Versión PDF - Banco Central de Venezuela

Introducción a los modelos
de multiplicadores de las
matrices de contabilidad
social para la
jerarquización de
actividades económicas
Serie Documentos de Trabajo
[No. 130]
Diciembre, 2011
Nora Guarata
José Contreras
 Banco Central de Venezuela, Caracas, 2011
Gerencia de Investigaciones Económicas
Producción editorial
Gerencia de Comunicaciones Institucionales, BCV
Departamento de Publicaciones
Torre Financiera, piso 14, ala sur
Avenida Urdaneta, esquina de Las Carmelitas
Caracas 1010
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y no necesariamente coinciden
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y no se modifique la información.
Introducción a los modelos de multiplicadores de las Matrices de Contabilidad Social para la jerarquización de actividades económicas Nora Guarata José Contreras** Resumen En este trabajo se parte de una matriz de contabilidad social agregada para exponer las ideas básicas de los modelos de multiplicadores, con el propósito de evaluar políticas públicas y orientar en la toma de decisiones. Para alcanzar este propósito se hace uso de diferentes métodos de jerarquización de las actividades económicas o productos, en función de ciertas variables objetivo. En el caso de la evaluación basada en más de un criterio, se aplican los modelos multicriterio de Utilidad Agregada, de PROMETHEE (Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations) y OWA (Ordered Weighted Averaging) para ordenar las actividades. Adicionalmente, se muestran otras dos alternativas de jerarquización: ordenación basada en la intensidad de los encadenamientos entre los diferentes sectores de la economía; y la aquella basada en la descomposición de los multiplicadores. Finalmente se hace uso de los modelos de programación lineal para diseñar una cartera de estímulos a la producción. Todas estas alternativas sirven de apoyo para orientar en la toma de decisión. Palabras Claves Matrices de Contabilidad Social, modelo de multiplicadores, modelos multicriterio, utilidad agregada, PROMETHEE, OWA, Descomposición de multiplicadores, modelos de programación lineal con objetivos. Clasificación JEL C61, C65, C67 
Investigador Senior de Economía, Oficina de Investigaciones Económicas, BCV. [email protected] **
Investigador Senior de Economía, Oficina de Investigaciones Económicas, BCV. [email protected] Las ideas y opiniones contenidas en este documento son de la exclusiva responsabilidad de los autores y no necesariamente coinciden con las del Banco Central de Venezuela. 1 An Introduction to Social Accounting Matrix Multiplier Models for Economic Activity Ranking Abstract In this paper, working from a Social Account Matrix, we highlight the multipliers model´s basic ideas with the purpose to evaluate public policy and to guide in the decision making process. To reach our goal, we used different methods for ranking economic activities or goods, according to certain target values. When we need to evaluate using more than one criterion, we use multi‐criteria models such as the Analytic Hierarchy Process, Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations (PROMETHEE) and Ordered Weighted Averaging (OWA), to rank the activities. In addition, we explain two alternative methods for ranking: one based on how the economic activities are interrelated and the one based multipliers decomposition. Finally, we used lineal programming models to obtain asset of stimulus to production. All these alternatives are useful to contribuite on the decision making process. Key Words Social Account Matrix, multiplier models, Multi‐criteria models, Analytic Hierarchy Process, PROMETHEE, OWA, multiplier decomposition, lineal programming models. JEL Clasification C61, C65, C67 2 1.‐ Introducción El presente documento tiene como objetivo dar a conocer las ideas básicas de los modelos de multiplicadores basados en Matrices de Contabilidad Social (MCS) para evaluar impactos de políticas públicas y orientar en la toma de decisiones. Este último punto es muy importante para la planificación de las políticas del Estado y promover la coordinación requerida para evitar cuellos de botella y optimizar el uso de los recursos. La Matriz de Contabilidad Social (MCS) es una representación matricial del sistema de cuentas nacionales, que incluye las cuentas de producción de bienes y servicios, las cuentas de remuneración a los factores, las cuentas de ingreso de los distintos sectores institucionales, la cuenta de consumo de los hogares, las cuentas financieras, las de capital y el sector externo. Esta matriz resume en todo el sistema económico de un país, para un período determinado. Partiendo de los principios de Leontief, referidos a la matriz insumo‐producto y aplicados a la MCS, la cual representa las relaciones entre todos los sectores presentes en la economía y su relación con el resto del mundo para un momento determinado. La aplicación de estos principios permite la construcción de un modelo de multiplicadores para toda la economía, el cual es una representación numérica de la intensidad de las relaciones presentes en la MCS. Estas relaciones indican como un producto, actividad o sector determinado incide o es incidido por el resto, en una relación bilateral. Este modelo de multiplicadores refleja las relaciones entre las industrias y el efecto del flujo circular del ingreso. La relación entre las industrias viene dada por las distintas tecnologías prevalecientes en cada una de ellas, mientras que el flujo circular del ingreso se refiere al proceso de distribución de la renta y de formación de la demanda, lo cual estimula un nuevo ciclo de la producción y/o importaciones. El modelo permite evaluar políticas económicas, así como también puede ser utilizado como herramienta de planificación y para evaluar proyectos de inversión. El modelo permite medir la respuesta de la economía frente a cambios en variables exógenas tales como, inversión, gasto público y exportaciones y cómo estos cambios afectan a las variables endógenas: oferta, producción, ingreso de los factores, ingreso de los sectores institucionales y consumo de los hogares. Una vez obtenidos los resultados de los impactos sobre las variables económicas, uno de los procedimientos es la jerarquización de las actividades económicas o los productos, en función de una o más variables objetivo. Esto con el fin de conocer el resultado de la evaluación de los impactos de las políticas públicas (inyección exógena) sobre variables tales como: remuneraciones, producción, ingreso nacional, importaciones, consumo y precios de los bienes y servicios. 3 Además, este tipo de modelos sirven de soporte para la evaluación de políticas monetaria y financiera, proyectos de inversión, políticas industriales y otros planes de desarrollo. Como parte del proceso de evaluación, se han implementado diversas metodologías, basadas en el modelo de multiplicadores, para ordenar las diferentes variables de la MCS, entre ellas: 1. Ordenación de alternativas resultado del impacto de una política pública medido según criterio predefinido 2. Ordenación de alternativas resultado del impacto de una política pública medido según diferentes criterios predefinidos (multicriterio) 3. Ordenación de alternativas resultado de la intensidad de los encadenamientos entre los diferentes sectores de la economía 4. Descomposición de los multiplicadores 5. Modelos de programación lineal para el diseño de carteras que permitan determinar los recursos a ser inyectados en la economía, ya sea de estimulo a la producción o a la formación de bienes de capital, para lograr los objetivos de política económica. En lo que sigue, se introduce de manera muy sucinta la herramienta basada en el modelo de multiplicadores. 2.‐ Descripción técnica de la metodología del modelo de multiplicadores. Una matriz de contabilidad social (MCS) es una base de datos, en formato de cuadro de doble entrada, que recoge el flujo de ingresos y gastos de todos los agentes de una economía, acontecidos durante un período temporal de referencia. Por construcción, en las filas de la MCS se representan los ingresos monetarios de las cuentas, mientras que en las columnas se muestran los respectivos gastos. El siguiente gráfico, muestra la estructura básica de la MCS. 4 Gráfico 1: Estructura básica de la MCS La MCS distingue entre actividades y productos. Las actividades son las entidades que producen bienes y servicios. Los productos son los bienes y servicios producidos por las actividades. Los productos son suplidos domésticamente (F2, C1) o importados (F7, C1) y pagan impuestos indirectos y tarifas de importación (F5, C1). Las actividades compran productos (F1, C2) y pagan los factores de producción (F3, C2) o valor agregado (salarios, rentas, beneficios etc.). La demanda final para los productos consiste en el gasto de los hogares (F1, C4), consumo de gobierno (F1, C5), la formación bruta de capital o inversión (F1, C6) y la demanda de exportaciones (F1, C7). El total de la columna 1 es la oferta de productos, mientras que el total de la columna 2 representa la producción. Por otra parte, la MCS contiene además información de diferentes instituciones: por ejemplo, hogares y gobierno. Los hogares reciben ingresos por remuneración de los factores durante el proceso de producción (F4, C3), también reciben transferencias del gobierno (pensiones) (F4, C5) y del resto del mundo (F4, C7). Los hogares pagan impuestos al gobierno (F5, C4) y compran productos (F1, C4), el resto es ahorrado (F6, C4). El gobierno recibe transferencias del exterior (F5, C7). El total de la fila F5 representa los ingresos totales del gobierno. El gobierno usa estos ingresos para pagar el consumo de gobierno (F1, C5) y las transferencias a los hogares (F4, C5). La diferencia es el déficit fiscal (F6, C5). El ahorro doméstico lo conforman el privado (F6, 5 C4) y el público (F6, C5). La diferencia entre el ahorro doméstico y la inversión total es el balance de la cuenta corriente (F6, C7). En general, la MCS se puede presentar en diferentes agregaciones, dependiendo de la disponibilidad de información. Por ejemplo, el Cuadro 1 muestra la agregación de la MCS del año 2005 para Venezuela. Nótese que es una matriz cuadrada y que todas las variables presentes por el lado de las filas, se repiten por el lado de las columnas. Cuadro 1: Matriz de contabilidad social 2005 En el cuadro anterior, la suma de una fila i debe coincidir con la suma de la columna j correspondiente, puesto que el total de gastos debe equipararse con el total de ingresos de cada agente de la economía. Para pasar de la estructura contable expuesta en el Cuadro 1, a un modelo de multiplicadores, suponemos que se mantiene constante la estructura de ingresos y gastos en todas las partidas. Por otra parte, en base a la problemática que se desea analizar, el investigador debe dividir las cuentas de la matriz de contabilidad social en tres categorías diferenciadas: cuentas endógenas, cuentas exógenas y resto de variables. A modo de ilustración, se seleccionaron como endógenas, las variables que van desde los productos hasta el consumo, An. Las exógenas incluyen las variables relacionadas con el gobierno, la cuenta de capital y el resto del mundo visto desde las columnas, D. Mientras el resto de las variables son las que corresponden a las filas de gobierno, la cuenta de capital y el resto del mundo, B. Esto se puede representar en el gráfico siguiente: 6 Gráfico 2: Representación Matricial Luego, se procede a calcular las proporciones de cada elemento de la matriz sobre su respectivo total por columna. De esta manera se obtienen las propensiones medias de los componentes de la MCS o los coeficientes técnicos de la sub‐matriz (An), representada en el área de variables endógenas‐endógenas y de la sub‐matriz (B), representada en el área de variables resto‐endógenas. Los resultados se muestran en el siguiente cuadro. Cuadro 2: Coeficientes técnicos de la matriz de contabilidad social (An y B) 7 Donde: Anij 
Yij
y Yij representa el flujo monetario de la cuenta i a la j. Ynj
Y1= Y11 + Y12 + Y13+………………………………….Y1n + D1 Y2= Y21 + Y22 + Y23+………………………………….Y2n + D2 Y3= Y31 + Y32 + Y33+………………………………….Y3n + D3 . = ……………………………………………………………………………. . = ……………………………………………………………………………. .= …………………………………………………………………………….. Yn= Yn1 + Yn2 + Yn3+………………………………….Ynn + Dn. Utilizando la matriz An, se construye la siguiente ecuación de balance: Yn = AnYn + D donde: Yn representa el vector columna de los totales de la MCS, correspondiente a las variables endógenas; y D es la suma de los vectores columnas correspondientes al área de las variables endógenas‐exógenas. Es decir: Yni  
j
Yij
* Ynj  Di  Anij * Ynj  Di Ynj
j
Para el cálculo de los multiplicadores se despeja Yn de la ecuación de balance, obteniéndose la siguiente expresión: Yn  I  An  D , donde 1
I  An 
1
es la matriz inversa de I  An  . Se define Ma  I  An  como la matriz de multiplicadores, 1
mostrada en el Cuadro 3. Cuadro 3: Matriz de multiplicadores Ma  I  An  1
8 Un elemento genérico de esta matriz Ma , maij , cuantifica el aumento en el ingreso de la cuenta i como consecuencia de un incremento exógeno y unitario del ingreso recibido por la cuenta j. A partir de la matriz de multiplicadores se puede evaluar el impacto que sobre indicadores macroeconómicos (valor agregado, consumo, producción, etc.) genera la inyección de ingresos en las cuentas endógenas. La expresión Yn  Ma * D permite estimar los impactos de una inyección exógena (∆D) sobre las variables endógenas. El cambio relativo sobre todas las variables del modelo se calcula a partir de la variación entre el valor ∆Yn y su nivel inicial (Yn). De la misma manera, se estima el impacto sobre el resto de las variables de una inyección en una cuenta endógena. Partiendo de la representación matricial del Gráfico 2, arriba mencionado, podemos tener las siguientes ecuaciones: Yn = AnYn + D para las variables endógenas. Xk= BYn + DR para el resto de las variables Resolviendo la primera ecuación y sustituyendo en la segunda tenemos la siguiente secuencia: Yn  I  An  D 1
Xk  BI  An  D  DR 1
= B * Ma * D  DR . O lo que equivale a Xk  B * Ma * D  DR De esta última expresión de obtiene que: Xk  B * Ma * D . Expresión que permite medir el impacto de cambios en las variables exógenas en el resto de las variables endógenas. El siguiente cuadro muestra los coeficientes de la matriz B para el ejemplo considerado. Cuadro 4: Coeficientes de las variables exógenas (B) 9 Por otra parte, al calcular la matriz B * Ma tenemos los multiplicadores del resto de las variables en respuesta a una inyección exógena de las variables de política. El Cuadro 5 muestra los resultados. Cuadro 5: Multiplicadores de las variables exógenas (B x Ma) El Cuadro 6 muestra las estimaciones de impactos para dos simulaciones. Por ejemplo, si la inyección viene dada por un incremento de Bs.F. 1.000 millones en la producción de bienes c1, los ingresos de los hogares se incrementan en 0,19%. Por su parte, si la inyección viene dada por un incremento en la producción de bienes c2 de la misma magnitud, los ingresos de los hogares se incrementan en 0,50%. Cuadro 6: Simulaciones de impactos 10 3.‐ Metodologías de ordenación de variables económicas basado en los modelos de multiplicadores de la MCS. A continuación se desarrolla, las metodologías de jerarquización de variables económicas basado en los modelos de multiplicadores de la MCS que actualmente se implementan en el Banco Central de Venezuela. 3.1.‐ Ordenación de alternativas resultado del impacto de una política pública medido según un criterio predefinido. A manera de ilustración, se muestra los resultados de los multiplicadores de una MCS con un mayor nivel de desagregación. Supóngase que se desea ordenar las actividades por el impacto sobre el valor agregado (VA) como resultado de estimular la producción de las actividades, en Bs 1,8 millardos, en forma individual y separada. Seleccionando la MCS adecuada y haciendo los cálculos respectivos, en el Cuadro 7 se muestra la ordenación de las actividades según los niveles de VA alcanzados. Cuadro 7: Ordenación de las actividades por impacto en valor agregado 3.2.‐ Ordenación de alternativas resultado del impacto de una política pública medido según múltiples criterios. Supóngase ahora, que se desea ordenar las actividades por el impacto sobre empleo, valor agregado y consumo, como producto de un estimulo a la producción de cada una de las actividades, en Bs 1,8 millardos, en forma individual y separada. El Cuadro 8 muestra el resultado de los impactos. 11 Cuadro 8: Ordenación de actividades por impacto en empleo, valor agregado y consumo Como se puede apreciar en los resultados, Construcción residencial es la actividad fuertemente dominante y le sigue Construcción no residencial. Sin embargo, actividades como Electricidad se posiciona en diferente orden dependiendo del criterio. Por tal razón, se han implementado los modelos multicriterio de Utilidad Agregada, de Promethee (Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations) y OWA (Ordered Weighted Averaging) para ordenar las actividades cuando la jerarquía depende del criterio con que se mida (para mayor detalles de estos métodos, ver Apéndice 1). Para hacer uso de las metodologías de jerarquización, se requiere como paso previo el cálculo de las ponderaciones que serán utilizadas. En el Cuadro 9, se presentan la tabla del decisor donde se pondera por el grado de importancia que se le asigna a cada uno de los criterios, evaluados por pares. Cuadro 9: Comparaciones de pares de criterios El siguiente cuadro, muestra el resultado de las ponderaciones provenientes del cuadro anterior, según la metodología que se explica en el Apéndice 1. 12 Cuadro 10: Ponderaciones El Cuadro 11 muestra el orden resultante de aplicar la metodología del método de Utilidad Agregada. Cuadro 11: Ordenamiento utilizando el método de la utilidad agregada Los resultados que se obtienen de la aplicación de la metodología Promethee, partiendo de los mismos cuadros del decisor y de ponderaciones, son para este ejercicio, iguales al orden mostrado por el método de Utilidad Agregada. El siguiente cuadro muestra el ordenamiento haciendo uso del método de los operadores OWA. Cuadro 12: Ordenamiento utilizando el método OWA 13 3.3.‐ Ordenación de alternativas resultado de la intensidad de los encadenamientos entre los diferentes sectores de la economía. Existe una forma alternativa de jerarquizar las actividades, la cual está basada en la relación de encadenamiento de las distintas actividades productivas, es decir, se precisan los sectores cuyas actividades generan una mayor demanda sobre otras actividades y aquellos cuyos productos son demandados por otros sectores. La suma de columnas de la matriz Ma Ma j  maij  de multiplicadores se conoce como efecto arrastre, porque indica cuál es el ingreso que se genera sobre el conjunto de las partidas endógenas cuando la cuenta correspondiente a la columna recibe una inyección exógena y unitaria de ingreso. Aquellas cuentas que presenten un elevado efecto arrastre mostrarán una gran capacidad para expandir el ingreso de la economía ante inyecciones unitarias y exógenas de ingreso recibidas. Los valores obtenidos a partir de la suma de filas en la matriz Ma Mai  maij  de multiplicadores ponen de manifiesto los efectos empuje de las cuentas. Estos efectos cuantifican cuál es el ingreso que recibe la partida de la fila correspondiente cuando todas las demás cuentas aumentan su ingreso exógenamente en una unidad. Los valores Mai y Ma j se pueden normalizar al compararlos con el promedio global y, por lo tanto, proporcionan una medida relativa de la “fuerza” de los efectos empuje y arrastre. Así pues, simplificando, podemos definir U  j  n * Ma j /  maij  la fuerza relativa de arrastre y U i  n * Mai /  maij  como la fuerza relativa de empuje. A partir de dichos coeficientes podemos ordenar las cuentas de la MCS según la siguiente clasificación: Gráfico 3: Clasificador de las cuentas Las cuentas que han sido clasificadas como claves, presentan efectos de arrastre y empuje por encima de la media, se trata por tanto de cuentas con un comportamiento especialmente dinámico. 14 Las que se denominan de fuerte arrastre, muestran efectos de empuje por debajo del promedio y de arrastre por encima de la media. Un comportamiento opuesto lo muestran las cuentas de fuerte empuje, con efectos empuje por encima de la media y arrastre por debajo de la media. Las independientes se encontrarían por debajo del promedio en cuanto a ambos efectos. El siguiente cuadro muestra la caracterización de las cuentas de la MCS desde el punto de vista de los encadenamientos. Cuadro 13: Encadenamientos Usando los resultados de los índices, se pueden ordenan las cuentas de la MCS de la siguiente manera: Gráfico 4: Ordenamiento de las cuentas 3.4.‐ Descomposición de los multiplicadores. A fin de profundizar en el análisis de los multiplicadores se plantea una descomposición de la matriz Ma en distintos circuitos de interdependencia económica. En este contexto, es relevante identificar el peso y la importancia que presentan los diferentes circuitos de interdependencia mediante la descomposición de los correspondientes multiplicadores en sus componentes. El procedimiento más conocido, es propuesto por Pyatt y Round (1979). Ambos autores logran descomponer la matriz Ma como el producto de tres matrices Ma1 , 15 Ma 2 y Ma3 , conocidas respectivamente como multiplicador de efectos internos o de transferencias, multiplicador de efectos abiertos, y multiplicador de efectos circulares. Con el fin de calcular la descomposición de los multiplicadores, para el ejemplo dado por el Cuadro 3, construimos la siguiente matriz Ao. Cuadro 14: Matriz Ao, (a partir de An) En general tenemos que: An=Ao+(An‐Ao). Siendo X la matriz de inyecciones de las cuentas exógenas y Yn el vector de ingresos endógenos, con la desagregación anterior se puede escribir la ecuación Yn=AnYn+X como sigue: (1) Yn  A0Yn  ( An  A0 )Yn  X (2) Yn  A0Yn  ( An  A0 )Yn  X (3) ( I  A0 )Yn  ( An  A0 )Yn  X (4) Yn  [( I  A0 ) 1 ( An  A0 )]Yn  ( I  A0 ) 1 X Si se define A*  I  Ao 
1
 An  Ao  y sustituyendo en la ecuación (4) se tiene que: (5) Yn  A*Yn  ( I  A0 ) 1 X (6) A*Yn  Yn  ( I  A0 ) 1 X Multiplicando por A* ambos lados de la ecuación (4) y reemplazando el valor de la expresión A*Yn se obtiene: (7) A*Yn  A* A*Yn  A* ( I  A0 ) 1 X 16 (8) Yn  ( I  A0 ) 1 X  A*2Yn  A* ( I  A0 ) 1 X (9) Yn  A*2Yn  ( I  A0 ) 1 X  [ A* ( I  A0 ) 1 ] X (10) Yn  A*2Yn  [( I  A* )( I  A0 ) 1 ] X (11) A*2Yn  Yn  [( I  A* )( I  A0 ) 1 ] X Repitiendo la operación anterior, pero multiplicando la expresión (4) por A*2 y haciendo el reemplazo en A*2Yn definido arriba, se llega a la especificación de las tres matrices multiplicadoras: (12) A*2Yn  A*2 A*Yn  [ A*2 ( I  A0 ) 1 ] X (13) Yn  [( I  A* )( I  A0 ) 1 ] X  A*3Yn  [ A*2 ( I  A0 ) 1 ] X (14) Yn  A*3Yn  [( I  A* )( I  A0 ) 1 ] X  [ A*2 ( I  A0 ) 1 ] X (15) Yn  A*3Yn  [( I  A*  A*2 )( I  A0 ) 1 ] X (16) Yn  A*3Yn  [( I  A*  A*2 )( I  A0 ) 1 ] X (17) ( I  A*3 )Yn  [( I  A*  A*2 )( I  A0 ) 1 ] X (18) Yn  [( I  A*3 ) 1 ( I  A*  A*2 )( I  A0 ) 1 ] X Definiendo por: M 1  I  Ao  1
M 2  I  A*  A*2  M 1  I  A*3  1
Se tiene que Yn= [M1 M2 M3]X A partir de esta última expresión se puede construir la siguiente descomposición aditiva. Sea I la matriz identidad que revela el efecto de una inyección de una cuenta que constituye un ingreso del mismo tamaño. Sea T = M1‐I la contribución neta del efecto transferencia. Esta expresión recoge, con independencia de que el circuito sea abierto o cerrado, los efectos que un 17 determinado grupo de cuentas tiene sobre él mismo como consecuencia de las transferencias internas que dentro del grupo se establecen. Sea O = (M2‐I)M1 la contribución neta del efecto abierto. Esta expresión recoge los efectos que las cuentas pertenecientes a un grupo tienen sobre las cuentas de los grupos restantes, sin considerar los efectos circulares. Finalmente, sea C = (M3‐I)M2M1 la contribución neta del efecto circular. Esta expresión permite ver los efectos derivados de la interdependencia circular entre las cuentas, es decir, cuando se realiza un ciclo completo del sistema, volviendo al punto de origen, y sucediéndose ciclos sucesivos. Otra forma alternativa de analizar la descomposición de las matrices T, O y C es denominar T como el efecto de absorción y la suma de O + C como el efecto difusión. Es decir, el efecto absorción, mide la capacidad que se tiene dentro de las mismas cuentas de absorber un estímulo a una de sus cuentas dentro del grupo; mientras que el efecto difusión se refiere a la capacidad de estimular las cuentas del resto de los grupos. A partir de la definición de I, T, O, C se demuestra que: Ma = M1M2M3 = I + T + O + C La matriz de multiplicadores Ma debe ser igual a la suma I+T+O+C. En efecto, para el ejemplo tenemos que: Cuadro 15: Ma Ma
c1
c2
c3
c1
1.050
0.083
0.080
c2
0.008
1.027
0.016
0.643
c3
1.646
2.141
a1
1.100
0.422
0.522
a2
0.172
0.443
0.572
0.234
a3
1.603
0.769
reo
0.232
0.814
0.464
0.873
ee
0.661
0.626
ins
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0.726
0.661
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hog
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bys
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Fuente: BCV, Cálculos propios
a1
0.054
0.008
0.698
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0.187
0.254
0.252
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a3
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ee
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0.636
0.671
0.568
1.475
Que es igual a la suma de las siguientes matrices: La matriz I 18 Cuadro 16: Matriz I Matriz I
c1
c2
c3
c1
1
0
0
c2
0
1
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Fuente: BCV, Cálculos propios
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1
Mas la matriz T Cuadro 17: Matriz T Matriz T
c1
c2
c1
0.0247 0.0180
c2
0.0044 0.0189
c3
0.2063 0.5292
a1
0.9851 0.1279
a2
0.0557 0.1440
a3
0.0772 1.2018
reo
0
0
ee
0
0
ins
0
0
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0
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0
0
Fuente: BCV, Cálculos propios
c3
0.0401
0.0106
0.4612
0.3432
0.3907
0.5248
0
0
0
0
0
a1
0.0268
0.0048
0.2239
0.0716
0.0599
0.0836
0
0
0
0
0
a2
0.1054
0.0110
0.8534
0.2759
0.2282
0.3113
0
0
0
0
0
a3
0.0178
0.0190
0.5288
0.1272
0.1414
0.2050
0
0
0
0
0
reo
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ee
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ins
0
0
0
0
0
0
0
0
0.044
0.097
0
hog
0
0
0
0
0
0
0
0
0.085
0.047
0
bys
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Mas la matriz O Cuadro 18: Matriz O Matriz O
c1
c2
c1
0
0
c2
0
0
c3
0
0
a1
0
0
a2
0
0
a3
0
0
reo
0.1370 0.5700
ee
0.7400 0.3190
ins
0.7470 0.3650
hog
0.2510 0.6430
bys
0
0
Fuente: BCV, Cálculos propios
c3
0
0
0
0
0
0
0.3150
0.4180
0.4420
0.3910
0
a1
0
0
0
0
0
0
0.1490
0.8040
0.8120
0.2730
0
a2
0
0
0
0
0
0
0.3120
0.5130
0.5360
0.4010
0
a3
0
0
0
0
0
0
0.5710
0.3180
0.3640
0.6440
0
reo
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0850
1.0460
0.8750
ee
0
0
0
0
0
0
0
0
0.9940
0.1460
0.1220
ins
0.0067
0.0008
0.1142
0.0301
0.0305
0.0410
0
0
0
0
0.0811
hog
0.0720
0.0090
1.2330
0.3250
0.3300
0.4430
0
0
0
0
0.8760
bys
0.0820
0.0100
1.4080
0.3710
0.3760
0.5060
0.3080
0.4310
0
0
0
19 Mas la matriz C Cuadro 19: Matriz C Matriz C
c1
c2
0.025
0.065
c1
0.003
0.008
c2
0.436
1.117
c3
0.115
0.294
a1
0.117
0.299
a2
0.157
0.401
a3
0.095
0.244
reo
0.134
0.342
ee
0.141
0.361
ins
0.119
0.306
hog
0.310
0.793
bys
Fuente: BCV, Cálculos propios
c3
0.040
0.005
0.679
0.179
0.182
0.244
0.149
0.208
0.220
0.186
0.483
a1
0.028
0.003
0.474
0.125
0.127
0.170
0.104
0.145
0.153
0.130
0.337
a2
0.041
0.005
0.697
0.184
0.186
0.250
0.152
0.214
0.225
0.191
0.495
a3
0.065
0.008
1.119
0.295
0.299
0.402
0.245
0.343
0.361
0.306
0.795
reo
0.106
0.013
1.818
0.479
0.486
0.653
0.397
0.557
0.587
0.497
0.416
ee
0.015
0.002
0.254
0.067
0.068
0.091
0.056
0.078
0.082
0.069
0.058
ins
0.003
0.000
0.054
0.014
0.015
0.019
0.037
0.052
0.054
0.046
0.039
hog
0.034
0.004
0.586
0.154
0.157
0.210
0.398
0.557
0.588
0.498
0.416
bys
0.039
0.005
0.669
0.176
0.179
0.240
0.146
0.205
0.671
0.568
0.475
A partir de tal descomposición de los multiplicadores, es posible establecer ordenamientos de las cuentas de la MCS. Por ejemplo, el análisis de las cuentas según el índice de arrastre y su descomposición de los multiplicadores. Cuadro 20: Ordenamiento según el índice de arrastre Suma por Columna
(Arrastre)
c1
Matriz Ma
5.8810
Matriz I
1
Matriz T
1.3534
Matriz O
1.8745
Matriz C
1.6532
Fuente: BCV, Cálculos propios
c2
c3
a1
a2
a3
reo
ee
ins
hog
bys
9.16600
1
2.03987
1.89601
4.22992
6.91000
1
1.77058
1.56591
2.57354
5.30500
1
0.04706
2.03811
1.79657
7.18700
1
1.78516
1.76142
2.64041
8.17300
1
1.03925
1.89726
4.23689
9.01600
1
0
2.00622
6.00977
3.10200
1
0
1.26234
0.83964
1.77900
1
0.12125
0.30441
0.33365
8.02000
1
0.13149
3.28632
3.60207
7.86600
1
0
3.49196
3.37416
reo
0.00%
25.03%
74.97%
ee
0.00%
60.05%
39.95%
ins
18.13%
39.06%
42.81%
Cuadro 21: Descomposición de los multiplicadores Porcentaje de
(Ma - I)
c1
c2
27.73%
24.98%
Matriz T
38.40%
23.22%
Matriz O
33.87%
51.80%
Matriz C
Fuente: BCV, Cálculos propios
c3
29.96%
26.50%
43.54%
a1
10.93%
47.34%
41.73%
a2
28.85%
28.47%
42.68%
a3
14.49%
26.45%
59.06%
hog
1.87%
46.81%
51.31%
bys
0.00%
50.86%
49.14%
Una inyección exógena de Bs. 1 en el producto c1 genera un arrastre neto de 4,881(5,881‐1), de los cuales 1,35338 (27,73%) se debe al efecto transferencia, 1,87447 (38,40%) al efecto abierto y 1,65324 (33,87%) al efecto circular. Seguidamente se selecciona uno de estos criterios, es decir, privilegiar el efecto transferencia, el abierto o el circular y en función a uno de ellos, se procede a ordenar las cuentas de la MCS. Por ejemplo, si se utiliza el criterio de la capacidad de transferencia que se da en las actividades, entonces la jerarquización sería: actividad a2, le sigue a3 y después a1. 20 4.‐ Aplicaciones con actividades de las industrias básicas. Con el fin de introducir la aplicación de los modelos de multiplicadores para actividades de las industrias básicas, se considera estimar los impactos que genera estimular en un millardo de Bs.F. a cada una de las siguientes actividades: PRSOC ‐ Extracción de carbón y lignito; turba, PRSOC ‐ Industrias básicas de hierro y acero, PUBIE ‐ Extracción de minerales de hierro, PUBIE ‐ Extracción de minerales metálicos no ferrosos (minerales de aluminio (Bauxita), oro, otros metales preciosos, minerales de níquel, otros minerales metálicos no ferrosos, PUBIE ‐ Extracción de piedra, arena y arcilla (granito y otras piedras de construcción, piedra caliza, yeso y otros, arenas, grava, piedra partida y otros, arcillas), PUBIE ‐ Fabricación de productos primarios de metales preciosos y metales no ferrosos (oro fundido y refinado, productos no planos de aluminio, alúmina, resto de productos primarios de metales preciosos y metales no ferrosos, productos planos de aluminio). 4.1. Estimación de los impactos por estímulo a la producción. El siguiente cuadro, muestra la estimación de los impactos de estimulo a la producción de las actividades propuestas en el empleo, la producción, el valor agregado, los ingresos y el consumo, tomados en forma individual. Cuadro 22: Impacto por inyección de Bs.F. 1 millardo La jerarquización de las actividades depende del criterio que se defina para medir la magnitud del impacto. 21 4.2. Modelos multicriterio para la jerarquización de las actividades. A continuación se muestra los resultados de las tres metodologías implementadas para la jerarquización de actividades con la agregación de diferentes criterios. 4.2.1. Método de la Utilidad Agregada. Supóngase que el tomador de decisiones considera que los criterios: % valor agregado, % empleo y % Consumo son los determinantes para este problema de decisión. Además, propone la matriz de comparación de pares de criterios que fue presentada en el Cuadro 9. Comparación
de pares
Va (%)
Empleo (%)
Consumo (%)
Total
Va (%)
1
0.2
0.111
1.311
Fuente: Cálculos propios
Empleo
(%)
5
1
0.25
6.25
Consumo
(%)
9
4
1
14
A partir de la metodología de Utilidad Agregada o Saaty (ver Apéndice 1) se obtiene la siguiente ponderación de los criterios mencionados. Cuadro 23: Estimación de la importancia relativa de los criterios Va (%)
Va (%)
0.76
Empleo (%)
0.15
Consumo (%)
0.08
Total
1
Fuente: BCV, Cálculos propios
Empleo (%)
Consumo (%)
0.80
0.16
0.04
1
0.64
0.29
0.07
1
Importancia
Relativa
0.74
0.20
0.07
1
Es decir, las ponderaciones resultantes son: 74% para el valor agregado, 20% para el empleo y 6% para el consumo. El siguiente cuadro muestra los resultados de la jerarquización haciendo del método de la Utilidad Agregada. 22 Cuadro 24: Jerarquización El orden jerárquico de las actividades es la siguiente: A4 PUBIE ‐ Extracción de minerales metálicos no ferrosos A6 PUBIE ‐ Fabricación de productos primarios de metales preciosos y metales no ferrosos A3 PUBIE ‐ Extracción de minerales de hierro A2 PRSOC ‐ Industrias básicas de hierro y acero A1 PRSOC ‐ Extracción de carbón y lignito; turba A5 PUBIE ‐ Extracción de piedra, arena y arcilla 4.2.2. Método Promethee. Para la jerarquización de las actividades por el método Promethee, se usa la siguiente información: 23 Cuadro 25: Información para jerarquización por Promethee Para las estimaciones por el método Promethee se uso la herramienta Visual Decisión, disponible en la página web (www.visualdecision.com/) en formato de acceso libre con limitaciones del número de criterios y actividades. El resultado de la jerarquización por el método Promethee se muestra en el siguiente gráfico: Gráfico 5: Jerarquización por el método Promethee El orden jerárquico se muestra a continuación A4 PUBIE ‐ Extracción de minerales metálicos no ferrosos A3 PUBIE ‐ Extracción de minerales de hierro A6 PUBIE ‐ Fabricación de productos primarios de metales preciosos y metales no ferrosos 24 A2 PRSOC ‐ Industrias básicas de hierro y acero A5 PUBIE ‐ Extracción de piedra, arena y arcilla A1 PRSOC ‐ Extracción de carbón y lignito; turba. El flujo neto de superación se muestra en el siguiente cuadro. Cuadro 26: Flujo neto de superación 4.2.3. Método de los operadores OWA. Los operadores OWA son unos instrumentos que permiten agregar información. Es decir, a partir de una serie de datos se puede tener un único valor representativo de la información (para más detalles ver Apéndice 1). PRSOC - Extracción de carbón y
lignito; turba
PRSOC - Industrias básicas de
A2
hierro y acero
PUBIE - Extracción de minerales
A3
de hierro
PUBIE - Extracción de minerales
A4
metálicos no ferrosos
PUBIE - Extracción de piedra,
A5
arena y arcilla
PUBIE - Fabricación de productos
primarios de metales preciosos y
A6
metales no ferrosos
Fuente: BCV, Cálculos propios
A1
20%
74%
6%
Impacto total a nivel nación normalizado
Valor
Categorías de
Empleo
agregado
consumo
%
%
%
Jerarquía
Ponderación
Valor del
Operador
Actividades
Cuadro 27: Construcción del operador OWA 0.55
0.00
0.00
0.1100
6
0.70
0.58
0.34
0.5907
5
0.85
0.61
0.39
0.6448
4
1.00
1.00
0.39
0.9634
1
1.00
0.96
0.00
0.9122
2
0.93
0.90
0.84
0.9024
3
25 Los resultados muestran el siguiente orden jerárquico: A4 PUBIE ‐ Extracción de minerales metálicos no ferrosos A5 PUBIE ‐ Extracción de piedra, arena y arcilla A6 PUBIE ‐ Fabricación de productos primarios de metales preciosos y metales no ferrosos A3 PUBIE ‐ Extracción de minerales de hierro A2 PRSOC ‐ Industrias básicas de hierro y acero A1 PRSOC ‐ Extracción de carbón y lignito; turba. El próximo cuadro resume el orden jerárquico de las actividades para cada metodología. Cuadro 28: Resumen jerarquías Utilidad
Agregada
Actividades
A4
A6
A3
A2
A1
A5
Fuente: BCV, Cálculos propios
Promethee
OWA
A4
A3
A6
A2
A5
A1
A4
A5
A6
A3
A2
A1
5.‐ Modelos de programación lineal para el diseño de carteras que permitan determinar los recursos a ser inyectados en la economía para estímulo de la producción. El objetivo es usar los modelos de programación lineal para el diseño de carteras de estimulo a la producción de las actividades. 5.1‐ Modelos de programación lineal con un objetivo. En lo que sigue se ilustra el uso de la programación lineal para el diseño de carteras de estímulo a la producción. Para ejemplificar la aplicación de los modelos de programación lineal se asume las siguientes hipótesis: El monto total a distribuir en la cartera es de Bs.F. 6 millardos. Las restricciones son: disponibilidad de recursos (Bs.F. 6 millardos) y capacidad. Se asume que todas las actividades tienen una capacidad ociosa del 20%. 26 Se considera la siguiente notación: X1 denota el monto a estimular la actividad A1, X2 la actividad A2, y así sucesivamente hasta X6 para la actividad A6. Cuadro 29: Notación para las actividades La capacidad a utilizar de la actividad “i” viene dado por el porcentaje de incremento de la producción de la actividad “i” por millón estimulado, multiplicado por el monto a determinar de la cartera (Xi). Luego tenemos las siguientes restricciones: Restricción de recursos X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≤ 6. Actividades A1. 0.25X1 ≤ 20 A2. 0.34X2 ≤ 20 A3. 0.31X3 ≤ 20 A4 0.31X4 ≤ 20 A5 0.35X5 ≤ 20 A6 0.39X6 ≤ 20 27 Es posible formular el problema desde la perspectiva de diferentes funciones objetivos. El siguiente cuadro muestra los coeficientes de las funciones objetivo. Cuadro 30: Coeficientes de las funciones objetivo Utilidad
Jerarquía Promethee Jerarquía
agregada
A1
A2
A3
A4
A5
PRSOC - Extracción de carbón y
lignito; turba
PRSOC - Industrias básicas de
hierro y acero
PUBIE - Extracción de minerales
de hierro
PUBIE - Extracción de minerales
metálicos no ferrosos
PUBIE - Extracción de piedra,
arena y arcilla
OWA
Jerarquía
VA
Empleo
Jerarquía
X1
0,40483
5
-0,70400
6
0,11000
6
0,25504
5
0,04234
6
0,04824
6
X2
0,59070
4
-0,14400
4
0,59070
5
0,25945
4
0,07123
5
0,14604
3
X3
0,74151
3
0,35200
2
0,64480
4
0,29327
2
0,09403
4
0,10227
4
X4
0,87751
1
0,72000
1
0,96340
1
0,31253
1
0,12701
1
0,10251
5
X5
0,25774
6
-0,50400
5
0,91216
2
0,18559
6
0,12382
2
0,18828
1
0,86348
2
0,28000
3
0,90240
3
0,29244
3
0,11838
3
0,17900
2
PUBIE - Fabricación de productos
primarios de metales preciosos y X6
metales no ferrosos
A6
Fuente: Cálculos propios
Jerarquía Consumo Jerarquía
En todas las opciones propuestas, A4 es la dominante, excepto para incrementos de empleo en el cual la actividad A5 es la dominante. Desde el punto de vista de asignación de recursos, la mayor cantidad se asigna a la actividad de orden 1, hasta agotar la capacidad, sigue la de segundo orden hasta agotar la capacidad, y así sucesivamente hasta agotar los recursos disponibles. Restricciones adicionales pueden cambiar de forma importante la solución. 5.2‐ Modelos de programación lineal con objetivos múltiples. Los modelos multiobjetivo persiguen resolver problemas en el cual existen diferentes criterios para asignar recursos, pero el decisor revela un orden de prioridades entre los criterios. Los criterios pueden tomar dimensiones diferentes que pueden entrar en conflicto. En general, los modelos de criterios múltiples proporcionan una solución que “satisface” los objetivos múltiples en vez de una solución que optimice todos los objetivos. A continuación se muestra un ejemplo didáctico de programación por metas. Meta 1: Maximizar Z1 = x1 + 2x2 con prioridad p1 Meta 2: Maximizar Z2= ‐x1 ‐ 2x2 con prioridad p2 Restricciones: x1 + x2 ≤ 100 2x2 + x2 ≤ 200. 28 Que todas las variables sean positivas. A continuación se desarrolla el algoritmo Cuadro 31: Algoritmo Cj-Zj (P1)
M2
M1
Cj-Zj (P2)
0
0
s1
0
0
s2
Cj-Zj (P1)
Cj-Zj (P2)
(-2p2) 2p1
x2
0
0
s2
Fuente: Cálculos propios
x1
x2
s1
1p1 2p1
0
(-1p1) (-2p2)
0
1
2
1
2
1
0
0
0
(-p1)
0
0
p2
0.5
1
0.5
1.5
0
-0.5
s2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
100
200
100
-100
50
150
Por definición, el óptimo se alcanza cuando todos los valores de la fila cj‐zj son positivos. Obsérvese que para la meta de prioridad p1 se alcanza el óptimo. Sin embargo, para la de prioridad p2 el valor es positivo. Dado que la de prioridad p1 cj‐zj es negativa, no es posible mejorar la solución. Esto significa que las metas p1 y p2 están en conflicto. Ahora considérese un problema de evolución de impactos como se muestra en el Cuadro 32, para un conjunto más amplio de actividades, con el objetivo de medir los impactos resultantes del estímulo a la producción de cada actividad en Bs.F un millardo. Cuadro 32: Matriz de impactos 29 Con el fin de caracterizar la cartera se determinó la asignación óptima de los recursos mediante un modelo de programación lineal por metas. El modelo se estructuró de la siguiente manera: A cada actividad se le asignó la variable xi (i = 1,22). Esta variable representa el monto de los recursos de la actividad (millardos). a. Se definen las siguientes funciones objetivo 22
i.
Z1   xi * %VAi y el objetivo es maximizar el valor agregado total i
22
ii.
Z 2   xi *
i
%imp
y el objetivo es minimizar el componente de %VA
importaciones relativo al valor agregado. 22
iii.
Z 3   xi * % INPCi y el objetivo es minimizar el %INPC i
Donde, %VAi representa el incremento de valor agregado para cada actividad como resultado de inyectar Bs F. un millardo. %imp/%VA representa el cociente del incremento de las importaciones entre el incremento del valor agregado para cada actividad como resultado de inyectar Bs F. un millardo. %INPC representa el incremento del índice nacional de precios al consumidor para cada actividad como resultado de inyectar Bs F. un millardo. b. Se definen las 22 restricciones de capacidad de producción, usando la encuesta de capacidad utilizada del BCV, y la de disponibilidad de recursos. Se asume la disponibilidad de recursos en Bs F. 6 millardos. c. El monto de la cartera se obtiene de la solución del problema de encontrar los valores de xi para cada actividad sujeto a las restricciones de capacidad y de disponibilidad de recursos, tal que, maximice Z1 con prioridad p1, minimice Z2 con prioridad p2 y Z3 con prioridad p3. 30 Cuadro 33: Solución al problema multiobjetivo Las actividades: PRSOC ‐ Industrias básicas de hierro y acero y PUBIE ‐ Fabricación de productos primarios de metales preciosos y metales no ferrosos representan cerca del 43,83% de aplicación de la cartera de recursos. Ambas actividades se corresponden con las industrias básicas. Es de hacer notar que los recursos monetarios (Bs.F 6 millardos) se consumen y sin embargo, todavía queda capacidad ociosa en la industria. 31 6. Conclusiones A partir del modelo de multiplicadores se pueden evaluar los impactos que sobre los indicadores macroeconómicos (valor agregado, consumo, producción, etc.) genera la inyección de ingresos en las variables endógenas: productos, actividades, pago de los factores, consumo final de los hogares y las instituciones sin fines de lucro que sirven a los hogares. Existen una serie de metodologías para jerarquizar las variables económicas a partir de los resultados del modelo de multiplicadores. Para esta jerarquización se requiere el establecimiento de cierto o ciertos criterios (multicriterios) que los establece el hacedor de políticas. Cuando es necesaria la evaluación basada en más de un criterio, se aplican los modelos multicriterio de Utilidad Agregada, de Promethee (Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations) y OWA (Ordered Weighted Averaging) para ordenar las actividades. Para uno de los ejemplos desarrollados, los resultados por obtenidos por el método de utilidad agregada y Promethee son los mismos, mientras que la jerarquización por el método OWA difiere en un par de elementos. Para el segundo ejemplo, los tres métodos coinciden en cuanto a la primera actividad jerarquizada, sin embargo, el resto de la jerarquización tiene poca coincidencia entre ellos. Otra alternativa estudiada para jerarquizar las actividades, es aquella basada en la intensidad de los encadenamientos entre los diferentes sectores de la economía. Es decir, se precisan los sectores cuyas actividades generan una mayor demanda sobre otras actividades y aquellos sectores cuyos productos son demandados por otros sectores. Así, a partir de un índice que se obtiene, se clasifican las cuentas en fuerte arrastre, fuerte empuje, claves e independientes. Una alternativa de jerarquización diferente, está basada en la descomposición de los multiplicadores, donde se identifican tres momentos o matrices que corresponden al multiplicador de efectos internos o de transferencias, de efectos abiertos y de efectos circulares. Con ello se puede jerarquizar dependiendo del efecto que se quiera preponderar y dado los índices asociados, los pesos correspondientes a cada actividad. Por último, se hace uso de los modelos de programación lineal para diseñar una cartera de estímulos a la producción, donde se pueden tomar los objetivos a ser alcanzados en forma individual, o bien, se resuelve como un problema multiobjetivo, teniendo en cuenta la restricción de capacidad de producción. Una posible extensión sería la introducción de conjuntos borrosos en los metodología de jerarquización para acercarnos mejor a la realidad de la toma de decisión. 32 7. Bibliografía Breisinger, Clemens, Marcelle Thomas and James Thurlow. Social Accounting Matrices and Multiplier Analysis. An introduction with Exercises. International Food Policy Research Institute. USA. 2010 Cámara S., Ángeles. Estimación de la Matriz de Contabilidad Social de la Comunidad de Madrid para el año 2000: Análisis del impacto de los Fondos Europeos 2000‐2006 en la región aplicando la metodología de multiplicadores lineales. Universidad Rey Juan Carlos de Madrid. España. 2006. Tesis Doctoral. Flores G., Mónica y Alfredo J. Mainar C. Análisis de la Economía Aragonesa: Multiplicadores Contables y su Descomposición. I Jornadas de Análisis Input‐Output. Oviedo. España. 2005. Hara, Tadayuki. Quantitative Tourism Industry Analysis. Introduction to Input‐Output, Social Accounting Matrix Modeling, and Tourism Satellite Accounts. Elsevier. USA. 2008. Martínez de Anguita, Pablo and John E. Wagner. Environmental Social Accounting Matrices. Theory and Applications. Routledge. USA. 2010. Merigó L., José M. Nuevas Extensiones a los Operadores OWA su Aplicación en los Métodos de Decisión. Facultad de Economía y Empresas, Departamento de Economía y Organización de Empresas. Universidad de Barcelona, España. 2008. Tesis Doctoral. Millar A. George. “The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for processing Information”. Psychological Review, 63, 81‐97. 1956 Pyatt, G. and J. I. Round (1979) Accounting and fixed price multipliers in a Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89(356), 850‐873. Saaty, Thomas L. The Analytic Hierarchy Process. McGraw‐Hill. USA. 1980. Vargas, L. G., “Reciprocal Matrices with Random Coefficients,” Mathematical Modeling, Vol. 3 pp.60‐81. Yager, R.R. and D.P.Filev, Induced ordered weighted averaging operator, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics B 29 (1999) 141‐150. 33 Apéndice 34 Métodos de jerarquización de actividades (Proceso de jerarquización analítica, utilidad agregada, Promethee y operadores OWA) 35 A.‐ Método Saaty para la ponderación de criterios y cálculo de la utilidad agregada Los problemas de decisión, en general, tienen que ver con dos o más criterios, los cuales están en conflicto entre sí al momento de buscar identificar la mejor alternativa. Por lo tanto, se necesita de métodos que permitan una compensación entre criterios, para seleccionar la mejor alternativa. Uno de estos métodos es el de análisis multicriterio conocido como el proceso de análisis jerárquico (PAJ) (método Saaty1). El método Saaty permite considerar problemas de decisión con criterios múltiples para ser utilizado con información cuantitativa y/o cualitativa. Por ejemplo, consideremos el caso de estabilizar la economía mediante el estimulo a la producción de varios sectores. Asumamos que la decisión está en función de incrementar el valor agregado (VA) y minimizar el impacto en el índice nacional de precios al consumidor (INPC). Este caso ilustra la complejidad del problema, ya que, un sector puede considerarse el mejor para maximizar el VA pero el peor en función del impacto en eI INPC. Para la aplicación de este método es necesario que tanto los criterios como las alternativas se puedan estructurar en forma jerárquica. El primer nivel de jerarquía corresponde al propósito general del problema, el segundo a los criterios y el tercero a las alternativas. El siguiente gráfico muestra la estructura. Gráfico 1: Estructura de jerarquización Ci – representa los criterios, wi‐ la importancia relativa del criterio i respecto al resto. Rij‐representa el resultado del criterio i en la opción j. 1
Saaty, Thomas “The Analytic Hierarchy Process”. McGraw Hill 1988. 36 Supongamos que el objetivo general es estabilizar la economía considerando como opciones estimular la producción de las actividades. Además, el decisor considera tres criterios: mayor valor agregado, menor índice (importaciones /valor agregado) y de precios al consumidor. Los valores de la tabla se corresponden con el impacto de inyectar bolívares fuertes un millardo (a precios del 2005) a cada una de las actividades, en forma individual, medidas por el modelo de multiplicadores de la matriz de contabilidad social del 2005 y que se muestra a continuación. Cuadro 1: Impacto de una inyección de 1 millardo de BS.F. a cada actividad Para la jerarquización de las actividades es necesario construir una función de utilidad que permita cuantificar las preferencias del decisor para cada actividad. En el caso que se conoce los valores de la importancia relativa del criterio i con respecto al resto (wi), la función de utilidad puede definirse como: n
opción )   wi * Rij , S(
i
j 1
37 A1. Estimación de la importancia relativa bajo la hipótesis de consenso en la unidad de decisión. Método 1 de estimación de importancia relativa para los criterios (wi) El método PAJ se basa en la cuantificación de las preferencias o importancia relativa para los criterios y las alternativas. Para ello, el decisor establece “juicios de valores” a través de la escala numérica de Saaty comparando los criterios por parejas. Es importante resaltar que esta escala recomendada por Saaty está basada en los resultados obtenidos por Millar A. George2, que examina la capacidad del ser humano para procesar información, estableciendo que el individuo en promedio puede discriminar máximo entre nueve niveles para diferenciar o establecer sus preferencias. El siguiente cuadro muestra la clasificación numérica. Cuadro 2: Clasificación numérica de preferencias Pueden asignarse valores intermedios 2, 4, 6, 8. Para la estimación de la importancia relativa, se considera que C1, C2, C3……Cn son los criterios a ser comparados. Se quiere evaluar los pesos relativos de comparar un criterio Ci con Cj en función del objetivo general y que se denota por aij que se construye a partir de la escala numérica proporcionada por el decisor. Saaty propone construir la matriz A donde cada componente representa la comparación o juicio del par de criterios. Específicamente, aij denota el número que estima la importancia del criterio Ci cuando es comparado con el criterio Cj. Obviamente, aij 
1
y aii=1. De la aji
escala considerada, se tiene que A esta formada por el siguiente conjunto de números. 2
Millar A. George. “The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for processing Information”. Psychological Review, 63, 81‐97. 1956 38 1
1 1 1

9,8,7,...2,1, ..... , ,  2
7 8 9

wi
donde wi y wj representan la importancia wj
relativa del criterio Ci y Cj respectivamente, la matriz es consistente. En efecto, aij  aik * akj En el caso de tener los valores perfectos, aij 
para i, j, k = 1,2 ,3….n. donde n es el número de criterios. Este resultado se relaciona con la transitividad de la preferencia en las matrices de comparación pareada. La idea es la siguiente: supongamos que se juzgó que el atributo A es 2 veces más importante que B y que B es 2 más importante que C. la consistencia requiere que A sea 4 veces más importante que C. La matriz A satisface las siguientes propiedades3: es de rango 1 y el valor λ=n es el autovalor de la matriz. En efecto, del hecho que aij 
n
n
wi
se tiene que:  aij * wj   wi  nwi , wj
j 1
j 1
para i=1, n. Es decir, A*w=nw. Entonces n es el autovalor y representa en número de criterios; la importancia relativa es el autovector correspondiente. En el común de los casos, de la información del decisor, la ecuación aij 
wi
no es perfecta y, wj
por lo tanto, la ecuación aij  aik * akj no se mantiene para todos los casos. Luego, la matriz construida a partir de la información del decisor puede considerarse como una perturbación del caso consistente. Para encontrar la importancia relativa del “caso no consistente”, se debe hallar el autovalor máximo λmax y su correspondiente autovector (importancia relativa). Es decir, encontrar el autovector que satisface la ecuación A*w= λmax *w, donde λmax ≥ n. Saaty propone el siguiente método numérico para estimar el autovector y autovalor. Supongamos, como en el ejemplo, que el decisor considera tres criterios: mayor valor agregado, el menor índice (importaciones /valor agregado) y de precios al consumidor y que además proporciona la matriz A (aij), como sigue: Cuadro 3: Ponderación de los criterios Criterios
% VA
% Imp/ % VA
% Inflación
Total
Fuente: Cálculos propios
% VA
1
0.2
0.111111111
1.311111111
% Imp/ % VA
5
1
0.2
6.2
% Inflación
9
5
1
15
3
Saaty, Thomas “The Analytic Hierarchy Process”. McGraw Hill 1988. 39 En el cuadro, el valor a12 = 5 se refiere a que el decisor evalúo el criterio valor agregado como “Más importante” que la relación %imp/%VA en función del objetivo de estabilizar la economía. El método numérico de estimación del autovalor y autovector es el siguiente: Paso 1. Desarrollo de la matriz normalizada. Estimar la matriz normalizada, consiste en dividir cada elemento de la matriz entre el total por columna, como se muestra en el siguiente cuadro: Cuadro 4: Matriz normalizada Criterios
% VA
% VA
0.76
% Imp/ % VA
0.15
% Inflación
0.08
Total
1
Fuente: Cálculos propios
% Imp/ % VA
0.81
0.16
0.03
1
% Inflación
0.60
0.33
0.07
1
Importancia Relativa
0.72
0.22
0.06
1
El autovector se estima como el promedio de cada fila. Ejemplo, (0,76+0,81+0,60)/3 = 0,72, y así sucesivamente. Para este ejemplo en particular w1= 0,72, w2= 0,22 y w3 = 0,06. Paso 2. Determinación del coeficiente de consistencia. La consistencia de las opiniones reveladas del decisor y utilizadas en la matriz de comparación de pares puede ser determinada a través del siguiente coeficiente de consistencia (CC). El algoritmo para la estimación del coeficiente de consistencia es el siguiente: 1.‐ Para cada fila de la matriz de comparación de pares, determinar la suma ponderada resultante del producto de cada celda por su importancia relativa 2.‐ Dividir la suma resultante de cada fila entre le importancia relativa. 3.‐ Determinar la media del resultado de la etapa 2. El valor final representa el autovalor Máximo, es decir, λmax. El resultado para el ejemplo considerado se muestra en el siguiente cuadro. 40 Cuadro 5: Estimación del autovalor máximo wi
0.72
Criterios
% VA
% VA
0.72
% Imp/ % VA
0.14
% Inflación
0.08
Fuente: Cálculos propios
0.22
% Imp/ % VA
1.08
0.22
0.04
0.06
% Inflación
0.55
0.31
0.06
Suma Suma/ prioridad
2.35
3.25
0.67
3.09
0.18
3.02
λmax
3.12
Se define índice de consistencia para cada alternativa a la expresión: CI 
 max  n
n 1
. Para el ejemplo CI= 0,06. Saaty ha aproximado índices aleatorios para diversos tamaños de la matriz n con base en números grandes de ejecuciones de simulación. El índice de consistencia aleatorio se denota por RCI. Gráfico 2: índice de consistencia aleatorio Finalmente, define como coeficiente de consistencia (CC) al valor que resulta de dividir CI entre RCI. Si los valores aij (juicios) están distribuidos como una función Gamma, entonces el autovalor máximo se distribuye como un función Dirichet y se prueba que la hipótesis de consistencia es aceptada si el coeficiente de consistencia es menor o igual al 10%4. Un CC ≤ 0,10 es considerado aceptable. Para aquellos casos en que CC > 0,10 las opiniones o juicios del decisor deberán ser revisadas. Para el ejemplo, el CC 
CI
0,06

 0,10 , por lo tanto existe congruencia en los juicios RCI 0,58
del decisor. 4
Vargas, L. G., “Reciprocal Matrices with Random Coefficients,” Mathematical Modeling, Vol. 3 pp.60‐
81. 41 Probada la consistencia se procede a normalizar los criterios para estimar la función S para cada actividad. Cuadro 6: Matriz de efectos Para la normalización de los criterios se parte de la siguiente idea: Para el criterio del valor agregado se quiere aquellas actividades cuyo valor agregado están más alejados del mínimo del valor agregado. Mientras para el INPC y %imp/%VA se desea las actividades que estén más cerca del mínimo. Por lo tanto normalizamos el valor agregado como: VAi  min(VAj )
. Max(VAj )  Min(VAj )
Para el coeficiente %imp/%VA usamos la siguiente expresión: Max((imp / Va ) j )  (imp / Va )i
. Max((imp / Va) j )  Min((imp / Va ) j )
La normalización para el INPC es dada por: 42 Max(( INPCj )  INPCj
Max( INPCj )  Min( INPCj )
El siguiente cuadro muestra la matriz de efectos normalizada, la estimación de la función S (opción i) y la jerarquía. Cuadro 7: Matriz de efectos normalizada La jerarquía depende de los juicios del decisor. Por ejemplo, supongamos que la matriz A viene dada por los siguientes valores Cuadro 8: Ponderación de la criterios Criterios
% VA
% VA
1
0.2
% Imp/ % VA
% Inflación
0.111111111
Total
1.311111111
Fuente: Cálculos propios
% Imp/ % VA
5
1
0.333333333
6.333333333
%Inflación
9
3
1
13
La importancia relativa de los criterios se muestra en el siguiente cuadro 43 Cuadro 9: Importancia relativo de los criterios Criterios
% VA
% VA
0.76
% Imp/ % VA
0.15
% Inflación
0.08
Total
1
Fuente: Cálculos propios
% Imp/ % VA
0.79
0.16
0.05
1
Importancia
relativa
0.75
0.18
0.07
1
%Inflación
0.69
0.23
0.08
1
Las actividades jerarquizadas se muestran en el siguiente cuadro. Cuadro 10: Jerarquización Método 2 de estimación alternativa de la importancia relativa para los criterios (wi) La siguiente metodología proporciona una técnica alterna para la estimación de la importancia relativa de los criterios. Considérese la tabla de comparación de criterios del ejemplo en consideración: Cuadro 11: Ponderación de la criterios Criterios
% VA
% VA
1
% Imp/ % VA
0.2
% Inflación 0.111111111
Total
1.311111111
Fuente: Cálculos propios
% Imp/ % VA
5
1
0.2
6.2
% Inflación
9
5
1
15
44 Las ecuaciones de consistencia perfecta para este ejemplo vienen dadas por las siguientes ecuaciones: a12 
w1
w1
w2
, a12 
, a12 
w2
w3
w3
Para el ejemplo 5
w1
w1
w2
, 9 
, 5 
w2
w3
w3
En vista de que las ecuaciones, en general, no se satisfacen, se plantea el problema de encontrar la solución más cercana. El modelo de programación lineal permite encontrar la estimación. En efecto, considérese las siguientes ecuaciones: w1  5w2  n1  p1  0 w1  9 w3  n 2  p 2  0 w2  5w3  n3  p3  0 . Donde n1, n2, n3 representan la desviación inferior de la condición de consistencia perfecta para cada ecuación. Mientras, p1, p2, p3 representan la condición de desviación superior. Por lo tanto el objetivo es minimizar la siguiente función: Z  n1  p1  n 2  p 2  n3  p3 La solución del modelo de programación lineal es la siguiente, es decir, la solución de la importancia relativa es: w1=0,7227, w2= 0,1525, w3= 0,0843. Para estimar el índice de consistencia CI, se calcula el autovalor máximo de la matriz de comparación de pares de criterios: Cuadro 12: Comparación de pares Comparación de Pares
% VA
% VA
1
Imp/VA
0.2
% Inflación
0.111111111
Fuente: Cálculos propios
Imp/VA
5
1
0.2
% Inflación
9
5
1
Sea la matriz A definida a partir de la matriz de comparaciones como sigue: 45 
1
1
A
5
1
 9
5
1
1
5

9

5 
1

El autovalor es el valor de λmax resultado de resolver la ecuación
A * w   * w , es decir, el determinante de A   igual a cero.
La ecuación resultante del determinante igual a cero es la siguiente: (1 )
3
 3(1   ) 
706
 0 225
La solución es λmax = 3,117089844. Por lo tanto, el índice de consistencia viene dado  max  n 0,117089844
por la expresión CI 

 0,0585 .
n 1
2
Dado que el índice de consistencia aleatorio, RCI es 0,58, se desprende que el coeficiente de consistencia CC es 0,10. Luego, las preferencias son consistentes. A2. Estimación de la importancia relativa bajo la hipótesis de ausencia de consenso en la unidad de decisión. Para fines didácticos, se asume que existen tres decisores con diferentes matrices de comparación de pares (consistentes) que proporcionan diferentes importancias relativas. La idea es que cada individuo visualiza el problema de manera diferente. Cuadro 13: Criterios decisor 1. Criterios
1
2
3
% VA
Imp/VA
% Inflación
Total
Fuente: Cálculos propios
1
% VA
0.76
0.15
0.08
1
2
Imp/VA
0.81
0.16
0.03
1
3
% Inflación
0.60
0.33
0.07
1
Importancia
relativa
0.72
0.22
0.06
1
46 Cuadro 14: Criterios decisor 2. Criterios
1
2
3
% VA
Imp/VA
% Inflación
Total
Fuente: Cálculos propios
1
% VA
0.76
0.15
0.08
1
2
Imp/VA
0.79
0.16
0.05
1
3
% Inflación
0.69
0.23
0.08
1
Importancia
relativa
0.75
0.18
0.07
1
Cuadro 15: Criterios decisor 3. Criterios
1
2
3
% VA
Imp/VA
% Inflación
Total
Fuente: Cálculos propios
1
% VA
0.71
0.14
0.14
1
2
Imp/VA
0.81
0.16
0.03
1
3
% Inflación
0.45
0.45
0.09
1
Importancia
relativa
0.66
0.25
0.09
1
El resumen de la importancia relativa para cada miembro de la unidad de decisión se muestra en el siguiente cuadro: Cuadro 16: Resumen de criterios Criterio
Decisor 1
% VA
0.72
% Imp/ % VA
0.22
% Inflación
0.06
Fuente: Cálculos propios
Decisor 2
0.75
0.18
0.07
Decisor 3
0.66
0.25
0.09
Es importante resaltar que la determinación de la importancia relativa puede ser el resultado de aplicar el enfoque de Saaty o cualquier otro método alternativo. Método Borda Count para ponderar criterios. A cada decisor se le proporciona un número de puntos de acuerdo a la posición que ocupa. Por ejemplo, para n criterios se asigna n al criterio que ocupa el primer lugar, n‐
1 al siguiente lugar, y así sucesivamente. 47 Cuadro 17: ponderación de criterios método Borda Count Criterio
Decisor 1
% VA
3.00
% Imp/ % VA
2.00
% Inflación
1.00
Fuente: Cálculos propios
Decisor 2
3.00
2.00
1.00
Decisor 3
3.00
2.00
1.00
Suma
9.00
6.00
3.00
IR
0.50
0.33
0.17
Es decir, W1= 50%, W2=33% y W3= 17%. B.‐ Método PROMETHEE para la jerarquización de alternativas Los métodos Promethee (Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations) permiten tratar problemas multicriterio donde un conjunto de alternativas, A, es un conjunto finito y factible. El decisor se enfrenta con una matriz de resultados como sigue: Cuadro 18: Matriz de decisión: Tabla de resultados C1(.)
C2(.)
A1
C1(A1)
C2(A1)
A2
C1(A2)
C2(A2)
A3
C1(A2)
C2(A3)
A4
C1(A2)
C2(A4)
A5
C1(A2)
C2(A5)
A6
C1(A2)
C2(A6)
::
::
::
::
::
::
::
::
::
An
C1(An)
C2(An)
Fuente: Cálculos propios
C3(.)
C3(A1)
C3(A2)
C3(A3)
C3(A4)
C3(A5)
C3(A6)
::
::
::
C3(An)
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
Ck(.)
Ck(A1)
Ck(A2)
Ck(A3)
Ck(A4)
Ck(A5)
Ck(A6)
::
::
::
::
Donde Ai denota la alternativa, Cj(.) el criterio y Cj(Ai) el resultado de la actividad Ai según el criterio Cj(.). Por ejemplo, considérese el siguiente problema multicriterio en el cual se tiene seis alternativas, Ai i = 1...6, a evaluar según los tres criterios Cj(.) j = 1…3 Cuadro 19: Matriz de ponderaciones de alternativas 48 La información adicional requerida por los métodos Promethee consiste en el establecimiento de los pesos o importancia relativa entre los criterios. La labor de determinación de estos pesos es el espacio de libertad del decisor. Por ejemplo, puede usarse el método Saaty o cualquier otra técnica para decidir sobre la importancia relativa entre los criterios. Gráfico 3: Importancia relativa entre criterios Donde, Wj denota los pesos relativos entre los criterios Cj(.). Por ejemplo, el siguiente gráfico muestra la importancia relativa para los tres criterios. Gráfico 4: Importancia relativa entre tres criterios El método Promethee consiste en varios pasos. a.‐ Determinar la función de distancia de la alternativa l respecto de la i para el criterio j. Es decir, dj(Al,Ai)=cj(Al)‐cj(Ai) para todo l, i, j en los rango correspondientes. Para nuestro ejemplo, la función de distancia se muestra en el siguiente cuadro: 49 Cuadro 20: Función de distancia b.‐ Determinación de la función de preferencia Para cada criterio se define una función de preferencia particular, Pj (Al, Ai) que indica el grado de preferencia asociado a la mejor alternativa en el caso de las comparaciones binarias, de acuerdo con la desviación entre las evaluaciones de las alternativas para ese criterio en particular. De esta forma, en los métodos Promethee se sugiere modificar la modelización de las preferencias del decisor, considerando para cada criterio algunas posibles extensiones y que reciben el nombre de criterios generalizados. Un criterio generalizado se obtiene asociando a cada criterio Cj(,) una función de preferencia Pj(.,. ) tal que Pj(Al,Ai)=Pj(dj(Al,Ai)). Donde dj(Al,Ai)=cj(Al)‐cj(Ai) y s 0≤Pj(.,. )≤0 50 La idea fundamental es trasladar las desviaciones observadas en la escala de un criterio específico en grados de preferencia que son independientes en las escalas. Para la demostración del método, se considera la siguiente función: p
0
P (d )  
1
1
d  0
d  0
0
d
Esta función transforma las desviaciones de las alternativas para cada criterio. Es decir Pj(Al,Ai)=Pj(dj(Al,Ai)) toma el valor de cero si dj(Al,Ai) ≤ 0 y el valor 1 si dj(Al,Ai) > 0. Se trata de un problema de ordenamiento donde el decisor desea jerarquizar las alternativas de A desde la más deseable a la menos deseable. Para el ejercicio en consideración, la función Pj(Al,Ai) definida se muestra en el siguiente cuadro. 51 Cuadro 21: Definición de la función Pj(Al,Ai) c.‐ Determinación de los índices de preferencia agregada. Una vez asociada las funciones de preferencias a cada criterio, deben definirse los índices de preferencia agregada y los flujos de superación. Un índice de preferencia multicriterio se define de la siguiente forma k
 ( Al , Ai)   pj ( Al , Ai) * wj j 1
52 Para el ejemplo, el índice de preferencia multicriterio se muestra en el siguiente cuadro. Cuadro 22: Índice de preferencia multicriterio k
Para cada par de alternativas (Al, Ai),  ( Al , Ai)   pj ( Al , Ai ) * wj expresa el grado de j 1
preferencia total de Al sobre Ai. Indica cómo y con qué intensidad la alternativa Al es preferida a Ai para todos los criterios. En general,  ( Al , Ai ) cercano a cero implica una preferencia global débil de Al sobre Ai. Mientras  ( Al , Ai ) cercano a uno implica preferencia global fuerte sobre Ai. c.‐ Estimación de los flujos de superación. Para todo Al se define el flujo de salida o positivo mediante la siguiente fórmula: 

( Al ) 
1
*   ( Al , Ai ) , donde n=número de alternativas n  1 Ai
La expresión mide con qué intensidad la alternativa Al es preferida a las (n‐1) alternativas restante, por tanto, ofrece una medida de fortaleza de Al. Simétricamente, se define el flujo de entrada o negativo como: 53 

( Al ) 
1
*   ( Ai, Al ) n  1 Ai
La expresión mide con qué intensidad las otras alternativas son preferidas a la alternativa Al. Ofrece una medida de debilidad de Al. Por lo tanto, una alternativa será mejor que otra cuanto mayor sea su flujo positivo y menor su flujo negativo. Este criterio puede contener alternativas incomparables y, por lo tanto, el ordenamiento es incompleto. Si definimos  ( Al )   ( Al )   ( Al ) , entonces cuanto mayor sea el 

flujo neto mejor será la alternativa en cuestión. Todas las alternativas son comparables y el conjunto A ha sido ordenado. Para el ejemplo en particular, se tiene el siguiente cuadro. Cuadro 23: Flujos negativos y positivos Los valores resultantes de acuerdo con el ejemplo para  ( Al ) y  ( Al ) forman un 

orden completo. Es decir, no existen incomparabilidades. En efecto, para A1, A2, A3, A4, A5, A6. La situación es la misma para 



( Al ) el orden es ( Al ) . El flujo neto se muestra en el siguiente cuadro. Cuadro 24: Jerarquización de acuerdo a los flujos netos Con el propósito de ayudar al decisor en la selección de la función de preferencia se han propuesto seis tipos básicos. Las funciones, además de la dada anteriormente, son: 54 Gráfico 5: Funciones p
1
Tipo
II
C
de U
0
p (d )  
1
Parámetro a fijar
q
q
0
d
p
Tipo
C e IIIo e
de V
o
 0
 d
P (d )  
 p
 1
1
Parámetro a fijar
p
p
0
 0

P(d )  1/ 2
 1

1
Criterio de nivel
Parámetro a fijar
qy p
1/2
q
0
d  0
0  d  p
d  p
d
p
Tipo IV
d  q
d  q
d q
qd  p
dp
p d
p
Tipo V
C
de V con
1
 0
 d  q
P (d )  
pq
 1
Parámetro a fijar
qy
p
q
0
Tipo VI
Criterio Gaussiano
Parámetro a fijar
p
qd  p
dp
d
p
0
p(d)    d2
2
1 e 2
1

0
d q
d 0
d 0
d
55 C.‐ Método de decisión a través de los Operadores OWA Este es un método de toma de decisiones cuando hay presente situaciones de incertidumbre. Dentro de los diferentes métodos que existen para la toma de decisiones con incertidumbre, destacan: Criterio optimista: también es conocido como el método maximax, quiere decir que de entre los máximos beneficios, se escoge el mayor de todos. Esto viene dado porque se asume que se presentara el estado de la naturaleza más favorable. Su formulación es: Decisión = Max{Ei} = Max [ Max{aj} ] Criterio pesimista: Se conoce con el método maxmin, se escoge el mayor entre los mínimos beneficios. La razón de ello es que parte del supuesto que se nos presentará el estado de la naturaleza más desfavorable, por lo que el decisor debe escoger el resultado más favorable de entre los más desfavorables. Su formulación es: Decisión = Max{Ei} = Max [ Min{aj} ] Criterio de Hurwicz: Es una combinación entre los dos criterios anteriores. Consiste en ponderar con un coeficiente de optimismo al mejor caso y otro de pesimismo al peor caso. Luego se suman los dos valores y se escoge la alternativa que proporcione un mayor resultado. Su formulación es: Decisión = Max{Ei] = Max [α Max{aj} + (1 – α)Min{aj} ] Donde α + (1 – α) = 1 Para α = 1, Decisión = Max{Ei] = Max [1xMax{aj} + 0xMin{aj} ] = Max [ Max{aj} ] = Criterio optimista. Para α = 0, Decisión = Max{Ei] = Max [0xMax{aj} + 1xMin{aj} ] = Max [ Min{aj} ] = Criterio pesimista. Criterio de Laplace: consiste en asociar un mismo grado de probabilidad a los distintos estados de la naturaleza, siempre que no tengamos indicios de lo contrario. Su formulación es: n


Decisión = Max{Ei] = Max 1 / n  a j  j 1


En cada uno de estos criterios el decisor adopta una postura y se toma la decisión. Los operadores OWA son una técnica que unifica estos criterios clásicos de decisión, es 56 decir, son operadores que permiten agregar la información y por tanto, a partir de una serie de datos se puede obtener un único valor que representa la información. Definición: una función F : R n  R es un operador OWA de dimensión n si tiene una vector asociado W de dimensión n, tal que sus componentes satisfacen: 1) w j  0,1 n
2)
w
j 1
j
 1 Y F ( a1 , a 2 ,..., a n ) 
w b
j
j 1
j
Donde bj es el j‐ésimo más grande los ai. Esta misma representación se puede expresar en forma vectorial F (a1 , a 2 ,..., a n )  W T B
W es el vector OWA de pesos asociados con a la agregación y B es el vector argumento ordenado5, donde el j‐ésimo componente en B es bj, siendo este el j‐ésimo más grande de los ai. Con esta notación vectorial, se puede distinguir la parte del proceso que es lineal (la multiplicación matricial) de la parte no lineal (B). Estimación del operador. Usando el siguiente ejemplo, donde Aj representa las opciones y Ci, representan los criterios y la matriz de resultados: Cuadro 25: Matriz de resultados Además se tienen las ponderaciones W. 5
Yager, R.R. and D.P.Filev, Induced ordered weighted averaging operator, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics B 29 (1999) 141‐150 57 Gráfico 6: Ponderaciones W Para Ai, se ordena la fila en forma decreciente, dejando las ponderaciones iguales y se procede a calcular los operadores a partir de WT*B, donde la matriz de resultados es: Cuadro 26: Matriz de resultados 50%
C1(.)
1.0000
A1
A2
0.3493
A3
0.3387
A4
0.1959
A5
0.1403
A6
0.0000
Fuente: Cálculos propios
33%
C2(.)
1.0000
0.4852
0.4595
0.0000
0.4644
0.2961
17%
C3(.)
0.5831
0.1101
0.2633
1.0000
0.0000
0.8759
Operador
0.9291
0.3766
0.3863
0.5646
0.2785
0.5356
Jerarquización
1
5
4
2
6
3
Utilizando este método se tiene que las opciones quedan jerarquizadas: A1, A4, A6, A3, A2, A5. 58