Biomatemática. Modelo de depredador presa o de Volterra Lotha

Biomatemática
C/ Modelo de Depredador Presa o de Volterra-Lotka
C.1/ Modelo de Volterra (1860-1940) y Lotka (1920-1934)
Este modelo matemático contempla la coexistencia de dos especies animales, una de
depredador y otra de presa, en el tiempo. Según este modelo teórico el depredador sólo se
alimenta de presa, y la presa tiene suficientes recursos para crecer exponencialmente según
el modelo de Malthus.
En ausencia de presa el depredador se extingue. En ausencia de depredador la presa
crece exponencialmente. Cuando la presa, en presencia de depredador, abunda, el
depredador se fortalece y su población crece. Al crecer la población de depredador, estos
cazan muchas presas y la población de estas disminuye. Al disminuir el número de presas
los depredadores tienden a morir de hambre debido a su sobrepoblación. Entonces,
finalmente, la población de presas puede volver a crecer cerrándose el ciclo de
oscilaciones interrelacionadas de las poblaciones de ambas especies.
Siendo 𝑦(𝑡)1 la densidad de población de depredadores, 𝐾1 es su tasa de mortalidad
(𝐾1 > 0), siendo la tasa de crecimiento o natalidad dependiente de la densidad de
población de presas. Dado que en ausencia de presas los depredadores se extinguen, pues
su natalidad es nula, tenemos:
−𝐾1 =
𝑦1 ′ (𝑡)
𝑦1 (𝑡)
Por otro lado, siendo 𝑦(𝑡)2 la densidad de población de presas, 𝐾2 es su tasa de
crecimiento o natalidad (𝐾2 > 0), siendo la tasa de mortalidad dependiente de la
densidad de población de depredadores. Dado que en ausencia de depredadores las
presas crecen exponencialmente, pues su mortalidad es nula, tenemos:
𝐾2 =
𝑦2 ′ (𝑡)
𝑦2 (𝑡)
Sea 𝛼1 la constante de proporcionalidad que relaciona la densidad de población de
presas con la natalidad de depredadores (𝛼1 > 0). Entonces la natalidad de los
depredadores será:
𝛼1 . 𝑦2 (𝑡)
Sea 𝛼2 la constante de proporcionalidad que relaciona la densidad de población de
depredadores con la mortalidad de las presas (𝛼2 > 0). Entonces la mortalidad de las
presas será:
𝛼2 . 𝑦1 (𝑡)
Obtenemos así finalmente el sistema de ecuaciones diferenciales que interrelaciona las
poblaciones de depredador y de presa:
𝑦1 ′ (𝑡)
= −𝐾1 + 𝛼1 . 𝑦2 (𝑡)
𝑦1 (𝑡)
𝑦2 ′ (𝑡)
= 𝐾2 − 𝛼2 . 𝑦1 (𝑡)
𝑦2 (𝑡)
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C.2/ Sistema de Ecuaciones Diferenciales y Ecuación del Ciclo Solución:
𝑦1 ′ (𝑡)
= −𝐾1 + 𝛼1 . 𝑦2 (𝑡)
𝑦1 (𝑡)
𝑦2 ′ (𝑡)
= 𝐾2 − 𝛼2 . 𝑦1 (𝑡)
𝑦2 (𝑡)
𝑦1 ′ 𝑡 = −𝐾1 . 𝑦1 𝑡 + 𝛼1 . 𝑦2 𝑡 . 𝑦1 (𝑡)
𝑦2′ 𝑡 = 𝐾2 . 𝑦2 𝑡 − 𝛼2 . 𝑦1 𝑡 . 𝑦2 𝑡
⇒
1. Realizamos los cambios:
𝐾2
. 𝑥 (𝑡)
𝛼2 1
𝐾1
𝑦2 𝑡 = . 𝑥2 (𝑡)
𝛼1
𝑦1 𝑡 =
El sistema se transforma entonces en:
⇒
𝑥1 ′ 𝑡 = −𝐾1 . 𝑥1 𝑡 + 𝐾1 . 𝑥2 𝑡 . 𝑥1 (𝑡)
𝑥2′ 𝑡 = 𝐾2 . 𝑥2 𝑡 − 𝐾2 . 𝑥1 𝑡 . 𝑥2 𝑡
2. Integrando y resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos la ecuación del ciclo
solución, que corresponde a:
(𝑥1 𝑡 . 𝑒 −𝑥 1
𝑡
)𝐾2 . (𝑥2 𝑡 . 𝑒 −𝑥 2
𝑡
)𝐾1 = 𝐾
Podemos hallar el valor de 𝐾 gracias a las condiciones iniciales, de manera que:
𝐾 = (𝑥1 0 . 𝑒 −𝑥 1
Con:
0
)𝐾2 . (𝑥2 0 . 𝑒 −𝑥 2
0
)𝐾1
𝛼2
. 𝑦 (0)
𝐾2 1
𝛼1
𝑥2 0 = . 𝑦(0)
𝐾1
𝑥1 0 =
El punto de equilibrio 𝑆 del ciclo se corresponde con las condiciones iniciales
necesarias para que el sistema se mantenga en equilibrio (sin oscilaciones), dados los
valores de 𝛼1 , 𝛼2 , 𝐾1 y 𝐾2 . Si las condiciones iniciales son distintas, este punto no podrá
ser alcanzado nunca según este modelo teórico.
𝑆 (𝑥1 = 1; 𝑥2 = 1)
⇒
𝑆 (𝑦1 =
𝐾2
𝐾1
; 𝑦2 = )
𝛼2
𝛼1
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C.3/ Máximo y Mínimo de la densidad de población de Depredador:
El máximo y el mínimo de la densidad de población de depredadores se obtiene
resolviendo la ecuación:
𝑍 𝑥1 = 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑊 𝑥2 = 𝐾. 𝑒 𝐾1
Tenemos:
𝑍 𝑥1 = (𝑥1 . 𝑒 −𝑥 1 )𝐾2
𝑍 𝑥1 = 𝑥1 𝐾2 . 𝑒 −𝑥 1 .𝐾2
⇒
Tomamos los logaritmos neperianos en ambos términos:
⇒ ln 𝑍 𝑥1 = 𝐾2 . ln 𝑥1 − 𝐾2 . 𝑥1
⇒
ln 𝑍 𝑥1
= ln 𝑥1 − 𝑥1
𝐾2
ln 𝑍 𝑥1
=0
𝐾2
⇒ 𝑥1 − ln 𝑥1 +
Resolvemos la ecuación por el método del tanteo. Debemos hallar dos soluciones
para 𝑥1 . Una entre 0 y 1 corresponde al mínimo de depredadores. La segunda, superior a 1,
corresponde al máximo de depredadores.
C.4/ Máximo y Mínimo de la densidad de población de Presa:
El máximo y el mínimo de la densidad de población de presas se obtiene resolviendo
la ecuación:
𝑊 𝑥2 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑍 𝑥1 = 𝑒 −𝐾2
Tenemos:
𝑊 𝑥2 = 𝐾. (𝑥2 . 𝑒 −𝑥 2 )−𝐾1
⇒
𝑊 𝑥2 = 𝐾. 𝑥2 −𝐾1 . 𝑒 𝑥 2 .𝐾1
Tomamos los logaritmos neperianos en ambos términos:
⇒ ln
⇒
𝑊 𝑥2
= −𝐾1 . ln 𝑥2 + 𝐾1 . 𝑥2
𝐾
ln
𝑊 𝑥2
𝐾 = − ln 𝑥 + 𝑥
2
2
𝐾1
⇒ 𝑥2 − ln 𝑥2 −
ln
𝑊 𝑥2
𝐾 =0
𝐾1
Resolvemos la ecuación por el método del tanteo. Debemos hallar dos soluciones
para 𝑥2 . Una entre 0 y 1 corresponde al mínimo de presas. La segunda, superior a 1,
corresponde al máximo de presas.
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