DESARROLLO SESION DE CLASES
Código: FOR-GA-83/Versión 1
IDENTIFICACIÓN DE LA GUÍA
COLEGIO TECNICO EMPRESARIAL UPARSISTEM 11-A
PROGRAMA DE FORMACIÓN
CALCULO DE UNDECIMO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DURACIÓN
ACTIVIDAD
SESIÓN(ES)
DESARROLLO DE LA CLASE
CALCULO DE DERIVADAS
REGLAS BASICAS:
Derivada de una constante:
Derivada de y x :
Derivada de la suma (resta):
Derivada del producto:
Derivada del cociente:
y k y' 0
y x y' 1
y f ( x) g ( x ) y ' f ' ( x) g ' ( x )
y f ( x) g ( x) y' f 'g f g '
f ( x)
f 'g f g '
y
y'
g ( x)
g2
DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
y x n y' n x n1
y f ( x) y' n f ( x)
n1
n
Raíz cuadrada:
y x y '
y
f ' ( x)
1
2 x
f ( x) y '
1
2 f ( x)
f ' ( x)
1
Potencias:
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Inversa:
Exponenciales:
1
1
y' 2
x
x
1
1
f ' ( x)
y
y'
f ' ( x)
2
f ( x)
f ( x)
f ( x)2
y
y e x y' e x
y e f ( x) y' e f ( x) f ' ( x)
y a x y' a x La
y a f ( x) y' a f ( x) f ' ( x) La
Logaritmos:
y Lx y '
1
x
y L f ( x) y '
1
f ' ( x)
f ' ( x)
f ( x)
f ( x)
1 1
y log a x y '
x La
1
1
f ' ( x) 1
y loga f ( x) y'
f ' ( x)
f ( x) La
f ( x) La
Funciones trigonométricas:
y tgx y' sec 2 x
y sen f ( x) y' cos f ( x) f ' ( x)
2
y senx y' cos x
y cos x y' senx
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y cos f ( x) y' sen f ( x) f ' ( x)
y tg f ( x) y' sec2 f ( x) f ' ( x)
Inversas de las funciones trigonométricas:
y arcsenx y'
y arccosx y'
1
1 x2
1
1 x2
1
y arctgx y '
1 x2
y arcsenf ( x) y'
y arccos f ( x) y'
1
1 f ( x)
1
2
f ' ( x)
f ' ( x)
f ' ( x)
1 f ( x)
f ' ( x)
2
1 f ( x )
1 f ( x )
1
f ' ( x)
y arctgf ( x) y'
f ' ( x)
2
2
1 f ( x)
1 f ( x)
2
3
2
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ALGUNOS EJEMPLOS
1. y 3 senx x
1
ex 5
x3
La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas, luego basta con derivar cada término. Aquí, hay que tener en
cuenta: (a) 3 senx es una constante (3) por una función, luego su derivada será la constante, 3, por la derivada de senx, que es cos x . En
1
1
consecuencia, la derivada de 3 senx es 3 cos x . (b) 3 x 3 , luego para derivar 3 basta con aplicar la derivada de una potencia; así, obtenemos
x
x
1
3
que la derivada de 3 es (3) x 4 4 . (c) Las derivadas de x y de e x vienen en la lista. (d) 5 es una constante (es un número, no depende
x
x
de x ) luego su derivada, según la primera regla básica, es 0. En consecuencia, la derivada pedida es
1
3
y ' 3 cos x
4 ex
2 x x
x senx
2
Para derivar e x cos x , aplicamos la derivada del producto (la cuarta regla básica), tomando f ( x) e x , g ( x) cos x . Para derivar
3
observamos que
x senx 1 3
x senx , es decir, se trata de una constante (1/2) por una función (el producto de
2
2
3
3
x senx
,
2
x y senx). En consecuencia,
4
3
Página
2. y e x cos x
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su derivada será la constante (1/2) por la derivada de ese producto; para calcular esta última derivada, aplicamos una vez más la derivada del
producto tomando f ( x) 3 x y g ( x) senx . Aquí debemos observar que f ( x) 3 x x1 / 3 , luego para derivar f (x) aplicaremos la regla de la
potencia, es decir,
1
f ' ( x) 1 / 3 x 2 / 3
. Reuniendo todo esto, tenemos que la derivada de la función original es:
3 3 x2
1 senx 3
y ' e x cos x e x senx
x cos x
2 3 3 x2
3. y
x
arctgx
Para derivar esta función, aplicamos la derivada del cociente (quinta regla básica) tomando f ( x) x , g ( x) arctg x . En consecuencia,
obtenemos:
y'
1
arctgx
x
1 x 2 arctgx x
1 x 2 arctgx x
1 x2 1
1 x2
1 x2
2
arctgx2
arctgx2
arctgx2
(1 x 2 )arctgx
1 arctgx x
Observemos que en el numerador hemos tenido que operar (restar) dos fracciones, reduciendo previamente a común denominador.
4. y arcsen x
Se trata de derivar y arcsenf (x) , donde f ( x) x . En consecuencia, aplicamos la regla:
1
Observemos que
x
2
1
2 x 1 x
1
2 x 1 x
x 1 x x 1 x por tratarse de un producto de radicales del mismo índice.
5
1/ 2 x
Página
y'
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5. y L arctg x 3
Se trata de derivar y Lf (x) , donde f ( x) arctg x 3 . En consecuencia, aplicamos la regla, y representamos por arctg x 3 ' la derivada de
arctg x 3 . Por tanto:
y'
arctg x '
3
arctg x 3
Ahora, para calcular la derivada de arctg x 3 , aplicamos la regla del arco tangente (la última de “inversas de funciones trigonométricas”), es decir
1
f ' ( x)
y arctgf ( x) y'
f ' ( x)
2
2
1 f ( x)
1 f ( x)
donde ahora f ( x) x 3 . En consecuencia,
arctg x '
3
3x 2
1 x3
2
3x 2
1 x6
Finalmente, la derivada de la función pedida es:
3x 2
6
3x 2
y' 1 x 3
arctg x
1 x 6 arctg x 3
Página
6
(Observación: arctg x 3 arctg x3 ; en el primer caso el arco tangente se aplica al resultado de elevar x al cubo, y en el segundo, al valor del
arco tangente de x )
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BIBLIOGRAFÍA
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