Un enfoque de valores medios para sistemas cuánticos abiertos (y

Un enfoque de valores medios para sistemas cuánticos abiertos
(y cerrados)
Mario Castagnino1 - Sebastian Fortin2
Según el formalismo de la mecánica cuántica (MQ), todo sistema cerrado tiene asociado
un operador de estado ˆρ (t ) que lleva toda la información posible acerca del sistema. La
representación matemática del estado se realiza en el espacio de Liouville L y la
evolución viene dada por la ecuación de Schrödinger. Cada propiedad física que el
sistema puede poseer queda representada por un observable especifico Ô que pertenece
al espacio dual de L , L ′ . Una magnitud de interés físico es el valor medio de la
propiedad representada por Ô para en el estado ρ̂ , y se calcula como la traza del
producto de ambos operadores. La interpretación usual del formalismo de la MQ hace
notar que dado el estado, se puede calcular el valor medio de cualquier observable, y por
ello otorga ontología al operador de estado. Este enfoque basado en los estados resulta
intuitivo y es el más aceptado.
El éxito de este enfoque para sistemas cerrados invita a la adecuación para sistemas
abiertos. Para ello se considera un sistema cerrado U compuesto de partes Pi inicialmente
identificables y se construye el estado inicial ρˆU (0) de U a partir del producto tensorial
de los estados iniciales ρˆi (0) de sus partes. El sistema abierto S se identifica con alguna
de las partes U. El estado inicial de S se recuperara aplicando la traza parcial sobre los
grados de libertad de E a ρˆU (0) , ρˆ S (0) = TrE (ρˆU (0) ) , ρˆ S (0) recibe el nombre de estado
reducido. Debido a que mediante esta operación algebraica (la traza parcial) se recupera
el estado inicial ρˆ S (0) del sistema abierto a partir de ρˆU (0) , se hace uso de ella para
definir el estado ρˆ S (t ) del sistema abierto S a todo tiempo, ρˆ S (t ) = TrE (ρˆU (t ) ) . Siguiendo
el argumento aplicado a sistemas cerrados se otorga ontología al operador de estado
ρˆ S (t ) . Sin embargo, este procedimiento es cuestionado debido a que ρˆ S (t ) no responde
a la ecuación de Schrödinger, sino a ecuaciones distintas en cada problema particular.
1
2
CONICET, UBA, IAFE, IFIR.
CONICET, UBA, IAFE.
Entonces un enfoque que otorgue ontología a ρˆ S (t ) ya no es tan intuitivo y puede, al
menos, ser cuestionado.
El principio de correspondencia establece que debería ser posible recuperar las leyes de la
mecánica clásica a partir de las de la cuántica (Belot & Earman 1997) a través de lo que
se llama el límite clásico. El primer paso es hallar un proceso mediante el cual los valores
medios adopten una estructura clásica en el siguiente sentido: El valor medio de un
observable es la suma de los valores que es posible medir ponderados con la probabilidad
de medirlos. Es decir:
N
Oˆ = ∑ Oi Pi
i =1
Sin embargo el valor medio cuántico es:
Oˆ
ρ̂
= ∑ oii ρii + ∑ oij ρ ji
i
i≠ j
donde oij son las componentes del operador Ô y ρij son las componentes del estado ρ̂ .
Las componentes diagonales de ρ̂ son positivas y suman 1 por definición por lo que en
la primer sumatoria es posible interpretarlas como probabilidades ρii = Pi y a las
componentes diagonales oii = Oi de Ô como los posibles valores a medir. Sin embargo,
como las componentes no diagonales de ρ̂ no son positivas esta identificación no es
posible. Entonces hay que encontrar algún proceso mediante el cual desaparezca segunda
sumatoria, este proceso es la decoherencia cuántica.
El enfoque que generalmente se le da a decoherencia cuántica esta inspirado en la
tradición ontologizante de los estados. Para que desaparezca la segunda sumatoria, basta
hallar un proceso mediante el cual ρ̂ se vuelva diagonal, esto permite hacer el límite
clásico y afirmar que el estado se vuelve clásico. Pero este modo de proceder es muy
restrictivo ya que no incluye a los valores medios que, en efecto tienen la estructura
clásica pero provienen de matrices de estado que no son diagonales.
La versión más popular de decoherencia es la decoherencia inducida por el ambiente
(Environment Induced Decoherence, EID). EID es un enfoque que se aplica a sistemas
abiertos y muestra como al considerar un sistema abierto S en interacción con un
ambiente E la matriz de estado reducida ρˆ S (t ) se vuelve diagonal.
Existen diversos problemas conceptuales en el enfoque de la decoherencia dado por EID:
•
No se puede aplicar a sistemas cerrados, ya que estos sistemas carecen de un
ambiente con el cual interactuar (Zurek 1994). Este problema se suele ignorar
dividiendo al sistema de un modo abstracto: se considera “sistema” a ciertos
grados de libertad y “ambiente” al resto.
•
No puede dar cuenta de objetos macroscópicos que presentan características
clásicas y cuánticas a la vez. Si se puede demostrar que ρˆ S (t ) se vuelve diagonal
entonces S se vuelve clásico y no presenta ningún aspecto cuántico. Si por el
contrario no se vuelve diagonal, EID es incapaz de describir los aspectos clásicos.
Nuestra propuesta para solucionar estos inconvenientes consiste en correr del foco
de la atención al estado y ponerlo en los valores medios. Un enfoque de valores medios
resulta exitoso en aquellos casos en que el enfoque de estados lo era y también en donde
no lo era:
(i)
En el caso de los sistemas cerrados se afirmaba que como dado el estado,
se puede calcular el valor medio de cualquier observable entonces el elemento
central es el estado. Pero este argumento se puede invertir ya que esta
demostrado que dado el valor medio de todos los observables, es posible
calcular el estado. No hay diferencia sustancial entre conocer el estado y
conocer los valores medios de todos los observables que es posible construir.
(ii)
En el caso de los sistemas abiertos tampoco hay diferencia entre conocer
el estado reducido y conocer los valores medios de todos los observables que es
posible construir para el sistema abierto. Pero en este caso el enfoque de valores
medios tiene la ventaja de que no tiene que explicar cómo aparece un estado
ρˆ S (t ) con ontología que no evoluciona según la ecuación de Schrödinger.
(iii)
Para estudiar el límite clásico mediante la decoherencia, el enfoque de
estados exige que se diagonalice ρˆ S (t ) . Pero en verdad lo único que se necesita
es que desaparezcan los términos de interferencia de los valores medios. La
exigencia del enfoque de valores medios es mucho menos restrictiva.
(iv)
La solución de EID al problema de la decoherencia en sistemas cerrados
consiste en dividir al sistema en partes. Pero considerar ciertos grados de
libertad como el sistema en interacción con el resto es equivalente a elegir un
subespacio de observables relevantes (Castagnino 2008).
(v)
El enfoque de valores medios puede dar cuenta de los sistemas con
comportamiento clásico y cuántico a la vez: la restricción se impone sobre el
valor medio de los observables. Por ello se puede afirmar que algunos
observables se volvieron clásicos y otros no.
Se muestra entonces que tanto el enfoque basado en valores medios es adecuado para
describir la física de los sistemas abiertos y cerrados, con la ventaja de que las
dificultades que se presentan en el enfoque basado en “ontologizar” los estados reducidos
no aparecen.
Bibliografía
Belot, G. & Earman, J. (1997), “Chaos out of order: Quantum mechanics, the
correspondence principle and chaos”, Studies in History and Philosophy of
Modern Physics, 28, 147-182.
Paz, J. P. & Zurek, W. (2002), “Environment-induced decoherence and the transition
from quantum to classical”, en Heiss (ed.), Fundamentals of Quantum
Information, Lecture Notes in Physics, Vol. 587, Heidelberg-Berlin: Springer.
Castagnino, M., Fortin, S., Laura, R. & Lombardi, O. (2008), “A general theoretical
framework for decoherence in open and closed systems”, Classical and Quantum
Gravity, 25, 154002.