6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales

6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 439
6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales (directos,
equiparables con las ordinarias, separación de variables)
Teniendo una ecuación diferencial parcial de segundo orden [13]
A
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u
B
C
+
+
+D +E
+ Fu = G
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
(1)
No es tan fácil obtener una solución general en este tipo de ecuaciones, por lo que nos
avocaremos a obtener una solución particular.
Una solución de una ecuación en derivadas parciales con dos variables independientes x
y y es una función u ( x, y ) que posee todas las derivadas parciales que indica la ecuación
(1) y que la satisface en alguna región en el plano xy .
El método de separación de variables, es un método clásico y eficiente en la solución de
ecuaciones diferenciales parciales. Y se emplea en las ecuaciones que son lineales y
homogéneas.
Este método supone que la solución al problema consiste en la multiplicación de funciones
de una sola variable
Se piensa en una solución u ( x, y ) de una ecuación diferencial parcial como una
combinación lineal infinita de funciones componentes, un ( x, y ) para n = 0,1, 2,... que
satisface la ecuación. (esta es una hipótesis basada en una ecuación lineal y homogénea).
De tal manera que la solución un ( x, y ) , se puede escribir con sus variables separadas, es
decir un producto de una función de x y otra de y , como
un ( x, y ) = X n ( x )Yn ( y )
(2)
Es posible, en ocasiones, convertir una ecuación en derivadas parciales, lineal con dos
variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias.
∂u
∂u
= X ´( x ) Y ( y ) y
= X ( x ) Y ´( y ) , donde por comodidad podremos escribir como
∂x
∂y
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∂u
= X ´Y
∂x
y
∂u
= XY ´
∂y
(3)
Y que
∂ 2u
= X ´´( x ) Y ( y )
∂x 2
y
∂ 2u
= X ( x ) Y ´´( y )
∂y 2
Por simplicidad escribimos como
∂ 2u
= X ´´Y
∂x 2
y
∂ 2u
= XY ´´
∂y 2
Donde el símbolo de apóstrofe en X ´ y Y ´ indica derivación ordinaria., con respecto al
mismo argumento que se indica.[4]
Las soluciones productos, son análogas a las soluciones de las ecuaciones diferenciales
lineales homogéneas. Para una ecuación diferencial homogénea de orden n existen n
soluciones linealmente independientes, y la solución general es una combinación lineal de
esas n soluciones. Para una ecuación diferencial parcial homogénea existen un número
infinito de soluciones, dado que n = 1, 2,3... , y la combinación de todas esas soluciones
también sería una solución.
En una ecuación diferencial ordinaria, las n constantes, se determinan basándose en las n
condiciones iniciales, mientras que en las ecuaciones parciales las constantes arbitrarias, se
determinan por la condición inicial y la dependencia de las condiciones del problema. [2]
Ejemplo 6.4.1 Determinar las soluciones producto de
∂ 2u
∂u
=4
2
∂x
∂y
Siendo u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) entonces tenemos X ´´Y = 4 XY ´ o bien
X ´´ Y ´
=
4X Y
(4)
Podemos observar que cada lado del igual es independiente del otro, por lo tanto el
resultado de ellas es una constante. Es decir, la única manera de que una función sea
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exclusiva de x y que otra sea exclusiva de y , es que cada función sea constante. La cual
se escribirá como λ 2 ó −λ 2 , y se le conoce como constante de separación real.
Se tienen tres casos
Caso I si λ 2 > 0 , entonces
X ´´ Y ´
= = λ2
4X Y
(5)
De lo cual
X ´´−4λ 2 X = 0
Y ´−λ 2Y = 0
y
(6)
Por consecuencia las soluciones son
X = c1cosh ( 2λ x ) + c2 senh ( 2λ x )
Y = c3eλ
2
(7)
y
(8)
respectivamente, obteniéndose como una ecuación particular u = XY , donde
(
u = c1cosh ( 2λ x ) + c2 senh ( 2λ x )  c3eλ
2
y
)
(9)
Haciendo a1 = c1c3 y b1 = c2 c3 , de (9) obtenemos
u = a1eλ y cosh ( 2λ x ) + b1eλ y senh ( 2λ x )
2
2
(10)
Caso II si −λ 2 < 0
Entonces hacemos
X ´´ Y ´
= = −λ 2
4X Y
de lo cual X ´´+4λ 2 X = 0 y Y ´+ λ 2Y = 0
Por consecuencia las soluciones son
X = c4 cos ( 2λ x ) + c5 sen ( 2λ x )
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y
Y = c6 e − λ
2
y
(11)
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respectivamente, obteniéndose por consiguiente una ecuación particular u = XY , donde
(
u =  c4 cos ( 2λ x ) + c5 sen ( 2λ x )  c6 eλ
2
y
)
(12)
Haciendo a2 = c4 c6 y b2 = c5c6 , sustituyendo en (12), obtenemos
u = a2 e − λ y cos ( 2λ x ) + b2 e − λ y sen ( 2λ x )
2
2
Caso III si λ 2 = 0
Entonces
X ´´ Y ´
= =0
4X Y
de lo cual X ´´= 0 y Y ´= 0
Por consecuencia las soluciones son
X = c7 x + c8
y
Y = c9 , obteniéndose por lo tanto una ecuación particular u = XY
u = ( c7 x + c8 )( c9 )
(13)
Haciendo a3 = c7 c9 y b3 = c8c9 obtenemos
u = a3 x + b3
La separación de variables no es un método general para hallar solución, ya que algunas
ecuaciones diferenciales no son separables.
Principio de Superposición
Si u1 , u2 ,..., uk son soluciones de una ecuación en derivadas parciales lineales homogéneas,
la combinación lineal u = c1u1 + c2u2 + ... + ck uk donde las ci = 1, 2,..., k son constantes,
también es una solución.
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Ejemplo 6.4.2 Considerando la ecuación
∂u
∂ 2u
= h2 2
∂t
∂x
(14)
donde h es constante , una solución de la ecuación (14), será función exclusiva de las
variables x y t y el parámetro h , y buscaremos una solución que sea el producto de una
función exclusiva de x y t . [4]
O sea
u = f (t ) v ( x )
(15)
por lo que de nuestra ecuación anterior , obtenemos
f ´( t ) v ( x ) = h 2 f ( t ) v´´( x )
(16)
Dividiendo cada término entre el producto de la ecuación (15),
f ´( t ) v ( x )
f ( t ) v´´( x )
= h2
f (t ) v ( x )
f (t ) v ( x )
Obtenemos
f ´( t )
v´´( x )
= h2
f (t )
v ( x)
(17)
De tal manera que hemos separado las variables independientes,
Observamos que el lado izquierdo de la ecuación (17), depende sólo de t , y el lado
derecho depende de x , como ambas son independientes y la única manera de que una
función exclusiva de una variables se igual a otra función exclusiva a otra variables, es que
estas se igualen a una constante,
Por lo tanto podemos hacer
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f ´( t )
=k
f (t )
(18)
y
h2
v´´( t )
=k
v ( x)
(19)
De tal forma que seleccionamos k de manera arbitraria. Las ecuaciones anteriores (18) y
(19) pueden obtenerse derivando cada término de la ecuación (17).
Obteniéndose
d f ´( t )
=0
dt f ( t )
(20)
Ya que el lado derecho de la ecuación (17) es independiente de t
Obtenemos al ecuación (18) por integración y luego la (19) se deduce de (18) y (17)
d f ´( t )
= 0 , integrando
dt f ( t )
d
f = kf
dt
(21)
y una solución sería
f = c1e kt
(22)
Para poder continuar con la solución del problema, debemos asignar valores a k , el cual
puede ser un múltiplo de h 2 .
De acuerdo a las ecuaciones (18) y (19) y haciendo
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Caso I
Haciendo
k = h2 β 2
(23)
Entonces
f ´( t )
= h2 β 2
f (t )
(24)
y
h2
v´´( x )
= h2 β 2
v ( x)
(25)
Utilizando β real y k = h 2 β 2 , indicamos que la constante k > 0 .
De tal manera que tendríamos como solución que
f ( t ) = c1e
(h β t )
2
2
(26)
y
v ( x ) = c2 cosh ( β x ) + c3 senh ( β x )
como u = f ( t ) v ( x ) obtenemos como resultado
u = c1e
( h β t )  c cosh β x + c senh β x 
( ) 3
( )
 2
2
2
(27)
∂u
∂ 2u
= h 2 2 , con soluciones tales como
∂t
∂x
(28)
O bien
u = c4 e
(h β t )
2
2
cosh ( β x ) + c5e
(h β t )
2
2
senh ( β x )
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c4 = c1c2 y c5 = c1c3 y β son constantes.
Caso II
Haciendo
k = −h 2 β 2
(29)
Entonces
f ´( t )
= −h2 β 2
f (t )
(30)
y
h2
v´´( x )
= −h2 β 2
v ( x)
(31)
Utilizando β real y k = −h 2 β 2 , indicamos que la constante k < 0 .
De tal manera que tendríamos como solución que
f ( t ) = c6 e
(−h β t )
2
2
(32)
y
v ( x ) = c7 cos (α x ) + c8 sen (α x )
(33)
2
∂u
2 ∂ u
=h
, con soluciones tales como
como u = f ( t ) v ( x ) obtenemos como resultado
∂t
∂x 2
u = c6 e
( h β t )  c cos α x + c sen α x 
 7 ( ) 8 ( )
2
2
(34)
O bien
u = c9 e
(−h β t )
2
2
cos (α x ) + c10 e
(−h β t )
2
2
sen (α x )
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c9 = c6 c7 y c10 = c6 c8 y α son constantes.
Caso III
Ahora suponemos que la constante k = 0 , de tal manera que tendremos como solución
u = c11 + c12 x
Donde c11 y c12 son constantes.
Ejemplo 6.4.3 Determinar una solución producto para la ecuación diferencial parcial
∂u ∂u
=
∂x ∂y
Siendo u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) entonces tenemos X ´Y = XY ´ o bien
X ´ Y´
=
X Y
Revisando los tres casos mencionados en el ejemplo anterior.
Caso I si λ 2 > 0 , entonces
X ´ Y´
= = λ2
X Y
(35)
De lo cual
X ´−λ 2 X = 0
y
Y ´−λ 2Y = 0
(36)
2
Por consecuencia las soluciones son X = c1eλ x y
obteniéndose una ecuación particular u = XY , donde
(
u = c1eλ
2
x
)( c e )
λ2 y
2
2
Y = c2 eλ y , respectivamente,
(37)
Haciendo a1 = c1c2 , de (37) obtenemos
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u = a1eλ
2
( x+ y)
(38)
Caso II si −λ 2 < 0
Entonces hacemos
X ´ Y´
= = −λ 2
X Y
de lo cual X ´+ λ 2 X = 0 y Y ´+ λ 2Y = 0
2
Por consecuencia las soluciones son X = c3e − λ x
obteniéndose una ecuación particular u = XY , donde
2
u = c3e − λ x c4 e− λ
2
y
2
y Y = c4 e − λ y , respectivamente,
(39)
Haciendo a2 = c3c4 , sustituyendo en (39), obtenemos
u = a2 e − λ
2
( x+ y)
(40)
Caso III si λ 2 = 0
Entonces
X ´ Y´
= = 0 , de lo cual X ´= 0 y Y ´= 0
X Y
Por consecuencia las soluciones son X = c5 y Y = c6 , obteniéndose por lo tanto una
ecuación particular u = XY , por lo que u = c5c6 , haciendo a3 = c5c6 y sustituyendo
obtenemos que u = a3 .
El método de separación de variables funciona cuando la condición de frontera es
homogénea, es decir si u ( x, t ) = 0 . [2]
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