Programación Lineal Continua/ Investigación Operativa

Programación Lineal Continua/ Investigación Operativa
EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1
1. Una empresa que fabrica vehı́culos quiere determinar un plan de producción semanal. Esta empresa dispone
de 5 fábricas que producen distintos elementos del vehı́culo (motor, carrocerı́a, acabado básico, medio y
de lujo). Estos elementos posteriormente se ensamblan para producir tres versiones distintas de vehı́culos
(básica, media y de lujo). A continuación se indican las capacidades de producción en cada fábrica (en horas
por semana), los tiempos de fabricación en función de la fábrica y la versión (en horas por semana y vehı́culo)
y el beneficio neto que la empresa obtiene por cada versión de vehı́culo que vende(en euros).
Fábrica
Motor
Carrocerı́a
Acabado básico
Acabado medio
Acabado lujo
Beneficio
capacidad
120
80
96
102
40
Tiempos por versión:
Básica Media Lujo
3
2
1
1
2
3
2
3
2
840
1120
1200
Identifica el objetivo del decisor y las variables de decisión y plantea el modelo adecuado para determinar un
plan de producción semanal óptimo.
2. Una compañı́a fabrica impresoras láser y tinta. La demanda de ambos tipos de impresoras supera la capacidad
de producción. La compañı́a está interesada en desarrollar una polı́tica de producción óptima.
Cada impresora de inyección de tinta necesita 1 hora para su fabricación y 2 horas para su control de calidad,
mientras que una láser necesita 1.5 horas de trabajo y 1 hora de control de calidad. Se dispone de 200 horas
semanales para la fabricación y de 175 horas para llevar a cabo el control de calidad. Los beneficios netos de
venta de las impresoras son de 20 euros/unidad para las de tinta y de 30 euros/unidad para las láser.
Formular y resolver un problema de programación lineal que permita a la compañı́a decidir el plan de producción que más le interesa cuando:
a) Quiere minimizar el número total de impresoras producidas, garantizándose un beneficio semanal de al
menos 4000 euros.
b) Quiere obtener el máximo beneficio posible, sin importarle el número de impresoras producidas.
Para el segundo caso, estudiar si la cantidad de tiempo disponible para la producción y control de calidad se
puede reducir sin afectar al beneficio máximo obtenido.
3. RM produce dos tipos de pinturas, de interiores y de exteriores, a partir de dos materiales básicos, A y B.
Las cantidades, expresadas en toneladas, de cada producto necesarias para producir una tonelada de cada
una de estas pinturas vienen dadas por:
Materia A
Materia B
Exterior
1
2
Interior
2
1
La venta en el mercado de pintura para interiores da un beneficio de 2000 unidades monetarias por tonelada,
mientras que la venta de pintura para exteriores da un beneficio de 3000 u.m. por tonelada.
Después de realizar un estudio de mercado se conoce que la demanda de pintura para interiores nunca excede
a la demanda de pintura para exteriores en más de 1 tonelada. Por otro lado, el proceso productivo tiene una
limitación dı́aria de 2 toneladas de pintura para interiores. La compañı́a de pinturas RM quiere determinar
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los niveles óptimos de producción de cada tipo de pintura cuando dispone de 6 toneladas de materia A y 8
toneladas de materia B al dı́a.
El problema al que se enfrenta RM es distribuir los recursos de que dispone, 6 toneladas de materia A y 8
toneladas de materia B al dı́a, entre las actividades a realizar, producción de pintura para interiores y producción de pintura para exteriores, de manera que los beneficios que obtenga con la venta de su producción en el
mercado sean máximos y se satisfagan, además, las restricciones impuestas por las limitaciones técnicas del
proceso productivo y las impuestas por las caracterı́sticas del mercado. Plantea un problema de Programación
Lineal para ayudar a RM a tomar una decisión.
4. Una empresa elabora un cierto alimento refinando diferentes tipos de aceite y mezclándolos. Los tipos de aceite
se clasifican en dos categorı́as: vegetales (VEG1 y VEG2) y no vegetales (OIL1, OIL2 y OIL3). Dependiendo
del tipo de aceite, vegetal o no vegetal, se requieren diferentes lı́neas de producción para el refino del aceite.
Ası́, en un mes, la máxima cantidad de cada uno de ellos que puede refinarse es de 200 toneladas de aceite
vegetal y 250 de no vegetal. Se puede asumir que el coste de refino es nulo y que durante el proceso no se
producen pérdidas de peso. Por otro lado, existen restricciones tecnológicas que imponen cotas (inferior y
superior) a la dureza del producto final, de 3 y 6 unidades respectivamente. Se puede asumir que la dureza
se mezcla linealmente; la dureza (por tonelada) de cada uno de los aceites, ası́ como su coste (por tonelada)
de producción, son los que aparecen en la siguiente tabla
Coste
Dureza
VEG1
110
8.8
VEG2
120
6.1
OIL1
130
2.0
OIL2
110
4.2
OIL3
115
5.0
Cada tonelada de producto final se vende a un precio de 150 u.m. Plantear y resolver el problema de programación lineal continua al que se enfrenta la empresa para determinar cómo ha de hacer su producción de
manera que obtenga el mayor beneficio neto posible.
5. Una empresa produce filtros para monitores de ordenador formando tres capas, una intermedia de calidad A
y otras dos exteriores de calidad B que envuelven a la anterior. Ambas calidades se consiguen con diferentes
mezclas de fibra de vidrio y resina de las que el fabricante dispone por semana de 700 y 900 toneladas,
respectivamente.
La empresa tiene 4 plantas de producción que utilizan diferentes procedimientos de fabricación, que difieren en
la cantidad de cada materia prima que necesitan para realizar una operación y en el número de capas de cada
tipo (calidad A, calidad B) que se producen con cada operación. La siguiente tabla recoge las caracterı́sticas
de los 4 procedimientos:
Planta
1
2
3
4
Ton. requeridas
por operación
Vidrio Resina
15
19
14
20
16
15
12
18
Capas producidas
por operación
Tipo A Tipo B
2
5
3
7
5
4
4
4
Teniendo en cuenta que las operaciones se pueden llevar a cabo parcialmente, formular un modelo de programación lineal continua para determinar el número de operaciones a realizar en cada planta de manera que se
maximice el número de filtros fabricados.
6. Resolver geométricamente los siguientes problemas de PL indicando en todos ellos cuál es el conjunto de
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soluciones factibles y distinguiendo los casos de no existencia de solución y solución óptima no acotada:
(1) Max 2x1 + x2
s.a. x1 + 2x2 ≤ 3
− 2x1 − x2 ≥ 3
x1 ≥ 2
x1 , x2 ≥ 0
(2) Max
s.a.
3x1 + 2x2
− x1 + x2 ≤ 1
x1 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 3
x1 , x2 ≥ 0
(3) Máx x1 + x2
s.a. − x1 + x2 ≤ 1
x1 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 3
x1 , x2 ≥ 0
(4) Máx 3x1 + 2x2
s.a. x1 − x2 ≤ 1
x1 + x2 ≥ 3
x1 , x2 ≥ 0
7. Resolver geométricamente los siguientes problemas de PL indicando en todos ellos cuál es el conjunto de
soluciones factibles y distinguiendo los casos de no existencia de solución y solución óptima no acotada:
(a) Máx
s.a.
− 2x1 + x2
− x1 + 2x2 ≤ 4
− 7x1 + 2x2 ≤ 15
x1 + x2 ≤ 3
x1 cualquiera, x2 ≥ 0
(d) Máx 3x1 + 2x2
s.a. 2x1 − 3x2 ≤ 6
− 4x1 + 5x2 ≤ 15
(b) Mı́n 3x1 + x2
s.a. − x1 + 2x2 ≤ 4
7x1 + 2x2 ≥ 15
x1 , x2 ≥ 0
(c) Máx
s.a.
x1 + x2
− 2x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 3
x1 , x2 ≥ 0
(e) Mı́n 3x1 + 4x2
s.a. 2x1 + 3x2 ≤ 6
− 3x1 + 5x2 ≥ 15
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
8. Expresar los siguientes problemas en forma estándar:
(a) Máx 2x1 + 3x2 + 5x3
s.a. x1 + x2 − x3 ≥ −5
− 6x1 + 7x2 − 9x3 ≤ 4
x1 + x2 + 4x3 = 10
x1 , x2 ≥ 0, x3 cualquiera
9. Dado el PL:
(b) Mı́n x1 + 2x2 + 3x3
s.a. 2 ≤ x1 + x2 ≤ 3
4 ≤ x1 + x3 ≤ 5
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Maximizar
3x1 + x2
s.a x1 + x2 6 20
x1 + 2x2 6 30
2x1 + x2 6 30
x1 , x2 > 0
a) Expresa el PL en forma estándar.
(c) Máx x1 − x2 + 2x3
s.a. 2x1 + 3x2 ≤ 4
x1 − x3 ≥ 2
x1 + 2x2 = 1
x1 , x2 cualesquiera, x3 ≥ 0
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b) Determina todas las soluciones básicas y clasifı́calas en Factibles y No Factibles. ¿Alguna de las SBF
obtenidas es degenerada (alguna variable básica toma el valor 0)? Si la respuesta es afirmativa, ¿qué más
puedes decir sobre esa solución?
c) Sustituir en la función objetivo las SBF encontradas y determinar cuál es la mejor. Comprobar gráficamente
que la solución obtenida es la óptima.
d) Muestra cómo las soluciones básicas no factibles están representadas en el espacio de la solución gráfica.