Colección de Problemas III 1.- Obtener todas las soluciones óptimas

Colección de Problemas III
1.- Obtener todas las soluciones óptimas del siguiente problema sin utilizar ningún
método simplex.
máx Z = 3x1 + 4x2 + x3 + 4x4
s. a:
x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 150
2x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 200
xi ≥ 0, i = 1, . . . , 4
2.- Dado el problema de programación lineal
A) Plantear el problema dual.
B) Resolver gráficamente problema dual.
C) Utilizando el teorema de la holgura complementaria resolver el problema primal.
D) Si añadimos una nueva variable x4 al problema primal con a04 = (1, 1) y costo
c4 ¿Cuánto deberı̀a ser c4 para que fuera rentable fabricar el producto x4 ?
mı́n Z =
s. a:
9x1 + 15x2 + 12x3 + 27x4
2x1 + x2 + x3 ≥ 102
x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4 ≤ 300
x1 + 2x3 + 2x4 ≥ 120
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
A) Resolverlo.
B) Calcular tadas las soluciones del problema cuando el vector de recursos b se
cambia por b̂ = (102, 300, 120)0 + λ(2, −3, 0)0 , con λ ∈ [−25, 100].
3.- Dado el siguiente problema de programación lineal, resolverlo sin utilizar ningún
algoritmo simplex (plantear el dual, resolverlo gráficamente, usar la solución del
dual obtenida y las condiciones de la holgura complementaria para encontrar la
solución del problema propuesto)
mı́n Z =
s. a:
30x1 + 18x2 + 4x3 − 2x4
5x1 − 5x2 + x3 − x4 ≥ 7
6x1 + 6x2 − x4 ≥ 15
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
1
Colección de Problemas III
4.- Dada la siguiente tabla de simplex correspondiente a un problema de mı́nimo,
x1
1
0
0
0
x1
x3
x5
x2
1
3
1
c
x3
0
1
0
0
x4
-1
a
0
d
x5
0
0
1
0
x6
1
3
1
7
b̄
3
5
b
A) ¿Qué condiciones deben cumplir los parámetros a, b, c y d para que la tabla
contenga una solución óptima única?, ¿y para la existencia de solución óptima
múltiple?
B) Suponiendo que la resolución del problema se está realizando mediante el
algoritmo simplex dual, ¿qué condiciones deben cumplir los parámetros a, b,
c y d para que se pueda concluir que el problema es no factible?
C) Suponiendo que la resolución del problema se está realizando mediante el
algoritmo simplex, ¿qué condiciones deben cumplir los parámetros a, b, c y d
para que se pueda concluir que el problema tiene solución no acotada?
D) Suponiendo que la resolución del problema se está realizando mediante el
algoritmo simplex dual, que el formato original del problema era mı́n Z =
cx s.a : Ax ≤ b, x ≥ 0, que sea añadieron las variables de holgura x4 , x5
y x6 y que además éstas formaron la primera base, en las condiciones del
apartado A) (Solución óptima) ¿cuál es la solución óptima del problema dual
del problema que se está resolviendo?
5.- En la impresión de los resultados de la resolución de un problema de programación lineal nos hemos quedado sin papel y se ha pérdido la/s tabla/s finales. El
problema que se habı́a resuelto correspondı́a a un sistema de producción en el que
las variables x1 , x2 , x3 y x4 representaban unidades de cuatro tipos de producto
elaboradas a partir de tres materias primas de las que se disponı́a de cantidades
b1 , b2 y b3 (b = (b1 , b2 , b3 )0 vector de recursos del problema resuelto). El problema de programación lineal era de máximo (maximizaba beneficios) e inicialmente,
antes de introducir variables de holgura, todas sus restricciones eran de tipo ”≤”.
La última tabla disponible es
x3
x4
x1
x1
0
0
1
x2
- 23
3
1
x3
1
0
0
x4
0
1
0
x5
0
- 43
0
0
2
0
-1
x6
- 23
1
1
x7
- 13
0
1
1
3
- 73
- 53
2
3
b̄
100
3
300
200
Colección de Problemas III
A) Finalizar la resolución del problema.
B) La solución óptima obtenida en el apartado anterior no resulta satisfactoria
para el encargado de la empresa ya que no se elabora ninguna unidad del
producto segundo (x2 no toma valor en dicha solución óptima), por ello desea
imponer al modelo que al menos se elaboren 30 unidades de producto segundo.
Encontrar la solución óptima con esta nueva condición añadida al problema.
6.- Dado el problema de programación lineal:
máx Z =
s. a:
4x1 + 3x2
2x1 + 3x2 ≤ 18
5x1 + 3x2 ≤ 35
x1 + x2 ≤ 7
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Comprobar aplicando las condiciones de la holgura complementaria que el punto
x1 = 7, x2 = 0 es solución óptima.
7.- La resolución del problema de programación lineal
máx Z =
s. a:
3x1 + 6x2 + 2x3 + 8x4
4x1 + 6x2 + 3x3 ≤ 90
x1 + x3 + 2x4 ≤ 60
2x1 + 3x2 ≤ 70
xi ≥ 0, i = 1, . . . , 4,
ha proporcionado la siguiente solución óptima
x1
x2
x4
s3
x2
x3
x4
s1
s2
s3
b̄
0
1
0
1
6
0
0
- 12
1
2
0
1
0
0
1
2
1
2
- 32
0
0
0
1
15
30
25
-5
0
-5
0
-1
-4
0
330
2
3
1
2
En la que la primera base estaba formada por las variables s1 , s2 y s3 (variables
de holgura).
A) ¿Cuál es la solución óptima del problema si la columna inicial de x4 , A4 =
(0, 2, 0)0 se cambia por Â4 = (2, 2, 1)0 ?
3
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B) ¿Obtener la solución óptima del problema cuando se considera, además de las
tres existentes, la restricción x1 + x2 ≥ 20.
8.- Dado el siguiente problema de programación lineal
máx Z =
s. a:
3x1 + 7x2 + 3x3
x1 + x2 − x3 ≤ 5
x1 + 2x2 + x3 ≤ 8
x1 − 2x2 + 2x3 ≤ 10
x1 , x2 , x3 ≥ 0
A) Escribir su problema dual.
B) Utilizando el teorema de la holgura complementaria demostrar que la solución
(x1 , x2 , x3 ) = (6, 0, 2) NO es una solución óptima del problema primal.
C) Utilizando teorı́a de la dualidad demostrar que la solución óptima del problema dual está acotada inferiormente por 24, es decir, que el valor de la solución
óptima del problema dual es mayor o igual que 24.
9.- Dado el problema de programación lineal
mı́n Z =
sujeto a:
3x1 + 7x2 + x3
x1 + x2 + x3 ≥ 7
2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 12
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Plantear su problema dual y resolver ambos aplicando la teorı́a de la dualidad.
10.- La tabla siguiente recoge la solución óptima de un problema de producción en la
que las variables x1 , x2 y x3 representan, respectivamente, las unidades de producto
P1 , P2 y P3 elaboradas, s1 y s2 son variables de holgura y a1 una variable artificial.
Max
s1
x2
x3
3
x1
5
x2
6
x3
0
s1
0
s2
-M
a1
- 23
- 16
1
6
- 61
1
3
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-2
0
0
0
4
3
2
- 12
- 29 -M
b̄
1250
425
25
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Al observar la solución óptima, el dueño de la empresa que elabora los productos
P1 , P2 y P3 sehaplanteado introducir un nuevo producto P4 que tendrá una
1
 
columna A4 =  1  en la matriz A y un coeficiente en la función objetivo c4 = 2.
1
¿Conviene la elaboración de dicho producto? ¿Por qué? (Nota: la primera base era
(s1 , a1 , s2 ))
11.- Al tratar de resolver un problema de producción se ha llegado a la siguiente tabla
del simplex
Max
x1
x2
x3
x4
s1
b̄
x4
x3
1
0
3
1
0
1
1
0
- 12
0
425
150
-2
-4
0
0
1
2
que indica la presencia de solución no acotada. Tras repasar el planteamiento
que se ha realizado del problema se ha detectado que faltaba una restricción que
no habı́a sido incluida, ésta es x2 + x4 = 300. A partir de la tabla anterior añadir
la restricción x2 + x4 = 300 y resolver el problema.
12.- Una compañı́a se dedica a la elaboración de 2 productos, la demanda de estos
productos es de 200 unidades para cada uno de ellos. La compañı́a podrá elaborar
los productos o comprarlos a un proveedor. Los costos de compra de estos productos
a un cierto proveedor son 3 u.m. por unidad de P1 y 2 u.m. por unidad de P2. Para
poder elaborar los productos la compañı́a deberı́a ampliar las maquinarias de cada
uno de los dos talleres que tiene. El coste de ampliación de los talleres depende de
qué producto se decide fabricar en cada uno de ellos (sólo se puede ampliar un taller
para la fabricación de un único producto), los costes son 50 u.m. por ampliar un
taller para producir P1 y 30 u.m. por ampliar un taller para producir P2. Debido
a que los talleres se emplean en la actualidad para producir otros productos, como
máximo se podrı́a disponer de 15 horas semanales en cada uno de los talleres en
el caso de decidir su ampliación. Las tasas de producción por hora que podrı́an
alcanzarse en los talleres serı́an:
T1
4
6
P1
P2
T2
5
5
Los costes de producción en cada uno de los talleres es 2.5 por unidad de P1 y
1.5 por cada una de P2. Construir un modelo de programación entera que permita
determinar si se amplia o no alguno de los talleres, y el número de piezas compradas
y/o producidas de manera que se minimice el costo total de compra-producción.
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