Tema 07: Valores extremos de campos multivariables Repaso

Repaso: Valores extremos de funciones de una variable
Tema 07:
Valores extremos de campos multivariables
Juan Ignacio Del Valle Gamboa
Sede de Guanacaste
Universidad de Costa Rica
Ciclo I - 2014
I
Repaso: Fórmula de Taylor
Sea y = f (x) tal que f : R → R, y sea (x0 , y0 ) un par ordenado
perteneciente a la gráfica de dicha función. Sea x un valor cercano a
x0 . Entonces,
f (x) ≈
i=1
i!
− x0 )i
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
Los valores extremos (mínimos, máximos) de una función de una
variable y = f (x) son aquellos valores de la variable x en donde
df
dx = 0.
Repaso: Criterio de la Segunda Derivada
Fórmula de Taylor
∞ i
X
f (x0 )(x
Teorema
De la derivación anterior, se puede concluír lo siguiente para el caso
de que (x0 , y0 ) corresponda a un valor extremo de la función y = f (x):
I
f 0 (x0 ) = 0
I
Para valores de x cercanos a x0 , se cumple que:
00
2
0)
.
f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 )(x−x
2
I
f 00 (x0 )(x − x0 )2
+ ...
2
El signo de la anterior expresión solamente depende del signo
del término f 00 (x0 ).
Repaso: Criterio de la Segunda Derivada (2)
Generalidades
Teorema
Sea (x0 , y0 ) un valor extremo de la función y = f (x), y x un valor
cercano a x0 . Entonces,
I
Si f 00 (x0 ) > 0 entonces f (x) − f (x0 ) > 0 y el punto es un valor
míinimo.
I
Si f 00 (x0 ) < 0 entonces f (x) − f (x0 ) < 0 y el punto es un valor
máximo.
Puntos de ensilladura
I
Los valores extremos de funciones multivariables ya no se
limitan solamente a puntos, sino que pueden presentarse a lo
largo de curvas.
I
De forma análoga al caso de una variable, los valores extremos
se detectan porque allí se hacen nulas las derivadas direccionales
en cualquier orientación
Criterio para detectar puntos críticos
Puntos críticos
Sea una función z = f (x, y) un campo escalar multivariable tal que
f : D ⊂ R2 → R. Entonces los puntos críticos de la función pueden
ser:
I
Definición
Los puntos de ensilladura son un nuevo tipo de valores extremos que
se presentan en los campos multivariables dependientes de dos
variables, en donde las derivadas direccionales se anulan pero la
concavidad de la gráfica es positiva en algunas direcciones y opuesta
en otras.
Aquellos donde todas las derivadas direccionales se anulan. Es
−
→
∂f
∂f
= ∂y
= 0.
decir, donde ∇f = 0 ⇐⇒ ∂x
I
Los puntos en la frontera de la región D.
I
Los puntos donde alguna de las derivadas parciales se indefinen
Fórmula de Taylor para campos escalares en R2
La teoría de los desarrollos limitados vista en el cálculo de una
variable puede extenderse a las nuevas funciones estudiadas
recientemente.
Teorema: Fórmula de Taylor
Sea z = f (x, y) un campo escalar definido tal que f : D ⊂ R2 → R.
Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a la gráfica de la función z, y sea
(x, y) un par ordenado cercano a (x0 , y0 ). Entonces, el valor de la
función z se puede aproximar en el par ordenado (x, y) de la siguiente
forma:
−
→
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + ∇f (x0 ,y0 ) · [(x, y) − (x0 , y0 )]
1
+ [(x, y) − (x0 , y0 )]H(x0 ,y0 ) [(x, y) − (x0 , y0 )]t
2
Obsérvese cómo el vector gradiente aparece en vez de las primeras
derivadas en el caso de la fórmula de una variable; y en vez de las
segundas derivadas aparece la matriz H.
Criterio de la segunda derivada para campos escalares en R2
Sea (x0 , y0 ) un valor extremo de la función z = f (x, y) identificado
previamente por el método de detección de puntos críticos
anteriormente descrito. Entonces se puede utilizar la fórmula de
Taylor para estudiar el comportamiento de los puntos (x, y)
adyacentes a (x0 , y0 ):
f (x, y) − f (x0 , y0 ) =
1
[(x, y) − (x0 , y0 )]H(x0 ,y0 ) [(x, y) − (x0 , y0 )]t
2
Recordar que:
La matriz Hessiana
La matriz H que aparece en la fórmula de Taylor se conoce como
matriz Hessiana de la función f (x, y), y se define de la siguiente
forma:


H = 
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y2



I
La matriz Hessiana es una matriz simétrica (por la igualdad de
las derivadas parciales de segundo orden cruzadas).
I
Obsérvese que en la fórmula de Taylor esta matriz debe
evaluarse en el punto (x0 , y0 ).
Criterio de la segunda derivada para campos escalares en R2
Teorema
Sea (x0 , y0 ) un valor extremo de la función z = f (x, y) identificado
previamente por el método de detección de puntos críticos
anteriormente descrito. Entonces,
I
Si det H > 0 y
I
Si det H > 0 y
∂2f
∂x2
∂2f
∂x2
> 0 entonces (x0 , y0 ) es un punto mínimo.
< 0 entonces (x0 , y0 ) es un punto máximo.
I
El vector gradiente es nulo en estos puntos críticos.
I
Si det H < 0, entonces (x0 , y0 ) es un punto de ensilladura.
I
El signo del término restante depende únicamente de la matriz
Hessiana.
I
Si det H = 0 entonces no hay criterio.
I
Al ser la matriz Hessiana simétrica, el signo de la expresión
anterior está determinado por el hecho de que H sea una matriz
definida positiva o definida negativa.
Criterio generalizado de la segunda derivada
Regla de la cadena: ejemplo
Criterio
Sea f : Rn → R un campo escalar y P = (x1 , x2 , ..., xn ) un valor
∂2f
crítico de esa función. Sea Hij,P = ∂xi ∂xj la matriz Hessiana
P
asociada a la función f evaluada en P, y ∆n−1 , ∆n−2 , ...∆2 , ∆1 las
n − 1 matrices menores principales de H. Entonces,
I
Si det(HP ) > 0 y det(∆k ) > 0 para todo k, P es un valor mínimo
de f .
I
Si det(HP ) < 0 y los signos de los determinantes de los menores
principales se alternan (det(∆n−1 ) > 0, det(∆n−2 ) < 0, etc.), P
es un valor máximo de f .
I
Si todos estos determinantes son diferentes de cero, pero no se
cumple ninguno de los casos anteriores, P es un punto de
ensilladura.
I
Si alguno de los determinantes es igual a cero, el criterio no es
concluyente.
Multiplicadores de Lagrange
Función Lagrangiano
Teorema
I
I
I
Sea f : U ⊂
Rn
→ R una función multivariable de clase
Ascendiendo a la cima del volcán Rincón de la Vieja
C0 .
Sean g1 , g2 , ..., gm : U → R también diferenciables, con m < n.
Definición
Para la función f y las restricciones gi anteriormente descritas, se
define la función Lagrangiano como:
Sea S = x ∈ U | gi (x) = 0 ∀ i.
Si x0 ∈ S es un extremo condicionado de f , entonces existen m
números reales λ1 , λ2 , ..., λm tales que:
−
→
∇f (x0 ) +
m
X
k=1
−→
λk ∇gk (x0 ) = 0
En otras palabras, el gradiente de la función evaluado en un punto
crítico es paralelo a los gradientes de las restricciones evaluados en el
mismo punto.
L(x, λ1 , λ2 , ..., λn ) = f (x) −
m
X
λk gk (x)
k=1
Los valores λk se conocen como multiplicadores de Lagrange.
Teorema
Encontrar los valores extremos de la función f sujeta al conjunto gi de
restricciones, equivale a encontrar los valores extremos de la función
Lagrangiano. Es decir, los puntos críticos son aquellos donde
−→ →
−
∇L = 0 .
El Hessiano Limitado
Criterio de la segunda derivada
Para trabajar los problemas de valores extremos de una función
f (x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0, se define la matriz
Hessiano Limitado como:

0 −gx −gy −gz
 −gx Lxx Lyx Lzx 

H = 
 −gy Lxy Lyy Lzy 
−gz Lxz Lyz Lzz

Caso: Función de dos variables con una restricción
Solo ocupa calcularse n = 2 − 1 = 1 un determinante, que sería el
determinante de la matriz Hessiana limitada:


0 −gx −gy
H =  −gx Lxx Lyx 
−gy Lxy Lyy
Criterio
I
Si det(H)(x0 ,y0 ) > 0, entonces el punto es un máximo local.
I
Si det(H)(x0 ,y0 ) < 0, entonces el punto es un mínimo local.
I
Si det(H)(x0 ,y0 ) = 0, entonces el criterio no es concluyente.
Teorema
La cantidad n de determinantes a calcular necesarios para identificar
los puntos críticos de una función multivariable sujeta a restricciones
es igual a la diferencia de la cantidad de variables independientes v y
la cantidad de restricciones r:
n = v−r
Caso: Función de tres variables con una restricción
Ocupamos resolver n = 3 − 1 = 2 determinantes: el de la matriz
hessiana limitada, y el de su menor principal (eliminar última fila y
última columna).


0 −gx −gy −gz
 −gx Lxx Lyx Lzx 

H = 
 −gy Lxy Lyy Lzy 
−gz Lxz Lyz Lzz
Criterio
∆3


0 −gx −gy
=  −gx Lxx Lyx 
−gy Lxy Lyy
I
Si det(H)P < 0 y det(∆3 )P < 0, entonces el punto es un mínimo
local.
I
Si det(H)P < 0 y det(∆3 )P > 0, entonces el punto es un máximo
local.
I
Si det(H)P > 0 entonces el punto es un punto de ensilladura.
I
Si det(H)P = 0 entonces el criterio no es concluyente.
Caso: Función de tres variables con dos restricciones
Se forma la función Lagrangiano:
L(x, y, z, λ1 , λ2 ) = f (x, y, z) − λ1 g(x, y, z) − λ2 h(x, y, z)
Se requiere calular n = 3 − 2 = 1 un solo determinante:

Criterio


H = 



0
0 −hx −hy −hz
0
0 −gx −gy −gz 

−hx −gx Lxx Lyx Lzx 

−hy −gy Lxy Lyy Lzy 
−hz −gz Lxz Lyz Lzz
I
Si det(H)P > 0, el punto es un mínimo local.
I
Si det(H)P < 0, el punto es un máximo local.
I
Si det(H)P = 0, el criterio no es concluyente.