Feb. 2008 2ª semana

Estadística Aplicada a las ciencias Sociales
Examen Febrero de 2008 segunda semana
Ejercicio 1.- En la siguiente tabla, se tiene el número de alumnos de educación de adultos
matriculados en el curso graduado escolar en un Municipio para el curso 2005/2006, por grupos
de edad y modalidad de la enseñanza según los horarios escogidos.
Edad
De 18 a 19
De 20 a 24
De 25 a 34
De 35 a 44
De 45 a 54
Más de 55
TOTAL
Modalidad Modalidad
Intensiva Extensiva
175
200
180
116
49
13
733
110
135
157
25
3
1
431
Calcule la edad media y la desviación típica de los alumnos de la modalidad intensiva y la
mediana de la distribución de la modalidad extensiva.
Ejercicio 2.- En una empresa la media de años de antigüedad de los 895 empleados, es de 11
años y la desviación típica de 3,1. Suponiendo que la distribución de años de antigüedad fuera
una distribución normal calcule:
a) ¿A cuantas unidades de desviación típica se encuentra un trabajador que lleva 2 años en la
empresa, respecto a la media del colectivo?
b) ¿Qué número de trabajadores lleva menos de diez años en la empresa?
c) ¿Cuál será el límite inferior de antigüedad para los 300 trabajadores que llevan más años en la
empresa?
Ejercicio 3.- Una empresa tiene tres departamentos A, B y C, con 20, 7 y 12 trabajadores
respectivamente. Para organizar los turnos de vacaciones decidimos seleccionar al azar,
sucesivamente y sin reposición, a tres trabajadores entre los 39 de la empresa, calcule:
a) La probabilidad de que el primer seleccionado pertenezca al departamento C
b) La probabilidad de que el segundo pertenezca al departamento B.
c) La probabilidad de que el tercero no pertenezca al departamento A.
Ejercicio 4.- Un Instituto de Investigación debe realizar un encuesta para conocer la opinión de
las mujeres sobre el tratamiento informativo de la violencia de género. Para ello toman como
universo poblacional al conjunto de las mujeres españolas de 18 ó más años. ¿Qué tamaño
muestral sería necesario utilizar si el máximo error muestral permitido es del 5%, para un nivel
de confianza del 95,5% y considerando p=q=50%?
SOLUCIONES
Ejercicio 1.
Dada la tabla de la distribución de las edades de los matriculados en el curso de
graduado escolar en la modalidad intensiva, calcularemos la edad media mediante la
fórmula:
n
x=
∑x n
i i
i =1
n
Como los datos están agrupados en categorías por grupos de edad, hallaremos en primer
lugar las marcas de clase o puntos medios de cada intervalo que representarán a cada
grupo de edad en los cálculos. Para cada intervalo procedemos tomando el límite
inferior del intervalo, sumando el límite inferior del siguiente y dividiendo por dos:
Grupos de
Marca de
Edad
clase Xc
De 18 a 19
19
De 20 a 24
22,5
De 25 a 34
30
De 35 a 44
40
De 45 a 54
50
Más de 55
60
TOTAL
Modalidad
Intensiva
175
200
180
116
49
13
733
A continuación multiplicamos la marca de clase de cada intervalo por la frecuencia para
obtener después el sumatorio de los productos:
ni
Xc
19
22,5
30
40
50
60
175
200
180
116
49
13
733
Total
xi*ni
3325
4500
5400
4640
2450
780
21095
n
x=
∑x n
i i
i =1
n
=
21.095
= 28,78
733
Conocida la media podemos calcular la varianza o suma al cuadrado de las desviaciones
a la media, ayudándonos de la siguiente tabla:
Edad
De 18 a 19
De 20 a 24
De 25 a 34
De 35 a 44
De 45 a 54
Más de 55
TOTAL
∑ (x
V=
(xi-media)2 (xi-media)2*ni
Xc
media
(xi-media)
19
28,779
-9,7789905 95,6286542 16735,01449
22,5
28,779
-6,2789905 39,4257211 7885,144215
30
28,779 1,22100955 1,49086432 268,3555777
40
28,779 11,2210095 125,911055 14605,68242
50
28,779 21,2210095 450,331246 22066,23107
60
28,779 31,2210095 974,751437 12671,76869
74232,19645
2
n
i =1
Modalidad
Intensiva
175
200
180
116
49
13
733
i
)
− x ni
N
=
74232,196
= 101,272
733
La desviación típica será entonces:
S = V = 101,272 = 10,0634
Para obtener la mediana de la distribución de edades de la modalidad extensiva
procedemos a calcular las frecuencias acumuladas:
Edad
ni
Na
De 18 a 19
De 20 a 24
De 25 a 34
De 35 a 44
De 45 a 54
Más de 55
TOTAL
110
135
157
25
3
1
431
110
245
402
427
430
431
Dividiendo por dos en número de casos (431/2=215,5) vemos que el número acumulado
de la mitad de los casos está en el intervalo “De 20 a 24 años” y procedemos a calcular
mediante la fórmula:
 5
 431
c
N
= 23,91
Me = Li +  − N a −1  i = 20 + 
− 110 
 135
 2
 ni
2
Ejercicio 2.
Al tratarse de una distribución normal, utilizaremos la fórmula de las puntuaciones
tipificadas Z y las tablas de áreas bajo la curva normal.
a) Las puntuaciones Z normalizadas consisten en expresar la diferencia entre un
valor de la variable y la media de la distribución, medida en unidades de
desviación típica. Podemos obtener el dato pedido directamente de la fórmula:
Z=
xi − x 2 − 11
=
= −2,90
S
3,1
b) Calcularemos primero el número de unidades Z que existen entre los 10 años y
la media
xi − x 10 − 11
=
= −0,32
S
3,1
Consultando las tabla de la curva normal obtenemos la proporción de casos que hay
entre ese valor y la media (obviando el signo, ya que la curva es simétrica y las tablas se
refieren sólo a los valores positivos de Z)
0,1255 o el 12,55%
Pero como se pide hallar la proporción de casos con MENOS de 10 años, sabiendo que
la tabla representa el 50% de los casos restaremos el valor obtenido para hallar la
proporción de casos por debajo de 10:
Z=
0,5-0,1255=0,3745
Vemos que el 37,45% de los casos están por debajo de los 10 años de antigüedad, que
expresado en número de trabajadores será el 37,45% de los 895 empleados, es decir
335.
c) Para hallar el límite inferior de años de antigüedad de los 300 trabajadores que
levan más años en la empresa comenzaremos por calcular la proporción que
suponen los 300 trabajadores sobre el conjunto de la empresa:
300
= 0,3352
895
Como el área que proporcionan las tablas se refieren al valor acumulado entre la media
y un punto, debemos restar
0,5-0,3352=0,1648
Consultando las tablas de la curva normal, obtenemos el valor Z correspondiente a esa
proporción: aproximadamente Z=0,425
Conocido Z, podemos despejar xi de la fórmula:
xi − x
S
xi = Z ⋅ S + x = 0,425 ⋅ 3,1 + 11 = 12,31
podemos asegurar entonces que los 300 trabajadores con mayor antigüedad, superan los
12 años.
Z=
Ejercicio 3.
Al tratarse de selecciones al azar sucesivas y sin reposición, calcularemos las
probabilidades de la siguiente manera:
a) La probabilidad de que al extraer un trabajador pertenezca al departamento C
será igual al número de trabajadores de ese departamento dividido por en
conjunto de los trabajadores de la empresa:
p=
Casos en el Dpto. C
12
=
= 0,31
Total de trabajadores 39
b) Para hallar la probabilidad de que el segundo trabajador pertenezca al
departamento B, al haber seleccionado ya un trabajador sin reposición, se deberá tener
en cuenta que el número de trabajadores se ha minorado en una unidad.
Podemos plantear que hay dos posibilidades: que el primer seleccionado fuera de B y
que no fuera de B (que fuera de A o de C). Calcularíamos entonces la probabilidad de
que en la primera extracción hubiera sido de B y que la segunda también. Al ser sucesos
independientes, se trata de un producto de probabilidades:
P( B & B' ) = P( B) * P( B' ) =
7 6
* = 0,1795 * 0,1579 = 0,0283
39 38
La probabilidad de que el segundo fuera de B no habiendo sido en primero B (que fuera
de A o C) sería
P ( B) * P ( B') =
7 32
* = 0,1795 * 0,8421 = 0,1511
39 38
Como el suceso se puede verificar de ambas formas, la probabilidad de que ocurra será
la suma de las probabilidades:
P ( B & B' ) + P( B & B') = 0,02834 + 0,15114 = 0,17948
Como podemos ver, al ser sucesos independientes, obtenemos el mismo resultado que si
hubiéramos calculado directamente
p=
7
Casos en el Dpto. B
=
= 0,17948
Total de trabajadores 39
c) La probabilidad de seleccionar a un tercer trabajador que no pertenezca al Dpto. A,
significa que deberá pertenecer a los departamentos B o C. Como en el caso anterior,
independientemente de lo que hubiera sucedido antes, podemos evitar el cálculo de las
cuatro posibilidades de ocurrencia diferentes del suceso y calcular directamente:
p=
Casos en los Dptos. B y C (7 + 12) 17
=
=
= 0,48718
Total de trabajadores
39
39
Ejercicio 4.
Al tratarse de una población mayor de 100.000 utilizaremos la fórmula del tamaño
muestral para poblaciones infinitas:
Tomando p = q = 0,5, considerando que el nivel de confianza del 95,5% se corresponde
aproximadamente con un Z=2 y que el error permitido en forma de proporción será
e = 0,05
Z 2 pq 2 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5
= 400
n= 2 =
e
0,05 2