SI SE PARA LA TIERRA… 1. Calculo de la velocidad con la que se

SI SE PARA LA TIERRA…
Si se para la Tierra, debido a la fuerza gravitatoria será atraída directamente hacia el Sol y alguien
preguntó. ¿Cuánto tiempo tardaría la Tierra en precipitarse hacia el Sol?
La cuestión no debería se complicada. Conocemos los datos necesarios: la fuerza gravitatoria
Mm
G = −G 2 u r , la distancia a la que se encuentra la Tierra del Sol (r0 = 1,5·1011 m), la masa del Sol
r
(MS = 1,98·1030 kg), la masa de la Tierra (MT = 5,98·1024 kg), y si hace falta alguno más se busca.
1. Calculo de la velocidad con la que se alcanzaría la superficie del Sol.
Calcularemos primeramente la velocidad de la Tierra en su movimiento hacia el Sol. Y esto a partir
del principio de conservación de la energía mecánica.
Elegimos como origen del sistema de referencia el Sol. La Tierra parada, a una distancia r0 del Sol,
tendría solamente energía potencial y en un punto r cualquiera intermedio entre la Tierra y el Sol
tendría energía cinética y Potencial:
−G
Mm 1 2
Mm
= mv − G
r0
2
r
⇒
v=
2GM ro − r
ro
r
Se puede ver en esta expresión que si r0 = ∞ y r = R, radio del Sol, se obtiene la velocidad de
escape.
v=
2GM
r
Pero no preguntaron por la velocidad con la que la Tierra se precipitaría hacia el Sol sino cuánto
tiempo tardaría en precipitarse.
En principio, y dado que la Tierra cae hacia el Sol, aunque también tiene una velocidad tangencial
que le permite mantenerse en una orbita definida, podríamos descomponer el movimiento en dos:
uno “vertical” y otro tangencial completamente independientes. Esto nos permite deducir que el
tiempo que tardaría en precipitarse sería un cuarto de periodo, aproximadamente 90 días. El
problema es que la fuerza no es vertical como en el caso del tiro horizontal sino central y hay que
proceder con algo más de rigor.
La segunda parte será un poco más complicada.
2. Calculo del tiempo que tardaría en precipitarse sobre la superficie solar.
Para determinar el tiempo se parte de la expresión de la velocidad v = −
dr
, el signo menos es
dt
debido a que la velocidad aumenta a medida que disminuye el radio. Entonces
r
ro
dr
t = −∫ = −
v
2GM
ro
r
∫
ro
Cambio
ro
r
dr = r = xro
=−
ro − r
2GM
dr = ro dx
Cambio
3
2
ro
x
z
=−
= z2 ⇒ x = 2
2GM
1− x
z +1
2 z dz
dx =
2
z2 +1
(
)
x
∫
1
3
xro
ro
ro dx = −
ro − xro
2GM
Por partes
2z
u=z
dz =
2
2 z dz
2
z +1
dv =
2
z2 +1
∫(
2
)
dt = −
(
)
x
∫
1
dr
.
v
x
dr
1− x
du = dz
−1
v= 2
z +1
x
3
3
ro  − z
ro 
dz 
x 
 − x(1 − x) + arctg
 =
t =−
 2 +∫ 2 =−
2GM  z +1 z +1 
2GM 
1− x 
1
3
ro
t=
2GM

x 
 x (1 − x ) + π − arctg

2
1 − x 

Ahora ya se puede contestar a la famosa pregunta sin más que sustituir cada letra por su valor.
Datos:
Radio de la órbita terrestre, ro = 1,5·1011 m
Radio del Sol, R=6,96·108 m
x, tal como la hemos definido, x = R/ro, x = 0,00464
Constante de gravitación universal, G = 6,67·10-11 m
Masa del Sol, M = 1,98·1030 kg.
De hecho x tiende a cero y la expresión puede simplificarse apreciablemente:
π 2 ·ro
t=
8GM
3
Se obtiene un valor de t = 5614200,432 s = 64,98 días
El resultado no es exactamente el previsto, aunque si nos daba una idea
Un ejercicio interesante
Dos masas puntuales de 10 Kg están separadas una distancia de 48 cm. Una tercera masa de 100 g
se deja en reposo en el punto A, situado en la mediatriz del segmento anterior y a 18 cm del punto
medio O. Determinar la aceleración de esta masa y su velocidad al llegar al punto medio.
Solución:
La aceleración de la gravedad en A se produce por dos masa iguales situadas
a la misma distancia, entonces:
uur
ur uur
r
m
x
g = −2 g sen α i ⇒ g = −2G 2
i
(a + x 2 ) (a 2 + x 2 )
La aceleración tiene un valor inicial de 8,9·10-9 m/s2 en el punto A.
En el punto O, la aceleración tendrá un valor nulo porque x=0.
Para determinar la velocidad en el punto medio basta con tener en cuenta
que en todo campo conservativo la energía mecánica permanece constante:
Em( A) = Em(O ) ⇒ Ec ( A) + Ep ( A) = Ec (O ) + Ep(O)
1
1
1
m1v A2 + m1VA = m1vO2 + m1VO ⇒ v A2 + VA = vO2 + VO
2
2
2
como v A = 0 ⇒ v0 = 2 (VA − VO )
Los potenciales gravitatorios en A y O son:
vO = 2 (VA − VO )

= 2  −2G


VA = −2G
m
(a
2
+x
2
y VO = −2G
)



 −  −2G m   = 4Gm  1 −


 a
( a 2 + x 2 )   a 

m
m
a


2
2 
( a + x ) 
1
Y sustituyendo valores se obtiene una velocidad de 4,7·10-5 m/s
Otra forma de calcular la velocidad es integrando la ecuación diferencial del movimiento:
x
 dv
 ∫ v dv = −2Gm ∫ (a 2 + x 2 )−3/ 2 x dx
d 2x
x
v
=
−
2
Gm
=
−
2
Gm
A
A
2
2
3/
2
(a + x ) 
dt 2
(a 2 + x 2 )3/ 2  dx
O
O

 v2
2
1
x
dx
d x dv dv dx
dv

= 2Gm
=
=
= v  v dv = −2Gm 2
2 3/ 2
2
 2 A
(
a
+
x
)
(a 2 + x 2 ) A
dt
dt dt dx
dx 
O
O
1

1

vO2
1
1
 ⇒ vO = 4Gm  −
 el mismo resultado.
= 2Gm  −
2
2 
2
2 
a
a
2
(
a
+
x
)
(
a
+
x
)



