Análisis de la Envoltura de Datos – Usos y

Título:
Análisis de la Envoltura de Datos – Usos y Aplicaciones
Autor:
David Güemes Castorena, D.Sc.
Fecha:
Julio del 2004
Palabras Clave: Análisis de la Envoltura de Datos, DEA, Análisis de Eficiencia
Resumen
Este artículo se enfoca a describir la utilización de una metodología de programación lineal
llamada Análisis de la Envoltura de Datos, DEA (del inglés Data Envelopment Analysis), para
determinar la eficiencia interna de unidades de negocio, poder compararlas y determinar
acciones para incrementar la eficiencia de las unidades de negocio que necesitan mejorar. La
descripción de la metodología se presenta, así como los pros y los contras del uso de DEA. Un
ejemplo se ilustra y los resultados del análisis son explicados posteriormente.
1. ¿Qué es un Análisis de la Envoltura de Datos (DEA)?
DEA es una metodología que se utiliza para analizar la eficiencia relativa de varias unidades de
negocio que participan en el análisis comparativo (una unidad de negocio se refiere a unidades
que tienen características semejantes entre si, que tienen objetivos y funciones similares). La
metodología utiliza técnicas de programación lineal y principios de análisis de frontera para
analizar la eficiencia relativa de dichas unidades de negocio, donde la presencia de múltiples
entradas y múltiples salidas hace que una comparación sea muy difícil de realizar.
DEA simplifica el benchmarking – la comparación de ciertas unidades contra las unidades que
obtienen mejores resultados en la misma área. Existen ocasiones en las que necesitamos
comparar unidades de negocio sobre las cuales podemos tener influencia en el desempeño de
los mismos, y necesitamos conocer cuáles son las unidades que no son eficientes, no
proporcionan la calidad esperada, y/o no son efectivos, para identificar sus debilidades y poder
tomar acción para elevar su nivel de eficiencia. Comúnmente tenemos toda la información
disponible para todas las unidades de negocio, pero no tenemos una forma de analizar la
información sobre el desempeño de las unidades de negocio y tampoco podemos compararla.
Ejemplos de las unidades de negocio pueden ser los proveedores de servicios, las constructoras,
las instituciones financieras, las instituciones educativas (universidades, colegios, escuelas),
instituciones de salud (hospitales, clínicas), fábricas, tiendas, centros de investigación, gobiernos
locales, etc., y ejemplos publicados de aplicaciones de DEA en estas áreas son extensos.
Un método que se ha utilizado comúnmente para determinar las eficiencias de las unidades de
negocio es el análisis de radios. Este análisis es sencillo de utilizar pero no es fácil de interpretar
cuando las entradas y salidas son múltiples. Veamos un ejemplo de empresas constructoras, tal
como se presenta en la Tabla 1.
Tabla 1. Perfiles de las empresas constructoras.
Entradas
Constructora
Empresa A
Empresa B
Empresa C
Empresa D
Empresa E
Costo
900
1500
1000
1400
1900
Personal
15
17
11
16
29
Salidas
Construcción K
35
40
20
40
70
Construcción L
30
37
14
23
19
Construcción M
9
25
14
35
63
Las empresas constructoras de la Tabla 1 realizan diferentes tipos de construcciones con
diferentes costos y empleando una cantidad diferente de empleados. Existen casos donde la
productividad de la empresa i es mayor que la de la empresa j al utilizar determinadas variables,
pero puede ser menor al utilizar otras variables. Para poder ver todos los radios, veamos la
Tabla 2, y tomemos el ejemplo de la empresa B que es la más eficiente en la construcción tipo
L, pero no en los demás radios.
Tabla 2. Radios de interés para el análisis.
Costo /
Costo /
Costo /
Const. K
Const. L
Const. M
25.71
30.00
100.00
Empresa A
Empresa B
37.50
40.54
60.00
Empresa C
50.00
71.43
71.43
Empresa D
35.00
60.87
40.00
Empresa E
27.14
100.00
30.16
Const. K /
Personal
2.33
2.35
1.82
2.50
2.41
Const. L /
Personal
2.00
2.18
1.27
1.44
0.66
Const. M /
Personal
0.60
1.47
1.27
2.19
2.17
Nota: Los radios sombreados son los más eficientes.
Usando el análisis de radios, se puede ver que la empresa C es la más ineficiente, pues no es
eficiente en ninguna categoría. Comúnmente se le asignan una ponderación a cada tipo de radio
para obtener una suma ponderada y poder evaluar las diferentes empresas, pero este paso
asume que el tomador de decisiones conoce la importancia relativa de las opciones –
dependiendo del análisis y de la industria de la que se hable, existen radios que comúnmente
utilizados pero donde no existe un patrón o un promedio aceptado para dicho radio y el encontrar
dicho patrón es un problema en sí que se tiene que resolver antes de abordar el problema
original.
Otro método que se ha utilizado es el análisis de regresión donde la variable de salida es
representada como una función de las variables de entrada. Este tipo de análisis genera un
estimado de la relación entre las entradas y las salidas del sistema, y determina una relación
entre las variables que puede ser positiva o negativa. Si este análisis se realiza para estudiar la
eficiencia de un conjunto de organizaciones, aquellas organizaciones que sean más eficientes
que la media se verán beneficiadas y aquellas que salgan por debajo de la media se verán
perjudicadas. En este tipo de análisis lo que se mide es el desempeño promedio y no la
eficiencia global, y también la función de producción del sistema se debe de determinar con
anterioridad y en la mayoría de los casos, eso es precisamente lo que se está buscando, pues la
relación entre entradas y salidas no se conocen con precisión.
En el caso de las constructoras, se pueden realizar regresiones entre las dos variables de
entrada (costo y personal) y cada una de las variables de salida, siendo tres las posibles
combinaciones. Con las regresiones es posible predecir el valor esperado de cada caso, y si en
realidad se superó ese valor esperado, entonces la unidad operó con mayor eficiencia – residual
positivo. En la Tabla 3 se muestran los valores residuales para las tres regresiones posibles.
Tabla 3. Residuales de la regresión de las variables de entrada vs. Cada una de las variables de
salida y sus valores reales.
Constructora Construcción K
Construcción L
Construcción M
Empresa A
1.58
6.53
-2.85
Empresa B
0.17
11.54
-8.63
Empresa C
-3.47
-11.08
3.78
2.94
-2.33
5.81
Empresa D
Empresa E
-1.22
-4.65
1.90
Nota: Los residuales sombreados son los más eficientes.
Los valores residuales de la Tabla 3 nos pueden proporcionar información sobre la empresa D
que obtiene dos residuales positivos, lo que significa que su desempeño es mejor que el
promedio de las empresas. Esto no significa que su desempeño sea el mejor o el más óptimo,
sino que es mayor al del promedio. En lugar de determinar el mejor desempeño global, el
análisis de regresión identifica el mejor-comparado-al-promedio en cada una de las categorías
individuales. En este sentido, el análisis de regresión no es mejor que el análisis de radios.
DeLancer (1996) nos comenta que “los análisis tradicionales de radios y de regresión, que son
las técnicas más comunes para medir el desempeño, nos proveen información limitada sobre la
eficiencia y/o efectividad”. DEA resuelve los problemas con los que se enfrenta el análisis de
radios y el análisis de regresión al permitir la comparación simultánea entre varias entradas y
salidas del sistema y al no fijar de antemano una función de producción. Como nos explica
Charnes (1994), DEA tiene las siguientes ventajas:
•
•
•
•
DEA no requiere la imposición de una función específica de producción que relacione las
variables independientes con las variables dependientes. DEA asigna matemáticamente
valores ponderados para las variables de entrada y de salida, lo que evita que un
“experto” asigne los valores ponderados (Nyhan & Martin, 1999).
DEA realiza comparaciones simultáneas de procesos con múltiples variables de
entradas y salidas y produce una “eficiencia” agregada para cada institución.
DEA puede calcular la cantidad de recursos que se pueden ahorrar, o la cantidad de
recursos adicionales para aquellas instituciones que no son eficientes.
DEA se puede utilizar para determinar la eficiencia técnica y/o económica, si la
información es proporcionada.
Sin embargo, también DEA tiene sus limitantes, entre ellas están
• DEA no tiene indicadores para medir error.
• DEA no es apropiado para probar hipótesis.
DEA está basada en el trabajo de Farrell (1957) “La medición de la eficiencia productiva” y se
puede considerar a DEA como una generalización de la eficiencia técnica de una entrada y una
salida considerada por Farrell, y ampliada al caso de múltiples entradas y múltiples salidas
(Charnes, Cooper, Lewin y Seiford, 1994).
DEA se utiliza para estimar la eficiencia de unidades de negocio semejantes – las cuales
pueden ser unidades de un mismo negocio o de la competencia. En este artículo se ha definido
el término de “eficiencia” como: el radio de las salidas sobre las entradas a un sistema, y en el
caso de un sistema que consiste de una sola entrada y una sola salida, eficiencia se puede
definir como:
Eficiencia =
salidas
entradas
En el caso de un sistema con múltiples entradas y salidas, eficiencia se puede definir como:
Eficiencia =
suma ponderada de las salidas
suma ponderada de las entradas
Con múltiples entradas y salidas, la eficiencia es difícil de estimar, especialmente cuando los
valores utilizados para la ponderación son desconocidos y se necesitan calcular a priori, como se
ha mencionado con anterioridad. Charnes, Cooper y Rhodes (1978) desarrollaron una
metodología donde a cada unidad de negocio se le determinan sus propios valores para la
ponderación, y así poder calcular la eficiencia relativa a las demás unidades.
Es importante mencionar que DEA ofrece una considerable flexibilidad al seleccionar las
variables de entrada y de salida, ya que pueden ser variables continuas, ordinales, e incluso
variables categóricas. Inclusive para modelos de DEA más complejos, las variables de entrada
pueden ser catalogadas como controlables e incontrolables por parte de la administración – un
ejemplo de una variable incontrolable puede ser el nivel de competencia en una región para
cierta unidad de negocio.
El modelo básico de DEA propone que la eficiencia de la unidad de negocio j0 se puede obtener
al resolver el siguiente modelo (Boussofiane, Dyson, & Thanassoulis, 1991):
t
Max h0 =
∑u
r =1
m
r
y rj0
∑v x
i =1
i
Ecuación (1)
ij 0
Sujeta a:
t
∑u
r =1
m
r
y rj
∑v x
i =1
i
≤ 1, j = 1,..., n,
ij
u r , vi ≥ ε , ∀r e i,
donde:
y rj =
cantidad de la salida r de la unidad j,
x ij =
cantidad de la entrada i de la unidad j,
ur =
vi =
n=
t=
m=
ε =
ponderación dada a la salida r,
ponderación dada a la entrada i,
número de unidades en el estudio
número de salidas,
número de entradas,
número positivo muy cercano a cero.
La ecuación (1) nos presenta que la unidad j0 es eficiente (h0 = 1) cuando al compararse con otras
unidades, no se presenta algún indicio de que los recursos se estén utilizando ineficientemente. La
solución a la ecuación (1) produce la eficiencia de la unidad evaluada j0. La eficiencia de la unidad
j0 se maximiza al mantener la eficiencia de las demas unidades con un valor máximo de 1. Como
se mencionó previamente, éste modelo tiene la peculiaridad de manejar los valores para las
ponderaciones ur y vi como desconocidos, y dichos valores se encuantran al resolver la ecuación.
La eficiencia de cada unidad se obtiene al resolver la ecuación (1) para cada unidad de negocio, y
los valores de las ponderaciones cambiarán para cada unidad de negocio tratando de maximizar la
eficiencia.
La eficiencia se puede redefinir, de acuerdo a Charnes y Cooper (1985), y con referencia a la
ecuación (1):
Una unidad es 100% eficiente cuando:
1. Ninguna de sus salidas puede ser incrementada sin
(i)
aumentar una o más de las entradas, ó
(ii)
reducir alguna de las otras salidas.
2. Ninguna de sus entradas puede ser reducicida sin
(i)
reducir alguna de las salidas, ó
(ii)
aumentar alguna de las otras entradas.
El modelo que se presenta en la ecuación (1) es un problema fraccional que se puede convertir a
la forma lineal y utilizar los métodos de programación lineal para su solución. La transformación se
presenta en la ecuación 2.
s
Max h0 = ∑ u r y rj0
Ecuación (2)
r =1
Sujeto a:
m
∑v x
i =1
t
i
ij0
=1
m
∑ u r y rj − ∑ vi xij ≤ 0, ∀j
r =1
i =1
u r , vi ≥ ε
En la ecuación (2) el objetivo ha sido linealizado, y métodos como simplex se puede utilizar para
resolver el sistema.
2. Representación Gráfica de DEA
Una representación gráfica de la metodología es útil para la comprensión del análisis DEA. La
Figura 1 presenta un sistema con una sola entrada (x) y una sola salida (y) – personal vs.
construcción tipo M. Debido a que DEA utiliza múltiples entradas y salidas, la representación
gráfica en la Figura 1 corresponde al de un DEA simplificado a una entrada y una salida.
Analizando la Figura 1 se puede ver que DEA se enfoca en las unidades como tal, y no en su
comportamiento promedio. DEA es capaz de determinar las unidades que se desempeñan mejor,
y son las unidades que se encuentran en la extremidad –constructoras C, D y E– pues con menor
cantidad en las variables de entrada (personal) produce una mayor cantidad en las variables de
salida (construcciones M); a su vez, DEA también es capaz de fijar metas para las unidades que
son ineficientes –constructoras A y B–, y para esto toma como referencia a unidades de negocio
estudiadas en el análisis – es decir, toma unidades reales, y no comportamientos ideales. Dichas
metas se obtienen al extrapolar los valores hasta la frontera delimitada por las unidades que
alcanzan el 100% de eficiencia. Esta extrapolación se puede ver en la Figura 2, la cual muestra
un caso de dos salidas y una entrada.
Figura 1. Ejemplo gráfico de DEA con una entrada y una salida.
70
Mejor
Práctica
Cosntrucción M (y)
60
E
CDE
50
40
D
30
Comportamiento
Promedio
B
20
C
10
A
0
10
15
20
Personal (x)
25
30
La Figura 2 presenta el conjunto de constructoras donde se han graficado en el eje X los valores
de “Construcciones L / Personal” y en el eje Y los valores de “Construcciones M / Personal”. En
este caso específico, las unidades que producen mayores cantidades de ambas salidas serán
las más eficientes, y ellas formarán lo que se le denomina “la envoltura” de las unidades más
eficientes. En la Figura 2, las constructoras que son 100% eficientes son B, D, y E. Las
constructoras A y C son ineficientes y se encuentran localizadas debajo de la envoltura formada
por las unidades más eficientes. En este caso, la envoltura se ha prolongado entre la unidad E y
el eje Y, al igual que entre la unidad B y el eje X.
Figura 2. Representación Gráfica de un sistema con 2 salidas y 1 entrada.
2.5
Mejor
Práctica
E
D
Cosntrucción M / Personal
2
EDB
C´
B
1.5
C´´
C
1
A
0.5
0
Origen
0
0.5
1
1.5
Construcción L / Personal
2
2.5
Para la constructora ineficiente C, el grupo que sirve como referencia para obtener un valor el
cual la unidad C puede alcanzar, está determinado por las unidades D y B, y se ha representado
como C’ (ver Dyson, Thanassoulis y Boussofiane, 1990). Dado que para C existen varias formas
de mejorar su eficiencia, la cual implica acercarse a la frontera sin importar el camino que se
siga, tal como lo muestra el punto C’’ el cual resulta en aumentar únicamente la producción de la
construcción tipo L. La eficiencia de C se puede calcular usando la Figura 2, la cual nos muestra
los puntos C y C’, donde éste último es el que representa la unidad C si fuese 100% eficiente;
OC
, donde O es el origen.
entonces la eficiencia de C se da por la relación de las distancias
OC'
3. Construcción y resultados de un modelo DEA
El modelo de DEA se construye más fácilmente si se utiliza la ecuación (2) y se resuelve
utilizando el modelo simplex – se recomienda utilizar un programa de cómputo genérico de
programación lineal. Los resultados de resolver el problema de las constructoras se vería como
lo muestra la Tabla 4, que nos muestra que sólo la empresa C está trabajando ineficientemente
en comparación con las otras empresas.
Tabla 4. Eficiencia relativa usando el Análisis de la Envoltura de Datos.
Constructora Eficiencia Relativa
Empresa A
Empresa B
Empresa C
Empresa D
Empresa E
100.00
100.00
74.35
100.00
100.00
Si regresamos a revisar el análisis de radios y el de regresión, podemos corroborar la ineficiencia
de la empresa C, sin embargo no podemos conocer cuales son las probables mejoras que se le
pueden hacer a la empresa C. DEA si nos puede proporcionar estos valores y nos presenta que
para la empresa C las empresas que sirven de benchmarking son la B y la D por la proximidad a
su desempeño dado se encuentran en la frontera más eficiente. Haciendo un análisis semejante
al que nos muestra la Figura 2, podemos calcular las mejoras potenciales a la empresa C, y se
muestran en la Tabla 5. Por ejemplo, la empresa C puede mejorar el número de las
construcciones K y L en un 34% y las tipo M en un 50%, tal y como lo hacen las empresas B y
D, con los recursos con los que cuenta, y además el costo lo puede reducir en 3%.
Tabla 5. Constructora C con análisis de mejoras potenciales.
Constructora Costo Personal Construcción K
Empresa C (original)
Mejoras potenciales (%)
Empresa C mejorada
1000
-3%
970
11
0%
11
20
34%
26.8
Construcción L Construcción M
14
34%
18.76
14
50%
21
Es importante hacer notar que en este ejemplo fue una sola unidad de negocio la que no fue
eficiente de un total de 5; esto se debe a que el poder discriminatorio de DEA trabaja mejor
cuando el número de unidades de negocio es grande – un número mínimo de unidades de
negocio que se recomienda para DEA debe se tres veces el número de variables de entrada
multiplicado por el número de variables de salida (Güemes, 2001). En ejercicios con un número
grande de variables de entradas y salidas, es importante realizar análisis de correlación entre las
variables para poder reducir el número de variables del estudio y aumentar el poder
discriminatorio de DEA.
4. Resumen y Conclusiones
Los análisis de eficiencia o de desempeño se han estado desarrollando con herramientas que no
nos explican bien lo que está sucediendo en realidad. En este artículo se explicó una
metodología alterna que nos ayuda a poder comparar la eficiencia de las unidades de negocio de
una manera más clara y objetiva llamada Análisis de la Envoltura de Datos o DEA (por sus siglas
en inglés). DEA es superior al análisis de radios y al de regresión ya que incorpora la
optimización en lugar de los promedios; también evita la asignación de ponderaciones arbitrarias
asignadas por el analista. Sin embargo, al ver que DEA posee ventajas sobre métodos
alternativos, es recomendable que las 3 herramientas se usen conjuntamente para poder obtener
una perspectiva más completa de la situación analizada.
5. Bibliografía
Boussofiane, A., Dyson, R. G., & Thanassoulis, E. (1991). Applied data envelopment analysis.
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Charnes, A., & Cooper, W. W. (1985). Preface to topics in Data Envelopment Analysis. Annals
of Operations Research, 2, 59-94.
Charnes, A., Cooper, W. W., & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making
units. European Journal of Operational Research, 2(6), 668-697.
Charnes, A., Cooper, W. W., Lewin, A. Y., & Seiford, L. M. (1994). Data Envelopment Analysis:
Theory, Methodology, and Application: Kluwer Academic Publishers.
DeLancer, P. M. (1996, June). Public productivity and data e-nve-lopm,-nt analysis (DEA): How
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Administration, Atlanta, GA.
Dyson, R. G., Thanassoulis, E., & Boussofiane, A. (1990). A Data Envelopment Analysis
tutorial, [www document]. Adapted from the 'Data Envelopment Analisis' in Tutorial Papers in
Operational Research, L. C. Hendry and R. W. Eglese eds. Operational Research Society,
1990. Available: http://wwww.warwick.ac.uk/~bsrlu/dea/deat/deat1.htm [1999, 11/29/1999].
Farrell, F. M. (1957). The Measurement of Productive Efficiency. Journal of the Royal Statistical
Society, Series A(120), 253-290.
Güemes-Castorena, David (2001). An efficiency-based decision making model for higher education
funding in Mexico. Tesis Doctoral presentada a la Universidad de George Washington.
Nyhan, R. C., & Martin, L. L. (1999). Comparative Performance Measurement, a Primer on Data
Envelopment Analysis. Public Productivity & Management Review, 22(3), 348-364.
Sobre el Autor
David Güemes Castorena
El Dr. Güemes obtuvo su grado doctoral en ciencias de la administración de la ingeniería en la
Universidad de George Washington, en Washington, D.C. en el 2001, y los grados de maestría
en ciencias y licenciatura en Ingeniería química ambas del Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM) campus Monterrey. El Dr. Güemes actualmente desarrolla
actividades de docencia e investigación en el ITESM campus Monterrey; anteriormente trabajó
en Washington D.C. coordinando la planeación, implementación y evaluación de proyectos de
desarrollo educativo y tecnológico en varios estados de los Estados Unidos, así como en varios
países de África, Asia y Latinoamérica y en organismos internacionales de desarrollo. El Dr.
Güemes puede ser contactado en [email protected].