27 3. PROBLEMAS DE CÁLCULO 3.1 (∗∗) El caudal de agua que

3. PROBLEMAS DE CÁLCULO
3.1
(∗ ) El caudal de agua que vacía un depósito de 200 litros es variable y viene dado por la
ecuación C(t) = 5 − 0'1t (t en minutos, C en litros/minuto).
a) Dibuja la gráfica del caudal en función del tiempo.
b) Calcula el área bajo la curva en el intervalo [0,50]. Interpretar el resultado.
c) Dibuja la función que determina el volumen de agua del depósito en función del tiempo.
3.2
Las gráficas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una función derivable f, su función derivada f ' y una primitiva F de f. Identifica cada gráfica con
la función justificando la respuesta.
(i)
3.3
(ii)
(iii)
De una función integrable f: [−1,1] →
se sabe que para cada x en dicho intervalo se
tiene f ( x ) ≤ 1 + x 2 . De los números −3, −2, −1, 2'5 y 2'75, ¿cuáles pueden ser el valor de
la integral
3.4
1
∫
−1
f ( x ) dx ? Justifica la respuesta.
Y
La figura siguiente representa
1
la gráfica de una función f: [0,7] → .
0
1
2
3
4
5
6
7
X
-1
Sea F : [0,7] →
3.5
x
la función definida por F ( x ) = ∫ f ( t ) dt .
0
a)
Calcula F(4) y F(7).
b)
Dibuja la gráfica de F explicando cómo lo haces.
La velocidad de un móvil que parte del
v
origen viene dada en m/s por la gráfica.
2
1
0
a) Calcula la función espacio recorrido.
1
2
3
4
5
t
b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido-tiempo.
c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido.
27
3.6
Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta debido a la acción de una fuerza F que
depende continuamente de la posición x del objeto en dicha línea recta. Se sabe que el
trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto desde x = a hasta x = b, viene dado
b
por N = ∫ F ( x ) dx .
a
1. Si la fuerza es F ( x ) =
2
( x − 1) 2
, calcula el trabajo para ir desde x = 3 hasta x = 5.
2. Determina razonadamente si la fuerza G ( x ) =
(x
2
)
+1
2
2
realiza más o menos trabajo que
la fuerza F anterior para el mismo desplazamiento.
3.7
(∗ ) De todas las primitivas de la función
f:
→
dada por f ( x ) = 1 + x x , determina
aquella cuya gráfica pasa por el punto (1, 0).
3.8
 x 2 − (a + 3) x + 3a
La función f definida por f ( x ) = 
x−3
1 si x = 3

si x ≠ 3
es derivable en toda la recta real.
3.9
1.
¿Cuánto vale a?
2.
Para dicho valor de a, ¿cuánto vale f '(3)?
De una función f:
→
se sabe que si F:
→
es una primitiva suya, entonces tam-
bién lo es la función G dada por G(x) = 3 − F (x).
¿Puedes determinar f (33)? ¿y f (5)? ¿y el valor de
∫
33
5
f ( x ) dx ?
Justifica las respuestas y, en los casos de respuestas afirmativa, calcula los valores correspondientes.
3.10
Sea f:
→
una función derivable en
; sean a y b dos raíces de la derivada f '(x) tales
que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f '(x) . Razonar debidamente si puede ocurrir
cada una de las siguientes posibilidades:
1. Entre a y b no existe ninguna raíz de f (x) .
2. Entre a y b existe una sola raíz de f (x) .
3. Entre a y b existen dos o más raíces de f (x) .
3.11
(∗ ) Sea
∫
0
−x
f una función continua tal que para cualquiera que sea x > 0 se cumple que
∫
x
f = − f . Prueba que, entonces, se verifica que f (−x) = −f (x) para todo x > 0.
0
28
3.12
a) Esboza la gráfica de la función dada por f ( x ) =
b) ¿Es la integral
1
x2 − 4
1
positiva o negativa? Justifica tu respuesta.
−1 x − 4
1
∫
2
c) Calcula el valor de la integral del apartado b) descomponiendo el integrando en fracciones simples.
d) Un amigo te sugiere que esa integral se hace más fácil con la sustitución x = 2 secθ.
¿Tú qué piensas?
3.13
De una cierta función f conocemos algunos valores, dados en la siguiente tabla:
x
1
1'9
1'97
2
f (x)
2'5
6'6
6'905 7
2'02
2'2
3
3'9
3'99
4
4'01
4'1
7'059 7'5
8
8'82
8'98
9
9'2
11
1. Usa esta tabla para aproximar el valor de la derivada de f en 2.
2. A partir de la información que te da esta tabla, ¿crees que f (x) es derivable en x = 4?
Justifica tu respuesta.
3.14
Supón que f es una función para la que lím
x →2
f ( x ) − f ( 2)
= 0 . ¿Cuáles de las siguientes
x−2
afirmaciones tienen que ser verdaderas, cuáles pueden ser verdaderas y cuáles son
obligatoriamente falsas?
1) f '(2) = 2;
2) f (2) = 0;
3) lím f ( x ) = f ( 2) ;
x→2
4) f es continua en x = 0;
5) f es continua en x = 2.
3.15
Dice la experiencia que el área encerrada por un segmento parabólico es dos tercios del
producto de su altura h por la longitud de su base b. Confirma que esta fórmula es correcta, utilizando el teorema fundamental del cálculo para obtener el área en cuestión.
3.16
Cuatro estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integral
nio dice que es igual a π, Beatriz dice que vale
afirma que es
∫
π
0
sen 8 x dx . Anto-
35π
3π
, Carlos, que vale
− 1 y Diana
128
90
π
. Uno de ellos está en lo cierto. ¿Quién es? No intentes calcular esta inte2
gral. Elimina, justificadamente, las tres respuestas erróneas.
3.17
Considera la función h(x) = f (x) g(x) donde las gráficas de f y g son las que te damos a
continuación.
29
Gráfica de f
−5 −4 −3 −2 −1
1
2
3
4
Gráfica de g
−5 −4 −3 −2 −1
5
−1
1
2
3
4
5
a)
1.
Calcula h(−2) y h(3)
2.
Calcula aproximadamente f '(−2), f '(3), g'(−2) y g'(3).
3.
Calcula aproximadamente h'(−2), h'(3).
b) Con las mismas gráficas que en el apartado anterior, sea h(x) = f [g(x)].
3.18
1.
Calcula h(−2) y h(3)
2.
¿Es h'(−3) positivo, negativo o cero? Explica cómo puedes saberlo.
3.
¿Es h'(−1) positivo, negativo o cero? Explica cómo lo averiguas.
(∗ ) Supón que f y g son funciones derivables para las que se verifican las dos condiciones siguientes:
1) f (0) = 0 y g(0) = 1;
2) f '(x) = g(x) y g'(x) = −f (x) .
a) Sea h(x) = f 2(x) + g2(x). Calcula h'(x) y utiliza el resultado que obtengas para demostrar que f2(x) + g2(x) = 1 para todo x.
b) Supón que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen las condiciones
1) y 2) y sea k(x) = [F(x) − f (x)]2 + [G(x) − g(x)]2. Calcula k'(x) y utiliza el resultado
que obtengas para deducir qué relación existe entre f (x) y F(x) y entre g(x) y G(x).
c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1) y 2). ¿Puede haber
otras? Justifica tu respuesta.
3.19
¿Piensas que alguna las siguientes gráficas es parte de la gráfica de la función
f (x) = sen 2x + 2e−x?
Justifica tu respuesta.
B
A
30
C
3.20
a) Si f es derivable y f '(x) ≠ 0 para cualquier número real x, ¿cuántas soluciones puede
tener la ecuación f (x) = 0? Explica tu respuesta.
b) Si f es derivable y la ecuación f '(x) = 0 tiene solamente una solución, ¿cuántas soluciones puede tener la ecuación f (x) = 0? Justifica tu respuesta.
c) Si f es derivable y la ecuación f '(x) = 0 tiene n soluciones, ¿cuántas soluciones puede
tener la ecuación f (x) = 0? Justifica tu respuesta.
3.21
(∗ ) Demuestra que la ecuación cos
x + x sen x − x2 = 0 tiene exactamente dos raíces re-
ales.
3.22
Sea f: [−a, a] →
con a > 0 una función continua tal que
∫
a
−a
f = 0.
Responde razonadamente a las siguientes preguntas:
1)
¿Es necesariamente f (x) = 0 para todo x ∈ [−a, a]?
2)
¿Es necesariamente
3)
¿Es necesariamente
4)
¿Cuánto vale
1)
Estudia, según los valores de b, la derivabilidad de la función f definida por
∫
a
∫
a
f ( x ) dx = 0 ?
−a
f ( − x ) dx = 0 ?
−a
∫ ( f ( x ) + 2 x )dx ?
a
−a
3.23
1

si x < 0

f ( x) = 
x −1
 x 2 + bx − 1 si x ≥ 0

2)
3.24
Calcula
∫
3
−1
f ( x ) dx
¿Cuántos puntos x del intervalo [0, 1] satisfacen la igualdad x = cos x? Justifica la respuesta y enuncia algunos de los teoremas importantes que utilices.
3.25
(∗ ) Dada la función f:
( x − 1) + cos( x − 1)

f ( x) = 
sen( x − 1)

x −1
→
definida por
si x ≤ 1
si x > 1
a) Determina los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f es derivable.
b) ¿Cumple f en [0, 2] las condiciones del teorema de Rolle?
31
3.26
→
Considera la función f:
definida por f ( x ) = x + 2 x − 2 .
a) Determina los puntos donde f es derivable y halla sus máximos y mínimos locales.
3
b) Calcula ∫ 2 f ( x ) dx .
0
3.27
(∗ ) Considera la función f:
→
definida por f (x) = 5 + (x − 1)4 · (x + 2)3.
a) Demuestra que la ecuación f '(x) = 0 tiene al menos una solución en el intervalo (−2, 1).
b) Demuestra que la ecuación f (x) = 0 tiene exactamente una solución menor que −2.
c) Demuestra que la ecuación f (x) = 0 no tiene ninguna solución mayor que −2.
3.28
f'
La gráfica de la derivada
de una cierta función f es
a) ¿Cuántas soluciones puede tener la ecuación f (x) = 0?
b) Si la ecuación f (x) = 0 tiene exactamente dos soluciones distintas, ¿pueden ser éstas
del mismo signo?
3.29
Determina todas las funciones f de la forma f (x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0 y que
verifican f '(−1) = f '(1) = 0.
¿Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica f (0) = f (1)?
Justifica las respuestas.
3.30
Encuentra todas las funciones continuas f: [a, b] →
g: [a, b] →
se cumple que
∫
b
a
tales que para toda función continua
f ( x ) g ( x ) dx = 0 .
3.31
a) Sea I = [a, b] y f : I →
Demostrar que si
∫
b
a
una función continua tal que f (x) ≥ 0 ∀x∈I.
f ( x ) dx = 0 , entonces f es la función nula. (Si no has hecho el pro-
blema anterior, hazlo ahora, después de hacer el apartado a) de éste).
b) ¿Existe alguna función continua g: [−1, 1] →
g (x) ≥ 0 ∀x∈[−1, 1] y
1
∫
−1
g ( x ) dx = 1 ;
1
∫
−1
y algún número real a tales que
xg ( x ) dx = a y
1
∫
−1
x 2 g ( x ) dx = a 2 ?
Problemas sobre máximos y mínimos
3.32
De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 60 cm, calcula las dimensiones del de
mayor área. (Utiliza funciones trigonométricas).
3.33
En un rectángulo de 4 m. de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias
exteriores. ¿Entre qué valores está comprendida el área de la figura resultante?
32
3.34
En un rectángulo de 4 m. de perímetro se sustituyen dos lados opuestos por semicircunferencias exteriores. Estudiar si existe un rectángulo para el que la figura formada tenga
máxima área.
3.35
Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes para formar con
la primera un cuadrado y con la segunda un círculo. Hallar la longitud de cada parte resultante para que la suma de las áreas de las dos figuras sea: a) Máxima; b) Mínima.
3.36
(∗ ) Hallar el punto de la parábola
x2 = 4y de abscisa no negativa que menos diste de
 0, 3  .


 2
3.37
Dados a1, a2, a3 ∈ , definimos la función f (x) = (x − a1)2 + (x − a2)2 + (x − a3)2. ¿Dónde
alcanza f el mínimo?
3.38
Un camión ha de recorrer 30 km. en una carretera llana a velocidad constante de x Km/h.
Las leyes de circulación prescriben que 35 ≤ x ≤ 55. Se supone que el carburante cuesta 3
ptas. por litro y que el consumo es de 10 +
x2
litros por hora. Si el conductor cobra P
120
ptas. por hora y obedece todas las leyes de tráfico, determinar la velocidad más económica y el coste del viaje si
a) P = 0; b) P = 60.
3.39
Los beneficios de una fábrica de camisas dependen del número de camisas que se fabrican cada día según la función f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 19 donde x mide el número de miles de camisas producidas al día y f (x) la ganancia (o pérdida) en millones de ptas. al
mes. Debido al número de máquinas y personal que hay en la fábrica, el gerente de ésta
puede decidir fabricar un número de camisas diario comprendido entre 1000 y 4000.
¿Cuántas camisas debe fabricar para obtener un beneficio máximo?
3.40
Tenemos una valla de 100 m. de larga y 200 m. de alambre, con los que queremos delimitar un campo rectangular que, conteniendo a la valla como parte de un lado, encierre área
máxima. Calcular las dimensiones del rectángulo.
3.41
En un jardín existe un paseo cerrado que consta de media circunferencia de radio 10 m y
de su diámetro correspondiente. En el interior de la figura anterior se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. El parterre se plantará de camelias, que ocupan 0'25 m2 cada
una. ¿Cuál es el número máximo de camelias que pueden ubicarse?
33
Nota: Resuélvelo como te sea más familiar, pero inténtalo también introduciendo alguna
función trigonométrica.
3.42
El número de bacterias de cierto cultivo en un instante t viene dado por la fórmula
N = 1000 (25 + t · e−t/20) para 0 ≤ t ≤ 100.
a) ¿En qué instantes de ese intervalo, 0 ≤ t ≤ 100, hay un número máximo y un número
mínimo de bacterias?
b) ¿En qué instante es más lento el crecimiento o decrecimiento del número de bacterias?
3.43
Calcula las dimensiones del trapecio de perímetro máximo que se puede inscribir en una
semicircunferencia de radio r si una base del trapecio ocupa todo el diámetro de la semicircunferencia. (Utiliza funciones trigonométricas).
3.44
En un triángulo isósceles ABC, el lado desigual AC mide 2a y la altura correspondiente a
ese lado mide h. Determina los puntos P sobre la altura mencionada para que la suma de
las distancias de P hasta los tres vértices sea
a) mínima;
3.45
b) máxima.
Para cada r ≥ 1 se define la función fr : [0, ∞) → [0, ∞) mediante fr (x) = xr.
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de fr en el punto (1, 1).
b) Calcula el área A(r) de la región limitada por la gráfica de fr, su tangente en el punto
(1, 1) y el eje OX.
c) ¿Para qué valor de r ≥ 1 es el área A(r) máxima?
3.46
Para obtener el máximo beneficio, un cargamento de frutas debe llegar al mercado lo más
pronto posible después de la recogida. Si un cultivador envía su producción inmediatamente después de la recogida, obtendrá 100 cajas con un beneficio de 10 euros por caja.
Si espera, podrá enviar 25 cajas más por semana pero, como también los competidores
producirán más, el beneficio bajará 1 euro por caja y por semana. ¿Cuándo debe enviar la
fruta para que el beneficio sea máximo? Calcula éste.
3.47
(∗ ) Las palomas domésticas no suelen volar sobre extensiones grandes de agua a menos
que se vean forzadas a ello, posiblemente porque se requiera más energía para mantener
la altitud sobre el agua fría. Supongamos que se suelta una paloma desde un barco situado
a 3 Km de la costa estando el palomar a 10 km del punto de la costa más cercano al barco.
Si la paloma gasta dos veces más energía volando sobre el agua que sobre la tierra firme y
sigue un camino que hace mínima la energía gastada, calcula el punto donde debe abandonar el mar.
34
3.48
(∗ ) Dos pasillos de anchura 8 y 27 se cortan en ángulo recto. Hallar la máxima longitud
que puede tener una viga que pueda pasar por esa esquina.
Límite de una sucesión
3.49
Considera las sucesiones a n : 1,
1.
1 1 1
, , , L y bn : 5’3, 5’33, 5’333, ...
2 3 4
Los términos de {an} se aproximan a 0 y los de {bn} se aproximan a 5’3334. ¿En qué
caso crees que la aproximación es más “intensa”?
Escribe algún párrafo que pudiera responder a esa cuestión y, en cualquier caso, trabaja las cuestiones siguientes.
2.
Vamos a intentar rodear a 0 en un caso, y a 5’3334 en el otro, de unas murallas, a ver
si conseguimos que traspasen esa muralla la menor cantidad de elementos posibles.
Esas murallas van a ser, simplemente, intervalos abiertos centrados en los números
en cuestión: 0 y 5’3334.
a)
¿Cuántos elementos de {an} hay fuera del intervalo de centro 0 y radio
1
?
10
¿Cuántos elementos de {bn} hay fuera del intervalo de centro 5’3334 y radio
1
?
10
¿Cuántos se han colado, pues, a través de esas murallas en cada caso?
b) Responde a las mismas preguntas que en a) para intervalos de radio 0’001 en cada caso.
c)
Responde a las mismas preguntas que en a) para intervalos de radio 0’0001 en cada caso.
3.
¿Tienes ahora, con la información obtenida en el apartado 2), algún argumento que te
permita decidir en qué caso es más intensa la aproximación?
4.
Continuemos estrechando las murallas. Vamos a pensar ahora en intervalos de radio
una cienmilésima.
a)
¿Cuántos elementos de {an} hay fuera del intervalo de centro 0 y radio 10−5?
b) ¿Cuántos elementos de {bn} hay fuera del intervalo de centro 0 y radio 10−5?
c)
¿En qué caso crees ahora que es más intensa la aproximación?
Justifica de alguna manera tu respuesta.
5.
Observa lo que ocurre en {an} y 0 por mucho que estrechemos la muralla que rodea a
0. Se cuelan prácticamente todos. Completa la siguiente frase:
35
Dada la sucesión an : 1,
1 1 1
, , , ... considerando
2 3 4
, inter-
valo centrado en 0, resulta que fuera de ese intervalo hay solamente, una cantidad
finita de términos de la sucesión.
6.
Esos niveles de aproximación son los que nos interesan en este capítulo. Decimos
que 0 es el límite de la sucesión an : 1,
1 1 1
, , , ... Da tú una definición: El número l
2 3 4
es el límite de la sucesión {an} si ...
En lo que sigue, vamos a intentar sacarle partido a la definición que has dado de límite de una sucesión.
7.
Posiblemente recuerdes lo que es una sucesión monótona creciente.
También lo que es una sucesión acotada superiormente.
(Si estos conceptos te suenan solamente para funciones, recuerda que una sucesión
{an} es exactamente una función f :
→
donde f (n) = an).
Escribe una definición de esos dos conceptos.
8.
Piensa si es verosímil construir una sucesión, monótona creciente, acotada superiormente y que no tuviera límite. ¿Crees que no es posible? Enuncia, entonces, un teorema que relacione esas tres ideas.
.......................................
9.
Con lo que sabes hasta ahora, puedes dar una demostración rigurosa del teorema que
has enunciado. Inténtalo:
.......................................
10.
Piensa en la sucesión 1, 0, 1, 0, ... Obviamente es una sucesión acotada. Demuestra
que ningún número real es límite de esa sucesión.
11.
Has visto sucesiones acotadas que no tienen límite. Piensa en el teorema recíproco.
¿Crees que hay sucesiones con límite que no estén acotadas?
12.
Enuncia y demuestra algún teorema que relacione las ideas de estar acotada y tener
límite.
13.
Dada una sucesión {an}, un compañero tuyo ha demostrado que tiene por límite 3 y
otro que tiene por límite 3’1. ¿Crees que alguno tiene que estar equivocado?
Da una demostración rigurosa de que alguno está equivocado.
14.
Enuncia y demuestra algún teorema que diga algo sobre el número de límites de una
sucesión.
36
3.50
Si has trabajado bien las catorce cuestiones anteriores, ya sabes perfectamente lo que es el
límite de una sucesión. Ocurre, sin embargo, que, posiblemente, tengas un recuerdo de algo mucho más engorroso; algo que mezclaba los valores absolutos con las letras griegas,
con los “existe” y “para todo”, y para terminar, lo mezclaba todo con las desigualdades.
Vamos a ver dos cosas: una, que eso es exactamente lo mismo que has visto en estas
cuestiones y, dos, que tus textos o tus profesores no te han dicho eso con ánimo de liarte
sino que es la única vía para demostrar cosas tan elementales como, por ejemplo, que el
límite de una sucesión obtenida como suma de dos que tengan límite es, precisamente, la
suma de los límites.
1.
Observa que el intervalo abierto (3, 7) es {x ∈
Completa esta frase: {x ∈
/ 3 < x < 7} = {x ∈
/ 3 < x < 7}.
/ |x−
|<
}.
2.
Completa esta frase: (a−r, a+r) = {x ∈
3.
Recuerda: lím an = l si fuera de cada intervalo abierto centrado en l hay solamente
/ |
|<
}.
una cantidad finita de términos de la sucesión. Decir que hay fuera una cantidad finita de términos de la sucesión, equivale a decir que, a partir de uno dado, todos están
4.
.
Supongamos que la sucesión {an} verifica que fuera del intervalo de centro l y radio
0’3 están solamente a1, a2, a7, a31. Completa la siguiente frase:
Dado r = 0’3, resulta que para cualquier n ≥
an ∈ (l − 0’3, l+0’3), o sea, | an − | <
, se verifica que
.
Para cada número positivo r, hay un intervalo centrado en a y radio r.
Así pues, en lugar de hablar sobre cada intervalo centrado en a, diremos cosas sobre
cada número positivo r.
5.
Observa la “evolución” de la definición de límite que conoces, a esa otra que, posiblemente, recuerdes con terror.
1) lím an = a si para cada intervalo centrado en a, tenemos que fuera de ese intervalo hay solamente una cantidad finita de términos de la sucesión.
2) lím an = a si para cada intervalo centrado en a, existe un número natural n0, tal
que todos los términos de la sucesión, a partir de an , están dentro de ese inter0
valo.
3) lím an = a si para cada r > 0, existe un número natural n0, tal que si n ≥ n0, entonces an ∈ (a−r, a+r).
37
4) lím an = a si para cada r > 0, existe un número natural n0, tal que si n ≥ n0,
|an − a| < r.
5) lím an = a si ∀ r > 0, ∃n 0 ∈
6.
/ n ≥ n0 ⇒ |an − a| < r.
Supón que tienes dos sucesiones {an} y {bn} tales que lím {an} = a y lím {bn} = b.
¿Crees que existe lím {an + bn}? ¿Cuánto vale?
7.
En el ejercicio anterior has conjeturado un teorema sobre el límite de la suma de
dos sucesiones convergentes (Decir “sucesión convergente” es lo mismo que decir
“sucesión con límite”). Vamos a intentar probar ese teorema. Empecemos con un
caso particular.
 1 
 n +1
Sea an = 
 y bn = 

n + 2
 n + 5
a)
Demuestra, aplicando la definición que conoces, que lím an = 0 y lím bn = 1.
b) Fija un número positivo: por ejemplo ε = 0’02. Encuentra un n1, tal que si n ≥
n1, entonces |an − 0| < 0’01 y un n2 tal que si n ≥ n2, |bn − 1| < 0’01. (No tienen
por qué ser los menores n1 y n2 con esa propiedad).
No sabemos cuál has elegido mayor, si n1 o n2. Sea n3 el máximo de los dos.
Así que: si n ≥ n3, entonces se verifica |an − 0| < 0’01 y
|bn − 1| < 0’01.
c)
Suma miembro a miembro esas dos desigualdades y utiliza propiedades del valor absoluto y demuestra que a n + bn − (0 + 1) < 0’02, si n ≥ n3.
8.
¿Cambian mucho las cosas si escribimos en lugar de 0, 1 y 0’02 los números a, b y ε
(ε > 0)? Demuestra que si lím an = a, y lím bn = b, entonces lím (an + bn) = a + b.
9.
Vamos ahora con el producto. Enuncia el teorema que está pensando. Vamos a probarlo. Tú quieres encontrar un n0 tal que si n ≥ n0, entonces |anbn − ab| < ε, donde ε > 0 es
un número que te han dado. Observa que |anbn − ab| = |anbn − anb + anb − ab|.
Puedes hacer pequeño |an − a| y |bn − b|. Escribe |anbn − ab| en función de expresiones que puedas acotar.
10.
Es posible que en el ejercicio anterior, hayas escrito |anbn − ab| = |anbn − anb + anb −
ab| = = |an(bn − b) + b (an − a)| ≤ |an| |bn − b| + |b| |an − a|.
Como {an} es una sucesión acotada, mira el apartado 12 del ejercicio anterior, podrás hacer |an| menor que un cierto número positivo y como {bn} converge a b y
{an} a a, podrás hacer |bn − b| y |an − a| tan pequeño como quieras a partir de un cier-
38
to n0. Con esto ya habrías probado que {anbn} converge a a · b, pero antes de probarlo en general, sigue todos estos pasos para, por ejemplo a n =
bn =
2n + 1
y
n
3n
.
n +1
En concreto: dado, por ejemplo, ε = 0’1, encuentra
a)
Un número M > 0 tal que |an| ≤ M para todo n.
b) Un número natural n1 tal que |bn − 3| <
ε
para todo n ≥ n1.
2M
Un número natural n2 tal que |an − 2| <
ε
para todo n ≥ n2.
2⋅ b
c)
Sea n0 = máx {n1, n2}. ¿Qué ocurre si n ≥ n0?
11.
Vuelve a hacer el ejercicio 10 pero no para un caso concreto, sino para cualesquiera
sucesiones {an} y {bn} tales que lím an = a y lím bn = b.
12.
Modifica los puntos que te hagan falta en tu ejercicio 11 para aquellas sucesiones
{bn} en las que lím bn = 0.
39
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO (∗ )
3.1
a)
Por la fórmula que nos indican, y
litros
por la naturaleza del problema, si
5
t > 50, C(t) = 0, es decir, a partir de
los 50 minutos no sale nada de
50
minutos
agua.
b) Como el caudal de vaciamiento (número de litros desalojados por unidad de tiempo)
no es constante, para calcular el número de litros desalojados en un cierto intervalo
[t1, t2], tenemos que calcular
∫
t2
t1
C (t ) dt .
El número de litros desalojados en el intervalo [0, 50] sería precisamente el área bajo
la curva en [0, 50] y, para calcular ese área, no merece la pena hacer la integral, pues
tal área, en litros, es el área del triángulo de base 50 y altura 5, o sea, 125 litros.
c) El volumen de agua que queda en el depósito en un cierto instante t será el total (200
litros) menos lo desalojado hasta ese instante; es decir, volumen que queda en el inst
0'1 

tante t es V (t) = 200 − ∫ (5 − 0'1x ) dx = 200 −  5t − t 2  .
0
2 

Dibujemos, pues, V (t ) =
0'1 2
t − 5t + 200 en [0, 50].
2
Se trata de una parábola, con las ramas hacia arriba, pues el coeficiente de t2 es positivo y con vértice en t0 siendo V′ (t0) = 0.
0'1


V′ (t) = 0’1t − 5; V′ (t) = 0 ⇒ t = 50, V (50) = 200 −  250 − 50 2  = 125 litros
2


Obsérvese que, a partir de t = 50, no
200
se desaloja nada de agua, por lo que el
125
volumen que queda se mantendrá en
125 litros.
50
40
3.7
Escribamos f (x) a trozos lo que nos facilitará el cálculo de sus primitivas.
1 + x 2
f ( x) = 
2
1 − x

 x +
Una primitiva de f (x) es F ( x ) = 
x −

si
x≥0
si
x<0
x3
+ C1 si x ≥ 0
3
donde los números C1 y C2 no
x3
+ C 2 si x < 0
3
son cualesquiera. En concreto: como F (1) = 0, deberá ocurrir que
1+

 x +
Así pues F ( x ) = 
x −

1
4
+ C1 = 0 ⇒ C1 = − .
3
3
x3 4
−
si x ≥ 0
3 3
x3
+ C 2 si x < 0
3
pero como F es derivable (su derivada es
f (x)), debe ser continua, en particular continua en 0 por lo que
lím F ( x) = lím F ( x) , es decir 0 −
x →0
−
x→0
+
4
4
= 0 + C2 ⇒ C2 = −
3
3
 x3
4
− 3 + x − 3 si x < 0
con lo que F ( x ) =  3
 x + x − 4 si x ≥ 0
 3
3
3.11
Nos dicen que ∫ f = − ∫ f
0
−x
x
0
o sea:
∫
0
−x
f + ∫ f = 0 , es decir,
x
0
∫
x
−x
f = 0 , afirmación válida
para todo x mayor que cero.
Naturalmente todas las funciones que verifiquen f (−x) = −f (x), es decir, funciones cuya
gráfica es simétrica respecto del origen (funciones impares) verifican la condición puesta.
Pero nos piden que veamos que son las únicas, es decir que si
∫
x
−x
f = 0 , entonces
f (−x) = −f (x).
Pensemos en la función G (x) = ∫ f , que sabemos que es la función idénticamente nula,
x
−x
por lo que G′(x) = 0. Definimos H(x) =
∫
x
0
f (t ) dt . Así G (x) = H(x) − H(−x) con
H′(t) = f (t) pues f es continua.
41
Así pues G′(x) = 0 = H′(x) − H′(−x)(−1) = H′(x) + H′(−x) = f (x) + f (−x), por lo que
−f (x) = f (−x).
3.18
a) h′(x) = 2f (x) f ′(x) + 2g (x) g′(x) y, por la condición 2),
h′(x) = 2f (x) f ′(x) − 2f (x) f ′(x) = 0. Así pues, h(x) es una función constante, y como
h(0) = f2(0) + g2(0), que por la condición 1) vale 1, se sigue que h(x) = f2(x) + g2(x) = 1
para todo x.
b) k ′( x ) = 2[F ( x ) − f ( x )][F ′( x ) − f ′( x )] + 2[G ( x ) − g ( x )][G ′( x) − g ′( x )].
Nos dicen que F y G satisfacen las condiciones 1) y 2), es decir:
k ′( x ) = 2[F ( x ) − f ( x )][G( x ) − g ( x)] + 2[G( x ) − g ( x )][ f ( x ) − F ( x )] y desarrollando
llegamos a que k′(x) = 0
Como, por otra parte, k ( 0) = [F (0) − f (0)] + [G(0) − g (0)] = 0 ya que F y G satisfa2
2
cen la condición 1), se sigue que k(x) es la función idénticamente nula, es decir,
F (x) − f (x) = 0 y G (x) − g (x) = 0, de donde se deduce que F (x) = f (x) y G (x) = g (x).
c) Un par de funciones que satisfacen las condiciones 1) y 2) son f (x) = sen x,
g (x) = cos x y, por lo que acabamos de ver, si hubiera otro par que verificara esas dos
condiciones, sería el mismo.
Nota. Observa que f ′′(x) = g′(x) = − f (x) y g′′(x) = −f ′(x) = −g (x), es decir, que
f ′′(x) + f (x) = g′′(x) + g (x) = 0.
Por otra parte, f (0) = 0 y f ′(0) = g (0) = 1 con lo que la función f (x) = sen x es la única
función que satisface la ecuación y′′ + y = 0 con las condiciones y(0) = 0, y′(0) = 1 y, análogamente, la función g (x) = cos x es la única función que satisface la ecuación y′′ + y = 0
con las condiciones y(0) = 1, y′(0) = 0.
3.21
Observa que el problema que se te plantea es probar que la función continua f (x) = cos x
+ x sen x − x2 se anula exactamente dos veces.
Para probarlo, veamos en primer lugar que se anula al menos dos veces, encontrando intervalos adecuados a los que aplicar el teorema de Bolzano.
f (−π) < 0
Así pues, f se anulará al menos una vez en (−π, 0) y al menos una
f (0) = 1
vez en (0, π) con lo que ya hemos visto que f se anula al menos dos
f (π) < 0
veces.
42
Si se anulara más de dos veces, su derivada se anularía más de una vez (piensa en el teorema de Rolle). Veamos, entonces, su derivada.
f ′(x) = −sen x + sen x + x cos x − 2x = x (cos x − 2)
Pero f ′(x) = x (cos x − 2) se anula solamente una vez, en x = 0, por lo que f no se puede
anular más de dos veces y, como vimos que se anulaba al menos dos veces, hemos demostrado que se anula exactamente dos veces.
3.25
− {1}.
a) De entrada f es derivable, y por tanto continua, en
Analicemos ahora la continuidad en x = 1
lím f ( x ) = 0 + cos 0 = 1 y lím f ( x ) = lím
+
−
x →1
+
x →1
x →1
sen ( x − 1)
sen t
= lím
=1
t →0
x −1
t
+
Como f (1) =1, se sigue que f es continua en x = 1.
Veamos ahora las derivadas laterales en x = 1. Si coinciden, f es derivable en x = 1
f ′(1) − = lím
h →0 −
f (1 + h) − f (1)
(1 + h − 1) + cos(1 + h − 1) − 1
= lím
=
h
→
0
h
h
−
= lím
−
h→ 0
h + cos h − 1
1 − sen h
= lím
=1
h→0
h
1
−
f (1 + h ) − f (1)
f ′(1) + = lím
= lím
h →0
h →0
h
+
+
= lím
+
h→0
Así pues f es continua en
sen h
−1
sen h − h
h
= lím
=
h→0
h
h2
+
cos h − 1
− sen h
= lím
= 0.
h→0
2h
2
+
y derivable sólo en
− {1}.
b) Como f no es derivable en 1 ∈ (0,2), f no verifica las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0, 2].
3.27
Parece razonable empezar calculando f ′(x)
f ′(x) = 4(x − 1)3 (x + 2)3 + 3(x − 1)4 (x + 2)2 = (x − 1)3 (x + 2)2 [4x + 8 + 3x − 3] =
= (x − 1)3 (x + 2)2 (7x + 5).
a) Observa que la función continua f ′ no verifica exactamente las condiciones del teorema de Bolzano en el intervalo [−2, 1] pues f (−2) = f (1) = 0 pero sí podemos encontrar
un intervalo contenido en él donde sí las verifique.
Para verlo, lo mejor es esbozar la gráfica de f ′ -polinomio de grado 6- que será algo
así:
43
Observemos que, por ejemplo, f ′ toma valores de diferente signo en los extremos del in−2
−
tervalo [−1, 0]. Comprobémoslo:
5
7
f ′ (−1) = (−8) · (1) (−2) > 0
f ′ (0) = (−1) · 4 · 5 < 0
Así pues, aplicando el teorema de Bolzano a la función continua f ′ en [−1, 0], concluimos que se anula al menos una vez en dicho intervalo, y, por tanto, en [−2, 1].
b) Probemos, en primer lugar, que la ecuación f (x) = 0 tiene al menos una solución menor que −2.
f (−2) = 5 y
lím f ( x ) = −∞ pues f es un polinomio de grado impar y coeficiente
x →−∞
principal positivo. Así pues, por la continuidad de f, la ecuación f (x) = 0 tiene al menos una solución menor que −2.
Si hubiera más de una, f ′ se anularía al menos una vez en x < −2 (¿por qué?) pero las
5
soluciones de f ′(x) = 0 son 1, −2 y − , ninguna menor que −2.
7
c) Una forma cómoda -puede resultarte un tanto larga- es comprobar que f no tiene solu5  5 

ciones en  − 2, − ,  − , 1 y [1, ∞ ) , con lo que habríamos visto que no hay nin7  7 

guna solución mayor que −2.
Calculemos f en estos puntos y estudiemos luego el crecimiento de f.
 5
f (−2) = 5, f  −  > 0 y f (1) = 5.
 7
5

En  − 2, −  , f ′(x) > 0 y como f (−2) = 5, f es siempre positiva en ese intervalo.
7

 5 
En  − , 1 , f ′(x) < 0, es decir f es decreciente, pero como f (1) > 0, f es positiva en
 7 
ese intervalo.
Finalmente f es siempre positiva en (1, ∞) pues f (1) = 5 y f ′(x) > 0 en ese intervalo.
3.36
Llamemos T a (0, 3/2) y P (x, y) al punto buscado. Hay que hacer mínima
2
3

d (T , P ) = x +  y −  . La abscisa x de P se mueve en [0, ∞), por lo que hay que
2

2
encontrar el mínimo de f (x) en [0, ∞), siendo
44
 x2 3 
f ( x ) = x +  − 
 4 2
2
2
T
t
P
 x2 3  x
2 x + 2 −  ⋅
 4 2 2 .
f ′( x ) =
2
 x2 3 
2
2 x + 
− 
 4 2
Derivando, vemos que
x  x2 3
Al resolver f ′(x) = 0, llegamos a x +  −  = 0 ⇒
2  4 2

x2 3 
x1 +
−  = 0 con lo que x = 0,
8 4 

x2 1
+ nunca se hace cero.
ya que
8 4
Como para x > 0, f ′(x) > 0, el mínimo de f en [0, ∞) se alcanza en x = 0, de donde el punto de la parábola x2 = 4y que menos dista del (0, 3/2) es el origen.
3.47
Sea E la energía consumida por Km de vuelo en la costa y 2E la consumida por Km en el
mar.
El camino que debería recorrer es el indicado
M
en la figura y la energía gastada es
3 Km
x
10 Km
f ( x) = 2 E ⋅ 9 + x 2 + E (10 − x ) .
o
f ′( x ) = 2 E ⋅
f ′(x) = 0
Hay
que
hallar el mínimo de f en [0, 10]
e
 2x

−
E
=
E
−
1


2
2 9 + x2
 9+x

si
2x
2x
9+ x
2
= 1 ⇒ 4x2 = 9 + x2 ⇒ x2 = 3 y x = ± 3
De las soluciones de f ′(x) = 0 la única que está en [0, 10] es
f se alcanzará en 0 ó 10 ó
3 , por lo que el mínimo de
3.
Calculemos la imagen en cada uno de estos puntos y observamos que el mínimo se alcanza en x = 3 .
f (0) = 2E · 3 + 10E = 16E
45
f (10) = 2E 109
f
( 3 ) = 2E
(
) (
)
12 + E 10 − 3 = 3 3 + 10 E
3.48
Sea la viga AB de la figura la de longitud más pequeña de las que no pueden pasar por la
A
esquina. Cualquier viga de longitud menor que AB, pasa por la
α
esquina. Obtengamos AB en función de α.
T
AB = AT + TB =
8
27
+
= f (α)
senα cosα
B
Calculemos el mínimo de f en (0, π/2)
f ′(α) =
− 8 cosα 27senα − 8 cos3 α + 27sen 3α
+
=
sen 2α
cos 2 α
sen 2α cos2 α
f ′(α) = 0 si 27 sen3 α = 8 cos3 α ⇒ α = arctg
2
= α0 .
3
Si α > α0, entonces f ′(α) > 0 ⇒ f creciente.
Si α < α0, entonces f ′(α) < 0 ⇒ f decreciente.
Así pues el mínimo de las longitudes de vigas que no pueden pasar por la esquina se al8
27
+
.
senα0 cosα0
canza en α = α0 y vale
Calculémoslo: tg α0 =
2
3
senα0 =
⇒ 1+
4
1
=
9 cos 2 α0
⇒ cos α0 =
3
y
13
2
8
27
, por lo que AB =
+
= 13 13 m, con lo que cual2
3
13
13
13
quier viga que mida menos de 13 13 m debe pasar por esa esquina.
46