, suprimir todo menos A, B, C y las tres rectas.
a) Construir las bisectrices de dos ángulos del triángulo y su intersección I, luego la
perpendicular a un lado por I, y su intersección con el lado.
b) Terminar el círculo inscrito con la herramienta « Círculo y punto ».
c) Construir, sin nombrarlos, los
puntos medios de los lados del
triángulo (señalando 2 puntos). Luego
utilizar “círculo por tres puntos” para
construir el circuncírculo de los tres
puntos medios.
d) Utilizar el modo «ocultar/mostrar»
para revelar su centro, llamarlo w.
e) utilización de la calculadora (o modo expresión)
en un primer momento calcular la diferencia de los radios, señalando los círculos y
validar. Luego en otra expresión, utilizar el comando d(,)del teclado de DGPad, y calcular
la distancia entre los centros.
f)¿qué significa matemáticamente que
los dos resultados sean idénticos?
TD 1 - Parte B - Micromundo–Crear una macro-construcción
Ejercicio 4: Ejemplo con el fractal de Pitágoras
Consejo: estar atento al orden de los puntos cuando se creen polígonos.
a) Crear un cursorE1de 0 aπ/2, inicializado en 1.
b) Mostrar los ejes, tomar una paralela al eje horizontal por A y un punto B sobre ese eje.
Ocultar los ejes, la recta, trazar el segmento [AB].
c) construir el cuadrado ABCD, geométricamente, o
analíticamente (menos objetos): D=A+i*(B-A) et C=B+D-A
d) Construir el círculo de diámetro [CD] –con la herramienta
círculo por centro y punto, tomando el punto medio I de C y
D.
e) Construir un círculo de centro D y radio fijo, abrir la
calculadora y definir como radio d(D,C)*cos(E1). Los dos
círculos se cortan en K por encima de [CD]. Construir K
acariciando la intersección.
El polígono cuadrado debe construirse en el orden ABCD.
Nota técnica: sería más complicado tomar un punto K sobre el círculo en lugar de un cursor, pues
habría que modificar la macro a mano en un archivo.
f) continuar con dos cuadrados utilizando la macro
cuadrado (macros/polígonos/cuadriláteros/cuadrado)
señalando en orden D y K, luego K y C.
• Se pueden suprimir todos los lados salvo [DK] y
[KC].Así habrá menos objetos.
• es inútil nombrar los puntos, en esta figura tienen
nombre solamente para comunicar el orden.
g) Construir el triángulo DCK luego los cuadrados en
este orden: DKMN y KCPQ. En efecto, si se respeta el
orden aparece el objeto final de la futura macro, con
objeto inicial ABCD, para que pueda reproducirse.
h) fase final: crear la macro señalando primero el cursorE1luego el polígono ABCD.
Estos aparecen como
objetos iniciales, mostrar
simplemente los tres
polígonos: el triángulo y
los dos cuadrados. Luego
darle un nombre a la
macro y validar.
Sólo le falta aplicar la macro al polígono rosado y azul y sucesivamente… esto es lo que
debería obtener…
Aplicar la macro varias veces, luego mover el cursor
TD 1 - Parte C –Representaciones gráficas y anticipación de construcciones
Ejercicio5: gráfica de una función de segundo grado.
a) Crear tres cursores a (de -2 a 2), b (de - 3 a 3) y c (de -10 a 10). Primero se crean – no
olvidar validar, luego desplazarlos antes de crear el siguiente – y luego se les da nombre
con la herramienta propiedades.
Ahora vamos a ver lo que significa la anticipación de construcciones en un módulo de
representación gráfica bien hecho.
b) retomar una expresión y escribir a*x–observar qué pasa - confirmar la construcción de
la curvas seleccionando la herramienta asociada.
c) mostrar el sistema de referencia, pasar a modo consulta para desplazar la figura
(deslizando el dedo) y modificar a. Volver al modo estándar.
d) Seleccionar la curva, modificar a*x por a*x^2 (con el teclado de DGPad).Observar el
cambio.
e) añadir +b. Observar la modificación, luego continuar*x. Observar que cada vez que la
expresión tiene sentido algebraico, el módulo gráfico actualiza la gráfica de la función.
Terminar con +c. Atención, validar al terminar.
Ejercicio 6: utilización de listas para las curvas paramétricas.
DGPad utiliza mucho las listas. Una lista de dos términos es en general un punto. Si ese
punto contiene una variable automáticamente reconocida por DGPad, se convierte en
una función paramétrica en 2D.
a) Crear la siguiente expresión
[cos(5x)+3sin(x), cos(3x)+sin(5x)], con
cotas (0 y 2*π). Trazar la curva con
la herramienta que aparece.
b) Añadir un cursor u, también de 0
a 2πy el punto E1(u). Se obtiene una
curva y un punto móvil.
Nota: este método aún no está implementado
en 3D pero algunas figuras preconstruidas
permiten hacerlo.
c) Prolongación. Se considera la función f(x) = 2-sin(7x)+0.5cos(30x). Trazar la curva
paramétrica g(x) = [f(x)*cos(x),f(x)*sin(x)], en el intervalo [0 2π].
Nota: en estos dos ejemplos se aprecia que entre un número y una variable o una función no hay necesidad
de poner signo de multiplicación pero sí es necesario hacerlo entre dos variables o funciones.
TD 1 - Parte B – Utilización práctica
Ejercicio7: una conjetura antes de calcular.
Esta figura está formada por
dos paralelogramos en los que
una diagonal de uno de ellos es
un lado del otro. Así se
construyen ocho zonas.
Se da el área de la parte en gris
y se pregunta por las otras siete
áreas
a) Hacer rápidamente una figura (con D=A+C-B por ejemplo)
b)con la herramienta polígono, y la medida en las propiedades, evaluar las cuatro áreas
más pequeñas. Enunciar una conjetura sobre todas las áreas.
c) Puede hacerse una demostración.
Ejercicio 7: Lugar y mínimo de una función.
ABC es un triángulo rectángulo en A – tomamos AB
horizontal – y M un punto de la hipotenusa.
Las proyecciones ortogonales de M sobre los lados del
triángulo forman un segmento [PQ]. ¿Para qué
posición de M [PQ] tiene longitud mínima?
a) Construir el lugar con un círculo como se muestra
enseguida.
b)Enunciar un argumento geométrico para el mínimo.
c)Complemento algebraico: si b=AC - en DGPad crear
la variable b=d(A,C) - y c=AB, y si A es el origen de
coordenadas, entonces para x=AP
 b2  2
b2
PQ   1 2  x  2 x  b 2
c 
c

Forzar A en el origen (A=[0,0]), y trazar la función
para ver si coincide con el lugar.