Parcial 2

Segundo examen Parcial de Matemáticas I, Semestre 02 de 2006
Octubre 14 de 2006. 12 m.
Nombre:____________________________________ Carné_________
Profesor:___________________________________
Grupo:________
Observaciones: La interpretación de los puntos del tema hace parte del examen, por lo tanto no
se admiten preguntas durante su desarrollo. Toda respuesta debe estar numerada.
La duración del examen es de una hora y cincuenta minutos.
1. Valor (20 %)
f definida por: f ( x ) = − 2 + 5 x es invertible en su dominio. Hallar una fórmula
−1
para la función inversa y el dominio de f .
La función
2. Valor (29 %)
Calcular los siguientes límites (En este punto no se permite utilizar la Regla de L’Hopital)
En los numerales 2.1 y 2.2 la expresión [ x ] denota la función parte entera de x
2.1 (4%)
lim ( [ x ] - x )
2.2 (4%)
4 x 2 − a x − 3a 2
x→ a
x−a
2.4 (7%)
x→ 2+
2.3 (7%)
lim
2.5 (7%)
lim
3
h→ 0
lim ( [ x ] - x )
x→ 2−
sen( 3 x )
x → 0 tan( 2 x )
lim
h+1 −1
h
3. Valor (15 %)
La siguiente es la gráfica de una función y = g ( x ) cuyo dominio es ( −∞ ,+∞ ) y que tiene por
asíntotas el eje
y , la recta y = −3 y la recta que contiene los puntos P(-4,0 ) y Q( 0,1 ).
Se pide calcular, (sin justificar), el valor de los siguientes límites:
g( x )
lim
,
x→ −∞
9
x2 + 1
lim
,
x→ − 2+ g( x ) + 1
lim− ( g( x ) + 3) ,
x→− 2
lim− g( x ) ,
x→0
1 ⎞
⎛
lim ⎜ g ( x ) − x ⎟
x → +∞
4 ⎠
⎝
4. Valor ( 20% )
Considerar la siguiente función:
⎧ ae x + b
⎪
F ( x) = ⎨ 2
⎪ ax 2 + x − b
⎩
si
x<0
si x = 0
si x > 0
4.1 (12%) Hallar los valores de las constantes a y b para que la función sea continua en x = 0
4.2 (8%) Pruebe que existe un número real c en el intervalo abierto ( 0,1) tal que F ( c ) = π
5. Valor (16 %)
Sea w =
3
( ) . Usar las propiedades de la derivación detalladamente, (es decir
x − e2 e x
x −1
3
escribiendo todos los pasos), para calcular
dw
en términos que solamente dependen de x (No
dx
se exige simplificar su respuesta).
Espacio reservado para la calificación:
1
2.1
2.2
2
2.3
3
2.4
2.5
4
4.1
5
4.2
total
calificación